第9章 梁的平面弯曲

FQ M
内力的符号规定 内力 右截面正向 左截面正向 FQ M
微段变形（正）
顺时针错动
向上凹 4
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例3 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm， 求梁的内力。 q FAy F
M0
A 4m
B
C D E 2m 2m 4m
x
2) 截面法求内力 BC段: 4mx2<6m
FAy
0
q
x2 q x3 q x4
M
y
smax压 M
x
smax拉
适用范围：
横截面有对称轴的平面弯曲。 纯弯曲 横力弯曲 载荷作用在纵向对称面内； 平面弯曲的条件 梁的高跨比 h/L< 0.25； 变形平面假设的条件 19
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最大弯曲正应力:
y=ymax 时，s=s max ，故
y
smax压 M
Mymax M s max Iz Wz
变形后
中性轴
中性层(面)
13
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4. 变形几何关系
考虑梁AA-BB间的微段，oo 在中性层上，r为中性层的 曲率半径。截面坐标如图。
M
y
d
A a o A B a o B
r
M
距中性层为y的纵向纤维aa: 变形前： aa oo
变形后： aa r y d Dl aa aa r y d r d 应变： e
x
M
smax拉
Wz=I z /y max，是抗弯截面模量。(如表10-1或手册)
梁的弯曲强度条件：
M s max [s ] Wz
作用 抗力
若材料拉压性能不同，则
s max拉 [s 拉 ] s max压 [s 压 ]
处处均应满足强度条件。20
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例9.9 空心矩形截面梁的横截面尺寸H=120mm， B=60mm，h=80mm，b=30mm，若[s]=120MPa， 试校核梁的强度。 q=20kN/m 解：1）作Q、M图。 z h O 固定端弯矩最大， A L=1.2m M max=qL 2/2=14.4 kN.m b
10
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9.3 梁的应力与强度
讨论平面纯弯曲梁。 横截面上只有弯矩。
M
y M
z
s
x
弯矩分布在横截面上， 只能是正应力。
问题: 平面纯弯曲梁横截面上的正应力?
思路： 仍延研究变形体力学问题的主线。
变形的几何协调 (几何分析) 力与变形之关系 (物理关系) 力的平衡 (已熟悉)
11
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9.3.1 弯曲变形几何分析
4a a 4a
z
yc o C a
z
2) M>0时： 截面应力分布？
smax拉3.25aM/Iz smax压1.75aM/Iz
强度条件: M+[s]拉Iz/3.25a=4[s]拉Iz/13a
s max 压
C
y
1.75a 3.25a
24
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M
s max 拉
对于拉压力学性能（许用应力）不同的材料，应 讨论二 ：铸铁T形截面梁有 [s]压/[s]拉=2，试求其
12
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2. 弯曲的基本假设—平面假设 梁的横截面在弯曲变形后仍保持 为平面，且仍与梁的轴线垂直。
M
A
B
M
a
a
b B
b A
3. 推论：
有中性层存在
M
d
A a b A B a b B
M
若梁由纵向纤维组成，则其变形 是伸长或缩短。 凹部纤维aa 缩短，凸部bb纤维伸 长，总有一层纤维既不伸长又不 缩短，此层称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性 轴。
1/r=M/EIz 梁的曲率
M
y
smax压
x
smax拉
Iz--截面对z轴的惯性矩。
EI--截面抗弯刚度。
s s max 。
18
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结论： s=-My/Iz
中性轴上，s=0，截面上、下缘，
9.3.4 平面弯曲的最大正应力及强度条件
My 弯曲正应力公式： s Iz
按绝对值计算应力s 的大小，依 据弯曲后的拉压情况判断正负。
梁有纵向对称面，且载荷均作用在 纵向对称面内，变形后梁的轴线仍 在该平面内，称为平面弯曲。 3
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9.1 用截面法作梁的内力图
截面法求内力的步骤：
求约 束反 力 截取 研究 对象 受力图， 内力按正 向假设。 列平衡 方程 x y x
FQ 左上右下，FQ为正 M
求解内力，负号 表示与假设反向
左顺右逆，M为正
FE
FQ/kN
49 + 13 -
x
M/k128
+
A B C D
E x
注意：C、D处左右二侧M、FQ 之差等于该处的集中 力偶、集中力。
6
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例4 作图示外伸梁的 FQ、M图。
解：1.求支座反力 MA=2q+630-60-4FB=0 FB=35 kN Fy=2q+FA+FB-30=0 FA=-25 kN 2）画FQ、M图 从左起，计算控制点的 FQ、M值。 由微分关系判断线形。
q=10kN.m M=60kN.m 30kN
C FA A D
2m 1m 3m
FQ/kN 20
FB
B E
2m
30
o
M/kNm 20
5
x
15
o
45
60
7
x
3）检查图形是否封闭。
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小结：
1）承受弯曲作用的杆，称为梁。 2）平面弯曲：载荷均作用在梁的纵向对称面内。 3）梁的内力有剪力、弯矩。作内力图一般步骤：
2 h/2 2
3
dy y
z o b
dA z y
z y r
h
圆形截面：取微面积如图。 I r r 2dA y 2 + z 2 dA I z + I y
A A
由对称 性知：
I y Iz Ir / 2
pd
4
o
d
64
17
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分析结果汇总：
变形几何关系： e=-y/r 物理关系： s=Ee=-y/r 静力平衡条件： A ydA=0 中性轴z过截面形心
l
y
y
a z o
aa
r d
r
横截面上任一点处线应变e的大小与该点到 中心层的距离y成正比。 e y /r 14
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9.3.2 材料的物理关系
基于： 问题：
y
r ?
smax压
中性轴
• 纵向纤维受单向拉压； 中心轴位置 ？ • 材料拉压弹性常数相等。则
x
线弹性应力-应变关系： s=Ee=-Ey/r Hook 定理
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例9.10 矩形截面木梁的横截面高宽比h/b=3/2，已知 F=15kN，a=0.8m，[s]=10MPa。设计截面尺寸。 解：1. 求支反力： F A =FB=3F 2. 作FQ、M图。 M max =Fa=12 kN.m
a F a 2F a a 2F a F
2F
F
FA
a FB
F
x
3. 注意h/b=3/2，则： W z=bh 2 /6=3b 3/8
讨论矩形截面纯弯曲梁。 1. 弯曲变形实验现象
AA、BB仍保持直线，但相对 地转过一角度d。 aa 缩短，bb伸长，变为弧形， 但仍与AA、BB线正交。
M a
A b A
B
M
a
b B
M
d
A a b A B a b B
M
2. 弯曲的基本假设—平面假设
变形后
梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与 梁的轴线垂直。
5
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FAy
0
M0 M 3
B C c
FQ3
FAy
0
M0 F
B C Dc
剪力、弯矩图：
分段处的剪力弯矩值：
FAy
A
q
B 4m
M0
F
x
C D E 2m 2m 4m
x1=0: FQA=49；MA=0 x2=4: FQB=13；MB=124 x3=6: FQC=13；MC=102 x36: MC150 x4=8: FQD=-32；MD=128 x48: FQD13
b
b
h/b=2/3 h
M
O
s bmax
Wz=b3/6 强度条件：
b3 M max [s ] 6
W z=2b 3 /27
强度条件：
2b 3 M max [s ] 27
强度条件：
3 b 3 M max 8 [s ]
b=147 h=220.5mm
b==h=193mm
b=253 h=169mm
A
令： I z y 2 dA 则有：1/r=M/EIz Iz 为截面对z 轴的惯性矩，取决于截面几何。
A
16
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2 截面对z 轴的惯性矩 I z的计算： I z y dA A
矩形截面： 取微面积如图 dA=bdy
y
hb I z y dA y bdy 12 -h/2 A
轴向拉压
扭
转
弯 曲
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
2
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梁的分类
F
q
平面弯曲
简支梁 悬臂梁 梁的横截面
M
都有对称轴 外伸梁
纵向对称面
集中力，集中力偶，分布载荷