线性系统的状态反馈及极点配置
状态反馈极点配置基本理论与方法
第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a) FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
状态反馈极点配置基本理论与方法
状态反馈极点配置基本理论与方法IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+=由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3）矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4）特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。
7.4 状态反馈和极点配置
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统
x Ax Bu
假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地 配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。
该定理对多变量系统也成立。
证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
kn 1 ]
由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bcr
相应的特征方程为 sI Ac BcK 0
因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输 入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。
s
1
0
0
s
0
sI Ac BcK
◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 可控标准形，则P = I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线 性变换矩阵P=QW。
◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
（s 1（) s 2 ) （s n ) sn an1sn1 a1s a0
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。
◆最后得到状态反馈增益矩阵K为
K [ a0 a0 a1 a1
a n1
an1
]
P 1
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
0
1
0
0
x Ax Bu A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状
反馈控制与极点配置
例 考察下述能控能观的系统
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为 其闭环特征多项式为s2+h。
上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置。
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式f*(s)分别为
f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需 先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
证明过程的思路为:
•对状态不 完全能控开 环系统进行 能控分解
•对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
•其完全不 能控子系统 不能进行极
点配置
•与假设 矛盾,必
要性得 证
➢ 被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控
➢ 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
➢ 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。
➢ 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状置方法
极点配置算法1（维数较大） 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态 空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期 望的闭环系统特征多项式的系数。
状态反馈极点配置基本理论与方法
第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a)FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
线性系统状态反馈极点配置算法研究答辩稿
• • • •
•
2014-9-19
• （4）LMIs=getlmis：如果系统已经用lmivar和lmiterm进行 了完整描述，则返回这个LMI系统的内部描述LMIs。内部 描述LMIs能够直接传递到求解工具或者其它LMI-Lab函数中 去。 • （5）[，xfeas]=feasp（LMIs，options，target）：求解LMI 系统定义的线性矩阵不等式约束条件问题的可行解。 • （6）[copt，xopt]=mincx（LMIs，c，options，xinit， Target）：针对约束，极小化。 • （7）[，xopt]=gevp（LMIs，nlfc，options，，，target）： 求解广义特征值最小化问题。
2014-9-19
极点配置算法及仿真
• 控制系统设计的极点配置一般分为精确极点和区 域极点两种配置方式。精确极点配置是指将闭环 系统的极点精确的配置在指定的位置上，但是由 于模型的不确定性和各种扰动的存在，使得精确 极点配置的控制方式很难实现，因此人们转而重 点研究区域极点配置这种控制方式。 在本文中主 要用三种方法进行仿真： • 1.精确极点配置 • 2.具有稳定裕度的区域极点配置 • 3.具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计
主要技术指标：
设计系统满足以下要求： 调节时间：ts 4s 超调量： % 5%
设计内容
理论基础及数学准备
MATLAB概述 极点配置算法步骤及仿真结果
全文总结
状态反馈
•
对连续时间线性定常受控系统，状态反馈的构 成可用如图所示的方框图表示。 • 其中，状态x通过反馈矩阵K被回馈到系统输入 端，v为系统参考输入。 • 考虑到反馈矩阵K为常数阵而非动态系统，更确 切地应称这类状态反馈为静态状态反馈。
线性系统的状态反馈及极点配置
线性系统的状态反馈及极点配置1.前言随着现代控制理论的不断发展和成熟，线性系统的状态反馈控制在控制理论中得到了广泛的应用，并成为了控制领域中重要的一种控制方法。
状态反馈控制能够将系统的状态进行反馈，并利用反馈得到的信息对系统进行控制，从而达到使系统达到预期控制目标的目的。
本文将从状态反馈控制的原理和实现方法两方面介绍线性系统的状态反馈及极点配置。
2.状态反馈控制的原理状态反馈控制是建立在现代控制理论的基础上的一种高级控制方法。
状态反馈控制的基本思想是在系统中引入反馈环节，设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
因此，状态反馈控制要实现以下两个步骤：- 系统状态量的测量：首先要在系统中安装测量传感器，实时地测量系统状态量，使得状态量可以被反馈到控制器中。
- 反馈控制器的设计：设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，实现对系统的精确控制。
因此，状态反馈控制的基本原理就是将系统状态量反馈到控制器中，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
2.2 状态空间模型与状态反馈控制状态空间模型是状态反馈控制的基础。
状态空间模型是一种方便描述线性系统动态行为和控制器的模型。
对于线性时不变系统，我们可以用如下的状态变量描述：x(t) = [x1(t),x2(t),...,xn(t)]T其中，x(t) 是系统在时刻 t 的状态量，n 是状态量的数量，x1(t),x2(t),...,xn(t) 分别是系统的每个状态量。
状态空间模型可以用一组线性常微分方程描述：dx/dt = Ax + Bu其中，A 是系统的状态方程矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接耦合矩阵。
系统的状态反馈控制可以表示为：u(t) = -Kx(t)其中，K 是状态反馈矩阵。
将状态反馈控制引入到状态空间模型中，可以得到控制器的状态空间模型为：y = Cx上述控制器的状态空间模型就是一个闭环系统，通过反馈控制器将系统状态返回到系统，形成了一个反馈环。
反馈镇定与极点配置
... ... ...
0
0
0 ...
1
a0 k1 a1 k2 a2 k3 ... an1 kn
则闭环系统的特征多项式为
(s) det(sI A BK ) sn (an1 kn )sn1 (a1 k2 )s (a0 k1)
动态反馈
y
-
G(s)
u
K(s)
对象:
x
Ax
Bu
y Cx
控制器:
xk
Ak xk
Bk y
u Ck xk Dk y
动态反馈
闭环系统为
x
xk
A
BDk Bk C
C
BC Ak
k
x xk
控制器设计就是设计Ak、Bk、Ck、Dk使得
参考文献：
[1] R.H.Bishop. Adaptive concontrol moment gyros. IEEE Control Systems, October 1992, pp.23-27
[2] Rama K.Yedavalli. Robust control design for aerospace applications. IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, 25(3),1989,314-324
s2
k2 l
s
1 l
(k1
g)
0
可见只要
k2 0, k1 g 就能使系统稳定。
状态反馈与闭环极点配置极点配置条件
u B
x
x
y
∫
C
A
H
-
B
∫
C
实际系统基于准确模型，且
A
没有考虑扰动
代入 ye C xe
25
附1：存在扰动时的状态误差
u B
x
x
dy
∫
C
A
H
-
B
∫
C
A
代入 ye C xe d
存在扰动时，不能使状态误差→0
26
附2：存在模型失配时的状态误差
u B'
x
x
y
∫
C'
A'
H
-
B
∫
C
A
存在模型失配时，不能使状态误差→0
2
一、状态反馈与输出反馈
1. 状态反馈
u B -
x
xy
∫
C
A
闭环传函？状态
K
方程？
加入状态反馈后的系统结构图
3
综合的手段：改变 K 阵的参数 综合的目的：改变系统矩阵，从而改变系统的特性
注：状态反馈通常只用系数阵即可满足要求， 一般不需要采用动态环节
4
2. 输出反馈
u B -
x
xy
∫
35
闭环传递函数的不变性
闭环传递函数等同于直接状态反馈的情况； 观测器的引入不影响闭环传递函数
注：分离性原理和传函的不变性都基于精确模型 36
仿真例： 系统的状态空间表达式同前面例
（1）要求状态观测器的特征值为 （2）通过状态反馈将系统的闭环极点配置为
（3）仿真验证观测状态对实际状态的跟踪情况，
27
状态观测器的等价结构
第13讲 反馈与极点配置
➢ 状态反馈闭环系统的系统结构可如图5-1所示
vu
+
B
x'
+
-
+
A
x
y
C
开环系统
K
图5-1 状态反馈系统的结构图
状态反馈的描述式(2/3)
u=-Kx+v 状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下:
➢ 设开环系统状态空间模型和状态反馈律分别记为
x Ax Bu
y
Cx
u Kx v
其中K为rn维的实矩阵,称为状态反馈矩阵;v为r维的输入向 量,亦称为伺服输入。
❖ 该问题称为系统鲁棒性问题。
❖ 基于提高系统鲁棒性的控制综合方法也称为鲁 棒控制方法。
下面,本章将就这些系统综合的主要问题,如 ➢ 极点配置、 ➢ 镇定、 ➢ 解耦与 ➢ 观测器问题,
基于状态反馈理论作细致讨论。
概述(12/12)
5.1 状态反馈与输出反馈
状态反馈与输出反馈(1/3)
控制理论最基本的任务是,对给定的被控系统设计能满足所 期望的性能指标的闭环控制系统,即寻找反馈控制律。
➢ 状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈 策略,其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量以 构成反馈律,实现对系统的闭环控制,以达到期望的对系 统的性能指标要求。
➢ 在经典控制理论中,一般只考虑由系统的输出变量来构成 反馈律,即输出反馈。
➢ 在现代控制理论的状态空间分析方法中,多考虑采用状态 变量来构成反馈律,即状态反馈。
rank[I-A+BK B]=n
来判定,而
r[I -A BK
B] r [I -A
I B] K
0IBiblioteka r[I-A
极点配置
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的， 可任意配置极点。 下面用两种方法求解。
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多 项式，求特征值。
s | sI A | 0 1 s 3 6s 2 1 s 5 5s 1 0 1 s 6
a1 1 a1
a2 2 a2
an n an
求解上述方程组，得到 i 的 值，则 K KP 1 [ n n 1 1 ]P 1
1 [ an an a n a a a a a ] P 1 n 1 2 2 1 1
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统 Ax Bu x 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任 意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全 可控。 该定理对多变量系统也成立。 证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值
为
u1 , u2 ,, un
，则期望的特征方程为
n * n1 1 * *
( s 1 )(s 2 )( s n ) s a s a n1s a n 0
设
x 由于 u r Kx r KPx r K，此时该系统的状态方程为
式中ai为特征多项式的系数： sI A s n a1s n1 an1s an
x Px 定义一个新的状态向量 如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的）， 则矩阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 Ax Bu x Ac x Bcu 改写为 x
极点配置状态反馈控制器设计方法
极点配置状态反馈控制器设计方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊极点配置状态反馈控制器设计方法。
这玩意儿啊，就像是给一个系统装上了精准的导航仪，能让它乖乖地按照咱的想法走。
你看啊，一个系统就好比是一辆汽车，而极点配置状态反馈控制器就是那个掌握方向盘的司机。
咱得通过巧妙的设计，让这个司机能精准地操控汽车，该加速的时候加速，该转弯的时候转弯，不能有一点儿含糊。
设计这个控制器就像是搭积木，一块一块地拼凑起来。
咱得先了解系统的特性，就像了解汽车的性能一样。
然后呢，根据这些特性来选择合适的参数，这可不能马虎，得仔细琢磨。
比如说，要是参数没选好，那可就糟糕啦！就像司机开车老是开歪一样，系统也会变得不稳定，那可不行！咱得让系统稳稳当当的，该干啥干啥。
这其中的学问可大着呢！就好像做菜一样，各种调料得搭配得恰到好处，才能做出美味的菜肴。
极点配置状态反馈控制器的设计也是如此，每个环节都得精心处理。
而且哦，这个设计方法可不是一成不变的。
不同的系统就像不同口味的人，得用不同的方法去对待。
有时候得灵活一点，不能太死板啦。
想想看，如果所有系统都用一种方法去设计控制器，那多无趣啊！就像所有人都穿一样的衣服，那还有啥意思呢？咱得根据实际情况来调整，找到最适合的方案。
在实际应用中，这可真是帮了大忙啦！它能让那些复杂的系统乖乖听话，按照我们的要求运行。
这多厉害呀！难道不是吗？
所以啊，极点配置状态反馈控制器设计方法可真是个宝贝！咱可得好好研究，好好利用。
让它为我们的各种系统服务，让它们变得更智能、更高效。
怎么样，是不是觉得很有意思呢？别犹豫啦，赶紧去试试吧！。
基于状态反馈的线性系统D稳定极点配置仿真研究
ｌ ｆ ｚ ） ＝ ２ ａ ＋ ｚ ＋ ｚ 。 对于反馈 系统 ，我们希望寻求一个状态反馈控 制 （ ｆ ） ＝ 一 ＾ （ （ ２ ） 将 闭环系统 的极点配 置在 区域 Ｄ 内 ，由引理 ２不难得 出如下推论 ： 定理 １反馈系统在状态反馈控制下 ，其 闭环 系统所有极 点在复平 面区域 内，若存 在正定对称 矩阵 Ｘ ＞ ０ 及任意矩 阵 Ｑ，当且仅当如下 Ｌ ＭＩ 成立
， ｎ ㈨２ （ ｚ ） ＝ ｄ ｉ ａ ｇ Ｏ Ｃ ａ １ （ ｚ ） ， ２ ） 。 进一 步讲 ，任意有 限个 Ｌ ＭＩ 区域 的交集仍 为 Ｌ ＭＩ 区域 。 因此 ，关 于实 轴对称的任一 凸区域都可 以用一个 Ｌ ＭＩ 区域来 近似 。 定义 ２矩阵 Ａ称 为 Ｄ 一稳定 的 ，当且 仅当 Ａ的特征 Ｕ为 Ｐ维 状态 向量 ； Ａ和 为相应维数 的常数 阵。 保 证 状 态 响 应 具 有 稳 定 裕 度 ａ的 左 半 平 面 Ｄ ＝ ｛ ｚ∈ Ｃ ： Ｒ （ Ｚ ） ≤一 ａ ， ａ ＞ ０ ｝ 是 一个 Ｌ Ｍ Ｉ 区域 ，其特 征 函数为
２ ａ Ｐ － ＋ （ ． ４ － Ｂ Ｋ ） Ｐ － ＋ Ｐ‘ ’ 一 Ｂ ｌ ０
（ ４ ）
（ ５）
Ｄ＝ ｔ ｚ ∈ Ｃ： ｆ ｏ （ ｚ ） ＝ Ｒ ｌ ｌ ＋ Ｒ ｌ ２ ｚ ＋ ｌ ＋ Ｒ ２ ２ ＜ ０ （ １ ）
其 中 ，Ｒ． ． ， ： 是 对称 矩 阵 ，Ｒ ： ＝ Ｌ Ｌ 是 半正 定矩 阵 ，ｚ 是 ｚ的共轭 复数 。当 Ｌ ＝ ０时 ，则 区域 Ｄ称 为一个 Ｌ Ｍ Ｉ区域 ， 这些 Ｌ Ｍ Ｉ 区域 都可以用一个线性矩 阵不等式来刻 画。Ｄ区域 是关 于实轴 对称 的 区域 ，厂 力 （ ｚ ） ＝Ｒｌ 十Ｒ １ ２ ｚ ＋ ＋Ｒ ２ ２ 称 为 区域 Ｄ的特 征 函数 。通常 ，特征 函数 ． 厂 Ｄ （ ｚ ） 是 Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｅ矩 阵 ， ， Ｄ ＜ Ｏ 表示矩 阵 （ ｚ ） 是负定 的。 许 多常 见的 区域 ，例 如圆盘 ，半平 面 ，椭 圆形 ，扇形 ， 抛物形等 区域均是 Ｌ ＭＩ 区域 。 引 理 １对 于 任 意 两 个 给 定 的 Ｌ ＭＩ区 域 ｎ 和 Ｑ ， 其 交 集 ｎ。ｎ ｎ 仍为Ｌ ＭＩ 区 域 ，其 特 征 函 数 为
线性系统极点配置问题
线性系统极点配置问题张颖(控制学院 检测技术与自动化装置 2009010191)摘要： 极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。
机点配置实质上是对经典控制理论综合方法的一个直接推广。
本文针对单输入连续时间线性时不变受控系统，基于状态反馈类型控制，系统讨论极点配置问题的综合理论和综合算法。
1. 问题的提出：状态反馈的极点配置问题状态反馈的极点配置问题：就是对给定的受控系统，确定状态反馈律u=-Kx+v, v 为参考输入即确定一个 的状态反馈增益矩阵K ，使所导出的状态反馈闭环系统的极点为{ }，也就是成立 解决上述极点配置问题，需要解决两个问题： 1）建立可配置条件问题，即利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件。
2）建立相应的算法，即用以确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。
2.问题的解决： 〈一〉准备知识1. 循环矩阵定义：如果系统矩阵A 的特征多项式等同于其最小多项式，则称为循环矩阵。
2. 循环矩阵特性：1）A 为循环矩阵，当且仅当它的约当规范形中相应于每一个不同的特征值仅有一个特征块。
2）如果A 的所有特征值为两两相异，则对应于每一个特征值必仅有一个约当块，因此A 必定是循环的。
3）若A 为循环矩阵，则其循环性是指：必存在一个向量 b ，使向量组可张成一个 n 维空间，也即{A ，b}为能控。
4）若{A ，B}为能控，且A 为循环，则对几乎任意的实向量 p,单输入矩阵对 {A ，Bp}为能控。
5) 若A 不是循环的，但{A ，B}为能控，则对几乎任意的常阵K ，A-BK为循环。
〈二〉 极点可配置条件线性定常系统 可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充分必要条件，是此系统为完全能控。
证：必要性：已知可配置极点，欲证{A ，B}为能控。
n p ⨯BuBK A +-=x x )( **2*1,,,nλλλ n i BK A i i ,,2,1,)(* ==-λλBu A +=x x利用反证法，假设{A ，B}不完全能控，则必可分解为：上式表明，状态反馈不能改变系统不能控部分的特征值，因此不可能任意地配置极点，与已知前提矛盾，故假设不成立。
自动控制原理学生实验：线性系统的状态反馈及极点配置
实验报告线性系统的状态反馈及极点配置一．实验要求了解和掌握状态反馈的原理，观察和分析极点配置后系统的阶跃响应曲线。
二．实验内容及步骤1．观察极点配置前系统极点配置前系统的模拟电路见图3-3-64所示。
图3-3-64 极点配置前系统的模拟电路实验步骤：注：‘S ST’不能用“短路套”短接！（1）将信号发生器（B1）中的阶跃输出0/+5V作为系统的信号输入r(t)。
（2）构造模拟电路：按图3-3-64安置短路套及测孔联线，表如下。
（3）虚拟示波器（B3）的联接：示波器输入端CH1接到A3单元输出端OUT（Uo）。
注：CH1选‘X1’档。
（4）运行、观察、记录：将信号发生器（B1）Y输出，施加于被测系统的输入端rt，按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮时（0→+5V阶跃），观察Y从0V阶跃+5V时被测系统的时域特性。
等待一个完整的波形出来后，点击停止，然后移动游标测量其调节时间ts。
实验图像：由图得ts=3.880s 2.观察极点配置后系统 极点的计算：受控系统如图所示，若受控系统完全可控，则通过状态反馈可以任意配置极点。
受控系统设期望性能指标为：超调量M P ≤5%；峰值时间t P ≤0.5秒。
由1095.01t 707.0%5eM n n 2n p 1/p 2=≥⇒≤-==⇒≤=--ωωζωπζζζπ取因此,根据性能指标确定系统希望极点为：⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=07.707.707.707.7*2*1j j λλ受控系统的状态方程和输出方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-----⋅-xC y b x A x μ式中][01,10,020120,21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=----C b A x x x系统的传递函数为：202020a S a S βS β)(2012010++=+++=S S S G受控制系统的可控规范形为：[][]020T C C b T b a a T A T A X T X X C Y U b X A X K K i o K K KK k K K K ===⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-===⎩⎨⎧=+=---10111,1020120010T ββ为变换阵），（式中当引入状态反馈阵K K =[K 0K 1]后,闭环系统()K K K K K C b K b A ,,-的传递函数为：()()()01201120120)20(20)(K S K S K a S K a S S S G o ++++=+++++=ββ而希望的闭环系统特征多项为：1001.14))(()(2*2*1**12*++=--=++=S S S S a S a S S f oλλ 令G K (S)的分母等于F #(S),则得到K K 为：[][]9.58010-==K K K k最后确定原受控系统的状态反馈阵K ：由于 1-=T K K k求得和===---111,T C b T b T A T A K k K求得 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-1102011T所以状态反馈阵为： [][]9.59.91102019.580-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=K极点配置系统如图所示：极点配置后系统根据极点配置后系统设计的模拟电路见下图所示。
第六章线性系统状态反馈_new
第五章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计闭环系统性能与闭环极点（特征值）密切相关，经典控制理论用输出反馈或引入校正装置的方法来配置极点，以改善系统性能。
而现代控制理论由于采用了状态空间来描述系统，除了利用输出反馈以外，主要利用状态反馈来配置极点。
采用状态反馈不但可以实现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现系统解耦和形成最优控制规律。
然而系统的状态变量在工程实际中并不都是可测量的，于是提出了根据已知的输入和输出来估计系统状态的问题，即状态观测器的设计。
§5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置一、状态反馈1、状态反馈的概念状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的输入。
设SISO 系统的状态空间表达式为：bu Ax x+= cx y =状态反馈矩阵为k ，则状态反馈系统动态方程为：()()x A x b v k x A b k x b v=+-=-+cx y =式中：k 为n ⨯1矩阵，即[]11-=n o k k k k ，称为状态反馈增益矩阵。
)(bk A -称为闭环系统矩阵。
闭环特征多项式为)(bk A I --λ。
可见，引入状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，c b 、阵均无变化。
【例5.1.1】已知系统如下，试画出状态反馈系统结构图。
u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100200110010 ， []x y 004= 解：[]x k k k v kx v u21-=-=其中[]21k k k k=称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-==1333222142x y u x x x x xx x说 明：如果系统为r 维输入、m 维输出的MIMO 系统，则反馈增益矩阵k 是一个m r ⨯维矩阵。
即mr rm r r m m k k k k k k k k k k ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2122221112112、状态反馈增益矩阵k 的计算控制系统的品质很大程度上取决于该系统的极点在s 平面上的位置。
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现代控制理论实验（一）线性系统的状态反馈及极点配置——09级自动化本科一．实验目的1．了解和掌握状态反馈及极点配置的原理。
2．了解和掌握利用矩阵法及传递函数法计算状态反馈及极点配置的原理与方法。
3．掌握在被控系统中如何进行状态反馈及极点配置，构建一个性能满足指标要求的新系统的方法。
二．实验原理及说明一个控制系统的性能是否满足要求，要通过解的特征来评价，也就是说，当传递函数是有理函数时，它的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点及传递函数。
因此若被控系统完全能控，则可以通过状态反馈任意配置极点，使被控系统达到期望的时域性能指标。
若有被控系统如图3-3-61所示，它是一个Ⅰ型二阶闭环系统。
图3-3-61 被控系统如图3-3-61所示的被控系统的传递函数为：12021S 11)1(1)(a S a S b T TS T TS S T S i i i ++=++=++=φ （3-3-51） 采用零极点表达式为：))(()(210λλφ--=S S b S （3-3-52）进行状态反馈后，如图3-3-62所示，图中“输入增益阵”L 是用来满足静态要求。
图3-3-62 状态反馈后被控系统设状态反馈后零极点表达式为：))(()(21**--=λλφS S b S （3-3-53）1．矩阵法计算状态反馈及极点配置1）被控系统被控系统状态系统变量图见图3-3-63。
图3-3-63 被控系统状态系统变量状态反馈后的被控系统状态系统变量图见图3-3-64。
图3-3-64 状态反馈后的被控系统状态系统变量图图3-3-61的被控系统的状态方程和输出方程为：状态方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=••1i 1i 2211X Y u T 1X T 1X X T 1X T 1X （3-3-54）⎪⎩⎪⎨⎧=+==•∑CxY u Ax X B C B A 0），，（式中[]01,T 10B 0T 1T 1T 1A ,i i 21=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C x x x ， 被控系统的特征多项式和传递函数分别为：12010a a b S b )(+++=S S S φB A)C(SI 1--=）（A -SI det a a )(f 0120=++=S S S 可通过如下变换（设P 为能控标准型变换矩阵）： —x P X =将∑0C B A ），，（化为能控标准型 ），，（————C B A ∑，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=•——————x C Y u x A B X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-101a -a 10AP P A — ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-10B P B 1— ， []10b b CP C ==— 2）被控系统针对能控标准型），，（————C B A ∑引入状态反馈：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=—————式中10k k k xk u ν （3-3-55）可求得对—x 的闭环系统），，—————C B k B A (-∑的状态空间表达式： 仍为能控标准型，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=•————————）（x C Y u x B k B A X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-）（）（—————1100k a k a 10k B A则闭环系统），，（——————C B k B A -∑的特征多项式和传递函数分别为： ）（）（—————00112k k a k a k)B (A SI det )(f ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=S S S )k a (k a b S b B )k B A (SI C )(00112011k ———————）（+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-S S S φ3）被控系统如图3-3-61所示：其中：05.01==T T i则其被控系统的状态方程和输出方程为：[]XY uX X 0110012020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=期望性能指标为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。
2nn 22n ωS 2ξS ω)(++=ωφS 由1075.0146.0456.0%2021/2=≥⇒≤-===⇒≤=--n n n p p t eM ωωζωπζζζζπ取取可写出期望特征多项式：））（*****=++=++=210122-S (-S a a 1002.9)(P λλS S S S S 因此，根据性能指标确定系统期望极点为：⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=jj 88.86.488.86.4*2*1λλ 令)(P )(f k S S *=，可解出能控标准型），，（————C B A ∑，使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为： [][].81080a a a a k k k 110010-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=**———将—x P X =代入式3-3-55 ： kx x P k x k u 1-=-=-=-ννν———则原被控系统∑0C B A ），，（即对应于状态X ，引入状态反馈使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为： 1P k K -=—[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1200200112001200011aAB B P 1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=*-110201202020-01P P 120020P 11- [][].81014.8110201.81080P k k K 110-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-——“增益阵”L 是用来满足静态要求,可取L=5，设计如图3-3-68所示的极点配置后系统的模拟电路。
2．传递函数法计算状态反馈量对于Ⅰ型二阶闭环系统还可以用传递函数方法简便地进行状态反馈，以达到期望性能指标。
1）被控系统如图3-3-61所示的Ⅰ型二阶闭环系统的传递函数为：12021S 11)1(1)(a S a S b T TS T TS S T S i i i ++=++=++=φ （3-3-56） 2）状态反馈后的被控系统状态反馈后系统见图3-3-65。
图3-3-65 状态反馈后系统结构图根据图3-3-65列出状态反馈后的被控系统的传递函数为：1i i 1i 1K T 1T /K 1T /1)(G -=-=S S S S ，,1T 1)(G 2+=S S注：G(S)1是一个带正反馈的闭环系统，G(S)2是一个惯性环节。
TT K K T T T K T S 1/TiTK )1TS )(K (T 1K )(G )(G 1)(G )(G )(i 12i 1i 221i 22121-+-+=++-=+=S S S S S S S φ （3-3-57） 与式（3-3-56）比对可知：TT K K TT TK T i 120i 1i 1-=-=a a1200i 0K K T T 1-==a b （3-3-58）显而言之，状态反馈后的被控系统的闭环增益降低了（K2-K1）倍，为了满足静态要求，须增加“增益阵”L ： 12K K -=L （3-3-59）根据式（3-3-58）和（3-3-59）求出K1、 K2和L ，设计状态反馈后系统的模拟电路。
3）被控系统如图3-3-61所示：其中：05.01==T T i系统传递函数为：1)1(1)(++=TS S T S i φ若期望性能指标校正为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。
由1075.0146.0%2021/2=≥⇒≤-==⇒≤=--n n n p p t eM ωωζωπζζζπ取可写出期望特征多项式：1002.91002)(2222++=++=S S S S S n n n ωξωωφ按图3-3-65进行状态反馈。
代入式（3-3-57）、（3-3-58）和（3-3-59）求出： 58.158.1021===L K K可设计如图3-3-68所示的状态反馈后系统的模拟电路。
三．实验内容及步骤1． 观察状态反馈前系统状态反馈前系统的模拟电路见图3-3-66所示。
图3-3-66 状态反馈前系统的模拟电路2．观察状态反馈后系统根据如图3-3-66所示的被控系统，若期望性能指标校正为：超调量M P≤20%，峰值时间t P≤0.5秒，设计状态反馈后系统的模拟电路见图3-3-68所示。
经计算要求反馈系数K1=10.9 = R1/R3，R1=200K，则R3=18.3K；反馈系数K2=-5.9=R1/R2，R1=200K，则R2=33.9K。
图3-3-68 状态反馈后系统的模拟电路四. 实验结果实验被控系统为Ⅰ型二阶闭环系统，状态反馈前的系统的阶跃响应曲线状态反馈后的系统的阶跃响应曲线系统传递函数为：期望性能指标校正为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。
由可写出期望特征多项式：所以反馈系数： K1=10.9 K2=-5.9要求反馈系数K1=-10.8 = R1/R2，R1=200K ，则R2=33.9K ；反馈系数K2=15.8=R1/R3，R1=200K ，则R3=18.3K从示波器上可以观察到的曲线(Mp ＜20%，tp=0.36S)。
很明显，经过状态反馈后，系统的超调和峰值时间满足期望性能指标。
1)1(1)(++=TS S T S i φ1075.0146.0%2021/2=≥⇒≤-==⇒≤=--n n n p p t e M ωωζωπζζζπ取1002.91002)(2222++=++=S S S S S n n n ωξωωφ。