内蒙古乌兰察布市集宁一中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析

内蒙古乌兰察布市集宁一中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A． B．（0，1] C．2．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或24．二次函数y=﹣x2+4x+t的顶点在x轴上，则t的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．25．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．6．已知f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）等于（）A．2x+1 B．2x﹣1 C．2x﹣3 D．2x+77．已知a=4，b=log，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c8．设f（x）=x3+bx+c是上的增函数，且f（﹣）f（）＜0，则方程f（x）=0在内（）A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根9．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．10．如图所示，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A ．2B ．12C ．8D ．411．已知f （x ）=ln （x 2+1），g （x ）=（）x ﹣m ，若∀x 1∈，∃x 2∈，使得f （x 1）≥g （x 2），则实数m 的取值范围是（ ）A ．[，+∞）B ．（﹣∞，] C ．[，+∞） D ．（﹣∞，﹣]12．已知f （x ）=x 2+sin （+x ），则f′（x ）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．若命题“存在x 0∈R ，使x 02+2x 0+m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为 ．14．已知函数g （x ）=（﹣x 2+5x ﹣3）e x （e 为自然对数的底数），求函数y=g （x ）在x=1处的切线方程．15．对于任意实数a ，b ，定义设函数f （x ）=﹣x+3，g （x ）=log 2x ，则函数h （x ）=min{f （x ），g （x ）}的最大值是 ．16．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①y=x ﹣；②y=x+；③y=中满足“倒负”变换的函数是．三.解答题（本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知α为第三象限角，．（1）化简f（α）；（2）若，求f（α）的值．18．已知定义域为R的函数是奇函数．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣1）＜0．19．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（1）求f（x）的单调增区间；（2）是否存在a，使f（x）在（﹣2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．20．函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有 f（）=f（x）﹣f（y），当x＞1 时，有f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．22．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．内蒙古乌兰察布市集宁一中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A． B．（0，1] C．【考点】1D：并集及其运算．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=．故选：A．2．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．故选：B．3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或2【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0．【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则，解得：m=2．故选：B．4．二次函数y=﹣x2+4x+t的顶点在x轴上，则t的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【考点】3W：二次函数的性质．【分析】先对解析式配方得到抛物线的顶点式，求出顶点坐标，再令纵坐标为零求出t的值．【解答】解：∵y=﹣x2+4x+t=y=﹣（x﹣2）2+4+t，∴二次函数y=﹣x2+4x+t的顶点坐标是（2，4+t），∵顶点在x轴上，∴4+t=0，解得t=﹣4，故选A．5．已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．【考点】2J：命题的否定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p转化到¬p，求出¬q，然后解出a．【解答】解：由p：x2+2x﹣3＞0，知 x＜﹣3或x＞1，则¬p为﹣3≤x≤1，¬q为x≤a，又¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1．故选：B．6．已知f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）等于（）A．2x+1 B．2x﹣1 C．2x﹣3 D．2x+7【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】先根据f（x）的解析式求出g（x+2）的解析式，再用x代替g（x+2）中的x+2，即可得到g（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），∴g（x+2）=2x+3=2（x+2）﹣1，∴g（x）=2x+3=2x﹣1故选B7．已知a=4，b=log，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：因为a=4＞40=1，0=＜b=log＜=1，c=log3＜log31=0，所以a＞b＞c．故选：A．8．设f（x）=x3+bx+c是上的增函数，且f（﹣）f（）＜0，则方程f（x）=0在内（）A．可能有3个实数根 B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数f（x）=x3+bx+c是上的增函数，判断b的取值范围，进而得到函数f（x）在R时是单调递增函数，结合f（﹣）f（）＜0得结论．【解答】解：由f（x）=x3+bx+c，得f′（x）=3x2+b，∵f（x）=x3+bx+c是上的增函数，∴f′（x）=3x2+b≥0对任意x∈恒成立，即b≥﹣3x2，∴b≥0．∴f′（x）=3x2+b≥0．则f（x）在上为增函数，又f（﹣）f（）＜0，∴f（x）在（）上有唯一零点，则方程f（x）=0在内有唯一的实数根．故选：C．9．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】根据分段函数的性质，f（x）=在（﹣∞，+∞）上是增函数，二次函数开口向下，∴是增函函，故得对称轴x=﹣≥1，那么反比例函数在（1，+∞）必然是增函数．从而求解a的取值范围．【解答】解：由题意：函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴二次函数﹣x2﹣ax﹣5，开口向下，∴是增函函，故得对称轴x=﹣≥1，解得：a≤﹣2．反比例函数在（1，+∞）必然是增函数，则：a＜0；又∵函数f（x）是增函数，则有：，解得：a≥﹣3．所以：a的取值范围．故选D．10．如图所示，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．2 B．12 C．8 D．4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在点P处的切线的斜率就是函数y=f（x）在该点的导数值，因此可求得f′（5），再根据切点的双重性，即切点既在曲线上又在切线上，可求得f（5），则f（5）+f′（5）可求．【解答】解：根据图象知，函数y=f（x）的图象与在点P处的切线切于点P，∴f（5）=﹣5+8=3，又f′（5）为函数y=f（x）的图象在点P处的切线的斜率，∴f′（5）=﹣1，则f（5）+f′（5）=3﹣1=2．故选：A．11．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈，∃x2∈，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围．【解答】解：因为x1∈时，f（x1）∈；x2∈时，g（x2）∈[﹣m，﹣m]．故只需0≥﹣m⇒m≥．故选A．12．已知f（x）=x2+sin（+x），则f′（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先化简，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再取x=，得到f′（）＜0，从而排除C，即可得出正确答案．【解答】解：∵f（x）=x2+sin（+x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，设g（x）=x﹣sinx，∴g（﹣x）=﹣x+sinx=﹣g（x），∴g（x）的图象关于原点对称，即f′（x）的图象关于原点对称，排除BD当x=时，f′（）=×﹣sin=﹣=＜0，排除C，故选：A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．若命题“存在x0∈R，使x02+2x0+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．【考点】2I：特称命题．【分析】由命题“存在x0∈R，使x02+2x0+m≤0”是假命题，可得∀x∈R，x2+2x+m＞0，是真命题．因此m＞．利用二次函数的单调性即可得出．max【解答】解：∵命题“存在x0∈R，使x02+2x0+m≤0”是假命题，∴∀x∈R，x2+2x+m＞0，是真命题．∴m＞max．∵﹣（x2+2x）min=﹣（x+1）2+1≤1．∴m＞1．∴实数m的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．14．已知函数g（x）=（﹣x2+5x﹣3）e x（e为自然对数的底数），求函数y=g（x）在x=1处的切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到g′（1）=4e，再求得g（1）=e，代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由g（x）=（﹣x2+5x﹣3）e x，得g′（x）=（﹣2x+5）e x+（﹣x2+5x﹣3）e x =（﹣x2+3x+2）e x．∴g′（1）=4e，又g（1）=e，∴函数y=g（x）在x=1处的切线方程为y﹣e=4e（x﹣1），即4ex﹣y﹣3e=0．15．对于任意实数a，b，定义设函数f（x）=﹣x+3，g （x）=log2x，则函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是 1 ．【考点】4T：对数函数图象与性质的综合应用．【分析】分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象，结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知，在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）=﹣x+3＜3，g（x）=log2x∈R，分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x 的图象，结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知，h（x）=min{f（x），g（x）}的图象，在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．解方程组得，∴函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是1．故答案是1．16．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①y=x﹣；②y=x+；③y=中满足“倒负”变换的函数是①③．【考点】F7：进行简单的演绎推理．【分析】利用“倒负”函数定义，分别比较三个函数的f（）与﹣f（x）的解析式，若符合定义，则为满足“倒负”变换的函数，若不符合，则举反例说明函数不符合定义，从而不是满足“倒负”变换的函数．【解答】解：①设f（x）=x﹣，∴f（）=﹣x=﹣f（x），∴y=x﹣是满足“倒负”变换的函数，②设f（x）=x+，∵f（）=，﹣f（2）=﹣，即f（）≠﹣f（2），∴y=x+是不满足“倒负”变换的函数，③设f（x）=，则﹣f（x）=，∵0＜x＜1时，＞1，此时f（）﹣x；x=1时， =1，此时f（）=0，x＞1时，0＜＜1，此时f（）=，∴f（）==﹣f（x），∴y=是满足“倒负”变换的函数．故答案为：①③三.解答题（本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知α为第三象限角，．（1）化简f（α）；（2）若，求f（α）的值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】（1）直接利用诱导公式化简求解即可．（2）通过，求出sinα，然后求出cosα，即可得到f（α）的值．【解答】解：（1）（2）∵∴从而又α为第三象限角∴即f（α）的值为．18．已知定义域为R的函数是奇函数．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣1）＜0．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】（Ⅰ）利用f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），即可求a、b的值；（Ⅱ）利用（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，f（x）是奇函数，即可解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣1）＜0．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，解得b=1，所以．又由f（1）=﹣f（﹣1），解得a=2，（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因f（x）是奇函数，从而不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣1）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t21）=f（﹣2t2+1）．因f（x）是减函数，由上式推得t2﹣2t＞﹣2t2+1，即3t2﹣2t﹣1＞0解不等式可得t＞1或，故不等式的解集为：．19．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（1）求f（x）的单调增区间；（2）是否存在a，使f（x）在（﹣2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，再讨论①若a≤0，②若a＞0的情况，从而求出单调区间；（2）由f′（x）=e x﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．从而a≥e x在x∈（﹣2，3）上恒成立，从而f（x）在（﹣2，3）上为减函数，得a≥e3．故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．【解答】解f′（x）=e x﹣a，（1）若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，即f（x）在R上递增，若a＞0，e x﹣a≥0，∴e x≥a，x≥ln a．因此f（x）的递增区间是[lna，+∞）．（2）由f′（x）=e x﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．∴a≥e x在x∈（﹣2，3）上恒成立．又∵﹣2＜x＜3，∴e﹣2＜e x＜e3，只需a≥e3．当a=e3时f′（x）=e x﹣e3在x∈（﹣2，3）上，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣2，3）上为减函数，∴a≥e3．故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．20．函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0，都有 f（）=f（x）﹣f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．【考点】3P：抽象函数及其应用；3F：函数单调性的性质．【分析】（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；（2）利用单调性的定义，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，作差f（x2）﹣f（x1）后，判断符号即可；（3）依题意，由f（6）=1⇒f（36）=2，于是f（x+3）﹣f （）＜2⇔f（x2+3x）＜f（36）⇔，解之即可．【解答】解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）﹣f（1）=0，所以f（1）=0．（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（），∵x2＞x1＞0，∴＞1，故f（）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）因为f（6）=1，所以f（36）﹣f（6）=f（6），所以f（36）=2f（6）=2．由f（x+3）﹣f （）＜2，得f（x2+3x）＜f（36），所以即解得：0＜x＜．所以原不等式的解集为（0，）．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．22．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，解得：x＞﹣1，∴﹣1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（﹣1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．。