中考与圆有关的习题(2012)

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中考数学总复习《圆的综合题》练习题(附答案)

中考数学总复习《圆的综合题》练习题（附答案）班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．在平面直角坐标系xOy中以点(3,4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离2．如图，在平面直角坐标系xOy中以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为()A．22B．24C．10√5D．12√33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DCB等于（）A．90°B．100°C．130°D．140°4．如图，在正五边形ABCDE中连接AD，则∠DAE的度数为（）A．46°B．56°C．36°D．26°5．如图，PA、PB为∠O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交∠O 于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A，B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线6．如图，四边形ABCD内接于半径为6的∠O中连接AC，若AB＝CD，∠ACB＝45°，∠ACD＝12∠BAC，则BC的长度为（）A．6 √3B．6 √2C．9 √3D．9 √27．如图，点A，B，D，C是∠O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°，∠AOC=90°，则∠E的度数为()A．30°B．35°C．45°D．55°8．∠ABC中∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点E，D，则AE的长为()A．95B．125C．185D．3659．如图，AB为∠O的直径，点C在∠O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30°10．两个圆的半径分别是2cm和7cm，圆心距是5cm，则这两个圆的位置关系是() A．外离B．内切C．相交D．外切11．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是()A．B．C．D．12．一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π二、填空题13．在Rt∠ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，求内切圆半径14．如图，∠C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则∠C的半径为．15．一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为.16．一个半径为5cm的球形容器内装有水，若水面所在圆的直径为8cm，则容器内水的高度为cm.17．如图，在直角坐标系中以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，已知P（4，2）和A（2，0），则点B的坐标是．18．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作法：如图①作射线AB；②在射线AB取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；③以C为圆心，OC C为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．则∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三、综合题19．如图，在△ABC中AC=BC=BD，点O在AC边上，OC为⊙O的半径，AB是⊙O 的切线，切点为点D，OC=2，OA=2√2．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求阴影部分的面积．20．如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG=∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．（1）求证：直线BG与⊙O相切；（2）若BEOD=54，求EFAC的值．21．如图，四边形ABCD 内接于∠O，BD是∠O的直径，过点A作∠O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE∠CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求∠O的半径．22．如图，∠O是∠ABC的外接圆，BC为∠O的直径，点E为∠ABC的内心，连接AE并延长交∠O 于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为∠O的切线．23．公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因“亵渎神灵罪”而被投人监狱，在狱中他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣．他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大，于是伟大的古希腊尺规作图几何三大问题之--的化圆为方问题诞生了：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积（1）设有一个半径为√3的圆，则这个圆的周长为，面积为，作化圆为方得到的正方形的边长为(计算结果保留π)（2）由于对尺规作图的限制(只能有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图)，包括化圆为方在内的几何三大问题都已被证明是不可能的．但若不受标尺的限制，化圆为方并非难事。

中考圆练习题及答案

中考圆练习题及答案一、选择题1. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么直线与圆的位置关系是什么？A. 直线与圆相交B. 直线与圆相切B. 直线与圆相离D. 无法确定答案：A2. 圆的圆心在点A(-3, -4)，半径为6，求点B(1, 2)到圆心的距离。

A. 5B. 10C. 15D. 20答案：B3. 圆的方程为(x-3)² + (y-4)² = 16，点P(1, 5)是否在圆内？A. 是B. 否答案：A4. 已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为2，两圆的位置关系是什么？A. 两圆外切B. 两圆内切C. 两圆相交D. 两圆相离答案：B5. 已知圆的方程为x² + y² = 25，求圆的圆心坐标。

A. (0, 0)B. (5, 0)C. (0, 5)D. (5, 5)答案：A二、填空题6. 圆的半径为7，圆心坐标为(1, 1)，圆上一点P的坐标为(a, b)，则a² + b² = _______。

答案：507. 已知圆的方程为(x-2)² + (y-3)² = 9，求圆的直径。

答案：68. 若圆的半径为4，圆心到直线3x + 4y - 5 = 0的距离为2，则直线与圆的位置关系是________。

答案：相离9. 圆的方程为x² + y² - 6x - 8y + 9 = 0，求圆心坐标。

答案：(3, 4)10. 已知点A(-2, 3)和点B(4, -1)，求以线段AB为直径的圆的圆心坐标。

答案：(1, 1)三、解答题11. 已知圆的方程为x² + y² - 10x - 6y + 25 = 0，求圆的圆心和半径。

解答：首先将圆的方程化为标准形式，即(x-5)² + (y-3)² = 4。

由此可知，圆心坐标为(5, 3)，半径为2。

12. 已知点P(2, -1)在圆x² + y² = 9上，求过点P的最短弦所在直线的方程。

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图△ABC内接于⊙O AB、CD是⊙O的直径E是DA长线上一点且∠CED=∠CAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；求线段CE的长．(2)若DE=3√5tanB=122．如图在△ABC中AB=AC以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC 垂足为E延长CA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；⊙O的半径为5 求线段CF的长．(2)若tanB=123．如图△ABC内接于⊙O直径DE⊙AB于点F交BC于点M DE的延长线与AC的延长线交于点N连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊙BM DE＝8 ⊙N＝15° 求BC的长．4．如图△ABC内接于⊙O AB是⊙O的直径D是⊙O上的一点CO平分∠BCD CE⊥AD垂足为E AB与CD相交于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；时求CE的长．(2)当⊙O的半径为5sinB=355．如图1 锐角△ABC内接于⊙O⊙BAC=60°若⊙O的半径为2√3．(1)求BC的长度；(2)如图2 过点A作AH⊙BC于点H若AB+AC=12 求AH的长度．6．如图AB是⊙O的直径M是OA的中点弦CD⊥AB于点M过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD则∠AOD=_______；(2)求证：DE 与⊙O 相切；(3)点F 在BC ⏜上 ∠CDF =45° DF 交AB 于点N ．若DE =6 求FN 的长．7．如图 AB 是⊙O 的直径点C 为⊙O 上一点 OF ⊥BC 垂足为F 交⊙O 于点E AE 与BC 交于点H 点D 为OE 的延长线上一点且∠ODB =∠AEC ．(1)求证：BD 是⊙O 的切线(2)求证：CE 2=EH ⋅EA(3)若⊙O 的半径为52 sinA =35 求BH 和DF 的长． 8．如图在⊙ABC 中 ⊙C=90° 点O 在AC 上以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D BD 的垂直平分线交BC 于点E 交BD 于点F 连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线（2）若AB=5 BC=4 OA=1 求线段DE 的长．9．如图 AB 是⊙O 的直径弦CD 与AB 交于点E 过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P 连接OC CB ．(1)求证：AE ·EB =CE ·ED(2)若⊙O 的半径为 3 OE =2BE CE DE =95 求tan∠OBC 的值及DP 的长．10．如图菱形ABCD中AB=4以AB为直径作⊙O交AC于点E过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线(2)连接OF若∠BAD=60°求OF的长．(3)在（2）的条件下若点G是⊙O上的一个动点则线段CG的取值范围是什么？11．如图点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A B两点重合）点D是弧AC的中点DE⊥AB于点E连接AC交DE于点F连接OF过点D作半圆O的切线DP 交BA的延长线于点P．(1)求证：AC∥DP(2)求证：AC=2DE的值．(3)连接CE CP若AE⊙EO=1⊙2求CECP12．如图1 AB为⊙O直径CB与⊙O相切于点B D为⊙O上一点连接AD OC若AD//OC．（1）求证：CD为⊙O的切线（2）如图2 过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E连接BD交OC于点F若AB=3AE=12求BF的长．13．已知：如图在⊙O中∠PAD=∠AEP AF=CF AB是⊙O的直径CD⊥AB于点G．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若AG=4tan∠DAG=2求△ADE的面积．(3)在（2）的条件下求DQ的长．14．如图已知AB是⊙O的直径点E是⊙O上异于A B的点点F是弧EB的中点连接AE AF BF过点F作FC⊙AE交AE的延长线于点C交AB的延长线于点D⊙ADC的平分线DG交AF于点G交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)求sin⊙FHG的值(3)若GH＝4√2HB＝2 求⊙O的直径．15．如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直垂足为E且AB=CD．(1)求证：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F OG⊥AB于G问四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．(3)若CE=1，DE=3求⊙O的半径．16．【问题提出】如图1 △ABC为⊙O内接三角形已知BC=a圆的半径为R 探究a R sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2 若∠A为锐角连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D在△DBC中BD为⊙O的直径BC=a所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a R sin∠D的关系为________________．所以在⊙O内接三角形△ABC中a R sin∠A之间的关系为________________．类比锐角求法当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中∠B=60°,AC=4则△ABC外接圆的面积为________．17．已知AB为⊙O的直径PA PC是⊙O的的切线切点分别为A C过点C作CD//AB交⊙O于D．（1）如图当P D O共线时若半径为r求证CD=r（2）如图当P D O不共线时若DE=2CE=8求tan∠POA．18．如图1 已知矩形ABCD中AB=2√3AD=3 点E为射线BC上一点连接DE以DE为直径作⊙O（1）如图2 当BE=1时求证：AB是⊙O的切线（2）如图3 当点E为BC的中点时连接AE交⊙O于点F连接CF求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值若不存在请说明理由．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形直径AC与对角线BD相交于点E作CH⊥BD于H CH与过A点的直线相交于点F∠FAD=∠ABD.（1）求证：AF为⊙O的切线（2）若BD平分∠ABC求证：DA=DC（3）在（2）的条件下N为AF的中点连接EN若∠AED+∠AEN=135°⊙O 的半径为2√2求EN的长.20．如图1 直线l1⊥l2于点M以l1上的点O为圆心画圆交l1于点A B交l2于点C D OM＝4 CD＝6 点E为弧AD上的动点CE交AB于点F AG⊙CE 于点G连接DG AC AD．（1）求⊙O的半径长（2）若⊙CAD＝40° 求劣弧弧AD的长（3）如图2 连接DE是否存在常数k使CE−DE=k·EG成立？若存在请求出k的值若不存在请说明理由（4）若DG⊙AB则DG的长为（5）当点G在AD的右侧时请直接写出⊙ADG面积的最大值．参考答案1．（1）证明：⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙∠CAB+∠B=90°⊙∠CED=∠CAB∠B=∠D⊙∠CED+∠D=90°⊙∠DCE=∠ACB=90°⊙CD⊥CE⊙CD是⊙O的直径即OC是⊙O半径⊙CE是⊙O的切线（2）由（1）知CD⊥CE在Rt△ABC和Rt△DEC中⊙∠B=∠D tanB=12⊙tan∠B=tan∠D=CECD =12⊙CD=2CE在Rt△CDE中CD2+CE2=DE2DE=3√5⊙(2CE)2+CE2=(3√5)2解得CE=3（负值舍去）即线段CE的长为3．2．解：（1）⊙OB=OD⊙∠ABC=∠ODB⊙AB=AC⊙∠ABC=∠ACB⊙∠ODB=∠ACB⊙OD∥AC⊙DE⊥AC OD是半径⊙DE⊥OD⊙DE是⊙O的切线．（2）连接BF AD⊙⊙O的半径为5 AB为直径⊙AB=10∠ADB=90°∠BFC=90°⊙tanB=1设AD=x则BD=2x2在Rt△ABD中由勾股定理得：AD2+BD2=AB2即x2+(2x)2=102解得：x=2√5或x=−2√5（舍去）⊙BD=2x=4√5⊙AB=AC∠ADB=90°⊙BD=CD⊙BC=2BD=8√5由（1）知OD∥AC⊙∠ODB=∠C⊙OB=OD⊙∠B=∠ODB=∠C⊙tanC=tanB=1即CF=2BF2在Rt△BCF中BF2+CF2=BC2即BF2+(2BF)2=(8√5)2解得BF=8或BF=−8（舍去）⊙CF=2BF=16．3．（1）证明：⊙直径DE⊙AB于点F⊙AF＝BF⊙AM＝BM（2）连接AO BO如图由（1）可得AM＝BM⊙AM⊙BM⊙⊙MAF＝⊙MBF＝45°⊙⊙CMN＝⊙BMF＝45°⊙AO＝BO DE⊙AB∠AOB⊙⊙AOF＝⊙BOF＝12⊙⊙N＝15°⊙⊙ACM＝⊙CMN+⊙N＝60° 即⊙ACB＝60°∠AOB．⊙⊙ACB＝12⊙⊙AOF＝⊙ACB＝60°．⊙DE＝8⊙AO＝4．得AF＝2√3在Rt⊙AOF中由sin∠AOF=AFAO在Rt⊙AMF中AM＝√2AF＝2√6．得BM= AM＝2√6得CM＝2√2在Rt⊙ACM中由tan∠ACM=AMCM⊙BC＝CM+BM＝2√2+2√6．4．（1）证明：⊙弧AC=弧AC⊙∠ADC=∠B．⊙OB=OC⊙∠B=∠OCB．⊙CO平分∠BCD⊙∠OCB=∠OCD⊙∠ADC=∠OCD．⊙CE⊥AD⊙∠ADC+∠ECD=90°⊙∠OCD+∠ECD=90°即CE⊥OC．⊙OC为⊙O的半径⊙CE是⊙O的切线．（2）连接OD得OD=OC⊙∠ODC=∠OCD．⊙∠OCD=∠OCB=∠B⊙∠ODC=∠B⊙CO=CO⊙△OCD≌△OCB⊙CD=CB．⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙AC=AB⋅sinB=10×35=6⊙CB=√AB2−AC2=√102−62=8⊙CD=8⊙CE=CD⋅sin∠ADC=CD⋅sinB=8×35=245．5．解：（1）连接OB OC过点O作OD⊙BC于点D⊙BD =CD =12BC⊙⊙A =60°⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =⊙OCB =180°−∠BOC2=30°⊙OB =2√3⊙BD =OB •cos30°=2√3×√32=3⊙BC =2BD =6．（2）设点G 为此三角形ABC 内切圆的圆心（角平分线的交点）过G 分别向ABAC BC 作垂线GM GN GQ⊙GM =GN =GQ CQ =CN BQ =BM AM =AN⊙AM +AN =AB +AC -BC =6⊙AM =AN =3．在Rt △AGM 中⊙⊙GAM =30°⊙GM =√3⊙S △ABC =12BC •AH =S △ABG +S △BCG +S △ACG=12AB •GM +12BC •GQ +12AC •GN=12GM（AB+AC+CB）=9√3∵BC=6, S△ABC=12BC•AH⊙AH=3√3．6．（1）解：如图1 连接OD AD⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙AB垂直平分CD⊙M是OA的中点⊙OM=12OA=12OD⊙cos∠DOM=OMOD =12⊙∠DOM=60°即∠AOD=60°故答案为：60°（2）解：⊙CD⊥AB AB是⊙O的直径⊙CM=MD⊙M是OA的中点⊙AM=MO又⊙∠AMC=∠DMO⊙△AMC≌△OMD⊙∠ACM=∠ODM⊙CA∥OD⊙DE⊥CA⊙∠E=90°⊙∠ODE=180°−∠E=90°⊙DE⊥OD⊙DE与⊙O相切（3）如图2 连接CF CN⊙OA⊥CD于M⊙M是CD中点⊙NC=ND⊙∠CDF=45°⊙∠NCD=∠NDC=45°⊙∠CND=90°⊙∠CNF=90°由（1）可知∠AOD=60°∠AOD=30°⊙∠ACD=12在Rt△CDE中∠E=90°∠ECD=30°DE=6=12⊙CD=DEsin30°在Rt△CND中∠CND=90°∠CDN=45°CD=12⊙CN=CD•sin45°=6√2⊙∠AOD=60°，OA=OD⊙△OAD是等边三角形⊙∠OAD=60°∠CAD=2∠OAD=120°⊙∠CFD=180°−∠CAD=60°在Rt△CNF中∠CNF=90°∠CFN=60°CN=6√2 =2√6．⊙FN=CNtan60°7．（1）证明：如图1所示⊙∠ODB=∠AEC∠AEC=∠ABC⊙∠ODB=∠ABC⊙OF⊥BC⊙∠BFD=90°⊙∠ODB+∠DBF=90°⊙∠ABC+∠DBF=90°即∠OBD=90°⊙BD⊥OB⊙AB是⊙O的直径⊙BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC如图2所示⊙OF⊥BC⊙弧BE=弧CE⊙∠CAE=∠ECB⊙∠CEA=∠HEC⊙△AEC ∽△CEH⊙CE EH =EACE⊙CE 2=EH ⋅EA（3）解：连接BE 如图3所示⊙AB 是⊙O 的直径⊙∠AEB =90°⊙⊙O 的半径为52 sin∠BAE =35 ⊙AB =5 BE =AB ⋅sin∠BAE =5×35=3 ⊙EA =√AB 2−BE 2=4⊙弧BE =弧CE⊙BE =CE =3⊙CE 2=EH ⋅EA⊙EH =94⊙在Rt △BEH 中 BH =√BE 2+EH 2=√32+(94)2=154 ⊙∠A =∠C⊙sinC =sinA⊙OF ⊥BC 垂足为F⊙在Rt △CFE 中 FE =CE ⋅sinC =3×35=95 ⊙CF =√CE 2−EF 2=√32−(95)2=125 ⊙BF =CF =125⊙OF =√BO 2−BF 2=√(52)2−(125)2=710 ⊙∠ODB =∠ABC⊙tan∠ODB =tan∠ABC⊙BFDF =OFBF⊙BF 2=OF ⋅DF⊙(125)2=710DF ⊙DF =28835．8．解：（1）连接OD 如图⊙EF 垂直平分BD⊙ED=EB⊙⊙EDB=⊙B⊙OA=OD⊙⊙A=⊙ODA⊙⊙A+⊙B=90°⊙⊙ODA+⊙EDB=90°⊙⊙ODE=90°⊙OD⊙DE⊙直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH⊙AD 于H 如图则AH=DH 在Rt △OAB 中 sinA=BC AB =45在Rt △OAH 中 sinA=OH OA =45⊙OH=45⊙AH=√12−(45)2=35⊙AD=2AH=65 ⊙BD=5﹣65=195⊙BF=12BD=1910在Rt⊙ABC 中 cosB=45 在Rt⊙BEF 中 cosB=BF BE =45⊙BE=54×1910=198 ⊙线段DE 的长为198．9．(（1）证明：连接AD∵∠A =∠BCD ∠AED =∠CEB ∴ΔAED ∽ΔCEB∴ AECE =EDEB∴AE ·EB =CE ·ED（2）解：∵⊙O 的半径为 3 ∴OA =OB =OC =3∵OE =2BE∴OE =2 BE =1 AE =5 ∵ CEDE =95 ∴设CE =9x DE =5x∵AE ·EB =CE ·ED∴5×1=9x ·5x解得：x 1=13 x 2=−13（不合题意舍去） ∴CE =9x =3 DE =5x =53 过点C 作CF ⊥AB 于F∵OC =CE =3∴OF =EF =12OE =1∴BF =2在RtΔOCF中∵∠CFO=90°∴CF2+OF2=OC2∴CF=2√2在RtΔCFB中∵∠CFB=90°∴tan∠OBC=CFBF =2√22=√2∵CF⊥AB于F∴∠CFB=90°∵BP是⊙O的切线AB是⊙O的直径∴∠EBP=90°∴∠CFB=∠EBP在ΔCFE和ΔPBE中{∠CFB=∠PBE EF=BE ∠FEC=∠BEP∴ΔCFE≅ΔPBE(ASA)∴EP=CE=3∴DP=EP−ED=3−53=43．10．:解：（1）证明：如图连接OE．⊙四边形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA∴∠CAD=∠OEA∴OE∥AD∵EF⊥AD∴OE⊥EF又⊙OE是⊙O的半径⊙EF是⊙O的切线．（2）解：如图连接BE．⊙AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°在Rt△ABE中AE=AB·cos30°=2√3在Rt△AEF中EF=AE·sin30°=√3AB=2在Rt△OEF中OE=12⊙OF=√OE2+EF2=√4+3=√7．（3）解：如图过点C作CM垂直AB交AB延长线于点M由（2）知∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60°∴AB=BC=4，BM=2，CM=2√3∴AM=6，OM=6−2=4．⊙OC=√OM2+CM2=√42+(2√3)2=2√7⊙CG近=2√7−2CE远=2√7+2⊙线段CG的取值范围是：2√7−2≤CG≤2√7+211．（1）证明：连接OD∵D为弧AC的中点∴OD⊥AC又∵DP为⊙O的切线∴OD⊥DP∴AC∥DP（2）证明：∵DE⊥AB∴∠DEO=90°由（1）可知OD⊥AC设垂足为点M∴∠OMA=90°∴∠DEO=∠OMA AC=2AM又∵∠DOE=∠AOM OD=OA∴△ODE≌△OAM(AAS)∴DE=AM∴AC=2AM=2DE（3）解：连接OD OC CE CP∵∠ODP=∠OED=90°∠DOE=∠DOP ∴△DOE∽△POD∴ODOP =OEOD∴OD2=OE⋅OP ∵OC=OD∴OC2=OE⋅OP∴OCOE =OPOC又∵∠COE=∠POC ∴△COE∽△POC∴CECP =OEOC∵AE:EO=1:2∴OEOA =23∴OEOC =23∴CECP =23．12．解：（1）连接OD⊙CB与⊙O相切于点B⊙OB⊥BC⊙AD//OC⊙∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC⊙OA=OD⊙∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC⊙△DOC≌△BOC(SAS)⊙∠ODC=∠OBC=90°⊙OD⊥DC又OD为⊙O半径⊙CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x⊙AE⊥EB⊙AE为⊙O的切线⊙CD CB为⊙O的切线⊙ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO⊙BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M则EM=12,CM=x−4⊙(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9⊙CB=9⊙OC=√62+92=3√13⊙AB是直径且AD⊙OC⊙⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又⊙⊙COB=⊙BOF⊙⊙OBF⊙⊙OCB⊙OB BF =OCBC⊙BF=OB⋅BCOC =6×93√13=1813√1313．（1）证明：如图所示连接AC ⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙弧AD=弧AC⊙∠AEP=∠ADC⊙∠PAD=∠AEP⊙∠PAD=∠ADC⊙AP∥CD⊙AP⊥AB⊙AB是⊙O的直径⊙AP是⊙O的切线（2）解：如图所示连接BD⊙AF=CF⊙∠FAC=∠FCA⊙弧CE=弧AD⊙弧AD=弧AC⊙弧AD=弧AC=弧CE⊙∠ADG=∠QDG⊙AB⊥CD⊙∠AGD=∠QGD=90°又⊙OG=OG⊙△AGD≌△OGD(ASA)⊙QG=AG=4∠DQG=∠DAG=2在Rt△ADG中tan∠DAG=DGAG⊙DG=2AG=8⊙QD=√DG2+QG2=4√5连接OD过点E作EH⊥AB于H设圆O的半径为r则OG=r−4在Rt△ODG中由勾股定理得OD2=OG2+DG2⊙r2=(r−4)2+82解得r=10⊙AB=20⊙BQ=12⊙∠AEQ=∠DBQ，∠EAQ=∠BDQ⊙△AQE∽△DQB⊙QE BQ =AQDQ即QE12=84√5⊙QE=12√55⊙∠EQH=∠DQG=∠DAG⊙在Rt△EQH中tan∠EQH=EHQH=2⊙EH=2QH⊙EH2+QH2=QE2⊙4QH2+QH2=1445⊙QH=125⊙EH=245⊙S△ADE=S△ADQ+S△AEQ=12AQ⋅DG+12AQ⋅EH=12×8×8+12×8×245=70.4．（3）解：由（2）得DQ=4√5．14．（1）证明：连接OF．⊙OA＝OF⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙EF̂=FB̂,⊙⊙CAF＝⊙F AB⊙⊙CAF＝⊙AFO⊙OF∥AC⊙AC⊙CD⊙OF⊙CD⊙OF是半径⊙CD是⊙O的切线．（2）⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90°⊙OF⊙CD⊙⊙OFD＝⊙AFB＝90°⊙⊙AFO＝⊙DFB⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙⊙DFB＝⊙OAF⊙GD平分⊙ADF⊙⊙ADG＝⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙OAF+⊙ADG⊙FHG＝⊙DFB+⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙FHG＝45°⊙sin⊙FHG=sin45°=√22（3）解：过点H作HM⊙DF于点M HN⊙AD于点N．⊙HD平分⊙ADF⊙HM＝HNS△DHF⊙S△DHB= FH⊙HB=DF ⊙DB⊙⊙FGH是等腰直角三角形GH＝4√2⊙FH＝FG＝4⊙DF DB =42=2设DB＝k DF＝2k⊙⊙FDB＝⊙ADF⊙DFB＝⊙DAF ⊙⊙DFB⊙⊙DAF⊙DF2＝DB•DA⊙AD＝4k⊙GD平分⊙ADF⊙FG AG =DFAD=12⊙AG＝8⊙⊙AFB＝90° AF＝12 FB＝6∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5⊙⊙O的直径为6√515．（1）证明：⊙AB=CD⊙弧AB=弧CD⊙弧AB−弧BC=弧CD−弧BC即弧AC=弧BD⊙AC=BD（2）解：四边形OFEG是正方形.理由如下：⊙AB⊥CD OF⊥CD OG⊥AB⊙∠AED=∠OGE=∠OFE=90°⊙四边形OFEG是矩形．如图连接OA OD．⊙OF⊥CD OG⊥AB⊙CF=DF AG=BG．⊙CD=AB⊙AG=DF．⊙OG=√OA2−AG2OF=√OD2−DF2OA=OD⊙OG=OF⊙四边形OFEG是正方形（3）解：⊙CE=1 DE=3⊙CD=4⊙CF=DF=2⊙EF=CF-CE=2-1=1．⊙四边形OFEG是正方形⊙OF=EF=1．在Rt△OED中OD=√OF2+DF2=√5⊙⊙O的半径为√5．16．:解：【解决问题】如图连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D 在△DBC中⊙BD为⊙O的直径BC=a⊙BD=2R,∠BCD=90°⊙sinD=BCBD =a2R⊙sinA=a2R故答案为：sinD=a2R sinA=a2R【结论应用】解：设△ABC外接圆的半径为R ⊙∠B=60°,AC=4⊙sinB=AC2R⊙√3 2=42R解得：R=43√3⊙△ABC外接圆的面积为π×(43√3)2=163π．故答案为：163π17．（1）证明：连接OC⊙PA PC是⊙O的切线切点分别为A C ⊙PA=PC∠PAO=∠PCO=90°在RtΔPAO和RtΔPCO中{PA=PCPO=PO⊙RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CDO=∠DOA⊙∠CDO=∠COD⊙CD=OC=r（2）解：设OP交CD于E连接OC过O作OH⊥CD于点H由（1）可知RtΔPAO≌RtΔPCO⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CEO=∠EOA⊙∠CEO=∠COE⊙CE=CO=8⊙CD=CE+ED=10⊙OH⊥CD⊙CH=DH=5⊙EH=DH−DE=3在RtΔCHO中⊙OH=√OC2−CH2=√82−52=√39在RtΔOHE中⊙tan∠POA=tan∠HEO=OHEH =√393⊙tan∠POA=√393．18．解：（1）如图过点O作OM⊥AB且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形⊙MN=AD=3⊙O为圆心即O为DE中点⊙N为DC中点即线段ON为△DEC中位线又⊙CE=BC−BE=3−1=2⊙ON=12CE=1⊙OM=MN -ON=3-1=2．在Rt △DEC 中 DE =√CD 2+CE 2=√(2√3)2+22=4． ⊙OD=DE=OM=2．即AB 为⊙O 的切线．（2）设⊙O 与AD 交于点G 连接CG EG DF FG ⊙DE 为直径⊙∠EGD =∠EFD =90°．⊙∠GEC =90°⊙CG 为直径．⊙∠CFG =∠CDG =90°⊙E 为BC 中点⊙G 为AD 中点在Rt △AFD 中 FG 为中线⊙AG=DG=FG在Rt △CFG 和Rt △CDG 中 {FG =DG CG =CG⊙△CFG ≅△CDG(HL)．⊙CF=CD ．（3）如图取AD 中点H 连接CH FH FD ．由（2）可知FH =12AD =32 在Rt △CDH 中 CH =√CD 2+HD 2=√(2√3)2+(32)2=√572 ⊙CF ≥CH −FH =√572−32． ⊙当F 点在CH 上时CF 长有最小值最小值为√572−32．19．解：（1）⊙AC 为⊙O 的直径⊙⊙ADC =90°⊙⊙DAC +⊙DCA =90°．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD =⊙DCA ．⊙⊙F AD =⊙ABD⊙⊙F AD =⊙DCA⊙⊙F AD +⊙DAC =90°⊙CA ⊙AF⊙AF 为⊙O 的切线．（2）连接OD ．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD=1⊙AOD．2⊙弧DC=弧DC⊙DOC．⊙⊙DBC=12⊙BD平分⊙ABC⊙⊙ABD=⊙DBC⊙⊙DOA=⊙DOC⊙DA=DC．（3）连接OD交CF于M作EP⊙AD于P．⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ADC=90°．⊙DA=DC⊙DO⊙AC⊙⊙F AC=⊙DOC=90° AD=DC=√(2√2)2+(2√2)2=4 ⊙⊙DAC=⊙DCA=45° AF⊙OM．⊙AO=OCAF．⊙OM=12⊙⊙ODE+⊙DEO=90° ⊙OCM+⊙DEO=90°⊙⊙ODE=⊙OCM．⊙⊙DOE=⊙COM OD=OC⊙⊙ODE⊙⊙OCM⊙OE=OM．设OM=m⊙OE =m AE =2√2−m AP =PE =2−√22m⊙DP =2+√22m ． ⊙⊙AED +⊙AEN =135° ⊙AED +⊙ADE =135°⊙⊙AEN =⊙ADE ．⊙⊙EAN =⊙DPE⊙⊙EAN ⊙⊙DPE⊙AE DP =AN PE ⊙2√2−m 2+√22m =m2−√22m⊙m =2√23⊙AN =2√23 AE =4√23由勾股定理得：NE =2√103．20．解：（1）连接OD⊙AB 是⊙O 的直径 l 1⊥l 2 CD ＝6⊙CM =DM =12CD =3在Rt △DOM 中 OM ＝4⊙OD=√OM2+CM2=5即⊙O的半径长为5（2）⊙AB是⊙O的直径l1⊥l2⊙弧BC=弧BD⊙∠BAD=∠BAC=12∠CAD=20°⊙∠BOD=2∠BAD=40°⊙∠AOD=180°−∠BOD=140°⊙劣弧弧AD的长为140×π×5180=35π9（3）存在常数k=2理由如下：如图在CG上截取CH=DE连接AH AE⊙AB垂直平分CD⊙AC=AD又⊙⊙ACH=⊙ADE⊙⊙ACH⊙⊙ADE（SAS）⊙AH=AE⊙ AG⊙HE⊙HG=EG⊙CE-DE=2EG⊙k=2（4）⊙DG⊙AB⊙⊙CFM⊙⊙CGD⊙FM DG =CFCG=CMCD=12⊙CF=FG DG=2FM⊙⊙CMF=⊙AGF⊙CFM=⊙AFG ⊙⊙CFM⊙⊙AFG⊙CF AF =FMFG⊙FM×AF=CF×FG=CF2设FM=x则AF=9-x⊙x(9−x)=32+x2解得：x=32或3⊙DG=3或6（5）如图取AC的中点P当PG⊙AD时⊙ADG的面积最大在Rt△AMC中⊙CMA=90° CM=3 AM=OA+OM=5+4=9⊙AD=AC=√CM2+AM2=√32+92=3√10在Rt△AGC中⊙CGA=90° 点P为AC的中点⊙PG=12AC=3√102过点C作CN⊙AD于点N在Rt⊙CDN和Rt⊙ADM中⊙⊙CND=⊙AMD=90° ⊙CDN=⊙ADM ⊙Rt⊙CDN~Rt⊙ADM⊙CN AM =CDAD⊙CN=AM⋅CDAD =9×63√10=9√105设PG交AD于点K ⊙PK⊙AD CN⊙AD ⊙PK⊙CN⊙⊙APK⊙⊙CAN⊙PK CN =APAC=12⊙PK=12CN=9√1010⊙GK=PG−PK=3√102−9√1010=3√105⊙⊙ADG面积的最大值为12AD⋅GK=12×3√10×3√105=9．。

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案圆 (NXPowerLite)

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案圆八、圆 1．（北京模拟）在△ABC 中，分别以AB 、AC 为直径在△ABC 外作半圆O 1和半圆O 2，其中O 1和O 2分别为两个半圆的圆心．F 是边BC 的中点，点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点．（1）如图1，连接O 1F ，O 1D ，DF ，O 2F ，O 2E ，EF ，证明：△DO 1F ≌△FO 2E ；（2）如图2，过点A 分别作半圆O 1和半圆O 2的切线，交BD 的延长线和CE 的延长线于点P 和点Q ，连接PQ ，若∠ACB ＝90°，DB ＝5，CE ＝3，求线段PQ 的长；（3）如图3，过点A 作半圆O 2的切线，交CE 的延长线于点Q ，过点Q 作直线F A 的垂线，交BD 的延长线于点P ，连接P A ．求证：P A 是半圆O 1的切线．（1）证明：∵O 1，O 2，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点 ∴O 1F ∥AC 且O 1F ＝AO 2，O 2F ∥AB 且O 2F ＝AO 1 ∴∠BO 1F ＝∠BAC ，∠CO 2F ＝∠BAC∴∠BO 1F ＝∠CO 2F ∵点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点∴O 1F ＝AO 2＝O 2E ，O 2F ＝AO 1＝O 1D ，∠BO 1D ＝90°，∠CO 2E ＝90°∴∠BO 1D ＝∠∠CO 2E ，∴∠DO 1F ＝∠FO 2E ∴△DO 1F ≌△FO 2E（2）解：延长CA 至G ，使AG ＝AQ ，连接BG 、AE∵点E 是半圆O 2圆弧的中点，∴AE ＝CE ＝3∵AC 为半圆O 2的直径，∴∠AEC ＝90° ∴∠ACE ＝∠CAE ＝45°，AC ＝3 2∵AQ 是半圆O 2的切线，∴CA ⊥AQ ，∴∠CAQ ＝90°∴∠AQE ＝∠ACE ＝45°，∠GAQ ＝90°，∴AQ ＝AC ＝AG ＝3 2 同理：∠BAP =90°，AB =AP ＝5 2 ∴CG ＝62，∠GAB ＝∠QAP ∴△AQP ≌△AGB ，∴PQ ＝BG∵∠ACB ＝90°，∴BC ＝AB 2－AC 2＝4 2∴BG ＝BC 2＋GC 2＝226，∴PQ ＝226（3）设直线F A 与PQ 的垂足为M ，过C 作CG ⊥MF 于G ，过B 作BH ⊥MF 于H ，连接DH 、AD 、DM ∵F 是BC 边的中点，∴S △ABF＝S △ACF，∴BH ＝CG 由（2）知，∠CAQ ＝90°，AC ＝AQ ，∴∠2＋∠3＝90°图1 图2 图3QQ∵FM ⊥PQ ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3 同理：∠2＝∠4∴△AMQ ≌△CGA ，∴AM ＝CG ，∴AM ＝BH 同（2）可证AD ＝BD ，∠ADB ＝∠ADP ＝90° ∴∠ADB ＝∠AHB ＝90°，∠ADP ＝∠AMP ＝90° ∴A 、D 、B 、H 四点在以AB 为直径的圆上 A 、D 、P 、M 四点在以AP 为直径的圆上且∠DBH ＋∠DAH ＝180° ∴∠5＝∠8，∠6＝∠7 ∵∠DAM ＋∠DAH ＝180°，∴∠DBH ＝∠DAM ∴△DBH ≌△DAM ，∴∠5＝∠9 ∴∠HDM ＝90°，∴∠5＋∠7＝90° ∴∠6＋∠8＝90°，∴∠P AB ＝90°，∴P A ⊥AB 又AB 是半圆O 1的直径，∴P A 是半圆O 1的切线2．（上海）如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当BC ＝1时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（3）设BD ＝x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．解：（1）∵OD ⊥BC ，∴BD ＝1 2 BC ＝12在Rt △BOD 中，OD ＝OB 2－BD 2＝152（2）存在，长度保持不变的边为DE 连接AB∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝2 2 ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 是BC 中点，E 是AC 中点∴DE ＝12AB ＝ 2（3）连接OC ，过D 作DF ⊥OE 于F ∵OD ＝2，BD ＝x ，∴OD ＝4－x 2∵OA ＝OB ＝OC ，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∵∠AOB ＝90°，∴∠DOE ＝45°在Rt △DOF 中，DF ＝OF ＝4－x 22在Rt △DFE 中，EF ＝DE 2－DF 2＝2－4－x 2 2＝22xA E C DBAECDO BAECDOBF∴y＝12OE·DF＝12(4－x22＋22x)·4－x22即y＝4－x2＋x4－x24（0＜x＜2）3．（上海模拟）如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cot A＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y．（1）求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当AP＝65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．4．（上海模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M 与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切．（1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，⊙M与CD相切？（3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x 的值；如果不能，请说明理由．解：（1）连接AM 、MN ，设⊙M 与AB 相切于点E ，连接ME ∵⊙N 与⊙M 是等圆，且两圆外切∴在Rt △MNE 中，MN ＝2ME ，∴∠ANM ＝30° ∵AD ∥BC ，∠B ＝60°，∴∠BAD ＝120° ∵⊙M 与∠BAD 的两边相切 ∴∠NAM ＝60°，∴∠AMN ＝90° ∴在Rt △AMN 中AM ＝1 2 AN ＝ 1 2x∴ME ＝AM ·sin60°＝34x 即y ＝34x （x＞0）（2）设⊙M 分别与AD 、CD 相切于点F 、G ，连接MA 、MF 、则MF ＝FD ＝MG ＝y 且AF ＝MF ·cot60°＝33y ＝3 3 ·34 x ＝ 14x ∵AD ＝4，AF ＋FD ＝AD，∴1 4x ＋34x ＝4∴x ＝8(3－1)（3）作NH ⊥BC 于点H若直线CD 被⊙M 所截得的弦与直线BC 被⊙N 所截得的弦的长相等，则弦心距MG ＝NH ①当点N 在线段AB 上时 ∵AB ＝10，∴BN ＝10－x∴FD ＝MG ＝NH ＝BN ·sin60°＝32(10－x) ∵AF ＝1 4 x ，AF ＋FD ＝AD ，∴1 4x ＋32(10－x ∴x ＝104－12311②当点N 在AB 延长线上时则FD ＝MG ＝NH ＝BN ·sin60°＝32(x －10)14x ＋32(x －10)＝4 ∴x ＝104＋12311∴当x ＝104－123 11 或x ＝104＋12311时，直线CD 被⊙M 所截得的弦与直线BC 被⊙N 所截得的弦的长相等5．（上海模拟）已知：半圆O 的半径OA ＝4，P 是OA 延长线上一点，过线段OP 的中点B 作OP 的垂线交半圆O 于点C ，射线PC 交半圆O 于点D ，连接OD ．（1）当AC ︵＝CD ︵时，求弦CD 的长；（2）设P A ＝x ，CD ＝y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）设CD 的中点为E ，射线BE 与射线OD 交于点F ，当DF ＝1时，求tan ∠P 的值．解：（1）连接OC 当AC ︵＝CD ︵时，∠POC ＝∠DOC ∵BC 垂直平分OP ，∴PC ＝OC ＝4 ∴∠P ＝∠POC ＝∠DOC∴△DOC ∽△DPO ，∴DODP＝CDDO即44＋CD＝CD4，解得CD ＝25－2 （2）作OE ⊥CD 于E ，则CE ＝DE ＝12y①当点C 在AD ︵上时 ∵∠PBC ＝∠PEO ＝90°，∠P ＝∠P∴△PBC ∽△PEO ，∴PBPE＝PCPO即x ＋424＋y 2＝4x ＋4，∴y ＝ 1 4x2＋2x －4显然，B 不与A 重合，∴x ＜4当D 与C 重合时，PC 是半圆O 的切线 ∴PC ⊥OC ，∠PCO ＝90°此时△PCO 是等腰直角三角形∴OP ＝2OC ，即x ＋4＝42，x ＝42－4 ∵D 不与C 重合，∴x ＞42－4 ∴42－4＜x ＜4备用图备用图∴y ＝14x2＋2x －4（42－4＜x ＜4）②当点C 在AD ︵外时同理，△PBC ∽△PEO ，∴PBPE＝PCPO即x ＋424－y 2＝4x ＋4，∴y ＝－ 1 4x2－2x ＋4（0＜x ＜42－4）（3）①当点C 在AD ︵上时，过D 作DG ∥OP 交BF 于G 则△DEG ∽△PEB ，△DEF ∽△OBF∴DEPE＝DGPB＝DGOB＝DFOF＝14＋1∴DEPE＝15，即y24＋y 2＝15，解得 y 2＝1∴CE ＝1，PE ＝5，OE ＝4 2－12＝15∴tan ∠P ＝OEPE＝155②当点C 在AD ︵外时，过D 作DG ∥OP 交BE 于G则△DEG ∽△PEB ，△DFG ∽△BFO ∴DEPE＝DGPB＝DGOB＝DFOF＝14－1∴DEPE＝13，即y24－y 2＝13，解得 y 2＝1∴CE ＝1，PE ＝3，OE ＝4 2－12＝15∴tan ∠P ＝OEPE＝1536．（上海模拟）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，sin B ＝35，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边BC 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图2，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．A B C P 图1解：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，sin B ＝35∴AB ＝10，BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8过点M 作MD ⊥AB 于D在Rt △MDB 中，∠MDB ＝90°，∴sin B ＝MD MB＝35∵MB ＝2，∴MD ＝3 5 ×2＝6 5＞1∴⊙M 与直线AB 相离（2）∵MD ＝65＞1＝MP ，∴OM＞MP若OP ＝MP ，易得∠MOB ＝90° ∴cos B ＝OBBM＝BCAB＝8 10 ，∴OB ＝8 5∴OA ＝10－8 5 ＝425若OM ＝OP ，过O 作OE ⊥BC 于E ∴cos B ＝EBOB＝BCAB＝8 10 ，∴OB ＝158∴OA ＝10－15 8 ＝658∴当△OMP 是等腰三角形时，OA 的长为425或658（3）连接ON ，过N 作NF ⊥AB 于F在Rt △NFB 中，∠NFB ＝90°，sin B ＝35，NB ＝y∴NF ＝3 5 y ，BF ＝45 y ，∴OF ＝10－x － 45y∵⊙N 和⊙O 外切，∴ON ＝x ＋y 在Rt △NFB 中，ON 2＝OF 2＋NF 2 ∴(x ＋y )2＝( 10－x － 4 5 y )2＋( 35y)2∴y ＝250－50xx ＋40（0＜x＜5）7．（上海模拟）如图，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ，AC ＝4，∠BOD ＝∠A ，OB 与⊙O 相交于点E ，设OA ＝x ，CD ＝y ．（1）求BD 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当CE ⊥OD 时，求AO 的长．A B DC EO解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODB∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴BDOC＝ODAC∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴BD6＝64，∴BD＝9（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴ABAO＝AOAC∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴y＋13x＝x4∴y＝14x2－13∵0＜y＜8，∴0＜14x2－13＜12，解得213＜x＜10∴定义域为213＜x＜10（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A∴∠AOD＝180º－∠A－∠ODC＝180º－∠COD－∠OCD＝∠ADO∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴14x2－13＋4＝x∴x＝2±210（舍去负值）∴AO＝2±2108．（安徽某校自主招生）如图，△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，且直线AH交BC于F．设D、E、G分别为内切圆I与边BC、CA、AB的切点，求证：（1）AG＝DF；（2）D、H、E三点共线．证明：（1）由题意I为△ABC的内心，所以∠ABH＝∠HBF∵AF⊥BH，∴∠AHB＝∠FHB＝90º又BH＝BH，∴△AHB≌△FHB，∴AB＝BF又由切线长定理，得BG＝BD∴AG＝DF（2）连接DE、EH、AI、EI∵∠AEI＝∠AHI＝90º，∴A、E、H、I四点在以AI为直径的圆上∴∠AEH＝∠AIB∵I为△ABC的内心，∴∠AIB＝90º＋12∠C∴∠AEH＝90º＋12∠CGEIAHFD CBGEIAHFD CBA BDCEO∵CD ＝CE ，∴∠DEC ＝180º－∠C 2 ＝90º－12∠C ∴∠AEH ＋∠DEC ＝180º∴D 、H 、E 三点共线9．（安徽某校自主招生）如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角90°，点B 是MN ︵上一动点，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形；（3）试说明3PQ 2＋OA 2是定值．（1）证明：∵∠AOC ＝90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ∴四边形OABC 是矩形，∴AB ∥OC ，AB ＝OC ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点 ∴AE ∥GC ，AE ＝GC∴四边形AECG 为平行四边形，∴CE ∥AG 连接OB∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点 ∴GF ∥OB ，DE ∥OB ，∴PG ∥EQ ∴四边形EPGQ 是平行四边形（2）当∠CED ＝90°时，□EPGQ 是矩形此时∠AED ＋∠CEB ＝90° 又∵∠DAE ＝∠EBC ＝90°，∴∠AED ＝∠BCE ∴△AED ∽△BCE ，∴ADBE＝AEBC设OA ＝x ，AB ＝y ，则x2y2＝y2x，得y2＝2x2又OA 2＋AB 2＝OB 2，即x2＋y2＝12∴x2＋2x2＝1，解得x ＝33∴当OA 的长为33时，四边形EPGQ 是矩形（3）连接GE 交PQ 于点O ′，则O ′P ＝O ′Q ，O ′G ＝O ′E 过P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B ′、A ′ 由△PCF ∽△PEG 得，PGPF＝PEPC＝GEFC＝2NO MB CGF DA Q E PNOM备用图NOMB C G F DA Q E PN OMBC GF DAQE PNOMB C G F DA QE PB ′ A ′ O ′∴P A ′＝2 3 A ′B ′＝ 1 3 AB ，GA ′＝ 1 3 GE ＝ 13OA∴A ′O ′＝1 2 GE －GA ′＝ 16OA在Rt △P A ′O ′ 中，PO ′ 2＝P A ′ 2＋A ′O ′ 2，即 PQ 24＝AB 29＋OA 236又AB 2＋OA 2＝12，∴3PQ 2＝AB 2＋13∴3PQ 2＋OA 2＝AB 2＋1 3＋OA 2＝1＋1 3＝4310．（浙江杭州）如图，AE 切⊙O 于点E ，AT 交⊙O 于点M 、N ，线段OE 交AT 于点C ，OB ⊥AT 于点B ，已知∠EAT ＝30°，AE ＝33，MN ＝222．（1）求∠COB 的度数；（2）求⊙O 的半径R ；（3）点F 在⊙O 上（FME ︵是劣弧），且EF ＝5，将△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E 、F 重合．在EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC 的周长之比．解：（1）∵AE 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥AE ∵OB ⊥AT 于点B ，∴∠AEC ＝∠OBC ＝90° 又∵∠ACE ＝∠OCB ，∴△ACE ∽△OCB ∴∠COB ＝∠EAT ＝30°（2）在Rt △AEC 中，CE ＝AE ·tan30°＝3 ∠OCB ＝∠ACE ＝60°设BC ＝x ，则OB ＝3x ，OC ＝2x连接ON ，得(3x )2＋( 22 )2＝( 2x ＋3)2 解得x ＝1或x ＝－13（舍去），∴x ＝1∴R ＝2x ＋3＝5（3）这样的三角形有3个画直径FG ，连接GE∵EF ＝OE ＝OF ＝5，∴∠EFG ＝60°＝∠BCO ∴△GEF 即为所要画出的三角形∵三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似 ∴变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比又∵两个直角三角形斜边长FG ＝2R ＝10，OC ＝2 ∴△GEF 与△OBC 的周长之比为5 :1(11．（浙江台州）定义：P 、Q 分别是两条线段a 和b 上任意一点，线段PQ 长度的最小值．．．叫做线段．．a ．与线．．段．b ．的距离．．．．已知O （0，0），A （4，0），B （m ，n ），C （m ＋4，n ）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m ＝2，n ＝2时，如图1，线段BC 与线段OA 的距离是___________；当m ＝5，n ＝2时，如图2，线段BC 与线段OA 的距离（即线段AB 长）为___________．（2）如图3，若点B 落在圆心为A ，半径为2的圆上，线段BC 与线段OA 的距离记为d ，求d 关于m 的函数解析式．（3）当m 的值变化时，动线段BC 与线段OA 的距离始终为2，线段BC 的中点为M ．①求出点M 随线段BC 运动所围成的封闭图形的周长； ②点D 的坐标为（0，2），m≥0，n≥0．作MH ⊥x 轴，垂足为H ，是否存在m 的值使以A ，M ，H 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．解：（1）2（2）当4≤m≤6时，显然线段BC 与线段OA 的距离等于⊙A 半径，即d ＝2 当2≤m＜4时，作BN ⊥x 轴于点N ，线段BC 与线段OA 的距离等于BN 长∴d ＝22－(4－m )2＝－m2＋8m －12∴d 关于m 的函数解析式为：d ＝⎩⎨⎧－m2＋8m －12（2≤m＜4）2（4≤m≤6）（3）①由题意可知，由线段PE ，EFG ，线段GK ，KNP 所围成的封闭图形就是点M 随线段BC 运动所围成的（图1）（图2）（图3）∴点M 随线段BC 运动所围成的封闭图形的周长为： 2×π×2＋2×2×4＝16＋4π②∵m≥0，n≥0，∴点M 随线段BC 运动所形成图形的是线段M 0E 和EF ︵易知△AOD 是两直角边为1 :2的直角三角形若△AMH 与△AOD 相似，则MHHA＝12或MHHA＝2当2≤m ＋2＜4时，显然M 1H 1＞H 1A ，∴M 1H 1H 1A＝2∵M 1H 1＝2，∴H 1A ＝1，∴OH 1＝3 ∴m 1＝3－2＝1当4≤m ＋2≤6即M 2在线段CE 上时，同理可求m 2＝5－2＝3当6＜m ＋2≤8即M 3在线段EF ︵上时，∵AH 3≥2≥M 3H 3，∴M 3H 3H 3A＝12设M 3H 3＝x ，则AH 3＝2x ，∴AH 3＝2x －2又∵RH 3＝2，∴(2x －2 )2＋x 2＝2 2，∴x 1＝ 85，x 2＝0（不合题意，舍去）∴OH 3＝4＋2x ＝36 5，∴m 3＝36 5 －2＝26 5综上可知，存在m 的值使以A ，M ，H 为顶点的三角形与△AOD 相似，相应m 的值为1，3，26512．（浙江某校自主招生）已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝5，点E 是AD 边上一动点，连接BE 、CE ，以BE 为直径作⊙O ，交BC 于点F ，过点F 作FH ⊥CE 于H ，直线FH 交⊙O 于点G ．（1）当直线FH 与⊙O 相切时，求AE 的长；（2）当FH ∥BE 时，求FG 的长；（3）在点E 运动过程中，△OFG 能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE 的长；如果不能，说明理由．解：（1）连接OF 、EF∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BFE ＝90° 又∠A ＝∠ABF ＝90°，∴四边形ABFE 为矩形 ∴AE ＝BF ，∴DE ＝CF∵FH 与⊙O 相切，∴OF ⊥FH ∵FH ⊥CE ，∴OF ∥CE ∵BO ＝OE ，∴BF ＝CF ∴AE ＝DE ＝1 2 AD ＝52（2）作OM ⊥FG 于M ，连接OF∵FH ∥BE ，∴∠BEC ＝∠FHC ＝90°B DD易证△ABE∽△DEC，∴AEDC＝ABDE即AE2＝25－AE，解得AE＝1或4①当AE＝1时，BF＝1，DE＝CF＝4∴BE＝5，CE＝25，OF＝5 2由△CFH∽△CBE，得CH＝85 5∴OM＝EH＝CE－CH＝255，∴FM＝OF2－OM2＝3510∴FG＝2FM＝35 5②当AE＝4时，BF＝4，DE＝CF＝1 ∴BE＝25，CE＝5，OG＝ 5由△CFH∽△CBE，得CH＝5 5∴OM＝EH＝CE－CH＝455，∴FM＝OG2－OM2＝355∴FG＝2FM＝65 5（3）连接EF，设AE＝x则EF＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5－x若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90°①当点G在点F上方时连接BG、EG，设BG、EF交于点K，作GM⊥EF于M 则∠FBG＝∠FEG＝45°∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形∴KF＝BF＝x，EK＝2－x，GM＝KM＝12EK＝1－12xFM＝x＋1－12x＝1＋12x∵∠GFM＝∠ECF＝90°－∠FEC∴Rt△GMF∽Rt△EFC，∴GMFM＝EFCF∴1－12x1＋12x＝25－x，解得x1＝9－572，x2＝9＋572＞5（舍去）②当点G在点F下方时连接BG、EG，设BC、EG交于点K，作GM⊥BF于M 则∠GBF＝∠GEF＝45°∴△BGK和△EFK都是等腰直角三角形∴KF＝EF＝2，EK＝2 2BK＝x－2，GM＝KM＝12(x－2)，FM＝2＋12(x－2)＝12(x＋2)DCDD∵∠MFG＝∠HFC＝∠FEC＝90°－∠HCF∴Rt△FMG∽Rt△EFC，∴FMGM＝EFCF∴12(x＋2)12(x－2)＝25－x，解得x1＝1＋572，x2＝1－572（舍去）综上所述，△OFG能成为等腰直角三角形，此时AE的长为9－572或1＋57213．（浙江模拟）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以P A为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）．（1）求证：CD是⊙P的切线；（2）当⊙P与OB相切时，求⊙P的半径；（3）在（2）的条件下，设⊙P与OB相切于点E，连接PB交CD于F（如图2）．①求CF的长；②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．（1）证明：连接PC，过B作BN⊥x轴于N∵PC＝P A，∴∠1＝∠2∵A（10，0），B（6，8），∴OA＝10，BN＝8，ON＝6在Rt△OBN中，OB＝ON2＋BN2＝62＋82＝10∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠1∴∠OBA＝∠2，∴PC∥OB∵CD⊥OB，∴CD⊥PC∴CD是⊙P的切线（2）解：设⊙P的半径为r∵⊙P与OB相切于点E，∴OB⊥PE∴在Rt△OPE中，sin∠EOP＝PEOP＝r10－r在Rt△OBN中，sin∠BON＝BNOB＝810＝45∴r10－r＝45，解得r＝409图1 图2（3）①由（2）知r ＝409，∴OP ＝10－409＝509∴OE ＝OP 2－PE 2＝103∵∠PCD ＝∠CDE ＝∠PED ＝90° ∴四边形PCDE 是矩形∵PE ＝PC ，∴矩形PCDE 是正方形 ∴PE ＝DC ＝409∴BD ＝OB －OE －DE ＝10－103－409＝209∵∠BFD ＝∠PFC ，∠BDF ＝∠PCF ＝90° ∴△BDF ∽△PCF ，∴DFCF＝BDPC即409－CFCF ＝20940 9，解得CF ＝8027②存在在DE 延长线上截取ET ＝CF ∵四边形PCDE 是正方形 ∴∠PET ＝∠PCF ＝90°，PE ＝PC∴△PET ≌△PCF ，∴∠4＝∠3，PT ＝PF ∵∠CPE ＝90°，∠GPF ＝45° ∴∠GPE ＋∠3＝45°，∴∠GPE ＋∠4＝45° 即∠GPT ＝45°，∴∠GPT ＝∠GPF 又PG ＝PG ，∴△PGT ≌△PGF ∴GF ＝GT ＝GE ＋ET ＝GE ＋CF 设GE ＝a ，则DG ＝409－a ，GF ＝8027＋a 又DF ＝DC －CF ＝409－8027＝4027在Rt △DFG 中，DF 2＋DG 2＝GF 2 ∴(4027)2＋(409 －a )2＝(8027 ＋a )2，解得a ＝89即EG 的长为8914．（浙江模拟）如图，以△ABC 的边BC 为弦，在点A 的同侧画BC ︵交AB 于D ，且∠BDC ＝90°＋12∠A ，点P 是BC ︵上的一个动点．（1）判定△ADC 的形状，并说明理由；（2）若∠A ＝70°，当点P 运动到∠PBA ＝∠PBC ＝15°时，求∠ACB 和∠ACP 的度数；（3）当点P 在BC ︵运动时，过点P 作直线MN ⊥AP ，分别交AB 、AC 于点M 、N ，是否存在这样的点P ，使得△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似？请说明理由．解：（1）△ADC 是等腰三角形 ∵∠BDC ＝90°＋1 2∠A∴∠ADC ＝90°－1 2 ∠A ，∠ACD ＝90°＋ 1 2 ∠A －∠A ＝90°－ 12∠A∴∠ACD ＝∠ADC ，∴△ADC 是等腰三角形（2）∵∠A ＝70°，∠PBA ＝∠PBC ＝15° ∴∠ACB ＝180°－70°－2×15°＝80° ∵∠BPC ＝∠BDC ＝90°＋1 2 ∠A ＝90°＋1 2×70°＝125°∴∠PCB ＝180°－15°－125°＝40° ∴∠ACP ＝∠ACB －∠PCB ＝80°－40°＝40°（3）存在．当点P 运动至CD ︵的中点时，△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似∵P 是CD ︵的中点，∴∠ABP ＝∠CBP 设∠A ＝x °，∠ABP ＝∠CBP ＝y °则∠ACB ＝180°－x －2y ，∠PCB ＝180°－y －(90°＋1 2 x )＝90°－y － 1 2x∴∠ACP ＝∠ACB －∠PCB ＝180°－x －2y －(90°－y －1 2 x )＝90°－y － 12x∴∠PCB ＝∠ACP ，∴PC 平分∠ACB∴当点P 运动至CD ︵的中点时，点P 是△ABC 的角平分线的交点连接AP ，则AP 平分∠BAC ，∴∠BMP ＝∠CNP ＝90°＋12x ＝∠BPC∴△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似15．（浙江模拟）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝4AD ＝42，∠B ＝45°．将直角三角板含45°角的顶点E 放在边BC 上移动（不与点C 重合），一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．（1）在点E 移动过程中，当△ABE 为等腰三角形时，求CF 的长；（2）在点E 移动过程中，求△ADF 外接圆半径的最小值．BACD备用图PBACDPBACDMN（2）设△ADF 外接圆的圆心为O∵∠ADF ＝135°，∴∠AOF ＝90°，∴AF ＝2r当AF 最小时，r 也最小；又当CF 最大时，AF 最小由（1）知CF ＝42－BE3·BE ＝－13BE 2＋423BE ＝－13(BE －22)2＋83当BE ＝22即E 为BC 中点时，CF 最大，为83此时DF ＝3－83＝13作FG ⊥AD 于G ，则FG ＝DG ＝26，AG ＝AD ＋DG ＝726∴AF 长的最小值为：AG 2＋FG 2＝53∴△ADF 外接圆半径的最小值为22AF ＝52616．（浙江模拟）已知直线y ＝x －2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，C 是x 轴上异于A 的一点，以C 为圆心的⊙C 过点A ，D 是⊙C 上的一点，如果以A 、B 、C 、D 为顶点四边形为平行四边形，求D 点的坐标．解：由题意，得A （2，0），B （0，－2） ∴OA ＝OB ＝2，AB ＝22①若CD 是平行四边形的边，则CA ＝CD ＝AB ＝22 ∴点C 的坐标为（2＋22，0）或（2－22，0）当C （2＋22，0）时，点D 的坐标为（4＋22，2）或（22，－2当C （2－22，0）时，点D 的坐标为（4－22，2）或（－22，－②若CD 是平行四边形的对角线，设AB 、CD 相交于点M 则CA ＝CD ＝2CM而点C 到直线AB 的距离为22CA ，所以CM ≥22CA ，即CA ≤2CM 故此时A 、B 、C 、D 四点不能构成平行四边形综上，若以A 、B 、C 、D 为顶点四边形为平行四边形，则D 点的坐标为：17．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A （8，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上一动点，连接AB 并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，连接OB 、DC 相交于点E，过点E 作EF ⊥OA 于F ，连接AE ．（1）如果以点A 、C 、D 为顶点的三角形为等腰三角形，求点E（2）如果以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，求点E （3）如果以点E、C 、F 为顶点的三角形与△ABE 相似，求点E解：（1）由题意，∠OBA ＝90°，OC ＝CA ＝4，CD ＞CA ①若DC ＝DA 作DH ⊥CA 于H ，则CH ＝HA ＝12CA ＝2∵∠DHA ＝∠OBA ＝90°，∠DAH ＝∠OAB ∴△DHA ∽△OBA ，∴DAHA＝OABA即2BA2 ＝8BA，∴BA ＝2 2∴OB ＝OA 2－BA 2＝214，DC ＝DA ＝42，∴DH ＝DC 2－CH 2＝27 ∵EF ⊥OA ，∴△ECF ∽△DCH∴EFCF＝DHCH＝272＝7 设CF ＝x ，则EF ＝7x ∵∠OFE ＝∠OBA ＝90°，∠EOF ＝∠AOB ∴△OEF ∽△OAB ，即EFOF＝ABOB∴7x4＋x＝22214，解得x ＝23∴OF ＝4＋x ＝14 3，EF ＝7x ＝273∴E （14 3，27 3）②若CA ＝DA则BA ＝1 2 DA ＝ 12CA ＝2，OB ＝OA 2－BA 2＝215作DH ⊥CA 于H ，则△DHA ∽△OBA ∴DAHA＝OABA，即4HA ＝82，∴HA ＝1 ∴CH ＝3，DH ＝DA 2－HA 2＝15由△ECF ∽△DCH ，得EFCF ＝DHCH ＝153设CF ＝3x ，则EF ＝15x 由△OEF ∽△OAB ，得EFOF＝ABOB∴15x4＋3x＝2215，解得x ＝13∴OF ＝4＋3x ＝5，EF ＝15x ＝153∴E （5，153）（2）①当点F 在O 、C 之间时∵∠ECF ＞∠BAO ，∴要使△ECF 与△AOB 相似，只能∠ECF ＝∠AOB 此时△OCE 为等腰三角形，点F 为OC 中点，即OF ＝2 过B 作BG ∥DC 交OA 于G∵DB ＝AB ，∴CG ＝AG ＝2，∴OG ＝6 ∵BG ∥DC ，∴△OEC ∽△OBG∴OEOB＝OCOG＝46＝23设OE ＝2x ，则OB ＝3x由△OEF ∽△OAB ，得OEOF ＝OAOB∴ 2x 2 ＝ 8 3x ，解得x ＝263∴OE ＝2x ＝ 463 ，∴EF ＝OE 2－OF 2＝2153∴E （2，2153）②当点F 在C 、A 之间时∵∠ECF ＞∠BOA ，∴要使△CEF 与△AOB 相似，只能∠ECF ＝∠OAB 此时DC ＝DA由（1）知，E （14 3，27 3）（3）①若∠FEC ＝∠BAE ，则△EFC ∽△ABE∵OB 垂直平分AD ，∴AE ＝DE∴∠D ＝∠BAE ，∴∠FEC ＝∠D∴∠ECF ＝∠DEB ＝∠OEC ，∴OE ＝OC ＝4 过B 作BG ∥DC 交OA 于G ∵DB ＝AB ，∴CG ＝AG ＝2，∴OG ＝6 由△OEC ∽△OBG，得OB ＝OG ＝6∴BE ＝2，AB ＝OA 2－OB2＝27由△OEF ∽△OAB ，得EF ＝1 2 AB ＝7，OF ＝ 12OB ＝3∴E （3，7）②若∠ECF ＝∠EAB ，则△CFE ∽△ABE ∵∠D ＝∠EAB ，∴∠ECF ＝∠D ∴CA ＝DA由（1）知，此时E （5，153） 18．（江苏南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O 1和扇形O 2CD 中，⊙O 1与O 2C 、O 2D 分别相切于点A 、B ．已知∠CO 2D ＝60°，E 、F 是直线O 1O 2与⊙O 1、扇形O 2CD 的两个交点，EF ＝24 cm ．设⊙O 1的半径为x cm ．（1）用含x 的代数式表示扇形O 2CD 的半径；（2）若⊙O 1和扇形O 2CD 两个区域的制作成本分别为0.45元/cm 2和0.06元/cm 2，当⊙O 1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？解：（1）连接O 1A∵⊙O 1与O 2C 、O 2D 分别相切于点A 、B ∴O 1A ⊥O 2C ，O 2E 平分∠CO 2D∴∠AO 2O 1＝12∠CO 2D ＝30°在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝AO 1O 1O 2∴O 1O 2＝AO 1sin ∠AO 2O 1＝x sin30°＝AO 1O 1O 2＝2x∴FO 2＝EF －EO 1－O 1O 2＝24－3x ，即扇形O 2CD 的半径为(24－3x)cm （2）设该玩具的制作成本为y 元，则y ＝0.45πx2＋0.06×(360－60)×π×(24－3x)2360＝0.9πx2－7.2πx ＋28.8π ＝0.9π(x －4)2＋14.4π所以当x ＝4时，y 的值最小．答：当⊙O 1的半径为4cm 时，该玩具的制作成本最小 19．（江苏南京）如图，A 、B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合），我们称∠APB 是⊙O 上关于A 、B 的滑动角．（1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角． ①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB ＝___________° ；②若⊙O 的半径是1，AB ＝2，求∠APB 的度数；（2）已知O 2是⊙O 1外一点，以O 2为圆心作一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点，∠APB 是⊙O 1上关于点A 、B 的滑动角，直线P A 、PB 分别交⊙O 2于点M 、N （点M 与点A 、点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系．解：（1）①90②如图，连接AB 、OA 、OB在△AOB 中，∵OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2 ∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°当点P 在优弧AB ︵上时，∠AP 1B ＝12∠AOB ＝45°当点P 在劣弧AB ︵上时，∠AP 2B ＝12(360°－∠AOB)＝135°（2）根据点P 在⊙O 1上的位置分为以下四种情况第一种情况：点P 在⊙O 2外，且点A 在点P 与点M 之间，点B 在点P 与点N 之间，如图① ∵∠MAN ＝∠APB ＋∠ANB ，∴∠APB ＝∠MAN －∠ANB第二种情况：点P 在⊙O 2外，且点A 在点P 与点M 之间，点N 在点P 与点B 之间，如图② ∵∠MAN ＝∠APB ＋∠ANB ＝∠APB ＋(180°－∠ANB) ∴∠APB ＝∠MAN ＋∠ANB －180°第三种情况：点P 在⊙O 2外，且点M 在点P 与点A 之间，点B 在点P 与点N 之间，如图③ ∵∠APB ＋∠ANB ＋∠MAN ＝180° ∴∠APB ＝180°－∠ANB －∠MAN 第四种情况：点P 在⊙O 2内，如图④ ∠APB ＝∠MAN ＋∠ANB2②①③④20．（江苏泰州）如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA ＝5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ．（1）试判断线段AB 与AC 的数量关系，并说明理由；（2）若PC ＝25，求⊙O 的半径和线段PB 的长；（3）若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径r 的取值范围．（1）AB ＝AC ．理由如下：连接OB∵AB 与⊙O 相切于点B ，OA ⊥AC ，∴∠OBA ＝∠OAC ＝90° ∴∠OBP ＋∠ABP ＝90°，∠ACP ＋∠APC ＝90° ∵OP ＝OB ，∴∠OBP ＝∠OPB∵∠OPB ＝∠APC ，∴∠ABP ＝∠ACP ∴AB ＝AC（2）设⊙O 的半径为r ，则OP ＝OB ＝r ，P A ＝5－r∴AB 2＝OA 2－OB 2＝52－r 2AC 2＝PC 2－P A 2＝(25 )2－( 5－r)2∵AB ＝AC ，∴5 2－r 2＝( 25 )2－( 5－r)2 解得r ＝3∴AB ＝5 2－3 2＝4，∴sin ∠BOP ＝ABOA＝4 5 ，cos ∠BOP ＝OBOA ＝3 5过B 作BD ⊥OP 于D则DB ＝OB ·sin ∠BOP ＝3×4 5＝12 5 ，OD ＝OB ·cos ∠BOP ＝3× 3 5 ＝95∴DP ＝OP －OD ＝3－9 5 ＝65∴PB ＝DB 2＋DP 2＝655 （3）作线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN 则OE ＝1 2 AC ＝ 1 2 AB ＝1252－r2由题意，⊙O 与直线MN 有交点 ∴OE ≤r ，即1252－r2≤r ，∴r≥ 5又∵直线l 与⊙O 相离，∴r＜5 ∴5≤r＜5（备用图）21．（江苏常州）在平面直角坐标系xO y 中，已知动点P 在正比例函数y ＝x 的图象上，点P 的横坐标为m （m ＞0）．以点P 为圆心，5m 为半径的圆交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 、D 两点（点D 在点C 的上方），点E 为平行四边形DOPE 的顶点（如图）．（1）写出点B 、E 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）连接DB 、BE ，设△BDE 的外接圆交y 轴于点Q （点Q 异于点D ），连接EQ 、BQ ．试问线段BQ 与线段EQ 的长是否相等？为什么？（3）连接BC ，求∠DBC －∠DBE 的度数．解：（1）B （3m ，0），E （m ，4m ）（2）BQ 与EQ 相等，理由如下：易得D （0，3m ），作EK ⊥y 轴于K则得OB ＝OD ，EK ＝DK∴△BOD 和△EKD 均为等腰直角三角形 ∴∠EDB ＝90° ∴BE 为△EDB 外接圆的直径 ∴∠EQB ＝90°，∴∠QDB ＝∠QEB ＝45° ∴∠QBE ＝45°，∴∠QEB ＝∠QBE ∴BQ ＝EQ（3）由（2）知，△BDE 为直角三角形易得DE ＝2m ，BD ＝32m 在Rt △BOC 中，BO ＝3CO ＝3m在△BDE 和△BOC 中∠BDE ＝∠BOC ＝90°，且DEBD＝COBO＝13∴△BDE ∽△BOC ，∴∠DBE ＝∠OBC∴∠∠DBC －∠DBE ＝∠DBC －∠OBC ＝45° 22．（江苏扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且OA ＝2，OC ＝1，矩形对角线AC 、OB 相交于点E ，过点E 的直线与边OA 、BC 分别相交于点G 、H ．（1）①直接写出点E 的坐标：____________；②求证：AG ＝CH ；（2）如图2，以O 为圆心、OC 为半径画弧交OA 于点D ，若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F ，求直线GH 的函数关系式；（3）在（2）的结论下，梯形ABHG 的内部有一点P ，当⊙P 与HG 、GA 、AB 都相切时，求⊙P 的半径．解：（1）①（1，12）②证明：在矩形OABC 中，∵EA ＝EC ，OA ∥BC ∴∠GAE ＝∠HCE又∵∠GEA ＝∠HEC ，∴△AGE ≌△CHE ∴AG ＝CH（2）连接ED 、OF 、OB∵D 为OA 中点，E 为OB 中点 ∴ED ＝1 2 AB ＝ 12，且ED ∥AB∴∠EDO ＝∠BAO ＝90°，∴ED 切⊙O 于D 又直线GH 切⊙O 于F ，∴EF ＝ED ＝12又∵HC 是⊙O 的切线，∴HF ＝HC设AG ＝m ，则HC ＝HF ＝AG ＝m ，OG ＝2－m 由（1）可知，EH ＝EG ，∴EG ＝12＋m ，FG ＝1＋m在Rt △OFG 中，OG 2＝OF 2＋FG 2 ∴(2－m )2＝1 2＋( 1＋m )2，解得m ＝13∴OG ＝2－m ＝5 3，∴点G 坐标为（53，0）设直线GH 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将点E （1，1 2 ）、G （53，0）代入得 ⎩⎨⎧1 2＝k ＋b 0＝ 5 3 k ＋b 解得⎩⎨⎧k ＝－34b ＝5 4∴直线GH 的函数关系式为y ＝－3 4x ＋5 4（3）连接BG ，作∠BAO 的平分线交BC 于点M ，交BG 于点P 由（2）知，BH ＝5 3，GH ＝53，∴BH ＝GH ，∴∠HBG ＝∠HGB∵BC ∥OA ，∴∠HBG ＝∠AGB ，∴∠HGB ＝∠AGB即GB 平分∠HGA ，∴点P 即为所求圆的圆心图1图2备用图∴MB ＝AB ＝1，∴MC ＝1，∴M （1，1）设直线AM 的函数关系式为y ＝k 1x ＋b 1则⎩⎪⎨⎪⎧0＝2k 1＋b 11＝k 1＋b 1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－1b 1＝2 ∴y ＝－x ＋2设直线BG 的函数关系式为y ＝k 2x ＋b 2 ∵B （2，1）、G （53，0）∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k 2＋b 20＝53k 2＋b 2 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝3b 1＝－5 ∴y ＝3x －5由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝3x －5解得 ⎩⎨⎧x ＝74y ＝1 4∴点P 坐标为（7 4，14）∴⊙P 的半径为 1423．（江苏连云港）如图，⊙O 的圆心在坐标原点，半径为2，直线y ＝x ＋b （b ＞0）与⊙O 交于A ，B 两点，点O 关于直线y ＝x ＋b 的对称点为点O ′．（1）求证：四边形OAO ′B 是菱形；（2）当点O ′ 落在⊙O 上时，求b 的值．（1）证明：∵点O 与点O ′ 关于直线y ＝x ＋b 对称 ∴直线y ＝x ＋b 是线段OO ′ 的垂直平分线∴AO ＝AO ′，BO ＝BO ′又∵OA ，OB 都是⊙O 的半径，∴OA ＝OB ∴AO ＝AO ′＝BO ＝BO ′ ∴四边形OAO ′B 是菱形（2）解：如图，连接OO ′ 交直线y ＝x ＋b 于点M 当点O ′ 落在⊙O 上时，有OM ＝12OO ′＝1∵直线y ＝x ＋b 与x 轴、y 轴的交点坐标分别是N （－b ，0）、P∴△ONP 为等腰直角三角形，∴∠ONP ＝45° 又∵OM ＝1，∴OP ＝2，即b ＝ 224．（江苏盐城）如图所示，AC ⊥AB ，AB ＝23，AC ＝2，点D 是以AB 为直径的半圆O 上一动点，DE ⊥CD 交直线AB 于点E ，设∠DAB ＝α（0°＜α＜90°）．（1）当α＝18°时，求BD ︵的长；（2）当α＝30°时，求线段BE 的长；（3）若要使点E 在线段BA 的延长线上，则α的取值范围是______________．（直接写出答案）解：（1）连接OD 在⊙O 中，∵α＝18°，∴∠DOB ＝2α＝36°∵AB ＝23，∴BD ︵的长为 36π×3 180＝3π 5（2）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90° ∵α＝30°，AB ＝23，∴BD ＝3，AD ＝AB ·cos30°＝3 ∵AC ⊥AB ，∴∠CAB ＝90°，∴∠CAD ＋α＝90°∵∠ADB ＝90°，∴α＋∠B ＝90°，∴∠CAD ＝∠B ∵DE ⊥CD ，∴∠CDE ＝90°，∴∠CDA ＋∠ADE ＝90° ∵∠ADE ＋∠EDB ＝90°，∴∠CDA ＝∠EDB∴△CDA ∽△EDB ，∴ AC BE ＝ADBD∴ 2 BE＝ 33，∴BE ＝23 3（3）60°＜α＜90°∴α＝∠DAB ＝90°－∠ABC ＝60°当E ′ 在BA 的延长线上时，有∠D ′AB ＞∠DAB ∴α＞60° 又∵0°＜α＜90°，∴60°＜α＜90° 25．（江苏宿迁）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，CD 与以AB 为直径的半圆相切于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EF 交BD 于点G ．设AD ＝a ，BC ＝b ．（1）求CD 的长度（用a 、b 表示）；（2）求EG 的长度（用a 、b 表示）；（3）试判断EG 与FG 是否相等，并说明理由．B C B解：（1）∵∠DAB ＝90°，∴DA 为⊙O 的切线又∵CD 为⊙O 的切线，∴DA ＝DE 同理，CE ＝CB又∵AD ＝a ，BC ＝b ，∴CD ＝CE ＋ED ＝BC ＋AD ＝b ＋a ＝a ＋b （2）∵EF ⊥AB ，∴∠AFE ＝90° 又∵∠ABC ＝90°，∴∠AFE ＝∠ABC ＝90° ∴EF ∥CB ，∴△DGE ∽△DBC ∴EGCB＝DEDC，即EGb＝aa ＋b∴EG ＝aba ＋b（3）EG ＝FG理由：∵△DGE ∽△DBC ，∴DGDB＝DEDC＝aa ＋b∴DBDG＝a ＋ba，∴DBDG－1＝a ＋ba－1，即BGDG＝ba∴DGBG＝ab，∴DGBG＋1＝ab＋1，即BDBG＝a ＋bb∴BGBD＝ba ＋b由（2）同理可得，△BFG ∽△BAD ， ∴FGAD＝BGBD，即FGa＝ba ＋b，∴FG ＝aba ＋b又EG ＝aba ＋b，∴EG ＝FG 26．（江苏模拟）用一块边长为20cm 的正方形铁皮可以制成一个圆锥体模型，方法是在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面，为此设计了四种方案（如图所示）．（1）试说明方案一、方案四不可行；（2）判断方案二、方案三是否可行？如果可行，试求出当铁皮的利用率最大时圆锥的母线长及其底面圆的半径；如果不可行，请说明理由．解：（1）设圆的半径为r方案一：∵扇形的弧长＝20×π2＝10π，∴圆的半径应为5cm又∵r ＋2r ＋20＝202，∴r ＝(60－402)cm方案一方案二方案三方案四CB方案四：∵扇形的弧长＝20×π 3＝20 3 π，∴圆的半径应为 103cm又∵1 2 ×10×r ＋1 2 ×103×r ＋1 2 ×20×r ＝12×10×103，∴r ＝(53－5)cm∵103＜53－5，∴方案四不可行（2）方案二、方案三可行显然，方案二铁皮的利用率最大设圆锥的母线长为l cm ，底面圆的半径为r cm ，则：⎩⎪⎨⎪⎧r ＋2r ＋l ＝2a ①2πr ＝90πl 180② 由①②得：l ＝4002－160 23 ，r ＝1002－4023故所求圆锥的母线长为4002－16023，底面圆的半径为 1002－4023··························· 10分27．（江苏模拟）某种规格小纸杯的侧面是由一半径为18cm 、圆心角是60°的扇形OAB 剪去一半径为12cm 的同心圆扇形OCD 所围成的（不计接缝）．（1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留π）；（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？（3）如图3，若在一张半径为18cm 的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面，最多能裁出多少个？解：（1）设纸杯底面半径为r依题意，2πr ＝60×2π×12360，∴r ＝2（cm ）S 侧＝60×π 360 (OA 2－OB 2 )＝ π6( 18 2－12 2)＝30π（cm 2）（2）连接AB ，过O 作OE ⊥CD ，交弧AB 于F ∵OA ＝OB ，∠AOB ＝60°∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝18 同理，△COD 也是等边三角形 ∴∠DCO ＝∠BAO ，∴AB ∥CD图2图1（1）（2）图3。

中考数学复习之圆的基本性质,考点过关与基础练习题

32.圆的有关性质➢ 知识过关1. 圆有相关概念(1)圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转_____,另一个端点A 所于形成的图形叫做圆，圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于____r 的点的集合.(2)弧、弦、等圆、等弧①弧：圆上任意_____的部分叫做弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧； ①弦：连接圆上任意两点的____叫做弦，经过_____的弦叫做直径. ①等圆：能够_____的两个圆叫做等圆；①等弧：在_____或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 2. 垂径定理及其推论 (1) 对称性：①圆是中心对称图形，其对称中心是圆心 ①圆是轴对称图形，其对称轴是_______. (2) 垂径定理及其推论①垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且平分这条弦所对的______； ①推论：平分弦(非直径)的直径______于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.➢ 考点分类考点1 圆心角、弧、弦之间的关系例1如图所示，圆O 通过五边形OABCD 的四个顶点，若D AB=150°，A=65°，D=60°，则的度数为( )A.25°B.40°C.50°D.55°考点2垂径定理及简单应用例2如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB 为0.8m,则排水管内水的深度为_______m.考点3垂径定理与其他知识的综合运用例3如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点M 是弧CBD 上任意一点，AH ＝2，CH ＝4．（1）求⊙O 的半径r 的长度；（2）求sin ∠CMD ；（3）直线BM 交直线CD 于点E ，直线MH 交⊙O 于点N ，连接BN 交CE 于点F ，求HE •HF 的值．➢ 真题演练1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，连接AO 并延长，交⊙O 于点E ，连接BE ，DE ．若DE ＝3DO ，AB =4√5，则△ODE 的面积为（）A ．4B ．3√2C ．2√5D ．2√62．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 的长的最小值为（）A ．3B ．4C ．6D ．83．在正方形网格中，以格点O 为圆心画圆，使该圆经过格点A ，B ，并在点A ，B 的右侧圆弧上取一点C ，连接AC ，BC ，则sin C 的值为（）A ．√32B ．12C ．1D ．√224．如图，半径为5的⊙A 与y 轴交于点B （0，2）、C （0，10），则点A 的横坐标为（）A ．﹣3B ．3C ．4D ．65．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8．点F 是弧BC 上动点，且与点B 、C 不重合，P 是直径AB 上的动点，设m ＝PC +PF ，则m 的取值范围是（）A ．8＜m ≤4√5B ．4√5＜m ≤10C ．8＜m ≤10D ．6＜m ＜106．在⊙O 中内接四边形ABCD ，其中A ，C 为定点，AC ＝8，B 在⊙O 上运动，BD ⊥AC ，过O 作AD 的垂线，垂足为E ，若⊙O 的直径为10，则OE 的最大值接近于（）A ．52B ．5√23C ．4D ．57．如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，B 是AC ̂的中点，∠OBC ＝50°，则∠AOB 等于 °．8．如图，将半径为rcm 的⊙O 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，已知弦AB 的长为4√15cm ，则r ＝ cm ．9．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE ＝1，则AE的长为．10．如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABÊ的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为．11.如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．➢课后练习1．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为BĈ上一点（点P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，CFAP−BP的值始终等于√32．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错2．如图，在半径为5的⊙O 内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，AB ＝8，CD ＝8，垂足为E ．则tan ∠OEA 的值是（）A ．1B ．√63C ．√156D ．2√1593．如图，四边形ABCD 内接于半径为5的⊙O ，AB ＝BC ＝BE ，AB ⊥BE ，则AD 的长为（）A ．5B ．5√2C ．5√3D ．104．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝90°，AB =√2，BC ＝1，则⊙O 的半径为（）A ．√3B ．√52C ．√102D ．√2+125．下列说法正确的是（）A ．同弧或等弧所对的圆心角相等B ．所对圆心角相等的弧是等弧C ．弧长相等的弧一定是等弧D ．平分弦的直径必垂直于弦6．如图，A ，B 为圆O 上的点，且D 为弧AB 的中点，∠ACB ＝120°，DE ⊥BC 于E ，若AC =√3DE ，则BE CE的值为（）A ．3B ．2C ．√33+1D ．√3+17．如图所示，在⊙O 中，BC 是弦，AD 过圆心O ，AD ⊥BC ，E 是⊙O 上一点，F 是AE 延长线上一点，EF ＝AE ．若AD ＝9，BC ＝6，设线段CF 长度的最小值和最大值分别为m 、n ，则mn ＝（）A ．100B ．90C ．80D ．708．如图，A ，B 是⊙O 上的点，∠AOB ＝120°，C 是AB̂的中点，若⊙O 的半径为5，则四边形ACBO 的面积为（）A ．25B ．25√3C ．25√34D ．25√329．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是半圆上的一个三等分点，点D 是AĈ的中点，点P 是直径AB 上一点，若⊙O 的半径为2，则PC +PD 的最小值是．10．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm ，下雨前水面宽为100cm ，一场大雨过后，水面宽为240cm ，则水位上升 cm ．11．如图，在⊙O 中，点C 在弦AB 上，连接OB ，OC ．若OB ＝5，AC ＝1，BC ＝5，则线段OC 的长为．12．如图，以G（0，3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最大值为．13．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为．14．如图，射线PE平分∠CPD，O为射线PE上一点，以O为圆心作⊙O，与PD边交于点A、点B，连接OA，且OA∥PC．（1）求证：AP＝AO．（2）若⊙O的半径为10，tan∠OPB=12，求弦AB的长．15．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，OF⊥CD，垂足为F．设已知BE＝5，AE=12OE，OF＝1，求CD的长．➢冲击A+在Rt①ABC中，①BAC=90°，(1)如图1，D、E分别在BC、BA的延长线上，①ADE=2①CAD，求证：DA=DE；(2)如图2，在(1)的条件下，点F在BD上，①AFB=①EFD，求证：①FAD=①FED(3)如图3，若AB=AC，过点C作CN||AB，连接AN，在AN上取一点G，使GA=AC，连接BG交AC于点H，连接CG，试探究CN、CH、GN之间满足的数量关系式，并给出证明；。

中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《圆》经典题型及测试题（含答案）【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为( )A．2 5 B. 5C．213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝OB2－OC2＝32－22＝5，∴AB＝2 5.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )A．4 2 m B．5 m C. 30 m D．215 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长BC，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝2OB＝2×(8÷2)＝42(m)．∴l BC＝90π×42180＝22π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π＝2(m)．∴圆锥的高是422－22＝30(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED 为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A．9 5 B．18 5 C．36 5 D．72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN 的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN 中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，所以MN＝65，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积．在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝12MN·AD＝12×65×6＝18 5.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM ＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )A．40° B．50° C．60° D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( C )A. 3 B．3 C．2 3 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )A．25° B．50° C．60° D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为( B )A．15° B．30° C．60° D．90°5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( D )A．6 B．7 C．8 D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，EC＝CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，23，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( D )A．23－33π B．43－33πC．43－π D．23－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( B )A ．13π cmB ．14π cmC ．15π cmD ．16π cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D ．2 5 解：如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°.∴四边形AFOE ，FBGO 都是正方形．∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2.∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG . ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝(3－MN )2＋42.∴NM ＝43.∴DM ＝3＋43＝133.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y ＝x ＋2与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝40° .12．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′，连结OA ，OB ，OC ′，则OA ＝OB ＝ 2.又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，同理∠OAC ′＝45°，∴∠BAC ′＝90°.∵△ABC 为等边三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠CAC ′＝30°，∴点C 运动的路线长为30π×2180＝π3.故答案为π3. 答案：π3 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29(cm)，S 扇形BCB 1＝45π×292360＝29π8(cm 2)，S △CB 1A 1＝12×5×2＝5(cm 2)，S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2(cm 2)，故S 阴影部分＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S 扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8(cm 2). 答案：25π8三、解答题14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O于点B ，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .求证：(1)PE ＝PD ；(2)AC ·PD ＝AP ·BC .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴EP BC ＝AE AB .又∵AD ∥OC ，∴∠DAE ＝∠COB ，∴△AED ∽△OBC ，∴ED BC ＝AE OB ＝AE 12AB ＝2AE AB .∴ED ＝2EP ，∴PE ＝PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴AP AC ＝PE BC .∵PE ＝PD ，∴AP AC ＝PD BC，∴AC ·PD ＝AP ·BC . 15．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN 分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′，求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN 上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′.(2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝OA2－OT2＝102－62＝8.∵12OA·TH＝12AT·OT，即12×10×TH＝12×8×6，∴TH＝245，即点T到OA的距离为245.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝60π×22360＝23π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.11。

中考圆的概念定义及习题专练

中考圆的定义及习题专练◆考点聚焦知识点直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、相交弦、切割线定理1.点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)： P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点三角形有外接圆，其他的图形不一定有外接圆，三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点，三角形外接圆圆心叫外心。

外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等。

圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P)：外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r 内切内含圆与直线的关系：相切相交相离切线的定义及性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)根据切线的判定定理来判定．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．切线长定理：是指从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

等于它所夹的弧的圆周角度数。

与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。

相交弦定理：是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

2012年全国部分地区中考试题分类汇编——圆

一、选择题1. （2012•遵义）如图，半径为1cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A.πcm 2B.32πcm 2C.21cm 2 D ．32cm 2 2. （2012•自贡）如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13cm ，高是12cm ，则该圆锥形底面圆的面积是（）A ．10πcm 2B ．25πcm 2C ．60πcm 2D ．65πcm 23.（2012•珠海）如果一个扇形的半径是1，弧长是3π ，那么此扇形的圆心角的大小为（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4. （2012•重庆）已知：如图，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 在⊙O 上，则∠ACB 的度数为（）A ．45°B ．35°C ．25°D ．20°5. （2012•漳州）如图，一枚直径为4cm 的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（）A ．2πcmB ．4πcmC ．8πcmD ．16πcm6. （2012•湛江）一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半（）A ．6cmB ．12cmC ． 23cm D.6cm7. （2012•云南）如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，连接AD 、BC ．若∠BAD=60°，则∠BCD 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°8. （2012•宜昌）已知⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则反映直线l 与⊙O 的位置关系的图形是（）A ．B ．C ．D ．9.（2012•岳阳）如图，AB 为半圆O 的直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于D ，BC 与CD 相交于C ，连接OD 、OC ，对于下列结论：①OD 2=DE •CD ；②AD+BC=CD ；③OD=OC ；④S ABCD 梯形 =21 CD •OA ；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（） A ．①②⑤ B ．②③④ C ．③④⑤ D ．①④⑤10. （2012•巴中）已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d 的范围是（）A ．0＜d ＜2B ．1＜d ＜2C ．0＜d ＜3D ．0≤d ＜211. （2012•北海）已知两圆的半径分别是3和4，圆心距的长为1，则两圆的位置关系为（）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切12. （2012•成都）已知两圆外切，圆心距为5cm ，若其中一个圆的半径是3cm ，则另一个圆的半径是（）A ．8cmB ．5cmC ．3cmD ．2cm13. （2012•赤峰）已知两圆的半径分别为3cm 、4cm ，圆心距为8cm ，则两圆的位置关系（）A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含14. （2012•哈尔滨）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，OP ⊥AC于点P ，OP=23，则⊙O 的半径为（）A ．43B ．63C ．8D ．1215. （2012•大庆）如图所示，已知△ACD 和△ABE 都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=（）A ．90°B ．180°C ．270°D ．360°16. （2012•黄冈）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（）A ．8B ．10C ．16D ．2017. （2012•陕西）如图，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB=CD=8，则OP 的长为（）A ．3B ．4C ．32D ．42二、填空题1. （2012•成都）如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ．若AB=23，0C=1，则半径OB 的长为________________ .2. （2012•郴州）圆锥底面圆的半径为3cm ，母线长为9cm ，则这个圆锥的侧面积为___________________ cm2（结果保留π）．3. （2012•长沙）在半径为1cm 的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是_____________ cm ．4. （2012•鞍山）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 、CD 为⊙O 直径，DE⊥AB 于点E ，sinA=21 ，则∠D 的度数是____________ ．5. （2012•广元）平面上有⊙O 及一点P ，P 到⊙O 上一点的距离最长为6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的半径为______________ cm ．6. （2012•大连）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠BCA=60°，则∠ABO=___________°．7. （2012•淮安）如图，⊙M 与⊙N 外切，MN=10cm ，若⊙M 的半径为6cm ，则⊙N 的半径为________________ cm ．8. （2012•怀化）如图，点P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，⊙O 的半径OA=2cm ，∠P=30°，则PO= ________________cm ．9. （2012•黑龙江）如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至点C ，使AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D ，若CD=33，则线段BC=____________ ．10. ．（2012•南平）如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC=68°，则∠BAC=_____________ °．三、解答题1.（2012•遵义）如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长.2.（2012•自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．3.（2012•株洲）如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A=30°．求证：（1）BD=CD；（2）△AOC≌△CDB．4.（2012•资阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．5.（2012•肇庆）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）AB•CE=2DP•AD．6. （2012•珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP 对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．7. （2012•湛江）如图，已知点E 在直角△ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BE=2，BD=4，求⊙O 的半径．8. （2012•岳阳）如图所示，在⊙O 中，C A D A ，弦AB 与弦AC 交于点A ，弦CD 与AB交于点F ，连接BC ．（1）求证：AC 2=AB •AF ；（2）若⊙O 的半径长为2cm ，∠B=60°，求图中阴影部分面积．9. （2012•永州）如图，AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，连接PC 交⊙O 于点B ，连接AB ，且PC=10，PA=6．求：（1）⊙O 的半径；（2）cos ∠BAC 的值．10.（2012•扬州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AC=25，CD=2，求⊙O的直径．11.（2012•孝感）如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R．12.（2012•厦门）已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E，∠BCD=∠BAC．（1）求证：AC=AD；（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若∠BCF=30°，则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例．13. （2012•温州）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 是边AB 上一点，且∠A=2∠DCB ．E 是BC 边上的一点，以EC 为直径的⊙O 经过点D ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若CD 的弦心距为1，BE=EO ，求BD 的长．14. （2012•威海）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ．K 为C A 上一动点，AK ，DC 的延长线相交于点F ，连接CK ，KD ．（1）求证：∠AKD=∠CKF ；（2）若AB=10，CD=6，求tan ∠CKF 的值．15. （2012•铜仁地区）如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD相交于点E ，AB ⊥CD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ．（1）求证：CD ∥BF ；（2）若⊙O 的半径为5，cos ∠BCD=54 ，求线段AD 的长．16.（2012•福州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若∠B=60°，CD=23，求AE的长．17.（2012•大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．18.（2012•大庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．。

中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案

中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案一、选择题1．已知⊙O 的半径是3cm ，则⊙O 中最长的弦长是（）A ．3cmB ．6cmC ．1.5cmD ．√3cm2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上∠CAB =20°，则∠ADC 等于（）A ．70°B ．110°C ．140°D ．160°3．如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线AC ，连接BC ，与⊙O 交于点D ，E 是⊙O 上一点，连接AE ，DE ．若∠C =48°，则∠AED 的度数为（）A ．42°B ．48°C ．32°D ．38°4．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝2√3，∠A ＝30°，则CD⌢的长度为（）A ．πB ．23πC ．√23πD ．2π5．如图，⊙O 的半径为9，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B 若P =60∘，则AB⌢的长为（）A ．133πB ．136πC ．6πD ．52π⌢的中点，点E是BC⌢上的一点，若∠ADC=110°，则∠DEC 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是AC的度数是（）A．35°B．45°C．50°D．55°7．如图，正六边形ABCDEF内接于00，若0 O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．√3B．3 C．2√3D．√68．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．2√2C．2π−4D．2π−2√2二、填空题9．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD= °．10．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5√2cm，则⊙O的半径R为11．如图，秋千拉绳长3m，静止时踩板离地面(CD)0.5m．一名小朋友荡秋千时，秋千在最高处时踩板离地面(BE)2m(左右对称)，则该秋千从B荡到A经过的圆弧长为m．12．如图，已知⊙O上三点A，B，C，切线PA交OC延长线于点P，若OP＝2OC，则∠ABC＝．13．如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为.三、解答题14．如图.为的直径，连接，点E在上，AB=BE.求证：（1）平分；（2）.15．如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．（1）求证：∠AOC=2∠PAC；（2）连接OB，若AC//OB，⊙O的半径为5，AC=6，求AP的长．16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE=EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为10，OD=6求BE的长．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．（1）求证：∠F=∠BAC；（2）若DF∥AC，若AB=8，CF=2求AC的长．18．如图，在中，AB=AC以为直径的分别与、相交于点D、E，连接过点作，垂足为点（1）求证：是的切线；（2）若的半径为4，求图中阴影部分的面积．参考答案1．B2．B3．A4．B5．C6．A7．B8．C9．4010．511．2π12．30°13．9√3−3π14．（1）证明：∵∴∴∴平分（2）证明：∵∠BAD=∠DAC∴∴由（1）知∴∴∠ABC=∠ECB∴AB∥CE.15．（1）证明：过O作OH⊥AC于H∴∠OHA=90°∴∠AOH+∠OAC=90°∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OAC+∠PAC=90°∴∠AOH=PAC∵OA=OC∴∠AOC=2∠AOH∴∠AOC=2∠PAC；（2）解：连接OB，延长AC交PB于E∵PA，PB是⊙O的切线∴OB⊥PB，PA=PB∵AC//OB∴AC⊥PB∴四边形OBEH是矩形∴OH=BE，HE=OB=5∵OH⊥AC，OA=OC∴AH=CH=12AC=3∴OH=√OC2−CH2=4∴BE=OH=4，AE=AH+HE=8∵PA2=AE2+PE2∴PA2=82+(PA−4)2∴PA=10．16．（1）证明：∵BE=EF∴∠EBF=∠EFB∵∠CFD=∠EFB∴∠EBF=∠CFD∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∵AE⊥OC∴∠OCB+∠CFD=90°∴∠OBC+∠EBF=90°=∠ABE∴AB⊥BE∵AB是⊙O的直径∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为10∴OA=OB=OC=10∴AB=20∵AE⊥OC∴∠ADO=90°∴在Rt△ADO中AD=√AO2−DO2∵OD=6∴AD=√AO2−DO2=√102−62=8∵结合（1），可知∠ABE=∠ADO=90°，∠BAE=∠DAO ∴△ADO∽△ABE∴BEAB =DOAD，即BE=DOAD×AB∵AD=8，AB=20，DO=6∴BE=DOAD ×AB=68×20=15即所求的值为15．17．（1）证明：∵DF是⊙O的切线∴OD⊥DF∴∠ODF=90°∴∠F+∠DBC=90°∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°∴∠BAC+∠DAC=90°∵∠DBC=∠DAC∴∠F=∠BAC；（2）解：连接CD∵DF∥AC，∠ODF=90°∴∠BEC=∠ODF=90°∴直径BD⊥AC于E∴AE=CE=12AC∴AB=BC=8∵BD是⊙O的直径∴∠BCD=90°∴∠DBC+∠BDC=90°∵∠DBC+∠F=90°∴∠BDC=∠F∵∠BCD=∠FCD=90°∴△BCD∽△DCF∴BCDC =DCCF，即8DC=DC2∴DC=4∴BD=√BC2+CD2=√82+42=4√5∵在△BCD中SΔBCD=12BC⋅CD=12BD⋅CE∴12×8×4=12×4√5⋅CE∴CE=85√5∴AC=2CE=165√5．18．（1）证明：连接．是的直径．又AB＝AC∴D是BC的中点．连接；由中位线定理，知又．是的切线；（2）解：连接的半径为。

备战中考数学圆练习题(含答案)

备战中考数学——圆练习题一、填空题1、如图，是⊙的弦，长为8，是⊙上一个动点（不与、重合），过点作⊥于点，⊥于点，则的长为．2、如下图，大圆O的半径OC是小圆O1的直径，且有OC垂直于⊙O的直径AB。

⊙O1的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D。

已知⊙O1的半径为r，则AO1=________；DE_________3、如图，点是⊙O上两点，，点是⊙O上的动点（与不重合），连结，过点分别作于，于，则．4、已知⊙O1与⊙O2的半径长是方程x2―7x+12=0的两根，O1O2=，则⊙O1与⊙O2的位置关系是。

5、圆锥的母线长为6cm，它的侧面展开图恰好是个半圆，则该圆锥的底面积为________6、如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=6，将矩形ABCD在直线L上按顺时针方向不滑动的每秒转动900，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为7、若O为的外心，且,则.二、选择题8、如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论正确的是（）①．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长②．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长③．弧AC=弧BC ④．∠BAC=30°A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③9、如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC．则四边形OACB（）A．是正方形 B．是长方形 C．是菱形 D．以上答案都不对10、如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A．2个 B．3个　C．4个 D．5 个11、图中能够说明∠1>∠2的是（）12、AB是半圆的直径，延长AB至C，使CB=BO，OC=4，点P是半圆上一动点(不与A、B 重合)，∠ACP=a，则a的取值范围是（）A、0°<a≤30。

B、0°<a≤45°C、0°<a≤60°D、不确定13、△ABC是⊙O内接三角形，∠BOC=80°，那么∠A等于（）A、80°B、40°C、140°D、40°或140°14、正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为（　）A．1： B．：2 C．2： D．：115、已知在⊙O上依次有A、B、C三点，∠AOB=100°，则∠ACB的度数是( )A．50° B．130° C．50°或l30° D．100°16、若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为，最小距离为b(>b)，则此圆的半径为 ( )A． B． C．或 D．或17、直角三角形两个直角边分别为5和12，则它的内切圆周长为( )A．2 B．3 C．4 D．以上都不对18、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜519、已知：关于x的一元二次方程无实数根，其中R、r分别是⊙O1、⊙O2的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1，⊙O2的位置关系为（　） A．外离 B．相切　C．相交 D．内含20、圆外切等腰梯形一腰长为5cm，则梯形的中位线长为（）A 10cmB 5cmC 20cmD 15cm21、两圆的半径分别为R和r，（R＞r），圆心距为d，若关于x的方程x2－2rx+(R－d)2=0有相等的实根，则两圆的位置关系为（）A 内切B 外切C 相交D 内切或外切22、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）A B C D23、在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( )A．60° B．120° C．140° D．150°24、如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝( )A．30° B．45° C．60° D．70°25、将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4∶4∶5∶7，则这四个扇形中，圆心角最大的是( )A．54° B．72° C．90° D．126°26、已知一点到圆的最小距离为1 cm，最大距离为3 cm，则圆的半径为( )A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．1 cm或2 cm27、圆心在坐标原点，其半径为7的圆，则下列各点在圆外的是( )A．(3，4) B．(4，4)C．(4，5) D．(4，6)28、如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD//BC，AC平分，，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.三、简答题29、如图，是⊙O的内接三角形，，为⊙O中上一点，延长至点，使．（1）求证：；（2）若，求证：30、如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°，（1）求∠ABD的度数；（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．31、如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．参考答案一、填空题1、42、3、　4、内含5、96、12π7、30°或150°二、选择题8、D9、C10、D11、B　12、A13、D14、C15、C16、C17、C18、A19、A20、B21、D22、D23、B24、C25、D26、D27、D28、 B29、证明：（1）在中，．在中，．，（同弧上的圆周角相等）在和中，（2）若．又30、解：（1）∵∠C=45°，∴∠A=∠C=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=45°；（2）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，BC=3，∴AB=6，∴⊙O的半径为3．31、解：(1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠A＝∠D，∠C＝∠ABD，∴△AEC∽△DEB.(2)∵CD⊥AB，O为圆心，∴BE＝AB＝4.设⊙O的半径为r，∵DE＝2，则OE＝r－2.∴在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE2＋EB2＝OB2，即(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5.∴⊙O的半径为5.。

2012中考数学试题和答案分类汇编：圆

2012中考数学试题及答案分类汇编：圆一、选择题1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切【答案】D 。

【考点】圆与圆位置关系的判定。

【分析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距12O O =7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。

2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是A 、相交B 、外切C 、外离D 、内含【答案】B 。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。

∵圆心距是1+2=3厘米，∴这两个圆的位置关系是外切。

故选B 。

3,（内蒙古包头3分）已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于A 、30°B 、60°C 、45°D 、50°【答案】【考点】角平分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。

【分析】连接OC ，∵OC=OA ，，PD 平分∠APC ，∴∠CPD=∠DPA ，∠CAP=∠ACO 。

∵PC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PC 。

∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP =45°，即∠CDP=45°。

故选C 。

4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD 的长为A. 14B. 15C. 32D. 23【答案】B 。

数学中考复习圆的相关知识点及习题

圆专题一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1.圆周角定理（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（2）推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3）推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．F EBA CDOr a 2d O CBA所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等EO D B A【例1】如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>【例2】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例3】如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例4】如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ ∠的大小为（）A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒【例5】如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例6】如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于ON MHG FE DC BA（） A ．60°B ．100°C ．80°D ．130°【例7】如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．【例8】如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例9】如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．【例10】如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 都在O 上，若C D E ==∠∠∠，求A B +∠∠．DCA BBA【例11】如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器台．【例12】如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为( )B.4D.5【例13】如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例14】如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．2. 圆内接四边形【例15】如图，O ⊙外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上一点，且1AP =，PB =PC 的长．【例16】如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点P ，BAPEC BAP DCBAAB BD =，且0.6PC =，求四边形ABCD 的周长．【例17】如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．一、点与圆的位置关系4. 确定圆的条件（5）圆心(定点)，确定圆的位置；（6）半径(定长)，确定圆的大小．注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 5. 点与圆的位置关系（7）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．（8）设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.如下表所示：C二、过已知点的圆1. 过已知点的圆（1）经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个．（2）经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A B 、的圆，这样的圆也有无数个．（3）过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．（4）过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；（2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．三、三角形的外接圆及外心1. 三角形的外接圆（1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2. 三角形外心的性质（1）三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；（2）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.一、点与圆的位置关系【例18】已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．7二、过三点的圆【例19】如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【例20】如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C ，，，其中B 点的坐标为()44，，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为．三、三角形的外接圆及外心【例21】如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC = .【例22】等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍． ABCD ．12【例23】 ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【例24】已知如图，ACD ∆的外角平分线CB 交其外接圆于B ，连接BA 、BD ，求证：BA BD =．N【例25】已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ． ⑴ 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；⑴ 若30∠=︒BAC ，∆ABC 中BC边上的高为2+∆ABC 外接圆的面积．直线与圆的位置关系设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：6. 切线的性质（9）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（10）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB 过圆心，AB 过切点M ，则AB l ⊥． ②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB 过圆心，AB l ⊥，则AB 过切点M ． ③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l ⊥，AB 过切点M ，则AB 过圆心．7. 切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．AB CD El8. 切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-．二、切线的性质及判定【例1】如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC 与O ⊙相切．lcb acbaO F ED CACBAB A【例2】已知：如图，ABC ∆内接于O ，AD 是过A 的一条射线，且B CAD ∠=∠．求证：AD 是O 的切线．【例3】已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例4】如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．【例5】已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．【例6】如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．C【例7】如图，已知AB 为⑴O 的弦，C 为⑴O 上一点，⑴C =⑴BAD ，且BD ⑴AB 于B ．（1）求证：AD 是⑴O 的切线．（2）若⑴O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．【例8】如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．【例9】如图，AB 是O ⊙的的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦DF AB⊥于点G ．（1）求证：点E 是BD 的中点；（2）求证：CD 是O ⊙的切线；（3）若4sin 5BAD ∠=，O ⊙的半径为5，求DF 的长．【例10】如图，等腰三角形ABC 中，10AC BC ==，12AB =．以BC 为直径作O ⊙交AB 于点D ，交AC于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：直线EF 是O ⊙的切线；（2）求sin E ∠的值．一、切线长定理1.如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=︒，P ∠的度数为（） A ．35︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．70︒2.如图，PA PB 、分别切O ⊙于A B ，两点，PC 满足AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅，且AP PC ⊥，2PAB BPC ∠=∠，求ACB ∠的度数．3.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（）A ．4B ．8C．D．P则OP =（）A ．50cm B．cm Ccm D．cm5.如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D C E ，，．若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（）A ．9B ．10C ．12D ．146.等腰梯形ABCD 外切于圆，且中位线MN 的长为10，那么这个等腰梯形的周长是________．7.如图，PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、，若10PO =，PDE ∆周长为16，求O ⊙的半径．8.如图，PA PB ，切O 于AB ，，MN 切O 于C ，交PA PB ，于M N ，两点，已知8PA =，求PMN ∆的周长．PB P于G，交AB AC、于MN，则BMN∆的周长为______________．10.如图，已知AB是O⊙的直径，BC是和O⊙相切于点B的切线，O⊙的弦AD平行于OC，若2OA=，且6AD OC+=，求CD的长．补充讲义两圆的公切线（选讲自己了解）9.两圆的外公切线（11）求两圆外公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的差为边的特征直角三角形．如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为α，则两圆的外公切线长为：l=，sin2R rdα-=（12）求两圆内公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的和为边的特征直角三角形．10.两圆的内公切线如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为α，则两圆的内公切线长l=，sin2R r dα+ =CB AP圆与相似三角形经典证明题1.如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3 点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系为．2．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．3．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．4．．Rt．ABC．．．ACB=90°．D．AB．．．．．．．BD．．．．．O．AC．．E．．．DE．．．．．BC．．．．．．．F．．BD=BF．．1．．．．AC．．O．．．．2．．BC=6．AB=12．．．O．．．．5．．．．AB．．O．．．．．．A．．O．．．．．．．．．．C．．．OC．．O．．D．BD．．．．．AC．E．．．AD．．1．．．．．CDE．．CAD．．2．．AB=2．AC=2．．AE．．．6. 已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB 于点E．．1．．．．AC•AD=AB•AE．．2．．．BD．⊙O．．．．D．．．．E．OB．．．．．BC=2．．．AC．．．7．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线.8. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．9. 如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．10.．．．．．O．．AB．．．．OC．AB．．CD．OB．．．F．．AB．．．．．．．E．．EF=ED．．1．．．．DE．．O．．．．．2．．OF．OB=1．3．．O．．．R=3．．．．．11．．．．AB ．⊙O ．．．．．D ．．．．．．∠BDE =∠CBE ．BD ．AE ．．．F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2=DF •DB ；（3）在（2）的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA =AO ，DE =2，求PD 的长和⊙O 的半径．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连接AC ，BC ，PB ：PC =1：2．（1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD =3，求△ABC 的面积．13．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OF ⊥BC 于点F ，交⊙O 于点E ，AE 与BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且∠ODB =∠AEC . （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求证：2CE EH EA =⋅；（3）若⊙O 的半径为5，3sin 5A =，求BH 的长.第13题图FH EOC B A。

中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷-附参考答案

中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷-附参考答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定2．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（）A．44°B．45°C．54°D．67°3．下列命题：①三点确定一个圆；②相等的圆周角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；④等弧所对的圆心角相等；其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．34．若圆锥的底面半径长是5，母线长是13，则该圆锥的侧面面积是（）A．60B．60πC．65D．65π5．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A．3π2B．4π3C．4D．2+ 3π26．下列命题正确的个数有（）①长度相等的弧叫做等弧；②三点确定一个圆；③平分弦的直径垂直于弦；④弧相等，则弧所对的圆心角相等．A．1B．2C．3D．47．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．πcm2B．2 πcm2C．6πcm2D．3πcm28．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若⊙ACE=25°，则⊙D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°9．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E 为弧CD上一点，且OE⊙CD，垂足为F，OF=300√3米，则这段弯路的长度为A．200π米B．100π米C．400π米D．300π米10．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点，AE=6，BE=2，CD=2 ，则⊙AED的度数是（）A．30°B．60°C．45°D．36°11．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，⊙CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为（）A．√32B．12C．√33D．√312．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若⊙BOD=⊙BCD，则BD̂的长为（）A．πB．32πC．2πD．3π二、填空题(共6题；共7分)13．如图，△ABC中AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C，则阴影部分的面积为．14．如图，Rt⊙ABC中⊙C=90°，⊙A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是．15．如图所示一张圆形光盘，已知光盘内直径为2cm，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，则另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的外直径是cm，该光盘的面积是cm2．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆OB=√13，BC=4则tanA的值为．R，则AC 17．已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊙AB交半圆于点D，且CD=√32的长为18．如图，在矩形ABCD中AB=2，BC=4点E为BC上一动点，过点B作AE的垂线交AE于点F，连接DF则DF的最小值是．三、综合题(共6题；共60分)19．如图，在△ABC中以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥BC 垂足为点E.（1）求证：AB=BC；（2）若DE=3，CE=6，求直径AB长.20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D.（1）若⊙BAD＝80°，求⊙DAC的度数；（2）如果AD＝6，AB＝8，求AC的长.21．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，⊙BAC=30°，点D是弦AC上的一点.（1）若OD⊙AC，求OD长；（2）若CD=2OD，判断△ADO形状，并说明理由.22．如图，以⊙ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan⊙BAC的值．23．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，点D是弧BC的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F.（1）求证：DF=DE（2）若BD=6，CE=8求⊙O的半径.24．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC,垂足为F，交AB的延长线于点E．（1）求证: EF是⊙O的切线；（2）若AF=6,EF=8，求⊙O的半径．参考答案1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】C 13．【答案】23π14．【答案】√3≤OA ≤43√3 15．【答案】10；24π 16．【答案】2317．【答案】12R 或32R 18．【答案】√17−119．【答案】（1）证明：连接OD .∵DE 是⊙O 的切线 ∴OD ⊥DE ∵DE ⊥BC ∴OD ∥BC ∴∠ODA =∠C又∵OD=OA∴∠ODA=∠OAD ∴∠OAD=∠C∴AB=BC（2）解：连接BD ∵AB为直径∴∠BDA=90°∴∠BDC=90°∴△DEB∼△CED∴DEBE=CEDE∴3BE=63∴BE=3 2∴BC=15 2∴AB=15 220．【答案】（1）解：如图，连接OC∵DC切⊙O于C∴OC⊙CF∴⊙ADC＝⊙OCD＝90°∴AD //OC∴⊙DAC＝⊙OCA∵OA＝OC∴⊙OAC＝⊙OCA∴⊙DAC＝⊙OAC∵⊙BAD＝80°∴⊙DAC＝12⊙BAD＝12×80°＝40°（2）解：连接BC.∵AB是直径∴⊙ACB＝90°＝⊙ADC ∵⊙DAC＝⊙BAC∴⊙ADC⊙⊙ACB∴ACAB=ADAC∵AD＝6，AB＝8∴AC8=6AC∴AC＝4 √3.21．【答案】（1）∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°∵AB=8cm，⊙BAC=30°∴BC=4∵OD⊙AC∴OD//BC∵OA=OB∴OD=12BC=2（2）△ADO是等腰三角形.理由如下：如图，过O作OQ⊥AC于Q,连接OC,∵AB=8,∠BAC=30°∴AC=AB·cos30°=8×√32=4√3∴CQ=AQ=2√3∴OQ=12OA=2设OD=x,则CD=2OD=2x∴DQ=2x−2√3由勾股定理可得：x2=(2x−2√3)2+22∴(√3x−4)2=0∴x1=x2=4√3 3∴AD=4√3−2×4√33=4√33=OD∴△ADO是等腰三角形.22．【答案】（1）证明：连接OD∵OD＝OB∴⊙ODB＝⊙OBD．∵AB是直径∴⊙ADB＝90°∴⊙CDB＝90°．∵E为BC的中点∴DE＝BE∴⊙EDB＝⊙EBD∴⊙ODB＋⊙EDB＝⊙OBD＋⊙EBD 即⊙EDO＝⊙EBO．∵BC是以AB为直径的⊙O的切线∴AB⊙BC∴⊙EBO ＝90°∴⊙ODE ＝90°∴DE 是⊙O 的切线（2）解：连接AE∵S 2＝5S 1，E 为BC 的中点∴S ⊙ACE ＝3S 1∴S ⊙ADE ＝2S 1∴AD =2DC∵⊙CBO ＝90°，⊙CDB ＝90° ∴⊙BDC⊙⊙ADB∴AD BD =DB DC∴DB 2＝AD •DC ，即 DB =√2DC∴DB AD =√2DC 2DC =√22∴tan⊙BAC ＝ DB AD =√2223．【答案】（1）解： ∵AB =AC AB ⏜=AC ⏜ ∵ 点 D 是 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点∴BD ⏜=CD ⏜∴AB ⏜+BD ⏜=AC ⏜+CD ⏜∴ABD ⏜=ACD ⏜∴∠ACD =∠ABD =90°在 △ACF △ABE 中{∠A =∠A AB =AC ∠ABE =∠ACF∴△ACF ≌△ABE(ASA)∴CF =BE又 ∵BD ⏜=CD ⏜∴BD =CD∴CF −CD =BE −BD ，即 DF =DE （2）解：连接 AD由（1）知 ∠ACD =90°∴AD 是 ⊙O 的直径∴∠DCE =90°又 ∵CD =BD =6在 Rt △DCE 中令 AB =AC =x ，在 Rt △ABE 中由 AB 2+BE 2=AE 2 ，得 x 2+(6+10)2=(x +8)2 解得 x =12 ，即 AC =12在 Rt △ACD 中∴⊙O 的半径为 12AD =3√5 24．【答案】（1）证明：连接OD ．∵EF⊙AF∴⊙F ＝90°．∵D 是 BC⌢ 的中点，∴BD ⌢=CD ⌢ ． ∴⊙EOD ＝⊙DOC ＝ 12⊙BOC ∵⊙A ＝ 12⊙BOC ，∴⊙A ＝⊙EOD ∴OD⊙AF ．∴⊙EDO ＝⊙F ＝90°．∴OD⊙EF∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt⊙AFE 中∵AF ＝6，EF ＝8 ∴AE =√AF 2+EF 2 ＝ √62+82 ＝10 设⊙O 半径为r ，∴EO ＝10﹣r ． ∵⊙A ＝⊙EOD ，⊙E ＝⊙E∴⊙EOD⊙⊙EAF ，∴OD AF ＝ OE EA ∴r 6=10−r 10 ．∴r ＝ 154 ，即⊙O 的半径为 154 ．。

（完整版）中考数学圆综合题（含答案）

1 / 17一.圆地概念集合形式地概念： 1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合； 2.2.圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合；圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合； 3.3.圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合轨迹形式地概念：1.1.圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,,定长为半径地圆；（补充）2.2.垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）； 3.3.角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线；角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线；4.4.到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线；到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线；5.5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线. .二.点与圆地位置关系1.1.点在圆内点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2.2.点在圆上点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3.3.点在圆外点在圆外 ⇒ d r > ⇒点A 在圆外；三.直线与圆地位置关系1.1.直线与圆相离直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2.2.直线与圆相切直线与圆相切⇒ d r = ⇒ 有一个交点； 3.3.直线与圆相交直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒有两个交点； drd=rrd四圆与圆地位置关系外离（图1）⇒ 无交点⇒ d R r >+； r dd CBAO外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒d R r <-；图1rRd图3rR d五.垂径定理垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧. .推论1：（1）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦,,并且平分弦所对地两条弧；（2）弦地垂直平分线经过圆心）弦地垂直平分线经过圆心,,并且平分弦所对地两条弧；（3）平分弦所对地一条弧地直径）平分弦所对地一条弧地直径,,垂直平分弦垂直平分弦,,并且平分弦所对地另一条弧以上共4个定理个定理,,简称2推3定理：此定理中共5个结论中个结论中,,只要知道其中2个即可推出其它3个结论个结论,,即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论个结论. . 推论2：圆地两条平行弦所夹地弧相等：圆地两条平行弦所夹地弧相等. .即：在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD六.圆心角定理图2r Rd 图4rRd图5r RdO EDCBAOCDAB圆心角定理：同圆或等圆中同圆或等圆中,,相等地圆心角所对地弦相等相等地圆心角所对地弦相等,,所对地弧相等相等,,弦心距相等弦心距相等. . 此定理也称1推3定理定理,,即上述四个结论中即上述四个结论中,,只要知道其中地1个相等个相等,,则可以推出其它地3个结论个结论, , 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD七.圆周角定理1.1.圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半. . 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对地圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2.2.圆周角定理地推论：圆周角定理地推论：推论1：同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中：同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中,,相等地圆周角所对地弧是等弧；即：在⊙O 中,∵C ∠D ∠都是所对地圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对地圆周角是直角；圆周角是直角所对地弧是半圆是半圆,,所对地弦是直径所对地弦是直径. .即：在⊙O 中,∵AB 是直径或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上地中线等于这边地一半：若三角形一边上地中线等于这边地一半,,那么这个三角形是直角三角形角三角形. .即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理. .八.圆内接四边形F E DCBAOCBAODCB AOCBAOC BAO圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补,,外角等于它地内对角外角等于它地内对角. . 即：在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠九.切线地性质与判定定理（1）切线地判定定理：过半径外端且垂直于半径地直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径两个条件：过半径外端且垂直半径,,二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 地切线（2）性质定理：切线垂直于过切点地半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线地直线必过切点：过圆心垂直于切线地直线必过切点. . 推论2：过切点垂直于切线地直线必过圆心：过切点垂直于切线地直线必过圆心. . 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个. .十.切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆地两条切线从圆外一点引圆地两条切线,,它们地切线长相等它们地切线长相等,,这点和圆心地连线平分两条切线地夹角切线地夹角. .即：∵PA .PB 是地两条切线 ∴PA PB =PO 平分BPA ∠EDCBANMAOPBAO十一十一..圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交：圆内两弦相交,,交点分得地两条线段地乘积相等交点分得地两条线段地乘积相等. . 即：在⊙O 中,∵弦AB .CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）推论：如果弦与直径垂直相交）推论：如果弦与直径垂直相交,,那么弦地一半是它分直径所成地两条线段地比例中项条线段地比例中项. .即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理：从圆外一点引圆地切线和割线：从圆外一点引圆地切线和割线,,切线长是这点到割线与圆交点地两条线段长地比例中项点地两条线段长地比例中项. .即：在⊙O 中,∵PA 是切线是切线,,PB 是割线 ∴2PA PC PB =⋅ （4）割线定理：从圆外一点引圆地两条割线：从圆外一点引圆地两条割线,,这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等（如上图）这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等（如上图）. . 即：在⊙O 中,∵PB .PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅十二十二..两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公共弦共弦. .如图：12O O 垂直平分AB 即：∵⊙1O .⊙2O 相交于A .B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三十三..圆地公切线两圆公切线长地计算公式：PO DCBAO EDCBA DEC BPAOBA O1O2C O2O1B A（1）公切线长：12Rt O O C ∆中,22221122AB CO O O CO ==-；（2）外公切线长：2CO 是半径之差；内公切线长：2CO 是半径之和是半径之和 . . 十四十四..圆内正多边形地计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；（2）正四边形同理同理,,四边形地有关计算在Rt OAE ∆中进行中进行,,::1:1:2OE AE OA =：（3）正六边形同理同理,,六边形地有关计算在Rt OAB ∆中进行中进行,,::1:3:2AB OB OA =十五十五..扇形扇形..圆柱和圆锥地相关计算公式1.1.扇形：扇形：（1）弧长公式：180n R l π=；（2）扇形面积公式：213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应地圆地半径l ：扇形弧长 S ：扇形面积2012数学中考圆综合题数学中考圆综合题1．如图,△ABC 中,以BC 为直径地圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC ．（1）求证：CA 是圆地切线；是圆地切线；DCBAOECBADOBAOS lBAO（2）若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC =32,tan ∠AEC =35,求圆地直径．求圆地直径．2如图,已知AB 是⊙O 地弦,OB ＝2,∠B ＝30°,C 是弦AB 上地任意一点（不与点A.B 重合）,连接CO 并延长CO 交于⊙O 于点D,连接AD ．(1)弦长AB 等于等于▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时,求∠BOD 地度数；地度数；(3)当AC 地长度为多少时,以A.C.D 为顶点地三角形与以B.C.O 为顶点地三角形相似？请写出解答过程．为顶点地三角形相似？请写出解答过程．3. 如图右如图右,,已知直线PA 交⊙交⊙00于A.B 两点两点,AE ,AE 是⊙是⊙00地直径．点C 为⊙为⊙00上一点上一点,,且AC 平分∠分∠PAE,PAE,PAE,过过C 作CD CD⊥⊥PA,PA,垂足为垂足为D. (1)(1)求证：求证：求证：CD CD 为⊙为⊙00地切线；地切线；(2)(2)若若DC+DA=6,DC+DA=6,⊙⊙0地直径为l0,l0,求求AB 地长度地长度. . 1. (1)证明：连接证明：连接OC, ∵点C 在⊙在⊙00上,0A=OC,,0A=OC,∴∠∴∠∴∠OCA=OCA=OCA=∠∠OAC,OAC,∵∵CD CD⊥⊥PA,PA,∴∠∴∠∴∠CDA=90CDA=90CDA=90°°,有∠有∠CAD+CAD+CAD+∠∠DCA=90DCA=90°°,∵AC 平分∠平分∠PAE,PAE,PAE,∴∠∴∠∴∠DAC=DAC=DAC=∠∠CAO. ∴∠∴∠DC0=DC0=DC0=∠∠DCA+DCA+∠∠ACO=ACO=∠∠DCA+DCA+∠∠CAO=CAO=∠∠DCA+DCA+∠∠DAC=90DAC=90°°. 又∵点C 在⊙在⊙O O 上,OC 为⊙为⊙00地半径地半径,,∴CD 为⊙为⊙00地切线．地切线． (2)(2)解：过解：过0作0F 0F⊥⊥AB,AB,垂足为垂足为F,F,∴∠∴∠∴∠OCA=OCA=OCA=∠∠CDA=CDA=∠∠OFD=90OFD=90°°, ∴四边形OCDF 为矩形为矩形,,∴0C=FD,OF=CD. ∵DC+DA=6,DC+DA=6,设设AD=x,AD=x,则则OF=CD=6-x,OF=CD=6-x,∵⊙∵⊙∵⊙O O 地直径为10,10,∴∴DF=OC=5,DF=OC=5,∴∴AF=5-x,在Rt Rt△△AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得：211180x x -+= 解得2x =或9x =.由AD<DF,AD<DF,知知05x <<,故2x =. 从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF OF⊥⊥AB,AB,由垂径定理知由垂径定理知由垂径定理知,F ,F 为AB 地中点地中点,,∴AB=2AF=6.4．（已知四边形ABCD 是边长为4地正方形,以AB 为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上地动点（不与点A.B 重合）,连接PA.PB.PC.PD ．(1)如图①,当PA 地长度等于地长度等于 ▲ 时,∠PAB ＝60°；°；当PA 地长度等于地长度等于 ▲ 时,△PAD 是等腰三角形；是等腰三角形；(2)如图②,以AB 边所在直线为x 轴.AD 边所在直线为y 轴,建立如图所示地直角坐标系示地直角坐标系（点（点A 即为原点O ）,把△PAD.△PAB.△PBC 地面积分别记为S 1.S 2.S 3．坐标为（a ,b ）,试求2 S 1 S 3－S 22地最大值,并求出此时a ,b 地值．地值．5.6.6.（（11金华）如图,射线PG 平分∠EPF ,O 为射线PG 上一点,以O 为圆心,10为半径作⊙O ,分别与∠EPF地两边相交于A .B 和C .D ,连结OA ,此时有OA//PE ．（1）求证：AP =AO ；（2）若tan ∠OPB =12,求弦AB 地长；地长；（3）若以图中已标明地点（即P .A .B .C .D .O ）构造四边形,则能构成菱形地四个点为则能构成菱形地四个点为 ▲ ,能构成等腰梯形地四个点为能构成等腰梯形地四个点为▲ 或 ▲ 或 ▲ .（1）∵PG 平分∠EPF ,∴∠DPO =∠BPO ,∵OA//PE ,∴∠DPO =∠POA ,∴∠BPO =∠POA ,∴P A =OA ； ……2分（2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ,则AH =HB =12AB ,……1分 ∵ tan ∠OPB =12OH PH=,∴PH =2OH ,…………1分设OH =x ,则PH =2x ,由（1）可知P A =OA = 10 ,∴AH =PH －P A =2x －10,∵222222AH OH OA +=, ∴222222(210)10x x -+=, ……1分解得10x =（不合题意,舍去）,28x =, ∴AH =6, ∴AB=2AH=12； ……1分（3）P A O C ；A B.D.C 或 P .A.O.D或P .C.O.B . 7．（芜湖市）（本小题满分12分）分）如图,BD 是⊙O 地直径,OA ⊥OB ,M 是劣弧AB ⌒上一点,过点M 点作⊙O 地切线MP 交OA 地延长线于P 点,MD 与OA 交于N 点．点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）若BD ＝4,P A ＝ 32AO ,过点B 作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 地长．地长．8．（黄冈市）（6分）如图如图,,点P 为△为△ABC ABC 地内心地内心,,延长AP 交△交△ABC ABC 地外接圆于D,D,在在AC 延长线上有一点E,E,满足满足AD 2＝AB AB··AE,求证：求证：DE DE 是⊙是⊙O O 地切线地切线. .PABCO D EFG第21题图题图H PABCO DEF G（证明：连结DO,DO,∵∵AD 2＝AB AB··AE,AE,∠∠BAD BAD＝∠＝∠＝∠DAE,DAE,DAE,∴△∴△∴△BAD BAD BAD∽△∽△∽△DAE, DAE, ∴∠∴∠ADB ADB ADB＝∠＝∠＝∠E. E. E. 又∵∠又∵∠又∵∠ADB ADB ADB＝∠＝∠＝∠ACB,ACB,ACB,∴∠∴∠∴∠ACB ACB ACB＝∠＝∠＝∠E,BC E,BC E,BC∥∥DE, 又∵又∵OD OD OD⊥⊥BC,BC,∴∴OD OD⊥⊥DE,DE,故故DE 是⊙是⊙O O 地切线）地切线）9．（义乌市）如图,以线段AB 为直径地⊙O 交线段AC 于点E ,点M 是»AE 地中点,OM 交AC 于点D ,60BOE ∠=°,1cos 2C =,23BC =．（1）求A ∠地度数；地度数；（2）求证：BC 是⊙O 地切线；地切线；（3）求¼MD 地长度．地长度．（解：（1）∵∠BOE =60=60°° ∴∠A ＝12∠BOE ＝ 30° （2）在△ABC 中 ∵1cos 2C = ∴∠C =60=60°…°…°…11分又∵∠A ＝3030°°∴∠ABC =90=90°∴°∴AB BC ⊥…………22分 ∴BC 是⊙O 地切线地切线（3）∵点M 是»AE 地中点地中点 ∴OM ⊥AE 在Rt Rt△△ABC 中∵23BC = ∴AB =tan 60233BC ︒=⨯=g 6 ∴OA =32AB = ∴OD =12OA =32∴MD =32） 10. （兰州市）（本题满分10分）如图如图,,已知AB 是⊙是⊙O O 地直径地直径,,点C 在⊙在⊙O O 上,过点C 地直线与AB 地延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2COB=2∠∠PCB.（1）求证：）求证：PC PC 是⊙是⊙O O 地切线；地切线；（2）求证：）求证：BC=BC=21AB AB；；（3）点M 是弧AB 地中点地中点,CM ,CM 交AB 于点N,N,若若AB=4,AB=4,求求MN MN··MC 地值地值. . 解：（1）∵）∵OA=OC,OA=OC,OA=OC,∴∠∴∠∴∠A=A=A=∠∠ACO ∵∠∵∠COB=2COB=2COB=2∠∠A ,∠COB=2COB=2∠∠PCB ∴∠∴∠A=A=A=∠∠ACO=ACO=∠∠PCB∵AB 是⊙是⊙O O 地直径地直径 ∴∠∴∠ACO+ACO+ACO+∠∠OCB=90OCB=90°° ∴∠∴∠PCB+PCB+PCB+∠∠OCB=90OCB=90°°,即OC OC⊥⊥CP ∵OC 是⊙是⊙O O 地半径地半径 ∴PC 是⊙是⊙O O 地切线地切线（2）∵）∵PC=AC PC=AC ∴∠∴∠∴∠A=A=A=∠∠P ∴∠∴∠A=A=A=∠∠ACO=ACO=∠∠PCB=PCB=∠∠P ∵∠∵∠COB=COB=COB=∠∠A+A+∠∠ACO,ACO,∠∠CBO=CBO=∠∠P+P+∠∠PCB ∴∠∴∠CBO=CBO=CBO=∠∠COB∴BC=OC ∴BC=21AB(3)连接MA,MB∵点M 是弧AB 地中点地中点 ∴弧∴弧AM=AM=弧弧BM ∴∠∴∠∴∠ACM=ACM=ACM=∠∠BCM∵∠∵∠ACM=ACM=ACM=∠∠ABM ∴∠∴∠∴∠BCM=BCM=BCM=∠∠ABM∵∠∵∠BMC=BMC=BMC=∠∠BMN ∴△∴△MBN MBN MBN∽△∽△∽△MCB MCB∴BM MNMC BM = ∴BM 2=MC =MC··MN∵AB 是⊙是⊙O O 地直径地直径,,弧AM=AM=弧弧BM ∴∠∴∠AMB=90AMB=90AMB=90°°,AM=BM∵AB=4 ∴BM=22 ∴MC MC··MN=BM 2=811．（本题满分14分） OB ACE M D如图（1）,两半径为r 地等圆1O e 和2O e 相交于M N ，两点,且2O e 过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ,分别交1O e 和2O e 于A B ，两点,连结NA NB ，．（1）猜想点2O 与1O e 有什么位置关系,并给出证明；并给出证明；（2）猜想NAB △地形状,并给出证明；并给出证明；（3）如图（2）,若过M 地点所在地直线AB 不垂直于MN ,且点A B ，在点M 地两侧,那么（2）中地结论是否成立,若成立请给出证明．若成立请给出证明．4. （1）2O 在1O e 上证明：2O Q e 过点1O ,12O O r ∴=．又1O Q e 地半径也是r ,∴点2O 在1O e 上．上．（2）NAB △是等边三角形是等边三角形证明：MN AB ⊥Q ,90NMB NMA ∴∠=∠=o o． BN ∴是2O e 地直径,AN 是1O e 地直径,即2BN AN r ==,2O 在BN 上,1O 在AN 上．上．连结12O O ,则12O O 是NAB △地中位线．1222AB O O r ∴==． AB BN AN ∴==,则NAB △是等边三角形．是等边三角形．（3）仍然成立．证明：由（2）得在1O e 中¼MN 所对地圆周角为60o．在2O e 中¼MN 所对地圆周角为60o． ∴当点A B ，在点M 地两侧时,在1O e 中¼MN 所对地圆周角60MAN ∠=o ,在2O e 中¼MN 所对地圆周角60MBN ∠=o,NAB ∴△是等边三角形．是等边三角形．12．如图12,已知：边长为1地圆内接正方形ABCD 中,P 为边CD 地中点,直线AP 交圆于E 点．点．O 2O 1NMBA 图（1） O 2O 1NMBA图（2）（1）求弦DE 地长．地长．（2）若Q 是线段BC 上一动点,当BQ 长为何值时,三角形ADP 与以Q C P ，，为顶点地三角形相似．为顶点地三角形相似． 1）如图1．过D 点作DF AE ⊥于F 点．在Rt ADP △中,2252AP AD DP =+=又1122ADP S AD DP AP DF ==Q g g △ 55DF ∴=»AD Q 地度数为90o 45DEA ∴∠=o 1025DE DF ∴==（2）如图2．当Rt Rt ADP QCP △∽△时有AD DP QCCP=得：1QC =．即点Q 与点B 重合,0BQ ∴=如图3,当Rt Rt ADP PCQ △∽△时,有AD PD PC QC =得14QC =,即334BQ BC CQ =-=∴当0BQ =或34BQ =时,三角形ADP 与以点Q C P ，，为顶点地三角形相似．为顶点地三角形相似．13.．（本小题满分10分）如图,⊙O 是Rt △ABC 地外接圆,AB 为直径,∠ABC =30°=30°,,CD 是⊙O 地切线,ED ⊥AB 于F , (1)判断△DCE 地形状；(2)设⊙O 地半径为1,且OF =213-,求证△DCE ≌△OCB ． 6. 解：(1)∵∠ABC =30°=30°,,∴∠BAC =60°．又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形．是正三角形．又∵CD 是切线,∴∠OCD =90°=90°,,∴∠DCE =180°=180°-60°-60°-60°-90°-90°-90°=30°=30°．而ED ⊥AB 于F ,∴∠CED =90°=90°--∠BAC =30°．故△CDE 为等腰三角形．为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中,∵AB =2,AC =AO =1,∴BC =2212-=3．OF =213-,∴AF =AO +OF =213+．又∵∠AEF =30°=30°,,∴AE =2AF =3+1． ∴CE =AE -AC =3=BC ．而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°=90°--60°=30°=∠ABC ,故△CDE ≌△COB .14（08湖北襄樊24题）8．（本小题满分10分）分） BADE PC图12第6题图题图A B DEOF C B A D E P C5题图1FB A D E P C5题图2Q BA D EPC5题图3（Q如图14,直线AB 经过O e 上地点C ,并且OA OB =,CA CB =,O e 交直线OB 于E D ，,连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O e 地切线；地切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间地等量关系,并加以证明；并加以证明；（3）若1tan 2CED ∠=,O e 地半径为3,求OA 地长．地长．（1）证明：如图3,连接OC ． OA OB =Q ,CA CB =,OC AB ∴⊥．AB ∴是O e 地切线．地切线．（2）2BC BD BE =g ． ED Q 是直径,90ECD ∴∠=o o． 90E EDC ∴∠+∠=o o．又90BCD OCD ∠+∠=o oQ ,OCD ODC ∠=∠, BCD E ∴∠=∠．又CBD EBC ∠=∠Q ,BCD BEC ∴△∽△ BC BD BE BC∴=．2BC BD BE ∴=g ．（3）1tan 2CED ∠=Q ,12CDEC ∴=．BCD BEC Q △∽△,12BD CD BC EC ∴==．设BD x =,则2BC x =．又2BC BD BE =g ,2(2)(6)x x x ∴=+g ．解之,得10x =,22x =．0BD x =>Q ,2BD ∴=． 325OA OB BD OD ∴==+=+=．15 如图如图14,14,直线直线AB 经过O e 上地点C ,并且OA OB =,CA CB =,O e 交直线OB 于E D ，,连接EC CD ，．（1）求证：直线AB 是O e 地切线；地切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间地等量关系三者之间地等量关系,,并加以证明；并加以证明；（3）若1tan 2CED ∠=,O e 地半径为3,3,求求OA 地长．地长． 4 解：解：（1）证明：如图3,3,连接连接OC ． OA OB =Q ,CA CB =,OC AB ∴⊥．AB ∴是O e 地切线．地切线．（2）2BC BD BE =g ． ED Q 是直径是直径,,90ECD ∴∠=o．90E EDC ∴∠+∠=o．又90BCD OCD ∠+∠=o oQ ,OCD ODC ∠=∠,BCD E ∴∠=∠．又CBD EBC ∠=∠Q ,BCD BEC ∴△∽△．BC BD BE BC∴=．2BC BD BE ∴=g ．（3）1tan 2CED ∠=Q ,12CD EC ∴=．BCD BEC Q △∽△,12BD CD BC EC ∴==．设BD x =,则2BC x =．又2BC BD BE =g ,2(2)(6)x x x ∴=+g ．解之解之,,得10x =,22x =．0BD x =>Q ,2BD ∴=．325OA OB BD OD ∴==+=+=．5 ⊙O 地半径OD 经过弦AB (不是直径不是直径))地中点C ,过AB 地延长线上一点P 作⊙O 地切线PE ,E 为切点为切点,,PE ∥OD ；延长直径(5题) PEDKHGC A B F OAG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ,交PE 于点K ．（1）求证：四边形OCPE 是矩形；（2）求证：HK ＝HG ；（3）若EF ＝2,FO ＝1,1,求求KE 地长．地长．5解：(1)∵AC ＝BC ,AB 不是直径,∴OD ⊥AB ,∠PCO ＝90°90°(1(1分) ∵PE ∥OD ,∴∠P ＝90°90°,,∵PE 是切线,∴∠PEO ＝90°90°,(2,(2分) ∴四边形OCPE 是矩形.(3分)(2)∵OG ＝OD ,∴∠OGD ＝∠ODG .∵PE ∥OD ,∴∠K ＝∠ODG .(4分) ∵∠OGD ＝∠HGK ,∴∠K ＝∠HGK ,∴HK ＝HG .(5分)(3)∵EF ＝2,OF ＝1,∴EO ＝DO ＝3.(6分)∵PE ∥OD ,∴∠KEO ＝∠DOE ,∠K ＝∠ODG .∴△OFD ∽△EFK ,(7分)∴EF ∶OF ＝KE ∶OD ＝2∶1,∴KE ＝6.(8分) 6 如图如图如图,,直角坐标系中直角坐标系中,,已知两点O(0,0) A(2,0),A(2,0),点点B 在第一象限且△在第一象限且△OAB OAB 为正三角形为正三角形,,△OAB 地外接圆交y 轴地正半轴于点C,C,过点过点C 地圆地切线交X 轴于点D ．（1）求B C ，两点地坐标；（2）求直线CD 地函数解析式；地函数解析式；（3）设E F ，分别是线段AB AD ，上地两个动点上地两个动点,,且EF 平分四边形ABCD 地周长．地周长．试探究：AEF △地最大面积？地最大面积？6 （1）(20)A Q ，,2OA ∴=．作BG OA ⊥于G ,OAB Q △为正三角形, 1OG ∴=,3BG =．(13)B ∴，．连AC ,90AOC ∠=oQ ,60ACO ABO ∠=∠=o ,23tan 303OC OA ∴==o．2303C ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，．（2）90AOC ∠=oQ ,AC ∴是圆地直径,又CD Q 是圆地切线,CD AC ∴⊥．30OCD ∴∠=o ,2tan 303OD OC ==o ．203D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．设直线CD 地函数解析式为(0)y kx b k =+≠,则233203b k b⎧=⎪⎨⎪=-+⎪⎩,解得3233k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴直线CD 地函数解析式为2333y x =+．（3）2AB OA ==Q ,23OD =,423CD OD ==,233BC OC ==,∴四边形ABCD 地周长2363+．设AE t =,AEF △地面积为S ,则333AF t =+-,133sin 603243S AF AE t t ⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭og ． 233393733434632St t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥=+-=--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ．∴当936t +=时,max 733128S =+． Q 点E F ，分别在线段AB AD ，上,023203233t t ⎧⎪∴⎨+-+⎪⎩≤≤≤≤,解得1323t +≤≤． 936t +=Q 满足1323t +≤≤,AEF ∴△地最大面积为733128+． 7 如图（1818））,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,,ABC △地边AB 在x 轴上轴上,,且OA OB >,以AB 为直径地圆过点C ．若点C 地坐6题（第6题）题）标为(02)，,5AB =,A.B 两点地横坐标A x ,B x 是关于x 地方程2(2)10x m x n -++-=地两根．地两根．（1）求m .n 地值；地值；（2）若ACB ∠平分线所在地直线l 交x 轴于点D ,试求直线l 对应地一次函数解析式；对应地一次函数解析式；（3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA .CB （点C 除外）于点M .N ．则11CM CN+地是否为定值？若是地是否为定值？若是,,求出该定值；若不是该定值；若不是,,请说明理由．请说明理由．7 解：（1）Q 以AB 为直径地圆过点C ,90ACB ∴∠=o ,而点C 地坐标为(02)，, 由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△,2CO AO BO ∴=g ,即：4(5)AO AO =-g ,解之得：4AO =或1AO =．OA OB >Q ,4AO ∴=,即41A B x x =-=，．由根与系数关系有：21A B A B x x m x x n +=+⎧⎨=-⎩g ,解之5m =-,3n =-．（2）如图（）如图（33）,过点D 作DE BC ∥,交AC 于点E ,易知DE AC ⊥,且45ECD EDC ∠=∠=o ,在ABC △中,易得255AC BC ==，,AD AE DE BC DB EC∴=Q ∥，,AD AE DE EC BD DE =∴=Q ，, 又AED ACB △∽△,有AE AC ED BC =,2AD ACDB BC∴==,553AB DB ==Q ，,则23OD =,即203D ⎛⎫-⎪⎝⎭，,易求得直线l 对应地一次函数解析式为：32y x =+．解法二：过D 作DE AC ⊥于E ,DF CN ⊥于F ,由ACD BCD ABC S S S +=△△△,求得253DE = 又1122BCD S BD CO BC DF ==g g △求得5233BD DO ==，．即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,易求直线l 解析式为：32y x =+．（3）过点D 作DE AC ⊥于E ,DF CN ⊥于F ．CD Q 为ACB ∠地平分线地平分线,,DE DF ∴=．由MDE MNC △∽△,有DE MDCN MN=由DNF MNC △∽△, 有DF DN CM MN =1DE DF MD DNCN CM MN MN ∴+=+=, 即1113510CMCNDE+==8 如图如图如图,,在ABC △中90ACB ∠=o,D 是AB 地中点地中点,,以DC 为直径地O e 交 ABC △地三边地三边,,交点分别是G F E ，，点．GE CD ，地交点为M ,且46ME =, :2:5MD CO =．（1）求证：GEF A ∠=∠．（2）求O e 地直径CD 地长．地长．8 （1）连接DF CD Q 是圆直径是圆直径,,90CFD ∴∠=o,即DF BC ⊥90ACB ∠=o Q ,DF AC ∴∥． BDF A ∴∠=∠．Q 在O e 中BDF GEF ∠=∠,GEF A ∴∠=∠． 2分（2）D Q 是Rt ABC △斜边AB 地中点地中点,,DC DA ∴=,DCA A ∴∠=∠, 又由（又由（11）知GEF A ∠=∠,DCA GEF ∴∠=∠．y x图（3）NB AC O DM EE F (0，2) l l 'EADGBFCOM第25题图题图又OME EMC ∠=∠Q ,OME ∴△与EMC △相似OM MEME MC∴=2ME OM MC ∴=⨯4分又46ME =Q ,2(46)96OM MC ∴⨯==:2:5MD CO =Q ,:3:2OM MD ∴=,:3:8OM MC ∴=设3OM x =,8MC x =,3896x x ∴⨯=,2x ∴= ∴直径1020CD x ==．。

人教九年级中考数学复习题(六)--圆(含答.案)

九年级中考数学复习题（六）圆一、选择题（每题3分，共30分）1、如图，⊙O 的半径13，弦AB 的长度是24，AB ON ⊥，垂足为N ，则ON=（）A 、5B 、7C 、9D 、112、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，若 60=∠OBC ，则BAC ∠的度数是（）A 、 75B 、 60C 、 45D 、303、在Rt ABC ∆中，,4,3,90cm BC cm AC C ===∠ 则它的外心与顶点C 的距离为（）A 、cm 2B 、cm 5.2C 、cm 3D 、cm 44、已知⊙O 的半径为5，点O 到同一平面内直线l 的距离为4，则直线l 与⊙O 的位置关系是（）A 、相离B 、相切C 、相交D 、无法判断5、正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是（） A 、3 B 、2 C 、3 D 、326、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，若OA=2， 60=∠P ，则AB 的长为（） A 、π32 B 、π C 、π34 D 、π35 7、如图，在半径为cm 13的圆形铁片上切下一块高为cm 8的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（）A 、cm 10B 、16cmC 、24cmD 、26cm8、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形ABCO 是平行四边形，则ADC ∠的大小为（）A 、 45B 、 30C 、 60D 、759、如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是（）A 、108≤≤AB B 、108≤<ABC 、54≤≤ABD 、54≤<AB10、如图，PA ，PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA 、PB 于C 、D ，若⊙O 的半径为r ，PCD ∆的周长等于r 3，则APB ∠tan 的值是（）A 、13125B 、512C 、1353D 、1332二、填空题（每题4分，共24分）11、如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆， 68=∠A ，则OBC ∠的大小是 .12、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于OA 两点，点A 的坐标为（6，0），⊙P 的半径为13，则点P 的坐标为 .13、如图，AB 和⊙O 切于点B ，AB=5，OB=3，则A tan = .14、如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是 .15、如图，正方形ABCD 内接于半径为2的⊙O ，则图中阴影部分的面积为 .16、如图，已知等边ABC ∆的边长为6，以AB 为直径的⊙O 与边AC ，BC 分别交于D ，E 两点，则劣弧DE 的长为 .三、解答题一（每题6分，共18分）17、如图，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，若 40=∠ABT ，求ATB ∠的度数.18、如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若 25=∠C ，求D ∠的大小.19、已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，求这个圆锥的侧面积.（结果保留π）四、解答题二（每题7分，共21分）20、如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB 交CD 于点E ，连接BD 、OB.（1）求证：AEC ∆ DEB ∆；（2）若,2,8,==⊥DE AB AB CD 求⊙O 的半径.21、如图，在Rt ABC ∆中，90=∠B ，点O 在边AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点C ，过点C 作直线MN ，使.2A BCM ∠=∠（1）判断直线MN 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若OA=4， 60=∠BCM ，求图中阴影部分的面积.22、如图，点O 为Rt ABC ∆斜边AB 上的一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 切于点D ，与AC 交于点E ，连接AD.(1)求证：AD 平分BAC ∠；(2)若 60=∠BAC ，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）五、解答题三（每题9分，共27分）23、如图，ABC ∆中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连结AD ，DE.（1）求证：D 是BC 的中点；（2）若DE=3，BD-AD=2，求⊙O 的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE 的长.24、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB=4，BC=2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP.（1）求OPC ∆的最大面积；（2）求OCP ∠的最大度数；（3）如图2，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB.当CP=DP 时，求证：CP 是⊙O 的切线.25、如图，点A 、B 、C 、D 是直径为AB 的⊙O 上的四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 与BD 交于点E.（1）求证：AC CE DC ⋅=2（2）若AE=2，EC=1，求证：AOD ∆是正三角形.（3）在（2）的条件下，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点H ，求ACH ∆的面积.九年级中考数学复习题（六）圆参考答案一、ADBCB CCCAB二、11、 22 12、（3，2） 13、53 14、2 15、2-π 16、π 三、切解AT 、 :17⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，90=∠∴BAT90=∠+∠∴ATB ABT又40=∠ABT 504090=-=∠∴ATB18、解：,25,25=∠=∠∴=∠C A C ⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，∴,90, =∠∴⊥AED CD AB 652590=-=∠∴D19、解：ππ1025=⨯⨯=侧S ，答：这个圆锥的侧面积为.10π四、20、解：（1）证明：,,BED CEA DBE C ∠=∠∠=∠AEC ∆∴ .DEB ∆（2）设 ⊙O 的半径为r ，8,=⊥，AB CD AB CD 是直径，,4==∴BE AE在Rt ，OB BE ，OEOBE 222=+∆中即,4)2(222r r =+-.5=∴r21、解：（1）MN 是⊙O 的切线，理由如下：连接OCOCA OAC OC OA ∠=∠∴=,,2,2A BCM A OCA A BOC ∠=∠∠=∠+∠=∠,BOC BCM ∠=∠∴,,90,90,90MN OC BCO BCM BCO BOC B ⊥∴=∠+∠∴=∠+∠∴=∠∴MN 是⊙O 的切线. .343163242136041203222130412060)1()2(2-=⨯⨯-⨯=-=∴===∴=∠==∆=∠∴=∠=∠∆ππOAC OAC S S S ，，BC OC BO ，BCO ，OA ，OC BCO Rt ，AOC ，BCM BOC 扇形阴影中在知由 .:)1(22OD 、连接证明BC 是⊙O 的切线，D 为切点，∴.BC OD ⊥.//BAC AD OAD ，CAD OADADO OA ，OD CAD ，ADO ACOD BC ，AC ∠∠=∠∠=∠∴=∠=∠∴∴⊥平分即又又（2）解：连接OE ，ED ， ,,60OA OE BAC ==∠OAE ∆∴为等边三角形，.32360260602//3021,30,602ππ=⨯⨯==∴=∠=∠=∴∴∠=∠∴=∠=∠=∠=∠∴=∠∴∆∆ODEOEDAED S S ，EAD DOE S S AO ，ED OAD ，ADE ，BAC EAD OAD ADE AOE 扇形阴影又又五、为证明解AB 、 :)1(:23⊙O 的直径，.BC AD ⊥∴又,AC AB =.的中点是BC D ∴ ，AD BD AB ，，AD ，BD ABD Rt ，AD ，AD BD ，DE BD DE ，DC E ，C E ，B C B AC AB 101313123,,)2(2222=+=+=∴==∆=∴=-==∴=∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴=中在又又则⊙O 的半径为.210 （3）连接BE ，AB 是⊙O 的直径，C ，C ，BEC ADC ，BEC ADC BEC ∠=∠=∠=∠∆∆=∠∴ 90,90中和在∴ADC ∆ ,BEC ∆.5104,51091063,=-=∴=⨯=⋅=∴=∴AC CE AE CA CB CD CE CBCA CE CD .44224)1(:24的最大面积为的面积最大此时边上的高为最大值时当是定值的边长解OPC ，BC OB ，OC OB OP ，，BC AB ，OPC ，，OC OC OP ，OC OPC 、∆∴=+===∴==∆⊥∴∆ （2）当PC 与⊙O 相切，.30,30,21sin 2490 的最大度数为中在的度数最大时即OCP OCP OC OP OCP ，，OP ，OC OPC ，OPC Rt ，OCP ，PC OP ∠∴=∠∴==∠∴===∠∆∠⊥（3）如图，连接AP 、BP ， .4,,,,,.,PBD OPC PBDOPC BD ，，PC PD OC D C D A C A PC AP DB CP DB AP DOB AOP ∠=∠∴∆≅∆∴===∠=∠∴∠=∠∠=∠∴=∴==∴∠=∠ 又PD 是⊙O 的直径，,90,90PC OP OPC PBD ⊥∴=∠∴=∠∴又OP 是⊙O 的半径，∴CP 是⊙O 的切线.DCE ，ACD CDB ，DAC ，BD C 、∠=∠∠=∠∴ 又的中点是劣弧证明:)1(25ACD ∆∴ DCE ∆,AC CE DC CECD DC AD ⋅=∴=2, 312,1,2)2(=+=+=∴==EC AE AC EC AE3,32==∴DC DC 即，如图，连接OC ，OD ，，BD C 的中点是劣弧 3==∴DC BC ，AB 是⊙O 的直径， 90=∠∴ACB ，AB=32)3(32222=+=+BC AC ， 3===∴OD OC OBDOC BOC ∆∆∴和均是正三角形，.,60180,120是正三角形又AOD OD ，OA BOD DOA BOD ∆∴==∠-=∠∴=∠∴，AGC G ，AH CG C 90:)3(=∠⊥则于点作过点解是CH ⊙O 的切线，,90, =∠∴⊥∴HCO CH OC .4392333212133223323233212130,.30,30609090,60=⨯⨯=⋅=∴==∴===⨯==∴=∠∆=∴∆∴∠=∠∴=∠=-=∠-=∠∴=∠∆CG AH S ，AG AH ，AC ，AG AC CG ，CAG ，ACG Rt GH ，AG ，ACH H CAH CAB COH H COH AHC 中在是等腰三角形。

2012年中考题圆真题

2012年中考题圆真题一、选择题1．(2011·达州)生活处处皆学问．如图，自行车轮所在两圆的位置关系是( )2．(2011·无锡)已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d的取值满足( )A．d>9 B．d＝9C．3<d<9 D．d＝33．(2011·宁波)两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是( )A．内切 B．相交 C．外切 D．外离4．(2011·上海)已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置关系是( ) A．相交或相切 B．相切或相离C．相交或内含 D．相切或内含5．(2011·茂名)如图，⊙O1、⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时，则点O2移动的长度是( )A．4 B．8C．16 D．8 或16二、填空题6．(2011·苏州)如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC＝3BC，CD与⊙O相切，切点为D.若CD＝3，则线段BC的长度等于_____1_____．答案解析连接OD.∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD.∵AC＝3BC，∴OA＝OB＝BC.在Rt△OCD中，设OD＝r，则OC＝2r，r2＋(3)2＝(2r)2，∴r＝1，即BC＝r＝1.7．(2011·南充)如图，PA、PB是⊙O是切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC ＝25°，则∠P＝_____50_______度．答案解析∵∠BAC＝25°，OA＝OB，∴∠AOB＝180°－2×25°＝130°.∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥BP，∴在四边形AOBP中，∠P＝360°－130°－90°－90°＝50°.8．(2011·株洲)两圆的圆心距d＝5，它们的半径分别是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，则这两圆的位置关系是___外切_______．答案解析解方程x 2－5x ＋4＝0，得x 1＝4，x 2＝1，∵x 1＋x 2＝4＋1＝5＝d ，∴两圆外切． 9．(2011·南通)已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线y ＝33x 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ 9.答案解析如上图，设直线与三个半圆的切点分别是A 、B 、C ，连接AC 1、BC 2、CC 3.∵直线y ＝33x ，∴∠AOC 1＝30°.在Rt AOC 1，AC 1＝r 1＝1，∴OC 1＝2AC 1＝2×1＝2；在Rt △BOC 2中，BC 2＝r 2，OC 2＝2＋1＋r 2＝3＋r 2，∵3＋r 2＝2r 2，∴r 2＝3；在Rt △COC 3中，CC 3＝r 3，OC 3＝6＋3＋r 3＝9＋r 3，∵9＋r 3＝2r 3，∴r 3＝9.10．(2011·衢州)木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠⊙O ，并使较长边与⊙O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边AB ＝8 cm.若读得BC 长为a (cm)，则用含a 的代数式表示r 为___________.答案当0<r ≤8时，r ＝a ；当r >8时，r ＝116a 2＋4解析①易知，0<r≤8时，r＝a；②当r>8时，如图．连接OC，∵BC与⊙O相切于点C，∴OC⊥BC.连结OA，过点A作AD⊥OC于点D，则ABCD 是矩形，即AD＝BC，CD＝AB.在直角三角形AOD中，OA2＝OD2＋AD2，即：r2＝(r－8)2＋a2，整理得：r＝116a2＋4.综上，当0<r≤8时，r＝a；当r>8时，r＝116a2＋4.三、解答题11．(2011·乌兰察布)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD 为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F .(1)求证：BD＝BF；(2)若BC＝12，AD＝8，求BF的长．解(1)证明：连接OE，则OE⊥AC，∴∠AEO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠CEF＋∠F＝90°.∵∠AED＋∠OED＝90°，∠AED＝∠CEF，∴∠OED＝∠F.又∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠ODE＝∠F，∴BD＝BF.(2)解：Rt△ABC和Rt△AOE中，∠A是公共角，∴Rt△ABC∽Rt△AOE，∴OEBC＝AOAB.设⊙O的半径是r，则有r12＝8＋r8＋2r，解得r＝8，∴BF＝BD＝16.12．(2011·泰州)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N.(1)点N是线段BC的中点吗？为什么？(2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6 cm，AB＝5 cm，BC＝10 cm，求小圆的半径．解(1)N是BC的中点．理由如下：∵AD与小圆相切于点M，∴OM⊥AD.又∵AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圆O中，由垂径定理可得N是BC的中点．(2)连接OB，设小圆半径为r，则有ON＝r ＋5，OB＝r＋6，BN＝5 cm，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB2＝BN2＋ON2，即：(r＋6)2＝(r＋5)2＋52，解得r＝7 cm.∴小圆的半径为7 cm.13．(2011·义乌)如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E . ⊙O的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ，且AD ＝3，cos ∠BCD ＝34.(1)求证：CD ∥BF ； (2)求⊙O 的半径； (3)求弦CD 的长.解 (1)∵BF 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BF . ∵AB ⊥CD ， ∴CD ∥BF . (2)连接BD .∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°.∵∠BCD ＝∠BAD ，cos ∠BCD ＝34，∴cos ∠BAD ＝AD AB ＝34.又∵AD ＝3，∴AB ＝4. ∴⊙O 的半径为2.(3)∵cos ∠DAE ＝AE AD ＝34，AD ＝3，∴AE ＝94.∴ED ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝3 74.∴CD ＝2ED ＝3 72.14．(2011·莆田)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，点D 为劣弧AB 的中点．(1)求证：四边形AOBD 是菱形； (2)延长线段BO 至点P ，交⊙O 于另一点C ，且BP ＝3OB ，求证：AP 是⊙O 的切线．解证明：(1)连接OD .∵D 是劣弧A B 的中点，∠AOB ＝120°， ∴∠AOD ＝∠DOB ＝60°. 又∵OA ＝OD ，OD ＝OB ，∴△AOD 和△DOB 都是等边三角形．∴AD＝AO＝OB＝BD.∴四边形AOBD是菱形．(2)连接AC.∵BP＝3OB，OA＝OC＝OB，∴PC＝OC＝OA.∵∠AOB＝120°.∴∠AOC＝60°.∴△OAC为等边三角形．∴PC＝AC＝OC.∴∠CAP＝∠CPA.又∵∠ACO＝∠CPA＋∠CAP，∴∠CAP＝30°，∴∠PAO＝∠OAC＋∠CAP＝90°，∴PA⊥AO. 又∵OA是半径，∴AP是⊙O的切线．15．(2011·南京)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm/s 的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t (s)．(1)当t＝1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；(2)已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．解(1)直线AB与⊙P相切．理由如下：如图，过点P作PD⊥AB, 垂足为D.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC＝6 cm，BC＝8 cm，∴AB＝AC2＋BC2＝10 cm.∵P 为BC 的中点，∴PB ＝4 cm.∵∠PDB ＝∠ACB ＝90°，∠PBD ＝∠ABC . ∴△PBD ∽△ABC . ∴PD AC ＝PB AB ，即PD 6＝410，∴PD ＝2.4cm. 当t ＝1.2时，PQ ＝2t ＝2.4cm.∴PD ＝PQ ，即圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径.∴直线AB 与⊙P 相切． (2)∵∠ACB ＝90°，∴AB 为△ABC 的外切圆的直径．∴OB ＝12AB ＝5 cm.连接OP .∵P 为BC 的中点，∴OP ＝12AC ＝3cm.∵点P 在⊙O 内部，∴⊙P 与⊙O 只能内切. ∴5－2t ＝3或2t －5＝3，∴t ＝1或4. ∴⊙P 与⊙O 相切时，t 的值为1或4.。

2012届中考数学圆的认识专题复习试题及答案

2012届中考数学圆的认识专题复习试题及答案（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）圆的认识◆考点聚焦 1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一． 2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、•弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点． 3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、•四边形等结合的题型也是中考热点．◆备考兵法“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．◆识记巩固 1．到定点的距离等于______的点的轨迹叫做圆，其中________叫圆心，______叫半径． 2．圆既是________图形，又是_______图形，圆心是_________，•任意一条直径所在的直线是________． 3．垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且_______这条弦所对的两条弧；平分________的直径垂直于弦，并且平分_______．如图：①AB为圆心；②AB⊥CD； ③CE=DE；④ ；⑤ ．其中，任意满足两个结论，均可推出其余三个结论成立． 4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角，_______，_______（或_______）中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等． 5．圆圆角及定理：顶点在______，角的两边都与_____相交的角叫圆周角．在同圆或等圆中，________所对的圆周角相等，都等于它所对的_______；相等的圆周角所对的________•相等；••_________•所对的圆周角是直角； 90 °的圆周角所对的弦是________．识记巩固参考答案： 1．定长定点定长2．轴对称中心对称对称中心对称轴 3．平分平分非直径弦这条弦所对的两条弦4．两条弧两条弦弦心距 5．圆上圆•同弧或等弧圆心角的一半弧直径直径◆典例解析例1（2011浙江金华，21，8分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE. （1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为或或 . 证明：（1）∵PG 平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA，∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA；……2分解：（2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB= AB，……1分∵tan∠OPB= ，∴PH=2OH，……1分设OH= ，则PH=2 ，由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH－PA=2 －10，∵ ，∴ ，……1分解得（不合题意，舍去），，∴AH=6，∴AB=2AH=12；……1分（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.……2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分) 例2如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC•交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．解析（1）AB=AC，理由如下：（方法一）连结DO，则OD是△ABC的中位线，∴OD∥CA．∵∠ODB=∠C，∴DO=BO．∴∠OBD=∠ODB，∴∠OBD=∠ACB，∴AB=AC．（方法二）连结AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC．又∵BD=CD，∴AB=AC．（方法三）连结DO，则OD是△ABC的中位线，∴OD= AC，OB=OD= AB，∴AB=AC．（2）连结BF．∵AB是⊙O的直径．∴∠ADB=90°，∴∠B<∠ADC=90°，∠C<∠ADB=90°．∴∠B，∠C为锐角．又∵∠A<∠BFC=90°．∴△ABC为锐角三角形．点评一题多解是培养我们发散思维的极好方式，•我们应在习题中加以运用与发展．例3（2011浙江金华，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x 轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF. （1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）连结BC, ∵A（10，0）,∴OA=10,CA=5, ∵∠AOB=30°, ∴∠ACB=2∠AOB=60°, ∴弧AB的长= ;……4分（2）连结OD, ∵OA 是⊙C直径,∴∠OBA=90°, 又∵AB=BD, ∴OB是AD的垂直平分线,∴OD=OA=10, 在R t△ODE中，OE= , ∴AE=AO－OE=10-6=4, 由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA, ∴ ,即，∴EF=3；……4分（3）设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE= ，∴E1（，0）；当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x,AE=10-x，∴CF∥AB,有CF= , ∵△ECF∽△EAD, ∴ ,即 ,解得：, ∴E2（，0）; ②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF 与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，连结BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD, ∴∠BEA=∠BAO, ∴∠BEA=∠ECF,∴CF∥BE,∴ , ∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴ , 而AD=2BE,∴ , 即 ,解得 , ＜0（舍去），∴E3（，0）; ③当交点E在点O的左侧时，∵∠BOA=∠E OF＞∠ECF. ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO 连结BE，得BE= =AB，∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA, ∴CF∥BE, ∴ , 又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴ ，而AD=2BE,∴ , ∴ ,解得 , ＜0（舍去）, ∵点E在x轴负半轴上,∴E4（，0）, 综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）． (4)分圆的有关性质一、选择题 1.（2011广东湛江16,4分）如图，是上的三点，，则度．【答案】60 2.（2011安徽，7，4分）如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧⌒BC 的长是（） A．π5 B．25π C．35π D．45π【答案】B 3.（2011福建福州，9，4分）如图2,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦切小圆于点 ,若 ,则大圆半径与小圆半径之间满足（）A ． B． C． D．【答案】C 4.（2011山东泰安，10，3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=6，则⊙O的半径为（）A.2B.22C.22D.62 【答案】A 5.（2011四川南充市，9，3分）在圆柱形油槽内装有一些油。

中考与圆有关的解答题

2012年全国各地中考数学压轴题汇编与圆有关的解答题1．（2012临沂）如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形。

解答：（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线，（2）解：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∴AD=AC•tan30°=3×=，∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°，∴∠P=∠PAD，∴PD=AD=．2．（2012义乌市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．考点：切线的判定；圆周角定理；弧长的计算。

解答：解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（3）如图，连接OC，∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=4，∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的长为．3．（2012•杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT 于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质。

2012年部分中考数学试题分类汇编33《与圆有关的解答题》-精品

PA2008 年中考数学“圆”解答题选编1.（08黑龙江大庆）26．（本题7分）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 边上且DE BE ⊥．（1）判断直线AC 与DBE △外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若6AD AE ==，，求BC 的长．2.（08吉林长春）22、（６分）为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm ，求铁环的半径.B·ｏ答案：连结OA ，OP ，由切线长定理和勾股定理可得半径OP3.（08吉林长春）25、（８分）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．求证：（1）△ABC 是等边三角形；（2）CE AE 31=．证明：（1）连结OD 得OD ∥AC ∴∠BDO=∠A 又由OB ＝OD 得∠OBD ＝∠ODB ∴∠OBD=∠A ∴BC ＝AC 又∵AB=AC ∴△ABC 是等边三角形 (2)连结CD ，则CD ⊥AB ∴D 是AB 中点C（第26题）BDAEO∵AE ＝12AD=14AB ∴EC=3AE ∴CE AE 31=．4.（08辽宁沈阳）21．如图所示，AB 是O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交O 于点D ，点E 在O 上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数；（2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．解：（1）OD AB ⊥，AD DB ∴=……3分11522622DEB AOD ∴∠=∠=⨯=……5分（2）OD AB ⊥，AC BC ∴=，AOC △为直角三角形，3OC =，5OA =，由勾股定理可得4AC ==········································· 8分28AB AC ∴==····················································································· 10分5.（08辽宁大连）19．如图9，P A 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB = 70°．求∠P 的度数．6.（08辽宁十二市）20.如图10，AB 为O 的直径，D 为弦BE 的中点，连接OD 并延长交O 于点F ，与过B 点的切线相交于点C ．若点E 为AF 的中点，连接AE ．求证：ABE OCB △≌△．解：（1）证明：如图2．AB 是O 的直径．90E ∴∠= ·························································· 1分又BC 是O 的切线，90OBC ∴∠=E OBC ∴∠=∠ ···················································· 3分 OD 过圆心，BD DE =，第21题图图 9图10ODB CF EAEF FB ∴=BOC A ∴∠=∠． ···················································································· 6分 E 为AF 中点，EF BF AE ∴==30ABE ∴∠= ························································································ 8分 90E ∠= 12AE AB OB ∴== ·················································································· 9分 ABE OCB ∴△≌△． ·············································································· 10分7.(08北京市卷19题)19．（本小题满分5分）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．解：（1）直线BD 与O 相切．……1分证明：如图1，连结OD ．OA OD =， A ADO ∴∠=∠．90C ∠=， 90CBD CDB ∴∠+∠=．又CBD A ∠=∠，90ADO CDB ∴∠+∠=． 90ODB ∴∠=．∴直线BD 与O 相切． ············································································ 2分（2）解法一：如图1，连结DE ．AE 是O 的直径， 90ADE ∴∠=．:8:5AD AO =，AA4cos 5AD A AE ∴==． ················································································ 3分 90C ∠=，CBD A ∠=∠， 4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ········································································· 4分 2BC =， 52BD ∴=． ································································ 5分解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． 12AH DH AD ∴==．:8:5AD AO =，4cos 5AH A AO ∴==． ···············3分 90C ∠=，CBD A ∠=∠， 4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ···························· 4分 2BC =，52BD ∴=． ···························································································· 5分8.（08天津市卷）21．（本小题8分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，⊙O 为内切圆，E 为切点，（Ⅰ）求AOD ∠的度数；（Ⅱ）若8=AO cm ，6=DO cm ，求OE 的长．解（Ⅰ）∵AB ∥CD ，∴︒=∠+∠180ADC BAD ． ……1分 ∵⊙O 内切于梯形ABCD ， ∴AO 平分BAD ∠，有BAD DAO ∠=∠21， DO 平分ADC ∠，有ADC ADO ∠=∠21． ∴︒=∠+∠=∠+∠90)(21ADC BAD ADO DAO ． ∴︒=∠+∠-︒=∠90)(180ADO DAO AOD ． ····················································· 4分（Ⅱ）∵在Rt △AOD 中，8=AO cm ，6=DO cm ，∴由勾股定理，得1022=+=DO AO AD cm ． ············································· 5分 ∵E 为切点，∴AD OE ⊥．有︒=∠90AEO ． ················································· 6分AABD CEOC A BE FMN 图①CABEMN 图②∴AOD AEO ∠=∠．又OAD ∠为公共角，∴△AEO ∽△AOD ． ··············································· 7分 ∴AD AO OD OE =，∴8.4=⋅=ADODAO OE cm ． ····················································· 8分9.（08天津市卷）25．（本小题10分）已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．请你完成证明过程：（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．25．本小题满分10分．（Ⅰ）证明将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，则△DCM ≌△ACM ． ······································································· 1分有CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，A CDM ∠=∠．又由CB CA =，得 CB CD =． ······························ 2分由DCM DCM ECF DCN ∠-︒=∠-∠=∠45，ACM ECF ACB BCN ∠-∠-∠=∠ ACM ACM ∠-︒=∠-︒-︒=454590，得BCN DCN ∠=∠． ················································································ 3分CABEFDM N又CN CN =，∴△CDN ≌△CBN ． ········································································· 4分有BN DN =，B CDN ∠=∠．∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ． ··············································· 5分 ∴在Rt △MDN 中，由勾股定理，得222DN DM MN +=．即222BN AM MN +=． ··········································· 6分（Ⅱ）关系式222BN AM MN +=仍然成立． ··············································· 7分证明将△ACM 沿直线CE 对折，得△GCM ，连GN ，则△GCM ≌△ACM ． ········································ 8分有CA CG =，AM GM =，ACM GCM ∠=∠，CAM CGM ∠=∠．又由CB CA =，得 CB CG =．由︒+∠=∠+∠=∠45GCM ECF GCM GCN ，ACM ACM ECF ACN ACB BCN ∠+︒=∠-∠-︒=∠-∠=∠45)(90．得BCN GCN ∠=∠． ············································································· 9分又CN CN =， ∴△CGN ≌△CBN ．有BN GN =， 45=∠=∠B CGN ，︒=∠-︒=∠=∠135180CAB CAM CGM ， ∴ 9045135=-=∠-∠=∠CGN CGM MGN ． ∴在Rt △MGN 中，由勾股定理，得222GN GM MN +=．即222BN AM MN +=． ··········································· 10分10.（08内蒙赤峰）24．（本题满分14分）如图（1），两半径为r 的等圆1O 和2O 相交于M N ，两点，且2O 过点1O ．过M 点作直线AB垂直于MN ，分别交1O 和2O 于A B ，两点，连结NA NB ，．（1）猜想点2O 与1O 有什么位置关系，并给出证明；（2）猜想NAB △的形状，并给出证明；（3）如图（2），若过M 的点所在的直线AB 不垂直于MN ，且点A B ，在点M 的两侧，那么（2）中CA BEFM N G的结论是否成立，若成立请给出证明．24．解：（1）2O 在1O 上 ····························· （1分）证明：2O 过点1O ，12O O r ∴=．又1O 的半径也是r ，∴点2O 在1O 上． ···································· （3分）（2）NAB △是等边三角形 ························· （5分）证明：MN AB ⊥，90NMB NMA ∴∠=∠=．BN ∴是2O 的直径，AN 是1O 的直径，即2BN AN r ==，2O 在BN 上，1O 在AN 上． ····································· （7分）连结12O O ，则12O O 是NAB △的中位线．1222AB OO r ∴==．AB BN AN ∴==，则NAB △是等边三角形． ······································· （9分）（3）仍然成立． ··············································································· （11分）证明：由（2）得在1O 中MN 所对的圆周角为60．在2O 中MN 所对的圆周角为60． ····················································· （12分） ∴当点A B ，在点M 的两侧时，在1O 中MN 所对的圆周角60MAN ∠=，在2O 中MN 所对的圆周角60MBN ∠=，图（1）图（2）图（1）图（2）NAB ∴△是等边三角形． ···································································· （14分）（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．11.（08内蒙乌兰察布）21．（本小题11分）如图所示，AB 是O 的直径，AD 是弦，DBC A ∠=∠，OC BD ⊥于点E ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若1210BD EC ==，，求AD 的长．21．（1）证明：AB 是O 的直径，90D ∴∠=， 90A ABD ∴∠+∠=． DBC A ∠=∠，90DBC ABD ∴∠+∠=即90ABC ∠=．AB BC ∴⊥． BC ∴是O 的切线．（2）OC BD ⊥，162BE ED BD ∴===． 90BEC D ∠=∠=，DBC A ∠=∠， BEC ADB ∴△∽△．BE ECAD DB ∴=． 61012AD ∴=．7.2AD ∴=．12.（08山西省卷）23．（本题8分）如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点。

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中考与圆有关的习题（2012）一、选择题1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切【答案】D 。

【考点】圆与圆位置关系的判定。

【分析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距12O O =7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。

2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是A 、相交B 、外切C 、外离D 、内含【答案】B 。

【考点】两圆的位置关系。

∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。

∵圆心距是1+2=3厘米，∴这两个圆的位置关系是外切。

故选B 。

【分析】连接OC ，∵OC=OA ，，PD 平分∠APC ，∴∠CPD=∠DPA ，∠CAP=∠ACO 。

∵PC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PC 。

∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP =45°，即∠CDP=45°。

故选C 。

4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD 的长为A. 14B. 15C. 32D. 23【答案】B 。

【考点】圆周角定理，圆的轴对称性，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。

【分析】以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF 。

根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°；根据圆的轴对称性和DC ∥AB ，得四边形FBCD 是等腰梯形。

∴DF=CB=1，BF=2+2=4。

∴BD=2222BF DF 4115-=-=。

故选B 。

5.（内蒙古呼伦贝尔3分）⊙O 1的半径是cm 2，⊙2的半径是cm 5，圆心距是cm 4，则两圆的位置关系为A. 相交B. 外切C.外离D. 内切【答案】A。

【考点】两圆的位置关系。

由于5－2＜4＜5＋2，所以两圆相交。

故选A。

6.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为.A. 5B. 4C. .3D. 2【答案】C。

【考点】垂直线段的性质，弦径定理，勾股定理。

【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段。

如图，过点O作OM⊥AB于M，连接OA。

根据弦径定理，得AM＝BM＝4，在Rt△AOM中，由AM＝4，OA＝5，根据勾股定理得OM＝3，即线段OM长的最小值为3。

故选C。

7.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOD=110°，AC∥OD，则∠AOC的度数A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°【答案】D。

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平角定义，平行的性质。

【分析】由AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，知OA＝OC，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，得∠AOC＝1800－2∠OAC。

由AC∥OD，根据两直线平行，内错角相等的性质，得∠OAC＝∠AOD。

由AB 是⊙O 的直径，∠BOD=110°，根据平角的定义，得∠AOD ＝1800－∠BOD=70°。

∴∠AOC ＝1800－2×70°＝400。

故选D 。

8.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200【答案】B 。

【考点】弦径定理，圆周角定理。

【分析】如图，连接OD ，AC 。

由∠BOC = 700，根据弦径定理，得∠DOC = 1400；根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠DAC = 700。

从而再根据弦径定理，得∠A 的度数为350。

故选B 。

17．填空题1.（天津3分）如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．OB ⊥AD ，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 ▲ 。

【答案】5。

【考点】解直角三角形，直径所对圆周角的性质。

【分析】∵在Rt △ABO 中，00OB 5OB 5AO 53,AB 10tan CAD tan30sin CAD sin30C ======∠∠， ∴AD=2AO=103。

连接CD，则∠ACD=90°。

∵在Rt△ADC中，0=∠==，AC ADcos CAD103cos3015∴BC=AC－AB=15－10=5。

2.（河北省3分）如图，点0为优弧 ACB错误！未找到引用源。

所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB延长线上，BD=BC，则∠D=▲．【答案】27°。

【考点】圆周角定理，三角形的外角定理，等腰三角形的性质。

【分析】∵∠AOC=108°，∴∠ABC=54°。

∵BD=BC，∴∠D=∠BCD=错误！未找到引用源。

∠ABC=27°。

3.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为▲．【答案】4。

【考点】切线的性质，勾股定理。

【分析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OC⊥PC。

设圆的半径为x，则在Rt△OPC中，PC=3，OC= x，OP=1＋x，根据地勾股定理，得OP2=OC2＋PC2，即（1＋x）2= x 2＋32，解得x=4。

即该半圆的半径为4。

【学过切割线定理的可由PC2=PA•PB求得PA=9，再由AB=PA－PB求出直径，从而求得半径】4.（内蒙古呼伦贝尔3分）已知扇形的面积为12π，半径是6，则它的圆心角是▲。

【答案】1200。

【考点】扇形面积公式。

【分析】设圆心角为n ，根据扇形面积公式，得20n 612360=ππ⋅⋅，解得n ＝1200。

18．解答题1.（天津8分）已知AB 与⊙O 相切于点C ，OA=OB ．OA 、OB 与⊙O 分别交于点D 、E. (I) 如图①，若⊙O 的直径为8，AB=10，求OA 的长(结果保留根号)；(Ⅱ)如图②，连接CD 、CE ，若四边形ODCE 为菱形．求OD OA的值．【答案】解：(I) 如图①，连接OC ，则OC=4。

∵AB 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥AB 。

∴在△OAB 中，由OA=OB ，AB=10得1AC AB 52==。

∴ 在△RtOAB 中，2222OA OC AC 4541=+=+=。

(Ⅱ)如图②，连接OC ，则OC=OD 。

∵四边形ODCE 为菱形，∴OD=DC 。

∴△ODC 为等边三角形。

∴∠AOC=600。

∴∠A=300。

∴1OC 1OD 1OC OA 2OA 2OA 2=== ，，即。

【考点】线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，300角直角三角形的性质。

【分析】(I) 要求OA的长，就要把它放到一个直角三角形内，故作辅助线OC，由AB 与⊙O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线，从而应用勾股定理可求OA的长。

(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形，从而得300角的直角三角形OAC，根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。

2.（河北省10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB 上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．当α= ▲度时，点P到CD的距离最小，最小值为▲．探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=▲度，此时点N到CD的距离是▲．探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．（参考数椐：sin49°=错误！未找到引用源。

，cos41°=错误！未找到引用源。

，tan37°=错误！未找到引用源。

．）【答案】解：思考：90，2。

探究一：30，2。

探究二（1）当PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是MP=OM=4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。

当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°。

（2）如图4，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，如图5，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3。

在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=MH3OM4错误！未找到引用源。

∴∠MOH=49°。

∵α=2∠MOH，∴α最小为98°。

∴α的取值范围为：98°≤α≤120°。

【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离，平行线之间的距离，切线的性质，旋转的性质，解直角三角形。

【分析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α=90度时，点P到CD的距离最小，∵MN=8，∴OP=4，∴点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2。

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