宁夏固原市五原中学补习部2021届高三上学期期中考试数学(文)试题

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2021年高三上学期期中统考数学(文)试题含答案

2021年高三上学期期中统考数学（文）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.第Ⅰ卷选择题（共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若，则＝A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为A. B. C. D.4.函数的图像为5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是A.①②B.①④C.②③D.③④6.若数列的前项和，则数列的通项公式A. B. C. D.7.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.8.已知，满足约束条件，若的最小值为，则A. B. C. D.9.在中,角的对边分别为,且.则A．B．C．D．10.函数是上的奇函数，,则的解集是A . B. C. D.11.定义在上的偶函数满足且，则的值为A. B. C. D.12.设函数，若实数满足则A． B．C． D．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.已知一元二次不等式的解集为,则的解集为. （）14. ．15.设正数满足, 则当 ______时, 取得最小值.16.在中，，，，则．三、解答题：本大题共6小题，共74分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）已知,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)设,若,求的值.18.(本小题满分12分）已知函数和的图象关于轴对称，且.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)当时，解不等式.19. (本小题满分12分）设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.(Ⅰ) 若，求数列的通项公式；(Ⅱ) 记,，且成等比数列,证明:().20.(本小题满分12分）如图,游客在景点处下山至处有两条路径.一条是从沿直道步行到,另一条是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直道步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,索道长为,经测量,,.(Ⅰ) 求山路的长;(Ⅱ) 假设乙先到，为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?21．（本小题满分12分）新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.（Ⅰ）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.（Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型： C B A①；②试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.22．(本小题满分14分)设函数(Ⅰ)当时，求函数的最大值；(Ⅱ)令（），其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，时，方程有唯一实数解，求的值．xx11文倾向数学参考答案及评分标准一、二、13. 14. 15. 16.三、17解: (Ⅰ)∵∴又∵,……3分 ∴ , ………………5分∴.…………………6分(Ⅱ)∵a 2b (2cos 2cos ,2sin 2sin )(2,0)αβαβ+=++= ∴即 …………………8分两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ……10分∵且 ∴ …………………12分18.解：(Ⅰ)设函数图象上任意一点，由已知点关于轴对称点一定在函数图象上…………………2分代入，得 …………………4分（Ⅱ）由整理得不等式为等价……………………6分当，不等式为，解为………………7分当，整理为,解为……………………9分当，不等式整理为解为.……………………11分综上所述，当，解集为；当，解集为；当，解集为.…………12分19解(Ⅰ)因为是等差数列，由性质知，…………2分所以是方程的两个实数根，解得，………4分∴或即或.……………6分(Ⅱ)证明:由题意知∴∴ …………7分∵成等比数列，∴ ∴ …………8分∴ ∴ ∵ ∴ ∴…10分∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边= 右边=∴左边=右边∴()成立. ……………12分20解: (Ⅰ) ∵,∴∴, …………………2分∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π …………4分根据得所以山路的长为米. …………………6分(Ⅱ)由正弦定理得() …………8分甲共用时间：，乙索道所用时间：，设乙的步行速度为，由题意得，………10分整理得∴为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在内. …………………12分21．解：（Ⅰ）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立………3分（Ⅱ）①对于函数模型：当时，是增函数，则显然恒成立 ……4分而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而，∴不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． ……7分②对于函数模型：当时，是增函数，则．∴恒成立． ………8分设，则．当时，()24lg 12lg 1lg 10555e e e g x x --'=-≤=<，所以在上是减函数， ……10分从而．∴，即，∴恒成立．故该函数模型符合公司要求． ……12分22.解：(Ⅰ)依题意，的定义域为，当时，，……………………2分由，得，解得;由，得，解得或.，在单调递增，在单调递减；所以的极大值为，此即为最大值……………………4分(Ⅱ)，则有在上有解， ∴≥， ………6分所以当时，取得最小值……………8分(Ⅲ)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，……9分设，则，，所以由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减， . ……………11分若有唯一实数解，则必有11111()ln 011111m g e m m m m m e-=+=⇒=⇒=+---- 所以当时，方程有唯一实数解. ………14分38104 94D8 铘31576 7B58 筘27026 6992 榒•[22646 5876 塶z25325 62ED 拭27919 6D0F 洏237742 936E 鍮24070 5E06 帆33277 81FD 臽h+。

2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案

2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是（）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为（） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是（）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为（） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。

宁夏固原市五原中学补习部2021届高三数学上学期期中试题理无答案.doc

宁夏固原市五原中学补习部2021届高三数学上学期期中试题理（无答案）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合}{2-==x y y M ，}1{-==x y y P ，那么=P M （ C ）A ．),1(+∞B ．),1[+∞C ．),0(+∞D ．),0[+∞2．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( B ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 3．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ C ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=-C.1sin()26y x π=-D.sin(2)6y x π=-4．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( A ) A.－1B.－2e －3C.5e －3D.15．高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是( B )6．若a >b ，则( D ) A.ln(a －b )>0 B.3a <3bC. |a |>|bD.|a 3－b 3>07．设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b 则( B )A ．0<<+ab b aB ．0<+<b a abC ．ab b a <<+0D ．b a ab +<<08．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()1e exx f x =-.若不等式()()242f t f m mt->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( A ) A.(),2-∞- B ．()2,0- C ．()(),02,-∞+∞ D ．()(),22,-∞-+∞9．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( D ) A.a <0，b <0，c <0 B.a <0，b ≥0，c >0 C.2－a<2cD.2a ＋2c<210．若函数)12()2()(2+++-=m mx x m x f 的两个零点分别在区间(-1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是( C ) A ．(21-，41) B ．(41-，21) C ．(41，21) D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2141， 11．函数f (x )＝sin xln （x ＋2）的图象可能是( A )12.已知函数y ＝f(x)在R 上可导且f(0)＝2，其导函数f'(x)满足()()2f x f x x '-->0，对于函数g(x)＝()x f x e，下列结论错误．．的是( D ) A.函数g(x)在(2，＋∞)上为单调递增函数 B.x ＝2是函数g(x)的极小值点 C.函数g(x)至多有两个零点 D.x ≤0时，不等式f(x)≤2e x 恒成立二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．已知2'()2(2)f x x xf =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 . 610x y ++= 14.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎰=e dx x f 0)(____34____15.奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=_____2______.16.定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间b][，a 上存在)(00b x a x <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是b][，a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点。

2021年高三上学期中段考试数学(文)试题含答案

2021年高三上学期中段考试数学（文）试题含答案选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．的值为 ( ) A ．B ．C ．D ．2．设全集(){}{},30,1,U R A x x x B x x ==+<=<-集合集合则右图中阴影部分表示的集合为（） A. B. C. D.3. 条件P ：x <-1，条件Q ：x <-2，则P 是Q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.．在复平面内为坐标原点, 复数与分别对应向量和,则=（） A. B. C. D.5. 函数的定义域是（） A ．（，） B ．(，） C ．(，1） D ．(，）6.. 已知函数，且，则的值是（） A. B. C. D.7.奇函数满足，且当时，，则的值为（）A. 8B.C.D.8．当时，下列大小关系正确的是( )A. B. D. D.9．客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程与时间之间关系的图象中，正确的是（）10．观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）A.76B.80C.86D.92二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、c且，，，则 .12．执行如右图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为13．已知满足约束条件，则的最大值是14.已知是内任意一点，连结，，并延长交对边于，，，则，这是平面几何中的一个命题，运用类比猜想，对于空间四面体中,若四面体内任意点存在什么类似的命题三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）已知向量，（1）求向量与向量的夹角；（2）若向量满足：①；②，求向量.16．（本题满分13分）已知：函数，为实常数．(1) 求的最小正周期；(2)在上最大值为3，求的值.17．（本小题满分13分）如图6，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：，，，，，DC=CE=1（百米）. （1）求 CDE的面积；（2）求A，B之间的距离.18.（本小题满分14分）已知函数，曲线在点处的切线为:，且时,有极值.（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.19.（本小题满分14分）（1）已知是公差为的等差数列，是与的等比中项，求该数列前10项和；（2）若数列满足，，试求的值.20．（本小题满分14分）已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．五校联考xx学年高三第一学期期中考试文科数学试题答题卡一、选择题（每题5分,共40分）二．填空题（每题5分，共30分）11._____________________ 12.____________________ 13._____________________ 14.____________________三．解答题（共80分）15.解：(1)(2)(2)17.解：(1) (2)(2)19.解：（1）（2）（2）一．选择题（每题5分,共50分）三．解答题（共80分）16.解： .............2分.............4分.............6分（2）由（1）得且由可得 .............8分.............10分则 .............11分.............13分18.解：切线的斜率，，将代入切线方程可得切点坐标，根据题意可联立得方程解得（2）由（1）可得，令，得或.极值点不属于区间,舍去.分别将代入函数得.19.解:(1)设数列的首项为,公差为,则.根据题意,可知道,即(解得(2)解法一:由,经化简可得...........2分...........4分...........6分...........7分...........8分...........9分...........10分...........11分...........12分...........13分...........14分...........1分...........3分...........4分...........6分...........7分...........9分数列是首项为,公差为的等差数列..解法二:分别把代入可得:,,,,, 因此,猜想. . 20解: 若，，显然在上没有零点，所以 ...2分令得当时，恰有一个零点在上； ...5分当即时，也恰有一个零点在上；...8分当在上有两个零点时，则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩ ..12分解得或 ..13分因此的取值范围是或； ..14分...........10分 ...........13分 ...........14分 ...........10分 ...........13分 ...........14分_; 20779 512B 儫31773 7C1D 簝 38555 969B 際39894 9BD6 鯖b F"236684 8F4C 轌o。

宁夏2021年高三上学期数学期中考试试卷(II)卷

宁夏2021年高三上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）(2017·江苏模拟) 已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM=________．2. （1分） (2017高二上·泰州开学考) 函数的定义域为________．3. （1分） (2020高一下·金华期末) 若是角终边上一点，则 ________；________.4. （1分） (2020高一下·吉林月考) 对于，有如下命题：①若，则为等腰三角形；② ，则为直角三角形；③若，则为钝角三角形，其中正确命题的序号是________.5. （1分）已知=（a，﹣2），=（1，2﹣a），且∥，则a=________6. （1分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S12=21，则a2+a5+a8+a11________7. （1分）(2017·四川模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．8. （1分） (2016高三上·新疆期中) “直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y+1=0平行”的充要条件是“a=________”．9. （1分） (2017高一下·乾安期末) 已知向量，，且，则m=________．10. （1分）(2020·泰州模拟) 若函数只有一个零点，则实数a的取值范围为________.11. （1分） (2015高三上·巴彦期中) 已知△AB C的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边上任意一点，则的最大值为________12. （1分） (2018高二下·雅安期中) 某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产________（千台）．13. （1分）已知数列{an}满足a1=1，an+1•an=2n（n∈N*），则S2012=________14. （1分） (2020高二上·东莞开学考) 已知在中，，，，，，则的值为________.二、解答题 (共6题；共13分)15. （2分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的取值范围．16. （2分） (2018高一上·牡丹江期中) 已知命题p：，命题q:|2a-1|<3．（1）若命题p是真命题，求实数a的取值范围；（2）若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围。

宁夏2021版高三上学期期中数学试卷(文科)(I)卷

宁夏2021版高三上学期期中数学试卷（文科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017高二下·景德镇期末) 已知集合A={x|y=ln（x﹣1）}，B={x|﹣1＜x＜2}，则（∁RA）∩B=（）A . （﹣1，1）B . （﹣1，2）C . （﹣1，1]D . （1，2）2. （2分） (2019高一上·湖北月考) 下列四个函数中，在上为增函数的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高二上·湛江期末) 已知命题，，则是（）．A . ，B . ，C . ，D . ，4. （2分） (2017高二下·正定期末) 已知是等比数列，，，则公比等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·武城期中) 已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ= ，那么sin2θ等于（）A .B . -C .D . -6. （2分） (2016高三上·洛宁期中) m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A . 若m∥α，m∥β，则α∥βB . 若m∥α，α∥β，则m∥βC . 若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD . 若m⊂α，α⊥β，则m⊥β7. （2分） (2016高二上·大庆期中) 设双曲线的离心率e=2，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2 ，则点P（x1 ， x2）满足（）A . 必在圆x2+y2=2内B . 必在圆x2+y2=2外C . 必在圆x2+y2=2上D . 以上三种情形都有可能8. （2分） (2019高一上·株洲月考) 已知在长方体中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点到截面的距离是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2016高一上·鼓楼期中) 计算27 的结果是________．10. （1分） (2017高二下·红桥期末) 如果函数f（x）=sin（）（ω＞0）的最小正周期为，则ω的值为________．11. （1分）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是________12. （1分） (2018高二上·南京月考) 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是________.13. （1分） (2019高二下·哈尔滨期末) 给出下列4个命题：①若函数在上有零点，则一定有；②函数既不是奇函数又不是偶函数；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④若函数满足条件，则的最小值为 .其中正确命题的序号是：________.（写出所有正确命题的序号）14. （1分） (2016高二下·新疆期中) 函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则 + 的最小值为________．15. （1分） (2016高一下·漳州期末) 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014 ，下列五个命题：①d＞0；②S4029＞0；③S4030＜0；④数列{Sn}中的最大项为S2015；⑤|a2015|＞|a2016|．其中正确结论的序号是________．（写出所有正结论的序号）三、解答题 (共5题；共40分)16. （5分）已知||=4，||=3，，的夹角θ为60°，求：（1）（+2）•（2﹣）的值；（2）|2﹣|的值．17. （5分） (2019高一下·宁波期中) 已知等差数列的公差，前项和 .（I）求的首项；（II）求数列的前项和 .18. （15分） (2020高一下·宝坻月考) 如图所示，已知平面，M，N分别是，的中点， .（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，，求直线与平面所成的角.19. （10分） (2019高二上·荔湾期末) 已知抛物线经过点．（1）求的标准方程和焦点坐标；（2）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长．20. （5分）如图，已知点A（11，0），函数y=的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A 的左侧，设|PH|=t，△APH的面积为f（t）（1）求函数f（t）的解析式及t的取值范围．（2）若a∈（0，2），求函数f（t）在（0，a]上的最大值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共40分) 16-1、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、。

宁夏2021版高三上学期期中数学试卷(I)卷

宁夏 2021 版高三上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、填空题 (共 14 题；共 18 分)1. （1 分） (2019 高一上·上海月考) 满足的集合 M 的个数是________个.2. （1 分） (2016 高二上·上海期中) 已知 x∈R，命题“若 2＜x＜5，则 x2﹣7x+10＜0”的否命题是________．3. （2 分）设 α 是第二象限角，P（x，4）为其终边上一点，且 cosα= ，则 x=________ ，tanα=________4. （1 分） (2019 高三上·海淀月考) 已知函数数在 ________处取得极值.的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函5. （1 分） (2016 高一上·南城期中) 用二分法求方程 x3+4=6x2 的一个近似解时，已经将一根锁定在区间（0， 1）内，则下一步可断定该根所在的区间为________．6. （1 分）若函数 f（x）= 7. （1 分）对于函数， g（x）=f（x）+ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数 a=________ 的图象：①关于直线对称；②关于点对称；③可看作是把 y=sin2x 的图象向左平移个单位而得到；④可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到．以上叙述正确的序号是________第 1 页共 14 页8. （2 分） (2019 高一下·宁波期末) ，则 B=________，中，角的对边分别为的面积 S=________.，已知9. （1 分） (2019 高二下·上海期末) 已知平行六面体，，则的长为________中，，，，10. （1 分） (2019 高三上·浙江月考) 已知非零向量，满足，，，则对任意实数，的最小值为________．11. （1 分） (2016 高二上·长春期中) 函数 f（x）=﹣ x3+x2+4x+5 的极大值为________．12. （1 分） (2016 高一下·成都期中) 已知数列 1，a1 ， a2 ， 9 是等差数列，数列 1，b1 ， b2 ， b3 ，9 是等比数列，则的值为________．13. （2 分） (2019·浙江模拟) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn ．若 S2＝6，an+1＝3Sn+2，n∈N* ，则 a2＝ ________，S5＝________．14. （2 分） (2017·诸暨模拟) 已知函数 f（x）=x3﹣3x，函数 f（x）的图象在 x=0 处的切线方程是________；函数 f（x）在区间[0，2]内的值域是________．二、解答题 (共 6 题；共 50 分)15. （5 分） (2018 高一下·伊通期末) 在平面直角坐标系中，已知向量，，.(Ⅰ)若，求的值；(Ⅱ)若的夹角为，求的值.16. （10 分） (2019 高二上·大庆月考) 已知：实数满足数满足．（1）若，且，均正确，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．第 2 页共 14 页，其中；：实17. （10 分） (2019 高一下·益阳月考) 已知函数．（1）求函数的单调增区间；（2）若锐角的三个角满足，求的取值范围．18. （10 分） (2019 高三上·常州月考) 如图是一个半径为 2 千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图是半径上一点，是圆弧上一点，且.现在线段，线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每千米为元，线段及圆弧处每千米均为元．设弧度，广告位出租的总收入为元．（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问：为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值． 19. （5 分）已知函数 f（x）=（x2+ax+a）ex（a≤2，x∈R）（1）若 a=1，求 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）是否存在实数 a，使得 f（x）的极大值为 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由． 20. （10 分） (2017 高三下·赣州期中) 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，已知 a2=7，a3 为整数，且 Sn 的最大值为 S5 ．（1）求{an}的通项公式；（2）设 bn= ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn ．第 3 页共 14 页一、填空题 (共 14 题；共 18 分)答案：1-1、考点：参考答案解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：第 4 页共 14 页解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：第 5 页共 14 页解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：第 6 页共 14 页解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：第 7 页共 14 页解析：答案：11-1、考点：解析：第 8 页共 14 页答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：第 9 页共 14 页二、解答题 (共 6 题；共 50 分)答案：15-1、考点：解析：第 10 页共 14 页答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。

【精准解析】宁夏固原市五原中学补习部2021届高三上学期期中考试数学(理)试卷

宁夏固原市五原中学2021届高三中期考试试题数学(理)试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}2M yy x -==∣，{P yy ==∣，那么M P ⋂=（）A. (1,)+∞B. [1,)+∞C. (0,)+∞D. [0,)+∞【答案】C 【解析】【分析】计算集合M 和P ，再计算交集得到答案.【详解】{}210M y y y y x ⎧⎫===>⎨⎬⎩⎭，{{}0P yy y y ===≥∣，故(0,)M P =+∞.故选：C.2. 设()ln 2f x x x =+-，则函数()f x 的零点所在的区间为（） A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】B 【解析】【分析】根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论. 【详解】()ln 2f x x x =+-在(0,)+∞单调递增，且(1)10,(2)ln20f f =-<=>，根据零点存在性定理，得()f x 存在唯一的零点在区间(1,2)上. 故选：B【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题.3. 将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（） A. 1sin2y x = B. 1sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【详解】将函数y=sin(x －3π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(12x －3π)，再向左平移3π个单位得到的解析式为y=sin(12（x+3π）－3π)= y=sin(12x－6π)，故选C 4. 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）． A. 1- B. 32e -- C. 35e - D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'，因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e-=--，故()()212x f x x x e--'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减，所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．5. 高为H 、满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数()v f h =的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数的自变量为水深h ，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.【详解】根据题意知，函数的自变量为水深h ，函数值为鱼缸中水的体积，所以当0h =时，体积0v =，所以函数图像过原点，故排除A 、C ；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6. 若a b >，则（） A. n 0()l a b ->B. ||||a b >C. 33a b <D.330a b ->【答案】D 【解析】【分析】根据题目条件，针对各选项分别进行讨论,从而求出答案.【详解】A. 因为a b >，所以0a b ->，当01a b <-<时，ln()0-<a b ，故A 错误； B 若12a b =>=-，所以||||a b <，故B 错误； C. 因为a b >，所以33a b >，故C 错误；D. 因为a b >，所以33a b ≠，所以330a b ->，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的性质，根据题目条件化简得出结论，当然也可以使用特殊值的方法，本题属于常考题.7. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A. 0a b ab +<< B. 0ab a b <+< C. 0a b ab +<< D. 0ab a b <<+【答案】B 【解析】【详解】分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果．详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<<又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()1e e xxf x =-.若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (,-∞B. ()C. ()(),02,-∞+∞D. ((),2,-∞+∞【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的奇函数，并结合当0x ≥时，()1e exx f x =-，可得()f x 的解析式，进而判断其单调性，可将不等式转化为2420mt t m ++<对任意t ∈R 恒成立，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】由题意知，0x <时，0x ->，则()1e e xxf x ---=-，因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()11e e e e xxxx f x f x --⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭，所以当x ∈R 时，()1e e xxf x =-. 因为函数1xy e =为R 上的减函数，所以1e x y =-为R 上的增函数，故()1e e xx f x =-为R 上的增函数，由()()242f t f m mt->+，可得242t m mt ->+，即2420mt t m ++<对任意t ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为40t <，显然不符合题意，所以0m ≠，可得21680m m <⎧⎨∆=-<⎩，解得m <故选：A.【点睛】本题考查奇函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.9. 已知函数()|21|,x f x a b c =-<<且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，一定成立的是（）A. 0,0,0a b c <<<B. 0,0,0a b c <≥>C. 22a c -<D. 222a c +<【答案】D【解析】【分析】根据题意可画出函数图像，由图像可知要使得a b c <<，且()()()f a f c f b >>，则有()|21|12a a f a =-=-，()|21|21c c f c =-=-，由()()f a f c >，从而得到答案.【详解】作出函数()|21|xf x =-的图象，如图，a b c <<且()()()f a f c f b >>，结合图象知，0()1,0,0f a a c <<<>， 021a ∴<<()|21|12a a f a ∴=-=-()1,01f c c ∴<∴<<022,()|21|21c c c f c ∴<<∴=-=-，又()()f a f c >1221a c ∴->-，222a c ∴+<，故选：D .【点睛】本题考查指数型函数的单调性；函数图像的应用.10. 若函数2()(2)(21)f x m x mx m =-+++的两个零点分别在区间()1,0-和区间()1,2内，则m 的取值范围是（） A. 11,24⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 11,42⎛⎫-⎪⎝⎭ C. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在定理进行列不等式方程组，进而求解即可【详解】函数2()(2)(21)f x m x mx m =-+++的两个零点，根据题意有，(1)(0)0(1)(2)0f f f f -⋅<⎧⎨⋅<⎩，解得1142m << 故选：C 11. 函数()()sin ln 2xf x x =+的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】考查函数()y f x =的定义域、在()1,0-上的函数值符号，可得出正确选项.【详解】对于函数()y f x =，2021x x +>⎧⎨+≠⎩，解得2x >-且1x ≠-，该函数的定义域为()()2,11,---+∞，排除B 、D 选项.当10x -<<时，sin 0x <，122x <+<，则()ln 20x +>，此时，()()sin 0ln 2xf x x =<+，故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数值符号进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12. 已知函数()y f x =在R 上可导且()02f =，其导函数()f x '满足()()02f x f x x '>--，对于函数()()xf xg x e =，下列结论错误．．的是（）. A. 函数()g x 在()2,+∞上为单调递增函数 B. 2x =是函数()g x 的极小值点 C. 0x ≤时，不等式()2xf x e ≤恒成立D. 函数()g x 至多有两个零点【答案】C 【解析】【分析】由()()02f x f x x '>--，利用导数求出函数()g x 的单调区间以及函数的极值，根据单调性、极值判断每个选项，从而可得结论．【详解】()()xf xg x e =，则()()()xf x f xg x e '-'=，2x >时，()()0f x f x '->，故()y g x =在(2,)+∞递增，A 正确；2x <时，()()0f x f x '-<，故()y g x =在(,2)-∞递减，故2x =是函数()y g x =的极小值点，故B 正确；若g （2）0<，则()y g x =有2个零点，若g （2）0=，则函数()y g x =有1个零点，若g （2）0>，则函数()y g x =没有零点，故D 正确；由()y g x =在(,2)-∞递减，则()y g x =在(,0)-∞递减，由0(0)(0)2f g e==，得0x 时，()(0)g x g ，故()2xf x e，故()2x f x e ≥，故C 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点问题，考查了构造函数法的应用，是一道综合题．二､填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.)13. 已知2()2(2)f x x xf '=+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为________. 【答案】610x y ++= 【解析】【分析】求出导函数()22(2)f x x f ''=+，令2x =，求出()2f '，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出()1f 以及()1f '，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.【详解】由2()2(2)f x x xf '=+，则()22(2)f x x f ''=+，当2x =时，(2)42(2)f f ''=+，解得()24f '=-，所以2()8f x x x =-，()28f x x '=-，即()17f =-，(1)2186f '=⨯-=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：()761y x +=--，即为610x y ++=. 故答案为：610x y ++=【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.14. 已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.【答案】43【解析】因为()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，所以()e 1e231e 0101114|ln |33f x dx x dx dx x x x =+=+=⎰⎰⎰ 15. 奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，当01x <≤时，2()log (4)f x x a =+，若1522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()a f a +=__________. 【答案】2 【解析】【分析】根据题中条件，先得到函数的周期，再由21511log (2)2222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求出a ，进而可求出结果.【详解】由于函数()y f x =为奇函数，且(1)(1)(1)f x f x f x +=-=--，即(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的奇函数，21511log (2)2222f f fa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2a =. (2)(2)(2)f f f =-=-，(2)0f ∴=.因此，()2(2)2a f a f +=+=. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，属于常考题型.16. 定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足f (x 0)＝()()f b f a b a--，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．【答案】(0,2) 【解析】【分析】设x 0为均值点，由已知可得：关于x 0的方程(1)(1)1(1)f f ----＝f (x 0)有实数根，整理求得：x 0＝1或x 0＝m －1，结合题意列不等式可得：－1＜m －1＜1，问题得解. 【详解】因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以(1)(1)1(1)f f ----＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－20x ＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1＜m －1＜1，即0＜m ＜2，所以实数m 的取值范围是(0,2)．.【点睛】本题主要考查了新概念知识的理解及方程思思，还考查了转化能力及计算能力，属于难题．三､解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17. 已知函数321()(,)3f x x ax bx a b R =++∈在3x =-处取得极大值9.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[3,3]-上的最值.【答案】(1) 13a b =⎧⎨=-⎩.(2) 函数()f x 在区间[3,3]-上的最大值为9，最小值为53-. 【解析】分析：（I ）首先求解导函数，然后结合()()3039f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩，可得13a b =⎧⎨=-⎩. （II ）由（I ）得()()()()321-3313f x x x x f x x x '=+∴=+-，结合导函数研究函数的单调性和最值可知函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值为9，最小值为53-.详解：（I ）()22f x x ax b =++'依题意得()()3039f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩，即9609939a b a b -+=⎧⎨-+-=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩.经检验，上述结果满足题意. （II ）由（I ）得()()()()3221-323=313f x x x x f x x x x x =+∴'=+-+-，令()0f x '>，得31x x -或；令()0f x '<，得31x -<<，()f x ∴的单调递增区间为()1+∞，和()--3∞，，()f x 的单调递增区间是()-3,1，()()=39f x f ∴-=极大值，()()()5=1,393f x f f =-=极小值又，所以函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值为9，最小值为53-.点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．18. 对于函数()()()212,0f x ax b x b a =+++-≠,若存在实数0x ,使()0f x =0x 成立,则称0x 为()f x 的不动点.（1）当2,2a b ==-时,求()f x 的不动点；（2）若对于任意实数b ,函数()f x 恒有两个不相同的不动点,求a 的取值范围【答案】（1）1-和2；（2）（0,2）【解析】【分析】（1）把a ，b 的值代入方程，解出方程22240x x --=即可得()f x 的不动点；（2）根据方程有两解可得2480b ab a -+>，将其看成关于b 的二次函数，根据10∆<即可得结果. 【详解】⑴由题义()()222122x x x +-++--=整理得22240x x --=,解方程得121,2x x =-= 即()f x 的不动点为-1和2．⑵由()f x =x 得220ax bx b ++-=如此方程有两解,则有△=()2242480b a b b ab a --=-+>把2480b ab a -+>看作是关于b 的二次函数,则有1∆=()()()2244816321620a a a a a a -=-=-<，解得02a <<即为所求.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，考查了新定义问题，考查了转化思想，将“b ”看成自变量是解题的关键，是一道中档题．19. 某市近郊有一块大约500500m m ⨯的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米．（1）分别用x 表示y 和S 的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S 取得最大值，并求出最大值．【答案】（1）1500030306S x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其定义域是(6,500)．（2）设计50x m =，60y m =时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【解析】【分析】（1）总面积为3000xy =，且26a y +=，则3000y x=，1500332y a x =-=-（其中6500)x <<，从而运动场占地面积为(4)(6)S x a x a =-+-，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积1500015000303063030(6)S x x x x=--=-+，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x 的值．【详解】解：（1）由已知3000xy =，∴3000y x=，其定义域是(6,500)．(4)(6)(210)S x a x a x a =-+-=-， 26a y +=，∴1500332y a x=-=-， ∴150015000(210)(3)3030(6)S x x x x=--=-+，其定义域是(6,500)．（2）150003030(6)3030303023002430S x x x x=-+-=-⨯=，当且仅当150006x x=，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立，此时，50x =，60y =，2430max S =．答：设计50x m =，60y m =时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．20. 已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞. 【解析】【分析】（1）求导得到导函数后，设为()g x 进行再次求导，可判断出当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，从而得到()g x 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数()()h x f x ax =-，通过二次求导可判断出()()min 2h x h a π''==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭；分别在2a ≤-，20a -<≤，202a π-<<和22a π-≥的情况下根据导函数的符号判断()h x 单调性，从而确定()0h x ≥恒成立时a 的取值范围.【详解】（1）()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+-令()cos sin 1g x x x x =+-，则()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++= 当()0,x π∈时，令()0g x '=，解得：2x π=∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()0110g =-=，1022g ππ⎛⎫=->⎪⎝⎭，()112g π=--=- 即当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >，此时()g x 无零点，即()f x '无零点 ()02g g ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭ 0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x = 又()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 0x x ∴=为()g x ，即()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的唯一零点综上所述：()f x '在区间()0,π存在唯一零点（2）若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，即()0f x ax -≥恒成立令()()()2sin cos 1h x f x ax x x x a x =-=--+ 则()cos sin 1h x x x x a '=+--，()()cos h x x x g x '''== 由（1）可知，()h x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减且()0h a '=-，222h a ππ-⎛⎫'=-⎪⎝⎭，()2h a π'=-- ()()min 2h x h a π''∴==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭①当2a ≤-时，()()min 20h x h a π''==--≥，即()0h x '≥在[]0,π上恒成立()h x ∴在[]0,π上单调递增()()00h x h ∴≥=，即()0f x ax -≥，此时()f x ax ≥恒成立②当20a -<≤时，()00h '≥，02h π⎛⎫'>⎪⎝⎭，()0h π'< 1,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x '=()h x ∴在[)10,x 上单调递增，在(]1,x π上单调递减又()00h =，()()2sin cos 10h a a ππππππ=--+=-≥()0h x ∴≥在[]0,π上恒成立，即()f x ax ≥恒成立③当202a π-<<时，()00h '<，2022h a ππ-⎛⎫'=->⎪⎝⎭20,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20h x '=()h x ∴在[)20,x 上单调递减，在2,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增()20,x x ∴∈时，()()00h x h <=，可知()f x ax ≥不恒成立④当22a π-≥时，()max 2022h x h a ππ-⎛⎫''==-≤⎪⎝⎭()h x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减00h x h可知()f x ax ≥不恒成立综上所述：(],0a ∈-∞【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.21. 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.【答案】(1) f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.【解析】【分析】(1)求f (x )的导函数为f ′(x )＝(2e x ＋a )(e x －a )，通过讨论a ，求函数的单调区间即可. (2)因为f (x )≥0，所以即求f (x )的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f (x )的最小值，解关于a 的不等式即可求出a 的范围.【详解】(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当x ∈,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )<0；当x ∈ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )>0. 故f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立. ②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln 2a ⎛⎫-⎪⎝⎭时，f (x )取得最小值，最小值为f ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当且仅当a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥0，即0>a ≥342e -时，f (x )≥0. 综上a 的取值范围是[342e -，0].【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想和学生的计算能力，属于中档题.22. 若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是26cos sin θρθ=. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为32x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)，3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，求2||||||AB PA PB ⋅. 【答案】（1）曲线C 的直角坐标系方程为26y x =，曲线为以3,02⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，开口向右的抛物线；（2）163. 【解析】【分析】（1）运用极坐标与直角坐标之间的关系将曲线C 的极坐标方程26cos sin θρθ=化为直角坐标方程，再依据圆锥曲线的标准方程的特征进行判断；（2）将直线的参数方程32x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩代入曲线方程26y x =，运用直线参数方程中的参数t 的几何意义进行求解. 【详解】（1）∵26cos sin θρθ=，∴22sin 6cos ρθρθ=， ∴曲线C 的直角坐标系方程为26y x =，曲线为以3,02⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，开口向右的抛物线. （2）直线l的参数方程可化为31222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入26y x =得24120t t --=.则12124,12t t t t +==-，128AB t t =-==，因为3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 上，所以1212PA PB t t ，∴2||6416||||123AB PA PB ==⋅. 【点睛】本题关键点是熟练掌握极坐标方程和普通方程的转化公式；熟练利用直线参数方程中的参数t 的几何意义进行求解. 23. 设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 【答案】(1) 43；(2)见详解. 【解析】【分析】(1)根据条件1x y z ++=，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，再讨论,,x y z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的,,x y z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围. 【详解】(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++≥-++++=+++=故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥等号成立当且仅当111x y z -=+=+而又因1x y z ++=，解得531313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩时等号成立所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2)因为2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥.根据柯西不等式等号成立条件，当21x y z a -=-=-，即22321323a x a y a z a +⎧=-⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=-⎪⎩时有22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立.所以2(2)1a +≥成立，所以有3a ≤-或1a ≥-.【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.。

宁夏固原市五原中学补习部2021届高三数学上学期期中试题文含解析

某某某某市五原中学补习部2021届高三数学上学期期中试题文（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “若1sin 2x ≥，则6x π≥”的否命题是（） A. 若1sin 2x ，则6x π< B. 若6x π≥，则1sin 2x ≥ C. 若6x π<，则1sin 2x D. 若1sin 2x ≤，则6x π≤ 【答案】A【解析】【分析】否命题就是把条件和结论都否定，写出结论即可.【详解】“若1sin 2x ≥，则6x π≥”的否命题是“若1sin 2x ，则6x π<” 故选：A.【点睛】易错点睛：否命题与命题的否定有一定的区别：（1）否命题需否定原命题的条件和结论；（2）命题的否定只需直接否定结论即可.2. “f (x )为偶函数”是“()22x x f x -=+”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用定义判断()22x xf x -=+是偶函数，再利用充分必要性的定义判断，即可得出答案. 【详解】()22x x f x -=+，定义域为R ，()22()x x f x f x --=+=()f x ∴是定义在R 上的偶函数，故必要性成立；但若()f x 为偶函数，()f x 表达式不唯一，举反例：2()f x x =，()2x f x =，等等，不能推出()22x x f x -=+，故充分性不成立；所以“()f x 为偶函数”是“()22x x f x -=+”的必要不充分条件.故选：B.3. 如图所示，I 是全集，,,M P S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. ()M P SB. ()MP S C. ()()I M S P ⋂⋂D. ()()I M S P ⋂⋃【答案】C【解析】【分析】根据阴影部分与对应集合关系可直接判断得结果.【详解】由图可知：阴影部分中元素在集合M 中、且在集合P 中、且不在集合S 中,即在集合I S 中,因此阴影部分表示的集合为()()IM P S 故选：C【点睛】本题考查韦恩图、元素与集合关系，考查基本分析判断能力，属基础题.4. 已知tan 2θ=，则2sin sin cos 2θθθ+-=（） A. 35B. 45C. 54D. 45- 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数平方关系化简整理得：原式22sin sin cos 2cos θθθθ=-+-变形处理2222sin sin cos 2cos sin +cos θθθθθθ-+-=，分子分母同时除以2cos θ，即可得解. 【详解】因为22sin +cos 1θθ=，sin tan cos θθθ= 所以222sin sin cos 2sin sin cos 2cos θθθθθθθ+-=-+-222222sin sin cos 2cos tan tan 2sin +cos tan +1θθθθθθθθθ-+--+-== 42244+15-+-==- 故选：D.5. 已知α是第二象限角，5tan 12α=-，则cos α=（） A. 1213B. 1213- C. 513D. 513- 【答案】B【解析】【分析】先由α是第二象限角，得cos 0α<；再由同角三角函数基本关系求解，即可得出结果.【详解】因为α是第二象限角，所以cos 0α<，又5tan 12α=-，所以22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，因此2225cos cos 1144αα+=，即2144cos 169α=，所以12cos 13α=-. 故选：B.6. 函数()ln x f x x=，若(4)a f =，(5.3)b f =，(6.2)c f =，则（） A a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c <<【答案】B【解析】【分析】求导'21ln ()x f x x-=，可得()f x 在(,)e +∞的单调性，利用单调性，即可得答案. 【详解】因为()ln x f x x=(0)x >，所以'21ln ()x f x x -=，当x e >时，'()0f x <，则()f x 在(,)e +∞为减函数，因为4 5.3 6.2e <<<，所以(4)(5.3)(6.2)f f f >>，即a b c >>，故选：B7. 已知4sin()35ππα++=，则cos()6πα-=（） A. 45B. 45- C. 35D. 35 【答案】B【解析】【分析】先利用诱导公式化简题目得到4sin()35πα+=-，再由632πππαα-=+-，利用诱导公式，得cos()sin(+)63ππαα-=，即可求解得到答案. 【详解】由题意，4sin()sin()335πππαα++=-+=，即4sin()35πα+=- 又632πππαα-=+-，利用三角函数的诱导公式可得：4cos()cos()sin(+)63235ππππααα-=+-==- 故选：B. 【点睛】方法点睛：三角函数化简求值，常用拼凑角：（1）再利用诱导公式求值或化简时，巧用相关角的关系会简化解题过程，常见的互余关系有：3πα+与6πα-，3πα-与6πα+，4πα-与4απ+等；常见的互补关系有：3πα+与23πα-，4πα+与34πα-等；（2）在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-等.8. 函数()()sin ln 2x f x x =+的部分图象可能是（） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】考查函数()y f x =的定义域、在()1,0-上的函数值符号，可得出正确选项.【详解】对于函数()y f x =，2021x x +>⎧⎨+≠⎩，解得2x >-且1x ≠-，该函数的定义域为()()2,11,---+∞，排除B 、D 选项.当10x -<<时，sin 0x <，122x <+<，则()ln 20x +>，此时，()()sin 0ln 2x f x x =<+，故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数值符号进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9. 若()()2log ,021,02x x x f x x ⎧-<⎪+=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则2(2)(log 12)f f -+=（） A. 112B. 2C. 3D. 73 【答案】D【解析】【分析】令22x +=-和22log 12x +=，分别解得4x =-和2log 3x =，代入对应的解析式，即可得答案.【详解】令4x =-，因为40-<，则2log (22)4f -==，令2log 30x =>，则222log 3log 12+=，所以21log 32log 3211(log 12)()223f -===，所以2(2)(log 12)f f -+=17233+=，故选：D 10. 已知函数()37sin f x x x x =--+，若()()220f a f a +->，则实数a 的取值X 围是 A. (),1-∞ B. (),3-∞ C. ()1,2- D. ()2,1-【答案】D【解析】【分析】先研究函数()f x 奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简不等式()()220f a f a +->，解得实数a 的取值X 围.【详解】因为()()37sin ,f x x x x f x -=+-=-2()37cos 0f x x x =--+<' , 所以()f x 为奇函数，且在R 上单调递减，因为()()220f a f a +->，所以()()()2222,2,21f a f a f a a a a >--=-<--<<，选D.【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.11. 已知函数21,2()3, 2.1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值X 围为（）A. (0,1)B. (0,2)C. (0,3)D. (1,3)【答案】A【解析】【分析】根据函数()f x的解析式，作出函数()f x的图象，方程()0f x a-=有三个不同的实数根即为函数()y f x=的图象与y a=的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数a 的取值X围.【详解】21,2()3,21x xf xxx⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，∴图象如图：方程()0f x a-=有三个不同的实数根即为函数()y f x=的图象与y a=的图象有三个不同的交点，由图象可知：a的取值X围为(0,1).故选：A【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，考查了分段函数的图象，函数与方程的关系，考查了数形结合与转化化归的思想.12. 已知函数()f x的导函数为()f x'，且()()f x f x'<对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A. ()()()()2ln220,20f f f e f<< B. ()()()()2ln220,20f f f e f>>C. ()()()()2ln220,20f f f e f<> D. ()()()()2ln220,20f f f e f><【答案】A【解析】【分析】构造函数()()x f x g x e=，求出函数()g x 的导数，判断函数的单调性，从而求出结果. 【详解】令()()x f x g x e =，则2()()()()()x x x xe f x e f x f x f x g x e e '--='='. ()()f x f x '<，∴()0g x '<，∴()g x 是减函数，则有(ln 2)(0)g g <，(2)(0)g g <，即ln 2020(ln 2)(0)(2)(0),f f f f e e e e<<，所以2(ln 2)2(0),(2)(0)f f f e f <<.选A . 【点睛】本题考查函数与导数中利用函数单调性比较大小.其中构造函数是解题的难点.一般可通过题设已知条件结合选项进行构造.对考生综合能力要求较高.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13. 计算sin()24ππ+=_______;【解析】【分析】利用诱导公式以及三角函数值即可求解.【详解】sin()cos 2442πππ+==.故答案：214. 若lg 2lg21a -=，则a =______ ;【答案】40【解析】【分析】利用对数的运算公式log log n a a n M M =，log log log ()a a a M N MN +=，直接求值即可.【详解】lg 2lg 21a -=lg 2lg 21lg 4lg10lg 40a ∴=+=+=40a ∴=故答案为：4015. 已知函数3()1f x x ax =--在()1,+∞内为增函数，则a 的取值X 围；____ ； .【答案】3a ≤【解析】【分析】求出导函数使2()30f x x a '=-≥在()1,+∞恒成立即可求解,【详解】由3()1f x x ax =--，则2()3f x x a '=-因为函数在()1,+∞内为增函数，则2()30f x x a '=-≥在()1,+∞恒成立，即23a x ≤在()1,+∞恒成立，所以3a ≤.故答案为：3a ≤16. 若12,x x 是函数2()74ln f x x x x =-+的两个极值点，则12x x =____，12()()f x f x +=____.【答案】 (1). 2 (2). 654ln 24-【解析】【分析】根据极值点定义，即可由方程的根与系数之间的关系，即可求得12x x 以及12x x +，再结合对数运算即可容易求得结果.【详解】2121247()2702740,22f x x x x x x x x x '=-+=⇒-+=⇒+==，2212111222()()74ln 74ln f x f x x x x x x x +=-++-+21212121265()27()4ln()4ln 24x x x x x x x x =+--++=-.故答案为：2；654ln 24-. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，涉及对数运算，属综合基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边在直线430x y -=上.（1）求sin()απ+的值；（2）求2sin cos sin cos 1tan ααααα+--值．【答案】（1）45-或45；（2）75-或75；【解析】【分析】（1）在直线430x y -=上任取一点4(,)3P m m (0)m ≠，由已知角α的终边过点4(,)3P m m ，利用诱导公式与三角函数定义即可求解，要注意分类讨论m 的正负.（2）先利用商的关系化简原式为sin cos αα+，结合第一问利用三角函数定义分别求得cos α与sin α，要注意分类讨论m 的正负.【详解】（1）在直线430x y -=上任取一点4(,)3P m m (0)m ≠，由已知角α的终边过点4(,)3P m m ，x m ∴=，43y m =，224533r OP m m m ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭利用诱导公式与三角函数定义可得：sin()sin 443553mm m m απα=-=-+=-，当0m >时，4in()5s απ-+=；当0m <时，4sin()5απ+=（2）原式22222sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos 1cos αααααααααααααααα-=+=+=-----()()sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα+-==+-同理（1）利用三角函数定义可得：3553cos m mm m α==，当0m >时，4sin 5α，3cos 5α=，此时原式75=；当0m <时，4sin 5α=-，3cos 5α=-，此时原式75=-；【点睛】易错点睛：本题考查三角函数化简求值，解本题时要注意的事项：角α的终边在直线430x y -=上，但未确定在象限，要分类讨论，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.18. 已知函数321()(,)3f x x ax bx a b R =++∈在3x =-处取得极大值为9. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[3,3]-上的最值.【答案】(1) 13a b =⎧⎨=-⎩.(2) 函数()f x 在区间[3,3]-上的最大值为9，最小值为53-. 【解析】分析：（I ）首先求解导函数，然后结合()()3039f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩，可得13a b =⎧⎨=-⎩.（II ）由（I ）得()()()()321-3313f x x x x f x x x '=+∴=+-，结合导函数研究函数的单调性和最值可知函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值为9，最小值为53-.详解：（I ）()22f x x ax b =++'依题意得()()3039f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩，即9609939a b a b -+=⎧⎨-+-=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩.经检验，上述结果满足题意.（II ）由（I ）得()()()()3221-323=313f x x x x f x x x x x =+∴'=+-+-，令()0f x '>，得31x x -或；令()0f x '<，得31x -<<，()f x ∴的单调递增区间为()1+∞，和()--3∞，，()f x 的单调递增区间是()-3,1，()()=39f x f ∴-=极大值，()()()5=1,393f x f f =-=极小值又，所以函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值为9，最小值为53-.点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．19. 如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,62ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，将角α的终边按照逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记()()1122,,,A x y B x y（1）若113x =，求2x ；（2）分别过A 、B 做x 轴的垂线，垂足依次为C 、D ，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ，若122S S =，求角α的值.【答案】（1）2x =；（2）4πα=【解析】【分析】（1）由三角函数定义，得11cos 3x α==，由此利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再根据2cos()3x πα=+，利用两角和的余弦公式求得结果．（2）依题意得1sin y α=，2sin()3y πα=+，分别求得1S 和2S 的解析式，再由122S S =求得cos 20α=，根据α的X 围，求得α的值．【详解】（1）解：由三角函数定义，得1cos x α=，2cos()3x πα=+．因为(,)62ππα∈，1cos 3α=，所以sin α==．所以21cos()cos 32x π=+==αα-α．（2）解：依题意得1sin y α=，2sin()3y πα=+．所以111111cos sin sin 2224S x y ααα===，2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππααα==-++=-+．依题意122S S =得2sin 22sin(2)3παα=-+，即22sin 22[sin 2coscos2sin ]sin 233ππααααα=-+=，整理得cos 20α=．因为62ππα<<，所以23παπ<<，所以22πα=，即4πα=．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．20. 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).（1）当a＝12时，求f(x)的极值；（2）讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.【答案】（1）f(x)极大值＝ln2－1，无极小值；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）当a＝12时，f(x)＝ln x－12x，求导得到f′(x)＝1x－12＝22xx-，然后利用极值的定义求解.（2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x －a＝1axx-(x>0)，然后分a≤0和a>0两种情况讨论求解.【详解】（1）当a＝12时，f(x)＝ln x－12x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝1x－12＝22xx-，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋0 －f (x )ln2－1故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln2－1，无极小值. （2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1ax x- (x >0) 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a >0时，当x ∈10,a ⎛⎫⎪⎝⎭时，f ′(x )>0，当x ∈1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a处有极大值. 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点，当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a. 【点睛】本题主要考查导数与函数极值以及极值点的个数问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 21. 已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-；（1）若12a <≤，求函数()f x 的单调递减区间；（2）求证：若15a <<，则对任意的120x x >>，有1212()()1f x f x x x ->--．【答案】（1）{}|11x a x -<<；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出()f x 的导函数，根据12a <≤可得到单调递减区间；（2）令21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+()0x >，判断出单调性，利用12()()g x g x >可得答案.【详解】（1）21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-的定义域为(0+)∞，， [](1)(1)1()x x a a f x x a x x----'=-+=，因为12a <≤，所以011a <-≤，当11a -=即2a =时，()f x 在(0+)∞，单调递增，当011a <-<时，即02a <<，令()0f x '<得11a x -<<，所以()f x 单调递减，单调递减区间为{}|11x a x -<<，综上所述，2a =时，()f x 无单调递减区间；02a <<时，()f x 单调递减区间为{}|11x a x -<<.（2）设21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+()0x >，则 21(1)1()1a x a x a g x x a x x-+-+-'=-++=，令2()(1)1M x x a x a =+-+-，所以2(1)4(1)(1)(5)a a a a ∆=---=--，因为15a <<，所以(1)(5)0a a ∆=--<，所以()0M x >，即()0g x '>，所以()g x 在(0+)∞，上单调递增，对任意的120x x >>，有12()()g x g x >，即1122()()f x x f x x +>+，1212()()()f x f x x x ->--，所以1212()()1f x f x x x ->--.【点睛】利用导数()0f x '<求得函数的单调递减区间，利用导数()0f x '>求得函数的单调递增区间.选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，且取相同的单位长度建立平面直角坐标系，则直线l的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设点(),0P m ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且1PA PB ⋅=，求非负实数m 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，直线l 的普通方程为0x m -=；（2）1m =或1m = 【解析】【分析】（1）2cos ρθ=得22cos ρρθ=，结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可求出曲线C 的直角坐标方程，由12yt 得2t y ，代入到3xt m 可得直线l 的普通方程；（2）将直线l 的参数方程代入到曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义即可求出答案．【详解】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得222x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，由12yt 得2t y ，代入到3xt m 可得，直线l 的普通方程为0x m -=；（2）将12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到222x y x +=得，可得223120t m t m m ，由2231420m m m可得13m -<<，由m 为非负数，可得03m ≤<，设12,t t 是方程的两根，则2122t t m m ，由1PA PB ⋅=可得21221t t m m，解得1m =或12m ，又03m ≤<，∴1m =或1m =+【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23. 已知f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1| （1）求函数f (x )的最小值；（2）若f (x )的值域为M ，当t ∈M 时，证明t 2＋1≥3t＋3t . 【答案】（1）()min 3f x =；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式即可求解. （2）利用作差法即可证明.【详解】（1）()2121f x x x =-++212221223x x x x =-++≥---=，当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号，()min 3f x ∴=.（2）由（1）可得[)3,M =+∞，原不等式等价于32233313t t t t t t t-+-+--=()()231t t t-+=t M ∈，30t ∴-≥，210t +>，()()2310t t t-+∴≥，∴ t 2＋1≥3t＋3t .【点睛】方法点睛：本题考查了分段函数的最值、证明不等式，常见方法有以下几种. （1）去绝对值，将函数化为分段函数，利用分段函数的图像可求最值. （2）利用绝对值三角不等式求最值. （3）证明不等式的方法：作差法、作商法. （4）构造函数，利用导函数证明不等式.。

2021-2022年高三上学期期中检测数学(文)试卷含答案

2021年高三上学期期中检测数学（文）试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8题，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合，，则集合（A）（B）（C）（D）（2）是虚数单位，复数=（A）（B）（C）（D）（3）命题“对”的否定是（A）（B）（C）（D）（4）某程序框图如右图所示，则输出的结果S等于（A ）（B ）（C ）（D ）（5）设0.30.33log 2,log 2,2,a b c ===则这三个数的大小关系是（）（A ）（B ）（C ）（D ）（6）已知，，，若，则（A ）（B ）（C ）（D ）（7）函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）如图，在三角形中，已知，，，点为的三等分点．则的取值范围为（A ）（B ）（C ）（D ）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．．．．．．．．．。

2．本卷共12题，共110分。

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．（9）设全集，集合，，则．（10）．（11）计算：2log 151log 25lg2100++= ．第（8）题图CDBA第14题图（12）在中，，，，则的面积等于____. （13）设函数，则的值是________．（14）如图，△为圆的内接三角形，为圆的弦，且．过点作圆的切线与的延长线交于点，与交于点．若，，则线段的长为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）已知集合[]{}|(2)(31)0A x x x a =--+< ，．（Ⅰ）当时，求;（Ⅱ）求使的实数的取值范围．（16）（本小题满分13分）在等差数列｛}中，已知，，（Ⅰ）求数列｛}的通项；（Ⅱ）求数列｛}的前9项和; （Ⅲ）若，求数列的前项和.（17）（本小题满分13分）已知πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭4cos ,0,52, （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．（18）（本小题满分13分）已知函数()sin 2cos 2f x x x ωω=+．（）的最小正周期为，（Ⅰ）求的值及函数的单调递减区间；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值．（19）（本小题满分14分）已知函数，满足(0)2,(1)()21=+-=-f f x f x x（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值.（Ⅲ）若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围.（20）（本小题满分14分）已知：已知函数，（Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为，求实数；（Ⅱ）若，求的极值；（Ⅲ）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．高三期中文科数学答案（xx 、11）一、选择题：本卷共8题，共40分。

宁夏固原市数学高三上期中经典测试题(含解析)

一、选择题1．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（） A ．1 B ．32C ．2D ．32)63a -≤≤的最大值为（）A ．9B ．92C．3 D ．23．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C （）A ．18B ．34C ．23 D ．164．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（） A ．2B ．4C ．16D ．85．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（）A ．32nn a n =+B ．23n nn a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n6．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（） A ．()3,-+∞B ．()-+∞C ．[)3,-+∞D ．)⎡-+∞⎣7．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720208．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（） A ．34B ．56C ．78D ．239．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+dC ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()22234S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S12．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（） A ．3B ．13+C ．12+D ．413．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（）. A ．13B ．15C ．19D ．2114．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．323D ．832315．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-1二、填空题16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________．17．已知数列111112123123n+++++++，，，，，，则其前n 项的和等于______．18．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=，且13k a =,则k =_________．19．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．20．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．21．设f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x,y ∈R ，都有f(x)⋅f(y)=f(x +y)，若a 1=12，a n =f(n)，(n ∈N +)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是__________．22．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为．23．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n an的最小值为__________.24．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．25．设变量,x y 满足约束条件：21y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题26．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 27．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =3a n −1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =n a n，求数列{b n }的前n 项和T n .28．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a . 29．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=．（1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC 的面积．30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的前n 项和.n T【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．A 4．D 5．B 6．D 7．B 8．A 9．B 10．D 11．D12．A13．A14．B15．D二、填空题16．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可17．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n项和由公式可得：所以数列通项18．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理19．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z的最大值【详解】作出实数xy满足对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+20．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等；21．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy∈R都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=ny=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a22．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的23．【解析】【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n所以设f（n）由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an＝2n∴当n≥2时an＝（an﹣an﹣1）+（a24．（）【解析】如图所示延长BACD交于E平移AD当A与D重合与E点时AB最长在△BCE中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD当D与C重合时AB最短此时与AB交于F在△B25．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可．【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1，作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-，则k 的最大值为：32故选：B ．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．2．B解析：B 【解析】【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】因为63a -≤≤，所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：369(3)(6)22a a a a -++-+≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立，故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.3．A解析：A 【解析】【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+ 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈ 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.4．D解析：D 【解析】【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8．故选D ．【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．5．B解析：B 【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n nn a +=；考点：累加法求数列通项公式6．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当2x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值22,22m -∴≥-，m 的取值范围是)22,⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.7．B解析：B 【解析】【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +），则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020）=2（1-12020）=20191010．故选:B ．【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．8．A解析：A 【解析】【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值．【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ，由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===，所以2cos 2n A n+=．又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =，所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34．故选A ．【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．9．B解析：B 【解析】【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确；故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.10．D解析：D 【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值．【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．11．D解析：D 【解析】【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<，所以11n n S S n n +<+，所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+，所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-，所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零，所以n S 的最小值为7S ，故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.12．A解析：A 【解析】【分析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值. 【详解】当2x >时，20x ->，则()()1122222f x x x x x =+=-++≥-- 4=，当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.13．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．14．B解析：B 【解析】【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，10353v ==/秒）．故选B ．【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．15．D解析：D 【解析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--，所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题16．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n 项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可解析：613. 【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解．详解：∵等差数列{}n a 中136S =， ∴()11371313132622a a a S +⨯===， ∴7613a =．设等差数列{}n a 的公差为d ，则()9109109976322213a a a a a a d a -=-+=-==．点睛：等差数列的项的下标和的性质，即若()*,,,,m n p q m n p q Z+=+∈，则m n p q a a a a +=+，这个性质经常和前n 项和公式()12n n n a a S +=结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单．17．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项解析：21nn +【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和，由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.18．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理解析：18 【解析】471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，7173a ∴=同理94561213141177a a a a a a a =++++++=，97a ∴=423d ∴=，23d =91376k a a -=-=2693÷=9918k ∴=+=19．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z 的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图：由z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z 平移直线y ＝﹣2x+z 由图象可知当直线y ＝﹣2x+解析：5 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1）此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5，故答案为5．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．20．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等；解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；21．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy ∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=ny=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析：[12,1)【解析】试题分析：由题意，对任意实数x,y ∈R ，都有f(x)f(y)=f(x +y)，则令x =n,y =1可得f(n)f(1)=f(n +1)，即f(n +1)a n+1a n=f(n+1)f(n)=12，即数列{a n }是以a 1=12,为首项，以12为公比的等比数列，故a n =f(n)=(12)n,S n =12(1−12n )1−12=1−12n∈[12,1)考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质22．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的解析：52【解析】试题分析：5cos23C =，21cos 2cos 129C C =-=，45sin 9C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为952sin 10c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有95110x x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得52x =，故最大面积为1552222S =⋅⋅=.考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.23．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a解析：212【解析】【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到na n的最小值．【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞，则f （n ）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==，所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．24．（）【解析】如图所示延长BACD 交于E 平移AD 当A 与D 重合与E 点时AB 最长在△BCE 中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD 当D 与C 重合时AB 最短此时与AB 交于F 在△B解析：）【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE ，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想25．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10 【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x zy =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x zy =-的截距最大，此时z 最小由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-故答案为10-三、解答题 26．(1)1,2n n n a n b -==；(2)T n ＝(n －1)·2n ＋1. 【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得12n n n n c a b n -==⋅，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和. 试题解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，依题意得解得d ＝1，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1. (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n·2n －1，则 T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，① 2T n ＝2·20＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，② ①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝－n·2n ＝(1－n)·2n －1，所以T n ＝(n －1)·2n ＋1. 27．(1)a n =3n−1;(2)T n =94−6n+94×3n.【解析】试题分析：(1)由题意结合通项公式与前n 项和的关系可得a n =3n−1;(2)结合(1)中求得的通项公式和所给数列通项公式的特点错位相减可得数列{b n }的前n 项和T n =94−6n+94×3n.(3) 试题解析：(Ⅰ)由2S n ＝3a n －1 ① 2S n －1＝3a n －1－1 ② ②-①得2a n ＝3a n －3a n －1，∴＝3，(n ≥2)又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，（符合题意） ∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n ＝∴T n ＝＋＋＋…＋，…………………③ T n ＝＋＋…＋＋，………④ ③－④得：T n ＝＋＋＋…＋－＝－＝－∴T n ＝－.28．（1）n a n =-；（2）1n n +. 【解析】【分析】(1)利用方程的思想，求出首项、公差即可得出通项公式；（2）根据数列{}n a 的通项公式表示出11n n a a +，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由221325+=+=-a S a d ，5151015=+=-S a d ，即123+=-a d ，解得11a =-，1d =-，所以()11=---=-n a n n .（2）由n a n =-，所以11111(1)1+==-++n n a a n n n n ，所以122311111111112231+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n a a a a a a n n 1111n n n =-=++. 【点睛】利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．29．（1）4A π=（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,A π∈，所以4A π=．（2）在ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则220442c c ⎛=+-⋅ ⎝⎭．即2160c -=．解得c =-c =所以1242S =⨯⨯=．· 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.30．（1）23n a n =-，14n n b -=；（2）4(1)n n T n =+ 【解析】【分析】（1）将1250,15a a S +==转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式，由此化简131(2)n n n n n nb a b a b ++++=，判断出数列{}n b 是等比数列，进而求得数列{}n b 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，所以11120,1,2,23545152n a d a d a n a d +=⎧⎪∴=-==-⎨⨯+=⎪⎩；由1311(2),(6n 12n 1)b 4nb n n n n n n n n nb a b a b nb +++++=⇒=--+=，14n nb b +∴=，所以数列{}n b 是以4为公比，首项121b a ==的等比数列，14.n n b -∴=（2）因为2111111(),(5)log (22)(2)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++ 1211111111b b b (1).42233414(n 1)n n n T n n ∴=+++=-+-+-++-=++ 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等比数列的通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.。

2021届高三上学期数学文科期中测试题4

ABCO（第12题）高三上学期数学文科期中测试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合，，若，则．2．命题“”的否定是． 3.函数的定义域为．4．已知一个圆锥的底面积为2，侧面积为4，则该圆锥的体积为． 5.设是等比数列的前项的和，若，则的值是． 6.已知点的坐标满足条件则的最小值为．7.如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么＝．(用和表示)8．已知命题p ：|x －a |<4，命题q ：(x －1)(2－x )>0，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．9．已知直线与曲线相切，则的值为．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数且函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为．11．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是．12．如图，点为△的重心，且，，则的值为．{}=2,3,4A {}=2B a a +,=A B B A B =2,10x x x ∃∈-+R ≤0.2log y x =ππn S {}n a n 3620a a +=36S S (,)P x y 1,,230,xyx xy22(2)(1)xy ABCD E DC F BC EF AB AD p q a 01=+-y x ln y x a =-a O ABC OA OB ⊥4AB =AC BC ⋅13．已知为数列的前项和，，，若关于正整数的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数的取值范围为．14．已知函数函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量，，记函数．若函数的周期为4，且经过点．（1）求的值；（2）当时，求函数的最值．16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点. （1）求证：∥平面；（2）求证：平面.17.(本小题满分14分)已知集合， (1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．n S {}n a n 11a =2(1)n n S n a =+n 222n n a ta t -≤t 2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤()2()g x f x =-()()y f x g x =-a (sin(),1)2a x ωϕ=+(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<()()()f x a b a b =+⋅-()y f x =1(1,)2M ω11x -≤≤()f x P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD 22PA PD AD ==E F PC BD EF PAD EF ⊥PDC {}2870A x x x =-+<{}22220B x x x a a =---<4a =AB A B ⊆a18．（本小题满分16分）如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB 为直径），现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ．（1）写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围；（2）试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．19. (本小题满分16分)（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围.20.（本题满分16分）已知数列的前项和为，且，N * （1）求数列的通项公式；（2）已知（N *），记(且)，是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列。