2016-2017学年湖北省孝感市七校教学联盟高一上学期期末数学试卷和解析(文科)

2016-2017学年湖北省孝感市七校教学联盟高一（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请在答题卡上填涂相应选项.1．（5.00分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={0，2}，集合B={2，3}，则（∁A）∪B=（）UA．{3}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}2．（5.00分）已知角α的终边经过点（4，﹣3），则sinα=（）A．B．C．﹣ D．﹣3．（5.00分）sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．4．（5.00分）若，则cosα的值为（）A．B．C．D．5．（5.00分）函数y=sin2x是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数6．（5.00分）幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式为（）A．y=x﹣1B．C．y=x2 D．y=x37．（5.00分）已知函数f（x）是定义在[0，+∞）上的增函数，则满足不等式f （2x﹣1）＜f（）的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．[，）C．（，+∞）D．[，）8．（5.00分）为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5.00分）方程log2x+x=0的解所在的区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．[1，2]10．（5.00分）已知，则=（）A．2 B．C．1 D．11．（5.00分）已知函数一个周期的图象如图所示，则φ的值为（）A．B．C．D．12．（5.00分）已知a=cos61°•cos127°+cos29°•cos37°，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＜c＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.13．（5.00分）若，则f[f（1）]=．14．（5.00分）弧长为3π，圆心角为π的扇形的面积为．15．（5.00分）定义在R上的函数f（x）是周期为π的偶函数，且时，，则=．16．（5.00分）函数f（x）=ax2﹣2x+1，若y=f（x）在区间[﹣，]上有零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知角α为第四象限角，且（1）求sinα+cosα的值； （2）求的值．18．（12.00分）已知．（1）求sinx 的值； （2）求的值．19．（12.00分）某同学用“五点法”画函数在区间[﹣，]上的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，并在给出的直角坐标系中，画出f （x ）在区间[﹣，]上的图象；（2）利用函数的图象，直接写出函数f （x ）的单调递增区间．20．（12.00分）已经集合A={x |（8x ﹣1）（x ﹣1）≤0}；集合C={x |a ＜x ＜2a +5} （1）若，求实数t 的取值集合B ；（2）在（1）的条件下，若（A ∪B ）⊆C ，求实数a 的取值范围．21．（12.00分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当时，恒有f（x）＞0，求实数a的取值范围．22．（12.00分）某园林公司准备绿化一块半径为200米，圆心角为的扇形空地（如图的扇形OPQ区域），扇形的内接矩形ABCD为一水池，其余的地方种花，若∠COP=α，矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）试将S表示为关于α的函数，求出该函数的表达式；（2）角α取何值时，水池的面积S最大，并求出这个最大面积．2016-2017学年湖北省孝感市七校教学联盟高一（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请在答题卡上填涂相应选项.1．（5.00分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={0，2}，集合B={2，3}，则（∁A）∪B=（）UA．{3}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={0，2}，集合B={2，3}，则∁U A={1，3}，所以（∁U A）∪B={1，2，3}．故选：C．2．（5.00分）已知角α的终边经过点（4，﹣3），则sinα=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：因为角α的终边经过点（4，﹣3），所以r=由任意角的三角函数定义得，sinα=﹣，故选：C．3．（5.00分）sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，故选：B．4．（5.00分）若，则cosα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=．故选：A．5．（5.00分）函数y=sin2x是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数【解答】解：∵ω=2，∴函数的周期T=．∵f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x，∴函数y=sin2x为奇函数，故函数y=sin2x是周期为π的奇函数，故选：A．6．（5.00分）幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式为（）A．y=x﹣1B．C．y=x2 D．y=x3【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α为常数），∵幂函数f（x）的图象过点（2，），∴2α=，即2α=，解得α=，∴y=f（x）==．故选：B．7．（5.00分）已知函数f（x）是定义在[0，+∞）上的增函数，则满足不等式f （2x﹣1）＜f（）的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．[，）C．（，+∞）D．[，）【解答】解：函数f（x）是定义在[0，+∞）上的增函数，∵f（2x﹣1）＜f（），∴，解得：．故选：D．8．（5.00分）为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：令y=f（x）=cos2x，则f（x+）=cos2（x+）=cos（2x+），∴为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=cos2x的图象向左平移个长度单位；故选：C．9．（5.00分）方程log2x+x=0的解所在的区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．[1，2]【解答】解：设函数f（x）=log2x+x，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则f（）=log2+=﹣1+=﹣＜0，f（1）=log21+1=1＞0，则f（）f（1）＜0，即函数f（x）零点所在的区间为（，1），则方程log2x+x=0的解所在的区间为（，1），故选：B．10．（5.00分）已知，则=（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：∵，∴=tan[（α+β）﹣（α+）]===1．故选：C．11．（5.00分）已知函数一个周期的图象如图所示，则φ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=，T=π，ω=2再根据图象过点（，1），可得sin（+φ）=1，结合|φ|＜，可得φ=．故选：C．12．（5.00分）已知a=cos61°•cos127°+cos29°•cos37°，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＜c＜b【解答】解：∵a=cos61°•cos127°+cos29°•cos37°=﹣cos61°•sin37°+sin61°•cos37°=sin （61°﹣37°）=sin24°，=sin26°，=sin25°，∴由y=sinx 在（0°，90°）单调递增，利用单位圆的知识可得：sin24°＜sin25°＜sin26°＜tan26°， ∴a ＜c ＜b ． 故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分. 13．（5.00分）若，则f [f （1）]= ﹣ ．【解答】解：∵，∴f （1）=1﹣2×1=﹣1， f [f （1）]=f （﹣1）==﹣sin=﹣．故答案为：﹣．14．（5.00分）弧长为3π，圆心角为π的扇形的面积为 6π ． 【解答】解：设扇形的半径是r ，根据题意，得：=3π， 解，得r=4． 则扇形面积是=6π．故答案为：6π．15．（5.00分）定义在R 上的函数f （x ）是周期为π的偶函数，且时，，则=．【解答】解：∵函数f （x ）是周期为π的偶函数，且时，， ∴=f （）=f （）=f （）=．故答案为：16．（5.00分）函数f（x）=ax2﹣2x+1，若y=f（x）在区间[﹣，]上有零点，则实数a的取值范围为（﹣∞，0] ．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=﹣2x+1，∴f（x）的零点为x=，符合题意；（2）当a≠0时，f（x）为二次函数，△=4﹣4a，①若△=0，则a=1，此时f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴f（x）的零点为x=1，不符合题意，②若△＞0，即a＜1，（i）若f（x）的零点为x=﹣，或x=，则f（﹣）=0，或f（）=0，∴，或，解得a=﹣8．（ii）若f（x）在（﹣，）上只有一个零点，则f（﹣）•f（）＜0，∴（）•＜0，解得﹣8＜a＜0．（iii）若f（x）在[﹣，]上有两个零点，则，或，即，或．解得a≥2（舍去），或a≤﹣8．综上，a的取值范围是（﹣∞，0]．故答案为（﹣∞，0]．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知角α为第四象限角，且（1）求sinα+cosα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）因为角α为第四象限角，且，∴，…（4分）则．…（5分）（2）原式=．…（10分）18．（12.00分）已知．（1）求sinx的值；（2）求的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为，所以，…（1分）于是…（3分）…（4分）=．…（6分）（2）因为．故．…（8分），．…（10分）所以中．…（12分）19．（12.00分）某同学用“五点法”画函数在区间[﹣，]上的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，并在给出的直角坐标系中，画出f （x ）在区间[﹣，]上的图象；（2）利用函数的图象，直接写出函数f （x ）的单调递增区间．【解答】解：（1）数据补全如下表：+1 +1故f （x ）在区间[﹣，]上的图象如图所示．（2）由函数的图象可得，函数f（x）的单调递增区间为．20．（12.00分）已经集合A={x|（8x﹣1）（x﹣1）≤0}；集合C={x|a＜x＜2a+5}（1）若，求实数t的取值集合B；（2）在（1）的条件下，若（A∪B）⊆C，求实数a的取值范围．【解答】解：由已知集合A={x|（8x﹣1）（x﹣1）≤0}={x|≤x≤1}…（2分）（1）若，即|≤（）t≤1，即2﹣3≤2﹣2t≤20…（4分）则﹣3≤﹣2t≤0，即0≤t≤，故集合B=[0，]…（6分）（2）在（1）的条件下，A∪B=[0，]…（8分）由（A∪B）⊆C，即[0，]⊆（a，2a+5），∴，…（11分）解得：﹣≤a≤0…（12分）21．（12.00分）已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当时，恒有f（x）＞0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）=…（4分）所以函数f（x）的最小正周期；…（6分）（2）∵，∴，∴，则，…（8分）∴函数f（x）在区间上的最小值为﹣1+a，…（9分）由f（x）＞0恒成立得，﹣1+a＞0，解得a＞1…（11分）∴实数a的取值范围为（1，+∞）…（12分）22．（12.00分）某园林公司准备绿化一块半径为200米，圆心角为的扇形空地（如图的扇形OPQ区域），扇形的内接矩形ABCD为一水池，其余的地方种花，若∠COP=α，矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）试将S表示为关于α的函数，求出该函数的表达式；（2）角α取何值时，水池的面积S最大，并求出这个最大面积．【解答】解：（1）在Rt△OBC中，OB=200cosα，BC=200sinα…（1分）在Rt△OAD中，，∴OA=DA=BC=200sinα…（2分）∴AB=OB﹣OA=200cosα﹣200sinα，…（4分）故S=AB•BC=（200cosα﹣200sinα）•200sinα=40000sinαcosα﹣40000sin2α=20000sin2α﹣20000（1﹣cos2α）=20000（sin2α+cos2α）﹣20000…（6分）=，…（8分）（2）由，得，所以当，即时，…（9分）S最大=…（11分）因此，当时，水池的面积S最大，最大面积为平方米…（12分）。