2019-2020北邮计算机算法与数学模型(下)期末考试试题

北京邮电大学2019—2020学年第二学期
《计算机算法与数学模型（下）》期末考试试题
班级：学号（学校统一10位）：姓名：
说明：1）本次考试采用开卷方式，答卷时间为2周（2020年06月04日-06月14日），请按时（2020年06月14日之前，逾时将作无效化处理）交卷；2）本课程的考试是一学期课程学习结束的一次综合复习，因此在答题时务必独立完成，除了查阅有关资料外，请避免同学间相互抄袭，如发现雷同答卷，一并作废！3）答卷统一要求以电子文档报告形式完成，建议采用word或wps等较为常用的编辑软件处理（当然，由于实验条件的局限，也可以手写拍照）。

文档版式统一要求A4纸型，正文小4号字体、单倍行距。

请在答卷卷首写清姓名、班级、学号（学校统一10位编号；特别，若采用推荐字处理工具，可以选择基于本试题文档跟题作答）等。

4）凡涉及计算编程的题目，将程序打包、压缩、以“数学模型”+“本人学号”+“姓名”命名，如“数学模型2015212999丁一”，然后发到ftp://10.105.221.24 (用户名：homework,密码：homework) 5) 若由于印刷原因造成试题不清晰，请从http://10.105.221.24/sxjm下载试题的电子文档。

一．模型解释：
1.设G(V,E)为一n-阶（n≥2任意自然数）竞赛图，V={v j|j=1..n}为顶点集，E为边集，构造
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |i=1..n}∪{v i v n+1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |i= (n+2) -阶竞赛图G̃(Ṽ,Ẽ)，其中Ṽ=V∪{v0,v n+1}，Ẽ=E∪{v0v i
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }(竞赛图及完全路径的概念请你查阅有关资料). 试着说明：1）若以Ã表示
1..n}∪{v n+1v0
G̃(Ṽ,Ẽ)的邻接矩阵，试着说明Ã的模最大的特征值λ∗为一正单根，且其关于特征值λ∗特征向量的所有分量具有相同的正负号；2）这里不妨以d∗表示Ã关于特征值λ∗的符合归一化条件的特征向量，试着说明以d∗作为V(Ṽ)的实力进行竞赛图排名的合理性及其优点。

2.一个合理的红绿灯调节方案应当使为每一车流分配的有效通行时间与它的实际流量相适应，简
言之，那些相对繁忙的车流应当有更为充足的通行时间，我们考虑一个具有六车流十字路口的红绿灯调节问题，
不妨设λi(i=1..6)表示六个车流在单位时间内的车流量，则得如下的线性规划模型：
Maxλ1d1+λ2d1+λ3d2+λ4(d2+d3)+λ5(d3+d4)+λ6d4
s.t.d1+d2+d3+d4=60
d1,d2,d2+d3,d3+d4,d4≥10,d3≥0
其中d i(i=1..4)为决策变量，d1,d1,d2,d2+d3,d3+d4,d4表示a..f六个车流在一个红绿灯调节周期（60秒）内的各车流的有效通行时间。

试着分析该（类）模型的主要缺陷，你能给出某种改进的建模方案吗？
3．请阅读“车灯线光源的优化设计”（CUMCM2002 A 题），我们在做适当假设（可以在网上查阅
有关课件）后建立了如下模型：Max
min⁡{ℎB (l )2,ℎC (l )}s.t.{ ℎB (l )=1l ∙∫ℎ̃B (x )∙dx l/2−l/2ℎC (l
)=1l ∙∫ℎ̃C (x )∙dx
l/2−l/2l ∈(0,2p)
请你解释该优化模型目标函数的构造原理及其合理性；
我们还可以将模型中有关约束条件改写为：
{ ℎB (l )=1l ∙∫ℎ̃B (x )∙dx l/2−l/2
=1l ∙∫[ℎ̃B (x )+ℎ̃−B (x )]∙dx l/20ℎC (l )=1l ∙∫[ℎ̃C (x )+ℎ̃−C (x )]∙dx l/20
请你解释其理由，以及这样做从计算机仿真计算的角度有何意义。

题目考虑线光源车灯的优化设计，l 为灯丝长度，车灯的反射镜面为一旋转抛物镜面，在反射镜面正前方一定距离处垂直中心轴线放置一个平面测试屏，B 、C 为测试屏上标定的两点，而−B 、−C 则表示测试屏上B 、C 两点关于反射镜中心轴线对称点。

其它变量符号对应的含义请基于课件做出适宜的解读。

二． 计算题
1． 基于如下赋边权的网络图，选择适当的算法，给出顶点A 到顶点E 的最短路。

2. 选用适当数学软件求解
max
16.87x 1+11.6x 2+6.23x 3+0.78x 4+5.78x 5+14.5x 6+7.01x 7+22x 8s.t {
17.98x 1+10.77x 2+17.95x 3+3.03x 4+11.01x 5+14.57x 6+3.13x 7+19.95x 8≤173612.49x 1+6.54x 2+10.71x 3+11.92x 4+12.26x 5+3.23x 6+16.14x 7+4.98x 8≤20205.17x 1+18.62x 2+4.98x 3+2.5x 4+7.19x 5+7.85x 6+7.03x 7+19.52x 8≤4453.91x 1+19.56x 2+14.22x 3+14.93x 4+11.42x 5+13.0x 6+3.51x 7+3.0x 8≤2034x j (j =1..8)≥0
三． 论证题（以下二题任选其一）
1． 任何一个双向连通的n(n ≥3)阶竞赛图都存在“闭合”的完全路径。

2． 一个无向图是G (V,E)是区间图⇔G 的每个连通分支（连通块）都是区间图。

四． 综合建模题（以下三题任选其一）：
1. 我们就方体的截断切割问题（CUMCM1997 B 题），针对0=e （即加工费用不考虑调整刀具的费用支出）做了建模分析。

这里希望你对0>e 的情形予以讨论，希望你同样将之刻画为一个多阶段动态决策问题，因此，在建模时，你要着意说明决策模型的阶段划分、状态变量与决策变量的选择或含义、权函数、状态转移方程、求解算法构造等。

2. 就节水洗衣问题（CUMCM1996B 题，原题请见：
http://10.105.221.24/sxjm/contest/source/cumcm1996/cumcm96B.PDF ），
基于某种适当的假设，可建立如下模型：
min
a ∙m +∑v i n
i=1
s.t { (b ∙∏a ∙m a ∙m +v i n i=1)/m
≤c v min ≤v i ≤v max
i =1..n
n ∈N
这里 n 表示总的洗涤轮数，v i (i =1..n)表示第i 轮洗涤时的加水量。

而a 、b 、c 、m 均为模型参数，m 表示洗涤衣物的总质量。

通过分析，也可得到结论：“在总用水量a ∙m +V total 一定的条件下，平均分配每次加水量，实现的洗涤效果最好”。

因此我们尝试某种理想化分析方法，n 、v i (i =1..n)均非负且可以连续取值，则可得最小洗衣用水量为：
a ∙m ∙n ∙(√
b (
c ∙m)⁄n
−1)(这里c ∙m <b )
即关于 n 的一个单调递减的函数，进而得到的结论是，在洗衣时，尽可能增加洗涤轮数（无穷大）、减小每轮洗涤的加水量（无穷小），可以做到最大限度的节水。

但这是不合常理的。

尝试分析上述模型的缺陷所在，建立某种改进的节水洗衣模型。

3.新冠疫情看世界：疫病发生与传播几乎伴随人类全部的演进历程，对人类造成了非常大的伤害，
同时也非常任性地改写人类历史发展的进程。

新冠肺炎目前演变为全球范围内的大型传染病，有观点认为其构成上世纪第二次世界大战之后人类遭遇的最为严重的全球性世界。

传染病有其特殊的运行机理，请查阅相关文献，给出传染病流行与控制模型；并试着用该模型解释近期新冠肺炎的传播规律；许多专业网站汇总了世界各国新冠肺炎的患病、治愈（或死亡）的动态数据，请选择一些你比较关注的国家，考查这些国家在疫病流行上表现出的动力学行为的同一性与差异性，特别，对可能存在的差异性，希望你能给出形成这种差异的主要原因。