极限运算法则
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限运算法则
但在点 x0 的某去心邻域内 ϕ ( x ) ≠ a，又 lim f ( u) = A，
u→ a
时的极限也存在， 则复合函数 f [ϕ ( x )] 当 x → x0 时的极限也存在，且
x → x0
lim f [ϕ ( x )] = lim f ( u) = A.
u→ a
意义： 意义：
x → x0
第六节
极限运算法则
1、极限运算法则 、 2、求极限方法举例 、
一、极限运算法则
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
2 x→2
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
函数极限的四则运算法则公式
函数极限的四则运算法则公式
1.两个函数的和的极限等于两个函数极限之和，即
lim[f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
2. 两个函数的差的极限等于两个函数极限之差，即
lim[f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)
3. 两个函数的积的极限等于两个函数极限之积，即
lim[f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)
4. 两个函数的商的极限等于两个函数极限之商，即
lim[f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x) (其中lim g(x) ≠ 0)
这些四则运算法则公式对于求解函数极限问题非常有用，可以大大简化计算过程，提高求解效率。
需要注意的是，在应用这些公式时，应先确定各个函数的极限是否存在，以及分母函数是否为零。
- 1 -。
极限的运算法则
|y|>E 恒成立,则称变量y是该变化过程中的无穷 大量,或称变量y 趋于无穷大,记作limy=
注意：(1)无穷大是变量,不是很大的数
(2)无穷大的函数其极限是不存在
即 勿将 lim f (x) 认为极限存在. xx0
lim
2
=0
x x 2 x
题 求 lim
x2
x0 1 1 x2
解
x2 lim
lim
x2 (1 1 x2 )
x0 1 1 x2 x0 (1 1 x2 )(1 1 x2 )
lim x2 (1 1 x2 )
x0
x2
2
例8
7. 3
x2
多项式
小结: 1. 设f(x)=a0xn+a1xn1+...+an ,则有
lim
x x0
f
(
x
)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1 an
=a0x0n+a1x0n1+...+an =f(x0)
有理分式
2.设
f (x)
P( Q(
x) x)
A
B
A B
A B
B A B(B )
∵BA 0, |B+ |≥|B|| |
又∵ 0
>0,在变量的变化过程中,总有那么
一个时刻,在那个时刻以后,||<成立
|B+ |≥|B|| | >|B|
极限的四则运算
1.3.1极限(de)四则运算一、极限运算法则定理1lim (),lim (),f x A g x B ==设则(1)lim[()()];f x g x A B ±=±(2)lim[()()];f x g x A B ⋅=⋅()(3)lim,0()f x AB g x B=≠其中 推论 1 ).(lim )](lim [,,)(lim x f c x cf c x f =则为常数而存在如果即：常数因子可以提到极限记号外面.推论2.)]([lim )](lim [,,)(lim n n x f x f n x f =则是正整数而存在如果定理2 （复合函数(de)极限）. )(lim ))((lim , )(lim , )( ),(U ˆ, )(lim , )( )( ))(( 000a u f x f a u f u x x u x x u u f y x f y u u x x u u x x ===≠====→→→→ϕϕδϕϕϕ则又有内去心邻域且在若复合而成及是由设二、求极限方法举例常见方法：a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.（一）多项式与分式函数代入法求极限则有设,)(.1110n n n a x a x a x f +++=-n n x x n x x x x a x a x a x f +++=-→→→ 110)lim ()lim ()(lim 0).(0x f =则有且设,0)(,)()()(.20≠=x Q x Q x P x f )(lim )(lim )(lim 000x Q x P x f x x x x x x →→→=)()(0x Q x P =).(0x f = .,0)(0则商的法则不能应用若=x Q例1 ).53(lim 22+-→x x x 求解：)53(lim 22+-→x x x 5lim 3lim lim 2222→→→+-=x x x x x 5lim lim 3)lim (2222→→→+-=x x x x x 52322+⋅-=.3=例2 求.35123lim 2232+-++-→x x x x x x 解：35123lim 2232+-++-→x x x x x x 3163252122223223-=+⋅-++⋅-⋅=nn n a x a x a +++=- 1100例3 求)14135115131(lim 2-++++∞→n n 解：=-+=-)12)(12(1141 2n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--12112121n n)12)(12(175153131114135115131 2+-+⋅+⋅+⋅=-++++∴n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211217151513131121n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-=121121n . 21121121lim )14135115131(lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++++∞→∞→n n n n 例4 ).21(lim 222nnn n n +++∞→ 求 解：当．是无限多个无穷小之和时,∞→n 先变形再求极限. 222221lim )21(lim n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ 2)1(21lim n n n n +=∞→)11(21lim n n +=∞→.21= (二))0(型消去零因子法求极限消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法 （1）因式分解例1 .321lim 221-+-→x x x x 求 )0(型 解：.,,1分母的极限都是零分子时→x .)1(后再求极限因子先约去不为零的无穷小-x)1)(3()1)(1(lim 321lim 1221-+-+=-+-→→x x x x x x x x x 31lim 1++=→x x x .21= 练习：求hx h x h 330)(lim -+→解：原式=hx x h x h x x h x h ])())[((lim220++++-+→])()[(lim 220x x h x h x h ++++=→23x = （2）有理化法,将分子或分母有理化,约去极限为零(de)因式. 例2 . 22325lim2--+→x x x 求 解： . , 0)22(lim 2故不能直接用公式计算由于=-→x x )22)(22)(325()22)(325)(325(lim22325lim22+-+++++-+=--+→→x x x x x x x x x x )42)(325()22)(42(lim2-+++-=→x x x x x . 32)325(lim )22(lim 32522lim 222=+++=+++=→→→x x x x x x x 练习：求xx x x --+→11lim⎪⎭⎫ ⎝⎛00解：原式=)1()1()11(limx x x x x x --+--+→x x x x x 2)11(lim 0-++=→2)11(lim 0x x x -++=→=1 （3）变量替换法 例5. 11lim 31--→x x x ⎪⎭⎫⎝⎛00 解：令11,66→→==t x x t t x ，时且则 原式=11lim 231--→t t t )1)(1()1)(1(lim 21+-++-=→t t t t t t )1()1(lim 21+++=→t t t t 23= (三) )(型∞∞无穷小因子分出法 为非负整数时有和当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim 0110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当无穷小因子分出法:以分母中自变量(de)最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例1 .147532lim 2323-+++∞→x x x x x 求 解：.,,分母的极限都是无穷大分子时∞→x .,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x 332323147532lim 147532lim x xx x x x x x x x -+++=-+++∞→∞→.72= 练习：求下列极限12423lim 133-++∞→x x x x 、23= 1242lim 254-++∞→x x x x 、=0 1213lim 334-++∞→x x x x 、∞= （四）利用无穷小运算性质求极限 1、利用有界函数与无穷小乘积是无穷小 例1 求xxx sin lim∞→.解：,1,为无穷小时当xx ∞→.sin 是有界函数而x .0sin lim=∴∞→x xx 2、利用无穷小与无穷大(de)关系（倒数关系） 例2 .3214lim21-+-→x x x x 求 解)32(lim 21-+→x x x ,0=商(de)法则不能用 )14(lim 1-→x x 又,03≠=1432lim21--+∴→x x x x .03== xxy sin =由无穷小与无穷大(de)关系,得 .3214lim 21∞=-+-→x x x x （五）)(型∞-∞两个无穷大量相减(de)问题,我们首先进行通分运算,设法去掉不定因素,然后运用四则运算法则求其极限.也就是说,要将型型或转化为型∞∞∞-∞00)(.具体有通分法、分子有理化.例1 求)1311(lim 31---→x x x 解：原式=131lim321--++→x x x x )1)(1()2)(1(lim 21++-+-=→x x x x x x 1)1()2(lim 21=+++=→x x x x 例2 ))3((lim x x x x -+∞→解：原式=[]xx x x x x x ++-+∞→)3()3(lim2xx x x x ++=∞→)3(3lim1)31(3lim++=∞→xx 23=练习： . )2( 1lim x x x x -+++∞→求解： )2( 1limx x x x -+++∞→xx x x x x x x ++++-++=+∞→2)2)(2( 1limx x x x +++=+∞→212lim. 11111112lim=+-+++=+∞→x x x（六）利用左右极限与极限(de)关系例1设, 0,0,1)(⎩⎨⎧≤+>+=x b x x e x f x 问 b 取何值时, )(lim 0x f x →存在, 并求其值.. 解 =+→)(lim 0x f x 2)1(lim 0=++→x x e =-→)(lim 0x f x b b x x =+-→)(lim 0\ 由函数(de)极限与其左、右极限(de)关系, 得b = 2 , . 2)(lim 0=→x f x练习：).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设解：两个单侧极限为是函数的分段点,0=x )1(lim )(lim 00x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20+=++→→x x f x x ,1=左右极限存在且相等,.1)(lim 0=→x f x 故（七）复合函数求极限方法 例1.lim sin 0x x e →求解：0sin , 0 →=→x u x 时因为 所以,由复合函数求极限法则 , 1lim 0=→u u e . 1lim sin 0=→x x e注：这类复合函数(de)极限通常可写成 . 1lim 0sin lim sin 0===→→e ee xx x x例2 .lim cos x x x π→求 解：x x x x x e x ln cos cos lim lim ππ→→= . 1ln ln cos lim πππ===-→e exx x1.3.2两个重要(de)极限:1sin lim0使用时须注意对=→x x x 型；类型是00)1( 推广形式)2(1)()(sin lim )x (0=→∞→x x x x ϕϕ或0)(lim )x (0=→∞→x x x ϕ或其中单位是弧度。
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
2.4 极限的运算法则
10
极限的运算法则
练习
x5 1 lim 7 x2 x 1 x3 x3 2 lim lim x3 x 2 9 x 3 x 3 x 3
高 等 数 直接代入法 学 经 1 济 6 消零因子法 类
8 x 3 8 x 3
x x
(2) lim[ f ( x ) g( x )] A B ;
f ( x) A (3) lim , 其中B 0. x g( x ) B
高 等 数 学 经 济 类
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2
极限的运算法则
推论1
如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
3 xlim 1
8 x 3 lim x 1 x 1
8 x 3
x 1
x 1
11
lim
x 1 8 x 3
x 1
1 6
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极限的运算法则
高 3x x 1 等 例6 求 lim 2 . ( 型) x 2 x 4 x 3 数 学 解 x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .经 济 2 先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.类
则 lim( x 2 ax b ) 1 a b 0.
x 1
x ＋ax b ( x 1 a )( x 1) 于是 lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
Байду номын сангаас经 济 类
x 1 a 2 a lim 2. x 1 x3 4 故a 6, b 7.
lim运算法则及公式
lim运算法则及公式
极限运算法则是计算极限的基本方法，它包括以下几个方面的内容：
1. 常数因子法则
若k为常数，则lim(kf(x))=klimf(x)
2. 加减法则
若limf(x)=L，limg(x)=M，则lim(f(x)+g(x))=L+M，lim(f(x)-g(x))=L-M 3. 乘法法则
若limf(x)=L，limg(x)=M，则lim(f(x)×g(x))=L×M
4. 商法则
若limf(x)=L，limg(x)=M，且M≠0，则lim(f(x)/g(x))=L/M
5. 复合函数法则
若f(x)与g(x)在x→a的极限存在，且limf(x)=b，则lim(g(f(x)))=lim(g(b))
6. 夹逼准则
若f(x)≤g(x)≤h(x)且limf(x)=limh(x)=L，则limg(x)=L。
7. 形式无穷小和等价无穷小
形式无穷小通常表示为o(x)，等价无穷小通常表示为O(x)，它们在极限中的运算法则为：
若f(x)=o(g(x))，则limf(x)/g(x)=0；若f(x)=O(g(x))，则limf(x)/g(x)为有限数。
这些极限运算法则在计算极限时是非常重要的，掌握它们可以使我们更加准确地计算各种复杂的极限。
极限运算法则两个重要极限
极限运算法则两个重要极限1.极限四则运算法则：极限四则运算法则是指对任意两个函数的极限进行加、减、乘、除运算时的运算规则。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：a) 两个函数的和的极限：lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 + L2b) 两个函数的差的极限：lim(x→a) [f(x) - g(x)] = L1 - L2c) 两个函数的乘积的极限：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = L1 * L2d) 两个函数的商的极限：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = L1 / L2 (当L2≠0时)这些极限四则运算法则可以帮助我们简化极限运算，并且可以通过已知函数的极限值来确定复合函数的极限。
2.极限复合运算法则：极限复合运算法则是指对复合函数的极限进行计算的运算规则。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数，记作f(g(x))或g(f(x))。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：lim(x→a) [f(g(x))] = L1 (若L2 = a)lim(x→a) [g(f(x))] = L2 (若L1 = a)这意味着通过已知函数的极限值，我们可以确定复合函数在特定点的极限值。
以上是对极限四则运算法则和极限复合运算法则的详细解释。
这两个极限运算法则在微积分中具有重要的应用，能够帮助我们确定函数在特定点处的极限值，进而推导出更复杂的极限运算。
理解和掌握这两个极限运算法则对于解决微积分中的问题和应用具有重要意义。
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
极限的运算法则
极限的复合函数法则
复合函数的极限法则
给出求复合函数的极限的一般 方法。
复合函数与四则运算的 极限法则
掌握复合函数与四则运算构成 的复合函数的极限法则。
优化数值计算
了解使用极限法则优化数值计 算的算法。
应用极限的运算法则
1 解决数学问题
通过极限法则解决各种 数学问题，如求导、曲 线拟合和优化问题。
应用极限
掌握应用极限的运算法则，解决实际 问题和推导数学公式。
极限的四则运算法则
加法运算法则
已知函数的两个极限，求它们的和的极限公 式。
乘法运算法则
已知函数的两个极限，求它们的乘积的极限 公式。
减法运算法则
已知函数的两个极限，求它们的差的极限公 式。
除法运算法则
已知函数的两个极限，求它们的商的极限公 式。
极限的运算法则
极限是数学的重要概念，它在微积分、数学分析和物理学等科学领域广泛应 用。了解和掌握极限的运算法则可以帮助我们更好地理解这一概念，解决实 际问题，优化数值计算。
找极限的运算法则，包括四则运算
和复合函数法则。
3
极限概念
了解极限的概念以及概率极限的充要 条件。
2 推导数学公式
应用极限法则推导各类 数学公式，如L'Hopital 法则、泰勒公式和常微 分方程解。
3 优化数值计算
使用极限法则优化数值 计算，加速计算速度。
补充知识：极限的存在性和唯一性
1
极限存在性的判断条件
掌握判断函数极限存在的三种方法，包括夹逼定理和单调有界原理。
2
极限唯一性的证明
了解证明函数极限唯一性的基本思路和方法。
总结
极限的运算法则是数学研究中的重要问题，它在数学、物理、工程等领域有 着广泛的应用。掌握极限的概念和运算法则可以帮助我们更好地理解和应用 数学知识，解决实际问题。
13极限运算法则
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§1.3 极限运算法则
说明 在运用极限的四则运算法则时 ,要注意条件 : （1）运算中的函数为有限个 ,且它们的极限
都存在（为有限数，不能为无穷大）； （2）商的极限运算要求分母的极限不为 0.
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§1.3 极限运算法则
例1 求下列函数的极限
§1.3 极限运算法则
一、极限的四则运算法则 二、复合函数的极限运算法则
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§1.3 极限运算法则
一、极限的四则运算法则
“定l理im1”（泛函指数自极变限量的的四变则化运过算程法x则?）x0和 x ? ? 若极限 lim f ( x ) 与 lim g( x ) 都存在，则
f ( x ) ? g( x ), f ( x ) ?g( x ), f ( x ) (lim g( x ) ? 0) g(x )
x?1
(1)
lim
x? 1
x2
?
3x
?
; 2
解 (1)
x?1
(2)
lim
x? 1
x2
?
3x
?
2
lim( x 2 ? 3 x ? 2) ? lim x 2 ? lim3 x ? lim2
x? 1
x? 1
x? 1
x? 1
? (lim x )2 ? 3lim x ? 2? 12 ? 3 ? 1 ? 2 ? 6 ? 0,
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§1.3 极限运算法则
小结 1. 设 f ( x ) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? an ,则有
lim
x? x0
f
(x) ?
极限的运算法则
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α , g ( x ) = B + β . 其中α → 0, β → 0.
x → x0 x → x0
lim P ( x )
若Q( x0 ) = 0, 则商的法则不能应用.
-6-
第五节
极限的运算法则
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
第一章 函数 极限 连续
( x 2 + 2 x − 3) = 0, 解 Q lim x →1
商的法则不能用
-8-
(消去零因子法)
第五节
极限的运算法则
2x3 + 3x2 + 5 ∞ . ( 例4 求 lim 型未定式 ) 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1 ∞
第一章 函数 极限 连续
解
x → ∞时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .
先用x 3去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 lim = x→∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
0
x → x0
lim ϕ ( x ) = u0 , lim f ( u) = A,
u→ u0
x → x0
时, 恒有
| f ( u) − A |< ε ,
- 15 -
第五节
极限的运算法则与性质
解
( 型 ) x 时 , 分子 , 分母 .
3
先用 x 去除分 , 再求 .
3 5 2 3 3 2 2 x 3 x 5 2 x x . lim 3 lim 2 x 7 4 1 7 x 4 x 1 x 7 3 x x
7
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小结:当 a 0 , b 0 , m 和 n 为非 0 0
解
n 时 , 是无限 ．
先变形再求极限.
12 n 1 2 n lim ( ) lim 2 2 2 2 n nn nn n
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
2 2 (x h ) x ( 5 ) lim ; h 0 h
1 1 1 ( 6 )lim . n 1 22 3 n n 1
23
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4 、 计 算 下 列 极 限
( 1 ) lim e x 1 ;
3. 函数极限的唯一性
定理 若 lim f ( x )存在, 则极限唯一.
17
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4. 函数极限的局部保号性
x x 0
如 果 lim f( x ) A ,且 A 0 ( 或 A 0 ), 那 么 f( x ) 0 ( 或 f( x ) 0 ).
存 在 常 数 0 ,使 得 0 当 x x 时 ， 有 0
n n 1 lim f ( x ) a ( lim x ) a ( lim x ) a 0 1 n x x 0 x x 0
极限四则运算法则
极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},mi n {21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f（βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记 αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。
推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。
定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)(lim )(lim )()(lim x g x f B A x g x f ==。
2.4极限运算法则
2n = lim
n n2 1 n2 1
化成 0 或 型 0
= lim
2
n
1
1 n2
1
1 n2
=
2
1
10 10
练习
求
x2 1
lim
x1
x2
2x
3
解 x 1时,分子,分母的极限都是零.
（0 型）先约去不为零的无穷小因子 0 x 1后再求极限.
lim
h0
h
3、
1 lim( x1 1
x
3 1 x3)
4、 lim x8
1 x 3 23 x
5、 lim ( x x x x)
x
6、
2x
lim
x
4
x
1 1
7、
lim
x1
x
x
m
m
x
xn n
2
练习题答案
一、1、-5；
5、0； 二、1、2；
5、1 ； 2
2、3；
6、0； 2、2x ； 6、0；
3、2；
7、1 ； 2
3、-1；
4、1 ； 5
8、(3)30 . 2
4、-2；
7、m n . mn
lim
x
2x3 5x3
3x2 4x2
5 1
2 lim
x 5
x 4 x
x3 1
x3
2. 5
小结:当a0 0,b0 0,m和 n为非负整数时有
a0 , 当 n m,
lim
x
a0 xm b0 xn
五节极限运算法则
就有 0 ( x) a 因而有
f [ ( x)] A
按定义得 lim f [( x)] A x x0
注 在定理6的条件下有
令 u (x)
lim f [( x)]
lim f (u) A
x x0
ua
例13 求lim 2x 1 x4
g(x) B (x)
(6)
其中 lim (x) 0 x x0
(5) (6)得
f ( x) g( x) ( A B) [( x) ( x)]
lim[( x) ( x)] 0 x x0
由函数极限与无穷小的关系,得
lim[ f ( x) g( x)] A B
x x0
(约去零因子)
x3 64 例4 lim
x4 x 2
解 x 4时, 分子, 分母的极限都是零.
x3 64
( x3 64)( x 2)
lim
lim
x4 x 2 x4 ( x 2)( x 2)
( 0型) 0
( x 4)( x2 4x 16)( x 2)
lim
x4
x4
lim( x2 4x 16)( x 2) x4
解 lim 2x 1 令u 2x 1 lim u 9 3
x 4
u9
注1 将a换为时,也有类似的结果成立 . 注2 将x0换为时,也有类似的结果成立.
xx0 g( x)
lim
f (x) A
lim f ( x)
x x0
xx0 g( x) B lim g( x)
x x0
证 [1]
lim f (x) A x x0
由函数极限与无穷小的关系,得
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1.5极限运算法则无穷小运算法则 极限运算法则 求极限方法举例 复合函数的极限运算法则11.5 极限运算法则一、无穷小运算法则定理1 有限个无穷小的和仍是无穷小. 证 设及 是当 x 时 的两个无穷小, 0, N 1 0, 当 | x | N 1时, 恒有 | | ; 2 恒有 | | . N 2 0, 当 | x | N 2时,2取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 | x | N时, 恒有| + | | | | | x 2 2 ( x ). lim f ( x ) 0 0, X 0,当 | x | X时,2 , 所以 0恒有 f ( x ) .1.5 极限运算法则注 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 1 1 如, n 时, 是无穷小 , 但n个 之和为 1 n n 不是无穷小.31.5 极限运算法则定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证 设函数 u在 U ( x0 , 1 )内有界 , 则M 0, 1 0,使得当 0 | x x0 | 1时, 恒有 | u | M .又设是当x x0时的无穷小,所以 0, 2 0, 使得当0 | x x0 | 2时,M 0 | x x0 | 时, 恒有 | u | | u | | | M = , M 所以 当x x0时, u 为无穷小 .4恒有 | | .取 min{ 1 , 2 }, 则当1.5 极限运算法则定理2 推论1 推论2有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 常数与无穷小的乘积是无穷小; 有限个无穷小的乘积也是无穷小.51.5 极限运算法则例. 求 解:（P48,例8）1 lim 0 x x利用定理 2 可知61.5 极限运算法则二、极限的运算法则lim f ( x )泛指任一种极限定理3设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g( x )] A B;f ( x) A ( 3) lim , 其中 B 0 . g( x ) B说明: 定理 3 (1)、(2)可推广到有限个函数的情形 .71.5 极限运算法则( 2) lim[ f ( x ) g( x )] A B;(2)的特例是: 推论1lim[Cf ( x )] C lim f ( x ) (C是常数)即常数因子C可以提到极限符号外面. 推论2lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n(n是正整数)81.5 极限运算法则注 对数列也有如定理3的极限运算法则: 定理4 设有数列{xn}和{yn}, 如果lim x n A, lim yn B ,n n 那么 (1) lim ( xn yn ) A B;n ( 2) lim xn yn A B;n ( 3) 当yn 0 n 1,2,且B 0时,xn A lim . n y B n91.5 极限运算法则定理5lim f ( x) A , lim g ( x) B, 且 f ( x ) g ( x),则 A B . 提示: 令 ( x) f ( x ) g ( x ) 利用保号性定理证明 .101.5 极限运算法则三、求极限方法举例例求 lim2 x 1 （P46,例1）x 1x 1) lim 2 x lim1 2 lim x 1 解 lim(2 x 1 x 1 x 1 x 1 21 1 1 x3 1 . （P46,例2） 例 求 lim 2 x2 x 5 x 3 3 3 lim( x 1) x 1 x2 解 lim 2 x2 x 5 x 3 lim( x 2 5 x 3) x2 3 lim x lim1 7 x2 x2 2 lim x lim 5 x lim 3 3x2 x2 x2111.5 极限运算法则小 结(1) 设 f ( x ) a0 x n a1 x n1 an , 则有x x0lim f ( x ) a 0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a nx x0 x x0 a 0 x 0 a1 x 0nn 1 a n f ( x 0 ).P( x) (2) 设 F ( x ) , 且 Q ( x0 ) 0 , 则有 Q( x ) lim P ( x ) P ( x0 ) x x0 F ( x0 ). lim F ( x ) x x0 lim Q( x ) Q( x 0 )x x0121.5 极限运算法则x3 . 例 求 lim 2 x3 x 9解0 ( 型 ) （P47,例3） 0 x 3时, 分子, 分母的极限都是零.先约去不为零的无穷小因子x 3后再求极限.1 x3 ( x 3) 1 lim lim 2 lim x3 x 9 x 3 ( x 3)( x 3) x 3 ( x 3) 6消去零因子法131.5 极限运算法则2x 3 例 求 lim 2 x 1 x 5 x 4x 1（P47,例4）解 因为 lim( x 2 5 x 4) 0, 商的法则不能用! 又因为 lim(2 x 3) 1 0,x 1x2 5 x 4 0 所以 lim 0. x 1 2x 3 1 由无穷小与无穷大的关系, 得 2x 3 . lim 2 x 1 x 5 x 4141.5 极限运算法则3 x3 4 x2 2 ( 型 ) （P47,例5） 例 求 lim x 7 x 3 5 x 2 3 解 x 时, 分子, 分母的极限均为无穷大.3 x 方 法 先用 去除分子分母, 分出无穷小,无穷小分出法 再求极限. 4 2 3 3 3 x3 4 x2 2 3 x x lim 3 lim . x 7 x 5 x 2 3 x 5 3 7 7 无穷小分出法 求有理函数当 x 的极限时, 先将分子、分母同除以x 的最高次幂, 以分出无穷小, 再求极限.15xx33 x2 2 x 1 例 求 lim 3 . （P47,例6） 2 x 2 x x 5无穷小因子分出法02x x 5 例 求 lim 2 . x 3 x 2 x 13 2（P47,例7）1.5 极限运算法则小 结a0 x m a1 x a m 0 lim n n 1 x b x b x bn 0 1 (a0 0, b0 0, m , n为非负整数 ) a0 nm b m 1 0nmnm171.5 极限运算法则例求 lim ( x 2 3 x x 2 1) ( 型)x 解 不满足每一项极限都存在的条件, 不能直接 应用四则运算法则. 分子有理化原式 lim3 . 2x 3x 1 ( 型) 2 2 x 3x x 1 “根式转移”法 化为 型181.5 极限运算法则四、复合函数的极限运算法则定理6 (复合函数的极限运算法则) 设函数y = f [g(x)]是由函数y = f (u)与函数 u = g(x)复合而成, y f [ g ( x )]在 U ( x0 )有定义,若 lim g ( x ) u0 , lim f ( u) A, 且存在 0 0,x x0当x U ( x0 , 0 )时, 有 g ( x ) u0 , 则x x0u u0lim f [ g( x )] lim f ( u) A.u u019证 0 , 0 , 当0 u u0 ,有 f ( u) A . 对上述 0 , 1 0 ,当0 x x0 1 , 有 g ( x ) u0 . 取 min 0 , 1 , 当0 x x0 时,g ( x ) u0 及 g ( x ) u0 0 同时成立,即 0 g ( x ) u0 , 故f [ g ( x )] A f ( u) A .20如果函数f (u ) 和g (x )满足该定理的条件,那么作代换)(lim 0u f u u →=)]([lim 0x g f x x →.A =u)(x g u =)]([lim 0x g f x x →)(lim 00x g u x x →=化为).(lim 0u f u u →求可把求设函数y = f [g (x )]是由函数y = f (u )与函数u = g (x )复合而成,)()]([0x U x g f y 在= 有定义,,)(lim 00u x g x x =→若,)(lim 0A u f u u =→且存在,00>δ定理6(复合函数的极限运算法则)定理中,=→)(lim 0x g x x 0u 把∞或=)(lim x g ∞而把.)(lim A u f =0u u →,),(00时当δx U x ∈则)(lim 0u f u u →=)]([lim 0x g f x x →.A =,)(0u x g ≠有∞→x ∞→u 可得类似定理.例,0>a 设求极限:a x a x -→lim 3解a x -3可看作与a x u -=复合而成.u u f =)(3,时当a x →,0→u 并且=→u u 0lim 3,0因而=-→a x a x lim 3=→u u 0lim 3.0例解,)1(61x u +=令,1→u 1lim 3-u 原式=11lim 2++=u u .3=,0→x 则故1111lim 0-+-+→x x x 求3121-→u u 1+→u u 2这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法.。