数学测试一(十月卷)(每月一份)(高三学生专用)(每道题都弄会高考至少120)
湖北云学部分重点高中联盟2025届高三10月联考(一模)数学试卷+答案
2024年湖北云学部分重点高中联盟高三年级10月联考数学试卷考试时间：2024年10月8日15：00-17：00 时长：120分钟一满分：150分､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}2log 1A x y x ==−∣，集合{}2x B y y −==∣，则A B ∩=（ ）A.()0,1B.()1,2C.()1,∞+D.()2,∞+ 2.若tan 2θ=，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ）A.65−B.25− C.25 D.653.数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，若918S =且346,,a a a 成等比数列，则3a =（ ） A.13 B.23 C.53D.2 4.已知函数()()π3sin 06f x x ωω=+>，对任意的x ∈R ，都有()()30f x f x ++=成立，则ω的可能取值是（ ） A.π4 B.π2 C.π6 D.π35.对于平面凸四边形ABCD ，若()()4,3,1,2ACBD ==，则四边形ABCD 的面积为（ ）A.52 B.53大小不确定6.已知函数()cos f x x ax =−在区间π0,6单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.1,2∞−−B.∞ −C.1,2∞ +D.∞ +7.在平面直角坐标系中，双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,,F F A 为双曲线右支上一点，连接1AF 交y 轴于点B ，若2AB AF =，且12AF AF ⊥，则双曲线的离心率为（ ）8.已知函数()1ln f x x a x x=−−有两个极值点12,x x ，则()12f x x +的取值范围是（ ） A.30,ln24 −B.3ln2,2∞ −+C.30,2ln22 −D.3ln2,4∞−+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知事件,A B 发生的概率分别为()()11,23P A P B ==，则下列说法正确的是（ ） A.若A 与B 互斥，则()23P A B +=B.若A 与B 相互独立，则()23P A B += C.若()13P AB =，则A 与B 相互独立 D.若B 发生时A 一定发生，则()16P AB =10.已知a b c >>，且20a b c ++=，则（ ） A.0,0a c >< B.2c aa c+<− C.0a c +> D.21a ca b+<−+ 11.设,αβ是锐角三角形的两个内角，且αβ>，则下列不等式中正确的有（ ） A.sin sin 1αβ+> B.tan tan 1αβ⋅<C.cos cos αβ+<()1tan tan22αβαβ−−> 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z 满足2i izz =−+，则z =__________. 13.若()ππsin 3sin 63f x a x x =+++是偶函数，则实数a 的值为__________. 14.在如图所示的直角梯形ABCD 中，AB ∥,1,2,.CD ABBC CD AB BC P ===⊥为梯形ABCD 内一动点，且1AP =，若AP AB AD λµ=+ ，则2µλ+的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2,1n S a =且()*12n n S S n n +=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()2log 1n b =+，数列{}n b 的前n 项和为n T .求2341111nT T T T ++++ . 16.（15分）在ABC 中，三个内角A B C ､､所对的边分别为a b c ､､.设向量()()2,cos ,,cos m a c C n b B =−= ，且m∥n .（1）求角B 的大小；（2）设D 是边AC 上的一点，使得ABD 的面积是DBC 面积的2倍，且sin sin 14ABD DBC a c ∠∠+=，求线段BD 的长. 17.（15分）已知,a b 为实数，函数()e 1xf x ax b =−+−（其中e 2.71828= 是自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意的(),0x f x ∈≥R 佰成立，求a b +的最小值. 18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD −中，1,AD AC BC AP PA ====⊥底面ABCD ，90CAD ACB ∠∠== ，平面PBC 与平面PAD 的交线为l.（1）求证：l ⊥平面PAC ；（2）设M 为PCD 内一动点，且79MC MD ⋅=− ，求线段PM 长度的最小值； （3）在（2）的条件下，当线段PM 的长最小时，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值.19.（17分）在信息论中，熵（entropy ）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X 的所有取值为()()*1,2,3,,,i n n P X i p ∈==N ，定义信息熵：()12211(),,,log ,1,1,2,,nnn n i i i i i H X H p p p p p p i n ====−==∑∑（1）若2n =，且12p p =，求随机变量X 的信息熵；（2）若121111,,2,2,3,,222k k nn p p p p k n +=+=== ，求随机变量X 的信息熵； （3）设X 和Y 是两个独立的随机变量，求证：()()()H XY H X H Y =+.参考答案：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案CADADABBABABDAD6.解析：4,PAPB PC PQ ===⊥ 面ABC 且Q 是ABC 外心，22264π)4,4π3PQ QB QC R R R S R ====+====7.解析：四边形ACBM 面积12S MC AB MA AC ==⋅=，AB =， ()()()222222||(1)e ,(1)e ,212e x x x MC x f x x f x x =−+=−−+′+=单增，又()()2min minmin 00,()02,|2,|f f x f MC AB =====′，2min ππ2S =8.解析：11223311,11,11x x x x x x =+≥=+≥=+≥'''，则1233,4,.15x x x ++=……'''，所以有22232232314331415C C C C C C C 455++……+=++……+== 9.解析：函数()sin cos f x x x =+的定义域为R ，有()()()()sin sin f x x x x x f x −=−+−=+=∣，即函数()f x 是偶函数，又()()()()πsin ππsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，则π是函数()f x 的一个周期，也是最小正周期，A 正确当π02x ≤≤时，()πsin 2sin 3f x x x x ==+ ，显然函数()f x 在π0,6 上递增，在ππ,62上递减，π02x −≤≤时，由偶函数的性质知，函数()f x 在ππ,26 −−上递增，在π,06− 上递减，即当π02x ≤≤时max min ππ()2,()162f x f f x f====，即函数()f x 在π0,2 的取值集合为[]1,2， 从而函数()f x 在π,02 −的取值集合为[]1,2，即在ππ,22−上的值域为[]1,2，因此函数()f x 在R 上的值域为[]1,2，B 正确； 如图：()f x 不关于直线π6x =对称，所以不关于直线7π6x =对称，故C 错()f x 在5ππ,62 −− 上单调性同ππ,62，所以递减，故D 对.11.解析：对()()2221f x f x =+两边求导得()()()422f x f x f x ′′=即()()()22f x g x g x =，故A 对()()()22210,21g x f x f x =−≥≥，即恒成立，()()()()212001,01,02f f f f =+==−（舍），故B 错.()g x 是奇函数，()f x 是偶函数，()()()1,1,f x g x g x ≥′≥为增函数，()f x ′为增函数，又()00f ′=，故C 错.()()36x F x g x x−+，()()()221122x x F x g x f x−+−+ ′ ′，()()()F x f x x g x x −′==′−′为增函数， ()()()()()()00,00,00F x F F x F F x F ′>′=>=>′′=′，故D 对.14.解析：如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB .设π,02BAQ∠θθ =<<，则π2ABQ ∠θ=−. 过A 作AC 垂直内侧墙壁于C ，B 作BD 垂直内侧墙壁于D ，则π3,,2AC BD CPA BAQ DPB ABQ ∠∠θ∠∠θ======−. 在直角三角形ACP 中，sin sin ACCPAAP∠θ==， 所以3sin sin ACAP θθ==. 同理：3πcos sin 2BD BP θθ== −. 所以33π,0sin cos 2AB AP BP U θθ=+=+<<.因为333sin cos AB θθ=+≥×≥ （当且仅当sin cos θθ=且π4θ=时等号成立）.所以AB ≥.因为走廊的宽度与高度都是3米， 所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为9m =15.解析：（1）在ABCD 中，π2,4AB BC ABC ∠==，由余弦定理得2222cos 2AC AB BC AB BC ABC ∠=+−⋅=， 则222AB AC BC +=，有AB AC ⊥， 又平面ACEF ⊥平面ABCD ， 平面ACEF ∩平面ABCD AC =，,AF AC AF ⊥⊂平面ACEF ，则AF ⊥平面ABCD ，直线,,AB AC AF 两两垂直，以点A 为原点，直线,,AB AC AF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则())()0,0,0,,A BC ，()()(),,0,0,1D E F设()0,,1,0M t t ≤≤则()),AE DMt ==，由AE DM ⊥，得10AE DMt ⋅=−+=，解得t =，即12FM FE =，所以当AE DM ⊥时，点M 为线段EF 的中点. （2）由（1）可得(),BM BC， 设平面MBC 的法向量为(),,m x y z =，则00m BM y z m BC ⋅++= ⋅+= ，取2y =，得(2,m = ， 平面ECD 的法向量为()0,1,0n =，设平面MBC 与平面ECD 的夹角为θ，则cos cos ,m n m n m nθ⋅=<>==所以平面MBC 与平面ECD. 16.解析：（1）易知函数()()0e x axf x a =≠的定义域为R .所以()()1exa x f x −=′， 当0a >时，由()0f x ′>，得1x <，由()0f x ′<，得1x >.所以()f x 的单调增 区间为(),1∞−，单调减区间为()1,∞+；当0a <时，由()0f x ′>，得1x >，由()0f x ′<，得1x <.所以()f x 的单调增区间为()1,∞+，单调减区间为(),1∞−.（2）()ln 1xf x x mx ++≤即31ln e x x xm x x≥++在()0,x ∞∈+上恒成立， 令()31ln e x x xh x x x++，易知函数()h x 的定义域为()0,∞+.所以()()2222313e 3e 11ln ln .e e x x x xx x x xh x x x x′−−−=−+=−当01x <<时， ()231ln 0,0e xx x x −><，故()0h x ′>；（11分）当1x >时，()231ln 0,0e x x x x−<>， 故()0h x ′<.（13分）所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以1x =时，()h x 在()0,∞+上取得最大值()311e h =+.所以31e m ≥+，所以实数m 的取值范围是31,e ∞++. 17.解析：（1）由m n‖可得，()()()sin sin sin b a A b c B C −=+−，由正弦定理该式化为()()()b a a b c b c −=+−，整理得：222b ac ab +−=，即：222122b ac ab +−=， 即1cos 2C =，因为C 为三角形的内角，所以π3C =.（2）令CD x = ，由题意：2CD CA CB =+，平方得：2224x b a ab =++，由正弦定理sin sin sin a b C A B C ===，则：,aA bB ，代入上式得： 2224444sin sin sin sin 333x B A A B ++⋅ 2242π442πsin sin sin sin 33333A A A A −++⋅−4π1cos 2441cos242π3sin sin 323233A A A A −− − =⋅++⋅42π5cos 2333A−+因为三角形是锐角三角形，所以π0πππ2ππ222ππ62333032A A A A << ⇒<<⇒−<−<<−<， 2π142π57cos 2,1,cos 2,3323333A A ∴−∈∴−+∈，即274,33x ∈ ，x ∴∈，因此，CD的取值范围为.18.解析：（1）由题意，有223a b a c = +=，解得21a b c = = =即椭圆标准方程为： 221143x y += （2）设过点R 的切线方程为()()122y k x kx k =−+=+−()222222(2)y k x k k x k =+−+−联立2234120x y +−=，有()()22243824(2)120k x k k x k ++−+−−= 由于想切，令Δ0=，()(222224(2)43,(2)343k k k k k −=+−−+ ()223433(2)k k +=− 23410k k +−= 即求得1213k k =− （3）设()()000,0,R x y y RK >延长线交x 轴于K ′点，P Q ､两点处切线斜率分别是1k 和2k ，有0022x IK AK JK BK x +==′−′， 设椭圆上P 或Q 两点切线方程为()00y k x x y =−+联立有，()()000022143y k x x y kx kx y x y =−+=−− +=()()()22200004384120kx k kx y x kx y +−−+−−= ()()()22220000Δ0,64443412k kx y k kx y =−=+−− 有 ()22200004230x k x y k y −−+−=20001212220023,44x y y k k k k x x −+==−− ()()10020022I Jy k x y y k x y =−−+ =−+ 要证明IK AI JK BJ =，需证明()()100002002222k x y x x k x y −−++=−−+ 即要证()()()()22200010004242k x y x k x y x −++=−+−， ()()212001042k k x y k k x ++=+ ()()21200042k k x x y +−=其中，00122024x y k k x +=−显然，即证IK AI JK BJ=（17分） 19.（1）①()()(),1,,1,,3a c c②处于位置(),3c 时，得3分，21124 =， 处于位置(),1a 时，得1分，21124 =， 处于位置(),1c 时，得分1分，2122=， 所以最终得分的分布列为：得分X 的期望()31313 1.5442E X =×+×==.（2）将棋盘按如图所示编号： 12 3 45 6 78 91 2 345 6 7 8 9将棋子可以去的区域用箭头连接起来，如从3可以连接4或8，记做：438−−；从8可以连接3或1，记做：381−−；然后将他们串联起来：4381−−−.依次类推，可以串联出环状回路：438167294−−−−−−−−−−，如下图所示：则棋子等价于在这个环状回路中运动，问题（2）可以转化为将两个棋子放在环形回路中的3号､7号位置，每回合3号､7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率各为14为了转化问题，现规定d =“两棋子之间的最短节点数”，例如：特别规定两棋子重合时，0d =.并统计四种运动模式下d 会如何改变假设3号棋子顺时针走过x 个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过y 个节点也可以与之重合.为了简化问题，不妨假设x y ≤，于是有下表： （顺，顺） （顺，逆） （逆，顺） （逆，逆）0d =0d = 1d = 1d = 0d = 1d =1d = 0d = 3d = 1d = 3d = 3d = 1d = 1d = 3d =设n p =“n 回合后，0d =的概率”，n q =“n 回合后，1d =的概率”， n R =“n 回合后，3d =的概率”， 则有111111111241111,22221142nn n n n n n n n n p p q q p q R R q R −−−−−−− =+ =++= =+ 1111111,28424n n n n p p p p −− ∴=+−=−显然，11110,44p p =−=−，所以1111442n n p − −=−⋅， 所以解得：11142n n p +=−.。
北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高三10月月考数学(含答案)
北师大实验中学2024-2025学年第一学期高三统练（一）高三数学 2024.10命题人：曹絮 审题人：黎宁本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合2{|3100}A x x x =−−<，{|10}B x x =−<，则(AB = )A ．{|15}x x <<B ．{|21}x x −<<C ．{|12}x x <<D ．{|51}x x −<<2．设0.50.533434(),(),log (log 4)43a b c ===，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<3．若实数a 、b 满足220a b >>，则下列不等式中成立的是( ) A ．a b > B ．22a b > C ．||a b >D ．2222log log a b >4．若函数1,0,()0,0,1,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⋅⎩则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知复数z 的共轭复数是1i +，则复数2zi−在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知()f x 是偶函数，它在[0,)+∞上是增函数．若()(1)f lgx f >，则x 的取值范围是( ) A ．1(,1)10B ．1(0,)(10,)10+∞C ．1(,10)10D ．(0，1)(10，)+∞7．函数()()sin 2x x f x e e x −=+−在[2,2]−上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M N +=( ) A ．4−B ．0C ．2D ．48．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且()()x f x g x e +=，则2()4()f x g x +的最小值是( ) A ．2B．C ．4D．9．某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y （吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数0k >），则鱼群年增长量的最大值为( ) A ．2mkB ．4mkC ．2m D ．4m 10．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列{}n x 满足1()()n n n n f x x x f x +=−'，则称数列{}n x 为牛顿数列．若1()f x x =，数列{}n x 为牛顿数列，且11x =，0n x ≠，数列{}n x 的前n 项和为n S ，则满足2024n S 的最大正整数n 的值为( ) A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．12．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a b c <<，则ac bc <”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 ．13．已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且(1)0f −=．若对任意的1x 、2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，都有122121()()0x f x x f x x x −>−成立，则不等式()0f x >的解集是 ．14．已知函数2()(1)f x lg x ax =++在区间(,2)−∞−上单调递减，则a 的取值范围为 ． 15． 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()f x 是定义在R 上的函数，对于0x R ∈，令1()(1n n x f x n −==，2，3，)，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0j k <<时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点，给出下列四个结论：①若()21f x x =−，则()f x 存在唯一一个周期为1的周期点； ②若()2(1)f x x =−，则()f x 存在周期为2的周期点；③若12,2()12(1),2x x f x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪−⎪⎩，则()f x 存在周期为3的周期点；④若()(1)f x x x =−，则对任意正整数n ，12都不是()f x 的周期为n 的周期点． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的公差； （2）求数列{2}n a 的前n 项和n S ．17．（本小题13分）已知函数22()()(12)(0)f x a x lnx a x a =−+−． （Ⅰ）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．18．（本小题14分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等2050t <50t（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．（只需写出结论）19．（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，长轴的左端点为(2,0)A −．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点的任一直线l 与椭圆C 分别相交于M ，N 两点，且AM ，AN 与直线4x =分别相交于D ，E 两点，求证：以DE 为直径的圆恒过x 轴上定点，并求出定点．20.（本小题15分）已知函数2()222xf x e ax x =−−− （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅲ）当0a >时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论）21.（本小题15分）无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项12,,,n a a a 中等于n a 的项的个数.（Ⅰ）若12a =，请写出数列{}n a 的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M ，必存在k *∈N ，使得k a M >；（Ⅲ）求证：“11a =”是“存在m *∈N ，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.北师大实验中学2024-2025学年第一学期高三统练（一）参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．A 8．B 9．B 10．A 二、填空题 5小题，每小题5分，共25分． 11.3112．如：2−，1−，0（答案不唯一） 13．(1−，0)(1，)+∞14．(−∞，5]215． ①③④注： 15题不选、错选0分，少选3分，选全对5分三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分）解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由题意，2(12)18d d +=+， 解得1d =或0d =．（2）由（1）得数列{}n a 的通项公式为1n a =或n a n =． 由于22n a =或22n a n =，由等比数列前n 项和公式得2n S n =或12(12)2212n n n S +−==−−． 17．（本小题13分）解：（Ⅰ）函数22()()(12)(0)f x a x lnx a x a =−+−的定义域为(0,)+∞， 21(21)()()(2)12ax x a f x a x a x x+−'=−+−=， 因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以f '（1）0=，即(21)(1)0a a +−=，0a ，解得1a =，经检验知，当1a =时，1x =是函数()y f x =的极值点，所以1a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知(21)()()ax x a f x x+−'=，0a ，当0a =时，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>， 所以函数()f x 的递减区间为(0,)a ，增区间为(,)a +∞．综上，当0a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间； 当0a >时，函数()f x 的递减区间为(0,)a ，增区间为(,)a +∞．18．（本小题14分） 解：（Ⅰ） 由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65．（Ⅱ） 甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人， 所以，随机变量ξ的取值为0ξ=，1，2．所以02262815(0)28C C P C ξ===，1126283(1)7C C P C ξ===，2026281(2)28C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为：ξ∴的数学期望为(0)012287282E ξ==⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）X X <乙甲，22S S >甲乙．19．（本小题15分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，长轴的左端点为(2,0)A −，所以1,22c a a ==，得b所以椭圆C 的方程：22143x y +=； （Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标为(1,0)，由题直线斜率不为零，设直线l 方程为1x my =+， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由题，联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(34)690m y my ++−=，所以12122269,3434m y y y y m m −−+==++，直线11:(2)2y AM y x x =++，得116(4,)2y D x +， 同理，直线22:(2)2y AN y x x =++，得226(4,)2y E x +，设x 轴上一点(,0)P t ，则116(4,)2y PD t x =−+，同理得：226(4,)2y PE t x =−+， 所以2121212126636(4,)(4,)(4)22(2)(2)y y y y PD PE t t t x x x x ⋅=−⋅−=−+++++， 因为1212(2)(2)(3)(3)x x my my ++=++，所以 22212222123636(9)(4)(4)(4)90(3)(3)9182736y y PD PE t t t my my m m m ⨯−⋅=−+=−+=−−=++−−++, 解得：43t −=±，即1t =或7t =，所以以DE 为直径的圆恒过x 轴上定点，定点分别为(1,0)，(7,0)．20. （本小题15分）（Ⅰ）因为函数2()222x f x ax x =−−−e ，所以'()222xf x ax =−−e ，故(0)0f =，'(0)0f = ，曲线()y f x =在0x =处的切线方程为0y = （Ⅱ）当0a ≤时，令()'()222xg x f x ax ==−−e ，则'()220xg x a =−>e故()g x 是R 上的增函数. 由(0)0g =，故当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >. 即当0x <时，'()0f x <，当0x >时，'()0f x >.故()f x 在(,0)−∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.函数()f x 的最小值为(0)f ，由(0)0f =，故()f x 有且仅有一个零点. （Ⅲ）当01a <<时，()f x 有两个零点.当1a =时，()f x 有一个零点；当1a >时，()f x 有两个零点.21. （本小题15分）（Ⅰ）若12a =，则数列{}n a 的前7项为2，1，1，2，2，3，1 （Ⅱ）证法一假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤. 由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈，故数列{}n a 多有M 个不同的取值 考虑数列{}n a 的前21M +项： 1a ，2a ，3a ，…，21M a + 其中至少有1M +项的取值相同，不妨设121M i i i a a a +==⋅⋅⋅= 此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾.故对于任意的正整数M ，必存在*k ∈N ，使得k a M >.（Ⅱ）证法二假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤.由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈，故数列{}n a 多有M 个不同的取值对任意的正整数m ，数列{}n a 中至多有M 项的值为m ，事实上若数列{}n a 中至少有1M +项的值为m ，其1M +项为12311,,,,,,M M M i i i i i i a a a a a a −+⋅⋅⋅，此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾.故数列{}n a 至多有2M 项，这与数列{}n a 有无穷多项矛盾. 故对于任意的正整数M ，必存在*k ∈N ，使得k a M >.（Ⅲ）充分性：若11a =，则数列{}n a 的项依次为1，1，2，1， 3，1，4，1，…，2k −，1，1k −，1，k ，1，…特别地，数列{}n a 的通项公式为,211,2n k n k a n k =−⎧=⎨=⎩，即1,2121,2n n n k a n k+⎧=−⎪=⎨⎪=⎩ 故对任意的*n ∈N（1）若n 为偶数，则21n n a a +== （2）若n 为奇数，则23122n n n n a a +++=>= 综上，2n n a a +≥恒成立，特别地，取1m =有当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立必要性：方法一假设存在1a k =（1k >），使得“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立” 则数列{}n a 的前21k +项为k，211,1,2,1,3,1,4,...,1,2,1,1,1,k k k k−−−项，232,2,3,2,4,2,5,...,2,2,2,1,2,k k k k−−−项，253,3,4,3,5,3,6,...,3,2,3,1,3,k k k k −−−项，⋅⋅⋅，52,2,1,2,k k k k k −−−−项，31,1,k k k −−项，k后面的项顺次为21,1,1,2,1,3,...,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k ++++−+−+项，22,1,2,2,2,3,...,2,2,2,1,2,k k k k k k k k k k ++++−+−+项，23,1,3,2,3,3,...,3,2,3,1,3,k k k k k k k k k k ++++−+−+项，…2,1,,2,,3,...,,2,,1,,k k t k t k t k t k k t k k t k ++++−+−+项，…故对任意的1,2,3,...,2,1,s k k k =−−，*t ∈N2212(1)2112(1)2k t k s k t k sa k ta s ++−+−++−+=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 对任意的m ，取12m t k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则2kt m > ，令212n k kt =++，则n m >，此时n a k =，21n a +=有2n n a a +>，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a = 方法二 若存在m N *∈，当n m ≥时，2n n a a +≥恒成立，记{}12max ,,,m a a a s =.由第（2）问的结论可知：存在k N *∈，使得k a s >（由s 的定义知1k m ≥+） 不妨设k a 是数列{}n a 中第一个．．．大于等于1s +的项，即121,,,k a a a −均小于等于s .则11k a +=.因为1k m −≥，所以11k k a a +−≥，即11k a −≥且1k a −为正整数，所以11k a −=.记1k a t s =≥+，由数列{}n a 的定义可知，在121,,,k a a a −中恰有t 项等于1.假设11a ≠，则可设121t i i i a a a ====，其中1211t i i i k <<<<=−，考虑这t 个1的前一项，即12111,,,t i i i a a a −−−，因为它们均为不超过s 的正整数，且1t s ≥+，所以12111,,,t i i i a a a −−−中一定存在两项相等，将其记为a ，则数列{}n a 中相邻两项恰好为（a ，1）的情况至少出现2次，但根据数列{}n a 的定义可知：第二个a 的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！ 故假设11a ≠不成立，所以11a =，即必要性得证！综上，“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.。
2025届高三10月大联考试题(新高考卷)数学含答案
2025届高三10月大联考（新课标卷）数学（答案在最后）本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|1A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1B x x =≤-或}1x >，则A B = （）A.(](),11,∞∞--⋃+B.C.()(),11,∞∞-⋃+ D.∅2.数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44的上四分位数为（）A.30B.32C.40D.423.已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.15br B.125b C.bD.1125b 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，7434S a =+，则10S =（）A.5- B.5C.52-D.525.函数()()23ππsin cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x f x x x x x⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+图象的对称中心为（）A.π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z B.π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z C.()π,0k ，k ∈Z D.()2π,0k ，k ∈Z6.()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为（）A.10B.20C.10- D.20-7.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，且ADE V ，BCF V 均为正三角形，28EF AB ==，则ED 与BF 所成角的大小为（）A.π2B.π3C.π4D.π68.已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（）A.8πB.9πC.16πD.17π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设1z ，2z 为复数，则下列说法中正确的有（）A.若1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d ∈R ，且a c >，b d >，则12z z >B.若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2m =C.若关于x 的方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则5p q +=-D.若112i z =-+，234i z =+，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第三象限10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，设1,1，2,2，AB 的中点为()00,M x y ，则下列说法中正确的有（）A.若直线l 过焦点F ，则024AB x =+B.若直线l 过焦点F ，则·AF BF 的最小值为4C.若直线AB 的斜率存在，则其斜率与0x 无关，与0y 有关D.若O 为坐标原点，直线l 的方程为()4y k x =-，则OA OB ⊥11.已知函数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，其导函数为′，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，则（）A.()00f = B.′为奇函数C.π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期D.2024ππ202482i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若定义在R 上的函数()f x 满足()21f =，且()()22lim12x f x f x →-=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为_____.13.已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4，离心率为2.若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为_____.14.已知不等式()2e2ln e 21x axx xx a x+-+--<恒成立，则实数a 的取值范围为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若D 是边AC 上一点，且2DC AD =，3BD =，求b .16.为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为m ，参加体能训练活动的男生人数为13m ，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，参加体能训练活动的女生人数为14m .（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；参加不参加合计男生女生（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.001x α2.7063.8416.63510.82817.如图，在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC a ===，AB AC BC b ===，BC 的中点为D ，过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，O 是线段PH 上的一个动点.（1）证明：OA BC ⊥；（2）若O 是正三棱锥P ABC -外接球的球心，且a b =，求平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值.18.在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,0B ，C 是平面内的动点，且ABC V 内切圆的圆心在直线1x =上.（1）求动点C 的轨迹W 的方程；（2）过点B 作三条不同的直线1l ，2l ，3l ，且1l x ⊥轴，2l 与W 交于M ，N 两点，3l 与W 交于P ，Q 两点，M ，P 都在第一象限，直线MP ，NQ 与1l 分别交于点G ，H ，证明：11BG BH-为定值.19.一般地，n 元有序实数组()12,,,n a a a ⋅⋅⋅称为n 维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，⋅⋅⋅）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于n 维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，则a = 若存在不全为零的r 个实数1k ，2k ，⋅⋅⋅，r k ，使得11220r r k a k a k a ++⋅⋅⋅+=u r u u r u u r r ，则称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性相关的，否则，称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a是线性无关的.（1）判断向量组()1,1,1a =，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- 是否线性相关.（2）已知函数()e xf x =，()1g x ax =+，且()()0f x g x -≥恒成立.①求a 的值；②设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，其中()1n a g n =，若()n b f n =，()n c g n =，数列{}n n b c 的前n 项和为n S ；证明：当*n ∈N 时，217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .2025届高三10月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|1A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1B x x =≤-或}1x >，则A B = （）A.(](),11,∞∞--⋃+B.C.()(),11,∞∞-⋃+ D.∅【答案】C 【解析】【分析】根据题意先求集合A ，进而根据并集运算求解.【详解】由题意可知：{}1||11A x y x x x ⎧⎫===≠⎨⎬-⎩⎭，且{|1B x x =≤-或}1x >，所以A B = ()(),11,∞∞-⋃+.故选：C.2.数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44的上四分位数为（）A.30B.32C.40D.42【答案】D 【解析】【分析】从小到大排序后，位于75%位置的数值.计算步骤为先确定位置，再根据位置情况确定上四分位数的值.【详解】10n =，计算75%位置的序号100.757.5i =⨯=.由于7.5i =不是整数，向上取整为8，所以上四分位数是第8个数，即42.故选：D.3.已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.15br B.125b C.bD.1125b 【答案】B 【解析】【分析】由模长的坐标表示可得b，再结合投影向量的定义分析求解.【详解】由题意可得：5b == ，所以a 在b上的投影向量为2125a b b b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭r rr r r .故选：B.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，7434S a =+，则10S =（）A.5-B.5C.52-D.52【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列性质可得41a =，结合等差数列通项公式列式求1,a d ，代入等差数列求和公式即可.【详解】设等差数列的公差为d ，因为744734S a a ==+，可得41a =，且22a =，则4121312a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得15212a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以10510915102222S ⨯⎛⎫=⨯+-= ⎪⎝⎭.故选：D.5.函数()()23ππsin cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x f x x x x x⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+图象的对称中心为（）A.π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z B.π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z C.()π,0k ，k ∈Z D.()2π,0k ，k ∈Z【答案】A 【解析】【分析】由三角恒等变换化简再结合正切函数的对称中心可得答案；【详解】()()()23ππ1sin cos sin 2cos sin 1222tan 21sin 21sin 2cos 2cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x x x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⨯-⎝⎭⎝⎭====+--++--+，令π2,Z 2k x k =∈，则π,4k x k Z =∈，所以对称中心为π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，故选：A.6.()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为（）A.10 B.20C.10- D.20-【答案】B 【解析】【分析】因为()555111212x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合二项展开式的通项公式运算求解.【详解】因为()555111212x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为()5521551C 1C ,0,1,2,3,4,5rr r r rr r T x x r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅= ⎪⎝⎭，令521r -=，解得2r =，可得()22351C 10T x x =-⋅=；令522r -=，解得32r =∉Z ，不合题意；所以2x 项的系数为21020⨯=.故选：B.7.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，且ADE V ，BCF V 均为正三角形，28EF AB ==，则ED 与BF 所成角的大小为（）A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】A 【解析】【分析】作出图形，取EF 的中点G ，连接,,AG CG AC ，可求出AGC ∠为异面直线ED 与BF 所成的角，再由勾股定理计算即可；【详解】如图，取EF 的中点G ，连接,,AG CG AC ，因为//EF AB ，28EF AB ==，所以四边形ABFG 为平行四边形，所以//BF AG ，同理可得//ED CG ，所以AGC ∠为异面直线ED 与BF所成的角或其补角，AC =4AG CG ==，即222AC AG CG =+，所以π2AGC ∠=，即ED 与BF 所成角的大小为π2，故选：A.公众号：高中试卷君8.已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（）A.8πB.9πC.16πD.17π【答案】B 【解析】【分析】先利用方程组法求出()f x 的解析式，结合()f x 的奇偶性将[]3π,5π-上的零点和转化为(]3π,5π上的零点和问题，令()0f x =，转化为sin tan x x =-，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.【详解】由()()2sin tan f x f x x x --=+，可得()()()()2sin tan sin tan f x f x x x x x --=-+-=--，解得()()1sin tan 3f x x x =+，易知()f x 为奇函数，故()f x 的图象关于原点对称，则函数=在[]3π,3π-上的图象关于原点对称，故函数=在[]3π,3π-上的零点也关于原点对称，和为0，在(]3π,5π上的零点和即为[]3π,5π-上的零点和，令()0f x =，得sin tan 0x x +=，sin tan x x =-，(]3π,5πx ∈，作出sin y x =和tan y x =-在同一坐标系中的图象，可知=在(]3π,5π内的零点有4π和5π两个，故14π5π9πni i x ==+=∑.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设1z ，2z 为复数，则下列说法中正确的有（）A.若1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d ∈R ，且a c >，b d >，则12z z >B.若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2m =C.若关于x 的方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则5p q +=-D.若112i z =-+，234i z =+，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第三象限【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：根据复数不能比较大小即可判断；对于B ：根据纯虚数的概念列式求解；对于C ：可知另一个虚根为2i 1--，利用韦达定理运算求解；对于D ：可得1242i z z =---，结合复数的几何意义分析判断.【详解】对于选项A ：因为b d >，可知1z ，2z 不可能均为实数，故不能比较大小，故A 错误；对于选项B ：若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2232010m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =，故B 正确；对于选项C ：若关于x 的方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则另一个虚根为2i 1--，可得()()()()2i 12i 122i 12i 15p q ⎧-=-+--=-⎪⎨=---=⎪⎩，所以7p q +=，故C 错误；对于选项D ：若112i z =-+，234i z =+，则1242i z z =---，复数12z z -在复平面内对应的点为()4,2--，位于第三象限，故D 正确；故选：BD.10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，设1,1，2,2，AB 的中点为()00,M x y ，则下列说法中正确的有（）A.若直线l 过焦点F ，则024AB x =+B.若直线l 过焦点F ，则·AF BF 的最小值为4C.若直线AB 的斜率存在，则其斜率与0x 无关，与0y 有关D.若O 为坐标原点，直线l 的方程为()4y k x =-，则OA OB ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：由条件，结合抛物线的定义判断A ；对于B ：设直线:1l x my =+，根据抛物线的定义结合韦达定理可得12y y +，12y y ，故244AF BF m =+，求其最值可得结论；对于C ：利用点差法分析判断；对于D ：利用韦达定理可得1216x x =，结合方程可得1216y y =-，再根据向量垂直分析判断.【详解】由题意可知：1,0，且12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，直线l 的斜率可以不存在，但不为0.对于A ，因为()()()1212011222AB AF BF x x x x x =+=+++=++=+，故A 错误；对于选项B ：若直线l 过焦点F ，设直线:1l x my =+，联立方程=B +12=4，消去x 可得2440y mx --=，则216160m ∆=+>，可得12124,4y y m y y +==-，所以()()()()()212121212112224AF BF x x my my m y y m y y =++=++=+++222484444m m m =-++=+≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以AF BF 的最小值为4，故B 正确；对于选项C ：因为1,1，2,2在抛物线C 上，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得()()()22121212124y y y y y y x x -=+-=-，若直线AB 的斜率存在，则121212042AB y y k x x y y y -===-+，所以直线AB 的斜率与0x 无关，与0y 有关，故C 正确；对于选项D ：联立方程()244y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 可得()222284160k x k x k -++=，可得()2242Δ846464160k k k =+-=+>，且1216x x =，由选项C 可知：22121216256y y x x ==，且120y y <，可得1216y y =-，则12120OA OB x x y y ⋅=+=，所以OA OB ⊥，故D 正确；故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，其导函数为′，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，则（）A.()00f = B.′为奇函数C.π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期D.2024ππ202482i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：利用赋值法令0x y ==，代入运算即可；对于B ：令y x =-，可得()()f x f x =--，进而可得()()f x f x '='-，即可判断；对于C ：令π2y =，可得()π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合周期性分析判断；对于D ：根据周期性运算求解即可.【详解】因为()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对于选项A ：令0x y ==，可得()()()30020f f f -=，即()()20010f f ⎡⎤+=⎣⎦，显然()2010f+≠，所以()00f =，故A 正确；对于选项B ：因为数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，关于原点对称，令y x =-，可得()()()()()()00f f x f x f f x f x --=+-，即()()f x f x =--，可得()()f x f x '='-，且()f x 不为常函数，′不恒为0，所以′为偶函数，故B 错误；对于选项C ：令π2y =，可得()()ππππ2222f x f x f f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知π2为()f x 的一个周期，所以π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期，故C 正确；对于D ：因为π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期，则*πππ1,828n f f n ⎛⎫⎛⎫+==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，所以2024ππ202582i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的研究，常常利用赋值法，结合题设条件合理赋值是解题的关键，对于本题关键赋值有：令0x y ==，y x =-和π2y =.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若定义在R 上的函数()f x 满足()21f =，且()()22lim12x f x f x →-=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为_____.【答案】1y x =-【解析】【分析】根据导数的定义，得到切线斜率，运用点斜式计算即可.【详解】2()(2)lim12x f x f x →-=-，所以(2)1f k '==.且(2)1f =，曲线()y f x =在点00(,)x y 处的切线方程为00()y y k x x -=-.已知02x =，0(2)1y f ==.将这些值代入切线方程公式，得到11(2)y x -=⨯-.化简这个方程，得到1y x =-.故答案为:1y x =-.13.已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4，离心率为2.若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为_____.【答案】2【解析】【分析】先根据长轴及离心率列式求出s s 得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P 的坐标，最后计算面积即可.【详解】因为222242a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,所以2,1,a b c ===,所以椭圆方程为2214y x +=,设()00,P x y ,椭圆的上、下顶点()()0,2,0,2A B -,所以()()0000,2,,2,PA x y PB x y =--=--- 且220014y x +=，所以222200001·44442PA PB x y x x =+-=+--=- ，所以2016x =，即得1212011662222662PF F S F F x c =⨯=⨯⨯==.故答案为：2.14.已知不等式()2e 2ln e 21xaxxxx a x+-+--<恒成立，则实数a 的取值范围为_____.【答案】()0,∞+【解析】【分析】根据题意整理可得()()2ln 2e2ln e2x xx axx x x ax ++++<++，构建()e 2,0x f x x x =+>，结合单调性可得2ln x x x ax +<+，参变分离可得ln 1xx a x-+<，再构建()ln 1x g x x x =-+，利用导数求最值即可.【详解】因为()2e 2ln e 21xaxxxx a x+-+--<，且0x >，则22e 222e 2ln x x axx x x ax x ++--<-，整理可得()()2ln 2e2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，令()e 2,0xf x x x =+>，则()()2ln 2e2ln e2x xx axx x x ax ++++<++，即为()()2ln f x x f x ax +<+，因为e ,2x y y x ==在0,+∞内均为增函数，则()f x 在0,+∞内为增函数，可得2ln x x x ax +<+恒成立，即ln 1xx a x-+<恒成立，令()ln 1x g x x x =-+，则()2221ln ln 11x x x g x x x-+-=-+=-'，令()2ln 1,0h x x x x =+->，因为2,ln 1y x y x ==-在0,+∞内均为增函数，则ℎ在0,+∞内为增函数，且ℎ1=0，当01x <<时，则ℎ<0，即()0g x '>；当1x >时，则ℎ>0，即()0g x '<；可知()g x 在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，则()()10g x g ≤=，可得0a >，所以实数a 的取值范围为0,+∞.故答案为：0,+∞.【点睛】关键点点睛：对原式同构可得()()2ln 2e 2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，构建函数结合单调性分析可得ln 1xx a x-+<恒成立.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若D 是边AC 上一点，且2DC AD =，3BD =，求b .【答案】（1）π3B =（2【解析】【分析】（1）先由正弦定理化简得出2πsin cos sin cos 2sin cos 3B A A B C B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭再结合两角和正弦公式化简得出2π1cos 32B ⎛⎫-=⎪⎝⎭计算得角即可；（2）先根据边长关系得出向量关系1233BD BC BA =+，再应用向量数量积运算解得2c =，最后余弦定理计算得b .【小问1详解】因为2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，由正弦定理得2πsin cos sin cos 2sin cos 3B A A B C B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()2πsin sin 2sin cos ,sin 03C B A C B C ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，所以()2π1cos ,0,π32B B ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭,所以2ππ33B -=，可得π3B =【小问2详解】因为2DC AD =，所以2DC AD = ，所以1233BD BC BA =+ ，即得32BD BC BA =+，左右两侧平方得222944BD BC BA BC BA =++⋅，又因为π,13B a ==，所以21211442BA BA =++⨯ ，所以22100c c +-=，()()2250c c -+=，解得2c =，由余弦定理得214121232b =+-⨯⨯⨯=，所以b =16.为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为m ，参加体能训练活动的男生人数为13m ，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，参加体能训练活动的女生人数为14m .（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；参加不参加合计男生女生（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.001x α2.7063.8416.63510.828公众号：高中试卷君【答案】（1）答案见解析；（2）分布列见解析；数学期望()87E X =【解析】【分析】（1）根据已知数据补全列联表，再由卡方公式计算，由独立性检验得到结论；（2）先由分层抽样确定人数，再计算概率，列出分布列，由期望公式计算即可；【小问1详解】参加体能训练活动的男生人数为13m ，即112004003⨯=人，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，即112003004⨯=人，参加体能训练活动的女生人数为14m ，即112003004⨯=人，所以参加不参加合计男生400300700女生300200500()2212004002003003000.980 2.706700500700500x αχ⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，所以根据小概率0.1α=的独立性检验，没有证据说明学生参加体能训练活动的意愿与性别有关联，【小问2详解】按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，则抽取参加体能训练人数为8人，不参加的为6人，由题意可得X 的可能取值为0,1,2()26214C 150C 91P X ===，()1186214C C 481C 91P X ===，()28214C 42C 13P X ===，所以X 的分布列为：X012P15914891413，期望为()1548480129191137E X =⨯+⨯+⨯=，17.如图，在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC a ===，AB AC BCb ===，BC 的中点为D ，过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，O 是线段PH 上的一个动点.（1）证明：OA BC ⊥；（2）若O 是正三棱锥P ABC -外接球的球心，且a b =，求平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2）12【解析】【分析】（1）连接,AD PD ，可得PH BC ⊥，AD BC ⊥，可证⊥BC 平面PAD ，结合线面的性质即可得结果；（2）根据外接球的性质可得4OB OA a ==，求相关长度，做辅助线，可得二面角D OB E --的平面角DME ∠，结合余弦定理运算求解.【小问1详解】连接,AD PD ，因为P ABC -为正三棱锥，则H 为等边三角形ABC 的中心，且PH ⊥平面ABC ，由⊂BC 平面ABC ，则PH BC⊥又因为D 为BC 的中点，则,H AD AD BC ∈⊥，且PH AD H ⋂=，,PH AD ⊂平面PAD ，可得⊥BC 平面PAD ，因为OA ⊂平面PAD ，所以OA BC ⊥.【小问2详解】由题意可知：,,236AD a AH HD ===，则3PH a ==，设正三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则22233R a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得64R a =，即64OB OA a ==，则12OH AH R =-=，可得4OD ==，因为⊥BC 平面PAD ，OD ⊂平面PAD ，则BC OD ⊥，取AB 的中点E ，连接,,OE EH DE ，则OE AB ⊥，且EB BD =，12ED a =，可知Rt Rt OBE OBD ≅△△，过D 作⊥DM OB ，垂足为M ，连接EM ，则EM OB ⊥，可知二面角D OB E --的平面角DME ∠，由OBD的面积可得1122424a a DM ⨯⨯=⨯，解得6DM a =，可知6DM EM a ==，在DME 中，由余弦定理可得222222*********cos 2266a a a DM EM DE DME DM EM +-+-∠==-⋅，所以平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值为12.18.在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,0B ，C 是平面内的动点，且ABC V 内切圆的圆心在直线1x =上.（1）求动点C 的轨迹W 的方程；（2）过点B 作三条不同的直线1l ，2l ，3l ，且1l x ⊥轴，2l 与W 交于M ，N 两点，3l 与W 交于P ，Q 两点，M ，P 都在第一象限，直线MP ，NQ 与1l 分别交于点G ，H ，证明：11BG BH-为定值.【答案】（1）()22113y x x -=>（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据内切圆的性质分析可得2CA CB -=，结合双曲线的定义分析求解；（2）设直线方程和交点坐标，利用韦达定理整理可得1211143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2431143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求G ，H 的坐标，代入化简整理即可得结果.【小问1详解】设ABC V 内切圆的圆心为R ，且与三边切于点,,D E F ，则,,CD CF AD AE BE BF ===，可得()()CA CB CD AD CF BF AD BF AE BE -=+-+=-=-，且−2,0，()2,0B ，()1,0E ，即3,1AE BE ==，可得2CA CB AE BE -=-=，可知动点C 的轨迹W 是以,A B 为焦点的双曲线的右半支（顶点E 除外），则221,2,3a c b c a ===-=，所以动点C 的轨迹W 的方程为()22113y x x -=>.【小问2详解】由题意可知：1:2l x =，双曲线2213y x -=的渐近线为3y x =，设21321233:2,:2,,,00,33l x m y l x m y m m ⎛⎫⎛⎫=+=+∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y P x y Q x y ，且12m m ≠，联立方程122213x m y y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()2211311290m y m y -++=，则112122211129,3131m y y y y m m +=-=--，可得()1211234y y m y y -+=，整理可得1211143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，同理可得2431143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则直线()133313:y y PM y x x y x x -=-+-，令2x =，可得()13133113331313222G y y y y x y x y y x y x x x x ---+=-+=--()()()()()13231113121311231123222222y y m y y m y y m m y y m y m y m y m y --+++-==+-+-，则()1123211213121311m y m y m m BG m m y y m m y y -==---，同理可得21122411m m BH m m y y =--，则21211212241213111141433m m m m m m BH m m y y m m y y ⎛⎫⎛⎫=-=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12123111m m m m y y BG=-=-，所以110BG BH -=为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、21x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.一般地，n 元有序实数组()12,,,n a a a ⋅⋅⋅称为n 维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，⋅⋅⋅）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于n 维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，则a = 若存在不全为零的r 个实数1k ，2k ，⋅⋅⋅，r k ，使得11220r r k a k a k a ++⋅⋅⋅+=u r u u r u u r r ，则称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性相关的，否则，称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性无关的.（1）判断向量组()1,1,1a = ，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- 是否线性相关.（2）已知函数()e xf x =，()1g x ax =+，且()()0f x g x -≥恒成立.①求a 的值；②设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，其中()1n a g n =，若()n b f n =，()n c g n =，数列{}n n b c 的前n 项和为n S ；证明：当*n ∈N 时，217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .【答案】（1）a ，b ，c 是线性无关的（2）①1a =；②证明见详解【解析】【分析】（1）假设a ，b ，c 线性相关，根据题意列方程解得0x y z ===，即可得出矛盾；（2）①令()()()F x f x g x =-，分析可知原题意等价于()0F x ≥对任意x ∈R 恒成立，结合定点法求得1a =；②利用放缩法结合裂项相消法可得12n n S n +>⋅，21n a n <+r ，进而可得21112211n n n n S a n n n n ++⎛⎫->⋅-=- ⎪++⎝⎭r ，结合数列单调性可得17212n n n n +⋅-≥+.【小问1详解】若a ，b ，c 线性相关，则存在不全为零的3个实数,,x y z ，使得0xa ya zc ++=r r r r ，因为()1,1,1a = ，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- ，则()4,22,2xa ya zc x y z x y z x y z ++=-++++-r r r ，可得4022020x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩，解得0x y z ===，故假设不成立，所以a ，b ，c 是线性无关的.【小问2详解】公众号：高中试卷君①令()()()e 1x F x f x g x ax =-=--，则()e x F x a '=-，原题意等价于()0F x ≥对任意x ∈R 恒成立，且()00F =，可得()010F a '=-=，解得1a =；若1a =，则()e 1x F x x =--，()e 1xF x '=-，令()0F x '>，解得0x >；令()0F x '<，解得0x <；可知()F x 在(),0-∞内单调递减，在()0,∞+内单调递增，则()()00F x F ≥=，符合题意；综上所述：1a =；②由①可知：()1g x x =+，则()e nn b f n ==，()1n c g n n ==+，则()()()11e 12212n n n n n n b c n n n n +=+>+=⋅--，可得()()()23211202222122n n n n S n n n ++⎡⎤>-+⨯-+⋅⋅⋅+⋅--=⋅⎣⎦，又因为()()()22211111111n a g n n n n n n ==<=-+++，则22221211111111223111n n a a a a n n n n =++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+=-=+++r ，即12n n S n +>⋅，21n a n <+r ，则21n a n ->-+r ，可得21112211n n n n S a n n n n ++⎛⎫->⋅-=- ⎪++⎝⎭r ，因为*n ∈N ，且1121n n +⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为递增数列，则12117220122n n +-≥-=>+，可得1121n n n +⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭为递增数列，则117721122n n n +⎛⎫-≥⨯= ⎪+⎝⎭，综上所述：217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .【点睛】关键点点睛：对于②：利用放缩结合裂项相消法可得()()112212n n n n n b c n n n +>+=⋅--，()()221111111n a n n n n n =<=-+++，进而分析证明.。
北京市中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷含答案
北京35中2025届10月月考数学（答案在最后）2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}212,340,ZA x xB x x x x =-≤≤=--<∈，则A B = （）A.{}0,1B.{}11x x -≤<C.{}0,1,2 D.{}12x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2340,Z 14,Z 0,1,2,3B x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2A B = .故选：C.2.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】D 【解析】【分析】确定19a =，0b <，1c >，得到答案.【详解】2139a -==，tan20b =<，22log 3log 21c >==，故c a b >>.故选：D.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A.3()f x x = B.()lg ||f x x = C.()f x x=- D.()cos f x x=【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A 中，()3f x x =，是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B 中，()lg f x x =，是偶函数，不满足要求，选项C 中，()f x x =-，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求；选项D 中，()cos f x x =，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A.20-B.15- C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r =，故常数项为()2236115T C =-=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.阅读下段文字：“为无理数，若a b ==ba 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.C.存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数 D.对任意无理数a ，b ，都有b a 为无理数【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明AB 错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C 正确；这段文字中只提及存在无理数a ，b ，不涉及对任意无理数a ，b ，都成立的问题，D 错误.故选：C 7.若点5π5πsin,cos 66M ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan2α=（）A.33 B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan α=.【详解】5π5πsin ,cos 66M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5πcos6tan 5πsin6α==，22tan 23tan21tan 13ααα-===--故选：C.8.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当0a <时，作出ln ,ay x y x==-的图像，可以看出0a <时，函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A.1800 B.2700C.7290D.8100【答案】D 【解析】【分析】设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v =时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==，所以12k =，故2m /s v =时，312log 2100Q =即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.已知各项均为整数的数列{}n a 满足()*12121,2,3,n n n a a a a a n n --==>+≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（）A.520a >B.10100a <C.151000a >D.202000a <【答案】C 【解析】【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C 选项一定正确.【详解】根据题意可知3123a a a >+=，又数列的各项均为整数，所以3a 最小可以取4，即34a ≥；同理可得4236a a a >+≥，所以4a 最小可以取7，即47a ≥；同理53411a a a >+≥，所以5a 最小可以取12，即512a ≥，即520a <可以成立，因此可得A 不一定正确；同理易得645619,20a a a a >+≥≥；756732,33a a a a >+≥≥；867853,54a a a a >+≥≥；978987,88a a a a >+≥≥；108910142,143a a a a >+≥≥，即10100a <不成立，B 错误；又1191011231,232a a a a >+≥≥；12101112375,376a a a a >+≥≥；131********,609a a a a >+≥≥；14121314985,986a a a a >+≥≥，151314151595,1596a a a a >+≥≥，即可得151000a >一定成立，即C 正确；显然若32000a =，则202000a <明显错误，即D 错误.故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数1ii+的虚部为________.【答案】－1【解析】【详解】试题分析：1ii 1i+=-+，所以其虚部为－1考点：复数的虚部12.函数()f x =的定义域为R ，请写出满足题意的一个实数a 的值______．【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的定义域求解即可.【详解】因为()f x =R ，所以20x a -≥在R 上恒成立，即2a x ≤，由于20x ≥在R 上恒成立，故实数a 的取值范围为(],0-∞.故答案为：1-（答案不唯一）.13.已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为12n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =____；n S 的最小值为____．【答案】①.1-②.2-【解析】【分析】（1）由题可得1212n n n n a b c n -+==+-，根据等比数列及等差数列的求和公式可得n S ，利用数学归纳法可得3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，进而即得.【详解】由题可知1212n n n a b n -+=+-，所以()()()()()423441712112325271122S +-++-++-++-+-==--=，()()()()1212112112321221122n n n n n n n S n -+--+-++-+++-=-=---= ，令1212n n c n -=+-，则123450,1,1,1,7c c c c c ==-=-==，当4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，下面用数学归纳法证明当4n =时，1221n n ->-成立，假设n k =时，1221k k ->-成立，当1n k =+时，()()()122222121123211k k k k k k -=⋅>-=+-+->+-，即1n k =+时也成立，所以4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，所以3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，由当3n =时，n S 有最小值，最小值为3322132S =--=-.故答案为：1-；2-.14.已知函数()e ,,x x x af x x x a⎧<=⎨-≥⎩，()f x 的零点为__________，若存在实数m 使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.0②.11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值的方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.【详解】令()e xg x x =，可得()()1e xg x x +'=，由()0g x '=可得1x =-，当(),1x ∞∈--时，()0g x '<，此时()g x 在(),1∞--上单调递减，当()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，此时()g x 在()1,∞-+上单调递增，因此()g x 在1x =-处取得极小值，也是最小值，即()()min 11eg x g =-=-，又()00g =，且0x <时，()10eg x -≤<，当0x >时，>0，令()h x x =-，其图象为过原点的一条直线，将()(),g x h x 的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：当0a <时，如下图，在[),+∞a 上()()f x h x x ==-的零点为0，当0a =时，如下图，在[)0,∞+上()()f x h x x ==-的零点为0当0a >时，如下图，在(),a ∞-上()()e xf xg x x ==的零点为0，综上可知，()f x 的零点为0；当1a ≤-时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点，当11ea -<<时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有三个交点，当1ea ≥时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点；综上可知，若使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：0；11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭15.已知函数()()e 111xf x k x =----，给出下列四个结论：①当0k =时，()f x 恰有2个零点；②存在正数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有2个零点；④对任意()0,k f x <只有一个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】把函数()f x 的零点个数问题，转化为函数e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.【详解】令()()e 1110xf x k x =----=，得()e 111xk x -=-+，函数()f x 的零点个数，即为方程()e 111xk x -=-+的根的个数，方程()e 111xk x -=-+根的个数，即为e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，又函数()11y k x =-+是过定点(1,1)A 的直线，作出e 1xy =-的图象如图所示，当0k =直线()11y k x =-+与函数e 1xy =-有一个交点，故()()e 111xf x k x =----有一个零点，故①错误；当()11y k x =-+在第一象限与函数e 1xy =-相切时，函数()()e 111xf x k x =----有一个零点，故②正确；函数()11y k x =-+绕着A 顺时针从1y =转到1x =时，两图象只有一个交点，故0k <时，函数()()e 111xf x k x =----只有一个零点，故③错误，④正确.故答案为：②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点.点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-.（1）求cos2α的值；（2）求()sin βα-的值.【答案】（1）725-（2）5665.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得4sin 5α=，再由二倍角公式计算可得7cos225α=-；（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.【小问1详解】由题可知，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点；点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-，所以45sin ,cos 513αβ==-.即可得27cos212sin 25αα=-=-.【小问2详解】由于22sin cos 1αα+=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5αα=-=，同理由于2π12,π,sin 1cos 213βββ⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，所以()56sin sin cos cos sin 65βαβαβα-=-=.17.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,A B C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目A B C做对的概率451214获得的奖金/元204080规则如下：按照,,A B C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]（1）求甲没有获得奖金的概率；（2）求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；（3）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】（1）15（2）分布列见解析，40（元）（3）不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，从而求得对应的概率；（2）易知X 的可能取值为0，20，60，140，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值；（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.【小问1详解】甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，设甲没有获得奖金为事件M ，则()41155P M =-=.【小问2详解】分别用,,A B C 表示做对题目,,A B C 的事件，则,,A B C 相互独立.由题意，X 的可能取值为0,20,60,140.41412(0)()1;(20)()155525P X P A P X P AB ⎛⎫===-====⨯-= ⎪⎝⎭;4134111(60)()1;(140)()52410524101P X P ABC P X P ABC ===⨯⨯-===⨯⎛⎫ ⎪⎝=⎭=⨯.所以甲最终获得的奖金X 的分布列为X02060140P 1525310110()12310206014040551010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由（2）知，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望为40元，若按照,,A C B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,20,100,140.141(0)1;(250)1554435P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;41411(100)1;(140)5105421011142P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为110201001403613110550⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B A C 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,60,140.1114(0)1;(400)1212125P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;143141(60)1;(140)254102541011P X P X ==⨯⨯-===⨯⎛⨯ ⎝=⎫⎪⎭.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B C A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,120,140.1111(0)1;(480)122432P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(120)1;(140)24024510141145P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C A B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,100,140.1314(0)1;(800)1414245P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1141(100)1;(140)10452104111452P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为1080100140284101311200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C B A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,120,140.1311(0)1;(880)144214P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(100)1;(140)40425101411425P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为5311108010014026.401048⨯+⨯+⨯+⨯=元，显然按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大.18.已知()2cos sin ,f x ax x x x a =++∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上为增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2y =（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）将()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数转化为sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数()sin cos g x x x x =-并求导得出其单调性，求出最大值可得实数a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()2cos sin f x x x x =+，易知()2sin sin cos cos sin f x x x x x x x x'=-++=-可得()()00,02f f ='=，所以切线方程为2y =.【小问2详解】易知()sin cos f x a x x x=+'-由函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，可得′≥0在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()ππsin cos ,sin ,,22g x x x x g x x x x ⎡⎤=-=∈-⎢⎣'⎥⎦法一：令()sin 0g x x x '==，得0x =，()(),g x g x '的变化情况如下：x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x '+0+()g x所以()g x 为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.法二：当π02x -<<时，sin 0,sin 0x x x <>；当π02x ≤<时，sin 0,sin 0x x x ≥≥.综上，当ππ22x -<<时，()()0,g x g x '≥为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.19.现有一张长为40cm ，宽为30cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为cm x ，高为y cm ，体积为()3cm V .（1）求出x 与y 的关系式；（2）求该铁皮盒体积V 的最大值.【答案】（1）21200,0304x y x x-=<≤；（2）34000cm .【解析】【分析】（1）由题意得到244030x xy +=⨯，化简得到212004x y x -=，并由实际情境得到030x <≤；（2）表达出()()3112004V x x x =-，求导得到其单调性，进而得到最大值.【小问1详解】因为材料利用率为100%，所以244030x xy +=⨯，即212004x y x -=；因为长方形铁皮ABCD 长为40cm ，宽为30cm ，故030x <≤，综上，212004x y x-=，030x <≤；【小问2详解】铁皮盒体积()()222312*********x V x x y x x x x -==⋅=-，()()21120034V x x '=-，令()0V x '=，得20,x =()(),V x V x '的变化情况如下：x ()0,2020()20,30()V x +0-()V x '()V x 在()0,20上为增函数，在()20,30上为减函数，则当20x =时，()V x 取最大值，最大值为()3311200202040040cm ⨯⨯-=.20.已知函数1e ()x f x x-=.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）当211x x >>时，判断21()()f x f x -与2122x x -的大小，并说明理由.【答案】（1）230x y +-=；（2）单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞；（3）212122()()f x x x f x -->，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间.（3）构造函数2()(),1g x f x x x=->，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.【小问1详解】函数1e ()x f x x -=，求导得12(1)e ()xx f x x---='，则()12f '=-，而(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.【小问2详解】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且12(1)e ()x x f x x---='，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<或0x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞.【小问3详解】当211x x >>时，212122()()f x x x f x -->，证明如下：令2()(),1g x f x x x =->，求导得12(1)e 2()x x g x x-'--+=，令1()(1)e 2,1x h x x x -=--+>，求导得1()e 0x h x x -='>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0h x h >=，即()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上为增函数，当211x x >>时，21()()g x g x >，所以212122()()f x x x f x -->.21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈= ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m = 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>；（III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<< ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j i i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>> ，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++- ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤.由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。
2024-2025学年贵州省金太阳联考高三上学期10月考数学试题及答案
高三联考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}045,ln A xx B x y x =-==∣∣……，则A B ⋂=（ ）A.[]0,4B.(]0,1C.(]0,4D.[]0,12.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：C ），分别为6,8,6,10,6,5,9,11，则该组数据的第60百分位数为（）A.6B.7C.8D.93.已知焦点在y 轴上的椭圆()222:104x y C m m+=>的焦距为2，则其离心率为（ ）D.4.已知()3sin2,0,π4αα=-∈，则sin cos αα-=（ ）A.12B.12- D.5.已知圆台甲､乙的上底面半径均为r ，下底面半径均为3r ，圆台甲､乙的母线长分别为3,4r r ，则圆台甲与乙的体积之比为（）6.已知平面向量,a b 均为非零向量，则“a ∥b ”是“a b b a ++= ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知0a >且1a ≠，若函数()1,0,log 1,a x a f x x x x a⎧<⎪=⎨⎪+>⎩…的值域为R ，则a 的取值范围是（ ）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.(]1,2 D.[)2,∞+8.已知函数()sin2cos2f x x a x =+的图象关于直线π12x =对称，则当[]0,2πx ∈时，曲线()y f x =与cos y x =的交点个数为（ ）A.3B.4C.5D.6二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足13i 3i z =+-，则（ ）A.10z =B.86iz =-C.z 的虚部为8D.z 在复平面内对应的点位于第一象限10.已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，l 是C 的准线，点N 是C 上一点且位于第一象限，直线FN 与圆22:670A x y x +-+=相切于点E ，点E 在线段FN 上，过点N 作l 的垂线，垂足为P ，则（ ）A.EF =B.直线FN 的方程为10x y --=C.4NF =+D.PFN的面积为6+11.已知奇函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()222f x f x x =-+-，且()32f =，则（ ）A.()56f -=-B.()()4f x f x +=C.()101101f =' D.1001()5050i f i ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列{}n a 的公比不为1，且324,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为__________.13.有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A ，B ，C ，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为__________.14.若直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-有3个交点，则k 的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos 0c C a B b A ++=.（1）求C ；（2）若2a c b +=，求cos A .16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 的等边三角形，111π2,4AA B BC B BA ∠∠===.（1）证明：1AC BB ⊥.（2）求平面ABC 与平面1ACC 夹角的余弦值.17.（15分）已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为12，甲､乙两人答对每道题的概率分别为35,412，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；（2）记X 表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求X 的分布列与期望.18.（17分）已知y =是双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的一条渐近线，点()2,2在C 上.（1）求C 的方程.（2）已知直线l 的斜率存在且不经过原点，l 与C 交于,A B 两点，AB 的中点在直线2y x =上.（i ）证明：l 的斜率为定值.（ii ）若()1,1,M MAB ，求l 的方程.19.（17分）定义：对于函数()(),f x g x ，若()()()(),,0,,a b c f a f b g c ∞∀∈++>，则称“()()f x g x -”为三角形函数.（1）已知函数()ln f x x x =-，若()g x 为二次函数，且()()2g x g x -=，写出一个()g x ，使得“()()f x g x -”为三角形函数；（2）已知函数()()2,0,22x x t f x x ∞+=∈++，若“()()f x f x -”为三角形函数，求实数t 的取值范围；（3）若函数()()()ln ,ln 1ln f x x x g x x x x x =-=+-+，证明：“()()f x g x -”为三角形函数.（参考数据：3ln 0.4052≈）高三联考数学参考答案1.C {}[]{}()0451,4,ln 0,A xx B x y x ∞=-=-===+∣∣……，则(]0,4A B ⋂=.2.C 将这8个数据从小到大排列为5,6,6,6,8,9,10,11，因为60%8 4.8⨯=，所以该组数据的第60百分位数为8.3.B 因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以22415m =+=，故椭圆C的离心率e ==.4.C 因为()0,πα∈，且3sin22sin cos 04ααα==-<，所以π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα->0.因为27(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=，所以sin cos αα-=.5.A圆台甲的高为==，所以V h V h ====甲甲乙乙.6.B 由a b b a ++= 可得a b a b +=- ，平方可得22222||2||||||a a b b a a b b +⋅+=-+ ，解得a b a b ⋅=- ，所以,a b 反向.故“a ∥b ”是“a b b a ++= ”的必要不充分条件.7.B ()f x 在(]0,a 上的值域为1,a ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.因为函数()f x 的值域为R ，所以()log 1a f x x =+在(),a ∞+上的值域包含1,a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，则01a <<，且1log 1a a a +…，解得112a <…，所以a 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8.B 由题可知()π06f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2a a =+，解得a =()πsin22sin 23f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.在坐标系中结合五点法画出()y f x =与cos y x =的图象，如图所示.由图可知，共有4个交点.9.ACD 由题可知()()213i 3i 38i 3i 68i z =+-=+-=+，则10,68i z z ===-，z 的虚部为8,z 在复平面内对应的点为()6,8，位于第一象限.故选ACD.10.BC 22670x y x +-+=可化为22(3)2x y -+=，所以圆心()3,0A.由题知焦点()1,0F，准线为直线1,x EF =-==A 错误.易知直线FN 的斜率存在，设直线FN 的方程为()1y k x =-，=，解得1k =±.因为切点E 在线段FN 上，所以1k =，故直线FN 的方程为10x y --=，B 正确.联立24,10,y x x y ⎧=⎨--=⎩可得2610x x -+=，所以3N x =+或3-（舍去），2134N y NF NP =+==++=+，C 正确.((1142822PFN N S NP y =⋅⋅=⨯+⨯+=+ ，D 错误.11.AD 因为()()222f x f x x =-+-，所以()()()22f x x f x x -=---.令()()g x f x x =-，则()()2g x g x =-，所以()g x 的图象关于直线1x =对称.因为()f x 与y x =都为奇函数，所以()g x 也是奇函数，则()g x 是以4为周期的周期函数，所以()()4g x g x +=.由()32f =，可得()()3331g f =-=-，所以()()531g g -==-，则()551f -+=-，解得()56f -=-，A 正确.()()()()44444f x g x x g x x f x +=+++=++=+，B 错误.由()()222f x f x x =-+-，求导可得()()22f x f x '=--+'，所以()()112f f '=-+'，即()11f '=.由()()44f x f x +=+，求导可得()()4f x f x ='+'，所以()()10111f f ='='，C 错误.100100100111()[()]5050i i i f i g i i i ===∑=∑+=∑=D 正确.12.2- 设等比数列{}n a 的公比为q ，由324,,a a a 成等差数列，得3422a a a +=，整理得220q q +-=，则2q =-.13.12 从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个相同的情况共有1232C C =3种，字母不相同的2张卡片均有2种选择，所以不同的取法种数为23212⨯=.14.()1,0- 由()2e x y x =-，可得()1e x y x '=-，则()2e x y x =-在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，且当2x <时，()0f x <.直线2y kx =-恒过点()0,2-，当直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-相切于点()00,x y 时，()()000002e 2,1e ,x x x kx x k ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩即()020022e 2x x x -+=.令()()222e x f x x x =-+，则()2e 0x f x x ='…，所以()f x 在R 上单调递增.因为()02f =，所以00,1x k ==-，结合图象（图略）可知，若直线2y kx =-与曲线(2)e x y x =-有3个交点，则k 的取值范围为()1,0-.15.解：（1）由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，所以()2sin cos sin 0,2sin cos sin 0C C A B C C C ++=+=，得1cos 2C =-.因为()0,πC ∈，所以2π3C =.（2）由余弦定理可得222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，因为2a c b +=，所以222(2)b a a b ab -=++，化简可得53b a =，则723c b a a =-=，所以222222571333cos 57214233a a abc a A bc a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===⨯⨯.16.（1）证明：过A 作1BB 的垂线，垂足为O ，连接OC .因为ABC 为等边三角形，所以AB BC =.因为11π,4BO BO B BC B BA ∠∠===，所以BOA BOC ≌，则1,AO CO BO CO ==⊥.又CO AO O ⋂=，所以1BB ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以1AC BB ⊥.（2）解：由（1）可知1AO OC ==，所以222AO CO AC +=，故AO CO ⊥，所以,,OB OA OC 两两垂直，则以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.()()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0,2,1,0A B C C -，则1CC =(2,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CA BC AB -=-=-=- .设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x z x y -=⎧⎨-+=⎩令1x =，得()1,1,1m = .设平面1ACC 的法向量为(),,n a b c = ，则10,0,n CA n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,b c a -+=⎧⎨-=⎩令1b =，得()0,1,1n =.cos ,m n m n m n ⋅<>== ，所以平面ABC 与平面1ACC.17.解：（1）第一题结束时甲获得1分的概率为131521242123⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，在每道题的抢答中，甲､乙得1分的概率分别为21,33，X 的可能取值为2,4,5.()22115233339P X ==⨯+⨯=，()12212211204C 33333381P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()()()16512481P X P X P X ==-=-==，()520162502459818181E X =⨯+⨯+⨯=.18.（1）解：因为y =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，所以b a =，因为点()2,2在C 上，所以22441a b-=，解得222,4a b ==，即C 的方程为22124x y -=.（2）（i ）证明：设():0l y kx t t =+≠，由22,1,24y kx t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2222240k x ktx t ----=，由题意得()22220,Δ8240k t k -≠=-+>.设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点的坐标为()00,x y ，则12221222,24,2kt x x k t x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩所以12000222,222x x kt t x y kx t k k +===+=--.因为AB 的中点在直线2y x =上，所以002y x =，即222222t kt k k =--，因为0t ≠，所以1k =.（ii ）解：2AB x =-==点M 到l 的距离d所以12MAB S AB d =⋅== ，解得1t =±，所以l 的方程为10x y -±=.19.（1）解：由()ln f x x x =-，可得()11f x x'=-，令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，可知()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()f x 的最小值为()11f =.因为“()()f x g x -”为三角形函数，所以()()0,,2c g c ∞∀∈+<.因为()()2g x g x -=，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，又()g x 为二次函数，所以()22g x x x =-+.（答案不唯一，只需满足()22g x ax ax c =-+，且2,0c a a -<<即可）（2）解：()222221222222x x x x x t t t f x +++--===++++.当20t -=，即2t =时，()1f x =，此时()()()1f a f b f c ===，满足()()()f a f b f c +>，符合题意；当20t ->，即2t >时，()f x 是()0,∞+上的减函数，所以()f x 的值域为11,3t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()()(),,0,,a b c f a f b f c ∞∀∈++>，所以1113t ++…，得25t <…；当20t -<，即2t <时，()f x 是()0,∞+上的增函数，所以()f x 的值域为1,13t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()()(),,0,,a b c f a f b f c ∞∀∈++>，所以11133t t +++…，得1 2.2t <…综上，实数t 的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）证明：由题可知()1ln 1g x x x =-+'.设()()1ln 1h x g x x x ==-+'，则()2110(1)h x x x =--<+'在()0,∞+上恒成立，所以()g x '在()0,∞+上单调递减.又()132310,ln 0.40.40502252g g ⎛⎫=>='-≈-⎪⎝⎭'< ，所以存在031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，即001ln 1x x =+①当()00,x x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()00,x 上单调递增；当()0,x x ∞∈+时，()0g x '<，则()g x 在()0,x ∞+上单调递减.故当0x x =时，()g x 取得唯一极大值，也是最大值，令()g x 的最大值为M ，则()()00000ln 1ln M g x x x x x ==+-+.将①式代入上式，可得()()()200000000ln 1ln 111x x M g x x x x x x ==+-+=++++.令()()23ln 1,1,12x u x x x x ⎛⎫=++∈ ⎪+⎝⎭，则由()221201(1)x x u x x x +=+>++'，可知()u x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()()()20009355994ln 1ln ln 12,25122210102x M x u g c f a f b x ⎛⎫=++<=+=+<+<<+ ⎪+⎝⎭…成立.故“()()f x g x -”为三角形函数.。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
湖北省武汉市2025届高三上学期十月月度检测数学试卷含答案
2024-2025学年度十月月度检测数学试题（答案在最后）时限：120分钟满分：150分命题人：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{1,1}-B.{(1,1),(1,1)}- C.(0,)+∞ D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】先解方程组，得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1,1x y =⎧⎨=⎩，或1,1x y =-⎧⎨=⎩，所以{(1,1),(1,1)}A B =- ，故选：B ．2.已知函数()*(2),nf x x n =-∈N ，则“1n =”是“()f x 是增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由当21,n k k =+∈N 时，′≥0，可得()(2)nf x x =-是增函数，即可得到答案.【详解】由()(2)nf x x =-，得()1(2)n f x n x --'=，则当21,n k k =+∈N 时，′≥0，()(2)nf x x =-是增函数，当1n =时，可得()f x 是增函数；当()f x 是增函数时，21,n k k =+∈N ，故“1n =”是“()f x 是增函数”的充分不必要条件.3.函数()sin cos f x a x b x =+图像的一条对称轴为π3x =，则a b =（）A.B. C.3D.3-【答案】A 【解析】【分析】直接利用对称性，取特殊值，即可求出a b.【详解】由()()sin cos 0f x a x b x ω=+>的图象关于π3x =对称，可知：2π(0)(3f f =，即sin0cos0=s 3o 2π3i 2πn c s a b a b ++，则a b=故选：A ．4.已知随机变量()2~2,N ξσ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a xa x+<<-的最小值为（）A.5B.112 C.203D.163【答案】D 【解析】【分析】根据正态分布的对称性求得a ，利用基本不等式求得正确答案.【详解】根据正态分布的知识得12243a a +=⨯=⇒=，则03,30x x <-，19119139(3)103333x x x x x a x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭1161033⎛≥+= ⎝，当且仅当393x x x x -=-，即34x =时取等.故选：D5.已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象关于原点对称，则()f x 的图象的对称轴可以为（）．A.π12x = B.π6x =C.π3x =D.5π12x =【答案】D【分析】根据题意找到函数的对称点得()π03f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，结合特殊值法计算得a =角公式化简得()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最后整体替换计算得到结果；【详解】由题意可得()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，即对任意x ∈R ，有()π03f x f x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，取0x =，可得()π300322a f f ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，即a =．故()πsin22sin 23f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，可得()f x 的图象的对称轴为5ππ122k x =+，k ∈Z ．故选：D ．6.设37a =，ln 2b =，3sin 7c =，则（）A.b c a >>B.a c b>> C.a b c>> D.b a c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()πsin (0)2f x x x x =-<<，利用导数探讨单调性并比较,a c ，再利用对数函数单调性比较大小即得.【详解】当π02x <<时，令()sin f x x x =-，求导得()1cos 0f x x '=->，则函数()f x 在π(0,)2上单调递增，有()(0)0f x f >=，即有sin x x >，因此33sin 77a c =>=，显然13ln 2ln 27b a =>=>=，所以b a c >>.故选：D7.已知函数()222cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=-->的图象关于直线π12x =轴对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】先由三角恒等变换化简解析式，再由对称轴方程解得36,2k k ω=+∈Z ，再由()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值得ω范围，建立不等式求解可得.【详解】()()2222cos sin 2sin cos cos f x x x x x x ωωωωω=--+22cos sin21cos2sin2x x x x ωωωω=+-=+π24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于直线π12x =轴对称，所以πππ1264f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ππππ,642k k ω+=+∈Z ，即36,2k k ω=+∈Z ，当ππ22π42x m ω+=-+，m ∈Z ，0ω>,即当3ππ,8m x m ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，当1m =时，5π8x ω=为y 轴右侧第1条对称轴.因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，故由3150628k <+≤，解得11416k -<≤，k ∈Z故0k =，得32ω=．故选：C.8.定义在R上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭，()12024e f =．若()()0f x f x '+->，则不等式()11e xf x +>的解集是（）A.()3,+∞ B.(),3-∞ C.()1,+∞ D.(),1-∞【答案】C【解析】【分析】由()f x 是奇函数，可得()f x '是偶函数，得到()()0f x f x +'>，令()()e xg x f x =，得到()0g x '>，得出()g x 在R 上单调递增，再由()302f x f x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，求得()f x 的周期为3的周期函数，根据()12024ef =，得到()2e g =，把不等式转化为()()12g x g +>，结合函数的单调性，即可求解.【详解】因为()f x 是奇函数，可得()f x '是偶函数，又因为()()0f x f x '+->，所以()()0f x f x +'>，令()()e x g x f x =，可得()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在R 上单调递增，因为()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭且()f x 是奇函数，可得()()23f x f x f x ⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭，则()()3333[()()222f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 的周期为3的周期函数，因为()()()12024674322e f f f =⨯+==，所以()212e e eg =⨯=，则不等式()11e xf x +>，即为()1e 1e xf x ++>，即()()12g x g +>，又因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，解得1x >，所以不等式()11ex f x +>的解集为()1,+∞．故选：C ．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列等式成立的是（）A.()21sin15cos152︒-︒=B.22sin 22.5cos 22.52︒-︒=-C.1cos28cos32cos62cos582︒︒-︒︒=-D.(3tan10cos502︒︒=-【答案】AB 【解析】【分析】应用倍角正余弦、和差角正余弦公式及诱导公式化简求值，即可判断各项的正误.【详解】A ：()21sin15cos1512sin15cos151sin 302︒-︒=-︒︒=-︒=，成立；B：22sin 22.5cos 22.5cos 452︒-︒=-︒=-，成立；C ：cos 28cos32cos62cos58cos 28cos32sin 28sin 32cos(2832)︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒+︒1cos602=︒=，不成立；D：(sin102sin 50cos50sin100tan10cos50cos50cos10cos10cos10︒-︒-︒︒-︒︒-︒=⋅︒=︒︒︒cos101cos10︒=-=-︒，不成立.故选：AB10.已知抛物线()2:20C y px p =>，过C 的焦点F 作直线:1l x ty =+，若C 与l 交于,A B 两点，2AF FB =，则下列结论正确的有（）A.2p =B.3AF =C.t =或-D.线段AB 中点的横坐标为54【答案】ABD 【解析】【分析】由直线:1l x ty =+，可知焦点1,0，得p 的值和抛物线方程，可判断A 选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合2AF FB =，求出,A B 两点坐标和t 的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD.【详解】抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 在x 轴上，过F 作直线:1l x ty =+，可知1,0，则12p=，得2p =，A 选项正确；抛物线方程为24y x =，直线l 的方程代入抛物线方程，得2440y ty --=.设1,1，2,2，由韦达定理有124y y t +=，124y y =-，2AF FB =，得122y y=-，解得12y y =-=12y y ==，124y y t=+，则4t =或4t =-，C 选项错误；则1212,2x x ==，线段AB 中点的横坐标为121252242x x ++==，D 选项正确；12192222AB x x p =++=++=，2293332AF AB ==⨯=，B 选项正确.故选：ABD.11.已知()00,P x y 是曲线33:C x y y x +=-上的一点，则下列选项中正确的是（）A.曲线C 的图象关于原点对称B.对任意0x ∈R ，直线0x x =与曲线C 有唯一交点PC.对任意[]01,1y ∈-，恒有012x <D.曲线C 在11y -≤≤的部分与y 轴围成图形的面积小于π4【答案】ACD 【解析】【分析】将x ，y 替换为x -，y -计算即可判断A ；取0x =，可判断有三个交点即可判断B ；利用函数3y x x =-的单调性来得出300y y -的取值范围，再结合()3f x x x =+的单调性进行求解即可判断C ；利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D ．【详解】A ．对于33x y y x +=-，将x ，y 替换为x -，y -，所得等式与原来等价，故A 正确；B ．取0x =，可以求得0y =，1y =，1y =-均可，故B 错误；C ．由330000x x y y +=-，[]01,1y ∈-，函数3y x x =-，故213y x '=-，令2130y x '=-=，解得：13x =±，在1,3x ⎡∈--⎢⎣⎦，,13⎤⎥⎣⎦时，0'<y ，函数单调递减，在,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，0'>y ，函数单调递增，所以300,99y y ⎡-∈-⎢⎣⎦，又因为()3f x x x =+是增函数，15289f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，所以有012x <，故C 正确；D ．当[]00,1y ∈时，3300000x x y y +=-≥，又320002x x x +≥，32000022y y y y -≤-，所以22000x y y ≤-．曲线22x y y =-与y 轴围成半圆，又曲线C 的图象关于原点对称，则曲线C 与y 轴围成图形的面积小于π4，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且πcos2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】π12-【解析】【分析】化简三角函数式，求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由πcos2cos 4αα⎛⎫=+⎪⎝⎭，得()22cos sin cos sin 2αααα-=-.因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，则cos sin 2αα+=，则1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.由π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得πππ,444α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，则ππ46α+=，解得π12α=-.故答案为：π12-.13.海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75︒，距离为A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30︒，距离为海里C 处，货轮由A 处向正北航行到D 处时看灯塔B 在东偏南30︒，则灯塔C 与D 处之间的距离为______海里．【答案】【解析】【分析】由正弦定理和余弦定理求解即可．【详解】如图：由题意75DAB ∠=︒，903060ADB ∠=-︒=︒，所以180756045DBA ∠=︒-︒-︒=︒，在ABD △中，由正弦定理sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，即306sin 45sin 60AD =︒︒，所以60AD =，在ADC △中，30DAC ∠=︒，所以20CD =.故答案为：14.若存在实数m ，使得对于任意的[],x a b ∈，不等式2πsin cos 2sin 4m x x x m ⎛⎫+≤-⋅ ⎪⎝⎭恒成立，则b a -取得最大值时，sin2a b+=__________．【答案】2【解析】【分析】以m 为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得1sin 22x ≤，解不等式结合题意得[]()7ππ,π,π,1212a b k k k ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，由此可得答案.【详解】因为2πsin cos 2sin 4m x x x m ⎛⎫+≤-⋅ ⎪⎝⎭恒成立，即2π2sin sin cos 04m x m x x ⎛⎫--⋅+≤ ⎪⎝⎭恒成立，若存在实数m ，使得上式成立，则2πΔ4sin 4sin cos 04x x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，则πΔ22cos 22sin 222sin 22sin 224sin 202x x x x x ⎛⎫=---=--=-≥ ⎪⎝⎭，可得1sin 22x ≤，可得7ππ2π22π,66k x k k -≤≤+∈Z ，解得7ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，由[]()7ππ,π,π,1212a b k k k ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，则b a -取得最大值时()7πππ,π,1212a k bk k =-=+∈Z ，此时()7ππππ1212sin sin ,222k k a b k -+++==∈Z .故答案为：2.【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以m 为变量，转化为存在性问题分析求解.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数()π4sin cos 6f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .（1）求函数()f x 的单调减区间;（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】（1）π2ππ,π,63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）()min 2f x =-，()max 1f x =【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；（2）由x 的范围求得π26x +的范围，再根据正弦函数的性质即可得解.【小问1详解】解：()2π314sin cos 4sin cos sin cos 2sin 622f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1πcos212sin2cos212sin 21226x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ3π2π22π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π2πππ63k x k +≤≤+，所以函数()f x 的单调减区间为π2ππ,π,63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】解：因为π02x ≤≤，所以ππ7π2666x +≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，于是π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()21f x -≤≤，当且仅当π2x =时，()f x 取最小值()min π22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当且仅当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取最大值()max π16f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.16.已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx =---在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1-.（1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1b =（2）证明见解析（3）(,1]-∞【解析】【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值；（2）求出导函数1()2ln 2f x x x x'=+--，再根据导函数求出()(1)10f x f ''≥=>即可证明单调性；（3）根据函数解析式分1x =和1x >两种情况化简转化为ln x x a -≥恒成立，再求()ln (1)h x x x x =->的单调性得出最值即可求出参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()2ln()2f x x bx x'+∞=+--，故(1)1ln f b '=-，又(1)0f =，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1ln )(1)y b x =--，将点(0,1)-代入得1ln 1b -=，解得1b =．【小问2详解】由（1）知2()(1)ln f x x x x x =---，则1()2ln 2f x x x x'=+--，令1()()2ln 2g x f x x x x '==+--，则22221121(1)(21)()2x x x x g x x x x x---+'=--==，当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减；当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增，所以()(1)10f x f ''≥=>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．【小问3详解】对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，即对1,(1)(1)ln (1)x x x x x a x ∀≥---≥-恒成立，当1x =时，上式显然恒成立；当1x >时，上式转化为ln x x a -≥恒成立，设()ln (1)h x x x x =->，则11()10x h x x x'-=-=>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增；所以()(1)1h x h >=，故1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞．17.在ABC V 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．（1）2b a =+，4c a =+，是否存在正整数a *N ，且ABC V 为钝角三角形？若存在，求出a ；若不存在，说明理由．（2）若4,a b c D ===为BC 的中点，E ，F 分别在线段,AB AC 上，且90EDF ︒∠=，CDF θ∠=()090θ︒︒<<，求DEF 面积S 的最小值及此时对应的θ的值．【答案】（1）存在,4a =（2）12-【解析】【分析】（1）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值；（2）由正弦定理可得出()sin 60DF θ=+︒，()sin 150DE θ=︒-，再利用三角形的面积公式和两角和与差的正弦公式化简即可求得结果.【小问1详解】假设存在正整数a 满足题设．ABC V 为钝角三角形，因为a b c <<，所以C 为钝角，根据题设，2b a =+，4c a =+，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=,所以()222(2)(4)1cos 022a a a C a a ++-+-<=<+，得24120a a --<，解得26a -<<．因为**a ∈N N ，所以1a =或4a =，当1a =时，ABC V 不存在，故存在4a =满足题设．所以4a =【小问2详解】如图，因为()90,090EDF CDF θθ∠=︒∠=︒<<︒，所以90BDE θ∠=︒-．在CDF V 中，因为()2sin60sin 60DF θ=︒+︒，所以()3sin 60DF θ=+︒在BDE V 中，因为()2sin 60sin 150DE θ=︒︒-，所以()sin 150DE θ=︒-．所以()()132sin 60sin 150S θθ=⨯+︒︒-，设()()()sin 60sin 150f θθθ=+︒︒-，()090θ︒<<︒，所以11()sin cos cos sin 2222f θθθθθ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭2213cos cos sin 444θθθθ+=++化简可得：()1sin 242f θθ=+所以1122S =-当45θ=︒时，S取得最小值12-18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ上的中线长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；（3）直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=（2）220x y -+-或220x y ++=（3）8【解析】【分析】（1）根据POQ △的边PQ上中线为2得PQ ==，再联立2222,2c e a b c a ===+即可求解；（2）设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立直线AB 与椭圆方程得1212,x x x x +，再由11AF BF ⊥，即110AF BF ⋅= ，最后代入即可求解；（3）设直线1l 的方程为(1)y k x =+,则直线2l 的方程为1(1)2y x k =-+，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.【小问1详解】由题意，因为(,0),(0,)P a Q b ，POQ △为直角三角形，所以PQ ==.又2222,2c e a b c a ===+，所以1,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】由（1）知，1(1,0)F -,显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，2222(12)8820k x k x k +++-=，所以22222(8)4(12)(82)8(12)0k k k k ∆=-+-=->，即2102k <<.且22121222882,1212k k x x x x k k-+=-=++，因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅= ，所以1122(1,)(1,)0x y x y ------=，即12121210x x x x y y ++++=，所以1212121(2)(2)0x x x x k x k x +++++⋅+=，整理得2221212(12)()(1)140k x x k x x k ++++++=，即22222228(1)(82)(12)()1401212k k k k k k k +-+-+++=++，化简得2410k -=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为1(2)2y x =+或1(2)2y x =-+，即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=.【小问3详解】由题意，2(1,0)F ,设直线1l 的方程为(1)y k x =+,3344(,),(,)C x y D x y ，则直线2l 的方程为1(1)2y x k=-+，5566(,),(,)E x y F x y ，联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以22343422422,1212k k x x x x k k -+==++所以23422,212M x x k x k +==+2(1)12M M k y k x k =-=-+所以2222(,)1212k k M k k -++，同理联立22121(1)2x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得222(12)2140k x x k +-+-=，所以2565622214,1212k x x x x k k -+==++所以5621,212N x x x k +==+21(1)212N N k y x k k =--=+所以221(,)1212k N k k ++，即MN 的中点1(,0)2T .所以221121||11||||||12412212282||||OMN M N k k S OT y y k k k k =-==⨯=⨯+++ ，当且仅当12||||k k =，即22k =±时取等号，所以OMN的面积最大值为8.【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线12,l l 与椭圆方程，求出,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式得到面积的最值..19.正整数集{}1,2,3,,3A m m m m n =++++ ，其中,m n +∈∈N N .将集合A 拆分成n 个三元子集，这n 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合A 是“三元可拆集”.（1）若1,3m n ==，判断集合A 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；（2）若0,6m n ==，证明：集合A 不是“三元可拆集”；（3）若16n =，是否存在m 使得集合A 是“三元可拆集”，若存在，请求出m 的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.【答案】（1）是，拆法见解析（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､；（2）三元可拆集”中所有元素和为偶数，A 中所有元素和为19181712⨯=，与和为偶数矛盾；（3）可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ，利用等差数列求和得到1231616648a a a a m ++++≤+ ，结合1231624588a a a a m ++++=+ ，得到不等式，求出152m ≤，当7m =时写出相应的集合A 以及具体拆法，得到答案.【小问1详解】是，{}2,3,4,,10A = ，可拆成{}{}{}10,7,39,5,48,6,2､､或{}10,6,4､{}{}9,7,28,5,3､；【小问2详解】对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而{}1,2,3,4,,18A = ，A 中所有元素和为19181712⨯=，与和为偶数矛盾，所以集合A 不是“三元可拆集”；【小问3详解】{}1,2,3,,48A m m m m =++++ 有48个元素，可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为12316,,,,a a a a ，则()()()()1231648474633a a a a m m m m ++++≤++++++++ ()28116166482m m +⨯==+；另一方面，A 中所有元素和为()249484811762m m +⨯=+，所以212316481176245882m a a a a m +++++==+ ，所以2458816648m m +≤+，解得152m ≤，即7m ≤；当7m =时，{}8,9,10,,55A = ，可拆为{}{}55,40,1554,38,16､､{}{}{}{}{}{}53,39,1452,35,1751,31,2050,37,1349,25,2448,26,22､､､､､､{}{}{}{}{}{}47,29,1846,27,1945,34,1144,23,2143,33,1042,30,12､､､､､､{}{}41,32,9,36,28,8（拆法不唯一）；综上所述，m 的最大值是7.【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，数列知识等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.。
2024-2025学年北京市海淀区高三上学期10月月考数学试题及答案
数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（ ）A. 0B. 1- C. 0或1- D. 0或12. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n=- D. 2122n S n n =-3. 已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（ ）A. a b c << B. b a c <<C. a c b<< D. b c a<<4. 设()()1i 21i z -=+，则z =（ ）A.B. 1C.D. 25. 下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ）A. y =B. 21y x =C. lg y x =D. 332x xy --=6. 已知向量()3,4a = ，()1,0b = ，c a tb =+ ，若,,a c b c = 则实数t =（ ）A. 6- B. 5- C. 5D. 67. 函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ）A. 若0a b +=，则()f x 为奇函数 B. 若π2a b +=，则()f x 为偶函数C. 若π2b a -=，则()f x 偶函数 D. 若πa b -=，则()f x 为奇函数8. 已知函数()0x f x x <=≥⎪⎩，若对任意的1x ≤有()()20f x m f x ++>恒成立，则实数m 的取值为范围是（ ）A. (),1∞-- B. (],1-∞- C. (),2-∞- D. (],2-∞-9. 已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b满足2430b e b -⋅+=，则a b - 的最小值是A1-B.1+ C. 2D. 2-10.已知函数()f x k =+，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A. (1,)-+∞ B. (1,0]- C. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.12. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．13. 若命题“对任意2R,20x ax x a ∈++≥为假命题的a 的取值范围是______14. 若函数()()cos sin 0f x A x x A =->最大值为2，则A =________，()f x 的一个对称中心为_______15. 对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有___________.①()2f x x =-+②()[]()sin 0,2πf x x x =∈③()1f x x x=+，（x ∈(0,+∞)）④()()ln 1f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC V中，sin A B =，b =．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作.的为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B 的大小；（2）求ABC V 的面积．条件①：4c =；条件②：222b a c -=；条件③：cos sin a B b A =．17. 已知n S 是等差数列{a n }的前n 项和，51120S a ==，数列{b n }是公比大于1的等比数列，且236b b =，4212b b -=.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设nn nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值.18. 已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．19. 1.已知函数()21exax x f x +-=，0a ≥.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，求证：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点.20. 已知函数()e sin 2xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对R x ∈恒成立，写出a 最大整数值，并说明理由.21. 已知数列{a n }记集合()(){}*1,,,1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈N （1）对于数列{a n }：1,2,3，列出集合T 的所有元素；（2）若2n a n =是否存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件,i j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.m B b b b 若的的b m ≤0202，求m 的最大值数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（ ）A. 0B. 1- C. 0或1- D. 0或1【答案】C 【解析】【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论213-=-m 和33m -=-两种情况，求解m 并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，3M -∈ ，213m ∴-=-或33m -=-，当213-=-m 时，1m =-，此时{}3,4M =--；当33m -=-时，0m =，此时{}3,1M =--；所以1m =-或0.故选：C2. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n=- D. 2122n S n n =-【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．3. 已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（ ）A. a b c << B. b a c <<C. a c b << D. b c a<<【答案】B 【解析】【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.【详解】由条件可知，()1.50.30,1a =∈， 1.5log 0.30b =<，0.31.51>，所以b a c <<.故选：B4. 设()()1i 21i z -=+，则z =（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】利用复数除法法则计算出()21i 2i 1iz +==-，求出模长.【详解】()()22221i 21i 12i i 2i 1i 1iz ++===++=--，故2z =.故选：D5. 下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ）A. y =B. 21y x =C lg y x= D. 332x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．【详解】选项A，y =(0,)+∞上的增函数，错误；.选项B ，21y x =是偶函数，是区间(0,)+∞上的减函数，错误；选项C ，lg y x =是偶函数，是区间(0,)+∞上的增函数，正确；选项D ，332x xy --=是奇函数，是区间(0,)+∞上的增函数，错误；故选：C6. 已知向量()3,4a = ，()1,0b = ，c a tb =+ ，若,,a c b c = 则实数t =（ ）A. 6-B. 5- C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】由向量坐标的运算求出向量c的坐标，再根据,,a c b c = ，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数t 的值．【详解】由()3,4a = ，()1,0b = ，则()3,4c a tb t =+=+，又,,a c b c = ，则cos ,cos ,a c b c =，则a c b c a c b c ⋅⋅=⋅⋅ ，即a b a bc c⋅⋅=，31t+=，解得5t =，故选：C.7. 函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ）A. 若0a b +=，则()f x 为奇函数 B. 若π2a b +=，则()f x 为偶函数C. 若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D. 若πa b -=，则()f x 为奇函数【答案】B 【解析】【分析】根据选项中,a b 的关系，代入()f x 的解析式，对AD 用特值说明()f x 不是奇函数，对BC 用奇偶性的定义验证即可.【详解】()f x 的定义域为R ，对A ：若0a b +=，()()()cos sin f x x a x a =++-，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f a a =-=不恒成立，故()f x 不是奇函数；对B ：若π2a b +=，()()()()πcos sin cos cos 2f x x a x a x a x a ⎛⎫=+++-=++- ⎪⎝⎭，()()()()()cos cos cos cos ()f x x a x a x a x a f x -=-++--=-++=，故()f x 偶函数，B 正确；对C ：若π2b a -=，()()()πcos sin 2cos 2f x x a x a x a ⎛⎫=++++=+ ⎪⎝⎭，()()2cos ()f x x a f x -=-+≠，故()f x 不是偶函数，故C 错误；对D ：若πa b -=，()()()()()cos πsin cos sin f x x b x b x b x b =++++=-+++，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f b b =-+=不恒成立，故()f x 不是奇函数；故选：B8. 已知函数()0x f x x <=≥⎪⎩，若对任意的1x ≤有()()20f x m f x ++>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. (),1∞-- B. (],1-∞- C. (),2-∞- D. (],2-∞-【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数的定义证明()f x 为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得m 的取值范围.【详解】当0x <时，0x ->，()f x =()()f x f x -==-，当0x >时，0x -<，()f x =()()f x f x -==-，当0x =时，()00f =，所以对任意的R x ∈，()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，又当0x >时，()f x =为单调递减函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递减函数，所以不等式()()20f x m f x ++>可化为()()2f x m f x +>-，为所以2x m x +<-，所以x m <-，由已知对任意的1x ≤有x m <-恒成立，所以1m <-，即1m <-，故m 的取值范围是(),1∞--.故选：A.9. 已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是A.1B.1+ C. 2D. 2-【答案】A 【解析】【分析】先确定向量a、b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =11.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10.已知函数()f x k =+，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A. (1,)-+∞ B. (1,0]- C. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即得1010a kb k ⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩方程20x x k --=的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．【详解】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即可得到1010a kb k ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩，20x x k --=两个不同非负实根，所以1400k k ∆=+>⎧⎪=-≥，解得104k -<≤．故选：D ．【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由三角函数定义得到1cos 2α=，再由诱导公式求出答案.【详解】由三角函数定义得1cos 2α=，由诱导公式得1cos 2πsin 2αα⎛⎫= ⎪⎭=+⎝.故答案为：1212. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．【答案】63-【解析】【分析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和的公式求得6S 的值.【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.13. 若命题“对任意2R,20x ax x a ∈++≥为假命题的a 的取值范围是______【答案】1a <【解析】【分析】写出全称量词命题的否定，2R,20x ax x a ∃∈++<为真命题，分0a =，0a <和0a >三种情况，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得2R,20x ax x a ∃∈++<为真命题，当0a =时，不等式为20x <，有解，满足要求，当0a ≠时，若0a <，此时220ax x a ++<必有解，满足要求，若0a >，则2440a ∆=->，解得01a <<，综上，a 的取值范围为1a <.故答案为：1a <14. 若函数()()cos sin 0f x A x x A =->的最大值为2，则A =________，()f x 的一个对称中心为_______【答案】 ①. ②. π,03⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】根据辅助角公式对函数()f x 进行化简，再根据最大值求出A ，最后利用余弦型函数求出对称中心.【详解】由()cos sin f x A x x x ϕ=-=+（），其中1tan A ϕ=，又函数()f x 的最大值为22=，又0A >，则A =，tan ϕ=，不妨取π6ϕ=，故()π2cos 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的对称中心满足πππ62x k +=+，k ∈Z ，解得ππ3x k =+，k ∈Z ，即()f x 的对称中心为ππ,03k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，则()f x 的一个对称中心可为：π,03⎛⎫⎪⎝⎭，π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案不唯一）15. 对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有___________.①()2f x x =-+②()[]()sin 0,2πf x x x =∈③()1f x x x=+，（x ∈(0,+∞)）④()()ln 1f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】①. ①②④ ②. 0a ＞或a e ≤-．【解析】【分析】（1）令12x x -=，由0∆=，可判断；由sin x =1x 有解，可判断是否具有性质P ；令1+x x=1x ，此方程无解，由此可判断；由()1ln 1,x x y y =+=两图象在()1，-+∞有交点可判断；（2）问题转化为方程1ln x x a =有根，令()ln g x x x =，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单调性及最值，由此可求得实数a 的取值范围．【详解】解：（1）在0x ≠时， ()1f x x =有解，即函数具有性质P ，令12x x-= ，即2210x -+-=，∵880∆=-=，故方程有一个非0实根，故()2f x x =-+ 具有性质P ；()()sin ]02[f x x x π=∈，的图象与1y x=有交点，故sin x =1x有解，故()()sin ]02[f x x x π=∈，具有性质P ；令1+x x =1x ，此方程无解，故()1f x x x=+，（x ∈(0,+∞)）不具有性质P ；令()1ln 1x x +=，则由()1ln 1,x x y y =+=两图象在()1，-+∞有交点，所以()1ln 1x x +=有根，所以()()ln 1f x x =+具有性质P ；综上所述，具有性质P 的函数有：①②④；（2）()ln f x a x =具有性质P ，显然0a ≠，方程1ln x x a =有根，令()ln g x x x =，则()'ln +1g x x =，令()'ln +10g x x ==，解得1=x e ，当11x e -<<时，()'0g x <，所以()g x 在11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，当1>x e 时，()'>0g x ，所以()g x 在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()1111ln g x g e e e e⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，所以()ln g x x x =的值域[1e -，+∞），∴11a e ≥-，解之可得：0a ＞或a e ≤-．故答案为：①②④；0a ＞或a e ≤-．【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC V 中，sin A B =，b =．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B 的大小；（2）求ABC V 的面积．条件①：4c =；条件②：222b a c -=；条件③：cos sin a B b A =．【答案】（1）选②或③，4B π=； （2）ABC V 的面积为1.【解析】【分析】（1）选①，利用三边关系可判断ABC V 不存在；选②：利用余弦定理可求得角B 的值；选③：利用正弦定理可求得tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用余弦定理可求得c 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积．【小问1详解】解：因为sin A B =，b =，则2a ==.选①：因为4c =，则a b c +<，则ABC V 不存在；选②：因为222b a c -=，则222a c b +-=，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-==，()0,B π∈ ，则4B π=；选③：cos sin a B b A = ，则sin cos sin sin A B A B =，A 、()0,B π∈，则sin 0A >，sin cos 0B B =>，故tan 1B =，从而4B π=.【小问2详解】解：因为4B π=，2a =，b =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即220c -+=，解得c =，因此，11sin 2122ABC S ac B ==⨯=△.17. 已知n S 是等差数列{a n }的前n 项和，51120S a ==，数列{b n }是公比大于1的等比数列，且236b b =，4212b b -=.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设n n nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值.【答案】（1）22n a n =-，2n n b =（2）3或4【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项及前n 项和公式求出首项与公差，即可求出数列{a n }的通项公式，再求出数列{b n }的首项与公比，即可得{b n }的通项公式；（2）先求出{}n c 的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.【小问1详解】设等差数列{a n }的公差为d ，则511115452021020S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得10,2a d ==，所以22n a n =-，设等比数列{b n }的公比为()1q q >，则()2251131112b q b q b q b q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以2n n b =；【小问2详解】由（1）得()()2212n n n S n n -==-，则()12n n nn n n S c b -==，()()2111113222n n n n n n n n n n n c c ++++---=-=，当1,2n =时，11230,n n c c c c c +-><<，当3n =时，1340,n n c c c c +-==，当4n ≥时，1450,n n n c c c c c +->> ，所以当3n =或4时，n c 取得最大值.18. 已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）π，()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[]0,3【解析】【分析】（1）化简函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，以π26x -为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π313()6cos sin 6cos cos 6222f x x x x x x ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()231cos 231π3sin cos 3cos 2332cos 23sin 222226x f x x x x x x x x ⎫+⎛⎫=-+-⨯+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Î，则ππππ,Z 63k x k k -+££+Î，∴函数()f x 单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】令()0y f x a =-=，即π3sin 206x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，则方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，若π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin 2[0,1]6x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴013a ≤≤，得03a ≤≤故实数a 的取值范围是[]0,3．的19. 1.已知函数()21ex ax x f x +-=，0a ≥.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，求证：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点.【答案】（1）当0a =时，()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-；当0a >时，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求出导数，然后通过对a 分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性；（2）结合第一问的结果，判断出函数在()0,1上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明【小问1详解】()()()12e x ax xf x -+-'==，当0a =时，()()2e x x f x --'=，由()0f x '>得：2x <，由()0f x '<，得：2x >，故此时()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-当0a >时，令()()()120g x ax x =-+-=得：x =−1a <0或2x =由()0g x >得：12x a-<<，此时()0f x '>由()0g x <得：1x a <-或2x >，此时()0f x '<故此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上：当0a =时，()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-；当0a >时，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知，当0a >时，()f x 的单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而()1,20,1a ⎛-⊂⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,1上单调递增，又()010f =-<，()10ea f =>所以()()010f f ⋅<，由零点存在性定理可得：：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点20. 已知函数()e sin 2xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对R x ∈恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由.【答案】（1）y x =-（2）()max sin12ef x =- （3）2-，理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数在0x =处的导数，即切线斜率，求出(0)f ，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间[1,1]-上的单调性，求出最值即可；（3）将不等式等价转化为sin e x x a x <-在R x ∈上恒成立.构造函数()sin e xx x x ϕ=-，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.【小问1详解】因为()e sin 2x f x x x =-，所以()()e sin cos 2x f x x x =+-'，则(0)1f '=-，又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.【小问2详解】令()()()esin cos 2x g x f x x x +'==-，则()2e cos x g x x '=，当[1,1]x ∈-时，()0g x '>，()g x 在[1,1]-上单调递增.因为(0)10g =-<，()()1e sin1cos120g =+->，所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0g x =.所以当0(1,)x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()1esin12e 21f =-<-<，()sin1121e f -=->，所以()()max sin112ef x f =-=-.【小问3详解】满足条件的a 的最大整数值为2-.理由如下：不等式()e x f x x a +>恒成立等价于sin e xx a x <-恒成立.令()sin e x x x x ϕ=-，当0x ≤时，0e xx -≥，所以()1x ϕ>-恒成立.当0x >时，令()e x x h x =-，()0h x <，()1ex x h x '-=，()h x '与()h x 的情况如下：所以()()min 11eh x h ==-，当x 趋近正无穷大时，()0h x <，且()h x 无限趋近于0，所以()h x 的值域为1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，因为sin [1,1]x ∈-，所以()ϕx 的最小值小于1-且大于2-.所以a 的最大整数值为2-.21. 已知数列{a n }记集合()(){}*1,,,1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈N（1）对于数列{a n }：1,2,3，列出集合T 的所有元素；（2）若2n a n =是否存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.m B b b b 若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{}3,5,6T =；（2）不存在，理由见解析；（3）1001.【解析】【分析】（1）根据题目给出的集合T 的定义求解即可；（2）假设存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =，则有()()()1102422121i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，则i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进行分析即可得解；（3）由22n a n =-，根据题意给出的集合T 新定义可对()()()()22221212j i j i j i j i -+--+=+--+进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．【小问1详解】由题意可得123a a +=，1236a a a ++=，235a a +=，所以{}3,5,6T =.【小问2详解】假设存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =，则有()()()1102422121i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，又因为3,12i j j i +≥-+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =成立.小问3详解】由题意得()()()()22221212j i j i j i j i -+--+=+--+，当2j =，1i =时，12b =，除2j =，1i =外22j i +-≥，12j i -+≥，【其中2j i +-与1j i -+一奇一偶，则n b 能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数中，只有2n 无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，又T 中的元素均为偶数，故{}**2,2,k T n n n k =∈≠∈N N ，故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2020910012m ∴=-=，故m 的最大值为1001．【点睛】关键点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
北京市顺义区第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)
顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级10月考试数学试卷本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共10小题，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D.2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（ ）A. B. C. D.3.设且，则“”是“”成立的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面向量，满足，，且，则（ ）A.12B.4C.D.25.若，则（ ）A. B. C. D.6.已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ）B.1C. D.7.在中，若，，，则的面积是（ ）A.1 B.{2,1,0,1,2,3}U =--{|||2}A x Z x =∈<U A =ð{1,0,1}-{2,2,3}-{2,1,2}--{2,0,3}-3i z =-i z ⋅(1,3)-(3,1)-(1,3)(3,1)R x ∈0x ≠1x >12x x+>a r b r||2a =r ||1b =r 1a b ⋅=r r |2|a b +=r r 01a <<1132a a<23a a<11log log 23aa >sin cos a a>π()2sin()0,||2f x x ⎛⎫=+><⎪⎝⎭ωϕωϕ(π)f -1-ABC △4c =1b a -=1cos 4C =ABC △348.已知函数，则不等式的解集是（ ）A. B.C. D.9.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.10.八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（）图1 图2①②；③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）；④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.A.4B.3C.2D.1二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是______.12.设等差数列的前的和为，若，则______.13.在中，点，满足，，若，则______，2()3log 2(1)f xx x =--()0f x >(0,4)(,1)(4,)-∞+∞U (1,4)(0,1)(4,)+∞U R [0,)+∞R a +∈()313log log f a f a ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭2(2)f a 1,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,[9,)9⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U O ||1OA =u u rOB OB ⋅=u u u r u u u r||||OA OC DH -=u u r u u u r u u u r OA u u r OD u u u r r e r OD u u u r P AP AB ⋅u u u r u u u r1()lg 1f x x x =+-{}n a n n S 972S =249a a a ++=ABC △M N 2AM MC =u u u r u u u r BN NC =u u u r u u u rMN xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r x =______.14.已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为______.15.已知函数给出下列四个结论：①当时，存在唯一的零点；②当时，存在最小值；③当时，对任意，，；④的零点个数为，则函数的值域为；其中所有正确结论的序号是______.三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。
新课标2025届高三数学上学期10月大联考试卷及答案解析
2025届高三10月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号\.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|13}A x x =-<≤，2{|4}B x x =>，则R ()A B = ð（ ）A. ()1,2- B. (]1,2-C. (]2,3- D. (]2,3【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再利用补集、交集的定义求解即得.【详解】集合2{|4}(,2)(2,)B x x =>=-∞-+∞ ，则R [2,2]B =-ð，而{|13}A x x =-<≤，所以R ()(1,2]A B =- ð.故选：B 2. 使不等式312x≤-成立的一个必要不充分条件是（ ）A. ()(),12,-∞-+∞ B. (](),12,-∞-+∞ C. ()[),12,-∞-⋃+∞ D. (][),12,-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用分式不等式化简可得2x ≥或1x <-，即可根据真子集关系求解.【详解】由312x ≤-可得()()120320220x x x x x ⎧+-≤-+≤⇒⎨--≠⎩，解得x >2或1x ≤-，设不等式312x≤-成立的一个必要不充分条件构成的集合是A ,则(](),12,∞∞--⋃+是A 的一个真子集，结合选项可知A 可以为(][),12,-∞-⋃+∞，故选：D3. 已知函数()lg f x x =，()13g x x =-，则()()13100g f f g ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A. 6B. 6- C. 5D. 5-【答案】A 【解析】【分析】由里往外代入即可求解.【详解】11lg 2100100f ⎛⎫==-⎪⎝⎭,()()313310g -=-⨯-=,故()()()()()13210132lg106100g f f g g f ⎛⎫⎛⎫--=--=-⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.4. 已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（ ）A. 15b r B. 125b C. bD.1125b 【答案】B 【解析】【分析】由模长的坐标表示可得b，再结合投影向量的定义分析求解.【详解】由题意可得：5b == ，所以a 在b 上的投影向量为2125a b b b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭r r r rr .故选：B.5. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点()6,8A -，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.35B. 35-C.45D. 45-【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义可得3cos 5α==-，即可由诱导公式化简求解.【详解】由题意可知3cos 5α==-，π3sin cos 25αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故选：A6. 已知函数32()22ln f x x x x =--，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A. 2 B. 1 C.12D.14【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积.【详解】函数32()22ln f x x x x =--，求导得22()62f x x x x'=--，则(1)2f '=，而(1)1f =，因此曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-，该切线交x 轴于点1(,0)2，交y 轴于点(0,1)-，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=.故选：D7. 已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（ ）A. 8πB. 9πC. 16πD. 17π【答案】B 【解析】【分析】先利用方程组法求出()f x 的解析式，结合()f x 的奇偶性将[]3π,5π-上的零点和转化为(]3π,5π上的零点和问题，令()0f x =，转化为sin tan x x =-，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.【详解】由()()2sin tan f x f x x x --=+，可得()()()()2sin tan sin tan f x f x x x x x --=-+-=--，解得()()1sin tan 3f x x x =+，易知()f x 为奇函数，故()f x 的图象关于原点对称，则函数y =f (x )在[]3π,3π-上的图象关于原点对称，故函数y =f (x )在[]3π,3π-上的零点也关于原点对称，和为0，在(]3π,5π上的零点和即为[]3π,5π-上的零点和，令()0f x =，得sin tan 0x x +=，sin tan x x =-，(]3π,5πx ∈，作出sin y x =和tan y x =-在同一坐标系中的图象，可知y =f (x )在(]3π,5π内的零点有4π和5π两个，故14π5π9πni i x ==+=∑.故选：B.8. 已知函数()cos(2)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象过点1(0,)2A ，且对任意12π2π,(,)23x x ∈，都有1212()[()()]0x x f x f x --≥，则ω的取值范围是（ ）A. 25[,34B. 1(0,2C. 25811[,][,3434D. 15(0,][,2]23【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用图象所过点求出ϕ，再利用单调递增区间求出ω范围.【详解】依题意，1(0)cos 2f ϕ==，而0πϕ<<，则π3ϕ=，π()cos(23f x x ω=+，由对任意12π2π,(,23x x ∈，都有1212()[()()]0x x f x f x --≥，得函数()f x 在π2π(,23上单调递增，当2(,)2π3πx ∈时，ππ4ππ2(π,)3333x ωωω+∈++，而余弦函数cos y x =的递增区间为：[]()2ππ,2πk k k -∈Z ，则[]()π4πππ,2ππ,2π333k k k ωω⎛⎫++⊆-∈ ⎪⎝⎭Z ，于是ππ2ππ3,4ππ2π33k k k ωω⎧+≥-⎪⎪∈⎨⎪+≤⎪⎩Z ，解得423,3124k k k ωω⎧≥-⎪⎪∈⎨⎪≤-⎪⎩Z ，显然32k−14>02k−43<32k−14，即11366k <<，而k ∈Z ，因此1k =或2k =，所以ω的取值范围是2534ω≤∈或81134ω≤∈.故选：C【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知01d c a b <<<<<，则（ ）A. a d b c +<+ B. ac bd <C. b a a b < D.2b aa b+>【答案】ACD 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ；举例说明判断B ；利用指数函数、幂函数单调性判断C ；作差变形判断D.【详解】对于A ，由,d c a b <<，得a d b c +<+，A 正确；对于B ，取114,1,,32d c a b =-=-==，满足01d c a b <<<<<，而123ac bd =->-=，B 错误；对于C ，由01a b <<<，得函数x y a =在R 上递减，a y x =在(0,)+∞上递增，则b a a a a b <<，C 正确；对于D ，由01a b <<<，得220b a a b +-=>，D 正确.故选：ACD10. 已知函数π()cos )(0)6f x a x x a =->的最小值为，则（ ）A. 直线π2x =为()f x 图象的一条对称轴B. ()f x 在区间π4π(,)23上单调递减C. 将()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到一个奇函数的图象D. 当π[,]3x t ∈-时，()f x 的值域为[，则t 的取值范围为π[,π]3【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求出a ，进而求出()f x ，再逐项分析判断即可.【详解】函数33()cos sin sin ()22f x a x x x x a x x ϕ=+=+=+，其中ϕ由tan ϕ=确定，依题意，=20a -=，而0a >，解得a =3π()sin )26f x x x x ==+，对于A ，πππ3(2262f =+=≠，即直线π2x =不是()f x 图象的对称轴，A 错误；对于B ，当π4π(,23x ∈时，2π3π(,32π6x ∈+，而正弦函数sin y x =在2π3π(,32上递减，因此()f x 在区间π4π(,23上单调递减，B 正确；对于C ，πππ(336f x x x +=++=是偶函数，C 错误；对于D ，当π[,]3x t ∈-时，()f x 的值域为[，则当πππ[,]666x t ++∈-时，1πsin()126x -≤+≤，因此ππ7π266t ≤+≤，解得ππ3t ≤≤，D 正确.故选：BD11. 已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()(1)()(1)f x y f x f y f y f x +=+++，且(1)1f =，(1)1f -=-，则（ ）A. (0)0f = B. (2)()f x f x +=-C.20241()2024n f n ==∑ D. 对任意*n ∈N ，都有(2)0f n =【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的函数等式，利用赋值法，结合周期函数的定义逐项分析判断即得.【详解】对任意实数,x y 都有()()(1)()(1)f x y f x f y f y f x +=+++，且(1)1,(1)1f f =-=-，对于A ，令0x y ==，得(0)(0)(1)(0)(1)2(0)f f f f f f =+=，则(0)0f =，A 正确；对于B ，令,1x y ∈=-R ，得(1)()(0)(1)(1)(1)f x f x f f f x f x -=+-+=-+，因此(2)()f x f x +=-，B 正确；对于C ，由(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，又(1)(3)0,(2)(4)0f f f f +=+=，即(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，因此202410(1)(2)(3)(4)]()506[n f n f f f f =+++==∑，C 错误；对于D ，由(2)()f x f x +=-，得(2)(4)(0)0f f f =-=-=，又()f x 是周期为4的周期函数，因此对任意*n ∈N ，都有(42)(4)0f n f n +==，即(2)0f n =，D 正确故选：ABD【点睛】关键点点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知平面向量a，b 满足2= a ，3b =，且a b += ，则a b -= ______.【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，列式计算即得..【详解】依题意，2222||||2||2||a b a a b b ++=+- ，而2= a ，3b = ，且a b += ，则29|23|242a b +=⨯-+⨯ ，所以a b -= .13. 已知α为锐角且πsin 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】14-##0.25-【解析】cos sin αα=-，即可利用辅助角公式求解.【详解】由πsin 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得)()()()22sin cos 2cos sin 2sin cos cos sin αααααααα+=-=+-，由于α为锐角，所以sin cos 0αα+>cos sin αα=-，()πcos sin sin cos 4ααααα⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，故π1sin 44α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故答案为：14-14. 已知不等式()242e 822e 2ln x x axx a x x x ++--<-对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】3a >【解析】【分析】原不等式可化为()()24ln 2e2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，利用()2e x f x x =+为R 上的增函数可得2ln x x x ax +<+对任意0x >恒成立，结合参变分离可求a 的取值范围.【详解】原不等式等价于()242e82ln e 2xxaxx x x x ax +++<++，也就是()()24ln 2e24ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，因为2,e x y x y ==均为R 上的增函数，故()2e xf x x =+为R 上的增函数，故原不等式即为()()24ln f x x f x ax +<+，故24ln x x x ax +<+对任意0x >恒成立，故a >4−x +lnx x对任意0x >恒成立，设s (x )=4−x +lnx x,x >0，则()221ln x xs x x '--=，设()21ln v x x x =--，则()120v x x x'=--<，故()21ln v x x x =--在(0,+∞)上为减函数，而()10v =，故当x ∈(0,1)时，()0v x >即()0s x '>，故()s x 在(0,1)上为增函数；当x ∈(1,+∞)时，()0v x <即()0s x '<，故()s x 在(1,+∞)上减函数，故()()max 13s x s ==，故3a >，故答案为：3a >.【点睛】思路点睛：对于由指数函数和对数函数构成的较为复杂函数，我们可以利用指对数的运算法则对原有的不等式同构变形，从而把原不等式转化为简单不等式.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()(ln sin cos f x x x =++.（1）证明：()f x 是周期函数；（2）求()f x 的单调递增区间.【答案】（1）证明见解析；（2）3ππ2π,2π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由辅助角公式可得()πln 4f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用三角函数周期性即可证明得出结论；（2）利用复合函数单调性以及正弦函数图象性质解不等式可得结果.【小问1详解】为由()(ln sin cos f x x x =++可得()πln 4f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；ππ2π44x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()ππ2πln 2πln 44f x x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可知()f x 是以2π为周期的周期函数【小问2详解】由复合函数单调性可知求得π4y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭易知π04y x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭恒成立，可得函数()f x 的定义域为R ；因此只需πππ2π2π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，解得3ππ2π2π,Z 44k x k k -+≤≤+∈；即()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.16. 在平面四边形ABCD 中，AB BC ==120ABC ∠=︒，AC CD ⊥且AC =.（1）求AD 的长；（2）若M 为CD 的中点，求cos AMB ∠.【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）在三角形ABC 中由余弦定理求出3AC =，然后利用勾股定理求解即可；（2）在BCM 与ADM △中，由余弦定理分别求出BM 与AM ，然后在AMB 中，由余弦定理求解即可.【小问1详解】在三角形ABC 中，AB BC ==120ABC ∠=︒，所以由余弦定理得：22212cos 332392AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=++⨯⨯=，所以3AC =，又AC =，所以CD =，又AC CD ⊥，所以AD ==.【小问2详解】在三角形ABC 中，120ABC ∠=︒，所以30BAC ACB ∠=∠=︒，所以3090120BCD ∠=︒+︒=︒，所以在BCM 中，M 为CD 的中点，所以MC =，BC =，120BCM ∠=︒，所以由余弦定理得：22231212cos 3424BM BC CM BC CM BCM =+-⋅∠=++=，所以BM =，在ADM △中，60ADC ∠=︒，AD =DM =，所以由余弦定理得：22231392cos 122424AM AD DM AD DM ADM =+-⋅∠=+-⨯=所以AM =，所以在AMB中，由余弦定理得：222cos 2AM BM AB AMB AM BM +-∠===⋅17. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6a =，2π3A =，向量()cos ,cos m b C c B = ，()sin ,sin n B C =- ，且m n ⊥ ，ABC V 所在平面内存在点D ，满足()30AD AC AB λλ=+> .（1）判断ABC V 是否为等腰三角形；（2）当2λ=时，求ABD △的面积；【答案】（1）ABC V 等腰三角形，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）由m n ⊥ ，得到cos sin cos sin 0b C B c B C -=，由正弦定理，余弦定理角化边整理即可判断；（2）画出图，在ABC V 中，由正弦定理求出b 与c ，设2AE AC AB =+ ，则13ABD ABE S S =求解即可.【小问1详解】因为m n ⊥ ，所以0m n ⋅= ，所以cos sin cos sin 0b C B c B C -=，由正弦定理角化边得22cos cos 0b C c B -=，由余弦定理得：22222222022a b c a c b b c ab ac +-+-⋅-⋅=，所以整理得：()()2222220b a b c c ac b +--+-=，所以()()22220b c a b c bc -+++=，所以0b c -=，所以b c =，故ABC V 是等腰三角形.【小问2详解】是在ABC V中，由正弦定理得：sin sin b a B A ===，所以12b ==，c =，当2λ=时，32AD AC AB =+ ，如图2AE AC AB =+ ，所以在ABE 中，60ABE ∠=，AB =BE =所以11111sin 33232ABD ABE S S AB BE ABE ==⨯⋅∠=⨯⨯= 18. 已知函数()()e 1()x f x x a a =++∈R .（1）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：当0x >时，e e e(e 1)x x x >-.【答案】（1）1a ≥-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解.（2）构造函数()e ,0x h x x x =->，利用导数证得e 1x x >+，再利用函数单调性信不等式性质推理即得.【小问1详解】函数()()e 1x f x x a =++的定义域为R ，01()e x x a x f ≥--≥⇔，令1(e )x g x x -=-，依题意，()a g x ≥恒成立，1()1ex g x -+'=，当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，则函数()g x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，max ()(0)1g x g ==-，于是1a ≥-，所以实数a 的取值范围是1a ≥-.【小问2详解】当0x >时，令()e x h x x =-，求导得()e 10x h x '=->，函数()h x (0,)+∞上单调递增，在则()(0)1h x h >=，即e 1x x >+，因此e 1e e x x +>，e 1e e xx x x +>，令()e e 1,0x x x x x ϕ=-+>，求导得()e 0x x x ϕ=>，即函数()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，即e e 1x x x >-，于是1e e(e 1)x x x +>-，所以e e e(e 1)x x x >-.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.19. 阅读材料一：设函数()f x 在区间D 上有定义，若对任意12,x x D ∈和任意()0,1λ∈，都有1212((1))(1())()f f x x x x f λλλλ+-≤+-，则称()f x 是区间D 上的下凸函数；反之，如果都有1212((1))(1())()f f x x x x f λλλλ+-≥+-，则称()f x 是区间D 上的上凸函数.阅读材料二：若函数()f x 在区间D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在区间D 上也可导，则称()f x 在区间D 上存在二阶导函数，即()()()f x x f ''''=.设函数()f x 在区间D 上存在二阶导函数，则()f x 在区间D 上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意x D ∈都有()0f x ''≥（()0f x ''≤）且在区间D 的任意子区间内()f x ''不恒为0.阅读材料三：设函数()f x 在区间D 上连续，00(,)x x D δδ-+⊆（其中δ为无限接近于0的正数），()f x 在00(,)x x δδ-+上存在二阶导函数，若()f x ''在00)(,x x δ-和00(,)x x δ+上的符号相反，则点00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）证明：对任意0a ≥，0b ≥≥（2）设函数32()69f x mx nx x =+-+，若点(1,1)是曲线()y f x =的拐点，求实数m ，n 的值，并证明()f x 的图象关于拐点(1,1)中心对称：（3）设函数2()2ln 33g x x x x =+-+，若点00(,())x g x 是曲线()y g x =的一个拐点，且120()()2()g x g x g x +=，其中12012x x <<<<，试证明：1202x x x +>.【答案】（1）证明见解析；（2）1,3m n ==-，证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）构造函数()0x x ϕ=>，证明()ϕx 是上凸函数即可推理得证.（2）利用“拐点”的意义可得(1)0f ''=，结合(1)1f =求出,m n ；再利用中心对称的定义计算推理即可.（3）利用“拐点”的定义求出“拐点”，构造函数()(2)(),01h x g x g x x =-+<<，利用导数探讨单调性可得(2)()2g x g x -+<，再结合给定条件及函数()g x 的单调性推理即得.【小问1详解】当0a =或0b =≥成立，令函数()0x x ϕ=>，121()2x x ϕ-'=，321()04x x ϕ-''=-<，因此函数()x ϕ=是上凸函数，则对任意0,0a b >>，1212()333))(3(a b a b ϕϕϕ+≥+≥，所以对任意0a ≥，0b ≥≥恒成立.【小问2详解】函数32()69f x mx nx x =+-+，则2()326f x mx nx '=+-，()62f x mx n ''=+，由点(1,1)是曲线()y f x =的拐点，得当1x <时()f x ''值与当1x >时()f x ''值符号相反，因此(1)620f m n ''=+=，又(1)31f m n =++=，解得1,3m n ==-；32()369f x x x x =--+，3322(1)(1)(1)(1)3[(1)(1)]6[(1)(1)]18f x f x x x x x x x ++-=++--++--++-+22263(22)12182x x =+-+-+=，所以()f x 的图象关于拐点(1,1)中心对称.【小问3详解】函数2()2ln 33g x x x x =+-+的定义域为(0,)+∞，则2()23g x x x '=+-，22()2g x x''=-+，当01x <<时，()0g x ''<，当1x >时，()0g x ''>，依题意，01x =，0()(1)1g x g ==，当12012x x <<<<时，12()()2+=g x g x ，即21()2()g x g x =-，令22()(2)()(2)(23)2ln 332ln (2)3h x g x g x x x x x x x +-++-+--+=--+=2(2)2l 2ln 4n 42x x x x =+-+-+，01x <<，求导得32(1)2444(1)()444402(2)(2)x x h x x x x x x x x x ⋅---'=+-+=+-=>---，即函数()h x 在(0,1)上单调递增，(0,1),()(1)2x h x h ∀∈<=，即(2)()2g x g x -+<，而101x <<，则11(2)()2g x g x -+<，即11(2)2()g x g x -<-，因此12(2)()g x g x -<，当0x >时，2()23310g x x x '=+-≥-=>，当且仅当1x =时取等号，于是函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又121x ->，因此122x x -<，即122x x +>，所以1202x x x +>.【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.在。
北京市2024—2025学年高三上学期10月考数学试卷含答案
北京2024-2025学年（上）高三数学10月考试卷班级______姓名______学号______（答案在最后）考生须知1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.2.考生务必将答案填写在答题纸（共8页）上，在试卷上作答无效.3.考试结束后，考生应将答题纸交回.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N = （）A.{21}x x -≤<∣B.{21}x x -<≤∣C.{2}xx ≥-∣ D.{1}xx <∣【答案】A 【解析】【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-，则i z ⋅=（）A.i + B.i-C.iD.i【答案】B 【解析】【分析】首先表示出z ，再根据复数代数形式的乘法运算计算可得.【详解】因为复数z对应的点的坐标是(-，所以1z =-+，则()2i i 1i i z ⋅=⋅-+=-+=.故选：B3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.()2xf x = B.()ln f x x =-C.()1f x x=- D.()13x f x -=【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.【详解】对于A ：()2xf x =在定义域R 上单调递增，故A 错误；对于B ：因为ln y x =在定义域0,+∞上单调递增，所以()ln f x x =-在定义域0,+∞上单调递减，故B 正确；对于C ：()1f x x=-在0,+∞上单调递增，故C 错误；对于D ：()1113,133,1x x x x f x x ---⎧≥==⎨<⎩，所以()f x 在()0,∞+上先减后递增，故D 错误.故选：B4.已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是（）A.a b >B.a b >C.2a ab >D.2ab b >【答案】A 【解析】【分析】由a a ≥可知A 正确；通过反例可知BCD 错误.【详解】对于A ，a a ≥ （当且仅当0a ≥时取等号），a b ∴>，A 正确；对于B ，当1a =-，2b =-时，a b <，B 错误；对于C ，当1a =-，2b =-时，21a =，2ab =，则2a ab <，C 错误；对于D ，当1a =，2b =-时，2ab =-，24b =，则2ab b <，D 错误.故选：A.5.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当x π=时，10i e π+=被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，i e 在复平面中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据定义把i e 写成三角形式，即可得出对应点的坐标，从而得其象限．【详解】由题意cos1sin1i e i =+，对应点坐标为(cos1,sin1)，而cos10,sin10>>，点在第一象限．故选：A ．6.已知函数()21,026,2x x f x x x ⎧-<<=⎨-≥⎩，那么不等式()12f x x >的解集为（）A.()0,1 B.()0,2 C.()1,4 D.()1,6【答案】C 【解析】【分析】分别作出=及12y x =的图象后，借助图象分析即可得.【详解】分别作出=及12y x =的图象如下：由图可知不等式()12f x x >的解集为1,4.故选：C.7.设0.40.5a =，0.5log 0.4b =，4log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c << B.b c a<< C.c b a<< D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】因为0.4000.50.51<<=，即01a <<，又0.50.5log 0.4log 0.51b =>=，44log 0.5log 10c =<=，所以b a c >>.故选：D8.若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】解法一：由2x yy x+=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2x yy x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可.【详解】解法一：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y y x y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xy y x xy xy xy xy+-+++--+=====-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选：C9.已知函数211,(,0)(),()44ln(1),[0,)x x f x g x x x x x ∞∞⎧+-∈-==--⎨+∈+⎩，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是（）A.[1,5]-B.(,1][5,)-∞-⋃+∞C.[1,)-+∞D.(,5]-∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得函数()f x 的值域为[1,)-+∞，结合题意转化为()1g b -≥-，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示，所以，当(,0)x ∈-∞时，()()11f x f ≥-=-；当[0,)x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，可函数()f x 的值域为[1,)-+∞，设R b ∈，若存在R a ∈，使得()()0f a g b +=成立，即()()f a g b =-，只需()1g b -≥-，即对于R b ∈，满足2441b b -++≥-成立，即2450b b --≤，解得15b -≤≤，所以实数b 的取值范围为[1,5]-.故选：A.10.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N 的值为（）M2371113lg M0.3010.4770.8451.0411.114A.13B.14C.15D.16【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算公式计算即可.【详解】由题意知，N 的70次方为83位数，所以()70828310,10N∈，则827083lg10lg lg10N <<，即8270lg 83N <<，整理得1.171lg 1.185N <<，根据表格可得lg14lg 2lg 7 1.146 1.171=+=<，lg164lg 2 1.204 1.185==>，所以lg lg15N =，即15N =.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1ln f x x=的定义域是______.【答案】()(]0,11,2 【解析】【分析】根据函数解析式建立不等式组，可解得答案.【详解】由题意可得ln 0020x x x ≠⎧⎪>⎨⎪-≥⎩，解得()(]0,11,2x ∈⋃.故答案为：()(]0,11,2⋃.12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当(],0x ∈-∞时，()123xf x =+，则23log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】1【解析】【分析】根据偶函数的性质及指数对数恒等式计算可得.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且当(],0x ∈-∞时，()123xf x =+，所以2log 2223233log log l 1og 2221213333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎭+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎭+⎝⎝=⎪.故答案为：113.设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为______.【答案】16【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，从而求得所求面积.【详解】因为()2e 2sin 1x xf x x+=+，所以()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，所以该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故答案为：16.14.对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若()3211533212f x x x x =-+-，根据这一发现，函数()y f x =的对称中心是______.【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】根据所给定义，求出函数的一阶导数与二阶导数，再()0f x ''=，求出x ，即可得解.【详解】因为()3211533212f x x x x =-+-，所以()23'=-+f x x x ，则()21f x x ''=-，令()210f x x ''=-=，解得12x =，又3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的对称中心是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭15.已知函数()22,2,x a x af x x ax x a⎧+<=⎨+≥⎩给出下列四个结论：①当0a =时，()f x 的最小值为0；②当13a ≤时，()f x 存在最小值；③当1a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；④()f x 的零点个数为()g a ，则函数()g a 的值域为{}0,1,2,3.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【解析】【分析】对于①，写出此时函数解析式，得到当0x =时，()f x 取得最小值，最小值为0；对于②，举出反例；对于③，两分段均单调递增，但端点处，左端点的函数值不一定小于右端点的函数值，故③错误；对于④，对a 进行分类讨论，结合零点存在性定理得到函数()g a 的值域为{}0,1,2,3.【详解】对于①，当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，当0x <时，021x <<，当0x ≥时，20x ≥，综上，当0x =时，()f x 取得最小值，最小值为0，①正确；对于②，不妨设12a =-，此时()2112,221,2x x f x x x x ⎧-<-⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，当12x <-时，11212,222x⎛⎫--∈- ⎪ ⎪⎝⎭，当21x ≥-时，22111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，故()12f x >-，此时函数不存在最小值，②错误；对于③，2x y a =+在(),x a ∈-∞上单调递增，且()2,2xay a a a =+∈+，当1a ≥时，()2222y x ax x a a =+=+-在),x a ⎡∈+∞⎣上单调递增，且()2223y x a a a =+-≥，当8a =时，223720a a a +-=>，故当8a =时，()f x 在R 上不单调递增，③错误；对于④，()22,2,x a x a f x x ax x a ⎧+<=⎨+≥⎩，2x y a =+在x a <上单调递增，当0a <时，设()2at a a =+，显然()2at a a =+单调递增，又()110,02t t ⎛⎫-<-> ⎪⎝⎭，故存在011,2a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00t a =，当0a a ≤时，20a a +=无解，即2x y a =+在x a <上无零点，此时22y x ax =+有两个零点，0和2a -，故此时()2g a =，当0a a >时，2x y a =+在x a <上有1个零点，此时22y x ax =+有两个零点，0和2a -，故此时()3g a =，当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，由①知，此时有1个零点，即()1g a =，当0a >时，2x y a =+在x a <上无零点，22y x ax =+在x a ≥上也无零点，此时()0g a =，则函数()g a 的值域为{}0,1,2,3，④正确.故答案为：①④【点睛】函数零点问题处理思路：（1）直接令函数值为0，代数法求出零点；（2）将函数零点问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度；三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.设函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.（1）若()102f =，求ϕ的值；（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求ω，ϕ的值.【答案】（1）π6（2）1ω=，π6ϕ=-【解析】【分析】（1）借助两角和的正弦公式化简后代入计算即可得；（2）由题意可得函数周期，即可得ω，而后借助正弦函数性质代入计算即可得ϕ.【小问1详解】()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+，()10sin 2f ϕ==，故()ππ2π23k k ϕ±+=∈Z ，又π2ϕ<，故π6ϕ=；【小问2详解】由题意可得2ππ22π33T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故2π1Tω==，又0ω>，故1ω=，由2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()2ππ2π32k k ϕ+=+∈Z ，解得()π2π6k k ϕ=-+∈Z ，又π2ϕ<，故π6ϕ=-.17.在ABC V 中，222b c a bc +-=．（1）求A ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求ABC V 的面积．条件①：11cos 14B =；条件②：12a b +=；条件③：12c =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意，若选择①②，求得sin B ，由正弦定理求得7,5a b ==，再由余弦定理求得8c =，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得sin 14B =，由83sin sin()14C A B =+=，利用正弦定理求得212a =，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得0b =，不符合题意.【小问1详解】解：因为222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】解：由（1）知π3A =，若选①②：11cos 14B =，12a b +=，由11cos 14B =，可得53sin 14B ==，由正弦定理sin sin a bA B=214=，解得7a =，则125b a =-=，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得249255c c =+-，即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍去），所以ABC V 的面积为11sin 58222S bc A ==⨯⨯⨯=.若选①③：11cos 14B =且12c =，由11cos 14B =，可得sin 14B ==，因为πA BC ++=，可得()111sin sin 2142147C A B =+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a cA C =27=，解得212a =，所以ABC V的面积为1121sin 12222142S ac b ==⨯⨯⨯=.若选：②③：12a b +=且12c =，因为222b c a bc +-=，可得22212(12)12b b b +--=，整理得2412b b =，解得0b =，不符合题意，（舍去）.18.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望EX ；（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为0p ；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为1p ；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2p ，试比较0p 与122p p +的大小．（结论不要求证明）【答案】（1）1240（2）分布列见解析，期望12EX =（3）1202p p p +>【解析】【分析】（1）直接计算概率11102511200300C C ()C C P A =；（2）X 的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出01350p =，12124p p +=，比较大小即可.【小问1详解】设事件A 为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则11102511200300C C 1()C C 240P A ==，【小问2详解】随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.记事件B 为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件C 为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件B ,C 相互独立,且()P B 估计为1015151,()2005P C ++=估计为252540330010++=.所以1328(0)()()()1151050P X P BC P B P C ⎛⎫⎛⎫====-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,131319(1)()()()()()1151051050P X P BC BC P B P C P B P C ⎛⎫⎛⎫==⋃=+=⨯-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,133(2)()()()51050P X P BC P B P C ====⨯=.所以X 的分布列为X012P28501950350故X 的数学期望()2819310125050502E X =⨯+⨯+⨯=【小问3详解】1202p p p +>，理由：根据频率估计概率得04090135250050200p +===，由（2）知115p =，2310p =，故1213150510224200p p ++===，则1202p p p +>.19.已知函数()()11ln f x a x x =+--.（1）若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若2a <，证明：当1x >时，()1e xf x -<.【答案】（1）y x =（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得其切线斜率，即可得其切线方程；（2）分0a ≤及0a >，结合导数讨论即可得；（3）构造函数()()1e ln 11x g x x a x -=+---，多次求导研究其单调性即可得.【小问1详解】当2a =时，()()121ln 2ln 1f x x x x x =+--=--，则()121ln111f =⨯--=，()12f x x'=-，则()1211f ='-=，即曲线=在点1,1处的切线方程为()11y x =-+，即y x =；【小问2详解】()()110ax f x a x x x-=-=>'，当0a ≤时，′<0恒成立，故()f x 在0,+∞上单调递减；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则′<0，若1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，则′>0，故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问3详解】令()()()11e11ln e ln 11x x g x a x x x a x --⎡⎤=-+--=+---⎣⎦，()11e x g x a x-+'=-，令()()11ex h x g x a x -=+'=-，则()121e x h x x --'=，令()()121e x m x h x x -=-'=，则()122e 0x m x x-'=+>恒成立，故()h x '在1,+∞上单调递增，则()()011e 01h x h >=-'='，故()g x '在1,+∞上单调递增，则()()011e 201g x g a a >=+-=-'>'，故()g x 在1,+∞上单调递增，则()()()01e ln01110g x g a >=+---=，即()1ex f x -<.20.已知函数()e sin xf x a x =-．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当1a =时，证明：函数()2y f x =-在区间()0,π上有且仅有一个零点；（3）若对任意[]0,πx ∈，不等式()2cos f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）10x y +-=；（2）证明见解析；（3）(],1-∞.【解析】【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率()0f '，结合()01f =可得切线方程；（2）令()()2g x f x =-，求导后可知()0g x '>，由此确定()g x 在()0,π上单调递增，结合零点存在定理可得结论；（3）()()2cos h x f x x =-+，将问题转化为()0h x ≥恒成立；求导后，分析可知当0a ≥时，()h x '单调递增；当1a >时，利用零点存在定理可说明()h x 在()00,x 上单调递减，由此可得()()00h x h <=，知不合题意；当1a =时，可得()()00h x h ''>=，知()h x 单调递增，满足题意；当1a <时，采用放缩法得()e sin cos 2x h x x x >-+-，结合1a =时的结论可知其满足题意；综合三种情况可得结果.【小问1详解】当2a =时，()e 2sin xf x x =-，则()e 2cos xf x x '=-，()0121f '∴=-=-，又()01f =，()f x \在点()()0,0f 处的切线方程为：1y x =-+，即10x y +-=.【小问2详解】当1a =时，令()()2e sin 2xg x f x x =-=--，则()e cos xg x x '=-；当()0,πx ∈时，0e e 1x >=，cos 1x <，即()0g x '>，()g x ∴在()0,π上单调递增，又()01210g =-=-<，()πe 20g π=->，()g x ∴在()0,π上有唯一零点，即()2f x -在()0,π上有且仅有一个零点.【小问3详解】令()()2cos e sin cos 2xh x f x x a x x =-+=-+-，则对任意[]0,πx ∈，()0h x ≥恒成立；又()e cos sin xh x a x x '=--，令()()t x h x ='，则()e sin cos xt x a x x '=+-；当0a ≥时，若[]0,πx ∈，则0e e 1x ≥=，cos 1≤x ，sin 0x ≥，()0t x '∴≥在[]0,π上恒成立，则()h x '在[]0,π上单调递增；①当1a >时，()010h a '=-<，()ππe 0h a '=+>，()00,πx ∴∃∈，使得()00h x '=，且当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x ∴在()00,x 上单调递减，此时()()00h x h <=，不合题意；②当1a =时，()e sin cos 2xh x x x =-+-；当()0,πx ∈时，()()00h x h ''>=，则()h x 在[]0,π上单调递增，()()00h x h ∴≥=恒成立，满足题意；③当1a <时，()e sin cos 2e sin cos 2xxh x a x x x x =-+->-+-，由②知：对任意[]0,πx ∈，()e sin cos 20xh x x x >-+-≥，满足题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求解切线方程、函数零点个数问题、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为含参数函数单调性的讨论问题，进而由单调性和函数最值确定满足题意的参数范围.21.已知数列A ：1a ，2a ，…，n a 满足：{}0,1i a ∈（1i =，2，…，n ，2n ≥），从A 中选取第1i 项、第2i 项、…、第m i 项（12m i i i <<< ，2m ≥）称数列1i a ，2i a ，…，m i a 为A 的长度为m 的子列.记()T A 为A 所有子列的个数.例如A ：0，0，1，其()3T A =.（1）设数列A ：1，1，0，0，写出A 的长度为3的全部子列，并求()T A ；（2）设数列A ：1a ，2a ，…，n a ，A '：n a ，1n a -，…，1a ，A ''：11a -，21a -，…，1n a -，判断()T A ，()T A '，()T A ''的大小，并说明理由；（3）对于给定的正整数n ，k （11k n ≤≤-），若数列A ：1a ，2a ，…，n a 满足：12n a a a k ++⋅⋅⋅+=，求()T A 的最小值.【答案】（1）子列为：1，0，0；1，1，0；()6T A =；（2）()()()T A T A T A '''==，理由见解析；（3）22nk n k +--.【解析】【分析】（1）根据()T A 的定义结合条件即得；（2）若121k k m m m m -，，，，L 是12n A a a a ：，，，L 的一个子列，则121k k m m m m -，，，，L 为11n n A a a a -'：，，，L 的一个子列.若121k k m m m m -，，，，L 与121k k n n n n -，，，，L 是12n A a a a ：，，，L 的两个不同子列，则121k k m m m m -，，，，L 与121k k n n n n -，，，，L 也是11n n A a a a -'：，，，L 的两个不同子列，得()()T A T A '≤，同理()()T A T A '≤，得()()T A T A '=，同理()()T A T A ''=；（3）令000111n k k A *-个个：L L 144244314243，得数列A *中不含有0的子列有1k -个，含有1个0的子列有k 个，含有2个0的子列有1k +个，L L ，含有n k -个0的子列有1k +个，即可解决.【小问1详解】由()T A 的定义以及1100A ：，，，，可得：A 的长度为3的子列为：100110，，；，，，有2个，又A 的长度为2的子列有3个，A 的长度为4的子列有1个，所以()6T A =；【小问2详解】()()().T A T A T A '''==理由如下：若121k k m m m m -，，，，L 是12n A a a a ：，，，L 的一个子列，则121k k m m m m -，，，，L 为11n n A a a a -'：，，，L 的一个子列.若121k k m m m m -，，，，L 与121k k n n n n -，，，，L 是12n A a a a ：，，，L 的两个不同子列，则121k k m m m m -，，，，L 与121k k n n n n -，，，，L 也是11n n A a a a -'：，，，L 的两个不同子列.所以()()T A T A '≤；同理()()T A T A '≤，所以()()T A T A '=.同理()().T A T A ''=所以有()()().T A T A T A '''==【小问3详解】由已知可得，数列12n A a a a ：，，，L 中恰有k 个1，n k -个0.令000111n k k A *-个个：L L 144244314243，下证：()()T A T A *≥.由于000111n k k A *-个个：L L 144244314243，所以A *的子列中含有i 个0，j 个1(0101,2)i n k j k i j =-=+≥ ，，，，，，，的子列有且仅有1个，设为：000111i j 个个LL 144244314243.因为数列12n A a a a ：，，，L 的含有i 个0，j 个1的子列至少有一个，所以()()T A T A *≥.数列000111n k k A *-个个：L L 144244314243中，不含有0的子列有1k -个，含有1个0的子列有k 个，含有2个0的子列有1k +个，L L ，含有n k -个0的子列有1k +个，所以2()()(1)22T A n k k k nk n k *=-++-=+--.所以()T A 的最小值为22nk n k +--.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.。
北京市第十三中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷
北京市第十三中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷一、单选题1．集合{}{}1,2,2,4A B ==，全集为{}1,2,3,4U =，则()U C A B ⋃= A ．{}2B ．{}3C ．{}1,2,3D ．{}1,42．已知向量(1,1)a =v，(2,)b t =-v ，若a v ∥b v ，则实数t ＝A ．12B ．12-C ．2D ．－23．复数512z i i=++，则z 的共轭复数z 在复平面内所对应的点在（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知角a 的终边在第三象限，且tan 2α=，则sin cos αα-=（ ）A ．1-B ．1C ． D5．函数)y x ωϕ=+其中0,0ωϕπ><<，的图象的一部分如图所示，则A ．3,84ππωϕ== B ．,84ππωϕ==C ．,42ππωϕ==D ．3,44ππωϕ==6．已知函数()233,0,0x a x f x x a x -+-<⎧=⎨-+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，总满足以下不等关系：()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦，则实数a 的取值范围为（ ）A ．34a ≤B ．34a ≥C ．1a <D ．1a ≥7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u v 与AC u u uv 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>u u u v u u u v u u u v ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知等边ΔABC 边长为3，点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是 A ．2BDCD= B ．2ABDACDS S ∆∆= C ．cos 2cos BADCAD∠=∠D ．sin 2sin BADCAD∠=∠9．李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t 天后，用户人数()()0ktA t A e =，其中k 为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题取lg 20.30=） A ．31B ．32C ．33D ．3410．关于函数()sin cos2f x x x =+，给出下列三个命题： ①()f x 是周期函数；②曲线()y f x =关于直线π2x =对称； ③()f x 在区间[)0,2π上恰有3个零点． 其中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．在(4x 的展开式中，3x 的系数为．12．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若210a =，540S =，则5a =，n S 的最大值为．13．已知函数()(),0,,0cos x x f x sinx x θ⎧+≥=⎨<⎩是偶函数，则θ的一个取值为.14．若24AB AC AB ⋅==uu u r uu u r uu u r ，且1AP =u u u r ，则AB =u u u r ，CP AB ⋅u u u r u u u r 的最大值为. 15．设 a n 与 b n 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若 a n 与 b n 均为等差数列，则M 中最多有1个元素； ②若 a n 与 b n 均为等比数列，则M 中最多有2个元素； ③若 a n 为等差数列， b n 为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若 a n 为递增数列， b n 为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是.三、解答题16．已知函数()4sin cos()3π=+f x x x （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）求函数()f x 在区间[,]46ππ-上的值域和取得最大值时相应的x 的值. 17．李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； （2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记x 为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较与x 的大小（只需写出结论）18．在ABC V 中，222bc a b c =--.(1)求A ∠的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积.条件①：1cos 3B =；条件②：sin C =；条件③：a =19．设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.20．已知函数()323f x x x =-．(1)求()f x 在区间[]2,1-上的最大值；(2)若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围； (3)问过点()1,2.75A -存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）21．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数r ，t ，且r t <，使得r S t =，t S r =同时则称数列{}n a 为“,()M r t 数列”．(1)若首项为3，公差为d 的等差数列{}n a 是“(,2)M r r 数列”，求d 的值； (2)已知数列{}n a 为等比数列，公比为q ．①若数列{}n a 为“(,2)M r r 数列”，4r ≤，求q 的值；②若数列{}n a 为“,()M r t 数列”，(1,0)q ∈-，求证：r 为奇数，t 为偶数．。
江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知角α终边上一点(3,4)(0)P t t t ≠，则sin α=（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．不确定2．已知集合{}|04A x x =∈<<N ，{}1,0,1,2B =-，则集合A B ⋂的真子集个数为（ ） A ．7B ．4C ．3D ．23．设a ，b 都是不等于1的正数，则“log 3log 31a b >>”是“33a b <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数()1cos ex x x f x -=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数2()(e e 2)1,()2x x f x a x g x x ax -=++-=-+，若()f x 与()g x 的图象在(1,1)x ∈-上有唯一交点，则实数a =（ ） A ．2B ．4C ．12D ．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 分别为a ，b ，c 三边所对的角，()()2222sin sin A B a b a b A B ++=--，则ABCV 的形状是（ ）A ．等腰三角形但一定不是直角三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形但一定不是等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知不等式32ln(1)2a x x x +>-（其中0x >）的解集中恰有三个正整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(3,8]B ．[3,8)C ．932,ln 4ln 5⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．932,ln 4ln 5⎛⎤⎥⎝⎦8．已知定义在 0,+∞ 上且无零点的函数()f x 满足()()()1xf x x f x ='-，且()10f >，则（ ） A ．()()1122f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．命题：“()1,x ∀∈+∞，都有21x >”的否定为“(],1x ∃∈-∞，使得21x ≤”；B ．设定义在R 上函数()()()()()3log 1,41,4x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()11f =；C ．函数()f x =[)1,+∞；D ．已知2log 0.3a =，0.32b =，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系为a c b <<.10．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足：()()()1f x y f x f y -=-+．且()10f =，当0x >时，()1f x <．则下列选项正确的是（ ） A ．()01f = B ．()22f =-C ．()1f x -为奇函数D ．()f x 为R 上的减函数11．已知函数π()|sin |cos()6f x x x =+-，则 （ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象为中心对称图形C ．函数()f x 在5π(2π,)3--上单调递增 D ．关于x 的方程()f x a =在[π,π]-上至多有3个解三、填空题12．22lg2lg3381527log 5log 210--+⋅+=.13．已知幂函数()f x 的图象过点()2,16-，则()()131f x f x +≤-的解集为.14．已知ABC V 的角A ，B ，C 满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ≤++，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，若A B C ≤≤，则tan tan B C +=．四、解答题15．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域. 16．为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关.现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查.(1)求样本中学生分数的平均数x （每组数据取区间的中点值）；(2)假设分数Z 近似服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本的平均数x （每组数据取区间的中点值），2σ近似为样本方差2221s ≈，若该校有4000名学生参与答题活动，试估计分数在(30,72)内的学生数(结果四舍五入)；(3)学校规定：分数在[60,100]内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为34，同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人，记2人本次活动总分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.（参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826,(22)P Z P Z μσμσμσμσ-<<+=-<<+=0.9544,(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=）17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面CDM ⊥平面PAB ；(2)若AD BC ∥，2AD BC =，2AB =，直线PB 与平面MCD 棱锥P MCD -的体积．18．在ABC V 中，设角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin cos C b C a c +=+． (1)求角B ；(2)若b =ABC V 面积的最大值； (3)求2ac ab bcb --的取值范围．19．已知函数()()211ln ln 122f x x x ax x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中0a ≠． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若0a >，证明：函数()f x 有唯一的零点； (3)若()0f x >，求实数a 的取值范围．。
十月高三月考数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图象开口向上，对称轴为$x = -1$，且过点$(2, 3)$，则下列选项中正确的是（）。
A. $a = 1, b = -2, c = 3$B. $a = 1, b = 2, c = 3$C. $a = -1, b = -2, c = 3$D. $a = -1, b = 2, c = 3$2. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5 = 50$，$S_9 = 90$，则$a_7$的值为（）。
A. 5B. 10C. 15D. 203. 下列命题中正确的是（）。
A. 若$a > b$，则$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$B. 若$a^2 > b^2$，则$a > b$C. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$D. 若$a^2 > b^2$，则$a > |b|$4. 在直角坐标系中，点$A(1, 2)$关于直线$y = x$的对称点为（）。
A. $(2, 1)$B. $(1, 2)$C. $(-2, -1)$D. $(-1, -2)$5. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z + 1| = |z - 1|$，则$\operatorname{Im}(z)$的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题（每题5分，共50分）6. 函数$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$的定义域为______。
7. 等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则$a_{10}$的值为______。
8. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f'(x) = ______。
北京市2025届高三上学期10月月考数学试题含答案
北京市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（答案在最后）(清华附中朝阳望京学校)2024.10.10姓名____________一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U A =ð（）A.(][)0,23,+∞B.()()0,23,+∞ C.(][),23,-∞⋃+∞ D.()(),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】()0,U =+∞ ，[]2,3A =，()()0,23,U A ∴=+∞ ð.故选：B.2.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==-，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==-，所以212b q b ==-.故选：B.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可得()22k k παβπ+=+∈Z ，利用诱导公式可求得结果.【详解】y x = 的倾斜角为4π，α\与β满足()22242k k k ππαβππ+=⨯+=+∈Z ，3cos cos 2cos sin 225k ππβπααα⎛⎫⎛⎫∴=+-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C.0x y -=D.0x y +=【答案】C 【解析】【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.故选：C.5.已知D 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AB AD ⋅的取值范围是（）A.B.2]C.[0,2]D.[2,4]【答案】D 【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可得||cos [1,2]AD DAB ∠∈ ，再由||||cos AD AB D A A B AD B =∠⋅即可求范围.【详解】由D 在边BC 上运动，且△ABC 为边长为2的正三角形，所以03DAB π≤∠≤，则[]cos 1,2AB DAB ∠∈ ，由||||cos [2,4]AD AB D D B A A A B =∠⋅∈.故选：D6.若0a b >>，则①11b a >；②11a ab b +>+>的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】对①，由a b >两边同除ab 化简即可判断；对②，由a b >得a ab b ab +>+，两边同除()1b b +化简即可判断；>>【详解】对①，0a b a b ab ab>>⇒>，即11b a >，①对；对②，由()()011a b a ab b ab a b b a >>⇒+>+⇒+>+，则()()()()111111a b b a a a b b b b b b +++>⇒>+++，②对；对③，由>，>，与0a b >>矛盾，③错；故选：A7.若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m ≤ C.1m > D.1m ≥【答案】B 【解析】【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式220x x m ++≤在实数范围内有解，等价于方程220x x m ++=有实数解，即440m ∆=-≥，解得1m ≤.8.“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a ，判断题设条件间的关系即可.【详解】当1a =时21()21x x f x +=-，则定义域为{|0}x x ≠，211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，故()f x 为奇函数，充分性成立；若2()2x x af x a+=-具有奇偶性，当()f x 为偶函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===--⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅=--⋅恒成立，可得0a =；当()f x 为奇函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===---⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅-=--⋅恒成立，可得1a =或=−1；所以必要性不成立；综上，“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的充分而不必要条件.故选：A9.已知函数()32x x f x =-，则（）A.()f x 在R 上单调递增B.对R,()1x f x ∀∈>-恒成立C.不存在正实数a ，使得函数()xf x y a=为奇函数D.方程()f x x =只有一个解【答案】B【分析】对()f x 求导，研究()f x '在0x ≥、0x <上的符号，结合指数幂的性质判断()f x '零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A 、B 的正误；利用奇偶性定义求参数a 判断C ；由(0)0f =、(1)1f =即可排除D.【详解】由3ln 3ln 22[(ln 3ln ()322]2x x x xf x =-'=-，而20x >，当0x ≥时()0f x '>，即(0,)+∞上()f x 递增，且(30)2x x f x =->恒成立；而0x <，令()0f x '=，可得3ln 2()2ln 3x=，所以00x x ∃=<使03ln 2(2ln 3x =，综上，0(,)x -∞上()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0f x '>，()f x 递增；故在R 上不单调递增，A 错误；所以0x x =时，有最小值0000002()323()3ln 3[1]3(1)ln 2x x x x xf x ===---，而0031x <<，ln 310ln 2<-，所以0ln 3ln 4111ln 2()ln 2f x >-->=-，故R,()1x f x ∀∈>-恒成立，B 正确；令()()x f x y g x a ==为奇函数且0a >，则3232()()x x x x x xg x g x a a ------==-=-恒成立，所以6(23)23x x x x x xxaa --=恒成立，则a =满足要求，C 错误；显然000)20(3f -==，故0x =为一个解，且(1)321f =-=，即1x =为另一个解，显然不止有一个解，D 错误.故选：B【点睛】关键点点睛：A 、B 判断注意分类讨论()f x '的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C 、D 应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定()f x x =的解.10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据速度差函数的定义，分[0,6],[6,10],[10,12],[12,15]x x x x ∈∈∈∈四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.【详解】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =；当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =；当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是____________.【答案】()()0,11+，⋃∞.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，10x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞ .【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.直线:1l x y +=截圆22220x y x y +--=的弦长=___________.【答案】【解析】【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l 被圆C 截得的弦长．【详解】线l 的方程为10x y +-=，圆心(1,1)C 到直线l 的距离2d ==．∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为=．.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC ____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_____________．【答案】①.垂直②.【解析】【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F 位于点C 时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，因为AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，又2PA AB ==，所以PAB 为等腰直角三角形，且E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又BC PB B ⋂=，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥与平面PBC .因为AE ⊥平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，所以当EF 最大时，AEF △的面积的最大，当F 位于点C 时，EF 最大且EF ==，所以AEF △的面积的最大为12⨯⨯=.14.设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为__________.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.1a ≤-【解析】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在x a ≥段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当2a =-时，()221,22,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩，则当2x <-时，()3211,4xf x ⎛⎫=-∈--⎪⎝⎭，当2x ≥-时，()222f x x =-≥-，故()f x 的最小值为2-；②由()221,,x x a f x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩，则当x a <时，()()211,21x af x =-∈--，由()f x 有最小值，故当x a ≥时，()f x 的最小值小于等于1-，则当1a ≤-且x a ≥时，有()min 1f x a =≤-，符合要求；当1>-a 时，21y x a a =+≥>-，故不符合要求，故舍去.综上所述，1a ≤-.故答案为：2-；1a ≤-.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，21(R)n n n a a a λλ+-=∈．给出下列四个结论：①{}n a 是递增数列；②{}R,n a λ∀∈都不是等差数列；③当1λ=时，1a 是{}n a 中的最小项；④当14λ≥时，20232022S >．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】③④【解析】【分析】利用特殊数列排除①②，当0λ≠时显然有0n a ≠，对数列递推关系变形得到1n n na a a λ+=+，再判断③④即可.【详解】当数列{}n a 为常数列时，210n n n a a a +-=，{}n a 不是递增数列，是公差为0的等差数列，①②错误；当1λ=时，211n n na a a +-=，显然有0n a ≠，所以11n n na a a +=+，又因为10a >，所以由递推关系得0n a >，所以110n n na a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，1a 是{}n a 中的最小项，③正确；当14λ≥时，由③得0n a >，所以由基本不等式得11n n n a a a λ+=+≥=≥，当且仅当n na a λ=时等号成立，所以2320232022a a a ++⋅⋅⋅+≥，所以20232022S >，④正确.故选：③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b ==，求ABC V 的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。
高三数学10月考试试卷
高三数学10月考试试卷第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1、满足{}{}5,3,13,1=⋃A 的所有集合A 的个数 〔 〕 A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、以下各个对应中,构成映射的是 ( )A B A B A B A BA B C D3、以下四个集合中，是空集的是 〔 〕 A 、}33|{=+x x B 、},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C 、}0|{2≤x x D 、}01|{2=++x x x4、xx x f --=11)(的定义域是 〔 〕A 、(1]-∞，B 、)1,0()0,(⋃-∞C 、(001-∞⋃，）（，]D 、[1+∞，）5、假设函数)(x f y =为奇函数，那么它的图象必经过点 〔 〕A 、)0,0(B 、))(,(a f a --C 、))(,(a f a -D 、))(,(a f a --- 6、设偶函数f(x)的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，f(x)是减函数，那么f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 〔 〕A 、f(π)>f(-3)>f(-2)B 、f(π)>f(-2)>f(-3)C 、f(π)<f(-3)<f(-2)D 、f(π)<f(-2)<f(-3)7、函数xxx f -=1)1(，那么 〔 〕A 、1()()f f x x =B 、1()()f f x x=- C 、11()()f xf x =D 、)(1)1(x f xf -=+ 8、以下五个命题中，正确的有几个？ 〔 〕 ①函数2x y =与2)(x y =是同一函数；②假设集合{}044|2=++=x kx x A 中只有一个元素，那么1=k ；③ 函数x x x f 21)(-=是奇函数；④函数xy -=11在)0,(-∞∈x 上是增函数； ⑤定义在R 上的奇函数)(x f 有0)()(≤-•x f x f A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9、集合{}0145|2≤--=x x x A ，}121|{-<<+=m x m x B ，且∅≠B ，假设A B A = ，那么 〔 〕 A 、－3≤m ≤4 B 、－3<<m 4 C 、42<<m D 、m <2≤4 10、定义在R 上的函数)1(+=x f y 的图象如下图，它在定义域上 是减函数，给出如下命题：①)0(f =1；②1)1(=-f ；③假设0>x0)(<x f ；④假设0<x ，那么0)(>x f ，其中正确的选项是 〔 A 、②③ B 、①④ C 、②④ D 、①③11、100名学生报名参加A 、B 两个课外活动小组，报名参加A 组的人数是全体学生人数的53，报名参加B 组的人数比报名参加A 组的人数多3，两组都没报名的人数是同时报名参加A 、B 两组人数的31多1，求同时报名参加A 、B 两组人数 〔 〕 A 、36 B 、13 C 、24 D 、2712、假设函数432--=x x y 的定义域为[0 ，m],值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，那么 m 的取值范围 是 〔 〕A 、[0 ，4]B 、[23 ，4]C 、[23 ，3]D 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔此题一共4小题，每一小题4分，一共16分〕 13、{}30|<≤∈=x N x A 的真子集的个数是 。
重庆市2024-2025学年高一上学期10月月考试题 数学含答案
重庆高2027届高一上期月考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤ B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥ B.2a > C.6a > D.6a ≥5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}m m -<<∣B.{3m m <-∣或1}m >C.{13}m m -<<∣D.{1mm <-∣或3}m >6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,17.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.的B.34aa b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为168.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a >，则有*12,2n a a a n n n+++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z xx y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.重庆高2027届高一上期月考数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算法则运算即可.【详解】因为{}{}4016A x x =≤=≤≤，{}2323B x x x x ⎧⎫==>⎨⎩⎭，所以A B = 2163x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.故选：A .2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是“230,1x x x ∀<+≤”.故选：B3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以函数()f x 的定义域为()1,6-，则对于函数()1g x +=，需满足116310x x -<+<⎧⎨->⎩，解得153x <<，即函数()1g x +=的定义域为1,53⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥B.2a >C.6a > D.6a ≥【答案】C 【解析】【分析】对于全称量词命题2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤，我们需要先求出使得该命题为真时a 的取值范围，然后再根据充分不必要条件的定义来判断选项.【详解】令2()f x x x =+，[1,2]x ∈.对于二次函数2y ax bx c =++，其对称轴为122b x a =-=-.因为10a =>，所以函数()f x 在[1,2]上单调递增.那么()f x 在[1,2]上的最大值为2max ()(2)226f x f ==+=.因为2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤为真命题，即2a x x ≥+在[1,2]上恒成立，所以max ()6a f x ≥=.A 是B 的充分而不必要条件，即值A B ⇒，B A ¿.当6a >时，一定满足6a ≥，所以6a >是6a ≥的充分不必要条件.而2a >时，不能保证一定满足6a ≥，2a ≥时，也不能保证一定满足6a ≥.故选：C.5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}mm -<<∣ B.{3m m <-∣或1}m > C.{13}m m -<<∣ D.{1mm <-∣或3}m >【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式和常值代换法求得28x y+的最小值，依题得到不等式2236m m -+<，解之即得.【详解】因3x y +=，由28128()()3x y x y x y+=++1281(10)(10633y x x y =++≥+=，当且仅当28y x x y =时取等号，即当1,2x y ==时，28x y+取得最小值6.因不等式22823m m x y+>-+恒成立，故2236m m -+<，即2230m m --<，解得13m -<<.故选：C.6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,1【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到()f x 在定义域R 上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩因为函数()y f x =任意12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在定义域R 上为单调递减函数，则满足()()242223024252321a a a a +⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-+⨯+≥-⨯+⎪⎩，即0321a a a ≥⎧⎪⎪<⎨⎪≤⎪⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,1.故选：D.7.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.B.34a a b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为16【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可判断AC 的正误，利用“1”的代换可判断B 的正误，利用换元法结合常数代换可判断D 的正误.【详解】选项A：2112,1a b a b +=+≤++===时取等，+A 对；选项B：3433443577a a b a b a b aa b a b a b+++++=+=++≥+，当且仅当35,22a b -==时取等，故34a a b ++的最小值为7+，故B 错选项C ：()()2119111,242a b a b a b +++⎛⎫++≤=== ⎪⎝⎭时取等，故()()11a b ++的最大值为94，故C 对；选项D ：换元，令3,2x a y b =+=+，则6x y +=，故()()222232941032x y a b x y a b x y x y--+=+=+-++++94194251413446666x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅-=++-≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1812,55x y ==取等号，故2232a b a b +++的最小值为16，故D 正确；故选：B.8.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512【答案】A 【解析】【分析】将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，从而有集合A 与集合B 的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有92个，即可求解.【详解】由题知{}5,4,3,2,1,0,1,2,3,4M =-----，将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，则符合条件的集合对有92个，又由题设定义有集合A 与集合B 的交替和之和为4，所以交替和的总和为9114222048⨯==.故选：A.二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--【答案】BD 【解析】【分析】利用特殊值验证AC 是错误的，利用作差法判断B 的真假，利用配方法证明D 是正确的.【详解】对A ：令1a =-，1b =，则0ab ≠且a b <，但11a b>不成立，故A 错误；对B ：当0a b >>时，()()()20242024202420242024b a a b b b a a a a +-++-=++()()202402024b a a a -=<+，所以20242024b b a a +<+成立，故B 正确；对C ：令3a =-，4b =-，0c =，1d =-，则,a b c d >>，但ac bd >不成立，故C 错误；对D ：因为()()()222212222144a b a b a b a b ++----++++=()()22120a b =-++≥，所以()221222a b a b ++≥--成立，故D 正确.故选：BD10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A ，分类讨论求出k 的范围判断B ，根据数轴穿根法及不等式的解集求出ba及0a <解不等式判断C ，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于a 的不等式恒成立即可判断D.【详解】对A ，若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q p r ⇒⇔，但是p 不能推出q ，所以q r ⇒，但是r 不能推出q ，所以q 是r 的充分不必要条件，故A 正确；对B ，当0k =时，原不等式为03≥，恒成立满足题意，当0k ≠时，由题意需满足()2Δ16430k k k k >⎧⎨=-⋅+≤⎩，解得01k <≤，综上，实数k 的取值范围是01k ≤≤，故B 错误；对C ，由不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，结合数轴穿根法知，1,2bc a==，且0a <，所以不等式2320ax ax b --≥可化为2340x x --≤，解得14x -≤≤，故C 正确；对D ，由题意知[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥为真命题，则()22130a x x x --++≥在[]1,3a ∈-时恒成立，令()2()213g a a x x x =--++，只需()()2213403350g x x g x x ⎧-=-++≥⎪⎨=-≥⎪⎩，则14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，解得[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N 上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据所给函数解析式直接求解判断A ，根据()f x 的性质及(),()g x f x 图象判断B ，归纳出()f x 在[]2024,2025上的解析式判断C ，根据规律，归纳值域特点判断D.【详解】选项A ：()()()()()210121013101320272025202331f f f f f λλλλλ====== ，()()()()()210111012202420222020200f f f f f λλλλ====== ，则()()101320272024f f λ+=，所以选项A 正确；选项B ：由()()122f x f x =-知，()0,2024x ∈时，()()()()()[)()()[)()()[)210112,0,2124,2,42146,4,62120222024,2022,20242x x x x x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪--∈⎪⎪⎪=--∈⎨⎪⎪⎪⎪--∈⎪⎩ ，由于()()()()()()1111111,33,553254g f g f g f ===<==<=，但()()()()31011111177,202320237220232g f g f =>==>= ，作,的图象，如图，结合图象可知()0,6x ∈上有2226++=个交点，在[)6,2024x ∈上无交点，故选项B 正确；选项C ：[]2024,2025x ∈时，()()()1012120242026f x x x λ=--，故()f x 在[]2024,2025上单增，故C 错误；选项D ：因为1λ<-，所以当[]0,4x ∈时，值域为[],1λ；当[]0,8x ∈时，值域为32,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,12x ∈时，值域为54,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,16x ∈时，值域为76,λλ⎡⎤⎣⎦；L 当[]0,4x n ∈时，值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：根据所给函数解析式，可知函数类似周期特点，图象形状类似，振幅有规律变化，据此可归纳函数的性质是解题的关键所在.三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.【答案】4【解析】【分析】求出集合A ，列举出集合A 的子集即可.【详解】因2{10}{1,1}A x x =-==-∣，故集合A 的子集有,{1},{1},{1,1}∅--共4个.故答案为：4.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据集合的包含关系，讨论0a =和0a >两种情况，求集合B ，再比较端点值，即可求解.【详解】因为A B B = ，所以A B ⊆，因为()(){}10B x x a ax =+-≤∣，且0a ≥：1 当0a =时，[)0,B ∞=+，符合题意；2当0a >时，1,B a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则11404a a ≥⇒<≤，综上，10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：10,4⎡⎤⎢⎣⎦14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性可知243x y =-，代入可得234386y x y xx x y x y++=+，根据基本不等式可得最值.【详解】由题可知()()()()3323231313x x y y -+-=-+-，因为3,y t y t ==在R 上单调递增，所以()3g t t t =+在R 上单增，所以上式可表示为()()2313g x g y -=-，则2313x y -=-，即243x y =-，因此()22433433866x y y x y y x x x x y x y x y -++=++=+≥=当且仅当38243y x x y x y⎧=⎪⎨⎪=-⎩即25x -=，2415y -=时等号成立，故答案为：.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）02x =或3-（2）5,42⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数定义分类列方程求解；（2）根据分段函数定义分类列不等式求解．【小问1详解】由()01f x =可得：1∘>−1−1=1⇒0=20=−2舍去）0000123,,23;21x x x x ≤-⎧⇒=-=-⎨--=⎩ 综上或【小问2详解】由()3f a a <+可得：1∘>−11<+3⇒>−12−2−8<0⇒>−1−2<<4⇒∈−1,4；2∘≤−1−−2<+3⇒≤−1>−52⇒∈−52,−1综上可得5,42a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|4A B x x =≤ 或1}x >（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据条件，先求出集合,A B ，再利用集合的运算，即可求解；（2）由（1）可得R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，再根据条件，分M =∅和M 蛊两种情况讨论，即可求解.【小问1详解】由5402x +≥-,即4302x x -≥-，得到2x >或34x ≤，所以3{|4A x x =≤或2}x >，又由321x ->，得到321x -<-或321x ->，即13x <或1x >，所以1{3B x =<或1}x >，所以3{|4A B x x =≤ 或1}x >.【小问2详解】因为3{|4A x x =≤或2}x >，所以R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，①当321a a ->-，即43a <时，此时M =∅()RA ð，所以43a <满足题意，②当43a ≥，即M 蛊时，由题有212334a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，解得4332a ≤≤，综上，实数a 的取值范围是3,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4（2）()222f x x x=-（3）(],10-∞【解析】【分析】（1）令1x =-即可求出()1f -.（2）根据条件，先设出二次函数的解析式，再根据()26231x f x x --≤≤+恒成立，可求待定系数.（3）问题转化成()f x 在区间(]1,6的最小值不小于()g x 在[]6,10上的最小值求参数的取值范围.【小问1详解】在不等式()26231x f x x --≤≤+，令()()141414x f f =-⇒≤-≤⇒-=.【小问2详解】因为()f x 为二次函数且图象过原点()0,0，所以可设()()2,0f x ax bx a =+≠，由()1444f a b b a -=⇒-=⇒=-，于是()()24f x ax a x =+-，由题：()()262220,f x x ax a x x ≥--⇔+++≥∈R 恒成立⇔>0Δ≤0⇔>0+22−8=−22≤0⇒=2,=−2⇒=22−2，检验知此时满足()()223110,f x x x x ≤+⇔+≥∈R ，故()222f x x x =-.【小问3详解】函数()222f x x x =-，开口向上，对称轴12x =，所以()222f x x x =-在区间(]1,6上单调递增，因此，(]11,6x ∈时，()()()(11,6f x f f ⎤∈⎦，即()(]10,60f x ∈，而()g x m x =-在[]6,10上单调递减，所以[]26,10x ∈时，()[]210,6g x m m ∈--因为对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，等价于()()(]110010,10f g m m ∞≥⇒≥-⇒∈-18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a > ，则有*12,2n a a a n n n +++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z x x y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.【答案】（1）6（2）最大值为272048，38x =（3）1*1111,1kk k k k +⎛⎫⎛⎫+<+∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭N ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解；（2）由()()32722212128333x x xx x x -=⋅⋅⋅⋅-，结合四阶基本不等式可得最值；（3）猜测111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N 成立，验证1k =不等式成立；结合推广公式证明2k ≥结论成立.【小问1详解】因为,,0x y z >，所以由三阶基本不等式可得：246y z x x y z ++≥，当且仅当24y z xx y z==即2y z x ==时取等号，因此24y z x x y z++的最小值为6；【小问2详解】当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由四阶基本不等式可得：()()()432221227222272733312128333842048x x x x x x x x x x ⎛⎫+++- ⎪-=⋅⋅⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2123xx =-即310,82x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取等号，因此()312x x -的最大值为272048；【小问3详解】大小关系为111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N ，证明如下：由条件可知：12,,,0n a a a > 时，*1212,,2nn n a a a a a a n n n +++⎛⎫⋅≤∈≥ ⎪⎝⎭N ，当1k =时，左边11121⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，右边219124⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，左边<右边，不等式成立；当2k ≥，*k ∈N 时，由1k +阶基本不等式，可知：不等式左边111111111kk k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()(1)1111111111(11)11()111k k k k k k k k k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎛⎫++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪≤== ⎪+++ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭个个1111k k +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭而111k ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，因此上式的不等号取不到等号，于是1111111111kk k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，原不等式得证.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0（2）()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，证明见解析（3）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）令1a b ==可得302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由()()0f x f x -+=，即可得出答案；（2）由单调性的定义证明即可；（3）由单调性和奇偶性列出不等式，再结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中令333120222a b ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（或令53532,102222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭).而()()333000222f x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=⇒-+=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减.下证明：由④知：对任意,0a b >，恒有111222f ab f b f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证一：任取2112x x >>，于是()()22211111111111122112222222x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-+--+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为2112x x >>，所以2111022x x ->->221111132********x x x x --⇒>⇒+>--，而对任意32x >时恒有()0f x <，故211120122x f x ⎛⎫- ⎪+<⎪ ⎪-⎝⎭，即()()210f x f x -<，所以()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，证毕；证二：任取2112x x >>，设2111,,1,022x mn x n m n =+=+>>()()21111222f x f x f mn f n f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为131.22m m >+>，所以102f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()()21f x f x <，也即()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭单调递减,证毕；【小问3详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中：令5599222222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()()0f x f x -+=，于是922f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令139339,402442242a b f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+==⇒=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）知()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()0f x f x -+=，可得()f x 在1,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上也单调递减，如图，可知不等式()()21232f t k t k -+-+≤等价于：对任意[]11t ,∈-，不等式()231234t k t k -+-+≥……①或者()29112322t k t k -≤-+-+<-恒成立，……②法一：令()()[]2123,1,1g t t k t k t =-+-+∈-立，因为()g t 开口向下，由()g t 图像可知：不等式①()()11313204;334144k g k g k ⎧⎧≥-≥⎪⎪⎪⎪⇔⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪⎩⎩对于②，当1t =±时，由()()1391121022919112222k g k g k ∅⎧⎧-≤<-≤-<-⎪⎪⎪⎪⇒⇒∈⎨⎨⎪⎪-≤<--≤<-⎪⎪⎩⎩，即一定不存在k 满足②.综上取并，得3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭法二：令()()[]()2123,1,1,g t t k t k t g t =-+-+∈-开口向下，对称轴为12t k =-，且()()211152,1,224g k g k g k k k ⎛⎫-=-=-=++ ⎪⎝⎭，1 当112k -<-即32k >时，问题等价于>321≥34或>32−1<−121≥−92,解得32k >；2 当1102k -≤-≤即1322k ≤≤时，等价于()1322314k g ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或()13221133,;2242912k g k k g ⎧≤≤⎪⎪⎪⎛⎫⎡⎤-<-⇒∈⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎪≥-⎪⎩3 当1012k <-≤即1122k -≤<时，问题等价于()1122314k g ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()11221122912k g k g ⎧-≤<⎪⎪⎪⎛⎫-<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；4 当112k ->即12k <-时，问题等价于()12314k g ⎧<-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()()12112912k g g ⎧<-⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；综上，3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.。
高三数学10月月考试卷
16. 已知集合 ������ = ������，集合 ������ = {������∣ (������ − 2)(������ − 3) < 0}，函数 ������ = lg ������−(������2+2) 的定义域为集合 ������．
0，且 ������ 是 ������ 的必要不充分条件，则实数 ������ 的取值范围是
．
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13. 已知等比数列 {������������} 满足 ������������ > 0，������ = 1,2, ⋯，且 ������5 ⋅ ������2������−5 = 22������(������ ≥ 3)，则当 ������ ≥ 1 时，
C. [3, +∞)
D. (−∞, −1] ∪ [3, +∞)
6. △ ������������������ 中，������ = 1，������ = √3，������ = 30∘，则 ������ 等于 ( )
A. 60∘
B. 60∘ 或 120∘
C. 30∘ 或 150∘
D. 120∘
7. 将函数 ������(������) = sin (2������ + π6) 的图象向左平移 ������ (0 < ������ ≤ π2) 个单位长度，所得的图象关于 ������ 轴对
为
．
三、解答题（共 6 小题；共 80 分）
15. 已知在 △ ������������������ 中，三边长 ������ ， ������ ， ������ 依次成等差数列．
（1）若 sin������: sin������ = 3: 5 ，求三个内角中最大角的度数；
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4、已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求证：数列{an}为等比数列的充要条件为________.
5、圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，则它的底面半径为多少时，才能使饮料罐的体积最大？
数学测试一
总分：150分考试时间：120分钟
分值：20/5/5/5/5 5/10/10/10/20 20/15/20平均分预算：75实际得分：
1、下列说法错误的有________________________
①若a3=4，a11=1，则a7=±2
②若向量a与b满足a b＜0，则a与b所成角为钝角
③直线方程有五种表现形式，分别是点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，但五种直线方程都不能表示所有直线
6、已知函数f(x)=x^2+px+q与函数y=f(f(x))有一个相同的零点则p与q满足________
7、请判断命题P是命题q的关系并请给出证明
①
②
8、设两向量e1，e2满足|e1|=2, |e2|=1, e1, e2的夹角为60度，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求t的取值范围
④f（x+a）=f（x+b）的周期为|b-a|
⑤
⑥若三位数中三个数适当调整顺序可以组成等比数列，则称这个三位数为“等比数”，如124、319这样的数有27个
⑦λ（AB+AC）为三角形的重心
⑧λ（+）为三角形的内心
⑨λ（+）为三角形的垂心
⑩λ（+）为三角形的重心
2、．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（）
9、
10、①
②在等边三角形ABC中，D为BC上一点，BD=2CD，DE垂直AB于点E，CE交AD于点P，求∠APE的度数
11、若0<α<β<π2，判断以下四个命题的正误并证明：
①sinα＋sinβ<α＋β②α＋sinβ<sinα＋β
③α·sinα<β·sinβ④β·sinα<α·sinβ
12、
13、