高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习题六的答案

 P( X 1  X 2  0.7)  P(0.7  X1  X 2  0.7)

0.7 X 1  X 2 0.7 7 2  P(   )  2( )  1 9 9 9 9 10 2 10 2 10 2
 2(1.10)  1 2  0.8643  1  0.7286

 1  (0.82)  1  0.7939  0.2061

6.20 设总体X~N(40,52) (1)抽取容量为36的样本,求样本均值 X 在38~43之间的概率. 2 2  5 解 (1) X N (  , )  X N (40, 2 ) n 6

38  40 X  40 43  40   )  P(38  X  43) P( 5 5 5 6 6 6

,n X1  X 2 N (0, 2)  2
X1  X 2

N (0,1)

X X X
2 3 2 4

2 5

t (3)

6 d  2

6.19 设总体X服从正态分布N(10,32) X1,X2,…,X6是它的
6 1 一组样本, X   X i (1)写出 X 服从的分布. 6 i 1

解 (1) X

X X
2 1

2 2

 (2)
2

∴c=1

6.13 设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(0,1)的样本

(2)试确定常数d,使得d 出它的自由度.
解(2)

X1  X 2
2 4

X X X
2 3

2 5

服从t分布,并指

Xi

N (0,1), i  1, 2,

 X1  X 2
t 

X1  X 2 2 3 2 2 2  X3  X4  X5 2 3
6.1 为研究某信息台1~3月份从晚上19点到晚上22点每分 钟内接到人工服务的呼叫次数,今从1~3月份的全部记录中 随机抽取200个记录进行研究,问该研究项目的总体是什么? 个体是什么?样本是什么? 解 该研究项目的总体是全部记录. 该研究项目的个体是每个记录. 该研究项目的样本是随机抽取的200个记录.



 P{X1  x1}P{ X 2  x2}
i 1

P{X 50  x50 }
i 1

xi xi   C100 p xi (1  p)100 xi   C100 p50 x (1  p)500050 x

1 其中x   X i 50 i 1

50

6.3 某射手进行射击训练,已知他击中目标的概率为p,每 一轮击中目标就停止.设第i轮射击的次数记为Xi , 求样本 X1,X2,…,Xn的联合分布.



2

2 ( X   )  i i 1

n



Xi

N (, ), i  1, 2,
2

,n



Xi  



N (0,1)

 2

 2 (n)

6.13 设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(0,1)的样本 2 2 2 (1)试确定常数c,使得c( X1  X 2 )服从  分布,并指出它 的自由度. 解 (1) X i N (0,1), i  1, 2, , n

1 n 其中x   X i n i 1

6.5 测得一组样本的观测值 23.5， 24.2，25.0，22.8，23.4，24.3，23.8，24.2，23.5，23.3 求样本均值,样本方差,样本标准差以及样本的二阶中心矩.
n 1 解 样本均值 x  xi  23.8  n i 1

n 1 2 样本方差 s 2  ( x  x )  0.4  i n  1 i 1

样本标准差 s 

s 
2

1 n 2 ( xi  x )  0.63  n  1 i 1

1 n 二阶中心矩 b2   ( xi  x)2  0.36 n i 1

6.12 设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样

本,μ,σ2是已知常数,证明:统计量
2

2 

1

服从自由度为n的  分布. 2 2 n n n ( Xi  ) 1 Xi     2 2   解   2  ( Xi  )   2  i 1    i 1  i 1

N ( ,

2
n

) X

9 N (10, ) 6

即X

3 N (10, ) 2

6.19 设总体X服从正态分布N(10,32) X1,X2,…,X6是它的

1 6 一组样本, X   X i (2)求概率 P( X  11) 6 i 1
解 (2)
X 3 N (10, ) 2

X  10 11  10 2  )  1  ( )  P( X  11)  P( 3 3 3 2 2

 (3.6)  (2.4) (3.6)  [1  (2.4)]  (3.6)  [1  (2.4)] 0.9998409  [1  0.9918]
 0.9916409

6.20 设总体X~N(40,52) (2)抽取容量为64的样本,求 X  40  1的概率. 2 2 5  解 (2) X N (  , ) X N (40, 2 ) n 8

 P( X  40  1)  P(1  X  40  1)

1 X  40 1 n  P(   )  2( )  1 0.95 5 5 5 5 n n n

n n ( )  0.975, 查表得  1.96  n  96.04 5 5 故抽取样本容量n至少为97时,才能使概率 P( X  40  1)
达到0.95.

6.21 设总体X~N(20,32),抽取容量n1=40及n2=50的两组样 本,求两组样本均值之差的绝对值小于0.7的概率. 2 2 3 3 解 第一组均值 X1 N (20, ), 第二组均值 X 2 N (20, ), 40 50 81  X 1  X 2 N (0, ), 200

解 P( X i  xi )  (1  p)

xi 1

p, i  1, 2,

,n

p ( x1, x2 ,
n

xn )  P{X1  x1, X 2  x2 ,
P{X n  xn }

, X n  xn }

 P{X1  x1}P{ X 2  x2}
i 1

  (1  p) xi 1 p  pn (1  p)nxn

6.2 包装某产品,每箱100个,各箱的次品率都是p.现在随 机抽取50箱进行检查,第i箱的次品数记为Xi , 求样本X1,X2,…,X50的联合分布律.

解 Xi

B(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0, p)

p ( x1 , x2 ,
50

x50 )  P{X1  x1, X 2  x2 ,
50

, X 50  x50 }

 P( X  40  1)  P(1  X  40  1)

1 X  40 1  P(   )  2(1.6) 1 5 5 5 8 8 8
 2  0.9452  1 0.8904

6.20 设总体X~N(40,52) (3)抽取样本容量n为多大时,才能使概率 P( X  40  1) 2 达到0.95? 2 5   X N (40, ) 解(3) X N (  , ) 2 ( n) n