第八讲离散因变量模型LPM,Probit,Logit
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LPM的估计方法：OLS
➢ 线性概率模型存在的问题及适用性
随机误差项是异方差：Var(i)pi(1pi)
办法：可用WLS估计。 ❖拟合值可能不在0－1之间，有可能大于1或小于0:
办法：强令预测值相应等于0或1 进行约束估计。
1
X iB 1
y y *
i
i 0 XiB1
0
XiB 0
LPM在实际的回归当中应用很少，用于理论模型的比较。
10
1
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87ห้องสมุดไป่ตู้
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第九章 离散因变量模型
❖ 实际经济分析当中的离散变量问题 对于单个方案的取舍购买决策、职业的选择、贷 款决策； 对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选 择，两种商品的选择。由决策者的属性和备选方 案的属性共同决定。
❖ 农业经济分析当中的离散因变量问题 农民技术采用、农村选举等等
内容
❖ 二元选择模型的三类模型介绍 ❖ 二元选择模型的估计: ❖ 二元选择模型的检验： ❖ 二元选择模型的应用
E (y i X i) E (X iB i) X iByi E(yi Xi)i
P(yi 1Xi)pi
P(yi 0Xi)1pi
E(yi Xi) 1*P(yi 1 Xi)0*P(yi 0 Xi) 1pi 0(1pi)pi
yi E(yi Xi)i pi i XiBi
x j 对响应概率(p)的偏效应： j
2、 Logit 模型
（1） Logit 模型的分布函数 如果选择 F(Z)1 eZ eZ11 1 eZ11 eZ
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
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Logistic分布函数
具有以上分布函数的二元选择模型称为Logit模型。
（2） Logit 模型的设定
yi F(XiB)i
F(Z)1eZeZ (Z)
V a r (i) E (i2 ) 1 F (X iB )2 F (X iB ) F (X iB )2 1 F (X iB )
F (X iB )1 F (X iB )
斜率：
r E(yi Xi ) P F(XiB)
xj
xj
xj
dF( Xi B) d( Xi B)
( Xi B) xj
数据表
obs
Y SCORE D1
obs
Y SCORE D1 obs
Y SCORE D1
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Y SCORE D1
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U i 1 U i0 X i( 1 0 ) (i1 i0 )
yi* Xi i
y
i
yi
1(
y
i
0)
0(
y
i
0)
选择1
不选择1 （选择0）
（二） 二元选择的经济计量一般模型
P(yi 1 Xi)P(yi*0)P(i*Xi)
1P(i* Xi)
1F(Xi)F(Xi)
F ( t) 1 F (t)
一、 二元选择模型
❖ 二元选择模型的理论模型 ❖ 二元选择模型经济计量的一般模型 ❖ 线性概率模型（LPM) ❖ Logit 模型 ❖ Probit 模型
（一） 二元选择模型的理论模型
选择理论：效用是不可观测的，只能观测到选择行为
Ui1Xi1
1 i
第i个个体选择1的效用
Ui0Xi0
0 i
第i个个体不选择1（选择0）的效用
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275
0
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0
（3） Logit 模型的边际分析
1、自变量的变化对响应概率（p）的影响：
dp dZ
f
(Z)
(1eeZZ)2
d ln( p )
dZ dx j
1 p dx j
j
xpj ddZ pxZj f(Z)j (1eeZZ)2j （ z） (1-(z))j
2、对Logit模型系数的解释：
ln( p )
odds
f
( Xi B) j
（四） 分布函数F的选取
选取分布函数F的原则：
0F(XiB)1
XiB F(XiB)1
XiB F(XiB)0
F是单调函数
按照上述原则F取作累计分布函数。 下面介绍三种不同分布函数下的计量模型：
LPM, Probit, Logit
1、 线性概率模型（LPM)
如果选择 F(XiB)XiB yi XiBi
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E ( y i X i) 1 P 0 ( 1 P ) F ( X i )
YE(YX)
总体回归模型
样本回归模
YF(XB) y 型i F (X iB )i( i 1 ,2 ......n )
（三） 二元选择模型随机误差项及斜率
对于回归模型： yi F(XiB)i
E ( i ) 1 F ( X i B ) F ( X i B ) F ( X i B ) 1 F ( X i B ) 0
L xj
1p xj
ln(odds)odds
xj
xj
j
当 xj 增加一个单位时机会比率的增长率为 j
例1： 南开大学国际经济研究所1999级研究生考试分 数及录取情况见数据表（N = 95）。
定义变量： Y ：考生录取为1，未录取为0；
SCORE ：考生考试分数； D1：应届生为1，非应届生为0。
模型 yi (XiB) i
f(Z)F'(Z) eZ (Z)(1 (Z)) (1eZ)2
线性化 pi (XiB)
∵
(
Z
)
1
e
Z
e
Z
pi (XiB) eXiB 1pi 1(XiB)
得到：
其中
LiLlni(1lnpXi1piiB)pipXi iiB机会取比值P率范为o围dyd取s yL1pi ii时 取的10,或 概1,0率
➢ 线性概率模型存在的问题及适用性
随机误差项是异方差：Var(i)pi(1pi)
办法：可用WLS估计。 ❖拟合值可能不在0－1之间，有可能大于1或小于0:
办法：强令预测值相应等于0或1 进行约束估计。
1
X iB 1
y y *
i
i 0 XiB1
0
XiB 0
LPM在实际的回归当中应用很少，用于理论模型的比较。
10
1
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0
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0
第九章 离散因变量模型
❖ 实际经济分析当中的离散变量问题 对于单个方案的取舍购买决策、职业的选择、贷 款决策； 对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选 择，两种商品的选择。由决策者的属性和备选方 案的属性共同决定。
❖ 农业经济分析当中的离散因变量问题 农民技术采用、农村选举等等
内容
❖ 二元选择模型的三类模型介绍 ❖ 二元选择模型的估计: ❖ 二元选择模型的检验： ❖ 二元选择模型的应用
E (y i X i) E (X iB i) X iByi E(yi Xi)i
P(yi 1Xi)pi
P(yi 0Xi)1pi
E(yi Xi) 1*P(yi 1 Xi)0*P(yi 0 Xi) 1pi 0(1pi)pi
yi E(yi Xi)i pi i XiBi
x j 对响应概率(p)的偏效应： j
2、 Logit 模型
（1） Logit 模型的分布函数 如果选择 F(Z)1 eZ eZ11 1 eZ11 eZ
1
0.8
0.6
0.4
0.2
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0
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Logistic分布函数
具有以上分布函数的二元选择模型称为Logit模型。
（2） Logit 模型的设定
yi F(XiB)i
F(Z)1eZeZ (Z)
V a r (i) E (i2 ) 1 F (X iB )2 F (X iB ) F (X iB )2 1 F (X iB )
F (X iB )1 F (X iB )
斜率：
r E(yi Xi ) P F(XiB)
xj
xj
xj
dF( Xi B) d( Xi B)
( Xi B) xj
数据表
obs
Y SCORE D1
obs
Y SCORE D1 obs
Y SCORE D1
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Y SCORE D1
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U i 1 U i0 X i( 1 0 ) (i1 i0 )
yi* Xi i
y
i
yi
1(
y
i
0)
0(
y
i
0)
选择1
不选择1 （选择0）
（二） 二元选择的经济计量一般模型
P(yi 1 Xi)P(yi*0)P(i*Xi)
1P(i* Xi)
1F(Xi)F(Xi)
F ( t) 1 F (t)
一、 二元选择模型
❖ 二元选择模型的理论模型 ❖ 二元选择模型经济计量的一般模型 ❖ 线性概率模型（LPM) ❖ Logit 模型 ❖ Probit 模型
（一） 二元选择模型的理论模型
选择理论：效用是不可观测的，只能观测到选择行为
Ui1Xi1
1 i
第i个个体选择1的效用
Ui0Xi0
0 i
第i个个体不选择1（选择0）的效用
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0
92
0
（3） Logit 模型的边际分析
1、自变量的变化对响应概率（p）的影响：
dp dZ
f
(Z)
(1eeZZ)2
d ln( p )
dZ dx j
1 p dx j
j
xpj ddZ pxZj f(Z)j (1eeZZ)2j （ z） (1-(z))j
2、对Logit模型系数的解释：
ln( p )
odds
f
( Xi B) j
（四） 分布函数F的选取
选取分布函数F的原则：
0F(XiB)1
XiB F(XiB)1
XiB F(XiB)0
F是单调函数
按照上述原则F取作累计分布函数。 下面介绍三种不同分布函数下的计量模型：
LPM, Probit, Logit
1、 线性概率模型（LPM)
如果选择 F(XiB)XiB yi XiBi
1
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0
E ( y i X i) 1 P 0 ( 1 P ) F ( X i )
YE(YX)
总体回归模型
样本回归模
YF(XB) y 型i F (X iB )i( i 1 ,2 ......n )
（三） 二元选择模型随机误差项及斜率
对于回归模型： yi F(XiB)i
E ( i ) 1 F ( X i B ) F ( X i B ) F ( X i B ) 1 F ( X i B ) 0
L xj
1p xj
ln(odds)odds
xj
xj
j
当 xj 增加一个单位时机会比率的增长率为 j
例1： 南开大学国际经济研究所1999级研究生考试分 数及录取情况见数据表（N = 95）。
定义变量： Y ：考生录取为1，未录取为0；
SCORE ：考生考试分数； D1：应届生为1，非应届生为0。
模型 yi (XiB) i
f(Z)F'(Z) eZ (Z)(1 (Z)) (1eZ)2
线性化 pi (XiB)
∵
(
Z
)
1
e
Z
e
Z
pi (XiB) eXiB 1pi 1(XiB)
得到：
其中
LiLlni(1lnpXi1piiB)pipXi iiB机会取比值P率范为o围dyd取s yL1pi ii时 取的10,或 概1,0率