第四章第1讲分层演练直击高考

→ → → → [解析] 由AN＝3 NC，得 4AN＝3AC＝3(a＋b)， 1 → AM＝a＋ b， 2
1 1 1 → 3 所以MN＝ (a＋b)－ a＋2b ＝－ a＋ b. 4 4 4
1 1 [答案] － a＋ b 4 4
第四章
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9．(2017· 唐山统考)已知 a 与－b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ 的值为________．
→ → → → → → [解析] BC＝AC－AB，当AB，AC同向时，|BC|＝8－5＝3； → → → → → 当AB，AC反向时，|BC|＝8＋5＝13；当AB，AC不共线时， → → 3＜|BC|＜13.综上可知 3≤|BC|≤13.
[答案] [3，13]
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→ → → → 8．在▱ABCD 中，AB＝a，AD＝b，AN＝3 NC，M 为 BC 的 → 中点，则MN＝________(用 a，b 表示)．
[解析] 由题意可求得 AD＝1，CD＝ 3， → → 所以AB＝2DC. 因为点 E 在线段 CD 上， → → 所以DE＝λDC(0≤λ≤1)．
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→ → → 因为AE＝AD＋DE， → → → → → → 2μ → 又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋ DE， λ 2μ λ 1 所以 λ ＝1，即 μ＝ .因为 0≤λ≤1，所以 0≤μ≤ . 2 2
B．(1，＋∞) D．(0， 2)
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B
→ → → → [解析] 由题意可得OD＝kOC＝kλOA＋kμOB(0＜k＜1)，
1 又 A，D，B 三点共线，所以 kλ＋kμ＝1，则 λ＋μ＝k＞1，即 λ＋μ 的取值范围是(1，＋∞)，选项 B 正确．
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→ → → 7．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是________．
m － λ ＝ 0， 所以 所以 n＋λ－1＝0.
m＋n＝1.
所以 A，P，B 三点共线的充要条件是 m＋n＝1.
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所以 a＋b＋c＝－c＋c＝0.
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5．已知 a，b 是非零向量，命题 p：a＝b，命题 q：|a＋b|＝ |a|＋|b|，则 p 是 q 的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 )
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A
[解析] 若 a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝
→ → → → → → → → → → (AB＋PC)＋(BA－QC)＝(AB＋BA)＋(PC－QC)＝PC＋CQ＝ → PQ；
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→ → → → → → QC－QP＋CQ＝PC＋CQ＝PQ； → → → → → PA＋AB－BQ＝PB－BQ， → → → 显然由PB－BQ得不出PQ， → 所以不能化简为PQ的式子是 D．
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2．若 A，B，C，D 是平面内任意四点，给出下列式子： → → → → → → → → → → ①AB＋CD＝BC＋DA； ②AC＋BD＝BC＋AD； ③AC－BD＝ → → DC＋AB.其中正确的个数是( A．0 C．2
C
) B．1
D．3 → → → → → [解析] ①式的等价式是AB－BC＝DA－CD， 左边＝AB＋
→ → ＋m(OA－OB)， → → → → 所以OP－OB＝m(OA－OB)， → → 即BP＝mBA， → → 所以BP与BA共线． → → 又因为BP与BA有公共点 B，则 A，P，B 三点共线．
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→ → 必要性： 若 A， P， B 三点共线， 则存在实数 λ， 使BP＝λBA， → → → → 所以OP－OB＝λ(OA－OB)． → → → 又OP＝mOA＋nOB. → → → → 故有 mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB， → → 即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0. → → 因为 O，A，B 不共线，所以OA，OB不共线，
[解析] 因为 a＋λb 与－(b－3a)共线， 所以存在实数 μ，使 a＋λb＝μ(3a－b)， 1 μ＝3， 1＝3μ， 即 所以 λ＝－μ， λ＝－1. 3
1 [答案] － 3
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10．在直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝ → → → 2 3，BC＝2，点 E 在线段 CD 上，若AE＝AD＋μAB，则 μ 的取值范围是________．
B
3 D． 4 → | CP | 2 → → [解析] 因为CP＝2PA，所以 ＝ ，又△PAB 在边 PA → 1 |PA|
→ S△PAB |PA | 1 上的高与△PBC 在边 PC 上的高相等，所以 ＝ ＝ . S△PBC → 2 |CP|
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4．已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，并且 a＋b 与 c 共线，b＋c 与 a 共线，那么 a＋b＋c 等于( A．a C．c B．b D．0 )
→ → → → → CB， 右边＝DA＋DC， 不一定相等； ②式的等价式是AC－BC → → → → → → → ＝AD－BD， AC＋CB＝AD＋DB＝AB成立； ③式的等价式是 → → → → → → AC－DC＝AB＋BD，AD＝AD成立．
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3． (2017· 广州市综合测试(一))设 P 是△ABC 所在平面内的一 → → 点，且CP＝2PA，则△PAB 与△PBC 的面积的比值是( 1 A． 3 2 C． 3 1 B． 2 )
[答案]
1 0， 2
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11．如图，EF 是等腰梯形 ABCD 的中位线，M，N 是 EF 上 → → → → 的两个三等分点，若AB＝a，BC＝b，AB＝2DC.
→ (1)用 a，b 表示AM； (2)证明 A，M，C 三点共线．
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1 1 → → → → [解] (1)AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋－2a＝ a＋b， 2 又 E 为 AD 中点， 1 → 1→ 1 所以AE＝ AD＝ a＋ b， 2 4 2 → → 因为 EF 是梯形的中位线，且AB＝2DC， 1 1 3 → 1 → → 所以EF＝ (AB＋DC)＝ a＋2a＝ a， 2 2 4 → 1→ 1 又 M，N 是 EF 的三等分点，所以EM＝ EF＝ a， 3 4 1 1 → → → 1 所以AM＝AE＋EM＝ a＋ b＋ a 4 2 4 1 1 ＝ a＋ b. 2 2
D
[解析] 因为 a＋b 与 c 共线，
所以 a＋b＝λ1c.① 又因为 b＋c 与 a 共线， 所以 b＋c＝λ2a. 由①得 b＝λ1c－a.
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所以 b＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，
λ 1＋1＝0， λ 1＝－1， 所以 即 λ 2＝－1， λ 2＝－1，
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→ 1．下列各式中不能化简为PQ的是( → → → A．AB＋(PA＋BQ) → → → → B．(AB＋PC)＋(BA－QC) → → → C．QC－QP＋CQ
)
→ → → D．PA＋AB－BQ → → → → → → → → → D [解析] AB＋(PA＋BQ)＝AB＋BQ＋PA＝PA＋AQ＝PQ；
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→ 2→ 1 (2)证明：由(1)知MF＝ EF＝ a， 3 2 1 → → → 1 → 所以MC＝MF＋FC＝ a＋ b＝AM， 2 2 → → 又MC与AM有公共点 M，所以 A，M，C 三点共线．
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→ → → 12．已知 O，A，B 是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m， n∈R)．求证：A，P，B 三点共线的充要条件是 m＋n＝1. → → → → [证明] 充分性：若 m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB
2|a|，即 p⇒q， 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知 a 与 b 同向共线， 即 a＝λb，且 λ＞0，故 q p.
所以 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A．
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6．(2017· 石家庄市第一次模考)已知 A，B，C 是圆 O 上不同 → → 的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D，若OC＝λOA＋ → μOB(λ＞0，μ＞0)，则 λ＋μ 的取值范围是( A．(0，1) C．(1， 2 ] )