同济第三版-高数- 第六节微分法在几何上的应用_.ppt

高数同济大学第三版第一章第六节双曲函数

双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x . 反双曲函数还有如下的表达式：反双曲函数还有如下的表达式：
y = arsh x = ln( x + x + 1)，
2
y = arch x = ln( x + x − 1)，
2
1 1+ x y = arth x = ln ， 2 1− x 1 x +1 y = arcoth x = ln . 2 x −1
第一章函数极限连续
第六节
双曲正弦函数
双曲函数
y
e −e sh x = 2
x
−x
, x ∈ ( −∞ ,+∞ ).
y = ch x
1
双曲余弦函数
y = sh x O x
e x + e− x ch x = , x ∈ ( −∞ ,+∞ ). 2
双曲正切函数
e x − e − x sh x th x = x 即 , x ∈ ( −∞ ,+∞ ). −x e + e ch x
y
1
y = th x O x
-1
双曲余切函数
e x + e− x coth x = x e − e− x ch x 即 sh x , x ∈ ( −∞ ,0) U (0,+∞ ).
y
1
y = coth x
O
-1
x
这些函数之间存在着下述关系：这些函数之间存在着下述关系： sh (x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y . ch (x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x − sh2 x = 1 .

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当x→0,y→0时的极限不存在，所以点(0,0)是该函数的一个间断点.
函数
1 z sin x2 y2 1
在圆周 x2 y2 1上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点，是一条曲线.
性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值.
在D上至少有一点 P1 及一点 P2 ，使得 f (P1)为最大值而f (P2 ) 为最小值，即对于一切P∈D，有
P
于E的点，也有不属于E的点，
E 图 8-1
则称P为E的边界点（图8-2）. 设D是开集.如果对于D内的
任何两点，都可用折线连结起
上一页下一页返回
P E 图 8-2
来,而且该折线上的点都属于D, 则称开集D是连通的.
连通的开集称为区域或开区域. 开区域连同它的边界一起,称为闭区域.
3.n维空间
也就是
U (P0, ) {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 }
下一页返回
2.区域设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个
点.如果存在点P的某一邻域U (P) 使U (P) E，则称P为E的内点(图8-1).
如果点集E的点都是内点，则称E为开集.
如果点P的任一邻域内既有属
可表示为
z Ax By o()
上一页下一页返回
其中A、B不依赖于Δx、Δy而仅与x,y有关，
(x)2 (y)2 ，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)
可微分，而 Ax By 称为函数z=f(x,y)在点
(x,y)全微分，记作dz,即
dz Ax By
(2)
如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分.

第八章6微分法在几何上的应用

切平面方程 4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程 x 1 y 2 z 0 .
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面
x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
dx dx
dy z x , dx y z
dz x y , dx y z
dy 0, dx (1,2, 1)
dz
1,
dx (1,2, 1)
由此得切向量 T {1, 0,1},
所求切线方程为
x 1 y 2 z 1,
1
0 1
法平面方程为 ( x 1) 0 ( y 2) (z 1) 0,
例 4 求曲面z ez 2xy 3 在点(1,2,0) 处的
切平面及法线方程. 解令 F( x, y, z) z ez 2xy 3,
F x (1,2,0) 2 y (1,2,0) 4,
F y (1,2,0)
2x (1,2,0)
2,
F z (1,2,0) 1 e z (1,2,0) 0,
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
切向量
T
Fy Gy
Fz , Fz Gz Gz
Fx , Fx Gx Gx
Fy
Gy
切线方程
x x0 y y0 z z0 , Fy Fz Fz Fx Fx Fy
Gy
法平面方程为
Gz 0
Gz Gx 0
Gx Gy 0
Fy Gy
Fz Gz
•M
x
y
z x o
y

同济版大一高数第九章第6节多元函数微分学的几何应用

1 f y (1,1) = 1+ y2
1 = −1 − 2 f x (1,1) = 2 2 1 x 1+ x=1 1 x = y=1 2 1
1 r 1 1 ∴ n = (− , ,−1) = − (1, − 1, 2 ) 2 2 2 π 1 1 切平面方程：切平面方程： z − = − ( x − 1) + ( y − 1) 4 2 π 2
时, 令
F ( x, y , z ) = f ( x, y ) − z
则在点 ( x, y , z ), 故当函数在点 ( x0 , y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
Σ 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 有
切平面方程
z − z 0 = f x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ( x0 , y 0 ) ( y − y 0 )
12
证:
在 ∑ 上,
∴ F (ϕ (t ) , ψ (t ) , ω (t ) ) ≡ 0
T
M
Γ
两边在 t = t0 处求导, 注意 t = t0 对应点M ,
得
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ϕ ′(t0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 ) ψ ′(t0 )
+ Fz ( x0 , y0 , z0 )ω ′(t0 ) = 0
高等数学
第十一讲
1
第六节多元函数微分学的几何应用
第九章
一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线
2
复习: 复习平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线在点 ( x0 , y0 ) 有
切线方程 y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ) y − y 0 = − 1 ( x − x0 ) 法线方程 f ′( x0 ) Fx ( x, y ) dy 若平面光滑曲线方程为 =− 因 dx Fy ( x, y ) 故在点有切线方程 Fx ( x0 , y0 ) ( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 )( y − y0 ) = 0 法线方程 Fy ( x0 , y0 )( x − x0 ) − Fx ( x0 , y0 ) ( y − y0 ) = 0

同济大学微积分第三版课件第二章第六节

曲线有水平切线. 若记点 C y
的横坐标为 , 则有
C
y f x
f ( ) 0.
A
B
Oa
bx
进一步观察, 当 f a f b 时, 又看到在曲线弧 AB
上, 至少有一点 C, 弧 AB在该点处的切线 CT 平行于弦
AB, 又切线CT 的斜率是 f (b) f (a) , 以记C 的横坐
例3 设函数 y x 4 , 画出曲线在 0,100,10中的图
x
形, 在同一平面上作出过点 1,5,8,8.5的割线, 并作
相应的切线.
割线的斜率为: k 0.5. 所以, 割线方程:
y 0.5x 4.5. 为求切点的x 坐标, 求解方程:
4 1 0.5.
π 2

上连续,
可导,
且
g x 1 sin x 0 x 0, π / 2, 即满足定理的条
件, 现求 0,π / 2, 使得
f π / 2 f 0 f g π / 2 g 0 g .
因
f g

π π
/ /
2 2
当 x 0 时,
f (x0 x) f (x0 ) 0; x
由函数 f (x) 在点 x0处的可导性及极限的保号性, 得
f (x0 )
f(x0 )

lim
x 0
f (x0 x) x
f (x0 ) 0,
f (x0)
f(x0 )

lim
x 0
f ( ) 0.
证因 f Ca,b,故f x必在a,b上取到最大值 M 与最小值 m.若 M m, f C a,b, 有

《微分及其应用》课件

成本函数：描述成本与产量的关系
边际成本：增加一单位产量所增加的成本
边际收益：增加一单位产量所增加的收益
边际成本和边际收益的关系：决定企业是否继续生产
成本和收益分析在经济学中的应用：帮助企业做出最优决策
微分在物理学中的应用
速度和加速度的计算
微分在物理学中的应用：速度和加速度的计算速度的定义：物体在单位时间内通过的距离加速度的定义：物体速度的变化率微分在速度和加速度计算中的应用：通过微分方程求解速度和加速度
微分及其应用
汇报人：
目录
微分的概念
01
微分的应用
02
微分在经济学中的应用
03
微分在物理学中的应用
04
微分在工程学中的应用
05
微分的进一步学习建议
06
微分的概念
微分的定义
微分是函数在某一点的切线斜率
微分是函数在某一点的增量
微分是函数在某一点的变化率
微分是函数在某一点的导数
微分的几何意义
阻抗匹配在通信工程中的应用：在通信系统中，阻抗匹配可以减少信号损失，提高传输效率
阻抗匹配在电力电子工程中的应用：在电力电子设备中，阻抗匹配可以减少功率损耗，提高设备效率
机械振动中的频率分析
微分在机械振动中的应用：通过微分方程求解振动频率振动频率的定义：振动物体在单位时间内振动的次数振动频率的测量：通过传感器和信号处理技术进行测量振动频率的应用：在机械设计中用于优化结构、提高性能和降低噪声
弹性碰撞中的动量守恒和能量守恒
动量守恒定律：在弹性碰撞中，系统的总动量
保持不变
能量守恒定律：在弹性碰撞中，系统的总能量
保持不变
动量守恒和能量守恒的关系：动量守恒和能量守恒是相互关联的，动量守恒是能量

微分法在几何上的应用06072

Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
0
(
x

x0
)

Fz Gz
Fx Gx
(
0
y

y0 )

Fx Gx
Fy Gy
0
(
z

z0
)

0
例 2 求曲线 x2 y2 z2 6，x y z 0 在点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
二、曲面的切平面与法线
曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平
面.
Ⅰ 曲面方程为
F(x, y,z) 0
M ( x0 , y0 , z0 )
在曲面上任取一条通过点M的曲线
x (t)
:

y

(t
),
z (t)
n
T
M
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0, z0 )(z z0 ) 0
切平面上的点的竖坐标的增量.
若、、表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z 轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向余
弦为
cos cos cos
fx
,
1
f
2 x

f
2 y
fy
,
1
f
2 x

f
2 y
1
.

2019年六节多元函数微分学几何应用.ppt

z z0
' (t0 )
z
M
Q
M T
xo
y
方向向量 T ( '(t0), '(t0),'(t0) )
切线的方向向量也称为曲线的切向量。
法平面：过点 M 且与这点的切线垂直的平面
由点法式得：点 M (x0, y0, z0)处的法平面方程为
'(t0)(x x0) '(t0)( y y0) '(t0)(z z0) 0
点M (x0, y0, z0)对应于参数t t0，
且'(t0)、 '(t0)、'(t0) 不全为0.
则
z
曲线在点M处的切线方程为：
x x0 y y0 z z0
'(t0 ) '(t0 ) '(t0 )
曲线在曲面上 F[(t), (t),(t)] 0
O x
y
F(x, y, z)在点(x0, y0, z0)处有连续偏导数,
且'(t0), '(t0),'(t0)存在上式左端在点t t0可导

d dt
F[(t), (t),(t)] |t t 0
0
(*)
(链锁法则)
由链锁法则，得
d dt
F[ (t ),
(t ), (t )]
2 y
(
x0
,
y0 )
cos
1
1
f
2 x
(
x0
,
y0)
f
2 y
(
x0
,
y0 )
例3 求球面 x2 y2 z2 14 在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.

高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt

当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故

同济第三版-高数-(8.6) 第六节微分法在几何上的应用

设：M0 ↔ t 0 , M ↔ t 0 + t，则当 M →M0 时，
t → 0， x, y , z → 0 . 改写割线方程：
x x0 y y0 z z0 . x y z t t t y z . x 由于 lim t 0 , lim t 0 , lim t0 t 0 t t 0 t t 0 t

M0

a , a , 2 2
a 2

t0 . 2
T M0 x t , yt , z t
由参数方程易求得在点 M0 处的切向量为
t
0
a a t 1 cos t , sin t , a sin 2 2 2 t 2 a sin t, a cos t, a cos t 2 2 2 2 t 2
故对割线方程取极限有
x x0 y y0 z z0 , y z lim x lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
则割线方程转化为切线方程 y y0 x x 0 L: z z0 . t0 t0 t0
a , 0, 2 a 2 a 2 , 0, 1 . 2 2 2 求得曲线在点 M0 处的切线及法平面方程为 z a x a y a 2 , 2 2 L M0 : 0 1 2

M0 :
2 xza 0 .
化空间曲线方程为参数式一般是比较困难的，常

曲线在点 M0 处的切线及法平面方程分别为
y y0 x x 0 L: z z0 1 x0 x0 y y0 x x 0 L: z z0 1 dy dz d x x x d x x x

同济大学高等数学ppt第一章

同济大学高等数学ppt第一章
contents
目录
• 第一章绪论 • 第一章极限论 • 第一章连续论 • 第一章导数论 • 第一章微分论 • 第一章不定积分论
01
CATALOGUE
第一章绪论
高等数学的研究对象
变量与函数
级数与广义积分空间解析几何与向量代数
极限理论微积分学
高等数学的发展历程
线性性质
不定积分具有线性性质，即对于任意常数C1，C2，有 (C1+C2)*f(x)=C1*f1(x)+C2*f2( x)。
积分常数
不定积分的结果是一个函数，其常数项为0。
区间可加性
如果在区间(a,b)上有f(x)=f(x)，则在(a,b)上，f(x)的积分等于f(x) 在(a,b)上定积分的值。
不定积分的计算方法
直接积分法
利用不定积分的定义和性质，将已知函数进行恒等变形，从而得到其原函数。
换元积分法
通过引入新的变量，将已知函数进行换元，从而将复杂函数分解为简单函数的组合，以便于计算。
分部积分法
通过将两个函数乘积的导数与其中一个函数求导再与另一个函数乘积进行交换，从而得到两个函数的积的不定积分的一种方法。
利用微分的近似性，我们可以对一些复杂的函数进行近似计算，从而简化计算过程。例如，当我们需要计算一个复杂函数的值时，我们可以先找到这个函数在某一点的微分，然后用这个微分来近似计算函数的值。
微分在近似计算中的应用
在实际的科学研究和工程设计中，经常会遇到一些复杂的数学问题，如求解方程、优化问题等。在这些情况下，利用微分进行近似计算可以提供一种有效的解决问题的方法。
02
微分的近似性

第六节微分法在几何上的应用精品文档8页

第六节微分法在几何上的应用要求：会求空间曲线的切线及法平面方程，会求空间曲面的且平面及法线方程。

重点：空间曲线的切线及法平面方程，曲面切平面及法线方程的求法。

难点：空间曲线的方程组形式给出的情况，求其切线及法平面方程。

作业：习题8－6（52P ）4,5,6,9,10一．空间曲线的切线与法平面1．空间曲线由参数方程给出设空间曲线的参数方程为()x t ϕ=，()y t ψ=，)(t w z =，且三个函数均可导．当0t t =时，对应曲线上的点),,(0000z y x M ，当t t t ∆+=0时，对应曲线上的点),,(000z z y y x x M ∆+∆+∆+'，曲线的割线M M '0的方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 当M '沿曲线趋于0M 时，割线M M '0的极限位置T M 0就是曲线在点0M 处的切线，其切线方程如何？tz z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000 令0M M →'(这时0→∆t )，上式取极限，即得曲线在点0M 处切线方程为000000'()'()()x x y y z z t t w t ϕψ---=='．说明（1）000'(),'(),()t t w t ϕψ'不能同时为零，如果个别为零，按空间解析几何中有关直线对称式方程的说明理解；（2）切线的方向向量{}000'(),'(),()T t t w t ϕψ'=u r称曲线切向量．切向量的方向余弦为 222cos ('())('())('())t t w t αϕψ=++，222cos ('())('())('())t t w t βϕψ=++，222cos ('())('())('())t t w t γϕψ=++．曲线的法平面通过点0M 而与切线垂直的平面称为曲线在点0M 处的法平面，方程为000000'()()'()()()()0t x x t y y w t z z ϕψ'-+-+-=．例1．求螺旋线θcos a x =，θsin a y =，θb z =对应于3πθ=处的切线和法平面方程．解曲线上对应于3πθ=的点),,(0000z y x M ，即00023a x y z b π⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，切向量{}'(),'(),()T w ϕθψθθ'=ur ,,22a a b ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，因此切线方程为3222a z bx y a b π---==，法平面方程为()()()022223a a a x y ab z b π--+-+-=．切向量的方向余弦为2222222cos sin cos ba b ba a b+=++=θθγ可见曲线的切线与z 轴的夹角(母线的夹角)为定值．2．空间曲线的方程由()y x ϕ=，()z x ψ=给出取x 为参数，它就可表示为参数方程的形式()()x xy x z x ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，若(),()x x ϕψ在0x x =处可导，曲线在点),,(0000z y x M 处的切向量{}001,'(),'()T x x ϕψ=u r，切线方程000001'()'()x x y y z z x x ϕψ---==．法平面方程 00000'()()'()()0x x x y y x z z ϕψ-+-+-=．例2．求曲线mx y 22=，x m z -=2在点),,(000z y x 处的切线及法平面方程．解因为m y y 22=' ，y m y ='， 12-='z z ，zz 21-='，所以切向量 0011,,2m T y z ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭u r ，切线方程1)(2)(100000--=-=-z z z m y y y x x ，法平面方程 0)(21)(00000=---+-z z z y y y m x x ． 3．空间曲线Γ的方程由⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 给出设),,(0000z y x M 是曲线Γ上的一点，又设,F G 对各变量的偏导数连续，且0|),(),(0≠∂∂M z y G F ，此时方程组在点0M 的某邻域内唯一确定一组函数()y x ϕ=，()z x ψ=，求曲线Γ在点0M 处的切线方程及法平面方程．只要求出00'(),'()x x ϕψ，得切向量{}001,'(),'()T x x ϕψ=u r，为此方程(,(),())0(,(),())0F x x xG x x x ϕψϕψ=⎧⎨=⎩，两边对x 求全导数得⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x x z y x z y G dxdz G dx dy G F dx dz F dx dy F -=+-=+因为0),(),(≠=∂∂=zyzyG G F F z y G F J 所以可解得'()z x zxF FG G dyx dxJϕ== ，'()x y xyF FG G dz x dxJψ==，于是切向量 {}001,,1,'(),'()dy dz T x x dx dx ϕψ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭u r ．例3．求曲线0,6222=++=++z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线及法平面方程．解下面我们依照推导公式的方法来解，将所给方程两边对x 求导，得⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dy dx dz z dx dy y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+1dxdz dx dy x dxdz z dx dy y 解方程组，得z y x z z y zx dx dy --=--=1111，z y y x z y x y dx dz --=---=11 于是0|)1,2,1(=-dx dy ，1|)1,2,1(-=-dx dz从而 {}1,0,1T =-u r因此，所求切线方程110211--=+=-z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-021111y z x 法平面方程为 0)1()2(0)1(=--++-z y x ，即 0=-z x ．练习：求曲线21,,1t tx y z t t t+===+在对应于1t =的点处的切线及法平面方程．二．曲面的切平面与法线1．曲面方程由隐式方程0),,(=z y x F 给出设曲面∑方程为0),,(=z y x F ，点),,(0000z y x M 为曲面上的一点，又设函数),,(z y x F 的偏导数在点0M 连续且不同时为零．讨论曲面在点0M 处的切平面，那么曲面在点0M 处切平面指什么？为此首先考虑这样一个事实：在曲面上过点0M 的任何曲线在0M 的切线位于同一平面上，下面证明这个事实．在曲面上过点0M 任意引一条曲线Γ，其参数方程为()()()x t y t z w t ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，且000'(),'(),()t t w t ϕψ'不全为零，由于曲线位于曲面上，满足((),(),())0F t t w t ϕψ≡，又因为),,(z y x F 在点0M 处有连续偏导数，且000'(),'(),()t t w t ϕψ'存在，上式的复合函数在0t t =的全导数存在，于是0|0==t t dtdF．即 000000000000(,,)'()(,,)'()(,,)()0x y z F x y z t F x y z t F x y z w t ϕψ'++=．引入向量{}z y x F F F n ,,=ρ.上式表明，曲线Γ在点0M 处的切线向量{}000'(),'(),()T t t w t ϕψ'=u r 与一个确定向量nϖ垂直．因为曲线Γ是曲面上过点0M 的任一条曲线，它们在0M 的切线都与同一个向量n ϖ垂直，所以曲面上过点0M 的一切曲线在点0M 的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面∑在点0M 的切平面，切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，曲面∑在点0M 的切平面的法向量{}z y x F F F n ,,=ρ简称为曲面的法向量．过点0M 且垂直于切平面的直线称为曲面在点0M 的法线，其方程为),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 例4．求曲面3=+-xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程及法线方程．解令=),,(z y x F 3-+-xy z e z，则{}{}1,,,,-==zz y x e x y F F F n ρ，即有{}0,2,1|)0,1,2(=n ϖ，在点)0,1,2(处切平面方程为 0)0(0)1(2)2(=-+-+-z y x ，即 042=-+y x ．法线方程为 002112-=-=-z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-02112z y x ．2．曲面方程由显式方程),(y x f z =给出求曲面),(y x f z =在点),,(0000z y x M 处切平面及法线方程．令z y x f z y x F -=),(),,(，可见),(y x f F x x =，),(y x f F y y =，1-=z F ，则曲面在点0M 处法向量为{}1),,(),,(0000-=y x f y x f n y x ϖ，于是切平面方程为 0000000))(,())(,(z z y y y x f x x y x f y x -=-+-，法线方程为1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 说明（1）函数),(y x f z =在点),(00y x 的全微分为))(,())(,(000000y y y x f x x y x f dz y x -+-=，因此切平面方程)()(000y y f x x f z z y x -+-=-表示全微分的几何意义，即曲面),(y x f z =在点0M 处切平面上点的竖坐标的增量（正象一元函数表切线的纵坐标增量）．（2）若曲面的切平面的法向量的方向角为γβα,,，并假定向量的方向是向上的(即使得它与z 轴的正向所成的角γ是锐角)，则法向量的方向余弦如何求？若曲面方程为(,)z f x y =，则221cos yx x f f f ++-=α ，221cos yx y f f f ++-=β，2211cos yx f f ++=γ．若曲面方程为(,,)0F x y z =，则cos α=，cos F β=，cos γ=．例5.求旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(0M 处的切平面及法线方程．解因为1),(22-+=y x y x f ，所以{}{}1,2,21,,-=-=y x f f n y x ϖ，即有{}1,2,4|0-=M n ϖ，于是过点0M 的切平面方程为0)4()1(2)2(4=---+-z y x ，即 0624=--+z y x ．法线方程为142142--=-=-z y x ．例6.求椭球面22221x y z ++=上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程．解因为切平面的法向量为{}z y x n 2,4,2=ϖ，而平面02=+-z y x 法向量为{}'1,1,2n =-u r又因为//'n n u rv ，所以k z y x ==-=2121，将k z k y k x 2,21,=-==代入方程1222=++z y x 中，得1421222=++k k k从中解出112±=k ．于是，所求点为)1122,11221,112(-及)1122,11221,112(--，切平面方程为 0)1122(2)11221()112(=-++--z y x ，或 0)1122(2)11221()112(=++--+z y x ，即 02112=±+-z y x . 例7.设曲面S 方程3a xyz =)0(>a ，求曲面S 上任一点),,(000z y x 处切平面方程，并证明曲面S 的所有切平面与坐标面形成的四面体的体积为定值.解设3),,(a xyz z y x F -=，则yz F x =，xz F y =，xy F z =，所以在点),,(0000z y x M 的切平面方程为0)()()(000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y即 30000003a z y x y z x x z y =++．将其化为截距式1333003003003=++y x a z z x a y z y a x 截距分别为000333x z y a = ，000333y z x a =，000333z y x a =不妨设 0,0,0000>>>z y x ，于是，切平面与三坐标面围成立体体积为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=0003)33(2131z y x V 30002929a z y x ==(定值) 思考题1．若曲面由方程),(y x f z =∑：给出，如何求在点),,(000z y x M 的切平面方程？ 2．若曲线是两个柱面)(),(x g z x f y ==的交线，如何求在0x x =对应点处的切线方程？。

多元函数微分学(共184张PPT)

z
sin
x2
1 y2
1
• 在点圆都周是x2间断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
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•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而，x 偏0导数 z 存在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数称
(x1,x2, ,xn)
xi
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• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n

微分法在几何上的应用

法平面的方程
……………………切线方程
′ ( x − x 0 ) + y′ x ( x0 ) ( y − y0 ) + z x ( x0 ) ( z − z 0 ) =0
…………………法平面方程
3）设空间曲线 Γ 的方程为：
F ( x, y , z ) = 0 G ( x, y , z ) = 0
曲线在 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 点的切向量为：根据隐函数关于上式的求偏导数的方法，接合一定的《向量与空间解析几何》知识，可求得:
推理 1: 在曲面∑上通过点 M 且在点 M 处具有切线的任何曲线，它们在 M 处的切线在同一个平面上。法向量：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
证明：

∵ F ( x, y , z ) = 0 点 M 在曲面上，则：
……………………………两向量点乘的坐标式简化为：
T •n = 0
即得到曲面的法向量：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
可以得到切平面的方程：
Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
而通过一点，法向量为 T = (φ ′(t 0 ), ϕ ′(t 0 ), w′(t 0 )) 的法平面方程为：
φ ′(t 0 ) ( x − x 0 ) + ϕ ′(t0 ) ( y − y0 ) + w′(t0 ) ( z − z0 ) =0

§5.6微分法的几何应用

并设函数 F(x, y, z) 的偏导数在该点连续且不同时为零。
过点 M 任作一条位于上的光滑曲线 L，设其方程为
x y
x(t) y(t) ，
z z(t)
t t M(x, y, z) 。
由于 L 在曲面上，故 F[x(t), y(t), z(t)] 0 ，
d dt
F [ x(t ),
§5.6 微分学的几何应用
5.6.1 空间曲线的切线与法平面
z
L
定义 1：设 M 是空间曲线
M
L 上的一点， M 是 L 上的
另一点。当点 M 沿曲线L
M0
o
y
趋近于点 M 时，割线 M M
的极限位置 M T ，称为曲线 x
L 在点M处的切线。过点 M 且与切线 MT 垂直
平面，称为曲线 L 在点M 处的法平面。
∴曲面在点 M(x, y, z) 处的切平面方程为 zz fx(x, y)(xx) f y (x, y)(y y) ， ⑥
或 fx ( xo, yo)( x xo) f y ( xo, yo)( y yo) (z zo) 0
曲面在点 M(x, y, z) 处的法线方程为
x x y y z z 。
⑦
f x (x, y) f y (x, y) 1
把方程⑥改写成 z z f x (x, y)x f y (x, y)y ， ⑧
得全微分的几何意义：
函数 z f (x, y) 在点(x, y) 处的全微分，在几何上表示曲面 z f (x, y) 在点(x, y, z) 处的切平面上点的竖坐标的增量。
x
y
z
t
t
t
当点 M M 时，有t 0 ，对上式取极限，得