2016【考研数一】真题及解析

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)若反常积分1■干严收敛，则()(A )a <1 且b A1(B 冃 A 1 且b >1 (C )a c 1 且a + b >1 (D )a A I 且a + b >1 【解析】-be I X a (1+x) 1b dx 17a(1 + x)1乂 1 *1时X 严1 1 b[—X 在(p<1时收敛)，可知ac1，而此时(1+x)b 不影响 ^0 x p -be 1 -be同理，f --- ----- x=f - ^1 X a(1 + x)b 1 -——dx(1 )1+-j -p dx ( p >1时收敛)，而此时|2 f X —1 \ X 吒1(2)已知函数f (x )V * “ ，贝y f (X )的一个原函数是([In x,x>1广2广2|(x -1 2 ,x c 1 |(x -1) ,xv1(A )F (x )=r 丿 (B )F (x )=r 丿[x (lnx-1 )x 却 [x (ln x +1 )- 1,x>1广2广2|(x -1 ) ,X<1 |(X -1) ,x<1(C )F (x 尸r 八 (D )F (x )=r 八1x (1 n x+1 )+1,x >1 1x (1 n x-I ( X —1)2+C X£1【解析】由已知可得， F (X )斗' 1，取C , [x (In X T) + 5+1 X 3 1=0，故选D(3[若 y = (1 +x2 ) - J 1 +x 2, y = (1 + x 2 ) + J 1 +x 2 是微分方程 y + p x y q X 的两个解,q (x )=()2y ，+p (x )y = f (x )的解。

所以有 q (x ) = 3x ( 1 + x 2).[x,x <0 (4)已知函数f (X“ I — I n ' n+1(A ) A T与B T相似【答案】(C )(1) (P 'AP )T=B T =⑵(P^AP)4 ：二4(3)p 4(A +A 4)P=P ~*AP +P-*A "1P = B + B ，二 A + A~ ~ B +B "*,故( D )不选;此外，在(C )中，对于 P'(A+A T )P =P 'A P + P ，A TP ，若 P^AP t B ，则 P TA T(P T尸=B T,而P 亠A TP 未必等于B T，故(C )符合题意。

综上可知，(C )为正确选项。

2+ x 3 +4为屜+4xiX 3+4X 2X 3，贝y f (X i ,x 2,X 3)=2 在空间直角坐标下表示的二次曲面为()2(A )3x(1 +2X□"(仆)(兄 (D ) —X1 +【答案】(A ) 【解析】y i - y 2 = -2J 1 + X 2 是一阶微分方程y '+ p (x )y = 0的解，代入得 一2；^ +p (x )(-2J 1 + X 2) = 0，所以,根据解的性质得，也是21 <x<l, n=1,2,川，则(n(A ) x=0是f (x )的第一类间断点 (B )x=0是f(x )的第二类间断点(C ) f (x )在x=0处连续但不可导f (X )在X = 0处可导【答案】(D) 【解析】 X —0由于 f _!(0)=lim --- =1T x(5)设 A ，B 是可逆矩阵，且--0 lim =1，故选 1n A 与B 相似，则下列结论错误的是( ，珥 0)= (C ) A + A T与 B+B T相似(D ) A + A 」与B + B 」相似【解析】此题是找错误的选项。

由A 与B 相似可知，存在可逆矩阵P,使得P 」AP = B ,贝yP TA T(p T )-1=B T= A T~ B T,故(A )不选; = BT= P'A *P =Bd=A"1 ~ B"1，故(B )不选;-4(6)设二次型 f (x 1,x 2,x ^ = x 12+X 2(C )椭球面(D )柱面(A )单叶双曲面(B)双叶双曲面【答案】(B)【解析】对于二次型f (x1,X2,X3 ) = X12+X22+X32+ 4x1 屜+4x1X3+4X2X3，其矩阵为A =2 12接下来由k E-A=0，可得其特征值为打=5,兀2 =-1 (一正两负)，因此其正惯性指数和负惯性指数分别为1,2.f (X1,X2,X3 ) 的规范形为f = 2Z12 2 乙-Z22Z22z32 =1，对应的曲面为双叶双曲面。

(7)设随机变量X~N(y,cr23：>0 )，记p =p{x <P +cr2}，则( )(A) p随着卩的增加而增加(C) p随着卩的增加而减少【答案】(B)(B) P随着CT的增加而增加(D) P随着CT的增加而减少X _ U【解析】P{X < 4 +cr2} = P{ <cr}c所以概率随着CT的增大而增大。

(8)随机试验E有三种两两不相容的结果A I,A2,A，且三种结果发生的概率均为1-，将试验E独立重复3做2次, X表示2次试验中结果A发生的次数，丫表示2次试验中结果A发生的次数，则X与丫的相关系数为【解析】: )X CI B Q1), Y Q BQ1)3 32 4 2EX =EY = -,DX =DY =- ， EXY =1 1 P(X =1,Y = 1)= —所以P X^EX^E XEY二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.xf tin (1 +t sin t dt(9) lim P x T1 -COSX21【答案】12 【解析】x鸟x ln(1 + X sin x)1 2x3(10)向量场A(x,y,z)=(x +y+z )+xyj +zk的旋度rotA =【答案】(8.2,10.8)_ C —O'WU 0.025} =P{x-U 0.025 〒v u V X +下 U 0.025} =0.95v n v n【答案】(0,1, y -1 )【解析】由旋度公式得,rot (A 」空一竺兰』，竺』口0,1, y — 1} 'd y 点z &c x c x C ； J11、设函数f (u , v )可微, z=z ( X , y )有方程(x+1) z-y 2=x 2f (x-z , y )确定，则 dz 0,1【答案】-dx +2dy【解析】(X +1) X - y 2= X 2f (X-z, y )两边分别关于X , y 求导得z +(X +1)z X = 2xf (X —z, y ) + X 2 f/(x —乙 y )(1— z ；)(x+1) zy — 2y = x (f (X —z , y )(— z ) + f将 X = 0, y = 1, z = 1 代(12)设函数1【答案】12(13)行列式【答案】【解析】 (14)设 <2 X d yf (X )=arctanx -X---- 2，且 f''(0)=1，贝y a1 + ax+入3-1A 0-10 0 -1 Z +1+ 3A +4Z 00 4-1 0 3-12z-1 0-10 0=z 0z -1 +4 ( -1)4十 z -1 032Z +1A-1X 1, X 2，..., X n 为来自总体 X =9.5，参数卩的置信度为 0.95的双侧置信区间的置信上限为 10.8,则的置信度为0.95的双侧置信区间为【解析】P {-比.025 £宁石0 0 -1 Z +1 = A 4+几3+2A 2+3几+4.N (巴CT 2)的简单随机样本，样本均值因为x +号三U 0.025 =10.8，所以字U 0.025 =1.3,所以置信下限X-U 0.025字 =8.2. V n v n v n三、解答题：15— 23小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或rD =2(r,9 [2<r <2(1 + cos0),-ffxdxdy .D(16)(本题满分10分)设函数y(x)满足方程y "+2y '+ ky = 0,其中0ckc1. (I) 证明：反常积分J 0 y(x)dx 收敛；(II) 若 y(0) =1,y '(0) =1,求.0 y(x)dx 的值.【答案】(II )3k【解析】(1 )特征方程为r 2+2r+k=0 ,由0ckv1可知，特征方程有两个不相同的特征根， 「1厂兰严=T±Q k 且「1,2 <0，-<9 <-L 计算二重积分2 2J(15)(本题满分10分)已知平面区域fl- DJI 2 1JI -2『兀dT ,『卞"T^cos 日dr = Jicos 日一 r 32(1+COS 臨3 28 3=-F 兀(3cos 2日 +3COS 3日 +cos 49 d 8 3 S'远 旦 8 -=8 J 2兀cos 2O d Q +8 J 2兀cos 38d£ +- J ；cos 40d £~2 ~23~2jr cos2H +1 丑 8 —=8 F 兀 ------- d 日 +8 F 兀(1 —si n 2£ ds in 日+— f 2兀cos 3日 d si n ^ I 2 月2 /十8 sin0 si n 3日 —3 、3透 8 2^ +- f 2兀3sin 20 cos 2Sd 日32-0 =4兀+— 一2 f 2%sin 2TdQ3 -兀32由二阶常系数齐次线性方程的求解可知，y(x) = C i e rix+C 2er2x= 0怠｛C i e rix+C 2e r2X]j x=[先i e riXdx + ^^C 2e r2Xdx曇x me rix廿学应尹門 由于「1,2 V Ofy(x)dx = ——-"C 2极限存在，故收敛. r i r 2⑵ 由 y(x) =C i e riX+C 2e r2x, y(O) =1,y'(O) =1 可知,C i +C 2 =iiC i r i +C 2r 2 =i 解得 G = C 2 =- 1^2 = -i代入・0^y(x)dx =—学―学可知 J 「y(x)dx = ^^ (i7)(本题满分 io 分)设函数 f(x, y)满足凸(x ,y)=(2x + i)e 23,且 f (0, y) = y+i,L t 是从点(0,0)到 ex点(i,t)的光滑曲线，计算曲线积分l(t) = f gy) dx +D f(X ,y)dy ，并求I(t)的最小值Lt ex cy【答案】3 【解析】(i)由"x,y) =(2x +i)e2xJe x可知：f (X , y ) = J [(2 X + i )e2 x—y] dx=e —y[ J2xe 2xdx + Je 2x dx ]xe2x—y+ ® (y)又 f(o, y)二 y +i 可知 w (y) = y +i—y _=e Lxe2XI (y)因此f(x, y)=xe2x d +y+1空巴一xe27l(t) = [t(2x+1)e27dx+(1-xe27)dyP = (2x +1)e2x J Q =1 - xe'xj迟=-(2x +1)e23 色一e23 -2xe23cy &<5P cQ—因此，积分与路径无关cy exl(t) = L(2x+1)e27dx+(1-xe27)dy1 t=J0(2x+1)e2x dxS(1—e2j)dy =e2 +t +e2d-e2.,2 _L=t +eI '(t) =1 -e2丄有唯一驻点「(t) =e2丄因此t=2时I (t)有最小值2 _2I (2) =2+e =2+1=3(18)设有界区域C由平面2x + y+ 2z=2与三个坐标平面围成，为C整个表面的外侧，计算曲面积分I = JJ(x2+ldydz-2ydzdx+3zdxdyI1【答案】丄2【解析】2I =ff(x +1)dydz-2ydzdx+3zdxdyI2P = X2+1,Q =—2y,R=3z由高斯公式可知，I = UJ(2x-2 +3dxdydz=JJJ(2x +1 dxdydzQ1』=ffdxdy 0 2(2x+1)dzD xy、1 1 dx f 2y=[dx.0 产+x—xy—訂y1(19)(本题满分10分)已知函数f (X)可导，且f (0) = 1, 0 < f '(X)V—,设数列｛x n｝满足2x n + - f(^1 )(n = h 2…，证明:□c(I)级数S (Xn+ -X n)绝对收敛;n zi(II) lim x n存在，且0 c lim X n v2.n^^ n—【证明】Xn+ = f(Xn)X n+—X n = f (X n)-f (X n4) =f '(Od n — Xn4)1C- X n -X n21rj^XnJ -f(X n JoC送（X ^—X n ）绝对收敛;n ±3C送（X n 半-Xi ）的前n 项和记为s nn41<-X 2 <L1nJ —X n/ X 2 — X i显然,X2 — X1收敛因此, (2) 易知， S n =Xn 卅—Xi ，由第一问可知S n 极限存在，因此lim 焉=A 存在 n _^X n+ = f (X n ) = f(X n ) — f(0) +1二 f'(©Xn +1 ( *)1 . 1i)由已知 0 c f '(X)<2，易知 Xn H t = f 'G )X n +1 V^X =1不等式两边取极限，可知A <2A+1，即A<2 ；ii ）若A =0，则（*）矛盾；iii ）若 AcO ，则由（*）可知（1 —f'G ））A=1，而 Oc 「（x ）**，显然矛盾 综上，0cAc2（20）（本题满分11分）设矩阵A ="1-1-P'2 2、 2 a 1 ,B =1a .-1 1a丿「aT-2>当a 为何值时，方程 AX =B 无解、有唯一解、有无穷多解?【答案】a =-2时，无解；a=1时，有无穷多解， X = -k 1-1k 131—k 2 —1 ； aH —2 且 aH1 时，有唯 k2」当a 为何值时，方程 AX =B 无解、有唯一解、有无穷多解?(I )求 A996)满足B 2=BA ，记B 100=(p 1, P 2,P 3)将杠卫2卫3分别表示为a 1严2,叫的 (II )设3阶矩阵B =(□,%, 线性组合。