概率论与数理统计2-3
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章:概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义:概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中,我们将事件A的概率记为P(A),其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质:–非负性:对于任何事件A,其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性:对于样本空间Ω中的全部事件,其概率之和为1,即P(Ω) = 1。
–可列可加性:对于互不相容的事件序列{Ai}(即Ai∩Aj = ∅,i ≠ j),有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件:随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件:对于只包含一个样本点的事件,称为基本事件。
–复合事件:由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量:随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型:–离散型随机变量:其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量:其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系:事件A包含于事件B(记作A ⊆ B)指的是事件B发生时,事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A,则A与B相等(记作A = B)。
–互不相容事件:指的是两个事件不能同时发生,即A∩B = ∅。
2.事件的运算:对于两个事件A和B,有以下几种运算:–并:事件A和事件B至少有一个发生,记作A∪B。
–交:事件A和事件B同时发生,记作A∩B。
–差:事件A发生而事件B不发生,记作A-B。
第二章:条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率:在事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率,记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式:P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理:对于任意两个事件A和B,有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论与数理统计浙大四版 第二章3讲
f(x) 13, 2 x5, 0, 其他.
设 A 表示“ X 的观测值大于 3”,
即 A={ X >3 }.
由 P (A 于 ) P { X 3 }
51 dx
2,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
32.
P{Y2}23322132333231320
解: F(x) = P(X x) =
x
f (t)dt
f(x)2 1x2, 1x1
0, 其它
解: 对x < -1,F(x) = 0
求 F(x).
对 1x1,
F(x)10d t x21t2dt
1
x
1x21ar
cxsi1n 2
对 x>1, F (x) = 1
即
0,
x1
F(x) x
1x21arcsx in1 2,
1, x 1
(2) 求X的概率密度.
解: (1) P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4
(2)
f(x)= dF ( x ) dx
2x,
0,
0 x 1 其它
注意到F(x)在1处导数不存在,根据改变被积函数 在个别点处的值不影响积分结果的性质,可以在
F(x) 没意义的点处,任意规定 F(x)的值.
由此得, 1) 对连续型 r.v X,有
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb) P(aXb)
2) 由P(X=a)=0 可推知
P (X R a ) f(x )d x P (X a ) 1 而 {X=a} 并非不可能事件 {XR{a}}并非必然事件
刘建亚概率论与数理统计课后习题第2,3章答案
解: 知识点: P43均匀分布函数及其概率密度函数。 由题意知, X ∼ U (2, 5), 从而, X 的概率密度函数为 { 1 , x ∈ (2, 5); 3 f (x) = 0, 其他.
2 X 落在(3, 5]之间的概率为 3 ,
f (x) dx √ c dx 1 − x2
X 落在(2, 3]之间为 1 3 从而, 至少有两次观测值大于3的概率为 P = = = 19. 题目见课本P57. 解: 知识点: P24伯努利概型、 P37二项分布概念、 P45指数 分布及其概率密度函数。 X 表示顾客在某银行窗口等待服务的时间。 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。 由于他一个月去银行5次 1 2 2 3 2 · ( )3 C3 · ( )2 · + C3 3 3 3 4 8 + 8 27 20 27
3 从5只球中取出3只, 取出的总数为C5 。
= 1,
从而得到, a = 1。 (2)由离散概率分布的性质可知 ∑∞ a k=1 2k = 1, 因此有 a·
1− 1 2
1 2
由题知,X 表示所取出3只球中的最大号码,所以X 的可 能取值为分别为3, 4, 5。 当X = 3时, 其它两个球只能是1, 2, 故 P (X = 3) =
由于某人的成绩为78分因此高于78分人数的概率为px781???781?700276?789992002909令p1为某单位的录取率又由于某单位招聘155人有526人报名因此52602947进一步由于px7802909p102947录取率为p1155故此人能够被录取
概率论与数理统计课后习题
第 2 章
=
3 10
当X = 4时, 其它两个球只能是从1, 2, 3, 4中任取2个, 故 C2 6 P (X = 5) = 4 = 3 C5 10 因此, X 的分布列为 X P 3. 题目见课本P56。 解: 知识点:P7古典概率定义、 P35超几何分布概念。 X 表示取出四只中所含次品的只数。 由于有3件次品, 则X 可能取值为 0, 1, 2, 3, 进而由古典概 率定义和超几何分布, 得 P (X = k ) =
《概率论与数理统计》习题二
北京交通大学远程教育课程作业年级:层次:专业名称:课程名称:作业序号:学号:姓名:作业说明:1、请下载后对照网络学习资源、光盘、学习导航内的导学、教材等资料学习;有问题在在线答疑处提问;2、请一定按个人工作室内的本学期教学安排时间段按时提交作业,晚交、不交会影响平时成绩;需要提交的作业内容请查看下载作业处的说明3、提交作业后,请及时查看我给你的评语及成绩,有疑义请在课程工作室内的在线答疑部分提问;需要重新上传时一定留言,我给你删除原作业后才能上传4、作业完成提交时请添加附件提交,并且将作业附件正确命名:学号课程名称作业次数《概率论与数理统计》习题二第三章多维随机变量及其分布一、选择题1、设二维随机变量(X,Y则P{XY=2}=()A. B. C. D.2、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,则当时,(X,Y)关于X的边缘概率密度为f x(x)=()A. B.2x C. D. 2y3、二维随机变量(X,Y)的联合密度函数是f(x,y),分布函数为F(x,y),关于X,Y的边缘分布函数分别是F X(x),F Y(y),则,,分别为()A.0,F X(x),F(x,y) B. 1,F Y(y),F(x,y)C. f(x,y), F(x,y) , F Y(y)D. 1, F X(x),F(x,y)4、设随机变量X,Y,独立同分布且X的分布函数为F(x),则Z=max{X,Y}的分布函数为()A.F2(z) B. 1,F(x)F(y)C. 1-[1-F(z)]2D. [1-F(x)][1-F(y)]5、设X~N(-1,2),Y~N(1.3),且X与Y相互独立,则X+2Y~()A.N(1,8) B.N(1,14) C.N(1,22) D. N(1,40)二、填空题1、设X和Y为两个随机变量,且P{X,Y}=,P{X}= P{Y}=,则P{max{X,Y}}=______2、设随机变量Xi~(i=1,2……),且满足P{X1X2=0}=1,则P{X1=X2}等于_______________3、设平面区域D由曲线y=及直线y=0,x=1,x=e2,所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为__________4、 设随机变量X 与Y 相互独立,且服从区间[0,3]上的均匀分布,则P{max{X,Y }}=___________5、 设随机变量(X ,Y )~N (0,22;1,32;0),则P{}=_________三、解答题1. 在一箱子里装有12只开关,其中2只是次品,在其中随机地取两次,每次取一只。
概率论与数理统计总结之第三章
第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义:设(X,Y)是二维随机变量,记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数,或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1)(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数,(分别关于x 和y 有单调不减性) 2)0(,)1≤≤F x y ,任意一边趋于-∞=0.F(∞,∞)=1(用来确定未知参数).3)(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ,即(,)F x y 分别关于x 右连续,关于y 也右连续,4)对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对,则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律,或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条,即为二维离散型随机变量的分布律. 注;步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p,其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y),分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律:的边缘分布律:••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ,0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘,但一般情况,边缘不能确定的联合,除非相互独立. 比如;有放回的摸球,就是X ,Y 相互独立. 不放回地摸球,是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ,分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ,若存在非负可积函数(,)f x y ,使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ,则称(X,Y)为二维连续型随机变量,(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度,或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质,必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ,则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底,以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续,则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1) 当求()=P X Y 时,它只是一条线,所以:()0==P X Y2) 一个方程有无实根:20++=ax bx c ,即求:22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布:定义:设D 为平面上的有界区域,其面积为S ,且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S,则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布,记作(X,Y )D U . 两种特殊情形:1) D 为矩形,,c )≤≤≤≤a x b y d 时,1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2) D 为圆形,如(X,Y)在以原点为圆心,R 为半径的圆域上服从均匀分布,则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du (让Y趋于正无穷) Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv (让X趋于正无穷) X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y(二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分,其间需要对划分区间的作分别积分)(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布: 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立(相关系数为O,则两个随机变量独立)3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212(),±±k X k Y c X c Y 服从二维正态(如:(,)+-X Y X Y ) 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j ,若{}0=>j P Y y ,则称{=i P X x |{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地,若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y |{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形,即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下,X 的条件分布函数,记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ,即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数,若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ,则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量,(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度,则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外,处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数,若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ,则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立,().()连续f x g y ,(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立,则22,x y 独立.2)如果1212,...,...,YYYm m X X X 相互独立,12m 121()()...()()()....()和,f x f x f x g y g y g y 也相互独立。
自考 概率论与数理统计(3)
例2.设连续函数变量X的分布函数为求:(1)X的概率密度f(x);【答疑编号:10020301针对该题提问】(2)X落在区间(0.3,0.7)的概率。
【答疑编号:10020302针对该题提问】解:(1)(2)有两种解法:或者例2-1若【答疑编号:10020303针对该题提问】解:例2-2若求x~f(x) 【答疑编号:10020304针对该题提问】解:例2-3,若【答疑编号:10020305针对该题提问】解:例3.若【答疑编号:10020306针对该题提问】解:(1)x≤0时,f(x)=0,(2)0<x<1时,(3)1≤x时,注2.分段函数要分段求导数,分段求积分。
例4.设某种型号电子元件的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度。
现有一大批此种元件,(设各元件工作相互独立),问:(1)任取一只,其寿命大于1500小时的概率是多少?【答疑编号:10020307针对该题提问】(2)任取四只,四只元件中恰有2只元件的寿命大于1500的概率是多少?【答疑编号:10020308针对该题提问】(3)任取四只,四只元件中至少有1只元件的寿命大于1500的概率是多少?【答疑编号:10020309针对该题提问】解:(1)(2)各元件工作相互独立,可看作4重贝努利试验,观察各元件的寿命是否大于1500小时,令Y表示4个元件中寿命大于1500小时元件个数,则,所求概率为(3)所求概率为3.2均匀分布与指数分布以下介绍三种最常用的连续型概率分布,均匀分布、指数分布和正态分布,本小节先介绍前两种。
定义2.若随机变量X的概率密度为则称X服从区间[a,b]上的均匀分布,简记为X~U(a,b)容易求得其分布函数为均匀分布的概率密度f(x)和分布函数F(x)的图像分别见图2.3和图2.4均匀分布的概率密度f(x)在[a,b]内取常数,即区间长度的倒数。
均匀分布的均匀性是指随机变量X落在区间[a,b]内长度相等的子区间上的概率都是相等的。
概率论与数理统计(王明慈第二版)第6章参数区间估计2,3节
第三节 正态总体参数的区间估计
基本内容: 一、区间估计的概念 二、正态总体均值的区间估计 三、正态总体方差的区间估计
一、区间估计的概念
定义 设总体 X 的分布中含有未知参数,对于 给定的概率 1- (0 < < 1), 若存在两个统计量 ˆ1(X1, X2, , Xn )与ˆ2(X1, X2, , Xn ), 使得
即
P
i
n 1
tα/
2
(n
-
1),
x
s n
tα/
2(n
1)
得到的95%的置信区间为
(14.92-0.138, 14.92+0.138) 即(14.782, 15.058) (mm)
三、正态总体方差 2 的区间估计
1. 已知均值= 0的正态总体 X, 求未知参数 2 1- 的置信区间
解:设总体 X ~ N( , 2), 有
k 1,2,L ,m
第三步: 解含m个参数ˆ1,ˆ2,L的,mˆ个m 方程组, 得
ˆk ˆk X1, X2, , Xn k 1,2, ,m
以ˆk作为参数 的k 估计量.
第四步:将 θˆk中的X1 , X2 , , Xn换成x1 , x2 , , xn, 便得到θk的矩估计值θˆk ( x1 , x2 , , xn ).
例3. 设X1,X2,X3是来自总体X的样本, 且
总体均值E(X)= 未知, 则下列4个关于 的
统计量中哪个更有效?( C )
A. X1 X 2 3X 3 ; 55 5
C. X1 X 2 X3 ; 333
B. X1 X 2 X 3 ; 424
D. X1 X 2 X 3 . 362
分析:利用P181的7题结论,可选C.
概率论与数理统计2_3连续型随机变量
《概率统计》
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若不计高阶无穷小,有
f ( x)
f (a)1ຫໍສະໝຸດ oP{ x X x x } f ( x )x
的概率近似等于
a
x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x x ]
x)) x x ff ((x
在连续型随机变量理论中所起的作用与
P X xk pk
x2 , f ( x) A, 0, 0 x 1 1 x 2 其它
求 (1)常数A; ( 2) P{0 X 3};
(3)分布函数F(x).
2
解: (1)由于f(x)是一个密度函数,
由
f ( x)dx 1, 得
2 2 1
x dx
0
1
Adx 1
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例3.设随机变量X在[2,8]上服从均匀分布,求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.
解:由于X服从均匀分布,故X的概率密度为
1 , 2 x8 f ( x) 6 0, 其它
方程有实根等价于4X236≥0 , 即X≥3或X≤3. 从而, P{y2+2Xy+9=0 有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
f(x)
, x
其中μ,σ(σ>0)为常数,则称X服从参 数为μ,σ2的正态分布或高斯(Gauss) 分布,记作 X~ N(μ,σ2)
0
x
分布函数
F(x)
x 1 e 2 ( t )2 2 2
F ( x)
概率论与数理统计第二版课后习题答案
概率论与数理统计第二版课后习题答案概率论与数理统计是一门重要的数学学科,广泛应用于各个领域。
而课后习题是学习这门学科的重要环节,通过解答习题可以巩固所学知识,提高问题解决能力。
本文将为大家提供《概率论与数理统计第二版》课后习题的答案,希望对大家的学习有所帮助。
第一章:概率论的基本概念1. 事件A、B相互独立,且P(A)=0.3,P(B)=0.4,求P(A∪B)。
解答:由于A、B相互独立,所以P(A∩B)=P(A)×P(B)=0.3×0.4=0.12。
根据概率的加法公式,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.4-0.12=0.58。
2. 设A、B为两个事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,若P(A∩B)=0.3,求事件“既不发生A也不发生B”的概率。
解答:事件“既不发生A也不发生B”可以表示为A和B的补集的交集,即A'∩B'。
根据概率的补集公式,P(A')=1-P(A)=0.4,P(B')=1-P(B)=0.3。
由于A、B相互独立,所以P(A'∩B')=P(A')×P(B')=0.4×0.3=0.12。
第二章:离散型随机变量及其分布律1. 设随机变量X的分布律为:P(X=k)=C(10,k)×(0.3)^k×(0.7)^(10-k),其中C(10,k)表示10中取k的组合数。
求P(X≥6)。
解答:P(X≥6)=1-P(X<6)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)]=1-[C(10,0)×(0.3)^0×(0.7)^10+C(10,1)×(0.3)^1×(0.7)^9+C(10,2)×(0.3)^2×(0.7)^8+ C(10,3)×(0.3)^3×(0.7)^7+C(10,4)×(0.3)^4×(0.7)^6+C(10,5)×(0.3)^5×(0.7)^5]=1 -[1×1×(0.7)^10+10×0.3×(0.7)^9+45×0.09×(0.7)^8+120×0.027×(0.7)^7+210×0. 0081×(0.7)^6+252×0.00243×(0.7)^5]=1-0.0282≈0.9718。
概率论与数理统计-第3章-第2讲-二维离散型随机变量及其分布
求分布律方法:先定值再求概率
Y
X
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
0
取4只球 P{X 0,Y 0} P{X 0,Y 1} P{X 1,Y 0} P{X 3,Y 2} 0
14
03 二维离散型随机变量的边缘分布律
例 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以 X 表示取 到黑球的只数, 以 Y 表示取到红球的只数, 求(X, Y)的联合分布律.
主讲教师 |
18
由此得 X , Y 的联合分布律为
X Y
0
1
0
0
0
6
1
0
35
1
6
2
35
35
2
3
3
2
35
35
12
2
35
35
3 0
35
16
第2讲 二维离散型随机变量及其分布
本节我们认识了二维离散型随机变量, 以及联合分布律和边 缘分布律, 要求理解它们概念和性质, 并且会求相应的概率.
17
概率论与数理统计
学海无涯, 祝你成功!
3
本讲内容
01 二维离散型随机变量 02 联合分布律 03 二维离散型随机变量的边缘分布律
4
02 联合分布律
2.联合分布律
设( X ,Y )的所有可能的取值为
(xi , y j ), i, j 1,2,
则称
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
为二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率分布, 简称概率分布或分布律.
7
02 联合分布律 已知联合分布律可以求概率
概率论与数理统计第二章习题与答案
概率论与数理统计习题 第二章 随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最大,写出X 随机变量的分布律.解:X 可以取值3,4,5,分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X : 3, 4,5 P :106,103,101习题2-2 进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p ,失败的概率为p -1)10(<<p .(1)将试验进行到出现一次成功为止,以X 表示所需的试验次数,求X 的分布律.(此时称X 服从以p 为参数的几何分布.)(2)将试验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需的试验次数,求Y 的分布律.(此时称Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.)(3)一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率.解:(1)P (X=k )=q k -1pk=1,2,……(2)Y=r+n={最后一次实验前r+n -1次有n 次失败,且最后一次成功},,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1-p , 或记r+n=k ,则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k(3)P (X=k ) = (0.55)k -10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P习题2-3 一房间有同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2.样本空间、随机事件1.事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生φ=⋂B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件2.运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃)())(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3.频率与概率定义在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P(3)可列可加性:设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,有∑===nk knk kA P A P 11)()( (n 可以取∞)2.概率的一些重要性质: (i ) 0)(=φP(ii )若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,则有∑===nk kn k kA P A P 11)()((n 可以取∞)(iii )设A ,B 是两个事件若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)A ()B (P P ≥ (iv )对于任意事件A ,1)(≤A P (v ))(1)(A P A P -=(逆事件的概率)(vi )对于任意事件A ,B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件,即}{}{}{2]1k i i i e e e A =,里个不同的数,则有中某,是,,k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5.条件概率(1) 定义:设A,B 是两个事件,且0)(>A P ,称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
0x
0
x0
y 1
0
1x
y
1
0.25
0
0.5 1 x
y
1
1
= ⎜⎛ x 2 − 1 x 4 ⎟⎞ = 1 ; ⎝ 2 ⎠0 2
(4)当 x < 0 或 y < 0 时,F (x, y) = P (∅) = 0, 当 0 ≤ x < 1 且 0 ≤ y < 1 时,
0
1x
∫ ∫ ∫ ∫ F(x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y} =
⋅8 12
⋅4 11
=
40 429
,
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1, 1,
0)}
=
5 13
⋅4 12
⋅8 11
=
40 429
,
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1, 1, 1)}
=
5 13
⋅4 12
⋅3 11
=
5 143
;
(2)
P{( X1,
X2)
=
(0,
0)}
=
8 13
⋅7 12
=
14 39
,
P{( X1,
i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L, 5 − i ,
故 (X, Y ) 的联合分布列为
Y X
0 1 2 3 4 5
0
0.00032 0.004 0.02 0.05 0.0625 0.03125
1
0.0024 0.024 0.09 0.15 0.09375
0
2
0.0072 0.054 0.135 0.1125
《概率论与数理统计》第三版_科学出版社_课后习题答案.所有章节
第二章 随机变量 2.12.2解:根据1)(0==∑∞=k k X P ,得10=∑∞=-k kae,即1111=---e ae 。
故 1-=e a2.3解:用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数,X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:(1)P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解:(1)P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-(2)P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解:(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数,则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数,则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 (1)X ~P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - (2)X ~P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解:设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计第二章2
其中
t , f (t ) 2 0,
• 这就是说, F (x)是非负函数f (t )在区间(,x)上的积分,
在这种情况下我们称 X 为连续型随机变量.
5
对照f (x)和F (x):
F(x) 1 1/2
f(x) 1 1/2
O 1 2 3
x
O
1
2 3
u, 得
1 P{Z x} 2π
x
e
u 2 / 2
d u F ( x),
由此知Z~N(0,1).34
若X ~N (, 2 ), 则它的分布函数F (x )可写成:
x X x F ( x) P{ X x} P F . ( 4.16)
17
因此, 在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时, 可以不必 区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间. 例如有 P {a <X b }=P {a X b}=P {a <X<b }. 在这里, 事件{X=a}并非不可能事件, 但有P{X=a}=0. 这就是说, 若A是不可能事件, 则有P(A)=0; 反之, 若P(A)=0, 并不一定意 味着A是不可能事件.
(4.5)
• 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).
20
如果X ~ U (a ,b), 则它落在(a,b)中任意子区间内的 概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关. 事实上,任给长度为 l 的子区间 (c, c +l ) , a c < c + l b , 有
P{c X c l}
kx
x 2 2
概率论与数理统计2-3
P ( x1 < X ≤ x2 ) = F ( x2 ) − F ( x1 ) = ∫ x 2 f ( x )dx 1
x
3) 对任意 P(X=x)=0. 从而对任意实数 b, (a<b), 对任意x, 从而对任意实数a, P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X <与数理统计
第二章
随机变量及其概率分布
定理 : 设F ( x ), f ( x )分别为连续随机变量 X的分布函数 和密度函数 .若f ( x )在点x处连续 , 那么 f ( x ) = F ' ( x ). 由该定理和注8可知 可知,若 注9 由该定理和注 可知 若F(x)除至多可数个点外有连续 除至多可数个点外有连续 导数, 导数 那么密度函数 F ' ( x ) 在F ( x )有连续导数处 f ( x) = 任意取值 其他 由注9给出的密度函数可能会有一定差异 给出的密度函数可能会有一定差异,但不影响 注10 由注 给出的密度函数可能会有一定差异 但不影响 分布函数的表示和事件概率的计算. 分布函数的表示和事件概率的计算 这种现象是概率论研 究中的一种特色, 而称这样的密度函数是几乎处处相等的, 究中的一种特色 而称这样的密度函数是几乎处处相等的 对其简单说明如下: 设有随机变量X及函数 及函数g(x),h(x),若 对其简单说明如下 设有随机变量 及函数 若 P ( X ∈ { x : g( x ) = h( x )}) = 1, 几乎处处相等. 称g(x),h(x)几乎处处相等 几乎处处相等
华东师范大学统计系
概率论与数理统计
第二章
随机变量及其概率分布
3 几个常用的连续型分布 1) 均匀分布 设连续型随机变量X具有密度函数 设连续型随机变量 具有密度函数 1 b− a − 1 b− a , a ≤ x ≤ b, f ( x) = 其他 , 0, a b 则称X在区间 在区间[a, 上服从均匀分布 上服从均匀分布. 则称 在区间 b]上服从均匀分布 记作X ~ U (a , b ) F ( x) 分布函数为: 分布函数为: 0 , 1 x < a,
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第2章 离散型随机变量 例 将一枚硬币连掷3次,X表示“3次中正面出现的次数”, 试确定X的分布律及分布函数,并求以下概率:
(1) P {1 X 3} ; ( 2 ) P {1 X 3} ; (5 ) P { X 5 .5} .
解:
当x<0时,
F ( x ) P { X x } 0;
设离散型随机变量X 的概率分布为
pk = P{ X = xk } , k =1,2,…,
则X 的分布函数为
F ( x ) P { X x} P
X xk xk x
xk
PX
xk x
xk x
pk .
第2章 离散型随机变量
引进分布函数F(x)后,事件的概率都可以用F(x)的函 数值来表示。
第2章 离散型随机变量
2.3 随机变量的分布函数
2.3.1 随机变量的分布函数的概念及性质
分布函数有如下性质:
1. 若a < b,则有F (a)≤F (b)(单调非减性);
2. F (x)是一个右连续函数即F (x+0) = F (x) ;
解:分布函数为:
0 1 8 4 F (x) 8 7 8 1
当 x 0 当 0 x 1 当1 x 2 当 2 x 3 当 x 3
第2章 离散型随机变量 例 将一枚硬币连掷3次,X表示“3次中正面出现的次数”,
试确定X的分布律及分布函数,并求以下概率:
当2≤x<3时, 当x>3时,
F ( x ) P { X x} 1 8
F ( x ) P { X x}
第2章 离散型随机变量 例 将一枚硬币连掷3次,X表示“3次中正面出现的次数”, 试确定X的分布律及分布函数,并求以下概率:
(1) P {1 X 3} ; ( 2 ) P {1 X 3} ; (5 ) P { X 5 .5} .
第2章 离散型随机变量
2.3 随机变量的分布函数
2.3.1 随机变量的分布函数的概念及性质
分布函数有如下性质:
1. 若a < b,则有F (a)≤F (b)(单调非减性);
证明:仅证 (1). 因 {a<X≤b} = {X≤b}∩{X>a} = {X≤b}-{X≤a},
而 {X≤a}{X≤b},所以 P {a<X≤b} = P {X≤b}-P {X≤a} = F (b)-F (a) . 又,因 P{a<X≤b}≥0, 故 F(a)≤F(b) .
1
3 8
2
3 8
3
1 8 1
当x<0时,
F ( x ) P { X x } 0;
当0≤x<1时, 当1≤x<2时,
F ( x ) P { X x } P { X 0}
;
8 F ( x ) P { X x } P { X 0} P { X 1} P{ X x 1 8 3 8 1 2 ;
第2章 离散型随机变量
2.3.3 离散型随机变量函数的分布
问题:已知随机变量X的概率分布,且已知Y=g(X), 求Y的概率分布。
例:已知X具有概率分布 X -1 0 0.5 0.2 P 且设Y=X2,求Y的概率分布。
1 0.3
第2章 离散型随机变量
2.3.3 离散型随机变量函数的分布
例:已知X具有概率分布 X -1 0 0.5 0.2 P 且设Y=X2,求Y的概率分布。 解:我们可以列如下表格: X Y=X2 P -1 1 0.5 0 0 0.2 1 1 0.3 Y P 0 0.2 1 0.8 1 0.3
第2章 离散型随机变量
2.3 随机变量的分布函数
2.3.1 随机变量的分布函数的概念及性质
由性质的证明可知
P(X ≤b )=F(b) P(X>b)=1﹣P(X ≤b )=1 - F(b) P(a<X≤b )=F(b)﹣ F(a)
第2章 离散型随机变量
2.3 随机变量的分布函数
2.3.分布函数
设离散型随机变量X 的概率分布为 pk = P{ X = xk } , k =1,2,…, 则X 的分布函数为
0 p1 p1 p 2 F (x) n 1 pi i 1 x x1 , x1 x x 2 , x2 x x3 , x n 1 x x n .
小结
4.一维离散型随机变量的分布函数
F (x) P{X x} P X xk xk x
xk x
P
X
xk
xk x
pk .
即
x x1 , 0, p , x1 x x 2 , 1 p1 p 2 , x 2 x x 3 , F (x) n1 p , x x xn i n1 i1 .
概率论与数理统计
苏敏邦
第2章 离散型随机变量
2.1 随机变量 2.2 一维离散型随机变量 2.3 随机变量的分布函数 2.4 二维随机变量及其分布函数 2.5 边缘分布
第2章 离散型随机变量
2.3 随机变量的分布函数
2.3.1 随机变量的分布函数的概念及性质
概率分布函数.
2.3.2 离散型随机变量的分布函数 离散型随机变量的概率分布 例2.10
第2章 离散型随机变量
2.3.2 离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量X 的概率分布为
pk = P{ X = xk } , k =1,2,…,
则X 的分布函数为
F (x)
xk x
pk
第2章 离散型随机变量
2.3.2 离散型随机变量的分布函数
例 将一枚硬币连掷3次,X表示“3次中正面出现的次
第2章 离散型随机变量
2.Y=X2的概率分布为:
Y P 0
1 5
1
7 30
4
1 5
9
11 30
小结
1.定义 F( x ) = P{X≤ x }, -∞<
x <∞
2.性质 (1) 若 a<b,则有 F(a)≤F(b)(单调非减性);
(2)
F ( x ) 是一个右连续函数即 F ( x 0 ) = F ( x ) ;
当0≤x<1时, 当1≤x<2时,
F ( x ) P { X x } P { X 0}
1
;
8 F ( x ) P { X x } P { X 0} P { X 1} P{ X x 1 8 1 8 3 8 3 8 3 8 3 8 1 2 3 8 1 8 7 8 1. ; ;
• 布置作业 • 第42页 6-9
X P
0
1 8
1
3 8
2
3 8
3
1 8
第2章 离散型随机变量
例 将一枚硬币连掷3次,X表示“3次中正面出现的次数”,
试确定X的分布律及分布函数,并求以下概率:
(1) P {1 X 3} ; ( 2 ) P {1 X 3} ; (5 ) P { X 5 .5} .
解:
X P
0
1 8
1 6
0
1 5
1
1 15
3
11 30
求Y=X2的概率分布。
第2章 离散型随机变量
1.略解:分布函数
x 1 0, 0 .2 5 , 1 x 2 F (x) 0 .7 5 , 2 x 3 1, x 3
(1) P{X≤0.5}=F(0.5)=0.25: (2) P{1.5<X≤2.5}= F(2.5)- F(1.5) =0.75-0.25=0.5; (3) P{2≤X ≤3 }= P{-1<X ≤3 } = F(-1)- F(3) =1-0.25=0.75。
R ,总有
(3) 对于一切 x
x
0≤ F ( x ) ≤1(有界性),且
lim F ( x ) 1
x
F ( ) lim F ( x ) 0
,F ( )
3.分布函数计算区间上概率公式: P{a<X≤b}=F(b)-F(a), P { X
x} 1 F (x)
所以Y=X2的概率分布为:
第2章 离散型随机变量
同步练习 1.设随机变量的分布律为
X -1 0.25 2 0.5 3 0.25
P
求X的分布函数,并求概率 (1) P{X≤0.5}:(2) P{1.5<X≤2.5};(3) P{2≤X ≤3 } 2.设随机变量X有如下概率分布: X P -2
1 5
-1
(1) P {1 X 3} ; ( 2 ) P {1 X 3} ; (3) P { X 5 .5} .
X P 于是,得
0
1 8
1
3 8
2
3 8
3
1 8 3
(1) P {1 X 3} P { X 2}
;
8 3 1 1 ( 2 ) P {1 X 3} P { X 2} P { X 3} ; 8 8 2 (3) P { X 5 .5} 1 P { X 5 .5} 1 1 0 .
2.3.3 离散型随机变量的函数的分布 离散型随机变量的函数的分布 例2.11 同步练习 小结
第2章 离散型随机变量
2.3 随机变量的分布函数
2.3.1 随机变量的分布函数的概念及性质
设 X() 是一个随机变量,称函数 F (x) = P{X≤x}, -∞<x <+∞ 为随机变量 X 的概率分布函数.