海南省四校高三联考试题(数学理)无答案word版
海南2014届国兴中学海师附中嘉积中学三亚一中高三四校联考理科数学解析
海南省2014届国兴中学、海师附中、嘉积中学、三亚一中高三四校联考理科数学解析1、解析：D 考察学生对于绝对值不等式与一元二次不等式（注意题目集合元素相当于求定义域还是值域）的求解12x +<化简得：212,31x x -<+<-<<，被开方式子240x x --≥化简得：40x -≤≤，取交集即可。
集合问题关键是对于元素的性质化简2、解析：B 考察复数加法乘除法运算（关键是分母实数化，从而确定复数的实部虚部）同时要会求复数的模及理解复数与点一一对应关系，(34)435i z i -=+=即534z i =-，化简得3434555i z i +==+对应点为34(,)553、解析：A 抓住关键点“线性回归方程一定过样本中心点(,)x y ”，通过已知数据易得 2.5x =， 3.5y =同时注意线性回归方程中的各元素的具体含义及表示4、解析：D 程序框图与三角函数诱导公式的考察，关键是注意每一个步骤执行的顺序，通过模拟运算可知：第1次1,22S n ==第2次0,3S n ==第3次1,4S n =-=第4次3,52S n =-=，第5次1,6S n =-=，（注意此时的-1与第3次执行不一样）第6次0,7S n ==，第7次开始重复执行1,82S n ==（即循环周期是6）根据条件知道当n=2014执行一次即循环结束，根据2014233562=+⨯+可知32S =-5、解析：C 考察正弦型函数图像伸缩平移变换，首先横坐标变为原来的12，然后进行平移，（注意平移是相对自变量X 来说），即变换过称如下cos cos 2cos 2()cos(2)63y x y x y x x ππ=⇒=⇒=-=-结合图像性质判断知对称轴一定经过最值点6、解析：B 点线面位置关系判断，只需要根据题意边审题边画图即可7、解析：C 结合三视图基本判断为长方体切去一个三棱锥，注意锥体体积计算一定要乘13，112232131132V V -=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=长锥8、解析：D 5本书分给3人，可通过两类：先选取3,1,1与2,2,1再排序，得2233354533226090150C C C A A A ⋅+⋅=+=（注意第二类选取过程有重复，一定要除以均匀分组部分数的阶乘）9、解析：C （此题可采用特殊值验证）线性规划问题，根据已知，(3)y a x ≥-恒过（3,0）点在坐标系中作出可行域，目标函数变形得：2y x z =+即Z 表示平行直线簇的纵截距结合图像可知当经过26y x =-上所有点时=都有最小值-6，当斜率小于2时，结合图像，同样经过（3,010、解析：A 观察角的关系，通过二倍角变换21cos(2)cos 2()12sin ()3669πππααα-=-=--=在根据诱导公式sin(2)sin[(2)]cos(6233ππππαα+=--=11、解析：D 设P 122PF PF a -=解得124,2PF a PF a ==，双曲线中c 最大，可知1230PF F ∠= ，利用余弦定理得：cos302)0,,c c b -===渐近线方程为by x a=±12、解析：A 22(1)(())log (log )(x x f f x x x ≤⎧=⎨⎩根据已知可知道(4,),(2,),(())(1,)x y f f x ∈+∞∈+∞∈+∞，因此要使得22(())2f f x a y ay =+在(2,)y ∈+∞恒有一解，只需保证2221a y ay +>恒成立即可，510变形得：(1)(21)0ay ay +->112a a y y <->或又2y >，则1142a y≥> 13、解析：向量的坐标运算，由已知得22(1,)(1,)(3,)a b x x x -=--=，根据向量垂直得：223(1)0,3,2x x a ⨯-+====14、解析：求导与定积分得到综合考察，注意'(1)f 相当于一个常数，根据复合函数求导得1'()2'(1),'(1)2'(1)1,'(1)1x f x f x e f f f -=+=+=-，则1213110121(),()()|33x x f x x e f x dx x e e --=-+=-+=-⎰ 15、解析：设圆心坐标为3(,)x x，面积最小转化为半径最小即可，根据圆心到切线的距离为1533(52r =≥==当且仅当圆心坐标为（2，）等号成立）则圆的标准方程为223()92y +-=(x-2)16、解析：考察正弦和角公式，正弦定理及三角形面积公式2cos ,sin 33A A ==，sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C C =+=+化简得：sin 66C C ==，sin 6B =1,sin sin sin 2ABC b a b S ab C B A ∆====17、解析：（1）89103a a a ++= 891099324,8a a a a a ∴++===又293699(6)(3)a a a a d a d =⋅=-- 4d ∴=则9(9)428n a a n d n =+-=-，124a =- （2）由于428n a n =-且为递增数列，则17812....7(7)22nn n a a a a S a a a n ++=+++=-⨯+⨯-因此 当2244287,2622n n n S n n n -+-≤=-⨯=- 当28,226168n n S n n >==-+18、解析：此题背景冗繁，需考生从中提取关键信息，设租车费用为(),f x x 为租车时间则0,[0,1]1,(1,2]()2,(2,3]24,(3)x x f x x x x ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪->⎩ 设甲租车费用为“0,1,2”，分别对应事件123,,A A A ，有题意知123()0.4,()0.5,()0.1P A P A P A ===同理：设乙租车费用为“0,1,2”，分别对应事件123,,B B B ，有题意知123()0.5,()0.3,()0.2P B P B P B ===则甲乙两人所付租车费相同的概率为P=0.40.50.50.30.10.20.37⨯+⨯+⨯= 设甲乙两人所付租车费之和为随机变量为ξ，则分布列为则数学期望()00.210.3720.2830.1340.02 1.4E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 19、解析：（1）连接AC 交BQ 于N ，连接NM 由//AQ BC 得ANQ BNC ∆∆ 12AQ AN BC NC ∴== 根据//,PA MQB PA PAC PAC MQB MN ⊂⋂=平面平面，平面平面//PA MN ∴1133PM AN t PC AC ∴==∴= （2）方法1：空间直角坐标系PAD ABCD PQ AD AD ABCD PQ ABCD PQ BQ BQ AD⊥⊥⊂∴⊥⊥⊥ 平面平面，平面平面，又因此以Q 为原点，AD 所在直线为X 轴，BQ 所在直线为Y 轴，PQ 所在直线为Z轴建立空间坐标系则有(0,0,0),(1,0,0),(0,00Q A P B （）设平面MQB 的法向量为(,,)n x y z =则一定有0,0,//00,0,n QB n MN PA MN n PA x ⋅=⋅=⋅===又令z=1, 同时QP 是平面ABCD 的法向量，因此二面角为1cos ,23n QP n QP πθθ⋅====方法2：三垂线法过M 作//MO PQ QC O 交于，连接ON 因此MO ABCD ⊥平面 又BQ PAD BQ PA ⊥⊥平面，//PA MN ，PQ//MN 则MNO ∠即为所求二面角的平面角4,sin 33MO MO MNO MNO MN π=∠==∠=MN= 20、解析：（1）设(,)P x y ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0， 为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b =，故曲线C 的方程为2214y x +=．（2）①设直线1:l y kx =1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2214y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y并整理得22(4)10k x ++-=，故1212214x x x x k +==-+．以线段AB 为直径的圆过能过坐标原点，则OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2121212()3y y k x x x x =++，于是2212122221630444k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2430k -+=，所以k =． ②由①，21224(1)4k AB x k +=-===+， 将上式中的k 换为1k -得224(1)41k CD k +=+，由于AB CD ⊥,故四边形ABCD 的面积为222218(1)2(4)(41)k S AB CD k k +==++令21k t +=，则222228888(3)(43)499111125994924t t S t t t t t t t ====+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而1(0,1)t ∈，故211252549244t ⎛⎫<--+≤ ⎪⎝⎭，故32225S ≤<， 当直线1l 或2l 的斜率有一个不存在时，另一个斜率为0，不难验证此时四边形ABCD 的面积为2，故四边形ABCD 面积的取值范围是32,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦．21、解析：（1）21()2ln ,'()4F x x ax x F x x a x=++=++在x=1处取得极值，则 '(1)50,5F a a =+==-，因此1'()45F x x x =+-令1'()0,1,4F x x x ===则可知函数在14x =处取得极大值为191()ln 484F =-+（2）选作题：22.（1）根据割线定理有DT DM DB DA ⋅=⋅又12DB OB DO ==且2DA DC = 因此有DT DM DO DC ⋅=⋅（2）由（1）得,DT DCODT MDC DO DM=∠=∠则ODT MDC ∆∆ 得：60DOT DMC ∠=∠= 弦切角1302TMB DOT ∠=∠= ，则30BMC ∠=23.（1）已知参数方程2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩化为普通方程为22184x y +=（椭圆）极坐标方程()22ρθθ-=20x y -+= （2）20x y -+=可知对应的参数方程为22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩带入椭圆方程得：2380t --=则有1283FA FB t t ==（注意参数方程中t 表示任意点到定点的24.（1）122222221a b c a b c a b c ++=∴++=∴++≥ (2)222222222222222122bc ac ab b c a c a b c ab b ac a bc a b c a b c abc abc++++++=≥=++=。
2012年四校联考第三次高考模拟考试数学理科答案
2012年四校联考第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13. 1 14. π34 15. 10 16. 2π三、解答题：17. (Ⅰ)()()1212---=-n n S S n S n n n ……………………………………… 2分n S nn S n n n n -+=--111)2(1≥=--n n b b n n ………………………………………… 6分(Ⅱ) 11=b , n b b n n =--1, 121-=---n b b n n , , 212=-b b 累加得22n n b n +=……………………………………… 10分22nS n =∴ ,()22121≥-=-=-n n S S a n n n …………………… 11分经检验211=a 符合212-=n a n ,212-=∴n a n …………… 12分18. (Ⅰ) ξ可能的取值为8,7,6,5,4,3,2()499217171313===CC C C P ξ ()49122317171213=⨯==CC C C P ξ()4910241717111317171212=⨯+==CC C C CC C C P ξ ()49102251717111317171112=⨯+⨯==CC C C CC C C P ξ()495261717111117171112=+⨯==C C C C C C C C P ξ ()492271717===C C P ξ()491181717===C C P ξ …………………………… 6分(Ⅱ) η可能的取值为,7,6,5,4,3,2 ………………………… 7分()7122723===CC P ξ()723271213===C C C P ξ()2144272213=+==CC C P ξ()2155271213=+==C C C P ξ ()21262712===C C P ξ ()2117==ξP…………………………… 11分 ()4=ξE …………………………… 12分 19. (Ⅰ)设AC 交BD 于O ,连接OEABCD PD 平面⊥ ,AC PD ⊥∴,AC BD ⊥PBD AC 平面⊥∴,又AEC AC 平面⊆,PBD ACE 平面平面⊥∴………………………… 6分(Ⅱ)(方法一) PBD AO ⊥∴4π=∠∴AEO ,设22==AB PD ,则1=OE即1=EBPE ………………………… 12分(方法二)以DA 为x 轴, DC 为y 轴, DP 为z 轴建立空间直角坐标系,如图 平面BDE 法向量为()0,1,1-=n ,设22==AB PD ,()λλλ22,2,2-E)2,2,2(-=PB，令PB PE λ=，则()λλλ22,2,22--=AE ,22=⋅ ,得21=λ 或1=λ（舍），1=BEPE ，……………… 12分20. (Ⅰ) 化简得： ()()2222121λλ-=+-y x①1±=λ时方程为0=y 轨迹为一条直线②0=λ时方程为222=+y x 轨迹为圆③()()1,00,1⋃-∈λ时方程为()1122222=-+λyx轨迹为椭圆④()()+∞⋃-∞-∈,11,λ时方程为()1122222=--λyx轨迹为双曲线.……………………………… 6分(Ⅱ)P ∴=,22λ 点轨迹方程为1222=+yx.21::x x S S OBF OBE =∆∆由已知得1>-∆∆∆OBEOBF OBES S S ,则1121>-x x x ,12121<<∴x x .设直线EF 直线方程为2+=kx y ，联立方程可得：()0682122=+++kx xk23,02>∴>∆k , 21,x x 同号∴2121x x x x =∴221221216,218kx x kk x x +=+-=+ ………………………… 8分设m x x =21 ,则()()⎪⎭⎫⎝⎛∈+=+=+29,46332122221221kkmm x x x x1027232<<k ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈26,1030310303,26k ．．…………………… 12分21. (Ⅰ)当1=a 时，x x x x g ln 3)(2+-=，0132)(2>+-='xx x x g1>x 或21<x 。
海南省海南中学2024届高三第一次模拟数学试题及参考答案
海南省海南中学2024届高三第一次模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4A B ==，则()U B A ⋂=（ ） A ．{}3B ．{}2,4C ．{}2,4,6D ．{}1,2,4,62．若()2,3a =−，()1,2b =−，则()2a a b ⋅+=（ ） A ．5− B ．3−C ．3D ．53．复数13ii 1iz +=−−，则z =（ ）A B C ．2D 4．已知实数列1−、x 、y 、z 、2−成等比数列，则xyz =（ ）A ．B ．±4C ．−D ．±5．刍（chú）甍（méng ）是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为4，底边宽为3，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（ ）A ．27+B ．42+C ．27+D ．42+6．已知函数()f x 为偶函数，其图像在点()()1,1f 处的切线方程为210x y −+=，记()f x 的导函数为()f x '，则()1f '−=（ ） A ．12−B ．12C ．2−D ．27．设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（ ）A ．35B ．45C D 8．双曲线C ：221124x y −=的右焦点为F ，双曲线C 上有两点A ，B 关于直线l ：380x y +−=对称，则FA FB +=（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14B ．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70C ．若样本数据121031,31,,31x x x +++的平均数为10，则数据1210,,,x x x 的平均数为3D ．随机变量X 服从二项分布()4,B p ，若方差()34D X =，则()3164P X == 10．某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数1y x=的图象是双曲线，设其焦点为,M N ，若P 为其图象上任意一点，则（ ）A ．y x =−是它的一条对称轴 BC ．点()2,2是它的一个焦点D ．PM PN −=11．已知函数()32f x ax bx cx d =+++存在两个极值点()1212,x x x x <，且()11f x x =−，()22f x x =．设()f x 的零点个数为m ，方程()()2320a f x bf x c ⎡⎤++=⎣⎦的实根个数为n ，则（ ）A ．当0a >时，3n =B ．当a<0时，2m n +=C ．mn 一定能被3整除D ．m n +的取值集合为{}4,5,6,7三、填空题12．若πtan 34θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ= ．13．设()525012512x a a x a x a x −=+++⋅⋅⋅+，则125a a a ++⋅⋅⋅+= .14．洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列{}n L 为：1,3,4,7,11,18,29,47,76,，即1213L L ==,，且()21n n n L L L n *++=+∈N ．设数列{}n L 各项依次除以4所得余数形成的数列为{}n a ，则2024a = ．四、解答题15．已知质量均匀的正n 面体，n 个面分别标以数字1到n ．(1)抛掷一个这样的正n 面体，随机变量X 表示它与地面接触的面上的数字．若2(X 5).3P <=求n ；(2)在(1)的情况下，抛掷两个这样的正n 面体，随机变量Y 表示这两个正n 面体与地面接触的面上的数字和的情况，我们规定：数字和小于7，等于7，大于7，Y 分别取值0，1，2，求Y 的分布列及期望．16．已知函数2()e (21)e x x f x a ax =−−−. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.17．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，,//BF DE BF DE =，M 是AE 的中点.(1)求证：//EC 平面BDM ；(2)若DE ⊥平面,4,ABCD AB BM CF =⊥，点P 为线段CE 上一点，且13CP CE =，求直线PM 与平面AEF 所成角的正弦值.18．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m −，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ 的周长均为定值； ②当m n >时，记ABQ 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由． 19．在计算机科学中，n 维数组(){}12,,,,0,1,N ,2n i X x x x x i n +=∈∈≥是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于n 维数组()()1212,,,,,,,n n A a a a B b b b ==，定义A 与B 的差为()1122,,,,n n A B a b a b a b A−=−−−与B 之间的距离为1(,)ni i i d A B a b ==−∑．(1)若n 维数组()0,0,,0C =，证明：()()(),,,d A C d B C d A B +≥；(2)证明：对任意的数组,,A B C ，有()(),,d A C B C d A B −−=； (3)设集合(){}{}12,,,,0,1,N ,2,n n i n S X X x x x x i n P S +==∈∈≥⊆，若集合P 中有()2m m ≥个n 维数组，记P 中所有两元素间的距离的平均值为()d P ，证明：()()21mnd P m ≤−．参考答案：1．B【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，则{2,4,6}UA =，而{}2,3,4B =，所以(){}2,4U A B ⋂=. 故选：B 2．B【分析】利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可. 【详解】由题意可知()20,1a b +=， 所以()()220313a a b ⋅+=⨯+−⨯=−， 故选：B 3．D【分析】由复数的运算结合模长公式计算即可. 【详解】因为()()()()13i 1i 13ii=i=1i 1i 1i 1i z +++=−−−+−−+，所以z = 故选：D. 4．C【分析】求出y 的值，利用等比中项的性质可求得结果.【详解】设等比数列1−、x 、y 、z 、2−的公比为()0q q ≠，则210y q =−⨯<，由等比中项的性质可得()()2122y =−⨯−=，所以，y =因此，(33xyz y ===−故选：C. 5．A【分析】由题意可得刍甍的左右两个三角形为全等的等腰三角形，前后两个四边形为全等的等腰梯形，利用勾股定理分别求出三角形和梯形的高，从而可求出各个面的面积，即可得出答案.【详解】解：由题意可得刍甍的左右两个三角形为全等的等腰三角形，前后两个四边形为全等的等腰梯形，=，52=，则一个等腰三角形的面积为1322⨯，一个等腰梯形的面积为()52415222+⨯=，所以此刍甍的表面积为1522432722⨯+⨯+⨯=+故选：A.6．A【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到()1f'，再利用奇函数的的性质求()1f'−.【详解】因为()f x为偶函数，所以()()f x f x=−，两边求导，可得()()''f x f x⎡⎤⎡⎤=−⎣⎦⎣⎦⇒()()()'·f x f x x=−−''⇒()()f x f x=−'−'.又()f x在()()1,1f处的切线方程为：210x y−+=，所以()112f'=.所以()()1112f f''−=−=−.故选：A7．C【分析】设出三个角度的大小关系，结合已知条件求得最小角的正切值，再求正弦值即可.【详解】设π2A B C<<=，根据题意可得cos0C=，且cos cos2cosC A B+=，即2cos cosB A=，又π2A B+=，则2cos2sinB A=，2sin cosA A=，解得1tan2A=，又π0,2A⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A.故选：C.8．B【分析】:30AB x y m −+=，()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为S ， 联立直线方程和双曲线方程后结合对称可得S 的坐标，而2FA FB FS +=，故可求FA FB +. 【详解】()4,4,0c F ==，设AB 的中点为S ，连接FS因为l 为线段AB 的垂直平分线，故可设:30AB x y m −+=，()()1122,,,A x y B x y ，由22112430x y x y m ⎧−=⎪⎨⎪−+=⎩可得2266120y my m −+−=（*）， 故12y y m +=，故()121232x x y y m m +=+−=， 故AB 的中点为,22m m ⎛⎫⎪⎝⎭，因AB 的中点在直线380x y +−=上，故38022m m⨯+−=， 故4m =，此时22362412240m m ∆=−+⨯>，且()2,2S −，故224FA FB FS +== 故选：B.9．BC【分析】由百分位数求解判断A ，由分层抽样判断B ，由平均值性质判断C ，由二项分布性质判断D.【详解】对A ，1060%6⨯=，故第60百分位数为第6和第7位数的均值1416152+=，故A 错误；对B ，由题抽取的高中生抽取的人数为35001007035001500⨯=+，故B 正确；对C ， 设数据1210,,,x x x 的平均数为x ，由平均值性质可知：样本数据121031,31,,31x x x +++的平均数为3110x +=，解得3x =，故C 正确；对D ，由题意可知()3414p p −=，解得14p =或34p =，则()31413271C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭或()3143131C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：BC 10．ABD【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及,a c 即可逐一判断求解.容易知道y x =是实轴，y x =−是虚轴，坐标原点是对称中心， 联立实轴方程y x =与反比例函数表达式1y x=得实轴顶点()()1,1,1,1−−，所以2a c ==，其中一个焦点坐标应为而不是()2,2，由双曲线定义可知2PM PN a −== 故选：ABD. 11．AB【分析】分0a >和0a <两种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，结合图象分析()f x ，()()f f x '的零点分布，进而可得结果,【详解】由题意可知()232f x ax bx c '=++为二次函数，且()1212,x x x x <为()f x '的零点，由()()()()2320f f x a f x bf x c ⎡⎤+⎦'=+=⎣得()1f x x =或()2f x x =， 当0a >时，令()0f x '>，解得1x x <或2x x >；令()0f x '<，解得12x x x <<； 可知：()f x 在()()12,,,x x ∞∞−+内单调递增，在()12,x x 内单调递减， 则1x 为极大值点，2x 为极小值点， 若10x ≥，则120x x −≤<，因为()()12f x f x >，即12x x −>，两者相矛盾，故10x <， 则()2f x x =有2个根，()1f x x =有1个根，可知3n =， 若()220f x x =>，可知1m =，3,4mn m n =+=；若()220f x x ==，可知2m =，6,5mn m n =+=； 若()220f x x =<，可知3m =，9,6mn m n =+=； 故A 正确；当0a <时，令()0f x '>，解得12x x x <<；令()0f x '<，解得1x x <或2x x >； 可知：()f x 在()12,x x 内单调递增，在内()()12,,,x x ∞∞−+单调递减， 则2x 为极大值点，1x 为极小值点， 若20x ≤，则120x x −>≥，因为()()12f x f x <，即12x x −<，两者相矛盾，故20x >，若()110f x x =−>，即10x <，可知1m =，3n =，3,4mn m n =+=； 若()110f x x =−=，即10x =，可知2m =，4n =，8,6mn m n =+=； 若()110f x x =−<，即1>0x ，可知3m =，5n =，15,8mn m n =+=； 此时2m n +=，故B 正确；综上所述：mn 的取值集合为{}3,6,8,9,15，m n +的取值集合为{}4,5,6,8， 故CD 错误； 故选：AB.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解． 12．12/0.5【分析】由两角和的正切公式求解即可.【详解】由πtan 34θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得：πtan tan43π1tan tan 4θθ+=−⋅， 即tan 131tan θθ+=−，解得：1tan =2θ.故答案为：12 13．2−【分析】分别令0x =，1x =即可得解. 【详解】令0x =，则01a =， 令1x =，则01251a a a a +++⋅⋅⋅+=−， 所以1252a a a ++⋅⋅⋅+=−. 故答案为：2−. 14．3【分析】根据递推关系可得{}n a 的周期性，再根据周期性求解即可. 【详解】{}n L 的各项除以4的余数分别为1,3,0,3,3,2,1,3,0,，故可得{}n a 的周期为6，且前6项分别为1,3,0,3,3,2， 所以20246337223a a a ⨯+===. 故答案为：3. 15．(1)6n =.(2)分布列见解析，(Y)1E =.【分析】（1）直接由题意解出即可.（2）设出事件，按古典概型中等可能事件的概率公式求出随机变量各个取值的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）因为42(X 5)3P n <==，所以6n =. （2）样本空间{(,),{1,2,3,4,5,6}}m t m t Ω=∈∣，共有36个样本点. 记事件A =“数字之和小于7”，事件B =“数字之和等于7"， 事件C =“数字之和大于7”.{(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)A =，(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)}，共15种，故155(Y 0)()3612P P A ==== {(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}B =，共6种，故61(Y 1)()366P P B ====； {(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)C =， (4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)}，共15种，故155(Y 2)()3612P P C ====； 从而Y 的分布列为：故515(Y)012112612E =⨯+⨯+⨯= 16．(1)答案见解析； (2)1a >【分析】（1）求出导函数，根据0a ≤和0a >分类讨论求解即可；（2）根据函数()f x 的单调性易知0a >且min ()(ln )0f x f a =<，根据零点存在性定理结合函数的单调性列不等式求解即可.【详解】（1）()()2()2e (21)e 2e 1e x x x xf x a a a =−−−=+−'．①若0a ≤，()0f x '>，()f x 在(,)−∞+∞为增函数； ②若0a >，令()0f x '=，得ln x a =.当(,ln )x a ∈−∞时，()0,()'<f x f x 为减函数， 当(ln ,)x a ∈+∞时，()0,()'>f x f x 为增函数. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(,)−∞+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln )a −∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.（2）当0a ≤时，()f x 在(,)−∞+∞单调递增，不可能有两个零点，不符合题意. 当0a >时，()f x 在(,ln )a −∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增， 因为()f x 有两个零点，必有min ()(ln )(1ln )0f x f a a a a ==−−<， 因为0a >，所以1ln 0a a −−<.令()1ln ,0g a a a a =−−>， 则1()10g a a'=−−<，所以()g a 在(0,)+∞单调递减，而(1)0g =， 所以当1a >时，()0g a <，即min ()0f x <. 又2211112(1)(21)10e e e e e f a a a ⎛⎫−=−−+=++−> ⎪⎝⎭，故()f x 在(1,ln )−a 有1个零点； 当ln 0x a >>时，因为e 1xy x =−−，则e 1xy '=−，由0'>y 得0x >，由0'<y 得0x <，所以函数e 1xy x =−−在()0∞−，单调递减，在()0,∞+单调递增，所以0e 1e 010x x −−≥−−=，即e 1x x >+，故()e 1x ax a −>−−，所以()22()e (21)e e 1e (31)e x x x x xf x a a a a >−−−−=−−+，取ln 3ln x a a =>，有2ln3ln32(ln3)e (31)e 9(31)340a a f a a a a a a a a >−−+=−−+=>， 所以()f x 在(ln ,ln3)a a 有1个零点. 综上所述，当()f x 有两个零点时，1a >. 17．(1)证明见解析；【分析】（1）连接AC 交BD 于N ，连接MN ，通过//MN EC 可证明；（2）建立空间直角坐标系，||DE a =，利用坐标运算通过0BM CF ⋅=求出a ，再利用向量法求线面角.【详解】（1）连接AC 交BD 于N ，连接MN ，因为四边形ABCD 是正方形，故N 为AC 中点，M 是AE 的中点， 所以在ACE △中，有//MN EC ， 又EC ⊄平面,BDM MN ⊂平面BDM ， 所以//EC 平面BDM ；（2）如图，建立空间直角坐标系，设||,||4DE a AB ==， 则(4,4,0),(0,4,0),(4,4,),(4,0,0),(0,0,)B C F a A E a ，又M 是AE 的中点，故2,0,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4,,(4,0,)2a BM CF a ⎛⎫=−−= ⎪⎝⎭，因为BM CF ⊥，所以2802a BM CF ⋅=−+=，解得4a =， 设1(,,),3P x y z CP CE =，即(,4,)CP x y z =−11(0,4,4)33CE ==−，可得840,,33P ⎛⎫⎪⎝⎭，则822,,33PM ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，又(0,4,4),(4,0,4)AF AE ==−，设平面AEF 的一个法向量为()111,,n x y z =，则1111440440n AF y z n AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，令11z =，则111,1x y ==−，即(1,1,1)n =−， 设直线PM 与平面AEF 所成角为θ，则sin cos ,3n MP n MP n MPθ⋅====⋅所以直线PM 与平面AEF .18．(1)答案见解析(2)① 证明见解析；②存在；2()2m n nλ+=【分析】（1）设(),P x y ，由题意可得222221x y n n m +=−，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =−=−.（ⅰ）由//AM BN 可知,,M A M '三点共且BN AM ='，设MM '：x ty =+C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，进而表示出11AM BN+，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由//AM BN 得()8AM BNBQ AM BN−⋅=+，()8BN AMAQ AM BN−⋅=+，进而表示出AQ BQ +，化简计算即可；（ii ）由（ⅰ）可知,,M A M '三点共线，且BN AM ='，设MM '：x sy m =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，计算化简可得22112nAM BN m n+=−，结合由内切圆性质计算即可求解. 【详解】（1）设点(),P x ym n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫−+=− ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=−， 当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线．（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =−=−， （ⅰ）由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +=−，因为//AM BN===因此，,,M A M '三点共线，且BN AM ='，（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++−=，则1313282y y y y t +==−+， 由（1）可知1134,4AM x BN AM x ===='，所以1313131344222222112222x x AM BN AM BN AM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+−−+− ⎪ ⎪ ⎪⎪++==⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21321313442221142y y t y y t y y ⎛⎫−⋅− ⎪++===++，所以11AM BN+为定值1； （法二）设MAx θ∠==AM ，，解得AM ='所以11111AM BN AM AM ='+=+=， 所以11AM BN+为定值1； 由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =−−，8//,AM QM BQ AMAM BN BN BQ BQ−−∴==，解得()8AM BNBQ AM BN−⋅=+，同理可得()8BN AMAQ AM BN−⋅=+，所以()()()8882BN AM AM BNAM BN AM BNAQ BQ AM BNAM BNAM BN−⋅−⋅+−⋅+=+=+++2882611AM BN=−=−=+．因为AB =ABQ 的周长为定值6+．（ⅱ）当m n >时，曲线C 的方程为222221x y n m n −=−，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得,,M A M '三点共线，且BN AM ='， （法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得()()()222222222220m n s n y sm m n y m n ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦，()()()()222221313222222222,sm m n m n y y y y mn s nmn s n−−∴+=−=−−−−，（*）因为2113,m n m mAM x x n BN AM x n n m n n⎛⎫=−=−==− ⎝'⎪⎭，所以1111AM AM AM BN AM AM AM AM ''+=+=⋅'+ 2222131322221313sm m n sm m n m m y y x n x n n n n n n n m m sm m n sm m nx n x n y y n n n n n n ⎛⎫⎛⎫−−⎛⎫⎛⎫+++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()2213222222213132222m n smy y n n m n ms m n m s y y y y n n n −++=−−+++，将（*）代入上式，化简得22112nAM BN m n+=−， （法二）设MAx θ∠=，依条件有2cos AMmn n m AM m θ=⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，解得22cos m n AM n m θ−=−，同理由2cos AM mn n m AM m θ=⎛⎫−− ⎪⎝⎭''，解得22cos m n AM n m θ−+'=，所以2222221111cos cos 2n m n m n AM BN AM AM m n m n m n θθ'−++=+=+=−−−． 由双曲线的定义2BQ QM MA n +−=，得2QM n AM BQ =+−，根据AM QM BN BQ =，解得()2n AM BN BQ AM BN+⋅=+， 同理根据AM AQ BN QN =，解得()2n BN AM AQ AM BN+⋅=+，所以()()2222n BN AM n AM BNAM BNAQ BQ n AM BNAM BNAM BN+⋅+⋅⋅+=+=++++222222211m n m n n n n n AM BN−+=+=+=+，由内切圆性质可知，()12S AB AQ BQ r =++⋅， 当S r λ=时，()2221()222m n m n AB AQ BQ m n nλ++=++=+=（常数）． 因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n nλ+=．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）根据题意，结合新定义判断证明； （2）根据新定义，因为{0,1},1,2,,i c i n ∈=，分0i c =和1i c =两种情况证明；（3）根据题意结合排列组合的知识表示()d P 的式子，然后结合组合数和基本不等式进行放缩即可证得结论.【详解】（1）设A 与B 中对应项中同时为0的有()0x x n ≤≤个，同时为1的有()0y y n x ≤≤−个，则对应项不同的为n x y −−个，所以(),d A B n x y =−−． 所以()()()(),,2,d A C d B C y n x y n x y d A B +=+−−≥−−=； （2）设()()()121212,,,,,,,,,,,n n n n A a a a B b b b C c c c T ===∈，因为()1122,,,n n A C a c a c a c −=−−−，()1122,,,n n B C b c b c b c −=−−−，所以1(,)ni i i i i d A C B C a c b c =−−=−−−∑，因为{}0,1,1,2,,i c i n ∈=．所以当0i c =时，i i i i i i a c b c a b −−−=−，当1i c =时，()()11i i i i i i i i a c b c a b a b −−−=−−−=−， 所以11(,)(,)nni i i i i i i i d A C B C a c b c a b d A B ==−−=−−−=−=∑∑；（3）记集合P 中所有两个元素间距离的总和为(),1,mi j i j d P P =∑，则()2,11(),C mi j i j m d P d P P ==⋅∑．设集合P 中所有元素的第(1,2,,)k k n =个位置的数字共有k t 个1,k m t −个0，则()(),11,mi j k k k ni j d P P t m t ===−∑∑，因为,0k k t m t −>，所以()2224k k k k t m t m t m t +−⎛⎫⋅−≤= ⎪⎝⎭， 所以()()2,11,4mi j k k i j nk nm d P P t m t ===−≤∑∑，所以()22,112(),C (1)42(1)m i j i j m nm mnd P d P P m m m ==⋅≤⋅=−−∑. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答.。
2024届海南省四校高三下学期一模数学试题及答案
海南中学､海口一中､文昌中学､嘉积中学2024届高三联考试题数学时间：120分钟 满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.第I 卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2670,{31}A xx x B x x =--≤=->∣∣，则A B ⋂=（ ）A.[)(]1,24,7-⋃B.[]1,7-C.()()1,24,7-⋃D.()2,42.若古典概型的样本空间{}1,2,3,4Ω=，事件{}1,2A =，事件,A B 相互独立，则事件B 可以是（ ）A.{}1,3B.{}1,2,3C.{}3,4D.{}2,3,43.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ）A.如果α∥,n βα⊂，那么n ∥βB.如果,m n α⊥∥α，那么m n ⊥C.如果m∥,n m α⊥，那么n α⊥D.如果,,m n m n α⊥⊥∥β，那么αβ⊥4.在锐角ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,60a A ==o ，则b 的取值范围是（ ）A.()0,6B.(0,C.D.)5.已知直线:2310l x y +-=的倾斜角为θ，则()πcos πsin 2θθ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭（ ）A.913 B.913- C.613 D.613-6.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件,A B 存在如下关系：()()()()P A P B A P A B P B =∣∣.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）A.4951000 B.9951000 C.1011 D.21227.已知三棱锥O ABC -,,A B C 是球O 的球面上的三个点，且120ACB ∠=o ，2AB AC BC =+=，则球O 的表面积为（ ）A.36πB.24πC.12πD.8π8.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线交C 于,A B 两点，点,A B 在C 的准线上的射影分别为点11,A B ，线段AB 的垂直平分线l 的倾斜角为120o ，若114A B =，则p =（ ）A.12B.1C.2D.4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若1i 2z =+（i 为虚数单位），则下列说法正确的为（ ）A.1z =B.2z z z ⋅=C.3i z =D.220240z z +=10.已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A.若1ω=，则5π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的图象的对称中心B.若()π6f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立，则ω的最小值为2C.若()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则203ω<≤D.若()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则11171212ω≤≤11.已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2132f x f x -=-，当[]0,1x ∈时，()f x x =，则下列结论正确的是（ ）A.函数()f x 的最小正周期为6B.函数()f x 在[]2024,2025上递增C.221()1k f k ==∑D.方程()5log f x x =有4个根第II 卷非选择题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量,a b r r 满足||1,||3,a b a b ==-=r rr r ，则3a b +=r r __________.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35610,42a a S +=-=-，则10S =__________.14.在ABC V 中，()()3,0,3,0,A B CD AB -⊥于D ，若H 为ABC V 的垂心，且9CD CH =u u u r u u u r.则H 到直线80x ++=距离的最小值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）远程桌面连接是一种常见的远程操作电脑的方法，除了windows 系统中可以使用内置的应用程序，通过输入IP 地址等连接到他人电脑，也可以通过向日葵，anyviewer 等远程桌面软件，双方一起打开软件，通过软件随机产生的对接码，安全的远程访问和控制另一台电脑.某远程桌面软件的对接码是一个由“1,2,3”这3个数字组成的五位数，每个数字至少出现一次.（1）求满足条件的对接码的个数；（2）若对接码中数字1出现的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.16.（本小题满分15分）已知函数()2ln 1,f x x a x a =-+∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当0a >时，若函数()f x 有最小值2，求a 的值.17.（本小题满分15分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PCD ⊥平面,ABCD PCD V 是边长为2等边三角形，BC =E 为CD 的中点，点M 为线段PE 上一点（与点,P E 不重合）.（1）证明：AM BD ⊥；（2）当AM 为何值时，直线AM 与平面BDM 所成的角最大？18.（本小题满分17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点()0,2P 在椭圆C 上，过点P 的两条直线,PA PB分别与椭圆C 交于另一点A B ､，且直线PA PB AB ､､的斜率满足()40PA PB AB AB k k k k +=≠.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明直线AB 过定点；（3）椭圆C 的焦点分别为12,F F ，求凸四边形12F AF B 面积的取值范围.19.（本小题满分17分）若有穷数列12,n a a a ⋯（n 是正整数），满足1i n i a a -+=（N i ∈，且)1i n ≤≤，就称该数列为“S 数列".（1）已知数列{}n b 是项数为7的S 数列，且1234,,,b b b b 成等比数列，132,8b b ==，试写出{}n b 的每一项；（2）已知{}n c 是项数为()211k k +≥的S 数列，且1221,,k k k c c c +++⋯构成首项为100，公差为-4的等差数列，数列{}n c 的前21k +项和为21k S +，则当k 为何值时，21k S +取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的S 数列，使得211,2,22m -⋯成为数列中的连续项；当1500m >时，试求这些S 数列的前2024项和2024S .海南中学､海口一中､文昌中学､嘉积中学2024届高三联考题答案数学第I 卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.第II 卷非选择题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.10四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.解：（1）当对接码中一个数字出现3次，另外两个数字各出现1次时，种数为：153533C A 35432160A 321⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯，当对接码中两个数字各出现2次，另外一个数字出现1次时，种数为：25352222C A 35432190A A 2121⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，所有满足条件的对接码的个数为150.（2）随机变量X 的取值为1,2,3，其分布列为：()()1525152525253222232222C A C A C A A A A A A 7621,215015150155P X P X +=======()25A 2315015P X ===故概率分布表为：X 123P71525215故()7225123155153E X =⨯+⨯+⨯=.16.解：（1）当1a =时，()()2ln 1,f x x x y f x =-+=的定义域为()0,∞+，则()12f x x x =-'，则()()1121,11ln1121f f =-==-+='，由于函数()f x 在点()()1,1f 处切线方程为21y x -=-，即1y x =+.（2）()2ln 1,f x x a x a =-+∈R 的定义域为()0,∞+，()222a x af x x x x-=-='，当0a >时，令()0f x '>，解得：x >()0f x '<，解得：0x <<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增，所以，min ()122a f x f a ==-+=，即ln 10222a a a--=则令02at =>，设()()ln 1,ln g t t t t g t t '=--=-，令()0g t '<，解得：1t >；令()0g t '>，解得：01t <<，所以()g t 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()()11ln110g t g ≤=--=，所以12at ==，解得：2a =.（不说明唯一性猜a 值扣3分）17.（1）证明：连接AE ，因为PCD V 是等边三角形，且E 是DC 中点，所以PE CD ⊥，又因为PE ⊂平面PCD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，所以PE ⊥平面ABCD ，又因为BD ⊂面ABCD ，所以BD PE ⊥因为1,2,DE ADDE AD AB AD AB====，所以Rt ,EDA Rt DAB DAE ABD ∠∠=V V ∽，所以π2BAE ABD ∠∠+=，即AE BD ⊥，因为,,BD PE AE PE E AE ⊥⋂=⊂平面,PAE PE ⊂平面PAE ，所以BD ⊥平面PAE ，又因为AM ⊂平面PAE ，所以BD AM⊥另证：（1）因为三角形PCD 是等边三角形，且E 是DC 中点，所以PE CD ⊥，又因为PE ⊂平面PCD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，所以PE ⊥平面ABCD设F 是AB 中点，以E 为原点，EF 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，EP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由已知得()))()(0,0,0,1,0,,0,1,0,E AB D P --，设()0,0,(0M m m <<，则()(),2,0,2200AM m BD AM BD ==-⋅=-+=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以BD AM⊥（2）解：设F 是AB 中点，以E 为原点，EF 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，EP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由已知得()))()(0,0,0,1,0,,0,1,0,E AB D P --，设()0,0,(0M m m <<，则()()(),2,0,0,1,AM m BD DM m ==-=u u u u r u u u r u u u u r设平面BDM 的法向量为(),,n a b c =r，则20n BD b n DM b mc ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u u r r ，令1b =，有1n m ⎛⎫=-⎪⎝⎭r，设直线AM 与平面BDM 所成的角α，所以sin cos ,n AM n AM n AMα⋅===⋅u u u u r r u u u u r ru u u u rr 12=≤（表达式2分，不等式1分）当且仅当1m =时取等号，当2AM =时，直线AM 与平面BDM 所成角最大.18.解：（1）由题设得2222b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得212a =，所以C 的方程为221124x y +=（2）由题意可设():2AB l y kx m m =+≠，设()()1122,,,A x y B x y ，由221124y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2221363120k x kmx m +++-=，()()()222222Δ3641331212124k m k m k m =-+-=-+.由韦达定理得21212223126,1313m mkx x x x k k --=+=++，由4PA PB AB k k k +=得1212224y y k x x --+=，即1212224kx m kx m k x x +-+-+=，所以()()1212220m x x kx x -+-=整理得()()22224mk m m k -=-，因为0k ≠，得220mm --=，解得2m =或1m =-，2m =时，直线AB 过定点()0,2P 舍去；1m =-时，满足()2Δ36410k =+>，所以直线AB 过定点()0,1-.（3）由（2）知121212121||2F AF B S F F y y k x x =-=-===因为2AF k =，所以218k >，所以2108k<<，令(2,t t =∈，所以121F AF B S t==，在(2,t ∈上单调递减，所以12F AF B S的范围是.19.解：（1）设{}n b 的公比为q ，则2223128,4b b q q q ====，解得2q =±当2q =时，数列{}n b 为2,4,8,16,8,4,2当2q =-时，数列{}n b 为2,4,8,16,8,4,2---（2）21121221k k k k k S c c c c c c ++++=+++++L L L L ()122112k k k k c c c c ++++=++-L L 21121221k k k k k S C C C C C C ++++=+++++L L ()()()12100141002k k k ⎛⎫+=⨯++⋅-- ⎪⎝⎭()()20020041100k k k =++-+-22249449491004k k ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭249425012k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当24k =或25时，21k S +取得最大值2500.另解：当该S 数列恰为4，8，.96，100，96，.8,4或0,4,8，96，100，96，8,4,0时取得最大值，所以当24k =或25时，()2149624210025002k S ++⨯=⨯+=.（3）所有可能的“对称数列”是：①221221,2,2,2,2,2,,2,2,1m m m ---⋯⋯；②2211221,2,2,2,2,2,2,2,2,1m m m m ----⋯⋯；③1222212,2,,2,2,1,2,2,,2,2m m m m ----L L ④1222212,2,,2,2,1,1,2,2,,2,2m m m m ----L L （写任意一种情况1分，四种全齐得2分）对于①，当2024m ≥时，2202320242024122221S =++++=-L当15002023m <≤时，212220252024122222m m m m S ----=+++++++L L 1220252122m m m --=-+-1220252221m m m --+--对于②，当2024m ≥时，2024202421S =-当15002023m <≤时，1220242024221m m S +-=--对于③，当2024m ≥时，2024202422m m S -=-当15002023m <≤时，20252024223m m S -=+-对于④，当2024m ≥时，2024202422m m S -=-当15002023m <≤时，20242024222m m S -=+-（写任意一种情况3分，四种全齐得6分，其他每个1分）。
2019届海南省海口四中高三上学期第四次月考数学(理)试卷(PDF版)
海口市第四中学2019届高三年级第四次月考-（理科）(数学)副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.设，则( )A. 0B.C. 1D.3.函数的零点所在区间是( )A. B. C. D.4.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是( )A. B. C. D.6.在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则 ( )A. B. C. D.7.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ( )A.B.C.D.8.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k的值是6，则输入的整数S0的可能值为（）A. 5B. 6C. 8D. 159.对函数的表述错误的是（）A. 最小正周期为B. 函数向左平移个单位可得到C. 在区间上递增D. 点是的一个对称中心10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ( )A. B. C. D.11.如图，在中，，，若，则( )A. B. C. D.12.设是定义在的奇函数，其导函数为，且当时，，则关于的不等式的解集为( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足，则的最大值是______．14.已知曲线，y=2-x，与x轴所围成的图形的面积为S，则S=______．15.若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值是________．16.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m.（取=1.4，=1.7）三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（ 2）若，且的面积为，求．18.已知函数的最大值为1．（1）求常数的值；（2）求函数的单调递增区间及对称轴方程；（3）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．19.如图所示，平面，点在以为直径的上，，，点为线段的中点，点在上，且．（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面；（3）设二面角的大小为，求的值．20.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．21.已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．22.在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，.（1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，与的交点为，求的面积.23.已知（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若存在，使得成立，求的最大值.答案和解析1.【答案】B【解析】略2.【答案】C【解析】略3.【答案】C【解析】略4.【答案】B【解析】略5.【答案】D【解析】略6.【答案】A【解析】略7.【答案】D【解析】略【解析】解：输入的整数S的可能值为8，∵S←8-0，k←0+2；S←8-4，k←2+2；S←4-4，k←4+2．输出k=6．故选：C．的可能值为8，利用算法程序框图即可得出．输入的整数S本题考查了算法程序框图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查二倍角公式以及两角和的正弦函数的应用，正弦函数的性质的应用，考查计算能力．【解答】解：函数f（x）===sin（2x+）．函数的周期为π，A正确；函数y=sin2x向左平移个单位可得到f（x）=sin2（x+）=sin（2x+），B正确；由，可得，f（x）在区间上递增，C正确；x=时，函数f（x）=1，点不是f（x）的一个对称中心，D错误.故选D.10.【答案】B【解析】略11.【答案】A【解析】略【解析】略13.【答案】9【解析】【分析】本题考查利用线性规划求最值（斜率、距离）问题，属于中档题，由约束条件作出可行域，利用z=x+3y 的几何意义，进而求出z=x+3y的最大值.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+3y得，平移直线，由图象可知直线经过点A时，直线的截距最大，由，可得A（-3，4），此时z最大，最大值为9.故答案为9.14.【答案】【解析】解：方法一：，解得：，则A（1，1），则将阴影部分分成两部分，S1=dx==，三角形的面积S2=×1×1=，∴所围成的面积S=+=，故答案为：．方法二：，解得：，则A（1，1），则所围成的面积S=（2-y-y2）dy=（2y-y2-y3）=（2--）=，故答案为：．方法一：求得交点坐标，分别对x进行积分，根据定积分的运算，即可求得阴影部分的面积；方法二：由x=y2，及x=2-y，分别对y进行积分，即可求得阴影部分的面积．本题考查定积分的运算，考查定积分的几何性质，考查转化思想，属于中档题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数图像的平移变换，属基础题.【解答】解：函数，的图象向左平移个单位得到函数==所以+2K，K解得,则的最小值是.故答案为.16.【答案】2650【解析】【分析】本题考查了正弦定理和解三角形的应用.利用正弦定理得，再解三角形计算得结论. 【解答】解：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC 中，，∴．∵CD⊥AD ，∴．故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．故答案为2650.17.【答案】、解：（1）由正弦定理，因为在中，所以所以，所以，又，所以（2），，又由由得或【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数，三角形的面积公式的应用，考查计算能力.属中档题. （1）利用正弦定理两角和的正弦公式求出，再求，即可求出A的值；（2）由面积公式求，再用余弦定理求出的值，即求出b,c.18.【答案】解：（1）∵函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a=cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a≤2+a=1，∴a=-1；（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z，由，得对称轴方程为（3）∴将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴g（x）=f（x+）=2sin[2（x+）+]-1=2sin（2x+）-1．当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最大值为-1，当2x+=时，函数f（x）取得最小值为-2-1=-3．【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域、值域，属于基础题．（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f（x）=2sin（2x+）+a≤2+a=1，可得a=-1．（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数f（x）的单调递增区间，由，得对称轴方程为．（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）=2sin（2x+）-1．再根据x∈[0，]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最值．19.【答案】（1）证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA，因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC，因为OM∥AC，因为AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC，因为OE∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC；（2）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以BC⊥AC，因为PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，因为BC⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB；（3）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间坐标系，因为∠CBA=30，PA=AB=2，所以CB=2cos30°=，AC=1，延长MO交CB于点D，因为OM∥AC，所以MD⊥CB，MD=，CD=CB=，所以P（1，0，2），C（0，0，0），B（0，，0），M（，，0），所以=（-1，0，-2），=（-1，，-2），设平面PCB的法向量=（x，y，z），所以令z=1，则x=-2，y=0，所以=（-2，0，1），同理可求平面PMB的一个法向量=（1，，1），所以,又二面角M－BP－C为锐角，所以.【解析】本题考查面面平行的判定及线面垂直、面面垂直的判定，同时考查利空间向量求二面角.（1）先证明OE∥平面PAC、OM∥平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE∥平面PAC；（2）证明BC⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，可得平面PAC⊥平面PCB；（3）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间坐标系，求出平面PCB的法向量、平面PMB的一个法向量，即可求出二面角M-BP-C的大小.20.【答案】解：（1）（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．∴随机变量X的分布列为：【解析】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题．（1）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．21.【答案】（1）解：∵函数，∴，，∵是的极值点，∴，解得，∴，，当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：当时，，设，则，当时，；当时，，∴是的最小值点，故当时，，∴当时，.【解析】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．（1）推导出，，由是的极值点，得，解得，从而，，由此能求出的单调区间；（2）当时，，设，则，利用导数证明当时，，故当时，.22.【答案】解：（1）展开圆的方程为：,x2+y2-4x-8y=0，把x＝ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得：ρ2-4ρcosθ-8ρsinθ=0，∴的极坐标方程为ρ=4ρcosθ+8ρsinθ.由得ρsinθ=ρcosθ，即y=.（2）将和θ=分别代入C1:ρ=4ρcosθ+8ρsinθ中，得ρ1=2+4，ρ2=4+2，∠MON=，∴S△OMN=·sin∠MON==8+5.【解析】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查直线与圆相交的问题.（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ可求C1极坐标方程和的平面直角坐标系方程；（2）将和θ=分别代入C1:ρ=4ρcosθ+8ρsinθ中，求得ρ1和ρ2的值，根据极径和极角的几何意义，从而求得△OMN的面积.23.【答案】解：（Ⅰ），当时，原不等式转化为，解得．当时，原不等式转化为，无解．当时，原不等式转化为，解得．所以原不等式的解集为；（Ⅱ）由题可知，所以，所以，所以.【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．（Ⅰ）通过分段讨论x的范围，求得各段上的解集后取并集即可；≤2,利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，得到关于a2+b2的不等式，再利（Ⅱ）依题意，f(x)min用基本不等式即可．。
2025届四校联考高三数学期中考试试卷及答案
上海（四校联考）2024学年高三数学第一学期期中考试试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合{}265<0A x x x =-+，{}0,1,2B =，则A B ⋂=___________．【答案】：{}22．已知向量(1,2)a =- ，(3,2)b = ，则b 在a方向上的数量投影为_____________．【答案】：52.53．曲线xy e =在点(01)，处的切线方程为_______．【答案】：1y x =+4．某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为__________．【答案】：1205．二项式6(3x 的展开式中，常数项为_______．【答案】：18-6．关于x 的方程100910152024x x x +++-=的解集为__________．【答案】：{}07．已知>0x ，>0y ，4x y xy +=，则x y +的最小值为________．【答案】：98．《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺.”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为________平方尺．【答案】：41π9．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为2x xe e shx --=，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移12个单位，再向上平移2个单位，得到函数()y f x =的图象，并且数列{}n a 满足条件(2025n na f =，则数列{}n a 的前2024项和2024S =________________．【答案】：202310.已知椭圆Γ：22143x y +=，点1F 和2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则12PF F △内切圆半径的最大值为__________．【答案】：404811.在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+________．【答案】：3312．若关于x 的方程2(ln )20x x e a x x a -⋅-+-=在(0,1]上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是________．【答案】：311(,]3e e二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13．设z C ∈，则1z R z+∈是1z =的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】：B14．在ABC △中，10BC =，M 为BC 中点，4AM =，则AB AC ⋅= （）．A .9-B .16-C .9D .16【答案】：14. A15．已知定义在R 上的函数()y f x =，其导数为()f x '，记()()g x f x '=，且()()4f x f x x --=，()(2)0g x g x +-=，则下列说法中正确的个数为（）．（1）(0)1g =；（2）()f x y x=的图象关于(0,2)对称；（3）()(2)0f x f x +-=；（4）21()nk g k n n==-∑．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】：B16．已知正项数列{}n a 满足1112ln n n n a a a ++=-，下列说法正确的是（）．A ．当10<<1a 时，数列{}n a 单调递减B ．当1>1a 时，数列{}n a 单调递增C ．当10<<1a 时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，01<2n n a D ．当1>1a 时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，0<2n n a 【答案】：D三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.【解析】：（1）成绩在区间[80,100]的比例为：(0.0100.005)100.150.35+⨯=<；（2分）成绩在区间[70,100]的比例为：0.150.04100.550.35+⨯=>，因此65%分位数位于区间[70,80)；（4分）因此入围分数为：0.40.27010750.4-+⨯=，因此入围分数应设为75分；（6分）（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此0,1,2X =，(0)P X =2426C C =25=（8分）1124268(1)15C C P X C ⋅===（10分）(2)P X =2226C C=115=，则X 的概率分布为：01228151515⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（12分）所以X 的数学期望为812[]1215153E X =⨯+⨯=.（14分）18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()y f x =是定义在(1,1)-上的奇函数，并且当0x >时，()cos sin(223x x f x π=⋅+2cos 2x（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求关于x 的不等式21(log 1)()(0)2f x f x f ++-<的解集.【解析】：（1）当01x <<时，()fx 1sin()234x π=-+；（2分）当0x =时，()0f x =；当10x -<<时，0x ->，()()f x f x -=-=1sin(234x π+-；（4分）因此1sin(1234()0, 0133sin()1 0234x x f x x x x ππ⎧-+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+--⎪⎩<<<<；（6分）（2）当(0,1)x ∈时，13336x ππππ---<<<，因此有()y f x =在(0,1)上严格增；（8分）而当0x =时1333sin()02342x π-+=>，因此有()y f x =在(1,1)-上严格增；原不等式可化为：21(log 1)()2f x f x +-<；（10分）而()y f x =是定义在(1,1)-上的严格增函数，所以221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-+⎪⎪--⎨⎪⎪+-⎪⎩<<<<<；（12分）因此不等式的解集为11(,42.（14分）19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱锥P ABC -中AC BC ⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC AC ===，4BC =，E ,F 分别是PC ，PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l.（1）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在AC 的同侧），且直线PQ 与直线EF 所成的角为4π，求平面PBQ 与平面AEF 所成的锐二面角的余弦值.【解析】：（1）证明：BC AC ⊥ ，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =BC ∴⊥平面PAC ；（2分）又E 、F 分别为PB 、PC 的中点，//BC EF ∴；（4分）EF ∴⊥平面PAC ；（6分）（2）BC AC ⊥ ，∴以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,4,0)B，P，1(,0,)22E，1(,2,22F ，而//EF BC ，BC 不在平面AEF 上，EF ⊂平面AEF ，//BC ∴平面AEF ，//l BC ∴，设Q 点坐标为(2,,0)(0)y y ≥，(1,PQ y = ，(0,2,0)EF = ，cos ,PQ EF ∴=2=，即2y =，则Q 点坐标为(2,2,0)；（8分）设平面PBQ 的法向量000(,,)n x y z = ，即0n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取01x =，可得n = ；（10分）设平面AEF 法向量为111(,,)m x y z = ，则0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取11x =，可得m = ；（12分）cos ,5m n ∴== ，即平面PBQ 与平面AEF所成的锐二面角的余弦值为5.（14分）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知点G 是圆22:(1)16T x y ++=上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为(1,0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线OM 、ON 的斜率分别为1k 和2k 且1234k k =-，则MON △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长OP 至Q ，使3OQ OP =，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E于A 、B 两点，求AQB △面积的最大值.【解析】：（1）RH RG =，则42RT RH RT RG GT TH +=+===>，则曲线C 是以(1,0)-和(1,0)为焦点，4为长轴的椭圆；（2分）设椭圆方程为22221x y a b +=，则2,1a c ==，2223b a c =-=，曲线C ：22143x y +=；（4分）（2）设(2cos )M ϕϕ，(2cos )N θθ，则123sin 3sin 2cos 2cos k k ϕθϕθ==⋅34-，即cos()0θϕ-=；（7分）12cos 2cos )2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△为定值；（10分）（3）设点(,)Q x y ，则点(,33x y P ，代入椭圆方程得到曲线E ：2213627x y +=；当直线l 的斜率不存在时：设:([2,2])l x n n =∈-，代入E 中有223274y n =-，则2AQB AOB S S ==≤△△（12分）当直线l 斜率存在时：设:l y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，代入E 的方程：222(43)841080k x mkx m +++-=，则122843km x x k -+=+，2122410843m x x k -=+；（14分）122AQB AOBS S m x x ==-==△△；（16分）而l 与椭圆C 有公共点，代入得：222(43)84120k x kmx m +++-=，由0∆≥有2243k m +≥，记2243m t k =+，则AQB S =≤△，综上，AQB △面积的最大值为.（18分）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()y f x =的表达式为()(2ln )()f x x ax x a R =-∈.（1）当1a =时，求()y f x =的单调增区间；（2）若当1x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：5740472ln1012233420232024+++⨯⨯⨯ >.【解析】：（1）1a =时，2()(2ln )2ln f x x x x x x x =-=-，则()2(ln 1)f x x x '=--（2分）令()ln 1g x x x =--，则1()1g x x'=-，则()g x 在(0,1)上严格减，(1,)+∞上严格增，则()(1)0g x g ≥=，即()f x 在(0,)+∞上严格增，因此函数()y f x =的增区间为(0,)+∞；（4分）（2）()22(1ln )2(ln 1)f x ax x ax x '=-+=--，记()ln 1h x ax x =--，则1()h x a x'=-，若1a ≥，则1a1≤，即1x >时()0h x >，()f x ∴在(1,)+∞上严格增，()(1)1f x f a >=>，满足要求；（6分）若(0,1)a ∈，则11a >，1(1,x a ∈时()0h x <，则1()(1,f x a 在上严格减，故当1(1,x a ∈时，()(1)1f x f a <=<，不满足要求；（8分）若(,0]a ∈-∞，则()0h x <，()f x 在(1,)+∞上严格减，则()(1)1f x f a <=<，不满足要求；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.（10分）（3）由（2）可知1a =时2()2ln 1f x x x x =->，则12ln (1)x x x x <->，取21n x n +=+，则221232ln112(1)(2)n n n n n n n n n ++++<-=+++++，即2322ln (1)(2)1n n n n n ++>+++；（14分）20222022112323420242ln 2ln()2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++∴>=⨯⨯⨯=+++∑∑ ，即572334+⨯⨯40472ln101220232024++⨯ >.。
2024届海南省高三上学期高考全真模拟卷(四)数学试题及答案
2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（四）数学1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.2.考查范围：集合､常用逻辑用语､不等式､三角函数､平面向量､解三角形､函数与导数､数列､立体几何､解析几何.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{1},3,2,1,0,1,2,3A xx B ==---∣…，，则A B ⋂=（ ）A.{}3,2,1,0---B.{}2,1,0,1--C.{}1,0,1,2-D.{}1,0,1-2.若函数()13221x x a f x x ++=⋅+为R 上的偶函数，则实数a 的值为（ ）D.-1C.1B.2A.-23.已知211sin2cos 22αα+=，则tan α=（ ）A.0 B.4 C.-4 D.0或44.已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4，公比为2的等比数列12,,,,m k k k a a a ，其中11k =，则数列{}n k 的通项公式为（）A.21n n k =-B.21n k n =+C.22n n k =-D.21n k n =-5.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中5,1,,0918A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（ ）A.3ω=B.3πϕ=-C.直线512x π=是()f x 图象的一条对称轴D.11,018π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心6.已知函数()22e 4(2)x f x x -=--，则()f x 的图象大致为（ ）B.A.D.C.7.已知圆C 过点()()1,1,5,3，且直线:l x y +=0被圆C C 的圆心在y 轴右侧，则圆C 的面积为（）A.16π B.25π C.36π D.49π8.“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50, ，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（）D.1916C.1912B.1016A.1012二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知0a b >>，则下列不等式正确的是（）A.11a b b a +>+ B.sin sin a b a b ->-C.2a ab > D.22c c a b<10.已知向量()((sin ,cos ,,a b c θθ=== ，则（ ）A.若a ∥b ，则3πθ=B.b 在c 方向上的投影向量为12c C.存在θ，使得a 在c b - 方向上投影向量的模为1D.a b - 的取值范围为[]1,311.已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在6x π=处取得最大值()2,f x 的最小正周期为π，则下列结论正确的是（ ）A.()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.将()y f x =图象上的所有点向右平移3π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到2cos y x =的图象D.将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到2cos y x =的图象12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()sin 1g x xf x =-为奇函数，()()32h x f x =+的图象关于点()0,1对称，则下列说法正确的是（ A.函数()y f x =的图象关于1x =对称B.函数()y f x =的图象关于点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.函数()y f x =的一个周期为4D.20241()2024i f i ==∑三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知双曲线222:1(0)9x y C a a -=>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线C 的焦距为__________.14.已知向量,a b 满足||4,||2,||4a b a b a b λ==-=⋅=-，则λ=__________.15.等差数列{}{},n n a b 前n 项和分别为,n n S T ，且9133S T =，则57a b =__________.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为1,2M 为C 上任意一点，且12MF F 的周长为6，若直线():11l y k x =-+经过定点N ，则1MN MF +的最小值为__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin 3a B b A π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求A 的大小；（2）若AD 为BC 上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.18.（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AD ==，点M 为AB 的中点，点N 是1BB 上靠近1B 的三等分点，1BD 与1B D 交于点O .（1）求证：OM ∥平面11BCC B ；（2）若1CO B D ⊥，求点N 到平面COM 的距离.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()212122,7n n nS n S n n a +-+=+=.（1）求n S ；（2）若5nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ABC ∠∠== ，2222AD PA AB BC ====，点E 为PB 的中点.（1）证明：PB DE ⊥；（2）求直线BD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线1l ：()12y k x =+与直线()22:2l y k x =+与抛物线C 分别交于点,P Q 和点,R S .（1）若112k =，求PQF 的面积；（2）若直线PS 与RQ 交于点A ，证明：点A 在定直线上.22.已知函数()2ln f x x x ax =-.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式()()2e 1xf x a a x x >+--恒成立，求实数a 的取值范围.2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（四）数学·答案3.D 2.A 1.D4.Α8.C 7.B 6.A5.C12.ACD 11.ABD 10.BCD9.ABC13. 14.2或52- 15.13316.317.解：（1）因为sin sin 3a B b A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合正弦定理得，sin sin sin sin ,3A B B A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为sin 0B >，所以sin sin 3A A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1sin sin 2A A A =+，所以tan A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）由题意得，11sin 22ABC S BC AD bc A =⋅= ，故a =.由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，22223216b c b c bc bc bc bc ∴=+--=…，163bc ∴…，当且仅当b c =时取等号，ABC ∴ 面积的最小值为11623⨯=.18.解：（1）连接11,AD BC .易知,O M 分别为线段1,BD AB 的中点，所以OM ∥1AD .又11AB D C =且AB ∥11D C ，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以1AD ∥1BC ，故OM ∥1BC ，又OM ⊄平面111,BCC B BC ⊂平面11BCC B ，故OM ∥平面11BCC B .（2）连接11,B C C N .由题易知1BC =易知O 为1B D 的中点，又1CO B D ⊥，所以1CD B C ==以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则4(0,2,3C M O N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()1,,2,CO CM == .设平面COM 的法向量为()111,,m x y z =，则0,0,m CO m CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111110,20,x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令11x =，则111y z ==，可得()m =.因为42,0,3CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故点N 到平面COM 的距离为53CN m d m ⋅== .19.解：（1）依题意，()()2112221,n n nS n S n n n n +-+=+=+故121n n S S n n+-=+，故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列.而21212212S S a a --==，又27a =，解得13a =，故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为3，则()31221n S n n n=+-⋅=+，则22n S n n =+.（2）由（1）可知，当1n =时，113a S ==；当2n …时，()221122(1)141,3n n n a S S n n n n n a -=-=+----=-=也满足该式，故()*41n a n n =-∈N，故()415n n b n =-⋅，则()1233575115415n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅ ，()234153575115415n n T n +=⋅+⋅+⋅++-⋅ 两式相减得，12445454n T -=⋅+⋅+⋅()3115454155(24)510n n n n n ++++⋅--⋅-=-⋅- ，故()121552n n n T +-⋅+=20.解：（1）法一：连接AE ，在Rt PAB 中，,,.PA AB PE EB PB AE ==∴⊥PA ⊥ 底面,ABCD PA AD ∴⊥.又在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，,PA AB ⊂平面,PAB PA AB A ⋂=，AD ∴⊥平面,PAB AD PB ∴⊥，而,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面ADE ，PB ∴⊥平面ADE ，PB DE ∴⊥.法二：PD BD ===,,PD BD PE BE =∴==又PB DE ∴⊥.（2）以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()1,0,0,0,2,0,0,0,1,1,1,0B D P C ，()()1,2,0,1,1,0,BD DC ∴=-=- ()0,2,1DP =- .设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，0,0,20,0,n DC x y y z n DP ⎧⋅=-=⎧⎪⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 令即令1x =，则()1,1,2n = ，设直线BD 与平面PCD 所成角为θ，则sin|cos,|||||n BDn BDn BDθ⋅=〈〉===.即直线BD与平面PCD21.解：（1）依题意，()1,0F，联立()24,12,2y xy x⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2880y y-+=.设()(),,,P P Q QP x y Q x y，故8,8P Q P Qy y y y+==，故QPQ y=-==，点()1,0F到直线1l的距离d=，故12PQFS=⨯=.（2）设222312123,,,,,444yy yP y Q y R y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，244,4yS y⎛⎫⎪⎝⎭，联立()122,4,y k xy x⎧=+⎨=⎩得211480k y y k-+=，则128y y=.同理可得，348y y=.则直线241112241:444y y yPS y y xy y⎛⎫--=-⎪⎝⎭-，化简得，()141440x y y y y y -++=，①同理可得，直线()2323:4RQ x y y y y y -++=0，②联立①②消去y 可得，()()()()2314142323144y y y y y y y y x y y y y +-+=⎡⎤+-+⎣⎦()()12323412413423144y y y y y y y y y y y y y y y y +--=⎡⎤+-+⎣⎦()()3241231488882,4y y y y y y y y +--==⎡⎤+-+⎣⎦故点A 在直线2x =上.22.解：（1）当1a =时，()2ln ,0f x x x x x =->，所以()ln 12f x x x =+-'，令()()ln 12,0m x f x x x x =-'=+>，可得()1122x m x x x -=-='，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,m x m x '>单调递增；当1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,m x m x '<单调递减，所以当12x =时，()m x 取得极大值，也为最大值，且111ln 11ln 0222m ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，所以()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.（2）由()()2e 1xf x a a x x >+--，得2e ln x a x x x x <-+，即2ln ex x x x x a -+<在()0,∞+上恒成立.令()()2ln ,0,ex x x x x h x x ∞-+=∈+，可得()()()12ln e xx x x h x ---='，令()2ln x x x ϕ=--，可得()111x x x xϕ-=-='，令()0x ϕ'>，可得1x >；令()0x ϕ'<，可得01x <<，所以()x ϕ在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，又()3333e e 2lne e 10ϕ----=--=+>()112ln110,ϕ=--=-<()442ln422ln20,ϕ=--=->所以在()3e ,1-中存在唯一的1x 使得()10x ϕ=，在()1,4中存在唯一的2x 使得()20x ϕ=，即有11222ln 0,2ln 0x x x x --=--=.因为()x ϕ在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，所以当10x x <<时，()0x ϕ>；当11x x <<时，()0x ϕ<；当21x x <<时，()0x ϕ<；当2x x >时，()0x ϕ>.又()()()12ln e xx x x h x ---='()()1,0xx x x ϕ-=>e ，所以当10x x <<时，()0h x '<；当11x x <<时，()0h x '>；当21x x <<时，()0h x '<；当2x x >时，()0h x '>，所以()h x 在()10,x 单调递减，在()1,1x 单调递增，在()21,x 单调递减，在()2,x ∞+单调递增，所以()0,1x ∈时，()h x 的极小值为()1211111ln ,ex x x x x h x -+=()1,x ∞∈+时，()h x 的极小值为()2h x =因为11222ln 0,2ln 0x x x x --=--=，可得1122ln 2,ln 2x x x x -=-=，所以1122ln ln 22e e ,e e x x x x --==，12212e e e ,x x x x ==即所以12212e e e x x x x -==.代入11ln 2x x =-和22ln 2x x =-，则有()()1121111112e e x x x x x x x h x --+==-=2e --，同理可得()22e h x -=-，所以()()12h x h x =，所以2min 21()e e h x -=-=-，所以21e a <-，即实数a 的取值范围为21,e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
海南省2023-2024学年高三下学期学业水平诊断(四)数学含答案
海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（四）数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1A x x =>，()(){}130B x x x =+-<，则()R A B = ð（）A.()3,+∞B.()1,-+∞ C.()1,3- D.(]1,1-2.复数i12iz =-+的虚部为（）A.25B.15-C.1-D.2-3.已知函数()32sin f x x x x =-+，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（）A.0x y -= B.1y = C.20x y += D.20x y -=4.我们平时登录各类网络平台的密码中的不同符号都各自对应一个字节数，若某个密码使用的符号对应的字节数分别为1，2，4，4，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（）A.4B.5C.6D.75.已知{}n a 为等差数列，13521a a a ++=，24636a a a ++=，则6a =（）A.32B.27C.22D.176.将椭圆22122:1x y C a b+=（0a b >>）上所有点的横坐标伸长为原来的m （1m >）倍，纵坐标伸长为原来的n （1n >）倍得到椭圆2C ，设1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则下列说法正确的是（）A.若m n <，则21e e <B.若m n >，则21e e >C.若21e e >，则m n> D.若21e e =，则m n=7.已知正四棱台ABCD EFGH -的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径R =的球O的表面上，则该四棱台的高为（）A.2B.8C.2或12D.4或88.已知函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x -<⎧⎪=--<⎨⎪-⎩≤≥的图象在区间(),t t -（0t >）内恰好有5对关于y 轴对称的点，则t 的值可以是（）A.4B.5C.6D.7二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设α，β是两个平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）A.若αβ∥，m β⊥，则m α∥B.若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C.若m α∥，n α∥，则m n∥ D.若n α⊥，n β⊥，则αβ∥10.已知实数a ，b ，c 满足31a b -<<<-，c a ≠，c b ≠，则（）A.23a b a b +<-<+B.13b a >C.2b aa b+> D.当a c b c -+-最小时，a c b<<11.在平面四边形ABCD 中，已知2AB BC CD ===，且()2BA BC BA ⊥-，()4DA DB BC ⋅+=，则（）A.ABC △B.ACD △的面积为2C.四边形ABCD 为等腰梯形D.BA 在BD方向上的投影向量为12BD -三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.近日海南文旅火爆出圈，海南岛优美的海滨景观和深厚的文化底蕴吸引着全国各地游客前往，小明计划假期去海口、三亚、儋州、文昌、琼海五个城市游玩，每个城市都去且只去一次，若儋州和文昌这两个城市不排在最前面和最后面，则不同的游玩顺序有________种.（用数字作答）13.已知函数()sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]1,m -内恰有3个零点，则m 的取值范围是___________.14.已知P 为双曲线22:14x C y -=的右支上一点，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，O 为坐标原点，若四边形OAPB 为平行四边形，且1PA =，则PB =__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）甲、乙两队进行排球比赛，规则是：每个回合由一方发球，另一方接球，每个回合的胜方得1分，负方不得分，且胜方为下一回合的发球方.无论之前得分情况如何，每个回合中发球方得分的概率均为13，接球方得分的概率均为23，且第一回合的发球方为甲队.（Ⅰ）求第二回合甲队得分的概率；（Ⅱ）设前三个回合中，甲队发球的次数为X ，求X 的分布列及数学期望.16.（15分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △和ABC △均为等腰直角三角形，AC BC =，PA PC =，M 为棱AB 的中点，且PM PA =.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角M PC A --的正弦值.17.（15分）已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，313S =，6364S =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n T ，若12111n n n n b a b a ++++<+，证明：当2n ≥时，1312n n T b -<.18.（17分）（Ⅰ）证明：当1x >时，()2111ln 12x x x x x -⎛⎫<<- ⎪+⎝⎭；（Ⅱ）若过点()0,2-且斜率为k （0k ≠）的直线l 与曲线ln y x =交于A ，B 两点，O 为坐标原点，证明：211OA OB k⋅<+ .19.（17分）在直角坐标系xOy 中，动点P 到直线14x a =-（0a <）的距离等于点P 到点1,04a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的距离，动点Q 在圆22:1O x y +=上，且PQ 的最小值为3214-，设动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）已知圆O 的切线l 与曲线W 交于A ，B 两点，求AB 的最小值.海南省2023—2024学年高三学业水平诊断（四）数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.答案：D命题意图：本题考查集合的表示与运算.解析：因为(],1A =-∞R ð，{}13B x x =-<<，所以()(]1,1A B =-R ð.2.答案：B命题意图：本题考查复数的概念和运算.解析：由()()()i 12i i 2i 12i 12i 12i 5z ----=-==++-，可知虚部为15-.3.答案：A命题意图：本题考查导数的几何意义.解析：因为()32sin f x x x x =-+，所以()2312cos f x x x '=-+，则()00f =，()01f '=，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为y x =，即0x y -=.4.答案：D命题意图：本题考查百分位数的计算.解析：70.75 5.25⨯=，故该组数据的75%分位数是从小到大第6个数据，为7.5.答案：C命题意图：本题考查等差数列的性质解析：由13521a a a ++=，24636a a a ++=，两式相减可得315d =，所以5d =，再由1353321a a a a ++==，可得37a =，所以63371522a a d =+=+=.6.答案：B命题意图：本题考查椭圆的几何性质.解析：由题意，椭圆1C 的焦点在x 轴上，若m n >，则从1C 变换到2C 的过程中，x 轴方向比y 轴方向上的伸长幅度更大，所以2C 比1C 更扁，即21e e >，所以B 正确.若m n <，当2C 的焦点也在x 轴上时，12e e >，当2C 的焦点在y 轴上时，1e 和2e 的大小不确定，所以A ，C ，D 都不正确.7.答案：C命题意图：本题考查正四棱台的结构特征.解析：如图，连接HF ，EG 交于点1O ，连接AC ，DB 交于点2O ，连接12O O ，则由球的几何性质可知，正四棱台的外接球的球心O 必在直线12O O 上.由题意可得112O G EG ==，212O B BD ==，连接OG ，OB ，在1Rt OGO △中，22211OG OO O G =+，即(2221OO =+，得15OO =.在2Rt OBO △中，22222OB OO O B =+，即(2222OO=+，得27OO =.当球心O 在线段12O O 上时（如图），1212O O =，当球心O 在线段21O O 的延长线上时（图略），122O O =.8.答案：C命题意图：本题考查分段函数的图象.解析：因为lg y x =与()lg y x =-的图象关于y 轴对称，所以问题转化为lg y x =的图象与()()11,022,2x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-⎪⎩≤≥的图象在()0,t （0t >）内有5个不同的交点，结合图象可得t 的值可以是6.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.答案：BD命题意图：本题考查空间位置关系的判断.解析：对于A ，由于m β⊥，αβ∥，所以m α⊥，故A 错误；对于B ，由于m α⊥，n α⊥，所以m n ∥，故B 正确；对于C ，若m α∥，n α∥，则m ，n 可能平行、相交或异面，故C 错误；对于D ，若n α⊥，n β⊥，则αβ∥，故D 正确.10.答案：BCD命题意图：本题考查不等式的性质.解析：对于A ，当2a =-，32b =-时，3a b +<-，故A 错误；对于B ，由31a b -<<<-得11133b a a -->>=-，故B 正确；对于C ，因为0b a>，所以2b a a b +=≥，因为a b <，所以等号不成立，故C 正确；对于D ，a c b c -+-最小即数轴上c 到a 和b 的距离之和最小，当且仅当a c b c b a -+-=-时最小，此时a c b <<，故D 正确.11.答案：ABD命题意图：本题考查平面向量与解三角形.解析：对于A ，由()2BA BC BA ⊥-，得()2220BA BC BA BA BC BA ⋅-=⋅-= ，所以21cos 22BA BC BA BC ABC BA ⋅=⋅⋅∠== ，所以1cos 2ABC ∠=，因为0180ABC ︒<∠<︒，所以60ABC ∠=︒，所以ABC △为等边三角形，所以224ABC S =⨯=△A 正确；对于B ，设AD x =，由余弦定理，得222244cos 2224AD CD AC x xADC AD CD x +-+-∠===⋅⋅，由()424xDA DB BC DA DC x ⋅+=⋅==⋅⋅，解得x =222AD AC CD =+，即90ACD ∠=︒，所以122ACD S AC CD =⨯⨯=△，故B 正确；对于C ，因为6090150BCD ACB ACD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，45ADC ∠=︒，60ABC ∠=︒，所以AD 与BC 不平行，AB 与DC 不平行，故C 错误；对于D ，因为BC CD =，150BCD ∠=︒，所以15CBD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以45ABD ∠=︒，则由余弦定理知222232cos 4422282BD BC CD BC CD BCD ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=+=⎪ ⎪⎝⎭，所以BD =+，所以向量BA 在BD方向上的投影向量为231cos 222BD BA ABD BD-∠⋅=⨯，故D 正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案：36命题意图：本题考查排列组合的应用.解析：先从海口、三亚、琼海这三个城市中任选两个安排在最前面和最后面，中间三个位置可以任意排列，所以不同的游完顺序有2333A A 36=种.13.答案：58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭命题意图：本题考查三角函数的性质.解析：当[]1,x m ∈-时，2,333x m πππππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在[]1,m -内恰有3个零点，所以结合正弦函数的性质可得233m ππππ+<≤，所以5833m <≤.14.答案：54命题意图：本题考查双曲线与直线的位置关系.解析：设()00,P x y ，易知双曲线的渐近线的方程为12y x =±，由题意可知PA OB ∥，PB OA ∥.由()001,21,2y x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩得00001,211,42x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩不妨取0000111,242A x y x y ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，同理可得0000111,242B x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则00OA y =-，00OB x y =+，于是220055444x PA PB OB OA y ⋅=⋅=-=，又1PA =，所以54PB =.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.命题意图：本题考查相互独立事件的概率计算、随机变量的分布列和期望.解析：（Ⅰ）所求概率为1122533339⨯+⨯=.（Ⅱ）X 的所有可能取值为1，2，3，()2121339P X ==⨯=，()12222233333P X ==⨯+⨯=，()9113313P X ==⨯=.故X 的分布列为X123P292319X 的数学期望()221171239399E X =⨯+⨯+⨯=.16.命题意图：本题考查面面垂直的证明以及利用空间向量计算二面角.解析：（Ⅰ）设2AC =，如图，取AC 的中点D ，连接MD ，PD .因为M 为AB 的中点，所以MD BC ∥，且112MD BC ==，又AC BC ⊥，所以MD AC ⊥，又PAC △为等腰直角三角形，PA PC =，所以112PD AC ==且PD AC ⊥，所以PDM ∠是二面角P AC B --的平面角.易知PM PA ==222PD DM PM+=，所以90PDM ∠=︒，所以平面PAC ⊥平面ABC .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知PD ，AC ，DM 两两互相垂直，故以D 为原点，DA ，DM ，DP的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.设2AC =，则()1,0,0C -，()0,0,1P ，()0,1,0M ，所以()1,0,1CP = ，()1,1,0CM =.设(),,n x y z =为平面PCM 的法向量，则0,0,CP n x z CM n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取()1,1,1n =- .平面PAC 的一个法向量为()0,1,0m =.因为cos ,3m n m n m n⋅===，所以二面角M PC A --的正弦值为63.17.命题意图：本题考查等比数列的性质及相关运算.解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则36333512713S S q S -===，所以3q =.又()231111313S a q qa=++==，所以11a =，所以13n n a -=.（Ⅱ）因为1112113133313131n n n n n n n n b a b a ++++++++<=<=+++，所以213b b <，323b b <，…，123n n b b --<，13n n b b -<，将上面各式累乘得113n nb b -<.所以当2n ≥时，21123321111131113332n n n n n T b b b b b b b b b b b b -++++-==++++<++++=.18.命题意图：本题考查利用导数与函数证明不等式.解析：（Ⅰ）设()()21ln 1x f x x x -=-+，则()()()2211x f x x x -'=+，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以当1x >时，()()10f x f >=，即()21ln 1x x x ->+.设()11ln 2g x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()2212x g x x -'=-，当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以当1x >时，()()10g x g <=，即11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭.综上可得：当1x >时，()2111ln 12x x x x x -⎛⎫<<- ⎪+⎝⎭.（Ⅱ）由题意可知直线l 的方程为()20y kx k =-≠，设()11,ln A x x ，()22,ln B x x ，不妨设120x x >>，则121x x >.由（Ⅰ）知：当1x >时，()2111ln 12x x x x x -⎛⎫<<- ⎪+⎝⎭，所以12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，整理可得121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即122k x x >+，所以122x x k +>.在11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭替换x可得ln x <，所以12ln x x <=，所以1212ln ln x x x x -<-，即k <，所以1221x x k<.所以()()()()21212121222124OA OB x x kx kx k x x k x x ⋅=+--=+-++ 222121241k k k k k +<-⨯+=+.19.命题意图：本题考查抛物线、圆与直线的综合问题.解析：（Ⅰ）设点P 的坐标为(),x y，由题意得14x a -+=两边平方得2221144x a x a y ⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2x a y -=，即W 的方程为2x a y -=.由题意知动点P 总在圆O外，所以min min 114PQ OP =-=-，所以min 4OP =.又因为OP ===，当12x =-时等号成立，324=，解得118a =-，所以W 的方程为2118y x =+.（Ⅱ）因为l 与W 有两个交点，所以l 不与x 轴平行，设:l x ty m =+，因为l 与圆O1=，所以221m t =+.由2,,x ty m y x a =+⎧⎨=-⎩消去x 可得20y ty m a --+=，易知0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12y y t +=，12y y a m =-.所以12AB y =-==，由（Ⅰ）知118a =-，所以()()22222914442AB t t m a m m m ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，因为221m t =+，t ∈R ，所以21m ≥，即1m -≤或1m ≥.设()22942f m m m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1m -≤或1m ≥.则()()232412923f m m m m m m '=++=+，当1m ≥时，()0f m '>，()f m 单调递增，所以()()1912f m f =≥.当1m -≤时，()0f m '≤，()f m 单调递减，所以()()312f m f -=≥.所以2AB 的最小值为32，AB 的最小值为2.。
海南省四校高三联考试题(英语)无答案.doc
海南省四校高三联考试题国兴中学、海师附中、嘉积中学、三亚一中英语试题本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题]两部分。
考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本试卷满分150分，考试时间为1。
第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案划在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1．5分，满分7．5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．When will the plane take off?A．At5:30．B．At5:15．C．At5:10．2．What will Jane do at 4 o'clock?A．Play tennis．B．Stay at home．C．Look after a patient．3．What are the speakers talking about?A．Only children．B．Life attitudes．C．Making friends．4．How does the man look?A．Very tired．B．Very nervous．C．Very excited．5．What is the woman busy with?A．Preparing for her presentation．B．Writing a report．C．Organizing an interview．第二节（共15小题；每题1．5分，满分22．5分）听下面5段对话或独白。
海南省海口市四中2025届高考数学四模试卷含解析
海南省海口市四中2025届高考数学四模试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ）A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --2．若21i iz =-+，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．3iD ．3i - 3．已知集合{}2(,)|1A x y y x==-，{}(,)|2B x y y x ==，则A B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．04．己知全集为实数集R ，集合A ={x |x 2 +2x -8>0}，B ={x |log 2x <1}，则()R A B ⋂等于（ ） A ．[-4,2] B ．[-4,2) C ．(-4,2) D ．(0,2)5．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ）A ．B ．C ．1D ．26．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ）A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②7．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N*=-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分 B ．充要 C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要 8．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 9．若31n x x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84 C ．57 D ．5610．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ）A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-12．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ） A ．20 B ．30 C ．50 D ．60二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届海南省琼海市四校大联考高三12月数学科试卷(word版)
2023届海南省琼海市四校大联考高三12月数学科试卷(word版)一、单选题(★) 1. 设全集，集合，集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 复数的虚部为（）A．B．C．D．(★★) 3. 展开式中含项的系数为（）A．B．C．D．(★★) 4. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P( X)，则P( X＝4)的值为（）A．B．C．D．(★★★) 5. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，（）A．B．C．D．(★★★) 6. △ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为()A．B．C．D．(★★★) 7. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．如图，AB是圆O的一条直径，且．C，D是圆O上的任意两点，，点P在线段CD上，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知四面体，且，，面面，则四面体的外接球与内切球的表面积之比为（）A．B．C．D．二、多选题(★) 9. 已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（）A．B．C．若，则D．若，则(★★) 10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（）A．1B．C．2D．3(★★★) 11. 已知直四棱柱的底面是菱形，，且二面角的正切值为2，则（）A．B．C．向量在上的投影向量为D．向量在上的投影向量为(★★★) 12. 若曲线C上存在点M，使M到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线是“好曲线”的有（）A．B．C．D．三、填空题(★) 13. 已知，，则实数的值为 ___________ .(★★) 14. 从不包含大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件“抽到红心”，事件“抽到方片”，且，记事件“抽到黑花色”，则 ______ .(★★★) 15. 已知点O是锐角的外心，，，，若，则 ______ ．(★★★) 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是 __________ .四、解答题(★) 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知恰好．．满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．（1）请指出这三个条件（不必说明理由）；（2）求边．(★★) 18. 等差数列的首项，且满足，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和是，求.(★★) 19. 如图,在三棱台中,已知平面平面, , ,(1)求证:直线平面;(2)求平面与平面所成角的正弦值.(★★★) 20. 某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示.2515020025022510050(1)已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；(2)在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布列及数学期望.附：，若，则，，.(★★★) 21. 已知椭圆，过动点的直线交轴于点，交于点（在第一象限），且是线段的中点，过点作轴的垂线交于另一点，连接并延长，交于点.(1)设直线的斜率为的斜率为，证明：为定值；(2)设直线的倾斜角为，求的最小值.(★★★) 22. 已知函数为奇函数．(1)求常数的值；(2)当时，判断的单调性；(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．。
海南省琼海市四校大联考2023届高三12月数学科试题
一、单选题二、多选题1. 若满足不等式，则函数的值域是（ ）A．B．C．D．2.已知集合，则（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有A ．22种B ．24种C ．25种D ．27种4.已知，则（ ）A．B．C．D．5. 已知等边三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）A．B．C．D．6. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为（ ）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．017. 设，，则（ ）A．B．C．D．8. 正方形边长为，为中点，点在上，，则（ ）A．B．C ．5D ．109. 进入21世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了约40%，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤炭能源消耗．下图是2016—2020年中国二氧化碳排放量的统计图表（以2016年为第1年）．利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时，；采用一元线性回归模型拟合时，线性回归方程为，．则下列说法正确的是（ ）海南省琼海市四校大联考2023届高三12月数学科试题三、填空题四、解答题A ．由图表可知，二氧化碳排放量y 与时间x 正相关B ．由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好C ．利用线性回归方程计算2019年所对应的样本点的残差为-0.30D ．利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨10.已知函数，且对任意均有在上单调递减，则下列说法正确的有（ ）A ．函数为偶函数B．函数的最小正周期为C ．若的根为，2，，，则D ．若在上恒成立，则的最大值为11.已知、分别是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的切线交双曲线于点（在第一象限），点在延长线上，则下列说法正确的是（ ）A．B．C ．为的平分线D．的角平分线所在直线的倾斜角为12. 在正方体中，分别为棱上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（ ）A ．当时，平面B．当时，平面C．当时，存在点，使四点共面D．当时，存在点，使三条直线交于同一点13. 已知双曲线C：，圆M ：与C 的一条渐近线相切于点P （P 位于第二象限）．若PM 所在直线与双曲线的另一条渐近线交于点S ，与x 轴交于点T ，则ST 长度为________．14.若，则的取值范围是_________．15. 的内角，，的对边分别为，，，满足.若为锐角三角形，且，则当面积最大时，其内切圆面积为________.16. 已知中角的对边分别为，．(1)求；(2)若，且的面积为，求周长．17. 某公司采用招考方式引进入才，规定必须在、、三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试，否则不被录用，已知考生在每个测试点测试结果互不影响，若考生小李和小王一起前来参加招考，小李在测试点、、测试合格的概率分别为、、，小王在上述三个测试点测试合格的概率都是.（1）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由；（2）假设小李选择测试点、进行测试，小王选择测试点、进行测试，记为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和，求随机变量的分布列及数学期望.18. 如图，在三棱台中，，，．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．19. 已知数列的首项，若向量，，，且．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列，若，求数列的前项和．20. 抛物线的焦点为F，准线为是抛物线上一点，过F的直线交抛物线于A，B两点，直线AP､BP分别交准线于M､N.当，点P恰好与原点O重合时，的面积为4.（1）求抛物线C的方程；（2）记点的横坐标与AB中点的横坐标相等，若，求的最小值.21. 已知在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.。
海南省琼海市嘉积中学2022届高三下学期四校联考数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 设为两个非零向量，则的一个充分条件为（ ）A．B．C．D．2. 已知扇形的周长为，则该扇形的面积S 最大时，圆心角的大小为（ ）．A ．4弧度B ．3弧度C ．2弧度D ．1弧度3. 若三点共线，则（ ）A．B ．5C ．0或D ．0或54.已知函数，则函数的零点个数是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ）A．B．C．D．6.已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（ ）A．B．C．D．8. 如图，由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，半圆的圆心是坐标原点，直径与椭圆的短轴重合，半圆所在的圆过椭圆的焦点，且与轴非正半轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论正确的是（）A ．的长度的最大值是B ．的周长为C ．的面积的最小值是1D．9. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________ .10.已知是偶函数，且当时，.若，则__________.11. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为_________．12. 现有5名党员同志需要到3个社区协助疫情防控的宣传，每名同志只去1个社区，每个社区至少安排1名同志，则不同的安排方法共有______种．海南省琼海市嘉积中学2022届高三下学期四校联考数学试题(高频考点版)海南省琼海市嘉积中学2022届高三下学期四校联考数学试题(高频考点版)13.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求C；(2)若，，在角C的平分线上取点D，且，则点D是否在线段上？请说明理由.14. 已知函数．(1)当时，画出的图象并写出其单调增区间；(2)是否存在实数a，使函数为偶函数？若存在求出a的值，若不存在请说明理由；(3)当时，若，使，求实数a的取值范围．15. （1）设，且．求的值；（2）已知，，用及表示．16. 已知二次函数，集合，其中，b，．(1)若，且，求的解析式；(2)若，，，，求的最小值．。
海南省2022届高三高考全真模拟卷(四)数学试题(1)
一、单选题二、多选题1.记函数的导函数为，的导函数为，则曲线的曲率．若函数为，则其曲率的最大值为（ ）A．B．C．D．2.的内角的对边分别为，若，，的面积为，则（ ）A．B．C．D．3. 在数列中，，数列是公比为的等比数列，则（ ）A．B．C．D．4. 过抛物线C：的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若，则l 的斜率为（ ）A ．2B．C ．1D．5. 已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足++=，则点P 与△ABC 的关系为 ( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点6. 已知直线a 、b ，平面、，且，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 设，是有限集，定义，其中表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“ ”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，，，A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立8. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，，，，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410. 已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，海南省2022届高三高考全真模拟卷（四）数学试题(1)海南省2022届高三高考全真模拟卷（四）数学试题(1)三、填空题四、解答题则（ ）A ．任意，B ．存在，直线与直线相交C ．平面与底面交线长为定值D．当时，三棱锥外接球表面积为11.设同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，若（ ）A ．，则B．，则C．，则的取值范围是D．，则的取值范围是12.已知抛物线的焦点为，准线为，直线与相交于两点，为的中点，则（ ）A ．若，则B ．若，则直线的斜率为C．不可能是正三角形D ．当时，点到的距离的最小值为13. 若全集，集合，则．14.不等式的解集是__________．15. 已知函数的定义域为，且，若为奇函数，，则______.16.在数列中，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和.17. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．18. 已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.(1)求抛物线的方程.(2)证明：(3)设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求.19. 在三棱锥中，，，平面平面，点在棱上.（1）若为的中点，证明：；（2）若三棱锥的体积为，求到平面的距离.20.某研究所为了研究某种昆虫的产卵数与温度之间的关系，现将收集到的温度和一组昆虫的产卵数的6组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计数据．经计算得到以下数据：，．(1)若用线性回归模型来拟合数据的变化关系，求y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；(2)若用非线性回归模型来拟合数据的变化关系，求得关于的回归方程，且相关指数为．①试与（1）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好；②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该组昆虫的产卵数（结果四舍五入取整数）．附参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：，相关系数：．参考数据：．21. 如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面积；（2）求边AC的长.。
高三数学试题-海口市2024届数学调研试题参考答案
机密启用前海口市2024届高三年级调研考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
第9、11题每个正确选项2分；第10题每个正确选项3分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）解：（1）()f x 的定义域为R ，()1e xf x a '=−． …… 2分当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()−∞+∞，上单调递增； …… 4分当0a >时，令()0f x '>，得1ln x a <，令()0f x '<，得1ln x a>，所以()f x 在1(ln )a−∞，上单调递增，在1(ln )a +∞，上单调递减． …… 7分 （2）由()2e 0xf x x a =+−<，得2ex x a +>． …… 9分设2()e xx g x +=，则1()e x x g x +'=−．令()0g x '>，得1x <−，令()0g x '<，得1x >−，所以()g x 在(1)−∞−，上单调递增，在(1)−+∞，上单调递减， 所以当1x =−时，()g x 取最大值(1)e g −=． ……12分 所以e a >． ……13分16.（15分）（1）证：因为四边形11ACC A 是正方形，所以1AA AC ⊥． …… 1分 因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AA ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面ABC AC =，所以1AA ⊥平面ABC ． …… 3分 因为BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥． …… 5分 又因为AB BC ⊥，111AB AA ABB A ⊂，，1ABAA A =，所以BC ⊥平面11ABB A ． …… 7分（2）解：由（1）知，1BA C ∠为直线1A C 与平面11ABB A 所成的角， 即130BA C ∠=︒． …… 8分 正方形11ACC A 的边长为2，所以1A C =BC =所以AB =．（方法一）过点A 作1AD A B ⊥，垂足为D ， 过点D 作1DE A C ⊥，垂足为E ，连结AE ． 因为BC ⊥平面11ABB A ，AD ⊂平面11ABB A ，ACB1BED所以BC ⊥AD ，又1BC A B ⊂，平面1A BC ，1BCA B B =，所以AD ⊥平面1A BC ． ……11分 所以DE 是AE 在平面1A BC 内的射影， 所以由三垂线定可知，1AE A C ⊥，所以AED ∠是二面角1B A C A −−的平面角． ……13分 在直角ADE △中，AE AD ==，所以sin AD AED AE ∠==所以cos AED ∠=， 即二面角1B A C A −−．（方法二）取AC 的中点O ，连结BO ． 因为AB BC =，所以BO AC ⊥， 因为平面11ACC A ⊥平面ABC ， 平面11ACC A 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC 所以BO ⊥平面11ACC A ． 取11A C 的中点1O ，则1OO AC ⊥，以{}1OB OC OO ，，为基底，建立空间直角坐标系O xyz −． ……11分 所以(100)B ，，，(010)C ，，，1(012)A −，，， 所以1(110)(022)BC A C =−=−，，，，，． 设平面1A BC 的法向量为()x y z =，，n ，A则1BC A C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，，n n 即10220BC x y A C y z ⎧⋅=−+=⎪⎨⊥=−=⎪⎩，，n n 取(111)=，，n ． ……12分取平面1A AC 的法向量(100)OB =，，， 设二面角1B A C A −−的大小为θ，则1cos 3OB OBθ⋅===⨯n n ．因为二面角1B A C A −−为锐角，所以cos θ=，即二面角1B A C A −−． ……15分17.（15分）解：（1）因为抛物线C 的准线与x 轴的交点为(10)E −，， 所以12p−=−，即2p =， 所以C 的方程为24y x =． …… 2分显然直线l 的斜率存在且不为0．设直线1l x my =−：，1122()()A x y B x y ，，，， 将直线方程与抛物线方程联立并消去x ， 得2440y my −+=． 所以124y y m +=，124y y =， …… 4分所以12121212121122y y y y k k x x my my +=+=+−−−− 1212121222()24240(2)(2)(2)(2)my y y y m m my my my my −+⨯−⨯===−−−−． …… 8分（2）不妨设1200y y >>，．因为12S S =3，124y y =． ……10分又124y y =，解得1241y y ==，． ……12分 所以2212121744y y x x ++==， 所以1225(1)(1)4AF BF x x +=+++=． ……15分18.（17分） 解：（1）()20E X >．理由如下：记该同学投篮30次投进次数为ξ，则ξ~()2303B ，． 若每次投进得分都为1分，则得分的期望为2()30203E ξ=⨯=． …… 2分由题意比赛得分的规则知，连续投进时，得分翻倍， 故实际总得分)(X E 必大于每次得分固定为1分的数学期望．所以()20E X >． …… 4分 （2）X 的可能取值为：0，1，2，3，7，且()()3110327P X ===；()()2132161C 3327P X ==⨯⨯=；()()221423327P X ==⨯=；()()2122183C 3327P X ==⨯⨯=；()()3287327P X ===．所以，X 的概率分布列为…… 8分所以()164889401237272727272727E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……10分（3）投篮n 次得分为3分，有两种可能的情况：情形一，恰好两次投进，且两次相邻； 情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻．当24n ≤≤时，情形二不可能发生， 故()()()2211211C 4(1)333n nn n P n −−=⨯=−⨯． ……12分当5n ≥时，情形一发生的概率为()()()2211211C 4(1)333n nn n −−⨯=−⨯， ……14分情形二发生是指，将3n −次未投进的投篮排成一列，共有2n −个空位， 选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为()()()33132211C 4(2)(3)(4)333n n n n n n −+−⨯=−−−，所以()()1114(1)4(2)(3)(4)33nn n P n n n n +=−⨯+−−−()13214(92927)3n n n n +=−+−．综上，()()13214(1)234314(92927)5N .3n n n n n P n n n n n +*⎧−⨯=⎪⎪=⎨⎪−+−∈⎪⎩，，，，，，≥ ……17分19.（17分）解：（1）设()f x 的图象上任意一点()P x y ，，则()y f x =， 点P 关于点(ππ)，的对称点为(2π2π)P x y '−−，． 因为(2π)(2π)6sin(2π)2π6sin 2πf x x x x x y −=−−−=−+=−， 所以点(2π2π)P x y '−−，在()f x 的图象上，所以()f x 的图象关于点(ππ)，中心对称． …… 4分 （2）若123a a a ，，是某三角形的三个内角， 则123πa a a +=+，又{}n a 是等差数列，所以2π3a =．所以 1231233123()()()6(sin sin sin )f a f a f a a a a T a a a =++=++−++()11112ππ6sin 6sin π9sin 3a a a a =−−−=−−()1ππ6a=−−+．……8分不妨设13a a≤，则(1π03a⎤∈⎥⎦，，所以(1πππ662a⎤+∈⎥⎦，，所以()(1π1sin162a⎤+∈⎥⎦，，所以(3ππT∈−−．……10分（3）因为{}n a是等差数列，且10012100100πS a a a=+++=，所以当101m n+=时，2πm na a+=，所以sin sin0m na a+=．10010010010011(si)n6i ii iT f a S a===−=∑∑()()()11002995051100π6sin sin sin sin sin sina a a a a a⎡⎤=−++++++⎣⎦100π=．所以，若100100πS=，则100100πT=成立．……14分反之不成立．考虑存在等差数列{}n a，满足50149πa a d=+=，则9999πS=，所以9999πT=．下面证明，存在d，可以使得100()πf a=，且100πa≠．不妨设0d>，因为149πa d+=，所以100199πa a d=+≠．100()π506sin50f a d d−=+．设()6sing x x x=+，其中0x>，因为(π)π0g=>，3π3π()6022g=−<，所以存在()3ππ2ξ∈，，使得()0gξ=，所以存在()π3π50100d ∈，，使得100()πf a =，即100100πT =，但此时100100πS =．所以反之不成立． ……17分。
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国兴中学、海师附中、嘉积中学、三亚一中2017届高三年级联考数 学 试 题（理）注意事项：（1）本试卷分试题卷和答题卡两部分。
请将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效。
（2）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：锥体体积公式：1,3V Sh =其中S 为底面面积，h 为高第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．已知全集U=R ，集合2{|20},{|lg(1)},A x x x B x y x =->==-则()U C A B 等于 ）A ．{|20}x x x ><或B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤≤D ．{|12}x x <≤2．复数211z i i=++-，则复数z 的模等于 （ ）A ．2B ．CD ．43．在2011年3月15日那天，海口市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：ˆ 3.2,yx a =-+则a= （ ）A ．24B ．35.6C ．40.5D ．404．在等比数列{}n a 中，12134,64,n n a a a a -+=⋅=且前n 项和62n S =，则项数n 等于 ）A ．4B ．5C ．6D ．75．设平面区域D 是由双曲线2214y x -=的两条渐近线和直线680x y --=所围成三角形的边界及内部。
当(,)x y D ∈时，2x y +的最大值为（ ）A ．8B ．0C ．-2D ．166．下列四个命题中，正确的是 （ ）A ．对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>； B ．函数()x x f x e e -=-切线斜率的最大值是2；C ．已知ξ服从正态分布2(0,)N σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2;P ξ>=D ．已知函数0()sin ,af a xdx =⎰则[()]1cos1.2f f π=- 7．已知函数()sin f x x =的图象的一部分如下方左图，则下方右图的函数图像所对应的函数解析式为（ ）A ．1(2)2y f x =-B ．(21)y f x =-C ．(1)2x y f =-D ．1()22x y f =-8．过抛物线22y x =的焦点作一条直线与抛物线交于两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线 （ ） A ．有且只有一条 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条 D ．有且只有四条9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A ．12 B ．1C ．32D ．210．设{1,2,3,4},{2,4,8,12}a b ∈∈，则函数3()f x x ax b =+-在区间[1，2]上有零点的概率是 （ ）A ．12 B ．58C ．1116D ．3411．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P在线段AD 1上运动，给出以下四个命题： ①异面直线C 1P 和CB 1所成的角为定值； ②二面角P —BC 1—D 的大小为定值； ③三棱锥D —BPC 1的体积为定值；④直线CP 与直线ABC 1D 1所成的角为定值。
其中真命题的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．定义域为R 的函数()f x 对任意x 都有(2)(2)f x f x +=-，且其导函数'()'()02f x f x x>-满足，则当24a <<，有 （ ） A ．2(2)(log )(2)a f f a f << B ．2(log )(2)(2)a f a f f <<C ．2(2)(2)(log )a f f f a <<D ．2(log )(2)(2)a f a f f <<二、填空题（本题共4个小题。
每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置）13．已知ln ,0()2,0x x f x x x >⎧=⎨+<⎩，则()1f x >的解集为 。
14．如右上图，古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它们有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数 的差为 。
15．已知a 为如右图所示的程序框图输出的结果，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数是 。
16．下图表示了一个由区间（0，1）到实数集的映射过程：区间（0，1）中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为（0，1），如图3，图3中直线AM 与x 轴交于点N n 0，则m 的象就是n ，记作().f m n =下列正确命题的序号是 。
（填出所有正确命题的序号） ①1()0;2f =②()f x 是奇函数；③()f x 在定义域上单调递增；④()f x 的图象关于点1(,0)2对称；三、解答题（本题共6小题，总分70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知(s i n c o ,3c o s ),(c o s s i n ,2s i n )m x x n x x x ωωωωωω=+=-，其中0ω>，若函数()f x m n =⋅，且函数()f x 的图象与直线2y =相邻两公共点间的距离为.π（I ）求ω的值；（II ）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、B 的对边，且3a b c =+=，()1f A =，求ABC ∆ 的面积。
18．（本题满分12分）形状如右图所示的三个游戏盘中（图a 是正方形，图b 是半径之比为1：2的两个同心圆，圆c 是正六边形），各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏。
（I ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？（II ）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望。
19．（本小题满分12分）如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB=1，BC=(0),a a PA >⊥平面ABCD ，且PA=1。
（I ）问当实数a 在什么范围时，BC 边上能存在点Q ，使得?PQ QD ⊥（II ）当BC 边上有且仅有一个点Q 使得PQ OD ⊥时，求二面角Q —PD —A 的余弦值大小。
20．（本题满分12分）已知圆221:(1)8,C x y ++=点2(1,0)C ，点Q 在圆C 1上运动，QC 2的垂直一部分线交QC 1于点P 。
（I ）求动点P 的轨迹W 的方程；（II ）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由。
21．（本小题满分12分）已知函数()ln 3().f x a x ax a R =--∈ （I ）当a=1时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()['()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总存在极值？（III ）当a=2时，设函数2()(2)3,p h x p x x+=-+-若对任意的[1,2]x ∈，()()f x h x ≥恒成立，求实数P 的取值范围。
请考生在第22，23，24三题中任选一道题做答，并在答题卡相应位置上涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本题满分10分）4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB=AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，弦BD//MN ，AC 与BD 相交于点E 。
（I ）求证：ABE ∆≌;ACD ∆ （II ）若AB=6，BC=4，求AE 。
23．（本题满分10分）4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()42πρθ+=圆C的参数方程为cos 2sin x r y r θθ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（θ为参数，0r >） （I ）求圆心C 的极坐标；（II ）当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3。
24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲 （I ）已知x ，y 都是正实数，求证：3322;x y x y xy +≥+（2）已知,,,1a b c R a b c +∈++=且，求证：2221.3a b c ++≥。