2019年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(九)(文科)

2019年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（九）（文科）一、选择题（共14小题）1．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i2．命题：“指数函数y=a x（a＞0）是增函数，而y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”结论是错误的，其原因是（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误D．以上都不是3．与函数y=x有相同图象的一个函数是（）A．y=B．C．D．4．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55．命题“若x＞﹣3，则x＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．设p：（）x＜1，q：log2x＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．设a=40.8，b=（）﹣1.5，c=log20.8，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．下列函数中，既是奇函数，又在（1，+∞）上递增的是（）A．y=x2B．y=x2﹣2x C．y=sinx D．y=x39．在极坐标系中的点（2，）化为直角坐标是（）A．B．C．D．10．参数方程（θ为参数）表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．圆11．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．9812．已知非零向量、，且=+2，=﹣5+6，=7﹣2，则一定共线的三点是（）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D13．已知函数y=f（x）的图象如图，则y=|f（x﹣1）|的图象是（）A．B．C．D．14．已知O为正三角形ABC内一点，且满足+λ+（1+λ）=0，若△OAB 的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为（）A．B．1 C．2 D．3二、填空题15．在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是．16．函数f（x）=3x﹣2恒过定点P，则P点的坐标是．17．已知2a=5b=m，且+=1，则m=．18．已知函数f（x）=，则f[f（）]=．19．设偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）≤f（1）的x的取值范围是．20．如果向量与的夹角为θ，那么我们称×为向量与的“向量积”，×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ|，如果||=4，||=3，•=﹣2，则|×|=．三、解答题（共70分）21．已知y=（m2+2m﹣2）•x4是幂函数，求m的值．22．已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（Ⅰ）若a=﹣2，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∪B=B，求a的取值范围．23．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．24．已知||=4，||=8，与夹角是120°．（1）求的值及||的值；（2）当k为何值时，？25．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a＞0）在x=1处有极值10．（1）求a、b的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求f（x）在[0，4]上的最大值与最小值．26．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当时，（其中e=2.718…）不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）试讨论关于x的方程：f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上的根的个数．参考答案与试题解析一、选择题（共14小题）1．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故选：C．2．命题：“指数函数y=a x（a＞0）是增函数，而y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”结论是错误的，其原因是（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误D．以上都不是【考点】演绎推理的意义．【分析】对于指数函数y=a x（a＞0，a≠1）来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数，y=a x是减函数这个大前提是错误的，据此即可得到答案．【解答】解：∵当a＞1时，指数函数y=a x是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数y=a x是一个减函数∴指数函数y=a x（a＞0，a≠1）是减函数这个大前提是错误的，从而导致结论出错．故选A．3．与函数y=x有相同图象的一个函数是（）A．y=B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】如两个函数有相同的图象，则这两个函数表示同一个函数，需满足定义域、值域、对应法则都相同，分别验证即可得答案．【解答】解：由题意知所求函数与y=x表示同一个函数，故定义域、值域、对应法则都相同又原函数y=x的定义域为R、值域为R对于A：函数y==|x|的值域为[0，+∞），解析式及值域均与原函数的不同，故不正确；对于B：=x，其定义域为[0，+∞），值域为[0，+∞），与原函数的不同，故不正确对于C：函数=x，其定义域，值域均为（﹣∞，0）∪（0，+∞），与原函数的不同，故不正确对于D：函数=x，与原函数的定义域、值域、对应法则都相同，故正确故选D4．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出两集合的交集，即可做出判断．【解答】解：由A中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）≤0，解得：﹣≤x≤3，即A={x|﹣≤x≤3}，∵B={x∈Z|x≤2}={2，1，0，﹣1，…}，∴A∩B={0，1，2}，即有3个元素，故选：B．5．命题“若x＞﹣3，则x＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】四种命题间的逆否关系；命题的真假判断与应用．【分析】根据四种命题的关系以及互为逆否命题的等价性进行判断即可．【解答】解：根据互为逆否命题的等价性只需判断原命题和逆命题的真假性即可．原命题：若x＞﹣3，x＞﹣6成立，∴原命题正确，逆否命题也正确．逆命题：若x＞﹣6，则x＞﹣3，不成立，∴逆命题错误，否命题也错误．故四个命题中，真命题的个数为2．故选：B．6．设p：（）x＜1，q：log2x＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质求出等价条件．利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：因为p：（）x＜1知x＞0，q：log2x＜0知0＜x＜1，所以p是q的必要不充分条件，故选：B．7．设a=40.8，b=（）﹣1.5，c=log20.8，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=40.8＞40.5=2，1=（）0＜b=（）﹣1.5＜（）﹣1.6=40.8=a，c=log20.8＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．8．下列函数中，既是奇函数，又在（1，+∞）上递增的是（）A．y=x2B．y=x2﹣2x C．y=sinx D．y=x3【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】逐项判断各个选项，利用奇函数的定义和单调性的定义即可求解．【解答】解：∵y=x2是偶函数，故A错误；∵函数y=x2﹣2x是非奇非偶函数，故B错误；函数y=sinx在R上是奇函数，但在（1，+∞）上无单调性，故C错误；函数y=x3在R是奇函数且为增函数，所以y=x3在（1，+∞）上是增函数，故D 正确．故选：D．9．在极坐标系中的点（2，）化为直角坐标是（）A．B．C．D．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可将点（2，）化为直角坐标．【解答】解：根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可将点（2，）化为直角坐标是（1，），故选D．10．参数方程（θ为参数）表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．圆【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用平方关系消去参数θ即可得出圆锥曲线，再利用定义得出即可．【解答】解：数方程（θ为参数），消去参数θ得（1﹣x）2+y2=4，即为圆的方程．故选：D．11．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98【考点】函数的周期性；奇函数；函数奇偶性的性质．【分析】利用函数周期是4且为奇函数易于解决．【解答】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4所以f（7）=f（3）=f（﹣1），又f（x）在R上是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，故选A．12．已知非零向量、，且=+2，=﹣5+6，=7﹣2，则一定共线的三点是（）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D【考点】平行向量与共线向量．【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点【解答】解：由向量的加法原理知=+=﹣5+6+7﹣2=2+4=2，又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．故选：A．13．已知函数y=f（x）的图象如图，则y=|f（x﹣1）|的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象和平移和翻转即可得到答案．【解答】解：先把y=f（x）的图象向右平移1个单位，得到y=f（x﹣1）的图象，再把x轴下方的沿x轴对折得到y=|f（x﹣1）|的图象，故选：C14．已知O为正三角形ABC内一点，且满足+λ+（1+λ）=0，若△OAB 的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为（）A．B．1 C．2 D．3【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到①；由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到=，②．由①②可得O分DE所成的比，从而得出λ的值．【解答】解：，变为．如图，D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知故①在正三角形ABC中，∵==，且三角形AOC与三角形ADC同底边AC，故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一，故=，⇒=﹣②由①②得λ=．故选A．二、填空题15．在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是2+4i．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据两个复数对应的点的坐标分别为A（6，5），B（﹣2，3），确定中点坐标为C（2，4）得到答案．【解答】解：两个复数对应的点的坐标分别为A（6，5），B（﹣2，3），则其中点的坐标为C（2，4），故其对应的复数为2+4i．故答案为：2+4i．16．函数f（x）=3x﹣2恒过定点P，则P点的坐标是（2，1）．【考点】指数函数的图象变换．【分析】由指数函数图象恒过（0，1），再结合函数的图象平移得答案．【解答】解：∵函数y=3x过定点（0，1），而函数f（x）=3x﹣2的图象是把y=3x的图象向右平移2个单位得到的，∴函数f（x）=3x﹣2恒过定点P（2，1）．故答案为：（2，1）．17．已知2a=5b=m，且+=1，则m=10．【考点】对数的运算性质．【分析】化指数式为对数式，代入已知等式后利用对数的运算性质化简求得m 的值．【解答】解：由2a=5b=m，得a=log2m，b=log5m，由+=1，得==log m10=1．∴m=10．故答案为：10．18．已知函数f（x）=，则f[f（）]=．【考点】函数的值．【分析】根据函数表达式进行求解即可．【解答】解：由函数表达式得f（）=log4=log44﹣2=﹣2，f（﹣2）=3﹣2=，故f[f（）]=f（﹣2）=，故答案为：19．设偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）≤f（1）的x的取值范围是[0，1] ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（x）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，便可由f（2x﹣1）≤f （1）得出|2x﹣1|≤1，解该绝对值不等式便可得出x的取值范围．【解答】解：f（x）为偶函数；∴由f（2x﹣1）≤f（1）得，f（|2x﹣1|）≤f（1）；又f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x﹣1|≤1；解得0≤x≤1；∴x的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．20．如果向量与的夹角为θ，那么我们称×为向量与的“向量积”，×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ|，如果||=4，||=3，•=﹣2，则|×|=．【考点】平面向量数量积的性质及其运算律．【分析】利用两个向量的数量积的定义求出cosθ，利用同角三角函数的基本关系求出sinθ，代入=求出所求的式子的值．【解答】解：∵，∴=4×3×cosθ，∴cosθ=﹣．又∵0≤θ≤π，∴sinθ=．∴==4•3•=2，故答案为：．三、解答题（共70分）21．已知y=（m2+2m﹣2）•x4是幂函数，求m的值．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义，令m2+2m﹣2=1求出m的值即可．【解答】解：y=（m2+2m﹣2）•x4是幂函数，∴m2+2m﹣2=1，解得m=1或m=﹣3．22．已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．（Ⅰ）若a=﹣2，求A∩∁R B；（Ⅱ）若A∪B=B，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（Ⅰ）把a=﹣2代入确定出A，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；（Ⅱ）由A∪B=B，得到A⊆B，确定出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）若a=﹣2，则有A={x|﹣2≤x≤1}，∵={x|x＜﹣1或x＞5}，∴∁R B={x|﹣1≤x≤5}，则A∩∁R B={x|﹣1≤x≤1}；（Ⅱ）∵A∪B=B，∴A⊆B，∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，∴a+3＜﹣1或a＞5，解得：a＜﹣4或a＞5，则a的范围为{a|a＜﹣4或a＞5}．23．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．【考点】函数的值域．【分析】由题意：函数y=的定义域为R，即x2+6xm+m+8≥0，从而求解实数m的取值范围．【解答】解：由题意：函数y=的定义域为R，即x2+6xm+m+8≥0，可得：△=b2﹣4ac=36m2﹣4（m+8）≤0解得：所以实数m的取值范围示{m|}．24．已知||=4，||=8，与夹角是120°．（1）求的值及||的值；（2）当k为何值时，？【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用数量积定义及其运算性质即可得出；（2）由于，•=0，展开即可得出．【解答】解：（1）=cos120°==﹣16．||===4．（2）∵，∴•=+=0，∴16k﹣128+（2k﹣1）×（﹣16）=0，化为k=﹣7．∴当k=﹣7值时，．25．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a＞0）在x=1处有极值10．（1）求a、b的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求f（x）在[0，4]上的最大值与最小值．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出导函数，令导函数在1处的值为0；f（x）在1处的值为10，列出方程组求出a，b的值．（2）令导函数大于0求出f（x）的单调递增区间；令导函数小于0求出f（x）的单调递减区间．（3）利用（2）得到f（x）在[0，4]上的单调性，求出f（x）在[0，4]上的最值．【解答】解：（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2=10，得a=4，或a=﹣3∵a＞0，∴a=4，b=﹣11（经检验符合）（2）f（x）=x3+4x2﹣11x+16，f'（x）=3x2+8x﹣11，由f′（x）=0得所以令f′（x）＞0得；令所以f（x）在上单调递增，上单调递减．（3）由（2）知：f（x）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增，又因为f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，所以f（x）的最大值为100，最小值为1020．26．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当时，（其中e=2.718…）不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）试讨论关于x的方程：f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上的根的个数．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）首先求出函数的导函数，利用导函数的正负确定出函数的单调区间，注意复合函数的求导法则；（2）将恒成立问题转化为函数的最值问题，关键要确定出函数在给定区间上的最值；（3）利用方程与函数的思想，将方程根的个数问题转化为研究函数性质的问题，从而确定出方程在给定区间上的根的个数问题．【解答】解：（1）函数的定义域为（﹣1，+∞），．由f'（x）＞0得x＞0；由f'（x）＜0得﹣1＜x＜0，增区间为（0，+∞），减区间为（﹣1，0）．（2）令，得x=0，由（1）知f（x）在上递减，在[0，e﹣1]上递增，由，f（e﹣1）=e2﹣2，且，∴时，f（x）的最大值为e2﹣2，m＞e2﹣2时，不等式f（x）＜m恒成立．（3）方程f（x）=x2+x+a，即x+1﹣2ln（1+x）=a．记g（x）=x+1﹣2ln（1+x），则．由g'（x）＞0得x＞1；由g'（x）＜0得﹣1＜x＜1．所以g（x）在[0，1]上递减；在[1，2]上递增．g（x）min=g（1）=2﹣2ln2，又，g（0）=1，g（2）=3﹣2ln3，由于2﹣2ln2＜3﹣2ln3＜1，因此，当2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3时，f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上有两个根，当a=2﹣2ln2或3﹣2ln3＜a≤1时，f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上有1个根，当a＜2﹣2ln2或a＞1时，f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上没有根．。