七年级数学下册32提公因式法易错辨析素材湘教版.
新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.2 提公因式法 3.2提取公因式法(1)》教案_5
提公因式法教学设计教学目标：1、使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。
2、让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。
3、通过与因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想。
教学重点、难点：1、教学重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。
2、教学难点：正确找出多项式中各项的公因式和当教学过程：一、回顾1、什么叫因式分解？二、引领探究（一）、观察归纳，引出新知1、下列各多项式有没有共同的因式？（1）a c+ b c（2）3 x2 +x（3）30 m b2 + 5n b（4）3x+6（5）a2 b–2a b2 + ab（6）7 ( a–3 )–b ( a–3)小结：在多项式中每一项都含有的相同的因式叫做公因式。
公因式可以是单项式，也可以是多项式。
2、把下列多项式分解因式：（1）25x-5（2）3 x3-3x2–9x（3）8a 2c+ 2b c（4）-4a 3b3 +6 a2 b-2ab（5）-2x2–12xy2 +8xy3小结：把公因式提出来，这样的因式分解的方法叫提公因式法。
提公因式法分解因式的依据是：乘法的分配律。
公因式的构成：1、系数，公因式中的系数是多项式中各项系数的最大公约数；2、字母，公因式中的字母（或因式）是多项式中各项的相同字母（或因式）。
3、指数，公因式中的字母（或因式）的指数取相同字母（或因式）的最小指数。
（二）、例题学习，深化新知例：把下列多项式分解因式：（1）把9x2–6 x y+3x z分解因式.通过例题的学习，让学生讨论归纳用提公因式法进行因式分解的一般步骤：第一步：确定多项式的公因式，公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。
第二步：将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式。
讨论：如何检验因式分解的正确性？设计说明：强调如何检验因式分解的正确性，再一次让学生体会因式分解和整式乘法的关系，同时也为以后学习整式的恒等变形做准备。
湘教版七年级数学下册3.2 第1课时 提单项式公因式教案与反思
3．2 提公因式法原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！落红不是无情物，化作春泥更护花。
出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》第1课时提单项式公因式1．理解公因式的概念，会找单项式的公因式；(重点)2．当公因式是单项式时会提取公因式．(重点、难点)一、情境导入1．家里来了客人，丹丹、玲玲、颖颖三人分别拿出水果来招待客人，她们拿出的水果有相同的吗？相同的是什么水果？有相同的水果，相同的水果是苹果．2．类似地，对于多项式中相同的因式，我们怎样定义？二、合作探究探究点一：公因式请你确定多项式9ab2c－6a2b2＋12ab3c2的公因式．解析：根据公因式的定义分别确定系数和字母及指数．解：公因式的确定包括两部分：系数和字母及指数.9，－6，12的最大公因数是3；各项都含有的相同字母是a，b，a的最低次是1，b的最低次是2，所以公因式是3ab2.方法总结：公因式的确定：(1)系数：各项系数的绝对值的最大公因数；(2)字母及指数：各项都含有的相同字母的最低次幂．确定公因式时，应先确定系数，再确定字母及指数，字母的指数为1时，指数1可省略不写．探究点二：提单项式公因式因式分解把下列各式因式分解：(1)x4y3－x2y2＋xy；(2)－12a2b－18ab2＋6a2b2.解析：提公因式法因式分解的关键是确定公因式，提取公因式后，用原多项式的每一项除以公因式，作为括号内余下的项．解：(1)x4y3－x2y2＋xy＝xy(x3y2－xy＋1)；(2)－12a2b－18ab2＋6a2b2＝－6ab(2a＋3b－ab)．方法总结：(1)提取公因式后，括号内剩余的项数与原多项式的项数相同；(2)如果提取一个带“＋”号的公因式，括号内各项的符号与原多项式各项的符号相同；如果提取一个带“－”号的公因式，括号内各项的符号与原多项式各项的符号相反；(3)项式中的某一项全部提取后，括号内剩余的因式“1”不能漏写；(4)多项式的首项为负时，常提取一个负的公因式．探究点三：提单项式公因式因式分解的应用【类型一】利用提公因式法求值已知a＋b＝133，ab＝100，求a2b＋ab2的值．解析：先把a2b＋ab2分解为ab(a＋b)，再把a＋b和ab的值代入计算．因为a2b和ab2有公因式ab，所以可用提公因式的方法因式分解．解：a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝100×133＝13300.方法总结：解决此类问题时，先把多项式因式分解，再利用整体代入的思想求代数式的值．【类型二】利用提公因式法进行简便运算利用因式分解计算：9992＋999.解析：提取999后再计算．解：9992＋999＝999×(999＋1)＝999×1000＝999000.方法总结：利用提公因式法因式分解可以简化计算，提高运算的速度和准确率．【类型三】利用提公因式法判断整除试说明：817－279－13能被45整除．解析：观察817、279、913这三个数，都可以写成底数为3的数：328、327、326，提取公因式326，然后计算括号内的项．解：原式＝914－99×39－913＝328－327－326＝326(32－3－1)＝326×5＝324×32×＝45×324.所以被45整除．方法总结：要判断一个式子能被某个数整除，需要把这个式子写成这个数与另一个式子的乘积的形式，解题时常常通过提取公因式来达到目的．三、板书设计提公因式法因式分解⎩⎨⎧公因式的确定⎩⎨⎧系数字母及指数提公因式法提公因式法因式分解的应用从生活中的实例引入，让学生认识到公因式的最大特别是“公”——各项都含有的．本节课的易错点有两个：一是提取一个带“－”号的公因式时，把剩余项括到括号内时往往只改变首项的符号；二是多项式中的某一项作为公因式提取后，往往漏写剩余项“1”．在讲解例题时可有意出错，提醒学生注意避免这两个方面的错误【素材积累】1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。
新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.2 提公因式法 3.2提取公因式法(2)》课件_0
当堂检测
1. 说出下列多项式中各项的公因式：
（1）-12x2y+18xy-15y；
公因式：3y.
（
2
）πr
2h+
2 3
πr
3.
公因式：πr2.
（３）2xm y m－１－4xm－１y n (m, n均为大于1的整数)
公因式：2 xm－１ym－１ .
当堂检测
2. 在下列括号内填写适当的多项式：
（1）3x3-2x2+x= x( 3x2-2x+1 ) （2）-30x3y2+48x2yz = -6x2y ( 5xy-8z )
第3章 因式分解
——3.2 提公因式法（1）
情境引入
家里来了客人，丹丹、玲玲、颖颖三人分别拿出水 果招待客人，她们拿出的水果有相同的吗？相同的 是什么水果？
有相同的水果，相同的水果是苹果．
情境引入
下列每个式子含字母的因式有哪些？ xy，xz，xw.
由此看出，xy，xz，xw有公共的因式 x .
几个多项式的公共的因式称为它们的公因式.
知识精讲
1. 因式分解：ab+ac
乘法分配律逆用 ab+ac=a(b+c).
2. 因式分解：xy+xz+xw
解：xy+xz+xw= x(y+z+w)
知识精讲
例题1：
1.确定下列多项式中的公因式：
(1)5x2－3xy＋x
(2) 4x2－6x
2、因式分解：
(1) 5x2－3xy＋x
当堂检测
3. 把下列多项式因式分解： （1）3xy-5y2+y； y(3x-5y+1) （2）-6m3n2-4m2n3+10m2n2. -2m2n2(3m+2n-5) （3） 4x3 yz2－8x2 yz4 + 12x4 y2z3 4x2yz2 (x-2z2 +3x2yz)
七级数学下册 3.2 提公因式法 提公因式法应注意的几个问题素材 (新版)湘教版
提公因式法应注意的几个问题提公因式法是因式分解中最基本、最简单的方法，掌握好该法，应注意以下几个方面的问题：一、注意对原多项式的调整当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内第一项的系数变为正数，但必须注意：在提出“—”号时，多项式的各项都要变号．如：2227918m n mn mn -+-=22(27918)m n mn mn --+．当多项式的每项又含多项式因式时，可把多项式因式视为一个整体；若多项式因式内字母顺序不一致，可适当调成一致．常见的几个恒等变形是：①()b a a b -=--；②22()()b a a b -=-；③33()()b a a b -=--．如：224()m n y x -＋236()mn x y -=22234()6()m n x y mn x y -+-．二、注意公因式的确定多项式公因式的确定可记为“三找”：一找各项系数绝对值的最大公约数，如2227918m n mn mn -+各项系数绝对值的最大公约数是9，22234()6()m n x y mn x y -+-各项系数绝对值的最大公约数是2；二找各项都含有的字母，如2227918m n mn mn -+各项都含有字母,m n ，22234()6()m n x y mn x y -+-各项都含有字母,,()m n x y -；三找相同字母的最小指数，如2227918m n mn mn -+中字母,m n 的最小指数均为1，22234()6()m n x y mn x y -+-中字母,,()m n x y -的最小指数分别为1，1，2．所以2227918m n mn mn -+的公因式为9mn ，22234()6()m n x y mn x y -+-的公因式为22()mn x y -．三、注意提出公因式后余下的因式把公因式从多项式的每项中提出来后，千万要注意余下的因式：1．可视为每一项除以公因式后的商；2．不要漏项，即当多项式中某一项恰好是公因式或公因式的相反数时，很容易错误地认为此项提公因式后就没有了，从而漏掉一项1或－1．如2822(41)m n mn mn m +=+．四、注意因式分解结果的书写形式写因式分解的结果时，单项式因式要放在多项式因式的前面，若有相同的因式，一定要写成幂的形式，并对提公因式后剩下的因式加以整理，化为最简形式．如：224()m n y x -＋236()mn x y -=22234()6()m n x y mn x y -+-=[]22()23()mn x y m n x y -+-=22()(233)mn x y m nx ny -+-．。
新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.2 提公因式法 3.2提取公因式法(2)》课件_7
学以致用
把(x+y)(y-x)2-(x-y)3分解因式 解： (x+y)(y-x)2-(x-y)3
=(x+y)(x-y)2-(x-y)3 = (x-y)2[(x+y)-(x-y)] = (x-y)2[x+y-x+y] =2y(x-y)2
新知讲解
例6、把12xy2(x+y)-18x2y(x+y)因式分解.
(3) a+b与b+a互为相同数. （各项都相等，则这两个多 形式相等）
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
新知讲解
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：
(1)当相同字母前的符号相同时，则两个多项式相等
如：a-b 和-b+a 即：a-b =-b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时，则两个多项式互为相 反数
=x(x-2)+3(x-2)
= (x-2)(x+3).
学以致用
把下列各式进行因式分解：
(1) a(m-6)+b(m-6)
(2) 3(a-b)+a(b-a)
解： (1) a(m-6)+b(m-6) =(m-6)(a+b)
解： (2) 3(a-b)+a(b-a) =3(a-b)-a(a-b) =(a-b)(3-a)
当各项ab系数都是整b2数时，公因式的系数应取各项系数 的(最大公约数)；字母取各项的(相同字母)，而且各 字母的a指2 数取最（小）次数。
巩固提升
1.因式分解2a(-a+b)2-(a-b)3，应提取的公因式是( C )
A.-a+b
B. a-b
七年级数学下册3、2提公因式法第2课时公因式为多项式的提公因式法习题新版湘教版
【点拨】A.mn(m－n)－ m(n－ m)＝m(m－n)(n＋1)＝－m(n－ m)(n＋1)，故本选项正确；B.6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋3q －1)，故本选项错误；C.3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x－2)， 故本选项错误；D.3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x－y)，故本选项 错误．
第3章 因式分解
3.2 提公因式法 第2课时 公因式为多项式的提公因式法
提示：点击 进入习题
新知笔记
答案显示
1D
2D
6 见习题 7 B
11 见习题
3D
4D
5A
8 C 9 (x＋2)(x－1) 10 见习题
用提公因式法因式分解时，若各项含有相同(或相反)的多项 式，则把它作为一个整体，相同的直接提，相反的变成相同 的再提．
【答案】A
6．把下列多项式因式分解： (1)【中考·东营】x(x－3)－x＋3；
解：原式＝x(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x－1)． (2) 2a(x－y)－4b(y－x)；
原式＝2a(x－y)＋4b (x－y)＝2(x－y)(a＋2b)． (3)(2x＋y)(2x－3y)＋x(2x＋y)．
原式＝(2x＋y)(2x－3y＋x)＝(2x＋y)(3x－3y)＝3(2x＋y)(x－y)．
7．将多项式(3a－4b)(7a－8b)－(11a－12b)(8b－7a)因式分解正确 的是( B ) A．8(7a－8b)(a－b) B．2(7a－8b)2 C．8(7a－8b)(b－a) D．－2(7a－8b)2
1．下列各组多项式中，没有公因式的是( D ) A．(a－b)3 与(a－b)2 B．3m(x－y)与 n(y－x) C．2(a－3)3 与－a＋3 D．ax2＋by2 与 ax＋ay
七年级数学下册第3章因式分解32提公因式法习题课件新版湘教版
(2)5y3+20y2;
(3)a2b-2ab2+ab;
(4)x(x-y)2+2(x-y)3.
【解析】(1)原式=4k·x-4k·2y=4k(x-2y)；
(2)原式=5y2·y+5y2·4=5y2(y+4)；
(3)原式=ab·a-ab·2b+ab·1=ab(a-2b+1)；
(A)12a2b2c2 (B)6abc
(C)12abc
(D)36a2b2c2
【解析】选C.系数的最大公约数是12，相同字母的最低指数次 幂是abc，所以公因式为12abc.
2.下列各式中，没有公因式的是( )
(A)2a-2b与b-a
(B)mx+y与x+my
(C)(m-1)3与-(1-m)2
(D)a+b与-(b+a)
(4)原式=(x-y)2·x+(x-y)2·2(x-y)
=(x-y)2(x+2x-2y)=(x-y)2(3x-2y).
利用提公因式法进行简便计算 【例2】(5分)已知电学公式U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9，R2=18.5， R3=18.6，I=1.5时，求电压U. 【规范解答】 U=IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3) ……………………………………………………………………3分 =1.5×(12.9+18.5+18.6)………………………………………4 分 =1.5×50=75. …………………………………………………5分
【规范解答】(1)原式=7x·x 特别提醒:找公因式时
-7x·3……………………………1分 不要有遗漏. =7x(x-3). ………………………2分
湘教版七年级下册数学3.2提公因式法
ab
（3）-5m2n3+10m3n2-35m2n2 5m2n2
（4）6x2y(x-y)-24x2y2(x-y) 6x2y
（5）2a2b2(a-3b)+3b-a
a-3b
2. 在括号内填写恰当适当的多项式。
（1） -2x2+10x-10xy=-2x( x+5y-5 )
（2） 1 r 2h 2 r 3 1 r 2( h+2r )
因式分解时，如何确定多项式各项的公因式？ 系数取：各项的最大公约数。 字母取：各项相同的字母，且次数最低。 多项式因式取：各项相同的多项式，且次数最低。 取得的系数、字母及多项式的积就是各项的公因式。
巩固练习
1. 在横线上写出下列多项式各项的公因式。
（1）10x2y-4xy+y
y
（2）-ab2-2ab+a2b2
练一练
3.把下列多项式因式分解。 (1) 3xy-5y2+y (2) -6m3n2-4m2n3+10m2n2 (3) 4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z3.
解 (1) 3xy-5y2+y=y(3x-5y+1) (2) -6m3n2-4m2n3+10m2n2=-2m2n2(3m+2n+5) (3) 4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z3=4x2yz2(x-2z2+3x2yz).
解 4x2-6x =2x(2x-3).
例3 把8x2y4-12xy2z因式分解。
分析：
公因式的系数是8和12的最大公约数是4；公 因式含的字母是各项相同的字母x和y，它们的指 数取各项中次数最低的，因此公因式为4xy2。
解 8x2y4-12xy2z =4xy2·2xy2-4xy2·3z =4xy2(2xy2-3z).
七年级数学下册 3.2 提公因式法典型例题素材 (新版)湘教版
《提公因式法》典型例题1例题1 找出下列式子中的公因式：（1）bc a b a a 222330,8,4-；（2）)1)(1(8,)1(42-++y y x y x ；例题2．分解因式：m m m 126323+--例题3．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.例题4．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x .例题5．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.参考答案例题1 分析 多项式中各项都含有的因式是公因式，公因式中的系数是各项系数的最小公倍数，各项中共同含有的字母的公因式是各项中这个字母次数最低的幂．解答 （1）公因式是22a ．（2）公因式是)1(4+y x ．说明 字母的指数中含有字母时，要判断哪个指数是最小的．例题2 解答 m m m 126323+-- ).42(3)1263(223-+-=-+-=m m m m m m说明 观察到第一项的系数是负数，我们先把“－”号提出来，便于继续分解因式.例题3．分析 观察题目结构特征：第一项系数是负数，且有因式)(y x -，第二、三项有因式)(x y -，这就启发我们只要把)(x y -前面添上负号，就变成)(y x --，这样三项中均有公因式了.解答 323)(24)(18)(6x y x y y x ---+-- []).1()(18)333()(6)(43)()(6)(24)(18)(6222323+--=-+---=------=-+-+--=y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x说明 对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x 感兴趣的同学可以寻找其中的规律.例题4．分析 方程左边的第一项有因式)12(6)612(+=+x x ，第二项有因式)12(6+x . 所以我们应先提取公因式，再化简求解.解答 原方程依次变形为：[].21.012,0)5()12(6,0)2313()1823()12(6,0)2313)(12(6)1823)(12(6-=∴=+=-⋅+=-+-+=-++-+x x x x x x x x x x例题5．分析 把所求的式子利用因式分解法转化为关于)2(n m -与n m 34+的因式，再代入求解.解答 32)2(2)2(5m n n m n --- [])34()2()2(25)2()2(2)2(52232n m n m n m n n m n m n m n +-=-+-=-+-=∵⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m∴原式9132=⋅=.说明 在解题过程中，巧妙地运用了转化思想，用提公因式法分解因式作为桥梁，把题给方程组和所求多项式结合起来，体现了思维的广阔性.。
七年级数学下册 3.2 提公因式法解题指导素材 (新版)湘
《提公因式法》解题指导提取公因式法不仅是一种重要的分解因式的方法，也是把一个多项式分解因式时首要考虑的步骤，即分解因式时，首先要看多项式中是否有公因式可提。
有公因式的一定要先提公因式。
那么，怎样才能学好提公因式这种方法呢。
一、准确地理解公因式的概念公因式是指一个多项式的各项都含有的因式，它的确定一般采取“三看”的方法：一看“系数”，公因式的系数是各项系数绝对值的最大公约数，如在多项式32223246b a ab b a --中，各项系数的绝对值是6、4、2，它们的最大公约数是2，所以公因式的系数是2；二看“字母”，公因式中的字母应是各项相同的字母（注意这里的字母具有广泛性，可以是一个整式），如上式中各项都含有a 、b ，所以公因式的字母是a 、b ；三看“字母的次数”，公因式中字母的次数是相同字母的最低次幂，如上式中的a 是1次、b 是2次，所以这个多项式的公因式是2a 2b ．二、掌握提取公因式的方法要正确提取公因式，可遵循下列方法：①当一个多项式的各项公因式是其中的单独一项时，提取公因式后该项应用1补上，不能漏掉；②如果多项式按一定顺序列出后，首项为负时，一般要连同 “－”号提出，使括号内的第一项的系数为正的，但在提出“－”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号；③有时提取公因式后要对括号内的项进行适当的化简，发现公因式还要及时提取；④如果公因式含有多项式因式时，应注意符号的变换，如(a+b)2＝(b －a)2，(a －b)3＝－(b －a)3；⑤因式分解的结果应将单项式写在前面，多项式写在后面，相同的因式写成乘方的形式.三、明确提公因式的依据我们在学习乘法分配律时知道，mc mb ma c b a m ++=++)(，现在把它反过来就有mc mb ma ++=)(c b a m ++，这正是提公因式法，可见提公因式法的依据是乘法分配律的逆运用．四、提公因式法运用中的几点注意1、提取公因式要一次提“全”提“净”例1 因式分解：xy xy y x 492114223+-错解：原式).492114(2+-=y y x xy剖析：提取公因式后的各项不能再有公因式，必须一次提全提净。
七年级数学下册 3.2 提公因式法 运用提公因式法分解因式的几种策略素材 (新版)湘教版
运用提公因式法分解因式的几种策略提公因式法是分解因式首先要考虑的方法，运用提公因式法的关键是准确找出多项式各项的公因式．下面结合实例介绍几种常见的运用提公因式法分解因式的策略．一、提系数例1 分解因式：2)(8n m +－)(24n m m +＋218m解 原式＝2［2)(4n m +－)(12n m m +＋29m ］＝2｛2)](2[n m +－)(12n m m +＋2)3(m ｝＝22]3)(2[m n m -+＝22)2(m n -．点评：当系数是整数系数时，要提出多项式各项系数的最大公约数．例2 分解因式：2712x －312y 解 原式＝31（912x －2y ）＝31（31x －y ）（31x ＋y ）． 或原式＝271（2x －92y ）＝271（x －3y ）（x ＋3y ）． 点评：当系数是分数系数时，所提取的系数是可以不相同的，如例2中可以提31也可以提271，只要提取系数后，下一步能继续分解即可．二、提单项式例3 分解因式：－23a b ＋82a 2b －8a 3b解 原式＝－2ab （2a －4ab ＋42b ）＝－2ab 2)2(b a -．三、提多项式例4 分解因式：（x －3y ）（a ＋b ）＋（3x －2y ）（a ＋b ）解 原式＝（a ＋b ）［（x －3y ）＋（3x －2y ）］＝（a ＋b ）（4x －5y ）．四、先变符号，再提公因式例5 分解因式：92x （a －2b ）＋4（2b －a ）解 原式＝92x （a －2b ）－4（a －2b ）＝（a －2b ）（92x －4）＝（a －2b ）（3x ＋2）（3x －2）．点评：变符号时经常用到以下恒等式：（1）a －b ＝－（b －a ）；（2）2)(b a -＝2)(a b - ；（3）3)(b a -＝－3)(a b -五、连续提公因式例6 分解因式：m（5a x＋a y－1）－m（3a x－a y－1）解原式＝m［（5a x＋a y－1）－（3a x－a y－1）］＝m（2a x＋2a y）＝2a m（x＋y）点评：分解因式一定要分解到每一个因式都不能分解为止。
七年级数学下册3.2提公因式法学习要点素材湘教版(new)
《提取公因式法》学习要点提公因式法是分解因式中最基本，也是最重要的一种方法，如果不能准确的提公因式，分解因式的其他方法就不能顺利地实施，那么如何正确地通过提公因式来分解因式呢？一、明确提公因式的原则要提公因式,就得确定公因式.确定公因式的原则是：①各项系数都是整数时，应提取各项系数最大的公约数；②字母提取各项相同的字母；③各字母的指数取次数最低的.如公因式56a3bC，14a2b2C，21ab2C2的公因式是7abC.二、掌握提公因式的方法要正确的提公因式,可遵循下列方法：①当一个多项式的公因式是其中的单独一项时，题公因式后该项应用“1”补上，不能漏掉;②如果多项式按一定顺序列出后首项为负,一般要连同“—"号一并提出，使括号内的第一项的系数为正，但要注意在提出“-”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号；③有时提公因式后要对括号内的项进行适当的化简，发现仍有公因式还要及时提取;④如果公因式含有多项式因式时，应注意符号的变换,如（a-b)2=(b-a）2，（a-b）3=—(b-a）3；⑤因式分解的结果应将单项式写在前面，多项式写在后面，相同的因式写成乘方的形式.三、知道提公因式的理论依据提公因式是由多项式的乘法引出的,如m（a+b+c）=ma+mb+mc，反过来得到ma+mb+mc=m（a+b+c），这就是提公因式的理论依据—-逆用乘法分配律.即如果一个多项式的各项含有公因式，则可以逆用乘法分配律把这个公因式提出来。
四、把握典型例题例1 将下列各式分解因式：（1）2a3b2c+4ab3c-abc；(2)—14x3-21x2+28x.分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.解：（1)原式=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1=abc（2a2b+4b2-1）;（2）原式=-7x（2x2+3x-4）。
点评：如果一个多项式中的某一项就是公因式，则提取公因式后用“1”补充；当首项含有“-"时，一般要将“—”号也一并提出，但要注意括在括号里面的各项要改变符号.例2 将下列各式分解因式:(1）15（x-y)3+10（y—x）2；(2)m（m—n)+n(n-m）.分析：虽然这两个小题看上去没有公因式，但仔细观察可以看出(x-y）与（y—x）,（m—n)与（n—m）都是互为相反数，如果把其中一个提取一个“—”号,则可以出现公因式。
湘教版数学七年级下册3.2 提公因式法.docx
初中数学试卷3.2 提公因式法第1课时提单项式公因式要点感知1 几个多项式的__________的因式称为它们的公因式.公因式的确定：(1)系数：各项系数的绝对值的__________；(2)字母及指数：各项都含有的相同字母的__________次幂. 预习练习1-1多项式18xy+12x2y-6xyz各项的公因式是( )A.12yzB.6xzC.6xyD.3x要点感知2 提公因式时，如果多项式的首项的符号为负，常提取一个带“-”号的公因式. 预习练习2-1多项式-6a2b2-3a2b3+12a3b各项的公因式是( )A.a2bB.3abC.-3a2bD.-3a2b2要点感知3 如果一个多项式的各项有__________，可以把这个__________提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.预习练习3-1分解因式：ax-a=__________.知识点1 公因式1.把多项式3a2b2-6ab2+15a2b因式分解,应提取的公因式是( )A.3a2bB.3abC.15a2b2cD.ab22.多项式9x3y2+12x2y2-6xy3中各项的公因式是__________.知识点2 提单项式公因式因式分解3.把2a2-4a因式分解的最终结果是( )A.2a(a-2)B.2(a2-2a)C.a(2a-4)D.(a-2)(a+2)4.用提公因式法因式分解正确的是( )A.12abc-9a2b2c2=3abc(4-3ab)B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)5.因式分解：a2-a=__________.6.因式分解：(1)3ay-3by； (2)6a2b2-15a2b3+3a2b.7.下列各组代数式中没有公因式的是( )A.4a2bc与6abc2B.ab与a2b3C.a与bD.2x与4x8.多项式-2a n-1-4a n+1的公因式是M，则M等于( )A.2a n+1B.-2a nC.-2a n-1D.-2a n+19.将a3b3-a2b3-ab因式分解得( )A.ab(a2b2-ab2-1)B.ab(a2b2-ab2)C.a(a2b3-ab3-b)D.b(a3b2-a2b2-a)10.因式分解：(1) 3ab2-a2b=__________；(2) 2x2-4x＝__________.11.利用因式分解计算：2100-2101.12.(1)已知：a+b=3,ab=2,求a2b+ab2的值；(2)已知：3a2+2a-3=0,求4-9a2-6a的值.13.用简便方法计算：123×6.28+628×1.32-15.5×62.8.参考答案要点感知1 公共最大公因数最低预习练习1-1 C预习练习2-1 C要点感知3公因式公因式预习练习3-1 a(x-1)1.B2.3xy23.A4.C5.a(a-1)6.(1)原式=3y(a-b).(2)原式=3a2b(2b-5b2+1).7.C 8.C 9.A10.(1)ab(3b-a) (2)2x(x-2)11.原式=2100×(1-2)=2100×(-1)=-2100.12.(1)原式=ab(a+b)=2×3=6.(2)因为3a2+2a-3=0,所以3a2+2a=3.所以原式=4-3(3a2+2a)=4-3×3=-5.13.原式=12.3×62.8+62.8×13.2-15.5×62.8=62.8×(12.3+13.2-15.5)=62.8×10=628.第2课时提多项式公因式要点感知1 (a-b)2n=__________(b-a)2n,(a-b)2n+1=__________(b-a)2n+1(n为正整数).预习练习1-1多项式2(a-b)-6b(b-a)的公因式是__________.要点感知2 用提公因式法因式分解时，如果其中各项的多项式因式互为__________，常变形转化为相同多项式因式，再提取公因式.预习练习2-1因式分解：2x(a-2)+3y(2-a)=__________.知识点提多项式公因式因式分解1.因式分解2a(-a+b)2-(a-b)3，应提取的公因式是( )A.-a+bB.a-bC.(a-b)2D.以上都不对2.观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m(a-b)和-a+b；③3(a+b)和-a+b；④2x2+2y2和x2+y2.其中有公因式的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④3.因式分解b2(a-3)+b(a-3)的正确结果是( )A.(a-3)(b2+b)B.b(a-3)(b+1)C.(a-3)(b2-b)D.b(a-3)(b-1)4.把多项式（1+x）（1-x）-（x-1）提取公因式（x-1）后，余下的因式是( )A．（x+1） B．-（x+2） C．-（x+1） D．x 5.2（a-b）3-（b-a）2因式分解正确的是( )A．（a-b）2（2a-2b+1） B．2（a-b）（a-b-1）C．（b-a）2（2a-2b-1） D．（a-b）2（2a-b-1）6.多项式(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)(z-x-y)各项的公因式为__________.7.因式分解：(1)a(a-b)+b(b-a)； (2)2(x-1)2+4b(1-x)2+6p(x-1)2.8.若m-n=-1，则(m-n)2-2m+2n的值是( )A.3B.2C.1D.-19.已知a-1=b+c,则代数式a(a-b-c)-b(a-b-c)+c(b+c-a)的值为__________.10.用提公因式法因式分解：(1)2x(x+y)-4(x+y)2； (2)(a+b)(a+b-1)-a-b+1；(3)(x-a)2+4m(x-a)+(m+n)(a-x).11.化简求值：(3x-1)2(2x-3)-(3x-1)(2x-3)2-x(3x-1)(2x-3)，其中x=23.12.阅读下列材料：因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2.解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.请用以上的方法因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).参考答案要点感知1 + -预习练习1-1 2(a-b)要点感知2相反数预习练习2-1 (a-2)(2x-3y)1.C2.D3.B4.B5.C6.x+y-z7.(1)原式=(a-b)(a-b)=(a-b)2.(2)原式=2(x-1)2(1+2b+3p).8.A 9.110.(1)原式=-2(x+y)(x+2y).(2)原式=(a+b-1)2.(3)原式=(x-a)(x-a+3m-n).11.原式=(3x-1)(2x-3)[(3x-1)-(2x-3)-x]=(3x-1)(2x-3)×2=2(3x-1)(2x-3).当x=23时,原式=2×(3×23-1)×(2×23-3)=-103.12.原式=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-1]=(1+x)2[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)n-2]=…=(1+x)n+1.。
湘教版七年级数学下册3.2 第2课时 提多项式公因式教案与反思
第2课时提多项式公因式原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！令公桃李满天下，何用堂前更种花。
出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》1．会确定多项式的公因式；(重点)2．掌握提多项式公因式进行因式分解．(重点、难点)一、情境导入1．因式分解：2ax－4a2y.2．在多项式2ax－4a2y中，如果把其中的a用(a＋b)替换，则可得到多项式：2(a＋b)x－4(a＋b)2y，还可以进行因式分解吗？如果可以，怎样进行因式分解？二、合作探究探究点一：确定多项式公因式【类型一】直接确定公因式把10a2(x＋y)2－5a(x＋y)3因式分解时，应提取的公因式是( ) A．5a B．(x＋y)2C．5(x＋y)2 D．5a(x＋y)2解析：把(x＋y)看作一个整体，系数10和5的最大公约数是5，相同字母分别是a和(x＋y)，其中a的最低次幂是1，(x＋y)的最低次幂是2，所以这个多项式的公因式是5a(x＋y)2，故选D.方法总结：在确定多项式时，如果多项式中的各部分含有相同的多项式因式，可把这个多项式看作一个整体，然后按照确定单项式公因式的方法确定公因式．即：公因式的系数取各项系数的绝对值的最大公因数，公因式的字母及指数取各项都含有的相同字母的最低次幂．【类型二】通过变形确定公因式分解2x(－x＋y)2－(x－y)3应提取的公因式是( )A．－x＋y B．x－yC．(x－y)2 D．以上都不对解析：把(x－y)看作一个整体，(－x＋y)2＝(x－y)2，这样原多项式化为2x(x－y)2－(x－y)3，根据公因式的确定方法可知其公因式为(x－y)2.故选C.方法总结：底数互为相反数时，可通过如下两个等式变形：(a－b)2n＝(b －a)2n，(a－b)2n＋1＝－(b－a)2n＋1(n为正整数)．因此，确定公因式时，原多项式中的部分项的因式可适当变形，在变形时要特别注意符号．探究点二：提多项公因式进行因式分解【类型一】提公因式进行因式分解把下列各式因式分解：(1)x(x－y)－y(x－y)；(2)6(x＋y)(x－y)－3(y－x)2.解析：(1)公因式为(x－y)，提取公因式后两个因式相同，注意写成乘方的形式；(2)由于(y－x)2＝(x－y)2，所以多项式可化为6(x＋y)(x－y)－3(x－y)2，确定公因式为3(x－y)，提取公因式后再化简即可．解：(1)x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)(x－y)(x－y)2；(2)6(x＋y)(x－y)－3(y－x)2＝6(x＋y)(x－y)－3(x－y)2＝3(x－y)[2(x ＋y)－(x－y)]＝3(x－y)(x＋3y)．方法总结：提取公因式后，每个因式中都要合并同类项，化为最简形式．一般情况下，最后结果中最多只能含有小括号，而不能含有中括号或大括号等．【类型二】利用因式分解整体代换求值已知2a＋b＝7，ab＝4，求2a2b＋ab2的值．解析：原式提取公因式变形后，将2a＋b与ab的值代入计即可求出值．解：∵2a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(2a＋b)＝4×7＝28.方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．【类型三】因式分解化简多项式后，求代数式的值先因式分解再求值：(2x＋12(3x－2)－(2x＋1)(3x－2)2－x(2x＋1)(2－3x)，其中x＝3 2 .解析：式中除含有公因式(2x＋1)外，将第3项中的(2－3x)改写成－(3x－2)后，还有公因式(3x－2)，故可提公因式(2x＋1)(3x－2)．解：原式＝(2x＋1)2(3x－2)－(2x＋1)(3x－2)2＋x(2x＋1)(3x－2)＝(2＋1)(3x－2)[(2x＋1)－(3x－2)＋x]＝(2x＋1)(3x－2)(2x＋1－3x＋2＋x)＝3(2x＋1)(3x－2)．当x＝32时，原式＝3×(2×32＋1)×(3×32－2)＝3×4×52＝30.方法总结：当题中含有幂的底数是多项式时，就要观察是否要把某些项中的这类因式变形才能找出公因式；变形时则要注意根据幂的指数的奇偶性考虑其所在项是否要改变符号；在提取幂的底数是多项式这样的公因式时，要把底数的多项式看作一个整体．三、板书设计1．提公因式时，如果多项式的首项符号为负，常提取一个带“－”号的公因式．2．(a－b)2n＝(b－a)2n，(a－b)2n＋1＝－(b－a)2n＋1(n为正整数)．本节课通过提单项式公因式引导出提多项式公因式，学习时可类比提单项式公因式的方法进行．教学中注意底数是互为相反数时的多项式的变形，在式子前面是否要加上负号，并强调提取公因式后剩下的部分一定要化简，并注意不要混淆整式乘法与因式分解【素材积累】1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。
湘教版七年级数学下册3.2提公因式法课件
由于第1项可以写成
8x2y44xy22xy2
因此括号内的第1项为 2xy2
由于第2项可以写成 4xy23z
因此括号内的第2项为 －3z
解：
8x2y4 12xy2z
4 x y22 x y2 4 x y2 3 z
4xy2 2xy23z
湘教版 中学数学七年级 （下册） 3.2 提公因式法
湖南省江永县上由三个矩形组成，这些矩形的长分 别为3、5、7，宽都是2，求这块矩形场地的面积。 解法一：S=3×2+5×2+7×2=30
解法二：S=（3+5+7）×2=30
下列每个多项式的含字母的因式有哪些？
第1项的系数为负，最好 把负号提出，使括号内的
第1项的系数为正． 公因式里含字母吗？
公因式里含有字母x
由此看出，－2x是这个多项式的各项的公因式，把
－2x提出后，括号内各项的系数如何计算？
用公因式的系数－2去 除原来多项式的各项系 数，所得的商就是括号
内的各项系数．
解： 4x2 6x
2x(2x3)
1.P69A组练习1 2.学法大视野P40
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月2日星期三2022/3/22022/3/22022/3/2 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/22022/3/22022/3/23/2/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/22022/3/2March 2, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/22022/3/22022/3/22022/3/2
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《提公因式法》易错辨析
提取公因式法是因式分解的之要方法之一，也是首先必须考虑的方法，但是，初学时许多同学常常是公因式提取后就撒手不管，这种做法不仅造成解题不完美，久而久之还会养成办事虎头蛇尾的不良习惯，那么，公因式提取后还应做些什么呢？
第一，整理余下的因式
例1 分解因式：()()22a b a a b -+-．
错解：原式＝（a －b ）（a －b ＋2a ）．
剖析：公因式是（a －b ）没错，提取后也没错，错就错在余下的因式（a －b ＋2a ）有同类项而没有合并．
正解：原式＝（a －b ）（a －b ＋2a ）＝（a －b ）（3a －b ）．
第二，再次提取公因式
例2 分解因式：()()2232x y x x y +-+．
错解：原式＝（x ＋2y ）（x ＋2y －3x ）＝（x ＋2y ）（2y －2x ）．
剖析：虽然提取公因式后对余下的因式进行了化简和整理，但因式（2y －2x ）还有公因式2没有提出．
正解：原式＝（x ＋2y ）（x ＋2y －3x ）＝（x ＋2y ）（2y －2x ）
＝2（x ＋2y ）（y －x ）．
第三、把底数相同的因式写成幂的形式
例3 分解因式：2mn （m －n ）＋2m n （n －m ）．
错解：原式＝2mn （m －n ）－2m n （m －n ）＝mn （m －n ）（n －m ）．
剖析：这里的m －n 和n －m 是互为相反数，它们可以相互转化，也就是说可以化为同底数的幂，因此，应统一为以（m －n ）或（n －m ）为底数．
正解：原式＝2mn （m －n ）－2m n （m －n ）
＝mn （m －n ）（n －m ）＝－mn （m －n ）（m －n ）＝－mn ()2m n -．
第四，考虑用公式
例4 分解因式：()()22a
a b b b a -+-．
错解：原式＝()()22a a b b a b ---＝（a －b ）()22a b -．
剖析：提取公因式后，余下因式()
22a b -还可以用平方差公式分解．
正解：原式＝()()22a a b b a b ---＝（a －b ）()22a b - ＝（a －b ）（a ＋b ）（a －b ）＝()()2a b a b -+．。