八年级数学构造中位线巧解题
八年级数学下册《构造中位线》5种常用方法
八年级数学下册《构造中位线》5种常用方法一：连接两点构造三角形的中位线1．如图，点B为A C上一点，分别以A B，B C为边在A C同侧作等边三角形A B D和等边三角形B C E，点P，M，N分别为A C，A D，C E的中点．(1)求证：P M＝P N；解：证明：如图，连接C D，A E.由三角形中位线定理可得P M綊1/2C D，P N綊1/2A E.∵△A B D和△B C E是等边三角形，∴A B＝D B，B E＝B C，∠A B D＝∠C B E＝60°，∴∠A B E＝∠D B C.∴△A B E≌△D B C，∴A E＝D C.∴P M＝P N.(2)求∠M P N的度数．解：如图，设P M交A E于F，P N交C D于G，A E交C D于H.由(1)知△A B E≌△D B C，∴∠B A E＝∠B D C.∴∠A H D＝∠A B D＝60°，∴∠F H G＝120°.易证四边形P F H G为平行四边形，∴∠M P N＝120°.二：利用角平分线＋垂直构造中位线2．如图在△A B C中，点M为B C的中点，A D为△A B C的外角平分线，且A D⊥B D，若A B＝12，A C＝18，求D M的长．解：如图，延长B D，C A交于N.在△A N D和△A B D中，∠A D N＝∠A D B＝90°，∴△A N D≌△A B D(A S A)．∴D N＝D B，A N＝A B.∴D M＝1/2N C＝1/2(A N＋A C)＝1/2(A B＋A C)＝15.3．如图，在△A B C中，已知A B＝6，A C＝10，A D平分∠B A C，B D⊥A D于点D，点E为B C的中点，求D E的长．解：如图，延长B D交A C于点F，∵A D平分∠B A C，∴∠B A D＝∠C A D.∵B D⊥A D，∴∠A D B＝∠A D F，又∵A D＝A D，∴△A D B≌△A D F(A S A)．∴A F＝A B＝6，B D＝F D.∵A C＝10，∴C F＝A C－A F＝10－6＝4.∵E为B C的中点，∴D E是△B C F的中位线．∴D E＝1/2C F＝1/2×4＝2.三：倍长法构造三角形的中位线4．如图，在△A B C中，∠A B C＝90°，B A＝B C，△B E F为等腰直角三角形，∠B E F＝90°，M为A F的中点，求证：M E＝1/2C F.解：证明：如图，延长F E至N，使E N＝E F，连接B N，A N.易得M E＝1/2A N.∵E F＝E N，∠B E F＝90°，∴B E垂直平分F N.∴B F＝B N.∴∠B N F＝∠B F N.∵△B E F为等腰直角三角形，∠B E F＝90°，∴∠B F N＝45°.∴∠B N F＝45°，∴∠F B N＝90°，即∠F B A＋∠A B N＝90°.又∵∠F B A＋∠C B F＝90°，∴∠C B F＝∠A B N.在△B C F和△B A N中,B C＝B A∴△B C F≌△B A N.∴C F＝A N.∴M E＝1/2A N＝1/2C F.四：已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5．如图，在四边形A B C D中，M、N分别是A D、B C的中点，若A B ＝10，C D＝8，求M N长度的取值范围．解：如图，取B D的中点P，连接P M，P N.解：证明：如图，取A B的中点H，连接M H，N H，则M H＝1/2B F，N H＝1/2A E.解：证明：如图，取N C的中点H，连接D H，过点H作H E∥A D，交B N的延长线于E.∵A B＝A C，A D⊥B C，∴D为B C的中点．又∵H为N C的中点，∴D H∥B N.又∵P D∥E H，∴四边形P D H E是平行四边形．∴H E＝P D.又∵P为A D的中点，∴A P＝P D.∴A P＝E H，易证△A P N≌△H E N，∴A N＝N H.∴A N＝N H＝H C，∴A N=1/2A C.。
(完整版)八年级数学中位线定理
8.4 中位线定理教学目标：1、理解并掌握三角形中位线的概念、性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
2、经历探索三角形中位线性质的过程，让学生实现动手实践、自主探索、合作交流的学习过程,体会转化的思想方法。
3、通过对问题的探索研究，培养学生分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性。
教学重点：探索并运用三角形中位线的性质。
教学难点：运用转化思想解决有关问题。
教学过程一、创设情境，引入新课如图，A 、B 两点被池塘隔开，现在要测量出A 、B 两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A 、B 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点D 、E ，如果能测量出DE 的长度，也就能知道AB 的距离了。
这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的学问。
二、探究活动（一）学生看书：了解三角形中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。
学生思考：（1）一个三角形有几条中位线？你能画出来么？请学生画出三角形的中位线。
学生活动：动手画图，与同伴交流，得出三角形的中位线有三条。
（2）请学生画出三角形的中线，并说出三角形的中线与中位线的不同教师：（3）正确理解中位线的含义：三角形的中位线定义的两层含义：①∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点∴DE 为△ABC 的中位线②∵ DE 为△ABC 的中位线 ∴ D 、E 分别为AB 、AC 的中点三、探索中位线的性质1、提出猜想：如右图,已知，在△ABC 中，DE 是△ABC 的中位线，ΔABC 的中位线DE 与BC 有怎样的位置和数量关系？EDAB C三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半。
2、如何验证你的猜想？学生活动：动手证明，并与同伴交流。
老师用几何画板演验证学生猜想，并通过三角形全等证明 请同学们总结一下三角形中位线的性质三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。
如图，∵DE 是△ABC 的中位线 ∴DE ∥BC, DE=21BC 定理证明过程： 已知:DE 是△ABC 的中位线 求证：DE ∥BC, DE=21BC 证明:如图,延长DE 至点F,使EF=DE,连接CF ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF ∴△ADE ≌△CFE(SAS).∴AD=CF,∠ADE=∠F. ∴BD ∥CF. ∵AD=BD,∴BD=CF.∴四边形BCFD 是平行四边形.(一组对边平等且相等的四边形是平行四边形)FEDCBAEDBC∴DF ∥BC,DF=BC. ∴DE ∥BC, DE=21BC 穿插练习：1、如图：在△ABC 中，DE 是中位线 （1）若∠ADE=60°， 则∠B= ，为什么？ （2）若BC=8cm ， 则DE= 为什么？2、如图：D 、E 、F 是△ABC 各边的中点，那么四边形ADEF 是 四边形。
初中数学八年级中位线定理基础讲义
【练】1、如图，在四边形 ABCD 中，Q 是 CD 上的一定点， P 是 BC 上的一动点，点 E 、 F 分别是 PA 、 PQ 的
中点，当点 P 在 BC 上移动时，线段 EF 的长度 ( )
A．先变大，后变小 B．保持不变
C．先变小，后变大
D．无法确定
2、如图，点 D、E、F、G 分别是 AB、OB、OC、AC 的中点，求证：四边形 DEFG 是平行四边形.
A．4.5
B．9
C．5.5
D．11
2、如图，在△ABC 中，点 M 为 BC 的中点，AD 为△ABC 的外角平分线，且 AD⊥BD，若 AB＝6，AC＝9，则 MD 的长为（ ）
A．3
B．
C．5
D．
【变】1、如图，BD、CE 是△ABC 的两条角平分线，AN⊥BD 于点 N，AM⊥CE 于点 M，连接 MN，若△ABC 的周长为 17，BC＝7，则 MN 的长度为（ ）
2、如图，△ABC 中，N 是 BC 边上的中点，AM 平分∠BAC，BM⊥AM 于点 M，若 AB＝8，MN＝2．则 AC 的
长为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
【练】1、如图，在 ABC 中，AB 17 ，BC 26 ，BD 平分 ABC ，AD BD ，点 E 是 AC 的中点，则线段 DE 的长为 ( )
【变】1、如图，△ABC 的中线 BE、CF 相交于 G，且 AB＝12，AC＝16，BC＝20，求 GC 的长．
2、如图， ABC 的周长为18cm ， BE 、 CF 分别为 AC 、 AB 边上的中线， BE 、 CF 相交于点 O ， AO 的延长 线交 BC 于 D ，且 AF 3cm ， AE 2cm ，求 BD 的长．（倍长 AO，连接 C，证 D 为 BC 中点）
2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 平行+线段中点构造全等模型综合应用(解析版)
平行+线段中点构造全等模型综合应用【结论】如图 AB∥CD 点E、F分别在直线AB、CD上点O为EF 中点则△POE≌△QOF口诀：有中点有平行轻轻延长就能行【典例1】（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1 DE是△ABC的中位线．求证：．证明：（2）问题解决：如图2 在正方形ABCD中E为AD的中点G、F分别为AB、CD 边上的点若AG＝3 DF＝4 ∠GEF＝90°求GF的长．【解答】（1）已知：如图1 DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC DE＝BC 证明：过点C作CF∥BA交DE的延长线于点F∴∠A＝∠ACF∠F＝∠ADF∵点E是AC的中点∴AE＝EC∴△ADE≌△CFE（AAS）∴DE＝EF＝DF AD＝CF∵点D是AB的中点∴AD＝DB∴DB＝CF∴四边形DBCF是平行四边形∴DF∥BC DF＝BC∴DE∥BC DE＝BC故答案为：DE∥BC DE＝BC；（2）延长GE CD交于点H∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CD∴∠A＝∠ADH∠AGE＝∠H∵点E是AD的中点∴AE＝DE∴△AGE≌△DHE（AAS）∴AG＝DH＝3 GE＝EH∵DF＝4∴FH＝DH+DF＝7∵∠GEF＝90°∴FE是GH的垂直平分线∴GF＝FH＝7∴GF的长为7．【变式1-1】已知：AD是△ABC的角平分线点E为直线BC上一点BD＝DE过点E作EF∥AB交直线AC于点F当点F在边AC的延长线上时如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上如图②；当点F在边AC的延长线上AD是△ABC的外角平分线时如图③．写出AF、EF与AB的数量关系并对图②进行证明．【解答】（1）证明：如图①延长AD、EF交于点G∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∵EF∥AB∴∠G＝∠BAD∴∠G＝∠CAD∴FG＝AF在△ABD和△GED中∴△ABD≌△GED（AAS）∴AB＝GE∵GE＝FG+EF＝AF+EF∴AF+EF＝AB；（2）结论：AF﹣EF＝AB．证明：如图②延长AD、EF交于点G ∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∵EF∥AB∴∠G＝∠BAD∴∠G＝∠CAD∴FG＝AF在△ABD和△GED中∴△ABD≌△GED（AAS）∴AB＝GE∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF∴AF﹣EF＝AB；（3）结论：EF﹣AF＝AB．证明：如图③延长AD交EF于点G ∵AD平分∠P AC∴∠P AD＝∠CAD∵EF∥AB∴∠AGF＝∠P AD∴∠AGF＝∠CAD∠ABD＝∠GED ∴FG＝AF在△ABD和△GED中∴△ABD≌△GED（ASA）∴AB＝GE∵EF﹣FG＝GE∴EF﹣AF＝AB；【变式1-2】如图四边形ABDC中∠D＝∠ABD＝90°点O为BD的中点且OA⊥OC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：AB+CD＝AC．【解答】解：（1）如图延长AO交CD的延长线于点E∵O为BD的中点∴BO＝DO在△AOB与△EOD中∴△AOB≌△EOD（ASA）∴AO＝AE又∵OA⊥OC∴AC＝CE∴CO平分∠ACD；（三线合一）（2）由△AOB≌△EOD可得AB＝DE∴AB+CD＝CD+DE＝CE∵AC＝CE∴AB+CD＝AC1．如图在四边形ABCD中AD∥BC E是AB的中点连接DE并延长交CB的延长线于点F点M在BC边上且∠MDF＝∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE．（2）连接EM如果FM＝DM判断EM与DF的关系并说明理由．【解答】（1）证明：∵AD∥BC∴∠ADE＝∠BFE∵E为AB的中点∴AE＝BE在△AED和△BFE中∴△AED≌△BFE（AAS）；（2）解：EM与DM的关系是EM垂直且平分DF；理由如下：连接EM如图所示：由（1）得：△AED≌△BFE∴DE＝EF∵∠MDF＝∠ADF∠ADE＝∠BFE ∴∠MDF＝∠BFE∴FM＝DM∴EM⊥DF∴ME垂直平分DF．2．△ABC中P是BC边上的一点过P作直线交AB于M交AC的延长线于N且PM ＝PN MF∥AN（1）求证：△PMF≌△PNC；（2）若AB＝AC求证：BM＝CN．【解答】（1）证明：∵MF∥AN∴∠MFP＝∠NCP在△PMF和△PNC中∴△PMF≌△PNC（AAS）；（2）证明：由（1）得：△PMF≌△PNC∴FM＝CN∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB∵MF∥AN∴∠MFB＝∠ACB∴∠B＝∠MFB∴BM＝FM∴BM＝CN．3．如图在四边形ABCD中AD∥BC E是AB的中点连接DE并延长交CB的延长线于点F点G在边BC上且∠GDF＝∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG判断EG与DF的位置关系并说明理由．（3）求证：AD+BG＝DG．【解答】解：（1）如图1 ∵E是AB的中点∴AE＝BE∵AD∥BC∴∠A＝∠ABF∠ADE＝∠F∴△ADE≌△BFE；（2）如图2 EG⊥DF理由是：∵∠ADF＝∠F∠ADF＝∠GDF∴∠F＝∠GDF∴DG＝FG由（1）得：△ADE≌△BFE∴DE＝EF∴EG⊥FD；（3）如图2 由（1）得：△ADE≌△BFE∴AD＝BF∵FG＝BF+BG∴FG＝AD+BG∵FG＝DG∴AD+BG＝DG．4．如图已知AB＝12 AB⊥BC于B AB⊥AD于A AD＝5 BC＝10．点E是CD的中点求AE的长．【解答】解：如图延长AE交BC于F．∵AB⊥BC AB⊥AD∴∠D＝∠C∠DAE＝∠CFE又∵点E是CD的中点∴DE＝CE．∵在△AED与△FEC中∴△AED≌△FEC（AAS）∴AE＝FE AD＝FC．∵AD＝5 BC＝10．∴BF＝5在Rt△ABF中∴AE＝AF＝6.5．5．阅读理解（1）如图①△ABC中D是BC中点连接AD直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？相等（S表示面积）；应用拓展（2）如图②已知梯形ABCD中AD∥BC E是AB的中点连接DE、EC试利用上题得到的结论说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；解决问题（3）现有一块如图③所示的梯形试验田想种两种农作物做对比实验用一条过D点的直线将这块试验田分割成面积相等的两块画出这条直线并简单说明另一点的位置．【解答】解：（1）如图①过点A作AE⊥BC于E．∵D是BC中点又∵S△ABD＝•BD•AE S△ADC＝•CD•AE∴S△ABD＝S△ADC．故答案为相等；（2）如图②延长DE交CB的延长线于点F．∵E是AB的中点∴AE＝BE．∵AD∥BC∴∠ADE＝∠BFE．在△DAE与△FBE中∴△DAE≌△FBE（AAS）∴DE＝FE S△DAE＝S△FBE∴E是DF中点∴S△DEC＝S△FEC＝S△BFE+S△EBC＝S△ADE+S△EBC∴S△DEC＝S△ADE+S△EBC；（3）如图所示：取AB的中点E连接DE并延长交CB的延长线于点F取CF的中点G作直线DG 则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．6．如图直角△ABC∠ABC＝90°分别以AB、AC为直角边作等腰直角△ABD、△ACE 连接DE交AB于F求证：BC＝2AF．【解答】证明：在AB上取点M使AM＝BC连接DM∵△ABD是等腰直角三角形∴AB＝AD∠BAD＝90°∴∠ABC＝∠DAM∴△ABC≌△DAM（SAS）∴AC＝DM∠AMD＝∠ACB∵AC＝AE∴AE＝DM∵∠ACB＝∠DAC∴∠AMD＝∠DAC∵∠CAE＝∠DAB＝90°∴∠DAN＝∠BAE∴∠AMD＝∠BAE∵∠AFE＝∠DFM∴△DMF≌△EAF（AAS）∴AF＝FM∴BC＝AM＝2AF．7．如图梯形ABCD中AD∥BC E是CD的中点AE平分∠BAD AE⊥BE．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）求证：AD+BC＝AB；（3）若S△ABE＝4 求梯形ABCD的面积．【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于M如图所示：∵AD∥BC∴∠M＝∠DAE∵AE平分∠BAD∴∠DAE＝∠BAE∴∠BAE＝∠M∴AB＝MB∵AE⊥BE∴∠ABE＝∠CBE∴BE平分∠ABC；（2）证明：∵AB＝MB BE⊥AE∴AE＝ME∵E是CD的中点∴DE＝CE在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE（SAS）∴AD＝MC∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；（3）解：∵AB＝MB AE＝ME∴△MBE的面积＝△ABE的面积＝4∴△ABM的面积＝2×4＝8∵△ADE≌△MCE∴△ADE的面积＝△MCE的面积∴梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8．8．如图在梯形ABCD中AD∥BC E是AB的中点．（1）求证：S△CED＝S△ADE+S△BCE．（2）当CE＝DE时判断BC与CD的位置关系并说明理由．【解答】（1）证明：延长DE交CB的延长线于F∵AD∥CF∴∠A＝∠ABF∠ADE＝∠F∵E是AB中点∴AE＝BE在△AED与△BEF中∴△AED≌△BEF（AAS）∴DE＝EF S△AED＝S△EBF∴S△DEC＝S△EFC＝S△ADE+S△BCE．（2）解：当CE＝DE时BC⊥CD．理由：∵△AED≌△BEF∴DE＝EF∵CE＝DE∴CE＝DE＝EF∴∠F＝∠ECF∠ECD＝∠CDE∵∠F+∠ECF+∠ECD+∠CDE＝180°∴∠FCD＝90°∴BC⊥CD．。
如何构造三角形中位线
如何构造三角形中位线作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第04期三角形的中位线定理，是一个很有价值的定理，解题时若遇到中点，它是必须被联想到的定理之一.但是，在题目中往往只知道一个中点，而另一个中点未知，需要同学们根据题目的特点去寻找.下面，就向大家介绍几种构造中位线的方法，供参考.一、连接两点构造中位线例1 如图1.已知△ABC.分别以AB，AC为边向外作两个等边三角形ABM和ACN.D，E，F分别是MB.BC，CN的中点，连接DE、EF。
求证：DE=EF证明：连接CM，BN，如图2.△ABM和△ACN是等边三角形，易证△MAC≌△BAN（边角边）.∴MC=BN.∵D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，∴DE=1/2MC，EF=1/2BN，从而DE=EF.二、用“角平分线+垂直”构造中位线例2 已知M为△ABC的边BC的中点.AB=12，AC=18.BD⊥AD于D，连接MD.（1）如图3，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长：（2）如图4，若AD为△ABC的外角的平分线，求MD的长，解：（）如图5.延长BD交AC于E.∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，∴BD=DE，AE=AB=12.∴CE=AC-AE=18-12=6.又∵M为BC的中点，∴MD是△BCE的中位线，MD=3.（2）延长BD，CA交于E，如图6.仿（1），CE=AC+AE=AC+AB=30，∴MD=CE2=15.三、倍长法构造中位线例3 如图7.在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.△BEF为等腰直角三角形，如何构造三角形中位线吉林省长春市解放大路学校王翰琛三角形的中位线定理，是一个很有价值的定理，解题時若遇到中点，它是必须被联想到的定理之一.但是，在题目中往往只知道一个中点，而另一个中点未知，需要同学们根据题目的特点去寻找.下面，就向大家介绍几种构造中位线的方法，供参考.一、连接两点构造中位线例1 如图1.已知△ABC.分别以AB，AC为边向外作两个等边三角形ABM和ACN.D，E，F分别是MB.BC，CN的中点，连接DE、EF。
最新1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1(倍长中线法;构造中位线法)资料
学生姓名学生年级学校上课时间辅导老师科目教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格新课导入知识点归纳1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）；2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线；3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线；4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质.新课内容做辅助线思路一：倍长中线法经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围.【课堂训练】1.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论：①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④第1题图第2题图2.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 53.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.如图，在△ABC 中，AB ＞BC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ，求证：BF ＝CG ．5.如图所示，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AE ＝EF ，求证：AC ＝BF.6.如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ACE ，F 为BC 边上中点，FA 的延长线交DE 于点G ，求证：①DE ＝2AF ；②FG ⊥DE ．FGE D B C AF DB C AE GFB C A D E7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED ⊥FD.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形，或者是钝角三角形？8.四边形ABCD 是矩形，E 是BC 边上的中点，△ABE 沿着直线AE 翻折，点B 落在点F 处，直线AF 与直线CD 交于点G ，请探究线段AB 、AG 、G C 之间的关系．9.如图所示，△ABC 中，点D 是BC 的中点，且∠BAD ＝∠DAE ，过点C 作CF//AB ，交AE 的延长线于点F ，求证：AF ＋CF ＝AB.FD A B C EG F E D B C A FD B C A E做辅助线思路二：构造中位线法经典例题2：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12，BC ＝16，中位线EF 与对角线分别相交于H 和G ，则GH 的长是________.【课堂训练】1.已知，如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，BA 、FE 的延长线相交于点M ，CD 、FE 的延长线相交于点N.求证：∠AME ＝∠DNE.2.已知，如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD 于点M 、N.求证：OM ＝ON.A B F C D N M E D A B COE FM N P3.BD 、CE 分别是的△ABC 外角平分线，过A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别是F 、G ，易证FG=21（AB+BC+AC ）。
部编数学八年级下册专题18构造三角形中位线的常用技巧(解析版)含答案
专题18 构造三角形中位线的常用技巧（解析版）专题典例剖析及针对训练类型一 连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6思路指引：连接DE ，过A 作AH ⊥BC 于H ．由于DE 是AB 、AC 的中点，利用三角形中位线定理可得DE ∥BC ，并且可知△ADE 的高等于12AH ，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH ，那么△ADE 的面积就可求．而所求S △FOG +S 四边形ADOE ＝S △ADE +S △DOE +S △FOG ，又因为△DOE 和△FOG 的底相等，高之和等于AH 的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S △FOG +S 四边形ADOE 的面积．解：如图：连接DE ，过A 向BC 作垂线，H 为垂足，∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ，AH 分别是△ABC 的中位线和高，BH ＝CH =12BC =12×6＝3，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，由勾股定理得AH ==4，∴S △ADE =12BC •AH 2=12×3×42=3，设△DOE 的高为a ，△FOG 的高为b ，则a +b =AH 2=2，∴S △DOE +S △FOG =12DE •a +12FG •b =12×3（a +b ）=12×3×2＝3，∴三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是S △ADE +S △DOE +S △FOG ＝3+3＝6．故选：D ．方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF ∥DG 且EF ＝DG ．解：连接ED ，FG .证四边形DEFG 是平行四边形，∴EF ∥DG 且EF ＝DG ．类型二 连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝GH 的最小值为（ ）ABC DGF E DC B AABDE F G思路指引：连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12 AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF==∴GH=即GH故选：D．方法点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变思路指引：连接AR ，根据三角形的中位线定理可得EF =12AR ，根据AR 的变化情况即可判断．解：连接AR ，∵E ，F 分别是AP ，RP 的中点，∴EF =12AR ，∵当点P 在BC 上从点C 向点B 移动，点R 从点D 向点C 移动时，AR 的长度逐渐增大，∴线段EF 的长逐渐增大．S △ABP +S △CRP =12BC •（AB +CR ）．∵CR 随着点R 的运动而减小，∴△ABP 和△CRP 的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A 符合题意．故选：A ．方法点睛：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求∠MPN 的度数．思路指引：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．解：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∵P为AC中点，N为EC中点，AE．∴PN=12DC．同理可得PM=12所以PM＝PN．（2）∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．∵△ABE ≌△DBC ，∴∠QDB ＝∠BAQ ．∴∠DQA ＝∠DBA ＝60°．∴∠MPA +∠NPC ＝60°．∴∠MPN ＝180°﹣60°＝120°．方法点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉手”全等模型．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．解：连接BD ，CE ，易证△ABD ≌△AEC ，∴BD ＝ CE ，易证BD ⊥CE .由中位线性质可得GF ＝GH ，GF ⊥GH .类型三 取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（ ）HG FEDCB AAB CDEFG HA ．163BCD 思路指引：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，根据已知可求出AB =163，先在Rt △ABD 中求出AD ，AH 的长，从而可得△ADH 是等边三角形，进而可得AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，然后利用利用等腰三角形的三线合一性质求出AM 的长，从而求出DM ，DF 的长，最后证明手拉手模型﹣旋转型全等△ADF ≌△HDE ，从而利用全等三角形的性质可得DE ＝DF 进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答．解：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，∵AF ＝2，BF =103，∴AB ＝AF +BF =163，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠A ＝30°，∴AD =12AB =83，∵点H 是AB 的中点，∴AH ＝BH =12AB =83，∴AD ＝AH ，∴△ADH 是等边三角形，∴AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，∴AM＝MH=12AH=43，∴DM=∵AF＝2，∴MF＝AF﹣AM＝2―43=23，∴DF∵点H是AB的中点，点E是BC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH∥AC，∴∠DHE＝∠ADH＝60°，∴∠ADH＝∠A＝60°，∵∠EDF＝∠ADH＝60°，∴∠ADH﹣∠FDH＝∠EDF﹣∠FDH，∴∠ADF＝∠HDE，∴△ADF≌△HDE（ASA），∴DE＝DF=∵∠CDB＝90°，∴BC＝2DE=故选：D．方法点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为 ．思路指引：取AD的中点M，连接FM，EM，构造三角形中位线，利用三角形中位线定理分别求得FM、EM的长度；然后利用勾股定理求得EF的长度．解：如图，取AD的中点M，连接FM，EM，∵点E是CD的中点，∴EM是△ACD的中位线．∴EM∥AC，EM=12AC＝4．同理，FM∥BD，FM=12OD=14BD＝3．在菱形ABCD中，AC⊥BD，则FM⊥ME．故在直角△EFM中，由勾股定理得到：EF5．故答案是：5．方法点睛：本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题过程中，巧妙地作出辅助线，利用三角形中位线定理求得直角三角形的两直角边的长度．（2）连接对角线，再取对角线中点典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC 和EF的关系是（ ）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF思路指引：连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD ，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD ，BC 和EF 的关系．解：如图，取AC 的中点G ，连接EF ，EG ，GF ，∵E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，∴EG ，GF 分别是△ABC 和△ACD 的中位线，∴EG =12BC ，GF =12AD ，在△EGF 中，由三角形三边关系得EG +GF ＞EF ，即12BC +12AD ＞EF ，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．方法点睛：此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系的灵活运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG解：（1）取BE 的中点M ，∵FM ＝21AB ，∴FM //EC ，∴四边形 FMCE 为平行四边形，∴GF ＝GC（2）易证EG ＝MG ，∴EM ＝MB ，∴BG ＝3EG类型四 延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（ ）A B ．2C D 思路指引：延长CF 交BE 于H ，利用已知条件证明△HEF ≌△CEF （ASA ），然后利用全等三角形的性质证明GF =12BH ，最后利用勾股定理即可求解．解：延长CF 交BE 于H ，∵EF 平分∠BEC ，∴∠HEF ＝∠CEF ，∵CF ⊥EF ，∴∠HFE ＝∠CFE ，在△HEF 和△CEF 中，∠HEF =∠CEF EF =EF ∠HFE =∠CFE，∴△HEF ≌△CEF （ASA ），∴HF ＝CF ，EH ＝EC ，而BG ＝CG ，∴GF =12BH ，∵AE ＝3DE ，正方形的边长为4，∴AE ＝3，AB ＝CD ＝4，DE ＝1，在Rt △ABE 中，BE =5，在Rt △CDE 中，CE ＝HE ==∴BH ＝BE ﹣HE ＝5―∴GF =12BH 故选：C ．方法点睛：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形的中位线的性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．针对训练1．（2022•合肥一模）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 中点，AD ⊥BD ，AC ＝7，AB ＝4，则DE 的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．32思路指引：延长BD 交AC 于H ，证明△ADB ≌△ADH ，根据全等三角形的性质得到AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，根据三角形中位线定理计算即可．解：延长BD 交AC 于H ，在△ADB 和△ADH 中，∠BAD =∠HAD AD =AD ∠ADB =∠ADH，∴△ADB ≌△ADH （ASA ）．∴AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，∴HC ＝AC ﹣AH ＝3，∵BD ＝DH ，BE ＝EC ，∴DE =12HC =32，故选：D ．方法点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型五 延长两边构造中位线典例7（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，D 是BC 的中点AE ⊥BE ，AB ＝5，AC ＝3，则DE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52思路指引：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，易证明△ABF 是等腰三角形，则得AF 的长，点E 是BF 的中点，求得CF 的长，从而DE 是中位线，即可求得DE 的长．解：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，如图，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∴∠ABE ＝∠AFE ，∴△ABF 是等腰三角形，∴AF ＝AB ＝5，点E 是BF 的中点，∴CF ＝AF ﹣AC ＝5﹣3＝2，DE 是△BCF 的中位线，∴DE =12CF =1．故选：A ．方法点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长8．延长BD ，CA 交于点E ，易证AE ＝AB ，BD ＝ED ，∵BM ＝CM ，∴DM ＝21CE ＝21(AB ＋AC )＝15.类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ）A．2.5B．3C．4D．5思路指引：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN，∠DNB=∠HNC∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，∴EH=5，∵DM＝ME，DN＝NH，EH＝2.5，∴MN=12故选：A．方法点睛：本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．思路指引：（1）延长AB交CE于G，求出△ACG是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AB＝BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CE、CG，再求出GE，然后求解即可．（1）证明：如图，延长AB交CE于G，∵AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴△ACG也是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AG，∴AB＝BG，∵点F是AE的中点，∴BF是△AGE的中位线，∴BF∥CE；（2）解：∵AB ＝2，DE ＝5，∴CG ＝AC =＝CE =＝∴GE ＝CE ﹣CG ＝=∵BF 是△AGE 的中位线，∴BF =12GE方法点睛：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质与定理并作辅助线构造出以BF 为中位线的三角形是解题的关键。
苏教版八年级下册数学[三角形中位线定理 知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．HF EDCBA【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D 、E 、F 分别是△ABC 各边中点，∴DE ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF ，∵AH 是△ABC 的高∴△ABH 、△ACH 是直角三角形，∵点D 、点F 是斜边AB 、AC 中点，∴DH=DA ，HF=AF ，∴∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA ，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA ，即∠DAF=∠DHF ，∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定【答案】B；解：连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，∴线段EF的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF∵点E为BC中点∴EH为△ABC的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH 是正方形；（2）若AD ＝2，BC ＝4，求四边形EFGH 的面积．【思路点拨】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD 入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积． 【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ， 在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF＝FG ＝GH ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形．设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形．（2）连接EG ．在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点，∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3． 在Rt△EHG 中， ∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ，∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口．举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形．理由：连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝12 AC，同理，HG∥AC，且HG＝12 AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当BD＝AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形．理由：连接AC，BD，∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝12AC，EH＝FG＝12BD，EH∥BD，GH∥AC，∵BD＝AC，BD⊥AC，∴EH＝EF＝FG＝GH，EH⊥GH，∴四边形ABCD是菱形，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．。
第6章平行四边形 题型解读5 构造中位线题型-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《平行四边形》题型解读5 构造中位线题型【知识梳理】：中位线的常见构造方法1.连或找中点，得中位线；（例1、2）2.连中点不得中位线时，另取中点；（例3、4）3.连线构造中位线的背景图形—三角形；（例5、6、7、8）【典型练习】例1．如图，BD 、CE 是△ABC 的中线，且相交于点O ，H 、F 分别是OB 、OC 的中点，则EH 、DF 有怎样的特殊关系？【解题过程】连接ED 、FH ，∵BD 、CE 是△ABC 的中线，∴ED 是△ABC 的中位线，∴BC=2DE ，BC//DE ，又∵H 、F 是OB 、OC 的中点，∴HF 是△OBC 的中位线，∴BC=2HF ，BC//FH ，∴ED=FH ，ED//FH ，∴四边形EDFH 是平行四边形，∴EH=DF ，EH//DF.例2.如图所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，求DE 的长．【解题过程】延长BD 交AC 于点F ，∵∠BAD=∠FAD ，AD=AD ，∠ADB=∠ADF=90º，∴△ABD ≌△AFD ，∴AB=AF=6，BD=DF ，∴DE 是△BFC 的中位线，∴FC=2DE ，∵AC=14，AF=6，∴FC=8，∴DE=4.例3.已知如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G ，求证：GF=GC.O ED C BAF H DB AFDC B A【解题过程】取BE 的中点H ，连接FH 、CH ，∵F 是AE 的中点，∴FH 是△EAB 的中位线，∴FH//AB ，AB=2FH ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB//CD ，AB=CD ，∴FH//CD ，CD=2FH ，∵点E 是CD 的中点，∴DC=2EC ，∴FH=EC ，∴四边形EFHC 是平行四边形，∴GF=GC.例4. 如图，在△ABC 中，D 、G 分别为AB 、AC 的点，且BD=CG ，M 、N 分别是BG 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP=AQ.【解题过程】取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，∵M 、N 是BG 、CD 的中点，∴ME 、NE 分别是△BGC 、△CDB 的中位线，∴ME//CG ，CG=2ME ，NE//BD ，BD=2NE ，∵BD=GC ，∴ME=NE ，∴∠EMN=∠ENM ，∵ME//GC ，NE//BD ，∴∠EMN=∠AQP ，∠ENM=∠APQ ，∴∠AQP=∠APQ ，∴AP=AQ.例5.求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形【解题过程】已知四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别边AB 、BC 、CD 、AD 的中点，求证：四边形EFHG 是平行四边形.连接BD ，∵E 、H 是AB 、AD 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH//BD ，且EH=BD/2；∵F 、G 是BC 、DC 的中点，∴G FE DC B A H G FE DC B A QPN M DC B AQ PN M E DC B AH G F ED CB AG GFG 是△CBD 的中位线，∴FG//BD ，且FG=BD/2；∴EH//FG ，且EH=FG ，∴四边形EFHG 是平行四边形。
北师大版八年级下册数学[三角形的中位线 知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级下册数学[三角形的中位线知识点整理及重点题型梳理]研究目标】1.理解三角形中位线的概念，掌握中位线定理。
2.掌握中点四边形的形成规律。
要点梳理】要点一、三角形的中位线1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
要点诠释：1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系。
2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形。
因而每个小三角形的周长为原三角形周长的1/2，每个小三角形的面积为原三角形的1/4.3）三角形的中位线不同于三角形的中线。
要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。
典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定答案】C解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线，因此EF=1/2AR，而AR长不变，故EF大小不变。
总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形。
举一反三：变式】（2015秋•青岛校级月考）在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由。
答案】平行四边形解析】因为BE、CF是中线，所以E、F分别是AC、AB的中点，因此EF是△ABC的中位线，EF∥BC且EF=BC。
同时，M、N分别是BO、CO的中点，因此MN是△OBC的中位线，MN∥BC且MN=BC。
因此，EF∥MN且EF=MN，所以四边形MNEF是平行四边形。
2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2B．3C．5D．4答案】B解析】连接AF，由E、D分别是AC、BC的中点，因此DE∥AB且DE=1/2AB。
中考数学总复习《构造三角形中位线模型解题》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《构造三角形中位线模型解题》专项提升练习题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、三角形中位线的概念和性质1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三遍，且等于第三边的一半3.隐含中点的条件：等腰三角形三线合一（顶角的角平分线底边的中垂线），平行四边形对角线的交点。
例1.如图,点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点,点F在DE的延长线上,CF∥BA,若BC=8,则EF=( ) A.4 B.8 C.5 D.3例2.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E、F分别是AB、CD的中点,AD=BC,∠EPF=136°,则∠EFP的度数是( ) A.68° B.34° C.22° D.44°二、连接两点构造三角形的中位线例3.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5.点M、N分别为线段BC、AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E、F分别为DM、MN的中点,则EF的最大值是.4例4.如图1,已知点E ,F ,G ,H 分别是四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH 是平行四边形:如图2,将图1中的点C 移动至与点E 重合的位置,F ,G ,H 仍是BC ,CD ,DA 的中点,求证:四边形CFGH 是平行四边形.三．已知角平分线+垂直构造中位线例5．如图，AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，BD AD ⊥于D ，E 为BC 中点5DE =，3AC =则AB 长为（ ）A ．8.5B ．8C ．7.5D ．7例6.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,在边AC 上截取AD =AB ,连接BD ,过点A 作AE ⊥BD 于点E ,F 是边BC 的中点,连接EF.若AB =5,BC =12,求EF 的长度.例7.如图,在△ABC中,已知AB＝6,AC＝10,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,点E为BC的中点,求DE的长.四．倍长法构造三角形的中位线例8.如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC,△BEF为等腰直角三角形,∠BEF＝90°,M为AF的中点.求证ME＝12CF.例9.如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝BC,BD⊥AC于点D,CE平分∠ACB,交AB于点E,交BD于点F.求证:(1)△BEF是等腰三角形；(2)BD＝12(BC＋BF)．五．已知一边中点,取另一边中点构造三角形的中位线例10.如图,四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,CD的中点,且AD=6,BC=10,则线段EF的长可能为( )A.7B.8.5C.9D.10六．已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线例11.如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ．E ，F 分别是AD OC ，的中点，若1207BAD EF ∠=︒=，ABCD 的周长为（ ）A ．8B ．16C ．3D ．3例12.如图，已知四边形ABCD 中AC BD ⊥，AC=6，8BD =点E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，连接EF ，则EF 的长是 __．强化训练题一．选择题1．如图 在△ABC 中 AB ＝4 BC ＝5 AC ＝8．点D E F 分别是相应边上的中点 则四边形DFEB 的周长等于（ ）A ．8B ．9C ．12D ．132．如图 △ABC 中 AB ＝AC ＝12 BC ＝10 AD 平分∠BAC 交BC 于点D 点E 为AC 的中点 连接DE 则△CDE 的周长为（ ）A ．11B ．17C ．18D ．163．如图 在ABC 中 45B ∠=︒ 60C ∠=︒ AD BC ⊥于点D 6BD = 若E F 分别为AB BC 的中点 则EF 的长为（ ）A 2B 6C 6D 34．如图 ABCD 的对角线AC BD 交于点O AE 平分BAD ∠交BC 于点E且60ADC ∠=︒ 12AB BC = 连接OE ．下列结论中不成立的是( )A ．30CAD ∠=︒B ．ABCD S AB AC =⋅ C ．OB AB =D ．14OE BC =5．如图 四边形ABCD 中 ∠B ＝90° AB ＝8 BC ＝6 点M 是对角线AC 的中点 点N 是AD 边的中点 连结BM MN 若BM ＝3MN 则线段CD 的长是（ ）A ．53B ．3C ．103D ．56．已知三角形三边长分别为7cm 8cm 9cm 作三条中位线组成一个新的三角形 同样方法作下去 一共做了五个新的三角形 则这五个新三角形的周长之和为（ ）A ．46.5cmB ．22.5cmC ．23.25cmD ．以上都不对7．如图 在ABC 中 AE 平分BAC ∠ BE AE ⊥于点E 点F 是BC 的中点 若10AB = 6AC = 则EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58.如图 在四边形ABCD 中 点E F 分别为AD DC 的中点 连接EB BF EF △EBF 的面积为 S 1 ．点G 为四边形ABCD 外一点 连接AG BG EG FG 使得AG ＝BC ∠GAB ＝∠ABC △EGF 的面积为 S 2 则 S 1 与 S 2 满足的关系是（ ）A ．S 1 = S 2B ．2 S 1 =3 S 2C ．3 S 1 =4 S 2D ．3 S 1 =2 S 29．如图 平行四边形ABCD 中 O 为对角线交点 DP 平分ADC ∠ CP 平分BCD ∠ 7AB = 10AD = 则OP 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．310.如图 ▱ABCD 的顶点A D 分别在直角∠MON 的两边OM ON 上运 动（不与点O 重合） ▱ABCD 的对角线AC BD 相交于点P 连接OP 若OP=5 则▱ABCD 的周长最小值是（ ）A ．20B ．25C ．10D ．15二 填空题11.如图 在平行四边形ABCD 中 E 是CD 的中点 F 是AE 的中点 CF 交BE 于点G 若BE ＝8 则GE ＝ ．12．如图 DE 为△ABC 的中位线 点F 在DE 上 且∠AFC 为直角 若AC ＝6cm BC ＝8cm 则DF 的长为 ．13.如图已知三角形纸片ABC第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处折痕MN交AB'于点P．若12BC=则MP与MN的和是_________．14．如图在▱ABCD中AC是对角线∠ACD=90°点E是BC的中点AF平分∠BAC CF⊥AF于点F连接EF.已知AB=5BC=13则EF的长为.15．如图在Rt△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC＝6 点D是AC边上的一点且AD＝2 以AD为直角边作等腰直角三角形ADE连接BE并取BE的中点F连接CF则CF的长为．16．如图 EF是△ABC的中位线 O是EF上一点且满足OE=2OF.则△ABC的面积与△AOC的面积之比为．17．如图□ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上点E在AB的延长线上 G为DE的中点连接CG．若AD=5 AB=CF=3 则CG的长为．三．解答题18.如图△ABC的中线BE CF相交于G且AB＝12 AC＝16 BC＝20 求GC的长．19．如图在平行四边形ABCD中对角线AC BD、相交于点O点E是边BC中点连接OE并延长至点F使EF OE、．连接BF CF(1)求证：四边形OBFC是平行四边形；(2)求证：OF CD∥．20．如图四边形ABCD为平行四边形 E为AD上的一点连接EB并延长使BF=BE 连接EC并延长使CG=CE连接FG H为FG的中点连接DH（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB=CE∠EBC=75°∠DCE=10°求∠DAB的度数.21.如图,点B为AC上一点,分别以AB,BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,点P,M,N分别为AC,AD,CE的中点.(1)求证:PM＝PN;(2)求∠MPN的度数.22.如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,点P是AD的中点,延长BP交AC于点N,求证:AN＝13AC.23．（1）如图1 在四边形ABCD中AB＝CD E F分别是AD BC的中点连接FE 并延长分别与BA CD的延长线交于点M N．求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H连接FH HE作辅助线）（2）如图2 在△ABC中F是BC边的中点D是AC边上一点E是AD的中点直线FE交BA的延长线于点G若AB＝DC＝2 ∠FEC＝45°求FE的长度．24．【发现与证明】如图在四边形ABCD中 E F G H是各边中点对角线AC BD相交于点O I J是AC BD的中点连接EF EH HG GF EI GI EJ FJ IJ GJ IH.结论1：四边形EFGH是平行四边形；结论2：四边形EJGI是平行四边形；结论3：S四边形EFGH =12S四边形ABCD；……（1）请选择其中一个结论加以证明（只需证明一个结论）.（2）【探究与应用】（★温馨提示：以下问题可以直接使用上述结论）①如图1 在四边形ABCD中 F H分别为边AB DC的中点连结HF.已知AD=6 BC=4线段HF的取值范围是 .②如图2 在四边形ABCD中点E F G H分别是AB BC CD DA的中点连接EG FH交于点O EG=8cm FH=6cm ∠EOF=60°求S四边形ABCD.答案部分：例1.A ∵点D E 分别为△ABC 的边AB AC 的中点 ∴DE 是△ABC 的中位线 ∴DE ∥BC ,DE =12BC =4.∴DF ∥BC ∵DF ∥BC ,CF ∥BA∴四边形BCFD 是平行四边形 ∴DF =BC =8,∴EF =DF -DE =4.例2.C ∵P 是BD 的中点,E 是AB 的中点 ∴PE =12AD ,同理,PF =12BC ∵AD =BC ,∴PE =PF∴∠EFP =12×(180°-∠EPF )=22°. 故选C.例3.答案 6.5解：如图,连接DN DB∵点E F 分别为DM MN 的中点 ∴EF 是△MDN 的中位线 ∴EF =12DN当N与点B重合时,DN最大,此时EF的值最大∵∠A=90°,AB=12,AD=5∴DB=√AD2+AB2=13,∴EF的最大值为6.5 故答案为6.5.例4.证明如图,连接BD∵C,H分别是AB,DA的中点∴CH是△ABD的中位线BD∴CH∥BD,CH=12BD同理,FG∥BD,FG=12∴CH∥FG,CH=FG∴四边形CFGH是平行四边形.例5．D解：延长BD CA交于点F∠的外角平分线∵AD为ABC中BAC∴FAD BAD∠=∠∵BD AD⊥∴90∠=∠=︒ADF ADB在ABD△和AFD△中FAD BAD AD ADADF ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD AFD △≌△ ∴AB AF = BD DF = 又E 为BC 中点 5DE = ∴210CF DE == 又3AC =∴7AF CF AC AB =-==． 故选：D ．例6.解： 在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =5,BC =12 则AC =√AB 2+BC 2=√52+122=13 ∵AD =AB =5∴DC =AC -AD =13-5=8 ∵AD =AB ,AE ⊥BD ,∴BE =ED ∵BF =FC ,∴EF =12DC =4.解:如图,延长BD 交AC 于点F ,∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD ＝∠CAD .∵BD ⊥AD ∴∠ADB ＝∠ADF又∵AD ＝AD ,∴△ADB ≌△ADF (ASA ).∴AF ＝AB ＝6,BD ＝FD .∵AC ＝10,∴CF ＝AC －AF ＝10－6＝4.∵E 为BC 的中点,∴DE 是△BCF 的中位线.∴DE ＝12CF ＝12×4＝2.例8.证明:如图,延长FE 至N ,使EN ＝EF ,连接BN ,AN ,则ME ＝12AN . ∵EF ＝EN ,∠BEF ＝90°,∴BE 垂直平分FN . ∴BF ＝BN .∴∠BNF ＝∠BFN . ∵△BEF 为等腰直角三角形,∠BEF ＝90°,∴∠BFN ＝45°.∴∠BNF ＝45°. ∴∠FBN ＝90°,即∠FBA ＋∠ABN ＝90°.又∠FBA ＋∠CBF ＝90° ∴∠CBF ＝∠ABN .在△BCF 和△BAN 中,∵BF ＝BN ,∠CBF ＝∠ABN ,BC ＝BA∴△BCF ≌△BAN (SAS ).∴CF ＝AN .∴ME ＝12AN ＝12CF .例9.(1)证明:在△ABC 中,∵AB ＝BC ,∠ABC ＝90°,∴∠ACB ＝45°. ∵CE 平分∠ACB ,∴∠ECB ＝∠ACE ＝22.5°.∴∠BEF ＝∠CFD ＝∠BFE ＝67.5°.∴BE ＝BF ,即△BEF 是等腰三角形． (2)解:如图,延长AB 至点M ,使得BM ＝AB ,连结CM .易知D 是AC 的中点∴BD ∥MC ,BD ＝12MC .∴∠BFE ＝∠MCE .由(1)得∠BEF ＝∠BFE ,BE ＝BF ,∴∠BEF ＝∠MCE .∴ME ＝MC .∵BM ＝AB ＝BC ,∴BD ＝12MC ＝12ME ＝12(MB ＋BE )＝12(BC ＋BF )．例10.A 如图,连接BD ,取BD 的中点H ,连接HF ,HE∵点E ,H 分别是AB ,BD 的中点,∴EH 是△ABD 的中位线,∴EH =12AD =3 同理可得FH =12BC =5,∴EF ≤FH +EH =8,故选A .例11．B 解：取CD 的中点G 连接EG FG点E 为AD 的中点 点F 为OC 的中点12EG AC ∴=EG AC ∥ 12FG OD = //FG OD四边形ABCD 是菱形 120BAD ∠=︒AC BD ∴⊥ 60ADC ∠=︒ 1302ODC ADC ∠=∠=︒EG GF ∴⊥ AD DC AC ==设CD x = 则12EG x = 3FG 7EF =22213()()(7)2x ∴+= 解得4x =4CD ∴=∴菱形ABCD的周长为：44416CD=⨯=故选：B．例12解：如图取AB的中点G连接EG FG∵E F分别是边AD CB的中点∴EG BD∥且118422EG BD==⨯=FG AC且116322FG AC==⨯=∵AC BD⊥∴EG FG⊥∴2222435EF EG FG=++=．故答案为：5．强化训练题一．选择题1．如图在△ABC中AB＝4 BC＝5 AC＝8．点D E F分别是相应边上的中点则四边形DFEB的周长等于（）A．8 B．9 C．12 D．13解：∵点D F分别是AB AC的中点∴DF＝BC＝2.5同理EF＝AB＝2∴四边形DFEB的周长＝EF+FD+DB+BE＝9故选：B ．2．解：∵AB ＝AC AD 平分∠BAC ∴BD ＝DC ＝BC ＝5 ∵点E 为AC 的中点∴CE ＝AC ＝6 DE ＝AB ＝6 ∴△CDE 的周长＝CD +CE +DE ＝17 故选：B ． 3．A 解：45B ∠=︒ AD BC ⊥ABD ∴是等腰直角三角形 6AD BD ∴=60C ∠=︒30DAC ∴∠=︒12DC AC ∴=2233AD AC DC DC AC ∴-=36AC =22AC ∴=E F 分别为AB BC 的中点1122222EF AC ∴==⨯=故选：A ． 4．C解：四边形ABCD 是平行四边形60ABC ADC ∴∠=∠=︒ 120BAD ∠=︒AE 平分BAD ∠60BAE EAD ∴∠=∠=︒ABE ∴是等边三角形AE AB BE ∴==AB =12BC AE ∴=12BC90BAC ∴∠=︒30CAD ∴∠=︒ 故A 正确； AC AB ⊥∴ABCDSAB AC =⋅ 故B 正确AB =12BC OB =12BDBD BC >AB OB ∴≠ 故C 错误； CE BE = CO OA = OE ∴=12ABOE ∴=14BC 故D 正确． 故选：C ． 5．【答案】C6．已知三角形三边长分别为7cm 8cm 9cm 作三条中位线组成一个新的三角形 同样方法作下去 一共做了五个新的三角形 则这五个新三角形的周长之和为（ ） A ．46.5cmB ．22.5cmC ．23.25cmD ．以上都不对解：由△ABC 三边长分别为7cm 8cm 9cm 三条中位线组成一个新的三角形 可知新三角形与原三角形相似 相似比是1：2 即：后一个三角形的周长都是前一个三角形周长的∵原三角形的周长＝7+8+9＝24 ∴这个新三角形的周长＝×24＝12 ∴这个五个新三角形的周长之和＝24+×24+×24+×24+×24＝23.25故选：C ．7．A解：延长AC BE 交于点M∵AE 平分BAC ∠ BE AE ⊥∴90AEB AEM ∠=∠=︒ CAE BAE ∠=∠∵AE AE =∴ABE AME ≌∴10AB AM == BE EM =∵6AC =∴4CM AM AC =-=∵点F 是BC 的中点 BE EM =∴EF 为BCM 中位线 ∴122EF CM ==．故选：A ．8.【答案】A解：连接 AC∵∠GAB =∠ABC∴AG ∥BC .又 AG = BC可知四边形 AGBC 是平行四边形∴AC ∥BG点 E F 分别为 AD DC 的中点∴EF 是△ ADC 的中位线∴EF ∥AC∴ EF ∥BG .∴点 B 与点 G 到 EF 的距离相等△EBF 与△ EGF 是同底等高的关系∴ S △ EBF = S △ EGF 即S1=S2故选： A9．A解：如图 延长DP 交BC 于点F四边形ABCD 是平行四边形AD BC ∴∥ OD OB = 7AB CD == 10BC AD ==180ADC BCD ∴∠+∠=︒ ADF CFD ∠=∠ DP 平分ADC ∠ CP 平分BCD ∠ADF CDF ∠=∠∴ FCP DCP ∠=∠90CDP DCP ∴∠+∠=︒ CDF CFD ∠=∠7DC CF ∴== DP PF =OP ∴是DBF 的中位线()()111107 1.5222OP BF BC CF ∴==-=-= 故选：A ．10.解：如图 取 AD 的中点 H ,连接 PH , OH∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AP = PC又∵点 H 是 AD 中点 LAOD =90°∴PH =- AB , OH =- AD∴OH + PH ≥ OP∴AB + AD ≥2OP∴四边形 ABCD 的周长最小值为20故选： A .二．填空题11.解：取 BE 的中点 M 连接 FM , CM∵F 为AE 的中点 M 为 BE 的中点∴MF =AB , FM // AB∵四边形 ABCD 是平行四边形∴DC = AB , DC // AB∵E 为 CD 的中点∴CE =DC∴ CE = FM , CE // FM .∴四边形 EFMC 是平行四边形∴EG = GM∵BM = EM = BE =x8=4∴ EG =x4=2故答案为：212.如图 DE 为△ABC 的中位线 点F 在DE 上 且∠AFC 为直角 若AC ＝6cmBC ＝8cm则DF 的长为 1cm ．解：∵DE 为△ABC 的中位线∴DE ＝BC ＝4（cm ）∵∠AFC 为直角 E 为AC 的中点∴FE ＝AC ＝3（cm ）∴DF ＝DE ﹣FE ＝1（cm ）故答案为：1cm ．13．6解：如图2 由折叠得：AM MD = MN AD ⊥ AD BC ⊥ 连接GD∴GN BC∥GN是AD的垂直平分线∴AG DG=∴GAD GDA∠=∠∵90GBD GAD GDB GDA∠+∠=︒=∠+∠∴GBD GDB∠=∠∴GB GD=∴AG BG=同理可得：AN CN=∴GN是ABC的中位线而12BC=∴162GN BC==∵PM GM=∴6 MP MN GM MN GN+=+==．故答案为：6．14.【答案】7215.解：延长AE BC交于点H∵△ADE是等腰直角三角形∴∠HAC＝45°AE＝AD＝2∴CH＝AC＝BC AH＝AC＝6∴EH＝AH﹣AE＝4∵BC＝CH BF＝FE∴FC＝EH＝2故答案为：2．16．【答案】3 （或3：1）】解： EF 是△ ABC 的中位线.. EF / BC , EF = BCOE =20F: OE =BC =BC设点 A 到 BC 的距离为 h则 S △ ABC = BC · h , S △ aoc =OE · h =BC · h =BC · h:△ ABC 的面积与△ AOC 的面积之比＝3:1.故选： D .17．【答案】52解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AD = BC , CD = AB , DC / AB∵AD =5, AB = CF =3.∴CD =3, BC =5∴BF = BC + CF =8∵△ BEF 是等边三角形 G 为 DE 的中点∴BF = BE =8, DG = EG延长 CG 交 BE 于点 H∵DC / AB∴∠CDG=∠HEG在△ DCG 和△ EHG 中∠CDG=∠HEGDG = EG∠DGC =∠ EGH∴△ DCGR △ EHG ( ASA ).∴DC = EH , CG = HG∵ CD =3, BE =8∴HE =3, BH =5∵ LCBH =60°, BC = BH =5∴△CBH 是等边三角形∴CH = BC =5∴CG = CH =52故答案为：52三．解答题18．如图△ABC的中线BE CF相交于G且AB＝12 AC＝16 BC＝20 求GC的长．解：∵AB＝12 AC＝16 BC＝20∴AB2+AC2＝BC2∴△ABC是直角三角形∴∠A＝90°∵F是AB中点∴AF＝6∴CF＝＝＝2∵中线BE CF相交于G∴G是△ABC重心∴CG：GF＝2：1∴CG＝．19．(1)证明见解析(2)证明见解析（1）证明：∵点E是边BC中点∴BE CE=又∵EF OE=∴四边形OBFC是平行四边形；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形对角线AC BD、相交于点O ∴点O是BD的中点又∵点E是边BC中点∴OE是BCD△的中位线∴OE CD即OF CD∥．20．【答案】（1）证明：∵BF=BE CG=CE∴BC为△FEG的中位线FG∴BC//FG BC=12又∵H是FG的中点∴FH=1FG2∴BC=FH .又∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC AD=BC∴AD//FH AD=FH∴四边形AFHD是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB=∠DCB∵CE=CB∴∠BEC=∠EBC=75°∴∠BCE=180°−75°−75°=30°∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°∴∠DAB=40° .21.解:(1)如图,连接CD,AE.由三角形中位线定理可得PM∥12CD,PN∥12AE.∵△ABD和△BCE是等边三角形,∴AB＝DB,BE＝BC,∠ABD＝∠CBE＝60°∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC,∴AE＝DC.∴PM＝PN.(2)如图,设PM交AE于F,PN交CD于G,AE交CD于H,AE交BD于Q.由(1)知△ABE≌△DBC,∴∠BAE ＝∠BDC.又∵∠DQH＝∠BQA,∴∠AHD＝∠ABD＝60°,∴∠FHG＝120°.22.证明:如图,取NC的中点H,连接DH过点H作HE∥AD,交BN的延长线于E.∵AB＝AC,AD⊥BC,∴D为BC的中点.∵H为NC的中点,∴DH∥BN.又∵PD∥EH,∴四边形PDHE是平行四边形.∴HE＝PD.∵P为AD的中点,∴AP＝PD. ∴AP＝EH.又∵HE∥AD,∴∠PAN＝∠EHN,∠APN＝∠HEN.∴△APN≌△HEN(ASA).∴AN＝NH. ∴AN＝NH＝HC. ∴AN＝13AC.23．（1）证明：连接BD取DB的中点H连接EH FH ∵E H分别是AD BD的中点∴EH∥AB EH＝AB∴∠BME＝∠HEF∵F H分别是BC BD的中点∴FH∥CD FH＝CD∴∠CNE＝∠HFE∵AB＝CD∴HE＝FH∴∠HEF＝∠HFE∴∠BME＝∠CNE；（2）连接BD取DB的中点H连接EH FH∵E F分别是AD BC的中点∴EH＝AB FH＝CD FH∥AC∴∠HFE＝∠FEC＝45°∵AB＝CD＝2∴HF＝HE＝1∴∠HEF＝∠HFE＝45°∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°∴．24．【答案】（1）解：结论1：四边形EFGH是平行四边形；证明：∵在四边形ABCD中 E F G H是各边中点∴EF为∆ABD的中位线∴EF∥BD EF=12BD同理可得GH∥BD GH=12BD∴GH∥EF GH=EF∴四边形EFGH是平行四边形；结论2：四边形EJGI是平行四边形；证明：∵E J G I分别为DA DB BC AC中点∴EJ为∆ABD的中位线∴EJ∥AB EJ=12AB同理可得IG∥AB IG=12AB∴EJ∥IG EJ=IG∴四边形EJGI是平行四边形；结论3：S四边形EFGH=12S四边形ABCD；证明：由结论1证明可得 EF=12BD GH=12BD∴∆AEF的高为∆ADB高的一半∆CHG的高为∆BCD高的一半∴S�AEF=14S�ADB S�CHG=14S�CDB同理：S�DEH=14S�DAC S�BFG=14S�BCA∴S四边形EFGH=S四边形ABCD−S�AEF−S�CHG−S�DEH−S�BFG=12S四边形ABCD；（2）解：①连接AC 取AC的中点E 连接FE HE∵点E F为AC AB的中点∴EF=12BC=2同理：EH=12AD=3第 31 页 共 31 页 ∴EH-EF<FH<EF+EH即1<EH<5故答案为：1<FH<5；②如图所示 连接EFGH 由结论1可得四边形EFGH 为平行四边形如图所示 过点E 作EM ∥FH 交GH 延长线于点M 过点G 作GN ⊥EM∵EF ∥GM EM ∥FH∴四边形FHME 为平行四边形∴FH=EM=6 ∠EOF=∠GEM=60° FE=HM∴∠EGN=30°∴EN=12EG =4∴GN =√EG 2−EN 2=4√3∴S �EGM =12EM ×GN =12√3由图可得S 四边形EFGH =S �EGM =12√3由结论3可得：S 四边形ABCD =2S 四边形EFGH =24√3.。
三角形的中位线与反证法核心考点讲八年级数学下学期考试满分全攻略浙教版解析版
第11讲三角形的中位线与反证法（核心考点讲与练）一．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE＝BC．二．反证法（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．一．三角形中位线定理（共8小题）1．（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D、E分别是AC、AB 的中点，则DE的长是（）A．6.5B．6C．5.5D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则BC＝＝＝12，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE＝BC＝6，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．2．（2021春•武安市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．3B．2C．4D．2【分析】连接DN、DB，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理得到EF＝DN，结合图形解答即可．【解答】解：连接DN、DB，在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，∴BD＝＝4，∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝DN，由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，∴EF长度的最大值为2，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．3．（2021春•温州期末）如图，为测量BC两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE．测得DE的长为6米，则B，C两地相距（）A．9米B．10米C．11米D．12米【分析】根据三角形中位线定理即可求出BC．【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∴BC＝2DE＝2×6＝12（米），故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．（2021秋•丽水期末）如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）．（1）求立柱OC的高度；（2）小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答．【分析】（1）根据三角形中位线定理求出OC；（2）根据AD的长度求出OC的长度，得到答案．【解答】解：（1）由题意得：OC∥AD，∵点C为AB的中点，∴OC为△ABD的中位线，∴OC＝AD，∵AD＝1米，∴OC＝米；（2）要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．当AD＝1.25米时，OC＝0.625米，所以要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5．（2021春•北仑区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E、F 分别是边CD和AB的中点，若∠PEF＝30°，则下列说法错误的是（）A．PE＝PF B．∠EPF＝120°C．AD+BC＞2EF D．AB+DC＞2DB【分析】根据三角形中位线定理及AD＝BC推出PF＝PE，可判断A；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可判断B；根据三角形三边关系可判断C．【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故选项A不合题意；故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝30°，∴∠EPF＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故选项B不符合题意；∵PF＝BC，PE＝AD，PE+PF＞EF，∴BC+AD＞EF，∴AD+BC＞2EF，故选项C不符合题意；无法证明AB+CD＞DB，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形三边关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形中位线定理推出PE＝PF是解决问题的关键．6．（2021春•鄞州区期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，点M是对角线AC 的中点，点N是AD边的中点，连结BM，MN，若BM＝3MN，则线段CD的长是（）A．B．3C．D．5【分析】首先由勾股定理求得AC的长度，结合直角三角形斜边上中线的性质得到BM＝AC，三角形中位线定理得到CD＝2MN．【解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，则由勾股定理知，AC＝＝＝10．∵点N是AD边的中点，∴BM＝AC＝5．∵BM＝3MN，∴MN＝BM＝．∵点M是对角线AC的中点，点N是AD边的中点，∴MN是△ACD的中位线．∵CD＝2MN＝2×＝．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．7．（2021•梓潼县模拟）如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN 于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．12B．11C．10D．9【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．【解答】解：如图，延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AD＝AB＝8，BN＝ND，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，∴DC＝2MN＝4，∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，故选：A．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．（2020秋•内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD 的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据三角形中位线定理得到PE＝AD，PF＝BC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．二．反证法（共6小题）9．（2021秋•平阳县期中）用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设（）A．三个角都小于60°B．三个角都大于60°C．三个角都大于或等于60°D．有两个角大于60°【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．【解答】解：反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设三个角都大于60°，故选：B．【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．10．（2021春•乐清市期末）用反证法证明命题“如果a∥b，c∥b，那么a∥c”时，应假设（）A．a⊥c B．c不平行b C．a不平行b D．a不平行c【分析】反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，即结论的反面成立．【解答】解：用反证法证明命题“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”时，应假设a不平行于c．故选：D．【点评】本题考查了反证法的知识，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．11．（2021春•南浔区期末）用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设（）A．a＜0B．a≠0C．a≥0D．a≤0【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．【解答】解：用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设a≤0，故选：D．【点评】考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”12．（2017秋•庆元县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB≥PC．把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，∵PB≥PC，PB＝CD，∴CD≥PC，∴∠CPD≥∠CDP，又∵AP＝AD，∴∠APD＝∠ADP，∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，又∵∠APB＝∠ADC，∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，∴PB≥PC不成立，综上所述，得：PB＜PC．【点评】此题主要考查了反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．13．（2015春•萧山区期末）证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【分析】利用反证法的步骤，首先假设原命题错误，进而得出与三角形内角和定理矛盾，从而证明原命题正确．【解答】证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，则∠A+∠B+∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误，即原结论成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【点评】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的证明步骤是解题关键．14．（2013春•滨江区期中）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°∴∠A+∠B+∠C＞180°这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．题组A 基础过关练一．选择题（共11小题）1．（2021•太谷区校级开学）如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：7【分析】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FC＝BC，再用PQ是△EFC中位线，PQ＝CF，即可求得答案．【解答】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，∴∠EDB＝∠DBF，∵P、Q是BD、CE的中点，∴DP＝BP，∵在△DEP与△BFP中，，∴△DEP≌△BFP（ASA），分层提分∴BF＝DE＝BC，P是EF中点，∴FC＝BC，PQ是△EFC中位线，PQ＝FC，∴PQ：BC＝1：4．故选：A．【点评】此题考查学生对三角形中位线定理的理解与掌握，连接DE，连接并延长EP交BC于点F，求出△DEP≌△BFP，FC＝BC，是解答此题的关键．2．（2021春•上城区校级期末）用反证法证明“a＞b”时应假设（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可．【解答】解：用反证法证明“a＞b”时第一步应假设：a≤b．故选：D．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为（）A．4B．2C．3D．4【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3，∴AB＝2DF＝6，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝3，∴BF＝＝＝3．故选：C．【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2021春•上城区期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（）A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．∠B＜90°D．AB≠AC【分析】直接利用反证法的第一步分析得出答案．【解答】解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．故选：A．【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5．（2018春•永嘉县期末）用反证法证明“同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a ∥b”．时，第一步应先假设（）A．a不平行于b B．c不平行于b C．a不垂直于c D．b不垂直于c【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可．【解答】解：原命题“同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，用反证法时应假设结论不成立，即假设a与b不平行（或a与b相交）．故选：A．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．6．（2021•南岗区校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF，连接EF，AD＝3，CD＝1，则EF的长为（）A．B．C．D．【分析】连接AC，根据勾股定理得到AC＝＝，由三角形的中位线的性质定理即可得到结论．【解答】解：连接AC，∵∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1，∴AC＝＝，∵AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝AC＝，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2021春•婺城区校级期末）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（）A．2.5B．1.5C．4D．5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF＝AB＝2.5，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，∴DF＝AB＝2.5，∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝4，∴EF＝4﹣2.5＝1.5，故选：B．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．（2020春•鄞州区期中）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1B．C．D．【分析】证明△AGF≌△ACF，根据全等三角形的性质得到AG＝AC＝3，GF＝FC，求出GB，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD是∠BAC平分线，∴∠BAD＝∠CAD，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA）∴AG＝AC＝3，GF＝FC，∴GB＝AB﹣AG＝1，∵CF＝FG，CE＝EB，∴EF是△CGB的中位线，∴EF＝GB＝，故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．9．（2021春•温州期末）用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（）A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．【解答】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”，第一步应假设a≤b，故选：B．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．10．（2021春•杭州期末）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（）A．四边形的四个角都是直角B．四边形的四个角都是锐角C．四边形的四个角都是钝角D．四边形的四个角都是钝角或直角【分析】根据四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形的四个角都是锐角解答即可．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设四边形的四个角都是锐角，故选：B．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．11．（2021春•成都月考）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（）A．两锐角都大于45°B．有一个锐角小于45°C．有一个锐角大于45°D．两锐角都小于45°【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．【解答】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，故选：A．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．二．填空题（共6小题）12．（2021春•永嘉县校级期末）用反证法证明命题“如果a＞b，那么”时，假设的内容是＜或＝．【分析】用反证法证明数学命题“如果a＞b，那么＞”时，应假设它的否定“＜或＝”．【解答】解：由于命题“＞”的否定为“或”，故用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，应假设＜或＝，故答案为：＜或＝．【点评】本题考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定的方法，得到命题“＞”的否定为“＜或＝”，是解题的关键．13．（2021春•饶平县校级期末）如图，△ABC中，三条中位线围成的△DEF的周长是15cm，则△ABC的周长是30cm．【分析】根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵△DEF的周长是15，∴DE+DF+EF＝15，∵DE、DF、EF分别是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，AC＝2DF，AB＝2EF，∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝2（DE+DF+EF）＝30（cm），故答案为：30．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．（2021春•红寺堡区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝3厘米．【分析】根据平行四边形的性质可知OA＝AC，OB＝BD，结合AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴点O是AC、BD的中点，∵AC+BD＝24厘米，∴OB+0A＝12厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB＝18﹣12＝6厘米，∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴AB＝2EF，∴EF＝6÷2＝3厘米，故答案为：3．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大．15．（2020春•衢州期末）如图，为测得B，C两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE，测得DE＝15米，则BC＝30米．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝30（米），故答案为：30．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．16．（2021春•灞桥区校级月考）用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步这个三角形是等腰三角形．【分析】假设命题的结论不成立，推出矛盾即可．【解答】解：用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是假设这个三角形是等腰三角形．故答案为这个三角形是等腰三角形．【点评】本题考查反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．17．（2021•罗湖区校级模拟）如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为38．【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，∴DE＝2MN＝6，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝22，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝22+16＝38，故答案为：38．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．三．解答题（共5小题）18．（2012春•杭州期中）在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝1．求证：∠A≠30°．【分析】首先假设结论不成立，即∠A＝30°，利用勾股定理逆定理得出∠C＝90°，进而得出矛盾，从而得出结论成立，即∠A≠30°．【解答】证明：假设结论不成立，即∠A＝30°，∵，∴△ABC是Rt△，且∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴，这与BC＝1矛盾，∴假设不成立，∴结论成立，即∠A≠30°．【点评】此题主要考查了反证法的证明，利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．19．（2009春•杭州校级期中）用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．求证：l1与l2不平行．证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．所以l1与l2不平行．【分析】用反证法证明问题，先假设结论不成立，即l1∥l2，根据平行线的性质，可得∠1+∠2＝180°，与已知相矛盾，从而证得l1与l2不平行．【解答】证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设_不成立．所以结论成立，l1与l2不平行．【点评】反证法证明问题，是常见的证明方法，关键是找出与已知相矛盾的条件．20．（2019春•拱墅区期末）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是1上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中不会随点P的移动而变化的是①③④【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是1上一动点判断②；根据相似三角形的性质判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．【解答】解：①∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝AB，即线段MN的长不会随点P的移动而变化；②PA、PB随点P的移动而变化，∴△PAB的周长随点P的移动而变化；③∵l∥AB，点A，B为定点，∴△PMN的面积为定值，∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝AB，MN∥AB，∴△PMN∽△PAB，∴△PMN的面积＝×△PMN的面积，则△PMN的面积不会随点P的移动而变化；④∵MN∥AB，∴直线MN，AB之间的距离不会随点P的移动而变化；⑤∠APB的大小随点P的移动而变化；故答案为：①③④．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．21．（2013秋•江山市校级月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别为AD与BC的中点，连接EF与BA的延长线相交于N，与CD的延长线相交于M．求证：∠BNF＝∠CMF．【分析】连接AC，取AC的中点K，连接EK，FK，则EK、FK分别是△ACD和△ABC的中位线，根据平行线的性质定理即可证明．【解答】证明：连接AC，取AC的中点K，连接EK，FK∵AE＝ED，AK＝KC∴EK∥DC，．同理FK∥AB，∴．∴∠FEK＝∠EFK∵EK∥DC∴∠CMF＝∠FEK∵FK∥AB∴∠BNF＝∠EFK∴∠BNF＝∠CMF【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是关键．22．（2021春•仙居县期末）证明三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．（要求：画出图形，写出已知、求证和证明过程）【分析】根据题意画出图形，写出已知、求证，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，证明四边形ADCF是平行四边形，进而得到四边形BDFC是平行四边形，根据平行四边形的在、性质定理证明即可．【解答】解：已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，求证：DE∥BC，DE＝BC，证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF∥AD，CF＝AD，∴CF∥BD，CF＝BD，∴四边形BDFC是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∵DE＝DF，∴DE∥BC，DE＝BC．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，正确作出辅助性是解题的关键．题组B 能力提升练一．选择题（共6小题）1．（2021•宁波一模）如图，D，E分别是AB，AC上的中点，F是DE上的一点，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝BC＝4．∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故选：A．【点评】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．2．（2021•奉化区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD ＝6．M是BD的中点，则CM的长为（）A．B．2C．D．3【分析】延长BC到E使BE＝AD，则四边形ACED是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到CM＝DE＝AB，根据跟勾股定理得到AB＝＝＝5，于是得到结论．【解答】解：延长BC到E使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝DE＝AB，∵AC⊥BC，∴AB＝＝＝5，∴CM＝，解法二：延长CM交AD于T．。
八年级数学下册第18章 模型解题2 构造三角形的中位线
模型解题2 构造三角形的中位线 模型3 四边形两对角线中点
【条件】EA＝EC，FB＝FD. 【辅助线】取AB的中点H，连接HE，HF. 【结论】HE∥12BC，HF∥12AD.
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模型解题2 构造三角形的中位线
3.运用定理：如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝50°，∠BCD＝40°，
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模型解题2 构造三角形的中位线
(2)△DEF的面积等于△ABC的
1 4
.
证明：连接 AE.∵E 是 BC 的中点，∴S△ABE＝12S△ABC.
又∵D 是 AB 的中点，∴S△BDE＝12S△ABE＝14S△ABC.
同理可证，S△ADF＝S△EFC＝S△BDE＝14S△ABC.
∴S△DEF＝S△ABC－S△ADF－S△EFC－S△BDE＝14S△ABC.
由勾股定理得 EF＝ EH2＋FH2＝ 13.
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求证：
(1)△DEF的周长等于△ABC的
1 2
；
证明：∵D，E 分别是 AB，BC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE＝12AC.同理可证，DF＝12BC，EF＝12AB.
∴C△DEF＝DE＋DF＋EF＝12AC＋12BC＋12AB＝12(AC＋BC＋AB)＝12C△ABC.
∴△DEF 的周长等于△ABC 的12.
第十八章 平行四边形 模型解题2 构造三角形的中位线
模型解题2 构造三角形的中位线 模型1 三角形两边中点
【条件】DA＝DC.
【辅助线】取BC的中点E，连接DE.
【结论】DE∥AB，DE＝
1 2
AB.
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模型解题2 构造三角形的中位线
(完整版)八年级数学构造中位线巧解题
龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校龙文教育学科导学案教师:学生:日期:2021年11月25日时段:课题构造中位线巧解题学情分析学生对中位线相关的辅助线的构造存在一些问题学习目标与通过中位线来构造辅助线解几何题是中考常见的考点之一考点分析学习重点构造中位线学习难点构造中位线学习方法举一反三、归纳整理个性化辅导过程三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。
它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。
但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。
本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。
一、知识回忆1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半3、应用时注意的几个细节：①定理的使用前提：三角形或梯形。
②定理使用时，满足的具体条件：两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。
③定理的结论：位置上：与第三边是平行的；与底是平行的〔梯形〕大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半〔梯形〕。
在应用时，要灵活选择结论。
4、梯形的中位线：中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L.L=〔a+b〕÷2中位线长度和高，就能求出梯形的面积．S梯=2Lh÷2=Lh中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。
二、什么情况下该用中位线1、直接找线段的中点，应用中位线定理教育是一项良心工程1龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校1、小峰身高，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过cm2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理例2、如图 3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，那么DE的长为。
八年级数学下找中点构造中位线解题知识点分析人教版
找中点构造中位线解题三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。
它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。
但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。
本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。
一、知识回顾1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
2、应用时注意的几个细节：①定理的使用前提：三角形。
②定理使用时，满足的具体条件：两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。
③定理的结论：位置上：与第三边是平行的；大小上：等于第三边的一半。
在应用时，要灵活选择结论。
二、应用举例1、直接找线段的中点，应用中位线定理例1、如图1所示，在三角形ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是三角形的高，点M 是边BC 的中点，求证：DM=21AB 。
分析：看到结论的表达形式，我们就想到，三角形的中位线定理，有这样的特点，因此，我们就可以构造AB 上的中位线，再证明这条中位线与DM 是相等的。
证明：如图2所示，取边AC 的中点E ，连接ME ，则ME ∥AB ，ME=21AB ， 因为，ME ∥AB ，所以，∠B=∠EMC ，因为，∠B=2∠C ，所以，∠EMC=2∠C ，∠EMC 是三角形DME 的一个外角，所以，∠EMC=∠MDE+∠MED ，所以，2∠C=∠MDE+∠MED ，因为，AD 是三角形的高，所以，∠ADC 是直角，所以，DE 是直角三角形ADC 斜边上的中线，所以，DE=EC ，所以，∠MDE=∠C ，所以，2∠C=∠C +∠MED ，所以，∠MED=∠C ，所以，∠MDE=∠MED ，所以，DM=ME ，所以，DM=21AB 。
2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理例2、如图3所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE 的长为 。
鲁教版(五四制)初中数学八年级上册_巧用中位线,妙解几何题
巧用中位线 妙解几何题三角形、梯形中位线定理是初中几何重要定理之一，当题目中含有中点条件时，添加一定的中位线会给我们解题带来便利，这是一种常用的辅助线，是一种重要的几何转化方法。
一． 构造中位线，平移角例1． 如图1，已知BC=EF ，M 、D 分别是边BF 、CE 的中点，求证：∠1=∠2。
分析：因为要证的是两个角相等，可以想到角的转移，可能利用同位角相等或在等腰三角形中出现的两个底角的相等来证明，又因为M 、D 分别是边BF 、CE 的中点，可想到中位线定理，于是我们连结BE ，可以得到两个三角形的中位线。
证明：连结BE ，取BE 的中点N ，连结MN ，DN ， ∵M 、D 分别是边BF 、CE 的中点， ∴MN ∥EF ，12MN=12EF ，DN ∥BC ，DN=12BC ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， 又∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4。
二． 构造中位线，巧用Rt △斜边上的中线例2．如图2，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线交于点O ，∠BOC=60°，点E 、F 分别是OA 、OB 的中点，G 是CD 的中点，求证：△EFG 是等边三角形。
分析：由题意可知EF=12AB ，下一步去证出EG=FG=12CD=12AB 即可，∠BOC=60°，由等腰梯形的性质 可知，△BOC 、△AOD 均为等边三角形，连结DE 、CF ， 得到EG 是Rt △DEC ，FG 是Rt △CFD 的中线，问题易解。
证明：∵在等腰梯形ABCD 中， AB=CD ， ∴AC=BD ，BC=CB∴△ACB ≌△DBC ，∠ACB=∠DBC ∵∠BOC=60°，A BCD EF G M N图11234ABCDEF GO 图2∴△BOC为等边三角形，连结CF，F分别是OB的中点，∴CF⊥OB，在Rt△CFD中，G是CD的中点，∴FG=12CD，同理可证EG=12CD，点E、F分别是OA、OB的中点，∴EF=12AB，又AB=CD，∴EG=FG= EF即△EFG是等边三角形。
八年级数学三角形、梯形的中位线江技知识精讲试题
八年级数学三角形、梯形的中位线科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：三角形、梯形的中位线学习目的：1. 掌握三角形、梯形中位线的概念、性质.2. 会利用三角形中位线、梯形中位线的性质解决有关问题.3. 体会转化的数学思想方法.二. 重点、难点：三角形、梯形的中位线的概念、性质及其应用是本局部的重点；而灵敏的应用性质解决问题及转化的数学思想方法的体会是难点.三. 知识要点： 1. 三角形的中位线：〔1〕概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 〔2〕性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.如图，DE 是△ABC 的中位线，那么DE 与BC 有怎样的位置和数量关系?∵DE 是△ABC 的中位线∴DE ∥BC ，DE BC BC DE 221==或〔3〕三角形的中位线与三角形的中线的区别. 2. 梯形的中位线：〔1〕概念：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线. 〔2〕性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.如图，EF 是梯形ABCD 的中位线，且AD ∥BC ，那么EF 与AD 、BC 有怎样的位置和数量关系呢?∵EF 是梯形ABCD 的中位线 ∴EF ∥AD ∥BC ，()EF BC AD BC AD EF 221=++=或 3. 数学思想方法：〔1〕旋转变换思想：从三角形、梯形中位线性质的探究中可以得出利用旋转〔特别是中心对称〕可以把问题转化成以前的知识解决;〔2〕化归思想：梯形的中位线性质研究是转化为三角形的中位线知识解决问题，这是化归思想的详细表达.【典型例题】例1.〔1〕假如△ABC 的3条中位线分别为3cm 、4cm 、5cm ，那么△ABC 的周长为 cm ， △ABC 是 三角形.〔2〕梯形的一底长6cm ，中位线长10cm ，求另一底的长.〔3〕设梯形中位线长为l ，高为h ，那么梯形的面积可以表示为S = . 解： 〔1〕24cm ， 直角三角形.理由：根据三角形的中位线性质及勾股定理.〔2〕14cm ， 理由：根据梯形中位线的性质得到.〔3〕S =lh ， 理由：由梯形的中位线的性质得到：()b a l +=21，所以S=lh ，这是梯形面积公式的另一种表示形式.例2. 如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，且AD=AC ，AE ⊥CD ，垂足为E.F 是BC 的中点.BD=6cm.求EF 的长.分析：要求EF 的长，只要找出EF 与线段BD 的数量关系，因为F 是BC 的中点，可以想到EF 可能为△CBD 的中位线.为此，只要证明E 为CD 的中点即可.解：在△ACD 中， ∵AD=AC ，AE ⊥CD ，∴AE 为△ACD 的中线〔三线合一〕， 即E 为CD 的中点. 又∵F 是BC 的中点， ∴EF 为△BCD 的中位线， ∴362121=⨯==BD EF 〔cm 〕〔三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半〕例3. 如图，：在△ABC 中，∠ACB=900，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、BC 的中点，CE 与DF 相等吗?试说明理由.B分析：∠DCF=90°．只要再证四边形CDEF 为平行四边形．解：∵D 、E 分别为AC 、AB 的中点， ∴DE ∥BC. 同理，EF ∥AC ，∴四边形CDEF 为平行四边形. 又∵∠DCF=90°， ∴四边形CDEF 为矩形， ∴CE=DF例4. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且BC>AD ， ∠B+∠C=90°，E 、F 分别是AD 、BC 的中点.试说明：()AD BC EF -=21解：过点E 分别作EM ∥AB ，EN ∥DC ，交BC 于M 、N ，那么四边形ABME 为平行四边形，MCB∴AE=BM.同理，DE=CN ， ∴MN=BC-〔BM+CN 〕=BC-AD. 又∵∠B+∠C=90°，∴∠EMN+∠ENM=90°， ∴∠MEN=90° 而F 、E 为AD 、BC 的中点，BM=AE=DE=CN ． ∴F 为MN 中点，∴()AD BC MN EF -==2121 评注：问题的解决就是利用化归思想把条件利用平行进展转移，并集中在三角形中解决问题.例5. 如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AB=AD+BC. 〔1〕 当P 为AB 中点时，试说明：PC ⊥PD;〔2〕当P 为AB 上动点，是否存在异于AB 中点的一点，使PC ⊥PD?假设存在，请找出来，不存在，说明理由.分析：要证明PC ⊥PD ，只要证明∠1+∠2=90°，为此，可以取DC 的中点H. 解：〔1〕如图1，取DC 中点H ，连结PH ，那么(),2121CD BC AD PH =+=B?1图1即PH=DH=CH ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4. 而∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴∠3+∠4=90° ∴PC ⊥PD.〔2〕如图2，在AB 上取一点P ′，使P ′A=AD ，?2B图2由于AB=AD+BC ，且AD<BC ，故P ′不为AB 中点．且BP ′=BC ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵∠1+∠2+∠A+∠3+∠4+∠B= 360°，且∠A+∠B= 180° ∴∠1+∠2 +∠3+∠4 = 180°， ∴2∠2+2∠3= 180°，即∠2+∠3= 90° ∴∠D P ′C = 90°， ∴D P ′⊥C P ′.因此，存在这样的异于AB 中点的点P ，使PC ⊥PD .例6. 如图，是一个木梯子，DA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A ，CB 1=B 1B 2=B 2B 3=B 3B .假如最上端的横木CD 长为a ，最下端的横木AB 长为b ，且AB ∥CD ，试用含a 、b 的代数式表示中间每根横木的长.B3A分析：由图可知，四边形ABCD 是一个梯形，A 2B 2是它的中位线，利用中位线的性质可以求出它的长度，同时又可知A 1B 1、A 3B 3分别是梯形A 2B 2CD 、ABB 2A 2的中位线，也可表示出它们的长度.解：因为DA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A ，CB 1=B 1B 2=B 2B 3=B 3B ， 所以DA 2=AA 2，CB 2=B 2B ，即A 2、B 2分别是梯形ABCD 的腰 AD 、BC 的中点.根据梯形中位线的定义，得到A 2B 2是梯形ABCD 的中位线，根据梯形中位线的性质，可以得到A 2B 2分别平行于AB 、CD ，并且()22122b a CD AB B A +=+=同理可知A 1B 1、A 3B 3分别是梯形A 2B 2CD 、ABB 2A 2的中位线，所以()43221212211b a a b a CD B A B A +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=()43221212233ab b b a AB B A B A +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=【模拟试题】〔答题时间是：30分钟〕1. 假设等腰梯形的腰长等于中位线的长，周长为，那么中位线长为 cm ．2. 梯形的高是4，面积是32，上底长为4，那么梯形的中位线长为 ，下底长为 ．3. 等腰梯形的上、下底长分别为 2cm 和6cm ，且它的两条对角线互相垂直，那么这个梯形的面积为 cm 2．4. 直角梯形的一条对角线把梯形分成一个直角三角形和一个边长为 8cm 的等边三角形，那么此梯形的中位线长为 cm ．5. 梯形的上底长为6，下底长为10，那么由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 ．6. 梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，那么下底长为 ．7. 假设等腰梯形的腰长是5cm ，中位线是6cm ，那么它的周长是＿＿＿cm ．8. 假设梯形的一底长是14cm ，中位线长是16cm ，那么另一底长为＿＿＿cm ．9. 梯形中位线长是5cm ，高是4cm ，那么梯形的面积是．10. 梯形上底与中位线之比是2：5，那么梯形下底与中位线之比是．11. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，DC ：AB=1：2，E 、F 分别是两腰BC 、AD 的中点，那么〔 〕A. 1：4B. 1：3C. 1：2D. 3：412. 直角梯形中，上底和斜腰长均为a ，且斜腰和下底的夹角是60°，那么梯形中位线长为〔 〕 A.a 43B. aC.a 45D. 都不对13. ：梯形ABCD 中，AD//BC 〔AD<BC 〕，M 、N 为两腰AB 、CD 的中点，ME//AN 交BC 于E ．求证：AM=NE ．14. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点，说明：MN ∥DC 且MN ＝21〔DC －AB 〕．15. 如图，在直角梯形ABCD 中，点O 为CD 的中点．〔1〕测量顶点A ，B 到点O 的间隔 ，并做出猜测； 〔2〕你的猜测正确吗？为什么？16. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=BD ，且AD ＝5cm ，BC ＝12cm ，求该梯形的中位线长．17. ：在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，D 、E 、F 、分别为AB 、BC 、CA 的中点．四边形EFDH 是等腰梯形吗？为什么？HFEDCBA18. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 中点，连结EC 、ED 、CE ⊥DE ，CD 、AD 与BC 三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由．EDA试题答案1. 122. 8，123. 164. 65. 7：96. 227. 228. 189. 20 cm 2 10.8：511. D12. C13. 提示：证明△AMN ≌△BME ，得到AN=ME ，又AN ∥ME ，所以四边形ANEM 是平行四边形．14. 连结AM 并延长交CD 于点E ．证明△ABM ≌△EDM ，得到：AM=ME ，AB=DE 从而MN 是△AEC 的中位线NAB C D ME15. 猜测：OA=OB ，理由是：取AB 的中点E ，那么OE ⊥AB ，且AE=BE ，所以，OA=OBOA DCB E16. 过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于E ，并过点D 作DF ⊥BE ，垂足为F ，容易知道△BDE 为等腰直角三角形， 所以DF=8.5，而DF=BC+AD 的一半，故中位线的长为8.5．17. DHEF 为等腰梯形．提示：利用三角形的中位线的性质即可．18. CD=AD+BC．提示：利用梯形的中位线的性质即可．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
八年级数学中位线定理
小结
三角形的中位线有哪些作用? 位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
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之后他再找那丫头说说情,或许能打动她也不一定,如今是不可能了.面对众人の喝骂,卓文鼎态度冷淡.身后の小杨紧紧跟着他,手里拿着摄像机一直跟拍.“这位小哥好大の口气,周家庄好大の威风,”卓文鼎语气微嘲,目光冷然观望全场,“仗着人多欺负人少,仗着嗓门大拳头硬就能逼人妥 协吵赢法律？你们眼里还有没有国法了？”一个粗糙汉子一甩手,“少跟我们扯些有の没の,我们读书少不识字,只认得一个理！你把人叫出来大家当面说清楚！”“好,那我就跟你们说理.”卓文鼎态度凛然,“我想问一问周先生,前天是否不请自来？”周定康不应.卓文鼎不理他,继续 问:“我当事人交了两年房租,如今才住一年你是否就带人前来看房子？她拒绝你们入门是否说过你们可以悔约,一切按照合同来办理？”“你不同意就罢了,第二天是否找人前来砸门谩骂诬蔑我当事人の名声？”“我当事人出来の时候,是否有人袭击过她？”“你是否出面解释道歉或者 表过态？”“我当事人一年前搬到这儿来大门不出二门不迈,今天我去村市逛了一圈,与她相关の传闻污秽不堪几乎没有一条正面评价,却没几个人能说出她の模样！是否从一开始就有人试图散播谣言逼走她？”“成群结队一窝蜂地过来堵她门口这叫讲理？把老弱病残叫过来寻死觅活是 在讲理？”卓文鼎眼里仿佛在冒火,手往院门里一指,“我当事人今年十九岁,她才十九岁！跟你们女儿差不多年纪！一群身强力壮の大叔大妈跑到人家门口叫骂没吓死她已经够大胆了,谁敢跟你们讲理？！”说到这里,他冷笑两下,放弃庄严肃穆の形象松开领口の扣子,解开袖扣撸起 来.“我看你们是想打出一个理吧？好,我卓某人站这儿不动给你们打,皱一下眉头算你们赢.打准点,”他指指自己の脑门,“朝这儿打,一锄头我就完了.顺便让全国人民看看,让那高副省长看看他极力推崇の最具发展潜力の乡镇到底养着一群什么样の刁民！”他站在原地一动不动,气愤填 膺,“动手啊,别怂啊你们.”律师の严谨没有了,此刻の他一身社会哥の气势.第167部分而小杨自始至终跟拍着,手不抖气不促,十分の淡定.卓文鼎の怒斥声震荡人心,连戴着耳机の小女人也听见了一点点.她忧心地取下耳塞,来到面对院门の阳台往外边看.事情闹到这一步,她不后悔.无论 是何玲,何小飞,还是余薇,她们给她添堵那是人品问题.而今天の闹剧是原则性问题,面对一股歪风邪气,人们就该勇于面对并且让世人看个清楚明白.弱,不等于有理,不等于有优势理直气壮地欺负别人.如果她自顾不暇那肯定得憋着,如果她仍醉心学术当然没精力管那么多.如今既空闲,手 中又有资源,就得让某些人明白她の便宜不是那么好占の.“喵.”低头一看,小吉正仰起小脑袋看着她,一双瞳眸圆圆の特别可爱.她弯下身抱起它,“不怕,卓大状很本事の.”是啊,记忆中人人都说他很能干.尽管如此,她还是下了楼来到凉亭里坐着,耐心倾听外边の动静.院门外,围观の群 众反而静默下来,那些叫嚣要打要叩要讲理の人瞪着他,愣是没人敢上前.一来因为他气势逼人,视死如归の人总比外强中干の人有底气.二来,大家顾忌他最后那段话.附近几个村子谁不想发财？尤其看到余、云两家风生水起天天鲍鱼燕窝の,哪个不眼馋羡慕？坊间早有传说省领导有意提携 本地乡镇,如果被他们搅黄了不但要面对政府の压力,乡亲父老の怒火绝对比他们今天做の更厉害,一时间不知如何是好.气氛の突然凝结,老妇不敢哭了,不安地左右张望期盼有人给她一点提示.周定康紧闭双目,垂落身侧の手握紧拳头,微抖,鼻尖处渗出汗珠来.就在气氛紧张化不开时,忽然 人群外传来一阵掌声,一把清悦女声传了进来,“好,说得好,难怪大家说卓大状是真正の人民公仆,果然是有着金刚铸の脖子.”而且总能捏住别人の七寸.众人纷纷回头,耶？不知何时路边停着两辆气势不凡の车子.大家身后也不知何时摆着多部摄像工具,长枪短炮の背后各站着一名表情严 肃の年轻人,他们正在认真录拍刚才发生の种种.嚯,好大の阵仗！吃瓜群众迅速闪开一边避过摄像机,看热闹可以,别把自己给拍进去丢人现眼.无论周家占不占理,一群大人欺负一名十九岁の女孩哪怕说破天也是没理.自从声名鹊起,陆羽极少在人前露面,人们只从流言中猜测她の性情却没 人知道她の情况.如果她真是十九岁...躲远点儿吧,这脸丢不起.卓文鼎闻声已知来者是谁,对他来说,这个才是真正の麻烦.调整一下呼吸,平复语气,哈哈两声,刚才の疾言厉色顿时化成和风细雨.“原来是常小姐,久仰大名.怎么,你也来凑热闹？”常在欣,热点追踪の名记,姣美饱满の脸庞 透着一丝不苟の严厉.时尚干练の无袖浅灰小套装让她添了一丝女人味,梳着蓬松发髻,姿态优雅,举止得体大方.“凑巧而已,”她不卑不亢过来与卓文鼎握了一下手,声音脆亮,“从省城高速经过顺路过来看看传说中极具发展潜力の乡镇,查了一下才发现这里藏着不少问题.”“比如,前年 一辆载着桔子の货车倾翻遭当地居民哄抢.去年一辆运送猪仔の货车也是这种情况,当地居民和前来阻止の警方对抗甚至大打出手伤了不少人还没追责.最后一桩更过分,就今年年初の事,一对年轻人开车经过乡镇由于路滑发生车灾,待急救人员到达时伤患全部财物被盗一直到现 在还没有线索,我正好向大家问问情况...”她话说到这儿,围观の除了云岭村村民,其他人一哄而散速度离开了村子.包括周家那些人见势不妙马上离开弃老妇于不顾,留下她瑟瑟发抖和周定康作伴.与忐忑不安の周家人相反,卓文鼎这回是真の松了口气,原来是自己人.周定康此刻是骑虎难 下,悔不该听人唆摆自讨苦吃.有人跟他说只要姓陆の走了马上有人出钱买下这栋宅子,按照市场价一分不少,太诱人了.之前那么多人给过姓陆の难堪,她都一声不吭地吞了,没想到这次态度强硬,而且后台还不少.怎么办？事情闹大了若是惊动那些大力支持本地发展の高层领导,很有可能连 累各村乡亲永无翻身之日.到时候别说他遭殃,一家老小恐怕永无宁日.正在六神无主,周定康忽然灵机一动向婶婆使了一下眼色.在老妇不解の眼神之下,他身子晃了晃,卟通地倒下了.老妇一声惊叫：“定康,你怎么了？！天哪...”哭喊声终于打破现场尴尬の静默.卓文鼎：“...”常在 欣：“...”其余围观群众：“...”看来套路不怕旧,只要有用.常在欣漠然地向旁边手指招招,记者队伍里走出一个人来,“方医生,麻烦你看看他怎么了,要不要叫救护车.”“好.”他很乐意打刁民の脸.卓文鼎惊讶地看着她,记者出访还带着医生？让人意外の是,从不显山露水の陆易忽 然也走出来,说:“我也看看.”抢先一步来到周定康身边捏住他の手腕把脉.诶？卓文鼎又吃了一惊,“你不是厨师吗？”“我手术刀耍得比菜刀好.”陆易开着玩笑说,“哪天让你们见识见识.”昨晚在他摊子吃过烤肉の师徒俩对视一眼,顿时各种滋味涌上喉咙,呕～.常在欣并不在意谁是 医生,她笑吟吟地来到那群地方小记者面前,“大家好,都是同行吧？正好,我有些问题想...”“对不起,我们新来の什么都不知道.”受雇而来の小报记者们忙后退,作为同行岂能不认识她？破坏乡镇声誉の话是宁死不说の.谁不想为了家乡好？常在欣秀眉蹙起,“那眼前这事你们总该清楚 因由吧？”“完全不清楚,我们一头雾水正等周先生给个解释.”众人义正言辞,异口同声.常在欣顿时一脸遗憾,看着小记们作堆躲一边去了.“他没什么事,只是中暑了,歇一歇就好.”陆易抢在方医生开口前说.对方不服欲驳,却看见陆易“息事宁人”の口型,只好看向卓文鼎与常在欣,征 求他俩の意见.“不妨碍卓律师工作,你们忙吧,”常在欣一挥手,“我找这位陆小姐谈谈.”说罢去敲门.而陆易马上和朱叔扶起周定康,白姨她们扶起老妇相继进入休闲居暂时歇息.那群小记者怕被常在欣の团队问出破绽,忙也屁颠屁颠跟了去.既然常在欣是友非敌,卓文鼎很放心地和小杨 也去了休闲居.对他来说,每一桩官非能够达成和解是最好の.第168部分“...爸,我知道,已经寄了.”田间,余岚戴着一顶草帽在菜地里接电筒,“是,大伯和表姐家都寄了,其他人暂时没有,因为店里の蔬菜供应不上顾不了其他亲戚,只能等下一批,下一批种得多一些.”每到收获季节,继父 梅冬生便会打电筒给她发来一张名单要新鲜の有机蔬菜.说实话,余岚不太想寄.在那些亲戚眼里,她母女仨一直是外人,哪怕母亲给梅家生了一个弟弟.继父以前对她们挺好の,听她们叫爸时还热泪盈眶,随着家境日益好转他の态度就变了.小弟告诉她们,大伯表姐他们整天说姐妹俩の坏话, 还要小弟别和她们太亲近.明明是一群喂不熟の白眼狼,母亲却说不能跟他们撕破脸皮仍要维持表象.挂了电筒,余岚继续问一名忙碌中の菜农,“丙叔,前几天说の那件事怎样了？大马村愿不愿意？”丙叔抬起一张黝黑の脸,笑呵呵道：“愿意,愿意.咱们赚了钱他们早就眼红了,哦,那些老 叔还想说服自己女儿女婿回家种,不知你肯不肯.”“肯,当然肯.”余岚乐了,“我求之不得啊！不过一定要按照我们の要求耕种,不然质量出问题我是不收の.”“那是那是.不过,小岚,大马村到底离咱们这儿太远,怕是不好管理.”老汉替她操心道,“还不如说服下棠村、南西村...”但一 想到这两个村子和余家母女斗得正激烈,顿时说不下去了.“说服他们不容易,先等等吧.”余岚笑了笑,“等以后赚钱了自然有人跟上,大马村の乡亲过得比较困难,先解决那边の问题再说.”大马村の村民姓马,那里没有优美环境或者地理优势,纯粹一个贫穷又出入不便の村子.年青人们几 乎都出去打工了,剩下一群留守老人、婆娘和孩子.别小看他们,那可全部是农耕好手.而且民风纯朴,三观正,对有文化の年轻人相当敬佩信从.说实在话,与梅林、下棠相比,她更愿意助大马村一把.可是老娘说当初没有梅林村民の帮忙,她手上の资产早被前婆家给抢走了,她们也没有今天. 做人要感恩,不能因一时の理念不合便轻言放弃.况且,如今放弃の话她们家亏损很大.由于梅爸の疏忽,让云家在企业里渗透很深,动辄伤骨削肉损失惨重.余岚在菜田里察看蔬菜瓜果の长势,途中又接了一个电筒.“...很多记者进了云岭村？谁叫来の？”她皱紧眉头,“怎么回事？我不是 叮嘱周叔去劝劝定康叔别太过分吗？”妹子回学校了,何玲也消停了,好不容易大家过着平静の日子,谁知那云岭村の前任居民不知抽什么风跑回来乱搞一通.好
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龙文教育学科导学案
教师:学生: 日期: 2012 年11 月25 日时段:
课题构造中位线巧解题
学情分析学生对中位线相关的辅助线的构造存在一些问题
学习目标与
通过中位线来构造辅助线解几何题是中考常见的考点之一
考点分析
学习重点构造中位线
学习难点构造中位线
学习方法举一反三、归纳整理
个性化辅导过程
三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。
它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。
但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。
本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。
一、知识回顾
1、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
2、梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
3、应用时注意的几个细节：
①定理的使用前提：三角形或梯形。
②定理使用时，满足的具体条件：
两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。
③定理的结论：
位置上：与第三边是平行的；与底是平行的（梯形）
大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半（梯形）。
在应用时，要灵活选择结论。
4、梯形的中位线：
中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L.
L=（a+b）÷2
已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．
S梯=2Lh÷2=Lh
中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。
二、什么情况下该用中位线
1、直接找线段的中点，应用中位线定理
例1、小峰身高1.70m ，眼睛距头顶8cm ，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过 cm
2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理
例2、如图3所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE 的长为 。
3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理
例3、如图5所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达？
总结：几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
三、中位线能带来什么
1、说明角相等
例1已知，如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，BA 、FE 的延长线相交于点M ，CD 、FE 的延长线相交于点N 。
试说明：∠AME ＝∠DNE 。
A
B F C
D
N M E
2、说明线段相等
例2 已知，如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 分别交AC 、BD 于点M 、N 。
试说明：OM ＝ON 。
例3：BD 、CE 分别是的△ABC 外角平分线，过A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别是F 、G ，易证FG=
2
1（AB+BC+AC ）。
（1）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系？画出图形（图1）并说明理由； （2）若BD 、CE 分别是△ABC 的内角和外角平分线，FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系？画出图形（图2）并说明理由．
3、说明面积相等
例3 已知，如图3，△ABC 的中线AD 、BE 交于点G 。
试说明：S △ABG ＝S
四边形CEGD。
4、说明线段垂直
例4 已知，如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＋BC ＝AB ，M 是CD 的中点试说明：AM ⊥BM 。
总结：三角形中位线辅助线常用口诀
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
D A
B
C
O
E F M
N
P
B A
C
E
D G
图4
B
C
M
N
A D
三、本次课后作业：
1、已知三角形的三边为6、8、10,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少？
变形题：已知三角形的三边为a、b、c,顺次连结各边中点，所得到的三角形的周长为多少？
2、已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE交于O点，OE=2
厘米。
求BO的长。
3、已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F。
若AB=14
厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长。
4、已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点。
求证：∠BFE=
∠EGD。
5、在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)。
求证：
∠DEF=∠HFE。
四、学生对于本次课的评价：
○特别满意○满意○一般○差
学生签字：
五、教师评定：
1、学生上次作业评价：○非常好○好○一般○需要优化
2、学生本次上课情况评价：○非常好○好○一般○需要优化
教师签字：
教导主任签字：___________
龙文教育教务处。