山东省平邑县高中数学第二章平面向量2.2向量的线性运算小结导学案无答案新人教A版必修4

2.2向量的线性运算小结
【学习目标】
1．掌握向量加法的平行四边形法则及加减法的三角形法则．
2．理解学会共线向量定理在平面几何图形中的应用．
【新知自学】
知识梳理：
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的加法与减法
加法：
（1）定义：求两个向量和的运算
（2）法则(或几何意义)：
三角形法则
平行四边形法则
（3）运算律：交换律：a＋b＝b＋a.
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法：
（1）定义：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b
（2）法则(或几何意义)：
三角形法则
（3）运算律：a－b＝a＋(－b)
3.向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，
λa ＝0.
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4．共线向量定理
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 感悟： 点的向量．
2.在△ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD →＝12
(AB →＋AC →)． 3.向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形．
对点练习：
1b 不相等，则a 与b 一定( )．
A ．有不相等的模
B ．不共线
C ．不可能都是零向量
D ．不可能都是单位向量
2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )．
A ．共线
B ．不共线
C ．共线且同向
D ．不一定共线
3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )．
A ．EF →＝OF →＋OE →
B ．EF →＝OF →－OE →
C ．EF →＝－OF →＋OE →
D ．EF →＝－OF →－O
E →
4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )．
A ．－BC →＋12
BA → B ．－BC →－12
BA → C.BC →－12
BA → D.BC →＋12
BA → 5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.
【合作探究】 典例精析：
专题一 平面向量的有关概念
例1．给出下列命题：
①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD
为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .
其中正确命题的序号是________．
变式练习1： 给出下列四个命题：
①a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．
其中所有正确命题的序号是________．
专题二 平面向量的线性运算
例2．如图，在梯形ABCD 中，|AB →|＝2|DC →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点．若AB →＝e 1，AD
→＝e 2，用e 1，e 2表示DC →，BC →，MN →.
变式练习2：
如图，在△ABC 中，AD →＝23
AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N .设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.
专题三 共线向量定理的应用
例3．设两个非零向量a 与b 不共线．
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
变式练习3： 若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，1
3(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？
【课堂小结】
【当堂达标】
1．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么(
)． A ．AO →＝OD → B ．AO →＝2OD →
C ．AO →＝3O
D → D ．2AO →＝OD →
2．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF →＝( )．
A ．12A
B →
＋12AD → B ．－12AB →－12AD →
C ．－12AB →＋12A
D → D ．12AB →－1
2AD →
3．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( )．
A ．a －b ＋c －d ＝0
B ．a －b －c ＋d ＝0
C ．a ＋b －c －d ＝0
D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0
4．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|
的值为( )．
A ．1
2 B ．1
3 C ．1
4 D ．1
6
5．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点
共线，则实数p 的值为________．
6.如图，在矩形ABCD 中，|AB →|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |
＝________.
【课时作业】
1．设a ，b 是两个非零向量．( )．
A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b
B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa
D ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )． A ．AB 边中线的中点
B ．AB 边中线的三等分点(非重心)
C ．重心
D ．AB 边的中点
3．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积
比为( )．
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
4．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的
形状为________．
5．(1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，
求证：A ，B ，D 三点共线．
(2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，
B ，D 三点共线，求k 的值．
【延伸探究】
6.在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD 是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则实数λ＝( )．
A ．a ·a －b |a －b |
B ．a ·b －a |a －b |
C ．a ·a －b |a －b |2
D ．a ·b －a |a －b |
2 7*．如图，在平行四边形OADB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表
示OM →，ON →及MN →.。