波形估计-信号统计分析-07

6.2.1 广义平稳随机信号的维纳滤波原理
假设信号和噪声均为零均值的广义平稳随机过程且
互不相关，则观测信号 x (t ) = s (t ) + n(t ) 也是零均值广义 平稳随机过程，且和 g (t )联合广义平稳。
线性滤波器的冲激响应为 h(t ) ，输出信号 y (t )为：
y
(
t
)
=
+∞
∫−∞
利用线性最小均方误差估计的正交条件
E{e(t) x(τ ′)} = 0 , − ∞ < τ ′ < +∞
可得非因果广义平稳随机过程的维纳－霍夫方程
∫ Rgx (η ) =
+∞ −∞
h
(
λ
)
Rx
(η
−
λ
)
d
λ
,
− ∞ <η < +∞
因果广义平稳随机过程的维纳－霍夫方程
Rgx
(η
)
=
+∞
∫0
h
(
λ
)
Rx
1
−(R + r)
L
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢⎣
x1 x2
(t) (t)
⎤ ⎥ ⎥⎦
+
⎡0 ⎣⎢1 L
⎤ ⎥ ⎦
u
(
t
)
⎨
⎪ ⎪
y
(t
)
=
[0
⎩
R
]
⎡ ⎢ ⎢⎣
x1 x2
(t ) ⎤ (t )⎥⎥⎦
状态变量：描述系统状态的一组数目最少的变量 状态方程：状态变量所满足的一阶微分方程 观测方程：描述系统输出与状态变量之间关系的方程
Sx
(
s
)
=
S
+ x
(
s
)
Sx−
(
s
)
由于 Sx (ω ) = Sx* (ω ) = Sx (−ω ) ，则
Sx+ (−s) = Sx− (s)
于是有
H
(s)
S
+ x
(s)
=
Sgx ( s)
S
− x
(
s
)
+
B(s)
S
− x
(
s
)
=
⎡ ⎢ ⎣
S gx
S
− x
(s)⎤+
(
s)
⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎣
S gx S x−
矢量形式为： R xh = rgx
，则：h
=
R
r−1
x gx
{ } N−1 均方误差为： E e2 (k ) ∑ min = Rg (0) − h ( j) Rgx ( j)
j=0
x(k) = s(k)+n(k)
z −1
"
z −1
h(0)
h(1) " h( N −1)
线性滤波器
h(k)
Σ
y (k ) = gˆ (k ) = sˆ(k +α )
(t
)
+
L
di (t
dt
)
+
1 C
t
∫−∞
i
(τ
)
dτ
uo (t ) = R⋅i (t )
利用 可得
令 可得
i (t ) = dq (t ) ,
dt
q
(
t
)
=
t
∫−∞
i
(τ
)
dτ
L
d
2q dt
(
2
t
)
+
(
R
+
r
)
dq (t
dt
)
+
1 C
q
(
t
)
=
ui
(
t
)
uo
(
t
)
=
R
dq (t
dt
)
q (t ) = x1 (t ),
6.2.3 物理可实现维纳滤波器的解
对于因果的维纳-霍夫方程：
∫ Rgx (η ) =
+∞ −∞
h
(
λ
)
Rx
(η
−
λ
)
d
λ
0 ≤ η < +∞
其求解方法有如下两种：
1. 频谱因式分解法 2. 预白化法
1. 频谱因式分解法
引入一个新函数：b
(η
)
=
⎧0 ⎩⎨形式不作具体规定
η ≥0 η <0
则有：
Rgx
)
Rgx
(
λ
)
d
λ
SNR (ω )
例 6.1
考虑输入信号 x (t ) 为高斯-马尔可夫信号 s (t ) 和噪声
n(t )的叠加，假定信号和噪声统计独立，其功率谱分别为
Ss
(ω)
=
1
3 +ω2
和 Sn (ω) = 1 。
求：α 分别取0，+1和-1时物理不可实现维纳滤波器
的冲激响应及最小均方误差。
sˆ2
=
1 2
( x2
+
sˆ1 )
，存储 sˆ2，
清除 x2, sˆ1 ；
3. 依此类推，测量 xN ，取样本均值估计量为
sˆN
=
N −1 N
sˆN
−1
+
1 N
xN
，存储
sˆN
，清除 sˆN−1, xN 。
例： 需要对一运动目标进行跟踪测量，估计出目标的位移
与速度。假设目标在时刻 tk 的位移为 xk ，采样间隔 T ， 并且假设在时间区间 [tk , tk + T ] 内目标作匀速直线运动。观 测样本为 yk = xk + nk
h
(
t
−τ)
x
(τ)
dτ=
+∞
∫−∞
h
(τ)
x
(
t
−τ)
dτ
估计误差为： e(t ) = g (t ) − gˆ (t) = g (t) − y (t)
{ } 均方误差为： E {e2 (t )} = E ⎡⎣g (t ) − y (t )⎤⎦2 → min
中国科学技术大学本科生课程 信号统计分析 00660500
x(t) = s(t) + n(t)
s (t0 )
滤波：估计信号 s (t0 )
t t0
t t0
s (t0 + α ), α > 0
预测：估计信号 s (t0 +α ) α > 0
s (t0 + α ), α < 0
平滑：估计信号 s (t0 +α ) α < 0
t0 t0 + α
t
t0 +α
t0
t
j =−∞
j = −∞
选取 h(k ) 使得 y (k ) 的估计均方误差
{ } E{e2 (k )} = E ⎡⎣g (k ) − y (k )⎤⎦2
达到最小，这时的离散线性系统称为随机序列的维纳滤波 器。其解满足线性最小均方误差估计的正交条件：
E
⎧⎪⎡ ⎨⎢
g
(k
)
−
+∞
∑
h(
j)
x(k
−
j )⎤⎥
最小均方误差准则
e(k) −
+
+
s(k)
z −1
z−1
"
z −1
g(k) = s(k +α)
共α个
6.4 α − β 滤波
下面通过举例引入 α − β 滤波。 假设常值信号中混杂了加性噪声，现用N 个观测样本 xk = s + nk 来估计常值信号s 。
一种处理方法是：
1.测量 x1，存储 x1，取样本均值估计量为 sˆ1 = x1；
2.测量
x2，存储
x2 ，取样本均值估计量为
sˆ2
=
1 2
(
x1
+
x2 ) ；
3.依此类推，测量 xN ，存储 xN ，取样本均值估计量为
sˆN
=
1 N
(x1 +
x2
+"+
xN ) 。
另一种处理方法是：
1. 测量 x1，取样本均值估计量为 sˆ1 = x1 ，存储 sˆ1，清除 x1；
2.
测量
x2，取样本均值估计量为
做法：用 xˆk表示对目标位移 xk 的估计值，则 xˆk 为该时刻 目标的速度估计值。
建立预测方程： xˆk−+1 = xˆk + Txˆk xˆk−+1 = xˆk
中国科学技术大学本科生课程 信号统计分析 00660500
利用新的观测值 yk+1 建立更新方程：
( ) xˆk+1 = xˆk−+1 + α yk+1 − xˆk−+1
(η
−
λ
)
d
λ
0 ≤η < +∞
6.2.2 物理不可实现维纳滤波器的解
由非因果维纳－霍夫方程，可得
Sgx (ω) = H ( jω ) Sx (ω)
即
H
(
jω)
=
Sgx (ω) Sx (ω)
对于 g (t) = s (t +α ) ，有
H
(
jω)
=