数学易错、易漏、易混题集

b a ＝1＋1＋a＋b＋1≥3＋2
答案：5
ba a· b＝5.
理科数学 第三部分 6．线性规划图形不准确
例
y≥x－1 6：在坐标平面上，不等式组 y≤－3|x|＋1
所表示的平
面区域的面积为( A. 2
) 3 B.2 C. 2 3 2 D．2
[错因]依条件作出当 x≥0
y≥－1 时，即 y≤－3x＋1
线与圆的位臵关系有三种，即交点的个数为0,1 或2 个，所以
M∩P 的元素的个数为0或1或2.误选D.
[正解]M、P 表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没 有公共元素．
答案：A
理科数学 第三部分
2．分不清集合的元素
例 2：若集合 M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝ x－1}，则 M∩P
等于( ) B．{y|y≥1} C．{y|y>0} D．{y|y≥0}
是 4. 1 因为 a＋a≥2 1 a· a＝2，其中当且仅当 a＝1 时等号成立；
理科数学 第三部分
1 b＋b≥2
1 b· 其中当且仅当 b＝1 时等号成立； 这与 b＝2，
a＋b＝1 矛盾，故最小值不能为 4.
a＋b a＋b 1 1 1 1 [正解] a＋a ＋ b＋b ＝a＋b＋a＋b＝1＋ a ＋ b
理科数学 第三部分
3．没有考虑基本不等式中字母为 “正数”的条件
例3：已知等比数列{an}中 a2＝1，则其前 3 项的和 S3 的取 值范围是(
)
A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
理科数学 第三部分
[错因]直接、忽略利用基本不等式的条件是“一正”、“二
[正解]当a＝2 时，不等式显然成立；
当 a≠2
a－2<0 时， Δ<0
，解得－2<a<2.
综合得－2<a≤2.
答案：－2<a≤2
理科数学 第三部分 5．不清楚函数的奇偶性和周期性的关系 例5：若函数f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(－∞，0)上 是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是( A．(－∞，2) B．(2，＋∞) )
定”、“三相等”．
[正解]a2＝1，a1a3＝a2 2＝1，显然 a1、a3 同号， 当 a1、a3 同为正时，S3＝a1＋a2＋a3≥2 a1a3＋1＝3；
当 a1、a3 同为负时，S3＝a1＋a2＋a3＝－[(－a1)＋(－a3)]＋ a2≤－2 (－a1)· (－a3)＋1＝－1.
答案：D
理科数学 第三部分 4．没有考虑基本不等式中 “等号”是否成立 4 的最小值是 例4：设x∈(0，π) ，则函数 f(x) ＝sinx ＋ sinx ( ) A．4 B．5 C．3 D．6 (a>0，b>0)中等号成 ab
答案：[0,1)
理科数学 第三部分 2．判断函数奇偶性时没有考虑函数的定义域 2－x 例2：给出四个函数：①y＝lg ；②y＝lg(2－x)－lg(2＋ 2＋x
x)；③y＝lg[(x＋2)(x－2)]；④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2)，其中奇函
数是________，偶函数是________． [正解]①②的定义域相同，均为(－2,2)，且均有 f(－x)＝－
理科数学 第三部分
四
导数
1．没有弄清函数的自变量 例1：若 f(x)＝sinα－cosx，则 f ′(α)等于( A．sinα C．sinα＋cosα B．cosα D．2sinα
答案：B
图1
理科数学 第三部分
【配对训练】
1．如果 a、b、c 满足 c<b<a，且 ac<0，那么下列选项中不 一定成立的是( C ) A．ab>ac B．c(b－a)>0 D．ac(a－c)<0
C．cb2<ab2
解析：由a>b>c且ac>0，故a>0且c<0.A.由b>c，又∵a>0， ∴ab>ac.B.∵b－a<0，c<0⇒(b－a)· c>0，D.a－c>0，ac<0⇒ac(a －c)<0，而 C.中当 b＝0 时显然不成立．
理科数学 第三部分
三 不等式
1．转化不等价
例 1：设集合 A＝{x||4x－1|≥9，x∈R}，B＝ x x| ≥0，x∈R，则 A∩B＝__________. x＋3 x ≥0，∴x(x＋3)≥0.且 x＋3≠0.故 x≠－3. [错因]∵ x＋3
5 [正解]A＝x|x≤－2或x≥2.B＝{x|x－3 5 ∴A∩B＝x<－3或x≥2.
5 答案：x<－3或x≥2
或 x≥0}．
理科数学 第三部分 2．没有考虑一次项的系数
2－x 例2：(2010 年上海)不等式 ≥0 的解集是____________． x＋4
[错因]没有考虑一次项的系数，得(－∞，－4]∪[2，＋∞)； 没有考虑分母得[－4,2]． 2－x ≥0 等价于(2－x)(x＋4)≥0 且x≠－4， [正解] x＋4 即(x－2)(x＋4)≤0 且 x≠－4，得－4<x≤2. 答案：－4<x≤2
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)

[错因]以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相 反．错误地认为f(x)在[0，＋∞]上仍是减函数． [正解]∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴f(x)<0.f(|x|) ＜f(2)．又∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)在[0，＋∞]上是
增函数，|x|＜2⇒－2<x<2.
答案：D
理科数学 第三部分 【配对训练】 1．已知定义域为 R 的偶函数 f(x)的一个单调递增区间是 (2,6)，那么 x 的函数 f(2－x)有( C ) A．对称轴为 x＝－2，一个递减区间是(4,8) B．对称轴为 x＝－2，一个递减区间是(0,4) C．对称轴为 x＝2，一个递增区间是(4,8) D．对称轴为 x＝2，一个递增区间是(0,4)
A∪B＝________.
[错因]没有考虑元素的互异性． [正解]x2＝1，则 x＝1(舍)或 x＝－1，A∪B＝{－1,0,1,2}．
答案：{－1,0,1,2}
理科数学 第三部分 4．边界值处置不当
x 1 0 ，B＝{x||x－b|＜a}，若“a＝1” 例 4：集合 A＝ x x 1
A．{y|y＞1}
[错因]错误地认为是求函数y＝2－x 和 y＝ x－1 的定义域的
交集，错选A 或B.实际上是求两函数的值域的交集．
[正解]M＝{y|y＝2－x}＝{y|y>0}，P＝{y|y＝ x－1 }＝
{y|y≥0}．∴M∩P＝{y|y＞0}．
答案：C
理科数学 第三部分 3．忽视集合的三要素 例3：已知集合 A＝{x2，x,0}，B＝{1,2}且 A∩B＝{1}，则
[错因]忽略了均值不等式a＋b≥2
4 立的条件：当且仅当a＝b 时等号成立．事实上，sinx＝ 不 sinx
可能成立，因为它成立的条件是sinx＝±2，这不可能．
理科数学 第三部分
4 1 3 1 [正解](1)f(x)＝sinx＋sinx＝sinx＋sinx＋sinx， 因为 sinx＋sinx π 3 ≥2，当且仅当 sinx＝1 即 x＝2时等号成立．又sinx≥3，当且仅 π 4 当 sinx＝1 即 x＝2时等号成立． 所以 f(x)＝sinx＋sinx≥2＋3＝5， f(x)的最小值是 5. (2)令 sinx＝t，因为 x∈(0，π)，所以 0<t≤1，所给函数变 4 为 y＝t＋ t .易知此函数在区间(0,1)上是减函数，所以，当 t＝1 时，y 取最小值 5.
3
∵t＝2x－x2＝－(x－1)2＋1， ∴t＝2x－x2 的单调减区间是[1,2)，增区间是(0,1]． 又 y＝ log 1 t 在(0，＋∞)上是减函数，
3
∴函数 y＝ log 1 (2x－x2)的单调减区间是(0,1]．
3
答案：(0,1]
理科数学 第三部分 4．没有考虑二次项的系数 例4：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对一切 x∈R 恒成立， 则实数 a 的取值范围__________．
＜b＜2.
答案：D
理科数学 第三部分
【配对训练】
1．设集合 M＝{y∣y＝1－x2，x∈R}，N＝{y∣y＝x2，x∈ R}，则集合 M∩N 为( D ) A．空集 C．双元素集 B．单元素集 D．无限集
2．(2011 年湖南)设全集 U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁UN ＝{2,4}，则 N＝( B ) A．{1,2,3} B．{1,3,5} C．{1,4,5} D．{2,3,4}
解析：画出韦恩图，可知 N＝{1,3,5}．
理科数学 第三部分
二
函数
f(2x) 的 x－1
1．不了解函数定义域的内涵 例1：若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝ 定义域是__________． [错因]不理解抽象函数定义域的内涵．错解x∈[0,1)∪(1,4]． [正解]因为y＝f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x≤2， 且x≠1，故x∈[0,1)．
是“A∩B≠∅”的充分条件，则 b 的取值范围是( A．－2≤b<2 C．－3＜b＜－1 B．－2<b≤2 D．－2＜b＜2
)
[错因]在点－1 和1 处是空心点，故不含等于． [正解]当a＝1 时，A＝{x|－1＜x＜1}．B＝{x|b－1＜x＜b ＋1}．此时A∩B≠∅的充要条件是b－1＜1 且b＋1＞－1.即－2