全国高中数学联赛一试训练4
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。
为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。
请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。
解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。
墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。
因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。
用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。
因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。
当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。
当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。
所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。
因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。
2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。
求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。
全国高中数学联赛模拟试题及参考答案
全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由ABC ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将ABC ∆分 割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++,且123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC ∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i ABC ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a bc =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.全国高中数学联赛训练题(1)参考答案:令3xt =,[0,3]x ∈则3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而'()3(3)(3)g t t t =-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.:设2a t =,则由21n n n a a a ++=-依次写出数列{}n a 的前8项为:1,,1,1,,1,1,t t t t t - - - - .于是易知:该数列是以周期6T =的一个周期数列,故由20002000a =可得20006333222000a a a t ⨯+====,从而2010335661120001999a aa t ⨯===-=-=-,即20101999a =-. :由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x AB ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.:由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4.:由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c x a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.:设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k ka c =,2k k k k ce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n n n a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.:如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=.:设三角形最多有n 个,则根据角度相等可得20072n πππ⨯+=⨯,故2200714015n =⨯+=.: 令1122(,),(,)M x y N x y ,设点(,0)A a ,则由(,0)2p F 得12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实根,即是说12,x x 是方程22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-. 故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.:当(0,)2πθ∈时,函数s i n y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数t a n y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有s i n c o s s i n c o s θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.:设123123a a a b b b p ++=++=,122331122331a a a a a a bb b b b b q ++=++=,且123a a a r =,123'b b b r =, 则123,,a a a 是函数32()f x x px qx r =-+-的零点,123,,b b b 是函数32()'g x x px qx r =-+-的零点.不妨设123123,a a a b b b ≤≤ ≤≤,则由123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤知11a b ≤. 而1()0f a =,1111213()()()()0g a a b a b a b =---≤,故11()()g a f a ≤,即3232111111'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-,故3232333333'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-, 即33()()g a f a ≤,也即是33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=.若33a b >,则313233()()()0a b a b a b --->,这与33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=矛盾! 所以有123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.:由西姆松定理知,,P Q R 共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有DAC DPR DPQ ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PRDB DA DP PR BA BC DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅.从而PR QR =的充要条件是DA BABC =.又由角平分线的性质得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. :由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,即可得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=.2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. :由640p q r s +++=,及,,,p q r s 是不同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故332(1)26402p q r s p q s qs q s +++=++=-++=,即有(32)(34)3857719q s ++==⨯⨯于是得3419,3272s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====. :所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.第二步说明26n =是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中 王全 710061 wangquan1978@。
2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛一试试题(解析版)
2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛一试试题考试时间:8:00-9:20填空题(1-8题每题8分，第9题16分，第10，11题每题20分，共120分)1．设整数集合{}12345A a a a a a =，，，，，若A 中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为{}30,15,10,6,5,3,26,10,15B =------，，则集合A =.2．已知函数()201ln 102x x f x x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，，若关于x 的方程()()f f x m =恰有三个不相等的实数根123,,x x x 且满足123x x x <<，则()1229ln 4x x ++的取值范围是.3．从1,2,,2024 中任取两个数()a b a b ≤，，则37a b +的值中，个位数字为8的数有个.4．设复数z 满足32i 6z -=，令21107457iz z z z -+=-+，则1z 的最大值是.5．已知函数()*,1,,,N ,,,x x f x q q x p q p q p q p p ⎧⎪=+⎨=∈>⎪⎩若为无理数若其中且互质，则函数()f x 在区间89,910⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最大值为.6．对于0c >，若非零实数a b ，满足224240a ab b c -+-=，且使2a b +最大，则342a b c -+的最小值为.7．已知函数()44cos sin sin4f x x x a x b =++-，且π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数.若方程+=0在[]0,π上有四个不同的实数解1234，，，x x x x ，则12344x x x x f +++⎛⎫ ⎪⎝⎭的平方值为.8．已知{}1,2,,2625A ⊆ ，且A 中任意两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，则A 的最大值为.9．设多项式202320240()i i f x x cx ==+∑，其中{}1,0,1i c ∈-.记N 为()f x 的正整数根的个数（含重根）.若()f x 无负整数根，N 的最大值是.10．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 上的一点，且11,A EF =为截面1A BD 上的动点，则AF FE +的最小值等于.11．数列{}n a 定义如下：设()()2!!2024!n n n +写成既约分数后的分母为(),n A n a 等于()2A n 的最大质因数，则n a 的最大值等于.2024年全国高中数学联赛北京赛区预赛二试试题考试时间:9:40-12:3012．设,,a b c 是三个正数，求证：++13．如图所示，锐角ABC V 的三条高线AD ，BE ，CF 交于点H ，过点F 作//FG AC 交直线BC 于点G ，设 CFG 的外接圆为O O ，与直线AC 的另一个交点为P ，过P 作//PQ DE 交直线AD 于点Q ，连接OD ，OQ .求证:OD OQ =.14．有n 个球队参加比赛，球队之间的比赛计划已经安排好了.但是每场比赛的主场客场还没有分配好.这时每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数.最终组委会发现这些次数加在一起恰好是比赛的总场次，并且组委会还发现任意挑出若干支球队，他们能够接受的客场次数之和都要大于等于他们之间的比赛总场次.请问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意，请证明你的结论.15．设12n a a a ，，，为n 个两两不同的正整数且12n a a a 恰有4048个质因数.如果12n a a a ，，，中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方，求n 的最大值.1．{}2,1,1,3,5--【分析】依据总的乘积，绝对值最大的乘积，绝对值最小的乘积去分析集合A 中的各元素即可.【详解】A 中所有三元子集共有35C 10=个，A 中的每个元素在这些三元子集中均出现了10365⨯=次，故()()()()()()()612345301510653261015a a a a a =-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯，1234530a a a a a =，因为集合B 中的元素有6个负数4个正数，故集合A 中的元素有2个负数3个正数，所以1234530a a a a a =，不妨设12345a a a a a ≤≤≤≤，三个元素之积绝对值最大时，34530a a a =-，121a a =-，又A 为整数集合，所以11a =，21a =-或者11a =-，21a =；三个元素之积绝对值最小时，1232a a a =，又121a a =-，所以32a =-，4515a a =，因为集合A 中的元素有2个负数3个正数，故4a 、5a 均为正整数，所以43a =，55a =，故{}2,1,1,3,5A =--.故答案为：{}2,1,1,3,5--.【点睛】关键点点睛：本题考查集合的子集，关键是理解题目的意思，并从“总的乘积，绝对值最大的乘积，绝对值最小的乘积”这些不同的角度去分析集合A 中的各元素.2．11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】求出嵌套函数解析式4,2,1(())ln 2,20,211ln ln 11,022x x f f x x x x x ⎧⎪+<-⎪⎪⎪⎛⎫=+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤⎛⎫++≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩，作出其图象，得到0ln 2m ≤<，化简得()121ln 229221ln 4ln 2x x m ⎛⎫- ⎪+=- ⎪++ ⎪⎝⎭，设右边为新函数，根据其单调性得到范围.【详解】当2x <-时，则20x +<，则()()224f f x x x =++=+，当20x -≤<时，022x £+<，则()()()11ln 21ln 222f f x x x ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当0x ≥时，()()11ln ln 1122f f x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即4,2,1(())ln 2,20,211ln ln 11,022x x f f x x x x x ⎧⎪+<-⎪⎪⎪⎛⎫=+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤⎛⎫++≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩方程(())f f x m =恰有三个不相等的实数根等价于直线y m =与函数(())y f f x =的图象有三个不同交点，因此0ln 2m ≤<.此时14x m +=且21ln 22x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则14x m =-，()2ln 4ln 2x m +=+，从而()121ln 22921221ln 4ln 2ln 2x m x m m ⎛⎫- ⎪++==- ⎪+++ ⎪⎝⎭，设()1ln 2221ln 2h m m ⎛⎫- ⎪=- ⎪+ ⎪⎝⎭，则其在[0,ln 2)上单调递增，因此()1229ln 4x x ++的取值范围是11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,1ln 22ln 2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用分段函数的解析式求出()()y f f x =的表达式，然后利用转化法、数形结合思想进行求解.。
2022年全国高中数学联赛试题及解析 苏教版4
2021年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(此题总分值36分，每题6分)1．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cos θ=0有重根，那么θ的弧度数为 ( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π122．M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．假设对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，那么b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4]4．设点O 在∆ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC =→0，那么∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为( ) A ．2 B ．32 C ．3 D ．535．设三位数n=¯¯¯abc ，假设以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，那么这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 6．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA的中点，那么当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为( ) A ．53 B ．253 C ．63 D ．263二．填空题(此题总分值54分，每题9分)7．在平面直角坐标系xOy 中，函数f (x )=a sin ax +cos ax (a >0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g (x )= a 2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；8．设函数f ：R →R ，满足f (0)=1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )－f (y )－x +2，那么f (x )= ；9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1—A 1的度数是 ； 10．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，那么k= ；11．数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，那么n∑i=01a i的值是 ；12．在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为 ； 三．解答题(此题总分值60分，每题20分)13．一项“过关游戏〞规那么规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数的和大于2n，那么算过关．问：⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？B 1A 1BCD AC 1D 1⑵ 他连过前三关的概率是多少？14．在平面直角坐标系xOy 中，给定三点A (0，43)，B (－1，0)，C (1，0)，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB 、AC 距离的等比中项．⑴ 求点P 的轨迹方程；⑵ 假设直线L 经过∆ABC 的内心(设为D )，且与P 点轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围．15．α，β是方程4x 2－4tx －1=0(t ∈R )的两个不等实根，函数f (x )=2x －t x 2+1的定义域为[α，β]．⑴ 求g (t )=max f (x )－min f (x )；⑵ 证明：对于u i ∈(0，π2)(i=1，2，3)，假设sin u 1+sin u 2+sin u 3=1，那么1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)<364． 二试题一．(此题总分值50分)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．二．(此题总分值50分)在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x (x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n，直线A n B n 在x轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N *．⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N *；⑵ 证明有n 0∈N *，使得对∀n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1b n<n －2021． 三．(此题总分值50分)对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．EFBCDAGHK2021年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(此题总分值36分，每题6分)1．设锐角θ使关于x 的方程x 2+4x cos θ+cot θ=0有重根，那么θ的弧度数为 ( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π12解：由方程有重根，故14∆=4cos 2θ－cot θ=0，∵ 0<θ<π2，⇒2sin2θ=1，⇒θ=π12或5π12．选B ．2．M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．假设对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，那么b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ． 3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，⇒x ∈[2，4)，选C ．4．设点O 在∆ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC =→0，那么∆ABC 的面积与∆AOC 的面积的比为( ) A ．2 B ．32 C ．3 D ．53解：如图，设∆AOC=S ，那么∆OC 1D=3S ，∆OB 1D=∆OB 1C 1=3S ，∆AOB=∆OBD=1.5S ．∆OBC=0.5S ，⇒∆ABC=3S ．选C ．5．设三位数n=¯¯¯abc ，假设以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，那么这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．6．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，那么当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，⇒PB ⊥AB ，⇒AB ⊥面POB ，⇒面PAB ⊥面POB ． OH ⊥PB ，⇒OH ⊥面PAB ，⇒OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，⇒PC ⊥面OCH ．⇒PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．1ABPO H C而∆OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)． 当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30︒，OB=PO tan30︒=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=α，那么V P —AOB =16R 3sin αcos α=112R 3sin2α，V B －PCO =124R 3sin2α．PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2α=11+cos 2α=23+cos2α．⇒V O －PHC =sin2α3+cos2α⨯112R 3． ∴ 令y=sin2α3+cos2α，y '=2cos2α(3+cos2α)－(－2sin2α)sin2α(3+cos2α)2=0，得cos2α=－13，⇒cos α=33， ∴ OB=263，选D ．二．填空题(此题总分值54分，每题9分)7．在平面直角坐标系xOy 中，函数f (x )=a sin ax +cos ax (a >0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g (x )= a 2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；解：f (x )= a 2+1sin(ax +ϕ)，周期=2πa ，取长为2πa，宽为2a 2+1的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填2πaa 2+1．又解：∫ϕ1ϕ0a 2+1[1－sin(ax +ϕ)]dx=a 2+1a∫π2(1－sin t )dt=2pa a 2+1．8．设函数f ：R →R ，满足f (0)=1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )－f (y )－x +2，那么f (x )= ；解：令x=y=0，得，f (1)=1－1－0+2，⇒f (1)=2．令y=1，得f (x +1)=2f (x )－2－x +2，即f (x +1)=2f (x )－x ．① 又，f (yx +1)=f (y )f (x )－f (x )－y +2，令y=1代入，得f (x +1)=2f (x )－f (x )－1+2，即f (x +1)=f (x )+1．② 比较①、②得，f (x )=x +1． 9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1—A 1的度数是 ； 解：设AB=1，作A 1M ⊥BD 1，AN ⊥BD 1，那么BN ·BD 1=AB 2，⇒BN=D 1M=NM=33．⇒A 1M=AN=63．∴ AA 12=A 1M 2+MN 2+NA 2－2A 1M ·NA cos θ，⇒12=23+23+13－2⨯23cos θ，⇒cos θ=12．⇒θ=60︒．10．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，那么k= ；解：设k 2－pk=n ，那么(k －p 2)2－n 2=p 24，⇒(2k －p +2n )(2k －p －2n )=p 2，⇒k=14(p +1)2．11．数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，那么n∑i=01a i的值是 ；MNB 1A1BC D AC 1D 1解：1a n +1=2a n +13，⇒令b n =1a n +13，得b 0=23，b n =2b n －1，⇒b n =23⨯2n ．即1a n =2n +1－13，⇒n∑i=01a i =13(2n +2－n －3)．12．在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为 ；解：当∠MPN 最大时，⊙MNP 与x 轴相切于点P (否那么⊙MNP 与x轴交于PQ ，那么线段PQ 上的点P '使∠MP 'N 更大)．于是，延长NM 交x轴于K (－3，0)，有KM ·KN=KP 2，⇒KP=4．P (1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点P 的横坐标=1． 三．解答题(此题总分值60分，每题20分) 13．一项“过关游戏〞规那么规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n次，如果这n 次抛掷所出现的点数的和大于2n，那么算过关．问：⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？ ⑵ 他连过前三关的概率是多少？解：⑴ 设他能过n 关，那么第n 关掷n 次，至多得6n 点，由6n >2n，知，n ≤4．即最多能过4关．⑵ 要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．第一关过关的概率=46=23；第二关过关的根本领件有62种，不能过关的根本领件有为不等式x+y ≤4的正整数解的个数，有C 24个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1－662=56；第三关的根本领件有63种，不能过关的根本领件为方程x +y +z ≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C 38=8⨯7⨯63⨯2⨯1=56种，不能过关的概率=5663=727，能过关的概率=2027；∴连过三关的概率=23⨯56⨯2027=100243．14．在平面直角坐标系xOy 中，给定三点A (0，43)，B (－1，0)，C (1，0)，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB 、AC 距离的等比中项．⑴ 求点P 的轨迹方程；⑵ 假设直线L 经过∆ABC 的内心(设为D )，且与P 点轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围．解：⑴ 设点P 的坐标为(x ，y )，AB 方程：x －1+3y4=1，⇒4x －3y +4=0， ① BC 方程：y=0， ② AC 方程：4x +3y －4=0， ③∴ 25|y |2=|(4x －3y +4)(4x +3y －4)|，⇒25y 2+16x 2－(3y －4)2=0，⇒16x 2+16y 2+24y －16=0，⇒2x 2+2y 2+3y －2=0．或25y 2－16x 2+(3y －4)2=0，⇒16x 2－34y 2+24y －16=0，⇒8x 2－17y 2+12y －8=0．∴ 所求轨迹为圆：2x 2+2y 2+3y －2=0， ④或双曲线：8x 2－17y 2+12y －8=0． ⑤但应去掉点(－1，0)与(1，0)．⑵ ∆ABC 的内心D (0，12)：经过D 的直线为x=0或y=kx +12． ⑥(a ) 直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；(b ) k=0时，直线y=12与圆④切于点(0，12)，与双曲线⑤交于(±582，12)，即k=0满足要求．(c ) k=±12时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．(c ) k ≠0时，k ≠12时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k 2)x 2－5kx －254=0．当8－17k 2=0或(5k )2－25(8－17k 2)=0，即得k=±23417与k=±22．∴ 所求k 值的取值范围为{0，±23417，±22}．15．α，β是方程4x 2－4tx －1=0(t ∈R )的两个不等实根，函数f (x )= 2x －t x 2+1的定义域为[α，β]．⑴ 求g (t )=max f (x )－min f (x )；⑵ 证明：对于u i ∈(0，π2)(i=1，2，3)，假设sin u 1+sin u 2+sin u 3=1，那么1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)<364． 解：⑴ α+β=t ，αβ=－14．故α<0，β>0．当x 1，x 2∈[α，β]时，∴ f '(x )= 2(x 2+1)－2x (2x －t )(x 2+1)2=－2(x 2－xt )+2(x 2+1)2．而当x ∈[α，β]时，x 2－xt <0，于是f '(x )>0，即f (x )在[α，β]上单调增．∴ g (t )= 2β－t β2+1－2α－t α2+1=(2β－t )(α2+1)－(2α－t )(β2+1)(α2+1)(β2+1)=(β－α)[t (α+β)－2αβ+2]α2β2+α2+β2+1=t 2+1(t 2+52)t 2+2516=8t 2+1(2t 2+5)16t 2+25 ⑵ g (tan u )= 8sec u (2sec 2u +3)16sec 2u +9=16+24cos 2u 16cos u +9cos 3u ≥16616+9cos 2u ，∴ 1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)≤1166[16⨯3+9(cos 2u 1+cos 2u 2+cos 2u 3)]= 1166[75－9(sin 2u 1+sin 2u 2+sin 2u 3)]而13(sin 2u 1+sin 2u 2+sin 2u 3)≥(sin u 1+sin u 2+sin u 33)2，即9(sin 2u 1+sin 2u 2+sin 2u 3)≥3． ∴1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)≤1166(75－3)= 364．由于等号不能同时成立，故得证．二试题一．(此题总分值50分)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．解：∵ BC=25，BD=20，BE=7， ∴ CE=24，CD=15．∵ AC ·BD=CE ·AB ，⇒ AC=65AB ， ①∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，⇒B 、E 、D 、C 共圆，⇒AC (AC －15)=AB (AB －7)，⇒65AB (65AB －15)=AB (AB －18)，∴ AB=25，AC=30．⇒AE=18，AD=15． ∴ DE=12AC=15．延长AH 交BC 于P ， 那么AP ⊥BC ． ∴ AP ·BC=AC ·BD ，⇒AP=24． 连DF ，那么DF ⊥AB ，∵ AE=DE ，DF ⊥AB ．⇒AF=12AE=9．∵ D 、E 、F 、G 共圆，⇒∠AFG=∠ADE=∠ABC ，⇒∆AFG ∽∆ABC ， ∴ AK AP =AF AB ，⇒AK=9⨯2425=21625． 二．(此题总分值50分)在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x (x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n，直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N *．⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N *；⑵ 证明有n 0∈N *，使得对∀n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1b n<n －2021． 解：⑴ 点A n (0，1n )，B n (b n ，2b n )⇒由|OA n |=|OB n |，⇒b n 2+2b n =(1n)2，⇒b n =1+(1n)2－1(b n >0)．∴ 0<b n <12n 2．且b n 递减，⇒n 2b n =n (n 2+1－n )= n n 2+1+n=11+(1n)2+1单调增．∴ 0<n b n <12．⇒令t n =1n b n>2且t n 单调减．由截距式方程知，b na n +2b n1n=1，(1－2n 2b n =n 2b n 2) ∴ a n =b n 1－n 2b n =b n (1+n 2b n )1－2n 2b n =1+n 2b n n 2b n =(1n b n )2+2(1n b n)=t n 2+2t n =(t n +22)2－12≥(2+22)2－12=4． 且由于t n 单调减，知a n 单调减，即a n >a n+1>4成立．亦可由1n 2b n=b n +2．1n b n=b n +2，得 a n =b n +2+2b n +2，．∴ 由b n 递减知a n 递减，且a n >0+2+2⨯2=4． ⑵ 即证n∑k=1(1－b k +1b k)>2021． 24187252015E FBCDAGHK P1－b k +1b k =b k －b k +1b k=1+(1k)2－1+(1k +1)21+(1k)2－1=k 2((1k )2－(1k +1)2)1+(1k)2+11+(1k)2+1+(1k +1)2≥2k +1(k +1)21+(1k)2+121+(1k)2>2k +1(k +1)2⨯12>1k +2． ∴n∑k=1(1－b k +1b k )>n∑k=11k +2>(13+14)+(15+16+17+18)+…+>12+12+12+…．只要n 足够大，就有n∑k=1(1－b k +1b k)>2021成立． 三．(此题总分值50分)对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．解：⑴ 当n ≥4时，对集合M (m ，n )={m ，m +1，…，m+n －1}，当m 为奇数时，m ，m +1，m +2互质，当m 为偶数时，m +1，m +2，m +3互质．即M 的子集M 中存在3个两两互质的元素，故f (n )存在且f (n )≤n ． ①取集合T n ={t |2|t 或3|t ，t ≤n +1}，那么T 为M (2，n )={2，3，…，n +1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f (n )≥card (T )+1．但card(T )=[n+12]+[n+13]－[n+16]．故f (n )≥[n+12]+[n+13]－[n+16]+1． ②由①与②得，f (4)=4，f (5)=5．5≤f (6)≤6，6≤f (7)≤7，7≤f (8)≤8，8≤f (9)≤9．现计算f (6)，取M={m ，m +1，…，m +5}，假设取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k ，k +2，k +4(k ≡0(mod 2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质．故f (6)=5．而M (m ，n +1)=M (m ，n )∪{m +n }，故f (n +1)≤f (n )+1． ③ ∴ f (7)=6，f (8)=7，f (9)=8．∴ 对于4≤n ≤9，f (n )= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立． ④设对于n ≤k ，④成立，当n=k +1时，由于M (m ，k +1)=M (m ，k －5)∪{m +k －5，m +k －4，…，m +k }．在{m +k －5，m +k －4，…，m +k }中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M (m ，k －5)中取出f (n )个数就必有3个两两互质的数．于是当n ≥4时，f (n +6)≤f (n )+4=f (n )+f (6)－1．故f (k +1)≤f (k －5)+f (6)－1=[k+22]+[k+23]－[k+26]+1，比较②，知对于n=k +1，命题成立． ∴对于任意n ∈N *，n ≥4，f (n )= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立．又可分段写出结果：f(n)=4k+1，(n=6k，k∈N*)，4k+2，(n=6k+1，k∈N*)，4k+3，(n=6k+2，k∈N*)，4k+4，(n=6k+3，k∈N*)，4k+4，(n=6k+4，k∈N*)，4k+5，(n=6k+5，k∈N*)．。
2013年全国高中数学联赛一试模拟卷(共7套)附详细解答
2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .4.解:当1k =时，概率为16;当2k =时,6152433=+=+=+，概率为215()6⋅； 当3k =时，6114123222=++=++=++，概率为3311(361)()10()66++⋅=⋅；当4k =时，611131122=+++=+++，概率为4411(46)()10()66+⋅=⋅；当5k =时， 611112=++++，概率为515()6⋅；当6k =时，概率为61()6；故523456561111111175()10()10()5()()(1)666666666p =+⋅+⋅+⋅+⋅+=⨯+=,即567,6n m ==,从而67log log 1m n -=.5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________.解: 解：用1x -代替原式中的x 得：222(35)2(3)6213f x x f x x x x -++++=-+解二元一次方程组得22(3)223f x x x x ++=++，所以：()23f x x =-，则(2011)4019f =．（分析得()f x 为一次多项式，可直接求()f x 解析式）7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是__________7. 解:不妨设AC ⊥OC ⊥BC ,∠ACB =α,∠AOC =∠BOC =θ,∠AOB =β. 因)CB OC ()CA OC (OB OA +⋅+=⋅=CB CA |OC |⋅+2即αθθβcos ||||cos ||cos ||cos ||||+⋅=， 两端除以|OB ||OA |并注意到CAOBθθ==sin , 即得αθθβcos sin cos cos 22+=,将β=450,θ=300代入得αcos 414322+=, 所以,322cos -=α.8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线， 两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a c b a kabc++++≤++，求k 的最大值。
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=πR3（R为球的半径）。
一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为。
则集合M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A． B． C．1 D．2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。
则四面体ABCD的体积等于A． B． C． D．3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。
若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90 B．100 C．110 D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8 B．9 C．10 D．116．设0<x<1, a,b为正常数。
则的最小值是A．4ab B．(a+b)2 C．(a-b)2 D．2(a2+b2)7．设a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。
则a2+b2的最大值是A．1 B．2 C．2006 D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。
2019全国高中数学联赛试题(含答案)4
一一、填空题（本题共 10 小小题，每小小题 7 分，共 70 分．要求直接将答案写在横线上．）
1．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{ x| x－a≥1}，且 A∩ B＝{x|x≥3}，则实数
a 的值是
．
答案：2．
解：A＝{x|x≥2 或 x≤1}，B＝{ x| x≥a＋1}．又又 A∩ B＝{x|x≥3}，故 a＋1＝3，
．
673
答案：1512．
解：由 f(n＋4)－f(n)≤2(n＋1)，得
f(n＋12)－f(n)≤f(n＋12)－f(n＋8)＋f(n＋8)－f(n＋4)＋f(n＋4)－f(n)
≤2[(n＋9)＋(n＋5)＋(n＋1)]＝6(n＋5)．
又又 f(n＋12)－f(n)≥6(n＋5)，
所以 f(n＋12)－f(n)＝6(n＋5)，故 f(n＋4)－f(n)＝2(n＋1)．
A1 B1
E
D1
C1
所以体积
＝
．
又又 A1E＝2ED1，DF＝2FC，所以 CG＝1ED1＝1， 39
所以
＝
＝1×1×10×1×1＝ 5 ．
32 9
27
D A
F
B
CG
7．设 f(x)是定义在 Z 上的函数，且对于任意的整数 n，满足足 f(n＋4)－f(n)≤2(n＋1)，
f(n＋12)－f(n)≥6(n＋5)，f(－1)＝－504，则 f(2019) 的值是
8
8
10．设 f(x)＝2x3＋8x2＋5x＋9，g(x)＝2x2＋8x＋1．当 n∈ N*时，则 f(n) 与 g(n) 的最大大公因数
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
全国高中数学联赛一试模拟试题
7.设对于任意满足 的自然数 ， 有不等式 恒成立，则 的最大值为__________
8.圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为_______
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.设a,b是两个正整数,它们的最小公倍数是24·33·72·11,那么这样的有序正整数对(a,b)有_组.
2.方程16sinπxcosπx＝16x＋ 的解集合为
3.三棱锥 是三条侧棱两两垂直的三棱锥， 是底面 内的一点，
那么 的最小值是___是.
5．一个盒中有 个正品和 个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数 的数学期望 =_________________．
6．若非负实数 满足 ，则 .
7．正整数 使得 是完全平方数,则 的个位数字是．
8．在平面直角坐标系内，将适合x＜y,|x|＜3, |y|＜3,且使关于t的方程 ＝0没有实数根的点 所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为_______.
9．已知正实数 ，设 ， .（1）当 时，求 的取值范围；
（2）若以 为三角形的两边，第三条边长为 构成三角形，求 的取值范围.
10.已知数列{an}： ， ⑴证明：
⑵求出所有的正整数 ，使得 为完全平方数.
11.设 为正实数，且 ．证明： ．
全国高中数学联赛一试模拟试题（3）
(考试时间：80分钟满分：120分)
__________
8.设向量 满足对任意 和θ∈[0, ],
恒成立.则实数a的取值范围是________________.
高中数学联赛真题分类——数列(一试)
而 2 2 0 ，故 a1＜0 若 d (2 2 )a1 ，则 q
2 a2 2 a1 2 a2 2 a1
( 2 1) 2
若 d (2 2 )a1 ，则 q
( 2 1) 2
„„„„„„„„„„„„ 10 分
但 lim (b1 b2 bn ) 2 1 存在，故| q |＜1，于是 q ( 2 1) 2 不可能．
3
.
21 、 [10(11)] 证明：方程 2 x 5x 2 0 恰有一个实数根 r ，且存在唯一的严格递增正整数数列 {an } ，使得
2 r a1 r a2 r a3 . 5
高中数学联赛专题——数列（一试）参考答案 1、C 2、见奥数教程 86 页例 4 3、答案： A 由题意知 pq=a ，2b=p+c,2c=q+b b
n
且 a0=3，则∑
i=0
1
ai
的值是
；
10、 【05（6） 】记集合 T＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{ + 2+ 3+ 4| ai∈T，i＝1，2，3，4}，将 M 中的元素按从 7 7 7 7 大到小排列，则第 2005 个数是 5 5 6 3 A． + 2+ 3+ 4 7 7 7 7 5 5 6 2 B． + 2+ 3+ 4 7 7 7 7 1 1 0 4 C． + 2+ 3+ 4 7 7 7 7 ( ) 1 1 0 3 D． + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
n
n
n
8、注意到 45 2025, 46 2116,故 a2003 2003 45 2048
2019年全国高中数学联赛一试11个专题特训(附十年全国联赛真题)
－f(x) (奇函数) ①奇函数的图象关于原点对称； ②偶函数的图象关于 y 轴对称； ③若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)=0.
2．单调性定义：对 ∨− x1, x2∈I 且 x1＜x2 f(x1)＜f(x2) (增函数) 或 f(x)＞f(x2) (减
2a
2a
中选取. 常依轴与区间[m, n] 的位置分类讨论.
抛物线的凸凹性：（1）当 a＞0 时,函数的图象是下凸形曲线,即对于任意 x1, x2 R ,
有 f ( x1 x2 ) ≤ f (x1) f (x2 ) ；
2
2
（ 2 ） 当 a ＜ 0 时 , 函 数 的 图 象 是 上 凸 形 曲 线 , 即 对 于 任 意 x1, x2 R , 有
f (x)
f (x)
⑤ f (x a) f (x) 1 ；⑥ f (x a) 1 f (x) .
f (x) 1
1 f (x)
上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.
另外： f (x a) f (x) 1 或 f (x a) 1 f (x) ,则 f (x)的周期为 4a.
4|a−b|是它的周期. 三、基本初等函数： 1. 指数函数及其性质：形如 y=ax(a＞0, a 1)的函数叫做指数函数,其性质有：
①定义域为 R,值域为(0,+∞)； ②当 0＜a＜1 时为减函数,当 a＞1 时为增函数；
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③图象有两个特殊点：定点(0,1),不变点(1,a)； ④非奇非偶,但 y ax 与 y ax 的图象关于 y 轴对称；y ax 与 y ax 的图象
全国高中数学联赛模拟试题第一试试题
全国高中数学联赛模拟试题第一试试题一、选择题1、对任意一组非负实数a 1,a 2,…,a n ，规定a 1=a n+1，若有∑=+-+-nk k k k kaa a a 12112∑=≥ni i a 1λ恒成立，则实数λ的最大值为_________. A ．0 B.22C ．1D ．22、已知A ，B ，C 为ΔABC 的三个内角，记y=sin3A+sin3B+sin3C ，则y 的取值范围是______。
A ．[0，2]B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-233,2C ．[-2，2]D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛233,03、若p,q ∈N +且p+q>2007, 0<p<q ≤2007，(p,q)=1，则形如pq1的所有分数的和为_________. A ．20072006 B ．20082007 C ．21D ．14、椭圆的中心为原点O ，焦点在x 轴上，过椭圆的左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，则椭圆的离心率e 的取值范围是_________。
A ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,215B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-215,0C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 D ．]415,415[+-5、若对实数x ∈[10,+∞）恒有|log m x|≥2，则m 取值范围是_________。
A ．（0，1）B ．]10,1(C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛1010,0D ．(]10,11,1010 ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡6、将20个乒乓球（不加区分）装入5个不同的盒子里，要求不同的盒子中的球数互不相同，且盒子都不空，一共有_______种不同装法。
A ．7B ．14C ．419C D ．7×5！二、填空题7、已知复数z 1,z 2,z 3满足|z 1|≤1,|z 2|≤1,|2z 3-(z 1+z 2)|≤|z 1-z 2|，则|z 3|的最大值与最小值的差为_________。
8、已知平面向量a=(3,-1),b=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21，若存在非零实数k 和角⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππαα，使得c=a+(tan 2α-3)b, d=-ka+(tan α)b ，且c ⊥d ，则k=_________。
2024年全国高中数学联赛(一试)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.·1·。
2022年全国高中数学联赛考前冲刺模拟好卷合集(一至四)
满足上述条件的所有实数对 (a, b) 构成的集合为
.
8. 若存在正整数 a, b (a < b) 满足 a3 = (ka + 1)b + k, 则称整数 k 为“好的”, 则不超过 2021 的所有好的整
数 k 的和为
.
二、解答题 (本大题共 3 小题, 满分 56 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
.
4. 方程 3(⌊2x − 1⌋ + ⌈2x + 1⌉) = 4x + 2 的所有实数解 x = 最大整数和不小于实数 a 的最小整数.
, 其中 ⌊a⌋, ⌈a⌉ 分别表示不超过实数 a 的
5. 已知二元函数 f (x, y) = |x − 2y| + |4x + 7y + 81| + |3x + 5y − 59|, 其中实数 x, y 满足 x2 + y2 ⩽ 100, 则
1
2022 年全国高中数学联赛考前冲刺全真模拟 (一)
2
10. (本题满分 20 分) 已知抛物线 Γ : y2 = 2px, 其中 p 为正常数, P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3) 为抛物线 Γ 上按逆时针的次序 排列的三个互不重合的点, 对于 i = 1, 2, 3, 过点 Pi 作抛物线 Γ 的切线 li, 直线 l2, l3 交于点 A1, 直线 l3, l1 交于点 A2, 直线 l1, l2 交于点 A3, 设 △A1A2A3 的外接圆半径为 R, △P1P2P3 的面积为 S, 证明:
+
cot C 1 − cot A cot B
⩾
k.
11. (本题满分 20 分)
全国高中数学联赛训练题
全国高中数学联赛训练题第一试一、填空题1.在函数2132010y x x =+++的图像上横纵坐标都是整数的点的个数为_____.2.若,i j A A 是正六边形126A A A 不同的两个顶点,则集合12{|}i j p p A A A A =⋅中的元素个数为_____. 3.设[]x 表示不超过x 的最大整数.若实数,x y 满足方程组5[1]33[3]1y x y x = +-⎧⎨= -+⎩,则x y +的取值范围是_____.4.若关于x 的方程222(1)|1|0x b x c -+⋅-+=有7个互不相等的实数根,则实数b 的取值范围为_____.5.若设过点(4,0)P -的直线与椭圆223412x y +=交于点,A B ,且O 为原点,则OAB S ∆的最大值为_____.6.设函数()(2)xf x a x =+,且方程()f x x =有唯一解.若01()2f x =,1()n n x f x +=,则n x =_____.7.若一个三棱锥的所有棱长均为整数,且和为2009,则这样的三棱锥的最大棱长于最小棱长之差为_____.8.在长方体1111ABCD A B C D -中,已知155AB AD AA ===,点M 在AB 上,且320AM BM +=.在正方形ABCD内随机选取一点P ,并设点P 到直线11A D 的距离为1d ,PM 的长为2d ,则所取点P 满足22121d d -≥的概率为_____.二、解答题9.(1)讨论函数2ln ()xf x x=(1[,]x e e -∈)的图像与直线y k =的交点个数. (2)求证:对任意的n ∈*N ,都有4444ln1ln 2ln 3ln 11232n n e+++⋅⋅⋅+<成立.10.已知一个数表如下图所示,其生成方式为:对任意的正整数n ,第n 行的每个数x 都生成了第1n +行的两个数,其左下方的数为x -,右下方的数为3x +.(1)设数表中第n 行数字的个数为n a ,求数列{}n a 的通项及其前n 项和n S ；(2)设数表中前n 行出现过的不同数字的个数为n T ,求12345,,,,T T T T T 及数列{}n T 的通项.11.设动圆P 过点(1,0)A -,且与圆B :22270x y x +--=相切. (1)求动圆圆心P 的轨迹Ω的方程；(2)设点(,)Q m n 在曲线Ω上,求证:直线l :22mx ny +=与曲线Ω有唯一的公共点；(3)设(2)中的直线l 与圆B 交于点,E F ,求证:满足AR AE AF =+的点R 必在圆B 上.第二试一、如图,已知11,B C 分别是边,AB AC 延长线上的动点,点1D 在线段11B C 上,直线1AD 与ABC ∆的外接圆交于点D .求证:1111B D C D =是1112AB AB AC AC AD AD ⋅+⋅=⋅的充要条件.二、设非负实数,,a b c 满足1a b c ++=,111111p a b c=+++++,试求p 的最大值max p 和最小值min p .CDBD 1OB 1C 1A三、将黑板上的正整数n 擦去,并用不是n 的约数的最小正整数来代替,我们称之为一次操作. 对于黑板上任意给定的正整数n (2n >),直到操作的结果为2为止,求操作次数的最大值.四、设1,2,3,4,5,6的排列123456(,,,,,)a a a a a a 具有如下性质: 对于1,2,3,4,5i =,每个12(,,,)i a a a 都不是(1,2,,)i 的排列,求满足条件的排列个数.数学奥林匹克高中训练题(6)1.在函数2132010y x x =+++的图像上横纵坐标都是整数的点的个数为_____. 解:设1x a +=,2010x b +=,则由题意知,a b 均为正整数,且22()()2009b a b a b a -=-+=.又因20091200972874149=⨯=⨯=⨯,故所求整数对(,)a b 有(1004,1005),(140,147),(4,45)共三对.从而可得该函数图像上的整数点的个数为3.2.若,i j A A 是正六边形126A A A 不同的两个顶点,则集合12{|}i j p p A A A A =⋅中的元素个数为_____. 解:由于12i j A A A A ⋅ 表示i j A A 在12A A方向上的投影,而3456,,,A A A A 在12A A 所在直线上的投影分别为21,,,C A AB (如右图所示),又12||||BA CA =,因此向量i j A A 在12A A 方向上的投影可能有1212||,||,||,||,0BA BA BC A A ±±±± 共九种.从而可知集合12{|}i j p p A A A A =⋅中的元素个数为9.3.设[]x 表示不超过x 的最大整数.若实数,x y 满足方程组5[1]33[3]1y x y x = +-⎧⎨= -+⎩,则x y +的取值范围是_____.解:由已知可得5[1]33[3]1x x +-= -+,故[]5x =-,即54x -≤<-,23y =-,故2827x y -≤+<-.4.若关于x 的方程222(1)|1|0x b x c -+⋅-+=有7个互不相等的实数根,则实数b 的取值范围为_____. 解:设函数2|1|y x =-,则其图像C 如右图所示.于是由图像C 可分析得知: 当1k >或0k =时,直线y k =与图像C 有两个不同的交点；当1k =时,直 线y k =与图像C 有三个不同的交点；当01k <<时,直线y k =与图像C 有 四个不同的交点.因此,要使关于x 的方程222(1)|1|0x b x c -+⋅-+=有7个不同实根,则关于y 的方程20y by c ++=的一根为1,另一根在区间(0,1)内.从而有240b c ∆=->,1b c +=-,且(0,1)c ∈,因此可得实数b 的取值范围为1(2,1)b c =--∈--. 5.若设过点(4,0)P -的直线与椭圆223412x y +=交于点,A B ,且O 为原点,则OAB S ∆的最大值为_____. 解:设过点(4,0)P -的直线方程为(4)y k x =+,且点1122(,),(,)A x y B x y ,则联立直线与椭圆的方程可得:xy1-1O1CBA 4A 5A 3A 6A 1A 222(4)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩,即2222(43)3264120k x k x k +++=.故21223243k x x k +=-+,2122641243k x x k -=+,且有22222(32)4(43)(6412)144(14)0k k k k ∆=-⋅+-=->.又由于:2121212212414||||2||2||243OABOPA OPB k k S S S OP y y y y k x x k ∆∆∆-=-=⋅⋅-=-=-=+. 而由基本不等式可得2222223(14)162414334343OABk k k k S k k ∆-⋅-==⋅≤++.所以OAB S ∆的最大值为3.6.设函数()(2)xf x a x =+,且方程()f x x =有唯一解.若01()2f x =,1()n n x f x +=,则2010x =_____.解:由方程(2)x x a x =+有唯一解可得12a =,从而2()2x f x x =+.于是,122n n n x x x +=+,即11112n n x x +=+,且101()2x f x ==,故有12n nx =,从而可得2n x n =,故201011005x =. 7.若一个三棱锥的所有棱长均为整数,且和为2009,则这样的三棱锥的最大棱长于最小棱长之差为_____. 解:(1)当最大棱长a 与最小棱长c 不共面时,如图,可得:b d a e f a +>⎧⎨+>⎩,于是由题意可得11b d a e f a +≥+⎧⎨+≥+⎩. 故2(1)32a b c d e f a c a a c +++++≥+++=++. 故32007a c +≤,即3()200742003a c c -≤-≤,即26673a c -≤.故可 得a c -的最大值为667.事实上,当668a =,1c =,335b d e f ====时,即可满足题目条件. (2)当最大棱长a 与最小棱长c 共面时,如图,可得:b c a +>,于是由题意可得1b a c ≥-+.又由于a b ≥,故11d f a b +≥+≥+,故20091a b c d e f b b c b e =+++++≥+++++. 而1c ≥,1e ≥,故16683b ≤,则16673a c -≤.因此可 以得到a c -的最大值为667.事实上,当668ab d ===,1c =,2e f ==时,即可满足题目条件. 综上两种情况可以得知所求结论应为667.8.在长方体1111ABCD A B C D -中,已知155AB AD AA ===,点M 在AB 上,且320AM BM +=.在正方形ABCDdc fa becefabd内随机选取一点P ,并设点P 到直线11A D 的距离为1d ,PM 的长为2d ,则所取点P 满足22121d d -≥的概率为_____.解:过点P 作PN AD ⊥,垂足为N ,NQ AD ⊥交11A D 于点Q ,则易得1d PQ =,从而可得:222222121d d PQ PM PN PM -=-=+-.故22121d d PM PN -≥⇔≥.当PM PN =时,点P 表示 到定点M 的距离等于到定直线AD 的距离,即点P 的轨 迹为以M 为焦点,AD 为准线的抛物线的一部分,其中焦 点到准线的距离为2.于是可知满足条件的点P 在该抛物线与折现A B C --所围成的区域.由题意可得抛物线方程为24y x =,则可得该区域的面积432'23S xdx ==⎰,而正方形ABCD 的面积25S =,故可得所求概率为'3275S P S ==.9.(1)讨论函数2ln ()xf x x=(1[,]x e e -∈)的图像与直线y k =的交点个数. (2)求证:对任意的n ∈*N ,都有4444ln1ln 2ln 3ln 11232n n e+++⋅⋅⋅+<成立.解:(1)由题意得:312ln '()xf x x-=.令'()0f x =,得=x e ． 当1(,)x e e -∈时,'()0f x >,故函数()f x 在1[,]e e -上递增；当(,)x e e ∈时,'()0f x <,故函数()f x 在[,]e e 上递减；又因为12()f e e -=-,1()2f e e =,21()f e e=,所以当e k 21>或2e k -<时,没有交点；当e k 21=或221ek e <≤-时,有唯一的交点；当e k e 2112<≤时,有两个交点.证明:(2)由(1)知函数()f x 在(0,)e 上递增,在(,)e +∞上递减,故()f x 在(0,)+∞上的最大值为12e.即对(0,)x ∈+∞均有≤2ln x x e 21,故≤4ln xx e 2121x ⋅.∴444ln1ln 2ln 12n n +++≤ e 21222111(0)23n ++++ . ∴222111111111231223(1)n n n n+++<+++=-<⋅⋅-⋅ . ∴<+++444ln 33ln 22ln n n e 21. 10.已知一个数表如下图所示,其生成方式为:对任意的正整数n ,第n 行的每个数x 都生成了第1n +行的两个数,其左下方的数为x -,右下方的数为3x+.d 1d 2QNO MD 1C 1B 1CABDP A 1(1)设数表中第n 行数字的个数为n a ,求数列{}n a 的通项及其前n 项和n S ；(2)设数表中前n 行出现过的不同数字的个数为n T ,求12345,,,,T T T T T 及数列{}n T 的通项. 解: (1)由题意,当2n ≥时,12n n a a -=,11a =,故12n n a -=,112221n n n S -=+++=- . (2)观察数表可得:123451,3,6,10,14,T T T T T =====猜想:当3n ≥时,14n n T T +=+. 下面用数学归纳法证明猜想:证明:设数字1一直向右下方生成的数列为{}n b ,则32n b n =-.设数字1-一直向右下方生成的数列为{}n c ,则37n c n =-(2)n ≥.因为数列{}n b 中的每个数除以3的余数都是1,数列{}n c 中的每个数除以3的余数都是2,所以数列{}n b 与数列{}n c 中没有共同的项.第3行的新数为323,,c b b -,它们在第4行生成的数分别为34,c c -,22,3b b -+,34,b b -其中223b c -+=,故只有3434,,,c c b b --四个新数,即434T T =+成立.假设当n k =(3)k ≥时,结论成立.故可设第k 行中的新数为11,,,k k k k c c b b ----,它们在第1k +行生成的数为11,3k k c c ---+,1,k k c c +-,11,3k k b b ---+,1,k k b b +-,而其中的数字1k c -,1k b -,123313k k c k c ---+=-+=-和12338k k b k b ---+=-+=-都在第1k -行出现过,且1,k k c c +-,1,k k b b +-又互不相同,因此第1k +行生成了四个新数11,,,k k k k c c b b ++--.综上可知,当3n ≥时,14n n T T +=+总成立.所以,1,1,3,2,46, 3.n n T n n n =⎧⎪= =⎨⎪- ≥⎩11.设动圆P 过点(1,0)A -,且与圆B :22270x y x +--=相切. (1)求动圆圆心P 的轨迹Ω的方程；(2)设点(,)Q m n 在曲线Ω上,求证:直线l :22mx ny +=与曲线Ω有唯一的公共点；(3)设(2)中的直线l 与圆B 交于点,E F ,求证:满足AR AE AF =+的点R 必在圆B 上.解:(1)因A 在圆B 内,故动圆P 与圆B :22(1)8x y -+=内切,从而有圆B 的圆心为(1,0)B ,半径为22.故22PB PA =-,即22PA PB +=,由椭圆的定义可知:动圆的圆心P 的轨迹Ω的方程为2212x y +=.(2)由点(,)Q m n 在曲线Ω上知2212m n +=,即2222m n +=.又联立直线l 与曲线Ω的方程222222mx ny x y +=⎧⎨+=⎩,可得2222(24)8880m n x mx n +-+-=,即2220x mx m -+=.由2220x mx m -+=的两实数根相等易知直线l 与曲线Ω有唯一公共点.(3)设点,E F 的坐标分别为1122(,),(,)E x y F x y ,则12,x x 是由直线l 与圆B 的方程组2222270mx ny x y x +=⎧⎨+--=⎩所得方程22222(4)4(2)4280m n x m n x n +-++-=的两个不同实根,故有：212224(2)4(1)42m n m x x m n m +++==++.又因1122mx ny +=,2222mx ny +=,故12124()4(2)4(1)422(2)2m x x m m m ny y n n m m -++-++===++. 又由于AR AE AF =+,因此有12122(,)BR BA AR AO AE AF OE OF x x y y =+=++=+=++ ,故2222222121222216(1)1616(1)168||()()8(2)(2)(2)m n m m BR x x y y m m m +++-=+++=+==+++ ,即||22BR = ,所以点R 在圆B 上. 第二试一、如图,已知11,B C 分别是边,AB AC 延长线上的动点,点1D 在线段11B C 上,直线1AD 与ABC ∆的外接圆交于点D .求证:1111B D C D =是1112AB AB AC AC AD AD ⋅+⋅=⋅的充要条件. 证明:设BAD α∠=,CAD β∠=,ABC ∆的外接圆半径为r . 由托勒密定理可得AB CD AC BD AD BC ⋅+⋅=⋅,又2sin CD r β=,2sin BD r α=,2sin()BC r αβ=+, 故有sin sin sin()AB AC AD βααβ⋅+⋅=⋅+.又1111:sin :sin B D AD B α=,1111:sin :sin C D AD C β=, 故有1111111sin sin sin()AB C D C AC B D B AD AD αβ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+.又1111:sin :sin()AB B C C αβ=+,1111:sin :sin()AC B C B αβ=+,故有111111111AB AB C D AC AC B D AD AD BC ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅.……………………………………………………①若1111B D C D =,则由①易得1112AB AB AC AC AD AD ⋅+⋅=⋅. 若1112AB AB AC AC AD AD ⋅+⋅=⋅,则联立①可得:111111111122()AB AB C D AC AC B D AB AB AC AC BC ⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅,即111111()()0AB AB AC AC C D B D ⋅-⋅⋅-=.CD BD 1OB 1C 1A又由题意可知11AB AB AC AC ⋅-⋅不恒为0,从而可得1111B D C D =. 综上可知,1111B D C D =是1112AB AB AC AC AD AD ⋅+⋅=⋅的充要条件.二、设非负实数,,a b c 满足1a b c ++=,111111p a b c=+++++,试求p 的最大值max p 和最小值min p . 解:设[0,1]x ∈,则由2191516(1)(915)(31)()01161611x x x x x x x -+-+---+==≥+++知191511616x x ≥-++. 故191511616a a ≥-++,191511616b b ≥-++,191511616c c ≥-++,即9159()316164p a b c ≥-+++⨯=. 事实上,当13a b c ===时,p 取得最小值min 94p =.另一方面,设[0,1]x ∈,则由112(1)(2)(1)(1)01211x x x x x x x x -+-+---+==≤+++知11112x x ≤-++. 故11112a a ≤-++,11112b b ≤-++,11112c c ≤-++,即15()3122p a b c ≤-+++⨯=. 事实上,当0,1a b c ===时,p 取得最大值max 52p =.三、将黑板上的正整数n 擦去,并用不是n 的约数的最小正整数来代替,称之为一次操作.并且,只要黑板上的数不是2,这样的操作就可以继续下去.对于黑板上任意给定的正整数n (2n >),求操作次数的最大值. 解: 对于任意给定的正整数n (2n >),操作次数的最大值为3.理由如下:第一次操作后替代正整数n 的数1n 必为形如kp (p 为质数)的数,否则1n 为形如12p p ⋅(12(,)1p p =),于是由于1121,p n p n <<,因此12|,|p n p n ,又12(,)1p p =,故12|p p n ⋅,即1|n n ,这与题意矛盾! 若2p =,且1k =,则第一次操作后就已经得到了2,即一次操作后就结束操作. 若p 为奇数,则第二次操作后即可得2,从而两次操作后就结束操作.若2p =,且1k >,则第二次操作后得到的数为3,从而第三次操作后可得2,即需要三次操作才能结束. 综上可知,对于任意给定的正整数n (2n >),操作次数的最大值为3.四、设1,2,3,4,5,6的排列123456(,,,,,)a a a a a a 具有如下性质: 对于1,2,3,4,5i =,每个12(,,,)i a a a 都不是(1,2,,)i 的排列,求满足条件的排列个数. 解法一:显然11a ≠,以下分类讨论即可. 当16a =时,有5!个排列满足题意.陕西师大附中 王全 第 11 页 共 11 页 当15a =时,在5!个排列中,除66a =的4!个排列不满足题意外,其余的5!4!-个排列均满足题意. 当14a =时,在5!个排列中,除形如46⨯⨯⨯⨯和465⨯⨯⨯的排列不满足题意外,其余的5!4!3!--个排列均满足题意.当13a =时,在5!个排列中,除形如36⨯⨯⨯⨯,365⨯⨯⨯,3645⨯⨯,3564⨯⨯和3654⨯⨯的排列不满足题意外,其余的5!4!3!32!---⨯个排列均满足题意.当12a =时,在5!个排列中,除形如26⨯⨯⨯⨯,265⨯⨯⨯,2645⨯⨯,2564⨯⨯,2654⨯⨯,213⨯⨯⨯,2134⨯⨯, 2135⨯⨯,2134⨯⨯,216345的排列不满足题意外,其余的5!4!23!62!1--⨯-⨯-个排列均满足题意. 综上可知,满足要求的排列个数为:5!(5!4!)(5!4!3!)(5!4!3!32!)(5!4!23!62!1)461+-+--+---⨯+--⨯-⨯-=.解法二:设123456(,,,,,)b b b b b b 是不满足要求的排列,则存在26i ≤≤,使得:16(,,,)(,1,,6)i i b b b i i +=+ ,…………………………………………………………………………① 16(,,,)(,1,,6)j j b b b j j +≠+ ,1,2,,6j i i =++ .………………………………………………② 显然当6i =时,式②不存在.我们把满足①式和②式的排列16(,,,)i i b b b + 的个数记为()f i ,则有: (6)1f =,(5)2!(6)1f f =-=,(4)3!(5)(6)2!3f f f =--⋅=,(3)4!(4)(5)2!(6)3!13f f f f =--⋅-⋅=,(2)5!(3)(4)2!(5)3!(6)4!71f f f f f =--⋅-⋅-⋅=. 由此可得,不满足题目要求的排列的个数为:62()(1)!259i s f i i ==⋅-=∑.从而可得,满足题意的排列个数为6!259461-=.。
全国高中数学联赛一试试题
全国高中数学联赛一试试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数在上的最小值是（C ）A．0 B．1 C．2 D．32．设，，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（）A. B. C. D.4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为（）A. 764 cm3或586 cm3B. 764 cm3C. 586 cm3或564 cm3D. 586 cm35．方程组的有理数解的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设，其中为实数，，，，若，则 .8．设的最小值为，则_____________．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种．10．设数列的前项和满足：，，则通项=．11．设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，，则=__________．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_______．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数的图像与直线有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：14．解不等式．15．如题15图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．高考数学（文）一轮：一课双测A +B 精练(四十六) 两直线的位置关系1．(·海淀区期末)已知直线l1：k1x ＋y ＋1＝0与直线l2：k2x ＋y －1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．当0＜k ＜12时，直线l1：kx －y ＝k －1与直线l2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(·长沙检测)已知直线l1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )A.85B.32 C ．4D ．84．若直线l1：y ＝k(x －4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)5．已知直线l1：y ＝2x ＋3，若直线l2与l1关于直线x ＋y ＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )A ．－2B ．－12C.12D ．2 6．(·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)．则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．x ＋3y －8＝0D ．x －3y －4＝07．(·郑州模拟)若直线l1：ax ＋2y ＝0和直线l2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．8．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．9．(·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．10．(·舟山模拟)已知1a ＋1b ＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值．11．(·荆州二检)过点P(1,2)的直线l 被两平行线l1：4x ＋3y ＋1＝0与l2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l 的方程．12．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．1．点P 到点A(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(·福建模拟)若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m2＋n2的最小值是( ) A ．2B ．22 C ．4D ．233．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大． [答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5.__________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________ 答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十六)A 级1．C2.B3.B4.B5．选A 依题意得，直线l2的方程是－x ＝2(－y)＋3， 即y ＝12x ＋32，其斜率是12，由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.6．选C 设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y)＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.7．解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－12.答案：－128．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29．解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．答案：[0,10]10．解：点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b 5＝15(a ＋2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a2＝2b2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号．所以点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋2105. 11．解：设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵|AB|＝2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k2－48k －7＝0， 解得k1＝7或k2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.12．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵kPP ′·kl ＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95，③ y ′＝3x ＋4y ＋35.④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2， y ′＝7，∴P(4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.B 级1．选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x. 设P(t2,2t)，则22＝|t2－2t|2，解得t1＝1，t2＝1＋2，t3＝1－2，故P 点有三个．2．选C 设原点到点(m ，n)的距离为d ，所以d2＝m2＋n2，又因为(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m2＋n2的最小值为4.3．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA|－|PB|的值最大．设B ′的坐标为(a ，b)，则kBB ′·kl ＝－1， 即3·b －4a ＝－1.则a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，则3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)． 于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P(2,5)．高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.。
全国高中数学联赛一试训练
一试训练2一．填空题（本大题共8小题，每小题8分）1．已知实数,,a b c 满足4,5a b c ab bc ca ++=++=，则abc 的最大值为_________．2．若对任意R α∈，直线π:cos sin 2sin()46l x y ααα+=++与圆22:()()1C x m y -+=均无公共点，则实数m 的取值范围是_________．3．已知四面体S ABC -的棱,,SA SB SC 两两互相垂直，且3SA =，4SB =，12SC =，设该四面体的内切球、外接球半径分别为r 、R ，则rR=_________． 4．已知定点(0,2)A ，设抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，线段AF 与抛物线C 交于一点M ，过M 作准线的垂线，垂足为B ，若AB BF ⊥，则p =_________． 5．计算：1π12π13π(cos )(cos)(cos )272727+-+=_________． 6．在排列(a 1，a 2，…，a n )中，将某个数向前或向后移动偶数．．个位置(如排列123456(,,,,,)a a a a a a ，数3a 向后移动2个位置后，排列变成124536(,,,,,)a a a a a a ）称为一次“M -操作”．设1,2,3,,2012构成的所有2012!个排列组成集合为A ，在A 任取一个排列a ，则排列a 经过有限次“M -操作”后能变成排列(1,2,3,,2012)的概率为_________．7．若有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线ax x y +=3上，则实数a =_________． 8．已知整系数多项式()P x 的系数属于{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，若(3)2012P =，则多项式()P x 的个数为_________．二．解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．设斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆:C 1422=+y x 相交于B A ,两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k （其中O 为坐标原点），OAB ∆的面积为S ，以OB OA ,为直径的圆的面积分别为21,S S ．若21,,k k k 依次成等比数列，求SS S 21+的取值范围．10．设A 是有限整数集．若对于任意两个不同．．的元素,p q A ∈，均存在三个元素,,a b c A ∈（,,a b c 不必不同．．．．，且0a ≠），使得2()f x ax bx c =++满足()()0f p f q ==．求card()A 的最大值．11．在数列{}n a 中，设1nn i i S a ==∑，*N n ∈，并约定00S =．已知11,,,k k k k S k a k S k--<⎧=⎨-≥⎩，1k n ≤≤，,k n ∈*N ．若2012n ≤，求最大的正整数n ，使得0n S =．参考答案：1．已知实数,,a b c 满足4,5a b c ab bc ca ++=++=，则abc 的最大值为_________． 【答案】2【解析】因为()5b a c ca ++=，(4)5b b ca -+=，22245()(2)22a c bca b b +=-+≤=-， 所以223b ≤≤. 所以2322(45)45(1)(2)22abc b b b b b b b b =-+=-+=--+≤.当2b =时，2abc =，此时11a c =⎧⎨=⎩符合题意；当1b =时，2abc =，此时21a c =⎧⎨=⎩或12a c =⎧⎨=⎩符合题意.所以最大值是2.2．若对任意R α∈，直线π:cos sin 2sin()46l x y ααα+=++与圆22:()()1C x m y -+=均无公共点，则实数m 的取值范围是_________． 【答案】1522m -<< 3．已知四面体S ABC -的棱,,SA SB SC 两两互相垂直，且3SA =，4SB =，12SC =，设该四面体的内切球、外接球半径分别为r 、R ，则rR=_________．【答案】96247-4．已知定点(0,2)A ，设抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，线段AF 与抛物线C 交于一点M ，过M 作准线的垂线，垂足为B ，若AB BF ⊥，则p =_________．5．计算：1π12π13π(cos )(cos)(cos )272727+-+=_________． 【答案】18-【解析】考虑到22sin 312cos 212(12sin )34sin sin θθθθθ+=+-=-=， 故原式11319(cos)(cos )(cos )272727πππ=+++392727sin sin sin sin 11111141414143922288sin sin sin sin 14141414ππππππππ=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=-. 6．在排列(a 1，a 2，…，a n )中，将某个数向前或向后移动偶数．．个位置(如排列123456(,,,,,)a a a a a a ，数3a 向后移动2个位置后，排列变成124536(,,,,,)a a a a a a ）称为一次“M -操作”．设1,2,3,,2012构成的所有2012!个排列组成集合为A ，在A 任取一个排列a ，则排列a 经过有限次“M -操作”后能变成排列(1,2,3,,2012)的概率为_________．【答案】127．若有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线ax x y +=3上，则实数a =_________．【答案】-.【解析】设正方形的四个顶点依次为D C B A ,,,，则正方形ABCD 的中心为原点，否则，由于曲线ax x y +=3为奇函数，因此，D C B A ,,,关于原点的对称点D C B A '''',,,也在此曲线上，且四边形D C B A ''''也是正方形，与题设矛盾。
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一试训练4
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.设12ω=-+，则24ωω+=______.
2.在正四棱锥S ABCD -中，45ASB ∠= ，设二面角A SB C --的大小为θ，则cos θ=______.
3.计算：222111111111122013220132320132013
()()()++++++++++++ =______.
4.已知集合{(,)|
}
A x y y =≥-，22{(,)|36}
B x y x y =+≤，则A B 所确定平面区域的面积等于______. 5.设向量(,2)a =p ，(,cos 1)a a θ=+u ，(,sin 1)a a θ=+v (,)a θ∈R ，则⋅⋅p v p u
的最大值是______. 6.将一个33⨯的棋盘每格涂上黑色或者白色，使得每一行与每一列中均有黑色和白色格子，则共有______种不同的涂色方案.
7.已知函数()(1||)f x x a x =+，设{|()()}A x f x a f x =+<，若11[,]22
A -
⊆，则实数a 的取值范围是______.
8.设T 是由606039的所有正约数组成的集合，S 是T 的一个子集.若S 中没有一个数是另一个数的倍数，则||S 的最大值是______.（其中||S 表示集合S 中的元素个数）
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9.已知两点(1,0),(1,0)A B -和椭圆Γ：2
214
x y +=.设过点A 的直线交椭圆Γ于C 、D 两点，求 △BCD 面积的最大值．
10.已知实数,,x y z 满足2221x y z ++= ，求3333x y z xyz ++- 的最值．
11.设0121,,,,,,n p p a a a a >∈N 均为不小于1-且不全为零的整数.
若20120n n a pa p a p a ++++= ，试证：0120n a a a a +++>+ .
参考答案：
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.设1i 22
ω=-
+，则24ωω+=______. 答案：1-
2.在正四棱锥S ABCD -中，45ASB ∠= ，设二面角A SB C --的大小为θ，则cos θ=______.
答案：3
3.计算：222111111111122013220132320132013()()()+
+++++++++++ =______. 答案：4026
4.已知集合{(,)|
}
A x y y =≥-，22{(,)|36}
B x y x y =+≤，则A B 所确定平面区域的面积等于______.
答案：18π 5.设向量(,2)a =p ，(,cos 1)a a θ=+u ，(,sin 1)a a θ=+v (,)a θ∈R ，则
⋅⋅p v p u
的最大值是______.
答案：2+6.将一个33⨯的棋盘每格涂上黑色或者白色，使得每一行与每一列中均有黑色和白色格子，则共有______种不同的涂色方案.
答案：102
7.已知函数()(1||)f x x a x =+，设{|()()}A x f x a f x =+<，若11[,]22A -
⊆，则实数a 的取值范围是______.
答案：1(2
- 8.设T 是由606039的所有正约数组成的集合，S 是T 的一个子集.若S 中没有一个数是另一个数的倍数，则||S 的最大值是______.（其中||S 表示集合S 中的元素个数）
答案：3721
解：因为2603931161,= 故{31161|0120,0,60}a b c T b c =≤≤≤ ，
令120{31161|0,60}b c b c S b c --=≤≤ ，对任意0,60b c ≤≤，有0120120b c ≤--≤，所S 是T
的子集，且含有261个元素。
下面证明S 中没有一个数是另一个数的倍数，并且元素个数超过261的
子集都不满足这个条件。
假设12031161b c b c -- 是12031161i j i j -- 的倍数，则200200,,b c i j b i c j --≥--≥≥，由此可推出b=i,c=j.所以S 中没有一个元素是另一个的倍数。
设U 是T 的一个超过261个元素的子集。
因为只有2
61对互异的（b,c ）,由抽屉原理，U 中必有两个元素1112221231161,31161a b c a b c u u == ，其中 1212,b b c c ==，而12.a a ≠若12,a a >则1u 是2u 的倍数；若21,a a >则2u 是1u 的倍数。
因此U 不满足题设条件。
所以T 的子集最多可以含261=3721个元素。
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9.已知两点(1,0),(1,0)A B -和椭圆Γ：2
214
x y +=.设过点A 的直线交椭圆Γ于C 、D 两点，求 △BCD 面积的最大值．
10.已知实数,,x y z 满足2221x y z ++= ，求3333x y z xyz ++- 的最值．
解：令t xy yz zx =++ ，则
3332222222(3)()()(12)(1)x y z xyz x y z x y z xy yz zx t t ++-=++++---=+-． 故3
333221211(3)(12)(1)13t t t x y z xyz t t ++-+-⎛⎫++-=+-≤= ⎪⎝⎭． 又，当(,,)(1,0,0)x y z = 时，33331x y z xyz ++-=；
当(,,)(1,0,0)x y z =- 时，33331x y z xyz ++-=-．
所以，3333x y z xyz ++-的最大值为1，最小值为-1．
11.设0121,,,,,,n p p a a a a >∈N 均为不小于1-且不全为零的整数.
若20120n n a pa p a p a ++++= ，试证：0120n a a a a +++>+ .
证明：对任意的0,1,2,...k n =都有11...0(*)k k n k k k n s p a p a p a ++=+++≤
假设上述结论不成立，则存在一个k 使得0k s >.又k k p s ,故k k s p ≥.
从而
121210121210...1...1k k k k k
k k p p a pa p a p a s p p p
p p +----+=+++++≥-----+=- 若2p =，则121101k k p p p +-+=>-，矛盾. 若3p =，则11212(2)0111
k k k k k p p p p p p p p p ++-+-->=>---，矛盾. 故假设错误，从而(*)式成立.则
122121121(1)0
(1)(1)0
(1)(1)(1)0
....
(1)(1)...(1)(1)0
n n n n n n n n n n p a p a p pa p a p pa p p a p a p pa p p a p p a -------≥-+-≥-+-+-≥-+-++-+-≥
又2012...0n n a pa p a p a ++++=，且(0,1,2,...,)i a i n =中至少有一个非零.故上述不等式至少有一个严格大于0.将上式相加 212012((1))((1)(1))...((1)(1)...(1))0n n n n a p p a p p p p a p p p p p p a --++-++-+-+++-+-++->即012...0n a a a a +++>+.。