第14讲 托勒密定理和西姆松定理(一)
四个重要定理（梅涅劳斯-塞瓦-托勒密-西姆松）（1）
B平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 共线的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1、设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。
求证：FBAF 2ED AE =。
【分析】CEF 截△ABD→1FABFCB DC ED AE =⋅⋅（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行线。
2、过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。
求证：1FACFEA BE =+。
【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。
DEG 截△ABM→1DB MDGM AG EA BE =⋅⋅（梅氏定理） DGF 截△ACM→1DCMDGM AG FA CF =⋅⋅（梅氏定理）∴FA CF EA BE +=MDAG )DC DB (GM ⋅+⋅=MD GM 2MD 2GM ⋅⋅=1【评注】梅氏定理3、D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，λ===EACEFB AF DC BD ，AD 、BE 、CF 交成△LMN 。
求S △【分析】B【评注】梅氏定理4、以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE 、△CAF 、△ABG 。
求证：AE 、BF 、CG 相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5、已知△ABC 中，∠B=2∠C 。
托勒密定理和西姆松定理(一)
【例3】⑵由△ABC外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC 与AB作垂线PK、PL和PM。 BC AC AB 求证： 求 PK PL PM
3
1
【例1】⑶等腰梯形一条对角线的平方，等于一腰的平方加上 两底之积。已知，梯形ABCD，AD＝BC，AB∥ CD，求证： BD2＝BC2＋AB·CD。
【例2】⑵如图，已知圆的内接正五边形ABCDE，P为 BC 上 的一点，则 的 点，则PA＋PABCD中，∠ABC＝60°，∠BAD＝ ∠BCD＝90°， ，AB＝2，CD＝1，对角线AC、BD 交于点O，如图，求sin∠AOB。
【例1】⑴证明 明托勒密定 托勒密定理及其逆定理。 及其逆定 ①四边形ABCD内接于圆， 求证： AC·BD＝AD·BC＋AB·CD。
(
【例1】⑴证明托勒密定理及其逆定理。 ②四边形ABCD满足， AC·BD＝AD·BC＋AB·CD，求 证：四边形ABCD 是圆内接四边形。
【例1】⑵如图，已知P为正△ABC外接圆 BC 上一点， 求证： PA＝PB＋PC
托勒密定理和西姆松定理(一)
托勒密定理 托勒密定 托勒密定理：圆内接四边形两条对角线乘积等于两组对边乘积 圆内接 边形两条对角线乘积等 两组对边乘积 之和。 逆定理：一个凸四边形的两组对边乘积的和等于其对角线的乘 积，那么该四边形内接于一个圆 积，那么该四边形内接于 个圆(或者说该四边形的四个顶点共 圆) 广义定理 对于 般的四边形ABCD，有 广义定理：对于一般的四边形 有AB·CD＋ AD·BC≥AC·BD，当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立。
高中数学竞赛辅导之——托勒密定理和西姆松定理
托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．即：设四边形ABCD 内接于圆，则有；分析可设法把AC·BD拆成两部分，如把AC写成AE+EC，这样，AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD，于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．证明在AC上取点E，使∠ADE=∠BDC，由∠DAE=∠DBC，得⊿AED∽⊿BCD．∴AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC．⑴又∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠ECD，得⊿ABD∽⊿ECD．∴AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD．⑵⑴+⑵，得AC·BD=AB·CD+AD·BC．说明本定理的证明给证明ab=cd+ef的问题提供了一个典范．定理：在四边形ABCD 中，有，并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。
【解析】在四边形ABCD内取点E，使，则：相似，所以，又因为且，所以相似，所以，所以，且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立。
1.1 直接应用托勒密定理1．如图所示，P是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)，求证：．CA BCDE【解析】：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC．1. 2 完善图形借助托勒密定理2．如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．【解析】：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．∵∠1=∠2，∴BD=CD．故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．3．证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：【解析】：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．①，又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．②把②代人①，得．1.3 构造图形借助托勒密定理4．若a、b、x、y是实数，且．求证：．【解析】：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．∵．1.4 巧变原式妙构图形，借助托勒密定理5．已知a、b、c是△ABC的三边，且，求证：∠A=2∠B．分析：将变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．【解析】：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，∴∠ABD=∠BAC．又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．于是，则依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．①，而已知，即．②，比较○1○2得，，，∴∠BAC=2∠ABC ．1.5 巧变形 妙引线 借肋托勒密定理6． 设A 1A 2A 3…A 7是圆内接正七边形，求证：1A 1A 2=1A 1A 3+1A 1A 4．(1987年第二十一届全苏)分析 注意到题目中要证的是一些边长之间的关系，并且是圆内接多边形，当然存在圆内接四边形，从而可以考虑用Ptolemy 定理． 证明 连A 1A 5，A 3A 5，并设A 1A 2=a ，A 1A 3=b ，A 1A 4=c ．本题即证1a =1b +1c．在圆内接四边形A 1A 3A 4A 5中，有A 3A 4=A 4A 5=a ，A 1A 3=A 3A 5=b ，A 1A 4=A 1A 5=c ．于是有ab +ac =bc ，同除以abc ，即得1a =1b +1c说明 Ptolemy 定理揭示了圆内接四边形中线段关系，在数学中应用非常广泛． 7． 在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4，求证：。
四个重要定理(梅涅劳斯-塞瓦-托勒密-西姆松)
B平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 共线的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1、设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。
求证：FBAF2ED AE =。
【分析】CEF 截△ABD→1FABFCB DC ED AE =⋅⋅（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行线。
2、过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于D 。
求证：1FACFEA BE =+。
【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。
DEG 截△ABM→1DB MDGM AG EA BE =⋅⋅（梅氏定理）DGF 截△ACM→1DCMDGM AG FA CF =⋅⋅（梅氏定理）∴FA CF EA BE +=MD AG )DC DB (GM ⋅+⋅=MDGM 2MD 2GM ⋅⋅=1【评注】梅氏定理3、D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，λ===EACEFB AF DC BD ，AD 、BE 、CF 交成△LMN。
求S △LMN 。
【分析】【评注】梅氏定理BD4、以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。
求证：AE 、BF 、CG 相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5、已知△ABC 中，∠B=2∠C 。
数学竞赛初级讲座 西姆松定理及应用
数学竞赛初级讲座西姆松定理及应用
西姆松定理是数论中的一项重要定理，它是由19世纪德国数学家西姆松提出并证明的。
该定理主要研究了自然数的整数解以及它们之间的关系。
西姆松定理通过对自然数的研究，揭示了数的分割方式以及质数的分布规律。
具体地说，西姆松定理指出：对于任意一个自然数n，都可以表示为若干个质数的和。
举例来说，对于自然数4，它可以表示为2+2，也可以表示为3+1。
同样地，自然数6可以表示为3+3，也可以表示为5+1。
这种用质数表示自然数的分解方式称为西姆松表示，而西姆松定理证明了所有的自然数都可以进行西姆松表示。
西姆松定理不仅为数论的研究提供了重要的依据，而且在实际应用中也起到了重要的作用。
例如，在密码学中，西姆松定理被应用于公钥密码体制的安全性分析中。
总的来说，西姆松定理是数学竞赛初级阶段非常重要的内容之一。
了解并掌握这个定理可以帮助我们更好地理解数字之间的关系，拓宽数学思维的广度和深度。
各种圆定理总结包括托勒密定理塞瓦定理西姆松定理梅涅劳斯定理圆幂定理和四点共圆
托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、C D、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到：(a? b)(c? d) + (a? d)(b? c) = (a? c)(b?d) ，两边取，运用得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的形式。
二、设ABCD是。
在BC上，∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。
托勒密(Ptolemy)定理
托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
在直线上，托勒密定理同样成立，这时也称为欧拉定理。
托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。
推广及证明* 托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
o 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式，分析等号成立的条件。
o 四点不限于同一平面。
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC 的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
塞瓦定理在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1西姆松定理是一个几何定理。
表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）。
西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)布里安香定理：圆的外切六边形的三条对角线共点。
托勒密定理
托勒密定理：四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
蝴蝶定理：P是圆O的弦AB的中点，过P点引圆O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N，则有MP=NP。
帕普斯定理：设六边形ABCDEF的顶点交替分布在两条直线a和b上，那么它的三双对边所在直线的交点X、Y、Z在一直线上。
高斯线定理：四边形ABCD中，直线AB与直线CD交于E，直线BC与直线AD 交于F，M、N、Q分别为AC、BD、EF的中点，则有M、N、O共线。
莫勒定理：三角形三个角的三等分线共有6条，每相邻的（不在同一个角的）两条三等分线的交点，是一个等边三角形的顶点。
拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形则他们的中心构成一个等边三角形。
帕斯卡定理：若一个六边形内接于一条圆锥曲线，则这个六边形的三双对边的交点在一条直线上。
布利安双定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。
梅尼劳斯定理：如果一直线与三角形ABC的边BC、CA、AB分别交于L、M、N，则有：(AN/NB)*(BL/LC)*(CM/MA)=1 （考虑线段方向，则等式右边为-1）。
它的逆定理：若有三点L、M、N分别在三角形ABC的边BC、CA、AB或其延长线上（至少有一点在延长线上），且满足(AN/NB)*(BL/LC)*(CM/MA)=1，则L、M、N三点共线。
塞瓦定理：设O是三角形ABC内任意一点, AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1。
它的逆定理：在三角形ABC三边所在直线BC、CA、AB上各取一点D、E、F，若有(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1，则AD、BE、CE平行或共点。
斯特瓦尔特定理：在三角形ABC中，若D是BC上一点，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，则AD^2=[(b*b*p+c*c*q)/(p+q)]-pq。
各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆).
托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：(a − b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK =∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。
四个重要定理(梅涅劳斯-塞瓦-托勒密-西姆松)
P 、Q R ,则P 、Q R 共线的充要条件是聖CQ ARj 。
PC QA RBBP CQ AR PC QA RB _ °平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯（Menelaus ）定理（梅氏线）△ABC 的三边BC CA AB 或其延长线上有点塞瓦（Ceva ）定理（塞瓦点）△ABC 的三边 BC CA AB 上有点 P 、Q R ,贝U AP 、BQ CR 共点的充要条件是 托勒密（Ptolemy ）定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松（Simson ）定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接 圆上。
例题:PA 1设AD是MBC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。
求证：AE 2AFED。
AE DC RF【分析】CEF截△ARCH — .— .— =1 （梅氏定理）ED CR FA【评注】也可以添加辅助线证明：过A、R、D之一作CF的平行线。
2、过△ARC的重心G的直线分别交AB AC于E、F,交CR于D。
RE CF=1。
求证：EA FADEG截A ARM H REEAAGGMMDDR（梅氏定理）DGF截△ACM H =1 (梅氏定理)FA GM DCRE CF=GM (DR DC)=GM2MDEA FA AG MD 2GM MD【评注】梅氏定理3、D E、F分别在A ARC的RC CA AR边上,RD AFDC FRCEEAAD RE、CF交成△ LMN 求S A LM N O【分析】【评注】梅氏定理4、以A ARC各边为底边向外作相似的等腰A RCE A CAF A ARG 求证：AE、RF、CG相交【分析】连结并延长AG交RC于M,则M为RC的中点。
FLEM N【评注】塞瓦定理5、已知△ABC 中，/ B=2/ G 求证：AC^AB+ABBCo【分析】过A 作BC 的平行线交△ABC 的外接圆于D,连结BD 贝 U CD=DA=AB AC=BD由托勒密定理，AC BD=ADBC+CDAB【评注】托勒密定理求证：1 1 1A !A 2=A !A 3 A !A 4。
托勒密定理及西姆松定理
§4托勒密定理与西姆松定理托勒密（∕Vo∕e/切定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）.即：定理：在四边形ABCZ）中，有：AB CD + AD BC≥AC BD 证：在四边^ABCD内取点E, ^ZBAE = ZCAD, ZABE = ZACD4 R RF贝Ij: AABE和AACD相似 A-一 =——=>AB∙CD = AC BEAC CDΛD ΛJ7乂•••——=-一HZBΛC = ZEAD :. SABC和ΔAED相似AC ADBC ED——=——GADBC = ACEDAC ADAB CD +AD BC = AC （BE+ ED）・・・AB∙CD + ADBC≥ACBD且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当久B、G D四点共圆时成立; 并且当且仅当四边形ABCM接于圆时，等式成立；一、直接应用托勒密定理例1、如图2, P是正AABC外接圆的劣弧EC上任一点（不与B、C重合），求证：PA二PB+ PC.分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗.B若借助托勒密定理论证，则有PA ∙ BC二PB ∙ AC + PC ∙AB, T AB=BC=AC..∙.PA=PB+PC.二、完善图形借助托勒密定理例2、证明“勾股定理”：在RtΔABC中，ZB=900 ,求证：AC2=AB2+BC2证明：如图，作以RtΔABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD是圆内接四边形.由托勒密定理有AC ∙ BD=AB ∙ CD+ AD ∙ BC.①又-/ABCD 是矩形，.∙.AB二CD, AD=BC J AC=BD. ②把②代人①，得AC2=AB2+BC2.例3、如图，在AABC中，上A的平分线交外接圆于D,连结BD, 求证：AD ∙ BC=BD(AB+ AC).证明：连结CD5依托勒密定理有AD ・BC = AB ∙ CD+ AC ∙ BD.•/Z 1 = Z2, .∙. BD=CD.FC故AD ∙ BC=AB ・BD + AC ∙ BD=BD(AB + AC).三、构造图形借助托勒密定理例 4 若 o 、b 、x 、y 是实数，且 α2 + b 2=l, x 2 + y 2=l.求证：ax + by≤ 1. 证明:如图作直径AB 二1的圆,在AB 两边任作RtΔACB 和RtAADB,使AC = O,BC 二b,BD = x, AD = y.由勾股定理知。
各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)
托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：(a − b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK =∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。
西摩松定理
• 例：
设ABC的三条垂线AD, BE, CF交对边分别为 D、E、F，从点D作AB、BE、CF、AC的垂线， 其垂足分别为 、Q、R、S . P 求证：在P、Q、R、S同一直线上 A F P 0 E Q R S B C D
E
P
● E′
●
A
F
B D
C
• ②西摩松定理的重要性。沟通了四点共 圆和三点共线之间的联系。
西摩松（Simson）定理
• 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任 意一点作三边的垂线，则三垂足共线
思考： 西摩松定理 的逆命题是 否成立？
逆命题 • 过三角形外的任意一点（异于三角形顶点） 作三边（或其延长线）的垂线，若三垂足 共线，则该点在三角形的外接圆上。
已知：P为ABC外接圆上任意一点，
E A F B D
P D, E, F为P在BC, CA, AB边上的射影， ●
则 D, E, F三点共线 .
C
分析：
要证 : D、E、F三点共线
只需证明BFD AFE
P ●
2
E
1
A
F
B D
C
说明：
• ①定理的证明方法不唯一。
连结DF , 延长交AC于E 证明E和E 重合
已知：若从一点 向ABC的三边作垂线， P 垂足为D, E, F，此三点在同一条直线 上， E P 则 P在ABC的外接圆上 . 1
● 2
A
F B D
C
结论：
三角形外一点在三角形外接圆上的充 要条件是该点在三边所在直线上的射 影共线。 由此可知，该结论的必要性即为西摩松定 理，充分性即为西摩松定理的逆定理
西摩松（Simson）定理
广义托勒密定理
广义托勒密定理什么是托勒密定理？——托勒密定理是一个数学定理，它是由古希腊数学家托勒密在其著名的《几何》中于三世纪公元前三世纪提出的。
——这个定理说：若一个多边形的三角形的边都相等，并且其内外的角都相等，就能被分解成六边形。
这三个三角形，分别为托勒密三角形、正射形和平行三角形。
托勒密定理被称为是数学界最古老、最具权威的定理之一，它也是建立在苏美尔定理之上的。
众所周知，苏美尔定理是描述两个直径的圆在赤道上的关系的一项定理，并且只有当两个直径的圆的圆心角等于360°时，这两个圆才能完全重叠。
而托勒密定理则需要更加深入地探究，它主要是讲解三角形的边和角之间的关系，以及其在圆的关系。
它引申出的概念是多边形，也就是说用三角形可以分解成六边形，六边形可以再分解到更多的边和角，并且最终可以分解到矩形。
根据托勒密定理所使用的几何定义，广义托勒密定理认为，只要一个多边形的所有边都相等，并且其内外角度相等，它就可以被分解成多边形。
这一定理也被称为“多边形性质法则”。
在三角形中，由于边和角的角度已经确定，它们就可以分解成正射形和平行三角形的六边形。
同样的原则也适用于其他多边形，只要它们的边都相等，并且其内外角度相等，它们就可以分解成六边形。
此外，根据托勒密定理，当一个多边形内角度之和等于其外角度之和时，该多边形所有内角之和等于其所有外角度之和。
也就是说，任何一个多边形，始终可以通过这种方式将其内外角度相加，并得到360°的结果。
广义托勒密定理可以用在很多不同的领域，它也是许多几何形式的基础，如正方形、三角形、六边形等等，它们都可以由广义托勒密定理来解释。
托勒密定理也可以应用在几何图形的生成上，人们可以根据这一定理来重建多边形，或者用它证明多边形的边和角度，甚至可以根据定理来求解相关的问题。
托勒密定理是一个相当重要的定理，它帮助人们理解三角形，以及多边形的构成，是建立数学几何理论的重要部分，也是许多数学问题的基础。
托勒密定理及圆的其它定理
托勒密定理及圆的其它定理托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理提出定理的内容。
摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理内容指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
）在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式： (a−b)(c−d) + (a−d)(b−c) = (a−c)(b −d) ，两边取模，运用三角不等式得。
托勒密定理及圆的其它定理
托勒密定理及圆的其它定理托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理提出定理的内容。
摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理内容指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
）在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式： (a−b)(c−d) + (a−d)(b−c) = (a−c)(b −d) ，两边取模，运用三角不等式得。
托勒密不等式定理
托勒密不等式定理1. 引言托勒密不等式定理是对于任意四边形的一个重要性质，它描述了四边形的边长和对角线之间的关系。
这个定理是古希腊数学家托勒密在其著作《大地测量学》中首次提出，并被广泛应用于几何学、三角学以及物理学等学科中。
2. 定理表述对于任意四边形ABCD，其边长分别为a、b、c、d，对角线AC、BD的长度分别为e、f，则有如下不等式成立：e^2 >= (a-c)^2 + (b-d)^2此式即为托勒密不等式定理的表述。
3. 证明过程为了证明这一定理，我们需要从几何的角度出发，使用一些三角学的基本知识和定理。
3.1 三角形余弦定理首先，我们来回顾一下三角形余弦定理。
对于一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对角线夹角为θ，余弦定理表述如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosθ这个定理指明，通过已知的三边长度和夹角，可以计算出对应的一条边的长度。
3.2 应用三角形余弦定理证明托勒密不等式定理现在，我们将三角形余弦定理应用到四边形ABCD上，如下图所示：根据余弦定理，我们可以得到以下等式：AC^2 = b^2 + c^2 - 2bcCosθBD^2 = a^2 + d^2 - 2adCos(180°-θ) = a^2 + d^2 + 2adCosθ根据托勒密不等式定理的定义，我们希望证明AC^2 >= (a-c)^2 + (b-d)2。
首先，我们将AC2和BD^2代入上述不等式中，得到：b^2 + c^2 - 2bcCosθ >= (a-c)^2 + (b-d)^2化简后得到：b^2 + c^2 + d^2 - 2bcCosθ >= a^2 + c^2 + 2acCosθ + b^2 + d^2 -2bdCosθ - 2(a-c)(b-d)再进一步化简，得到：2acCosθ + 2bdCosθ >= 2bcCosθ + 2(a-c)(b-d)最后，将等号两边都除以2，并且根据余弦定理中的Cosθ = (a^2 + b^2 -c^2)/(2ab)和Cosθ = (d^2 + b^2 - c^2)/(2db)，我们得到：ac(a^2 + b^2 - c^2) + db(d^2 + b^2 - c^2) >= bc(b^2 + c^2 - a^2) + (a-c)(b-d)再进一步整理，得到：a^3c + b^3d + c^3a + d^3b >= a^2bc + ab^2c + abcd + b^2cd这就是我们要证明的托勒密不等式定理。
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第十四讲托勒密定理和西姆松定理（一）
托勒密定理：圆内接四边形两条对角线乘积等于对边乘积之和．
逆定理：一个凸四边形的两组对边乘积的和等于其对角线的乘积，那么该四边形内接于一个圆（或者说该四边形的四个顶点共圆）
广义定理：对于一般的四边形ABCD，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD，当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．
【例1】（1）证明托勒密定理及其逆定理．
①四边形ABCD内接于圆，求证：AC·BD=AD·BC+AB·CD
②四边形ABCD满足，AC·BD=AD·BC+AB·CD，求证：四边形ABCD是圆内接四边形．
（2）如图，已知P为正△ABC外接圆»BC上一点.
求证：P A=PB+PC．
（3）等腰梯形一条对角线的平方，等于一腰的平方加上两底之积．已知梯形ABCD，AD=BC，AB∥CD．
求证：BD2=BC2+AB·CD．
【例2】（1）在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1:2:4．
求证：
111 AB AC BC
+=.
（2）如图，已知圆的内接正五边形ABCDE，P为»BC上的一点，则P A+PD+PB=PE+PC．
（3）若a、b、x、y是正实数，且a2+b2=1，x2+y2=1.
求证：ab+by≤1.
【例3】（1）凸四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD=∠BCD=90°，AB=2，CD=1，对角线AC、BD交于点O，如图，求sin∠AOB．
（2）由△ABC外接圆的弧BC上一点分别向边BC、AC与AB作垂线PK、PL、PM．
求证：BC AC AB PK PL PM
=+．。