2019最新大一上高数习题课化学

dt t2 1

1 2 ln 3
(t
1 1
t
1 )dt 1

1
ln t
2(ln 3 ln 2) t
1 1

C
2
1
3x 2x

ln
C.
2(ln 3 ln 2) 3x 2x
例2
求

e
x (1 sin x 1 cos x
)
dx.
e x (1 2 sin x cos x )
令u tan x 2
sin
x

1
2u u2
x 2arctan u
cos
x

1 1

u2 u2
2 dx 1 u2 du

R(sin
x,
cos
x
)dx

R
1
2u u2
,
1 1

u2 u2

1
2 u
2
du
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
解 原式
2 2dx 2 cos2 x
2


x 2 cos2
xdx


tan
xdx 2
2

x
tan
x 2


tan
xdx 2


tan
xdx 2
x tan x C. 2
例10
求
f ( x) f 2 ( x) f ( x)
[

f ( x)
f 3 ( x) ]dx.
解
原式
6、第二类换元法
定理 设 x (t )是单调的、可导的函数，并 且 (t ) 0 ，又设 f [ (t )] (t ) 具有原函数，
则有换元公式
f ( x)dx f [ (t)] (t)dt t ( x ) 第二类换元公式
其中 ( x)是x (t)的反函数.

1
x2 x2
]dx
1 arctan x[(`1 x2 )ln(1 x2 ) x2 3] 2
x ln(1 x2 ) x C.
2
2
例7
求
dx
x(2

x 10
. )
解
原式
x9dx 1 x10 (2 x10 ) 10
d ( x10 ) x10 (2 x10 )
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C
ln a
(14) shxdx chx C
(15) ch xdx shx C
(16) tan xdx 2 dx

1 a
arctan
x a

1 dx arcsin x C
a2 x2
a
1
dx
x2 a2
ln( x x 2 a 2 ) C
4、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
5、第一类换元法
定理 1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
解 原式
2 2 dx 2 cos 2 x
2
(e x 1 e x tan x)dx
2 cos 2 x
2
2
[(e xd(tan x) tan x de x ]
2
2


d(e
x
tan
x 2
)
e x tan x C . 2
例3 求
ln( x 1 x2 ) 5 dx.
3
例4 求 x 1 dx.
x2 x2 1
解 令x 1 ,
t
(倒代换)
1
原式
1
1 t (1)2

( 1
1 t2
)dt

1 t dt
1 t2
t2 t
1 dt d(1 t 2 ) arcsin t
1 t2
2 1 t2
1 t2 C

C
(21)

x2
1
a 2 dx

1 2a
ln
x x

a a

C
(22)

a2
1
x 2 dx

1 2a
ln
a a

x x

C
(17) cot xdx lnsin x C
(23)
(18) sec xdx ln(sec x tan x) C
(24)
(19) csc xdx ln(csc x cot x) C
令 t x 1, x1
则有
dt

(
x
2 1)2
dx,
原式
dx
1
4
t 3dt
3 ( x 1)4 ( x 1)2 2
x1


3
1
t3

C
3 3
x 1 C.
2
2 x1
例9
求

x 1
sin cos
x x
dx.
xx
x 2 sin cos
d dx

f
( x)dx
f
(x)
d[ f (x)dx] f (x)dx
F( x)dx F( x) C dF( x) F( x) C
(3) 不定积分的性质
10 [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx 20 kf ( x)dx k f ( x)dx （k 是常数，k 0)
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
1、原函数
定义 如果在区间I 内，可导函数F ( x) 的导函数为 f ( x) ， 即 x I ， 都 有 F ( x) f ( x) 或 dF ( x) f ( x)dx ，那么函数F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx 在区间I 内原函数. 原函数存在定理 如果函数 f ( x) 在区间I 内连续，那 么在区间I 内存在可导函数F ( x) ，使x I ，都有 F ( x) f ( x).
3、基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数) (7) sin xdx cos x C
(2)

x dx

x 1
1

C
( 1) (8)
dx cos2
x


sec2
xdx

tan
x

C
(3)

dx x

ln
x

C
(9)
dx sin2
x

csc2
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间I 内，函数 f ( x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f ( x) 在区间I 内的不定积分，记
为 f ( x)dx ．
f ( x)dx F ( x) C
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
1 x2
解 [ln( x 1 x2 ) 5]

1
(1 2x ) 1 ,
x 1 x2
2 1 x2
1 x2
原式 ln( x 1 x2 ) 5 d[ln( x 1 x2 ) 5]
2[ln( x
3
1 x2 ) 5]2 C .
xdx

cot
x
C
(4)
1
1 x
2
dx

arctan x C
(10) sec x tan xdx sec x C
(5)

1
1
dx x2

arcsin
x

C
(11) csc x cot xdx csc x C
(6) cos xdx sin x C
解决方法：作代换去掉根号．
令t n ax b;
令t n ax b; cx e
二、典型例题
例1
求
2x3x 9x 4x dx.
解
原式
(3)x
2 ( 3)2 x

dx 1

1 ln 3
2
2
d(3)x 2
令(3)x t 2
1
(3)2x 1 2
ln 3 2
1 [ln x10 ln( x10 2)] C 20
1 ln x 1 ln( x10 2) C .
2
20
例8 求
dx
.
3 ( x 1)2 ( x 1)4
解 3 ( x 1)2 ( x 1)4 3 ( x 1)4 ( x 1)2 . x1