高中函数习题及详细解析

求证:恰有一个定义在所有非零实数上的函数f,满足:(1)对任意x≠0，f(x)=x*f(1/x);(2)对所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y)

解：首先，令g(x)=f(x)-1，把条件写成

g(x+y)=g(x)+g(y) (1)

g(x)+1=xg(1/x)+x (2)

(1)称为Cauchy函数方程，一般来讲是需要额外条件(诸如连续性、单调性之类)才能得到g 是线性函数，对于这个问题而言，(2)就是所谓的额外条件，所以不再需要连续性的条件。首先，在(2)当中取x=-1得到g(-1)=-1。

再对(1)取y=-x-1得-1=g(x-x-1)=g(x)+g(-x)+g(-1)，所以g(-x)=-g(x)，即g是奇函数。

将(2)变形为

g(x)-x=x[g(1/x)-1/x] (3)

如果存在a>0使得g(a)>a，那么g(1/a)>1/a，利用奇函数的性质，g(-a)=-g(a)<-a，继续在(3)中取x=-a得到g(-1/a)>-1/a，这样g(1/a)=-g(-1/a)<1/a，矛盾。同理可以证明不存在a>0使得g(a)0时只能有g(a)=a。再利用奇函数的性质得a<0时也有g(a)=a，即(1)和(2)只有唯一解g(x)=x。

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y都满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x＞0时，f(x)＞0。求：

（1）求f(0)；

（2）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；

（3）解不等式f(a-4)+f(2a+1)＜0。

解：（1）函数f（x）为R上的奇函数，下面证明：

令y=x=0，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，

令y=-x，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（x）+f（-x），即0=f（x）+f（-x），

所以f（-x）=-f（x），

又f（x）定义域为R，关于原点对称，

所以f（x）为奇函数；

（2）任取x1，x2，且x1＜x2，

则f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1），

因为x＞0时，f（x）＞0，且x2-x1＞0，

所以f（x2-x1）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1），

所以f（x）为R上的增函数，

f（a-4）+f（2a+1）＜0⇒f（2a+1）＜-f（a-4）=f（4-a），

由f（x）为增函数得，2a+1＜4-a，解得a＜1．

所以不等式的解集为{a|a＜1}．

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）

解：由已知条件f(x)为R上的偶函数，且满足f(x+2)=f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x2有：

f(x)为最小正周期为T=2的周期函数

f(x)的图像草图如下

直线y=x+a表示的是斜率k=1的一组平行直线

当x∈[0,2]时，显然在a=0时【如直线L1】，直线与f(x)恰有两个交点(0,0)和(1,1)

当直线y=x+a与y= x2在[0,2]内相切时，联立得到：x2=x+a ===> x2-x-a=0

由△=b2-4ac=1+4a=0有a=-1/4

此时切点坐标为(1/2,1/4)在[0,2]内

那么，直线L2与f(x)在[0,1]和[1,2]上分别有一个交点

当a∈(-1/4,0)时【即直线位于L1、L2之间时】，它们就有3个交点

当a∈[-2,-1/4)时，它们就只有1个交点

综上，满足条件的a的值有两个：a=-1/4，或者a=0.

设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=2x-3，则f(-2)的值等于

解：∵f(x)是定义在R上的奇函数

∴f(-2)= -f(2)=-(22-3)= -1.

定义在区间（0，+∞）上的函数f （x）满足：（1）f（x）不恒为零；（2）对任意a∈R+，b ∈R，都有f（ab）=bf（a）．

（Ⅰ）求f（1）的值；

（Ⅱ）求证方程f（x）=0有且只有一个实数根；

（Ⅲ）若f（2）＞0，试证f（x）是（0，+∞）上的增函数．

（Ⅰ）依题意，令a=1，b=2，即可求得f（1）的值；

（Ⅱ）由（1）知，存在x0∈（0，+∞），使得f （x0）≠0，任取x1∈（0，+∞）且x1≠1，结合题意即可证得方程f（x）=0有且只有一个实数根；

（Ⅲ）对任意的0＜x1＜x2＜+∞，存在实数p1，p2，使得x1=2p1，x2=2p2，且p1＜p2，作差判断即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：∵f （ab）=bf （a），

令a=1，b=2，

∴f （1）=f （12）=2f （1），

∴f （1）=0．（3分）

（Ⅱ）证明：由（1）知，存在x0∈（0，+∞），使得f （x0）≠0，显然x0≠1．

任取x1∈（0，+∞）且x1≠1，则

必存在实数q，使得x1=x0q，q≠0．

由（2）知f （x1）=f （x0q）=qf （x0）≠0，

故f （x）=0有且只有一个实数根x=1．（8分）

（Ⅲ）证明：对任意的0＜x1＜x2＜+∞，

存在实数p1，p2，使得x1=2p1，x2=2p2，且p1＜p2，

f （x1）-f （x2）=f （2p1）-f （2p2）

=p1f （2）-p2f （2）

=（p1-p2） f （2）＜0，

∴f （x1）＜f （x2），

∴函数f （x）在（0，+∞）上单调递增．（14分）

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．

（1）设f（x）是定义在R上奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x-3，则当x＜0时，求f（x）表达)x+3

（2）设f（x）是定义在R上奇函数，且f（x+1）=-f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x-3，则x∈（3，4）时，求f（x）表达式