2006年初中数学竞赛模拟试题
2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案
2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）.（A）36 （B）37 （C）55 （D）90答：C．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.故选C．2．已知，，且，则的值等于（）（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9答：C．解：由已知可得，．又，所以，解得．故选C．3．Rt△ABC的三个顶点，，均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为，则（）（A）（B）（C）（D）答：B．解：设点A的坐标为，点C的坐标为（），则点B的坐标为，由勾股定理，得，，，所以．由于，所以，故斜边AB上高．故选B．4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007答：B．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过次后，可得（＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（＋1）×360°．因为这（＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（＋1）－34＝－33（个），而这些多边形的内角和不少于（－33）×180°．所以（＋1）×360°≥34×60×180°＋（－33）×180°，解得≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B．5．如图，正方形内接于⊙ ，点在劣弧上，连结，交于点．若，则的值为（）（A）（B）（C）（D）（第5题图）答：D．解：如图，设⊙ 的半径为，，则，，．在⊙ 中，根据相交弦定理，得．即，所以．连结DO，由勾股定理，得，即，解得．所以，．故选D．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知，，为整数，且＋＝2006，＝2005．若＜，则＋＋的最大值为．答：5013．解：由＋＝2006，＝2005，得＋＋＝＋4011．因为＋＝2006，＜，为整数，所以，的最大值为1002．于是，＋＋的最大值为5013．7．如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c 是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于 .（第7题图）答：．解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则．由△ADG ∽ △ABC，可得，解得．于是，由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以 .8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分. 那么，出发后经过分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答：104．解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了米．于是，且≤ ，所以，≤ ＜．故x=13，此时．9．已知，且满足（表示不超过x的最大整数），则的值等于．答：6．解：因为，所以，，…，等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以＝＝…＝＝0，＝＝…＝＝1，所以，≤ ＜．故≤ ＜，于是≤ ＜，所以 6．10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为．根据题意，有81× ＝．记，于是，解得．因为≤ ≤ ，所以≤ ＜，故＜≤ ．因为为整数，所以＝2．于是．所以，小明家原来的电话号码为282500．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知， , 为互质的正整数，且≤ ，．（1）试写出一个满足条件的x；（2）求所有满足条件的．解：（1）满足条件．……………………5分（2）因为， , 为互质的正整数，且≤ ，所以，即．当a＝1时，，这样的正整数b不存在．当a＝2时，，故b＝1，此时．当a＝3时，，故b＝2，此时．当a＝4时，，与互质的正整数b不存在．当a＝5时，，故b＝3，此时．当a＝6时，，与互质的正整数b不存在．当a＝7时，，故b＝3，4，5，此时，，．当a＝8时，，故b＝5，此时．所以，满足条件的所有分数为，，，，，，．…………………15分12．设，，为互不相等的实数，且满足关系式①及，②求的取值范围．解法1：由①－2×②得，所以．当时，．…………………10分又当＝时，由①，②得，③，④将④两边平方，结合③得，化简得，故，解得，或．所以，的取值范围为且，．……………15分解法2：因为，，所以＝＝，所以．又，所以，为一元二次方程⑤的两个不相等实数根，故，所以．当时，．…………………10分另外，当＝时，由⑤式有，即，或，解得，或．所以，的取值范围为且，．…………………15分13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：．（第13题图）证明：因为AC∥PB，所以．又PA是⊙O的切线，所以．故，于是△KPE∽△KAP，所以，即．………………5分由切割线定理得，所以， KP＝KB．…………………10分因为AC∥PB，所以，△KPE∽△ACE，于是，故，即．…………………15分14．2006个都不等于119的正整数排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求的最小值．解：首先证明命题：对于任意119个正整数，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．事实上，考虑如下119个正整数，，…，，①若①中有一个是119的倍数，则结论成立．若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为和（≤ ＜≤ ），于是，从而此命题得证．…………………5分对于中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为，所以≥ ．②…………………10分取，其余的数都为1时，②式等号成立．所以，的最小值为3910．…………………15分。
2006年全国初中数学竞赛预选赛试题(含答案)
初中数学竞赛辅导资料（19）因式分解甲内容提要 和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。
下面再介紹两种方法1． 添项拆项。
是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x 4+x 2+1 ②a 3+b 3+c 3－3abc①分析：x 4+1若添上2x 2可配成完全平方公式解：x 4+x 2+1＝x 4+2x 2+1－x 2=(x 2+1)2－x 2=(x 2+1+x)(x 2+1－x) ②分析：a 3+b 3要配成（a+b ）3应添上两项3a 2b+3ab 2 解：a 3+b 3+c 3－3abc ＝a 3+3a 2b+3ab 2＋b 3+c 3－3abc －3a 2b －3ab 2 ＝（a+b ）3+c 3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c 2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc)例2因式分解：①x 3－11x+20 ② a 5+a+1① 分析：把中项－11x 拆成－16x+5x 分别与x 5,20组成两组，则有公因式可提。
（注意这里16是完全平方数）② 解：x 3－11x+20＝x 3－16x+5x+20＝x （x 2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x －4)+5(x+4) =(x+4)(x 2－4x+5)③ 分析：添上－a 2 和a 2两项，分别与a 5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a 5+a+1＝a 5－a 2+a 2+a+1=a 2(a 3－1)+ a 2+a+1=a 2(a －1)( a 2+a+1)+ a 2+a+1= (a 2+a+1)(a 3－a 2+1)2． 运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a 时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x －a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
2006年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
GFE ABCD P2006年全国初中数学联赛试卷1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )(A) 36 (B) 37 (C) 55 (D) 902、已知m ＝1＋2，n ＝1－2，且(7m 2－14m ＋a ) (3n 2－6n －7)＝8，则a 的值等于( )(A) －5 (B) 5 (C) －9 (D) 93、Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y ＝x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴. 若斜边上的高为h ，则( )(A) h ＜1 (B) h ＝1 (C) 1＜h ＜2 (D) h ＞24、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( )(A) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D) 20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ，若QP ＝QO ，则QCQA的值为( )(A) 23－1 (B) 23 (C) 3＋2 (D) 3＋2二、填空题6、已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，c －a ＝2005. 若a ＜b ，则a ＋b ＋c 的最大值为___________.7、如图，面积为a b －c 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则 a －c b的值等于________.8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米. 甲、乙两分分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，那么出发后经过________分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.9、已知0＜a ＜1，且满足[a ＋1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋ 29 30]＝18 ([x ]表示不超过x 的最大整数)，则[10a ]的值等于__________.10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码. 小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是_________.三、解答题 11、已知x ＝b a，a 、b 为互质的正整数，且a ≤8，2－1＜x ＜3－1.(1)试写出一个满足条件x ； (2)求所有满足条件的x .12、设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+54141622222a a bc a a c b 求a 的取值范围.13、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B. 过点A做PB的平行线，交⊙O于点C. 连结PC，交⊙O于点E；连结AE，延长AE交PB于点K. 求证：PE •AC＝CE •KB14、有2006个都不等于119的正整数a1，a2，…，a2006排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求a1＋a2＋…＋a2006的最小值.参考答案（1）解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处． 故选C ．（2）解：由已知可得m 2－2m ＝1，n 2－2n ＝1．又(7m 2－14m ＋a )(3n 2－6n －7)＝8， 所以 (7＋a )(3－7)＝8，解得a ＝－9 故选C ．（3）解：设点A 的坐标为（a ，a 2），点C 的坐标为（c ，c 2）（|c|＜|a|），则点B 的坐标为 （－a ，a 2），由勾股定理，得AC 2＝(c －a ) 2＋(c 2－a 2) 2，BC 2＝(c ＋a ) 2＋(c 2－a 2) 2， AC 2＋BC 2＝AB 2， 所以 (a 2－c 2) 2＝a 2－c 2 .由于a 2＞c 2，所以a 2－c 2＝1，故斜边AB 上高h ＝a 2－c 2＝1 故选B ．（4）解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得(k ＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k ＋1)³360°． 因为这(k ＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34³(62－2)³180°＝34³60³180°，其余多边形有(k ＋1)－34＝k －33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k －33)³180°．所以(k ＋1)³360°≥34³60³180°＋(k －33)³180°，解得k ≥2005．当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33³58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33³58＝2005（刀）． 故选B ．（5）解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO ＝m ，则QP ＝m ，QC ＝r ＋m ，QA ＝r －m ． 在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ²QC ＝QP ²QD 即 (r －m )(r ＋m )＝m ²QD ，所以 QD ＝r 2－m 2m ．连结DO ，由勾股定理，得QD 2＝DO 2＋QO 2， 即 ( r 2－m 2 m )2＝r 2＋m 2 ，解得m ＝33r所以，QC QA ＝r ＋mr －m ＝3＋13－1＝3＋2 故选D ．（第7题图）ABCD GFE （6）解：由a ＋b ＝2006，c －a ＝2005，得a ＋b ＋c ＝a ＋4011．因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．（7）解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则m 2＝43， 由△ADG ∽△ABC ，可得x m＝32 m －x3 2m ，解得x ＝(23－3)m于是 ：x 2＝(23－3)m 2＝283－48， 由题意，a ＝28，b ＝3, c ＝48，，所以 a －c b＝－20 3．（8）解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了46³400x 50＝368x 米．于是368(x －1)＋800－400(x －1)＞400，所以，12.5≤x ＜13.5． 故x ＝13，此时 t ＝ 400³1350＝104．（9）解：因为0＜a ＋ 1 30 ＜a ＋230＜……＜a ＋29 30＜2，所以[a ＋130]，[a ＋230]，…，[a ＋ 29 30]等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以 [a ＋1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋11 30]＝0，[a ＋12 30]＋[a ＋13 30]……＋[a ＋29 30]＝1，所以 0＜a ＋ 11 30＜1 ，1≤a ＋12 30＜2．故18≤30a ＜19，于是6≤10a ＜ 19 3，所以 [10a ]＝6．（10）解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 2a 8bcdef ．根据题意，有81³abcdef ＝2a 8bcdef ．记x ＝b ³104＋c ³103＋d ³102＋e ³10＋f ，于是81³a ³105＋81x ＝208³105＋a ³106＋x 解得x ＝1250³(208－71a ) ．因为0≤x ＜105，所以0≤1250³(208－71a )＜105，故128 71＜a ≤208 71．因为a 为整数，所以a ＝2．于是x ＝1250³(208－71³2)＝82500．所以，小明家原来的电话号码为282500．（11）解：（1）x＝12满足条件．（2）因为x＝ba，a，b为互质的正整数，且a≤8，所以2－1＜ba＜3－1，即(2－1)a＜b＜(3－1)a．当a＝1时，(2－1)³1＜b＜(3－1)³1，这样的正整数b不存在．当a＝2时，(2－1)³2＜b＜(3－1)³2，故b＝1，此时x＝12．当a＝3时，(2－1)³3＜b＜(3－1)³3，故b＝2，此时x＝23．当a＝4时，(2－1)³4＜b＜(3－1)³4，与a互质的正整数b不存在．当a＝5时，(2－1)³5＜b＜(3－1)³5，故b＝3，此时x＝35．当a＝6时，(2－1)³6＜b＜(3－1)³6，与a互质的正整数b不存在．当a＝7时，(2－1)³7＜b＜(3－1)³7，故b＝3，4，5此时x＝37，47，57．当a＝8时，(2－1)³8＜b＜(3－1)³8，故b＝5，此时x＝5 8 .所以，满足条件的所有分数为12，23，35，37，47，57，58.（12）解：由①－2³②得(b－c) 2＝24(a＋1)＞0，所以a＞－1．当a＞－1时，b2＋c2＝2a2＋16a＋14＝2(a＋1)(a＋7)＞0．又当a＝b时，由①，②得c2＝a2＋16a＋14，③ac＝a2－4a－5④将④两边平方，结合③得a2 ( a2＋16a＋14)＝(a2－4a－5) 2化简得24a3＋8a2－40a－25＝0，故(6a＋5)(4a2－2a－5)＝0，解得a＝－56，或a＝1±214．所以，a的取值范围为a＞－1且a≠－56，a≠1±214．（13）证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE ＝∠ACE ．又P A 是⊙O 所以∠KAP ＝∠ACE ，故∠KPE ＝∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ， 所以KP KA ＝KE KP，即 KP 2＝KE ²KA ． 由切割线定理得 KB 2＝KE ²KA 所以KP ＝KB ．因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是PE CE ＝KP AC 故 PE CE ＝KB AC， 即 PE ²AC ＝CE ²KB（14）解：设10个学生为S 1，S 2，…，S 10 ，n 个课外小组G 1，G 2，…，G n ．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为S 1，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设S 1恰好参加G 1，G 2，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与S 1没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数之和不小于3³10＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数不超过5n ， 故5n ≥30，所以n ≥6．下面构造一个例子说明n ＝6是可以的．G 1＝｛S 1，S 2，S 3，S 4，S 5｝，G 2＝｛S 1，S 2，S 6，S 7，S 8｝，G 3＝｛S 1，S 3，S 6，S 9，S 10｝， G 4＝｛S 2，S 4，S 7，S 9，S 10｝，G 5＝｛S 3，S 5，S 7，S 8，S 9｝，G 6＝｛S 4，S 5，S 6，S 8，S 10｝．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n 的最小值为6．。
2006年全国初中数学竞赛试题(含答案)
选择题1.C具体方法：19+4*9=552.C具体方法：不明3.B具体方法：因为平行，且左右对称，所以原点到三角形斜边与y轴的交点就是高h，所以有y=x, 又因为题目有y=x的平方，解方程组有x=1,x=o（舍去），所以斜边是2，h=1。
4.B具体方法：把4边形剪成62边形，要剪58次，而且剪出来的都是3角形，3角形要剪成62边形要59次，所以总共要剪58+59*33=20055.D具体方法：不明，不过可自己画一幅精确的图去量出来（迫不得已啊……）6. 5013具体方法：把已知的两式相加得b+c=4011,因此只需讨论a的最大值，因为a＜b ，所以容易知道a=1002所以最大值为1002+4011=50137.—20/3具体方法：因为正三角形面积为1，可求出3边的值，根据正三角形底边的正方形的边与底边的比值可以求出正方形的一边，接着求出正方形面积为28×根号3—48，因此可求出a=28,b=3,c=48,接着把它们分别代入就求得了8.104具体方法：先求出他们相隔400米时的时间，因为在这之前，他们不可能走在同一条线上，接着当他们相隔400时再向前拐弯，就一定是走在同一条线上，所以求出当他们相隔400米时，甲刚好走了12.5圈所以甲走了13圈时，就跟乙走在同一条线上，所以可求出时间为13×（400÷50）=104 9.6具体方法：根据题意得（1—11/30）＜a＜（1—12/30），求得0.6 ＜a＜0.633……，所以[10a]=610.282500具体方法：比较抽象麻烦，就不具体说明了，方法是用像根号的那个除法，就是小学2年级学的那种做除法的那种方法，一个个推出a,b,c,d,e,f.三` 11 (1)1/2 2/3 3/5 5/7 4/7 3/7 5/8。
2006年全国初中数学竞赛
B C （第2题） N2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．答案：D解：解方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.526,543a y a x 只需⎩⎨⎧>-<-;026,043a a 或⎩⎨⎧<->-.026,043a a 即a ＜34或a ＞3． 2．答案：B解：连结BE ，分别过E ，F 作A C 的平行线交BC 于点M 和N ，则EM =1，BM =3，MN =33134-=--．∴ 小三角形的周长是632=++MN MN MN cm ．3．答案：C解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、 （4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种．4．答案：D解：将抛物线C 再变回到抛物线A ：即将抛物线1)1(22-+=x y 向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线2)1(22--=x y ，而抛物线2)1(22--=x y 关于x 轴对称的抛物线是2)1(22+--=x y ．5．答案：A解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是3264=． 6．答案：A解： 经实验或按下述方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是()121321+=++++k k k ，应停在第()p k k 7121-+格，这里p 是整数，且使0≤()p k k 7121-+≤6，分别取k =1，2，3，4，5，6，7，时，()p k k 7121-+=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋．若7＜k ≤10，设t k +=7（t =1，2，3）代入可得，()p k k 7121-+=()1217++t t m ，由此可知，停棋的情形与t k =时相同．故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．7．答案：B解：假设有整数根，不妨设它的根是2k 或2k +1（k 为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A ；若a ，b ，c 分别取4，8，3则排除C ，D ．8．答案：C解：每个2×2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的2×2 小方格图形共有12个，故画出不同位置的L 形图案个数是12×4=48．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．答案：512 解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高(设为h )，则5h =3×4，h =512． 10．答案：35％或65％（答对一个给3分）解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35％或65％．11．答案：10解：不难验证，a 2=b 2+c 2．所以△ABC 是直角三角形，其中a 是斜边．b sin B +c sin C =a b b ⋅+ac c ⋅=a b c 22+=a a 2=a =10． 12．答案：00720031 解：方程组()⎩⎨⎧++=-+=k x k y k kx y 1,1的解为⎩⎨⎧-=-=.1,1y x 直线的交点是()1,1--． 直线1y kx k =+-，1y k x k =++（）与x 轴的交点分别是（kk -1，0）、 （1+-k k ，0）．11121+---⨯-⨯=k k k k S k =11121+-k k ．所以 1232006S S S S ++++ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+-00721006214131312121121 =0072003100721121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯． 13．答案：22 解：连结DM 并延长交EF 于N ，则△ADM ≌△ENM ，∴FN =1，则FM 是等腰直角△DFN 的底边上的E (第8题)高，所以FM =22． 14．答案：463 解：设这个等腰三角形的腰为x ，底为y ，分为的两部分边长分别为n 和2n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+;22,2n y x n x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.2,22n y x n x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==;35,32n y n x 或⎪⎩⎪⎨⎧==.3,34n y n x ∵ 35322n n <⨯(此时不能构成三角形，舍去)，∴ 取⎪⎩⎪⎨⎧==,3,34n y n x 其中n 是3的倍数． 三角形的面积2223663)6()34(321n n n n S =-⨯⨯=∆．对于23663n S =∆， 当n ≥0时，∆S 随着n 的增大而增大，故当n =3时，463=∆S 取最小． 三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．(12分)解：将b a 24+=代入210ab c +-=，得2b 2+4b +c 21-=0， ……………2分 ∴ 22622c b -±-=． …………………………………2分 ∵ b ，c 都是整数，∴ 只能取⎩⎨⎧==;1,011c b ⎩⎨⎧-==;1,022c b ⎩⎨⎧=-=;1,233c b ⎩⎨⎧-=-=1,244c b ，…4分 相对应a 1=4，a 2=4，a 3=０，a 4=0．故所求a b c ++的值有4个：5，3，1-，3-． ……………………………4分16．(12分)解：设分配给甲店铺A 款式服装x 件(x 取整数，且5≤x ≤30)，则分配给甲店铺B 款式服装(30x -)件，分配给乙店铺A 款式服装(35－x )件，分配给乙店铺B 款式服装[25－(30x -)]= (x 5-)件，总毛利润(设为y 总)为：y 总=30x +40(30x -)+27(35x -)+36(x 5-)= x -+1 965．………………………4分 乙店铺的毛利润(设为y 乙)应满足：y 乙=27(35x -)+36(x 5-)≥950，得x ≥9520．…………………………………3分 对于y 总=x -+1 965，y 总随着x 的增大而减小，要使y 总最大，x 必须取最小值，又x ≥9520，故取x =21．即分配给甲店铺A ，B 两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A ，B 两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大， ………………………………………3分 其最大的总毛利润为：y 总最大=21-+1 965=1 944(元)．…………………………2分n -1 （第17题）17．(12分)解：(1) 一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=(线段的长度÷圆的周长)圈．因此若不考虑⊙O 滚动经过n 个顶点的情况，则⊙O 自身恰好转动了一圈． ……………………………………………3分现证明，当⊙O 在某边的一端，滚动经过该端点(即顶点)时，⊙O 自身转动的角度恰好等于n 边形在这个顶点的一个外角． 如图所示，设∠A 2 A 1 A n 为钝角，已知A n A 1是⊙O 的切线，⊙O 滚动经过端点A 1后到⊙O '的位置，此时A 1A 2是⊙O '的切线，因此OA 1⊥A n A 1，O 'A 1⊥A 1 A 2．当⊙O 转动至⊙O '时，则∠γ 就是⊙O 自身转动的角度．∵∠γ +∠β =90º，∠α+∠β =90º，∴∠γ =∠α ．即⊙O 滚动经过顶点A 1自身转动的角度恰好等于顶点A 1的一个外角． ………………………3分 对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证．（注：只证明直角的情况，只给2分） ∵ 凸n 边形的外角和为360º，∴ ⊙O 滚动经过n 个顶点自身又转动了一圈．………………………………3分 ∴ ⊙O 自身转动了两圈．(2) ⊙O 自身转动的圈数是)1(+ab 圈． …………………………………………3分 18．(14分)解：(1) 该二次函数图象的顶点P 是在某条抛物线上． ……………………2分求该抛物线的函数表达式如下：利用配方，得y =(x +m +1)2m m 32--，顶点坐标是P (1--m ，m m 32--)．……………………2分方法一：分别取m =0，1-，1，得到三个顶点坐标是P 1(1-，0)、P 2(0，2)、 P 3(2-，4-)，过这三个顶点的二次函数的表达式是y =2x -+x +2． …………3分 将顶点坐标P (1--m ，m m 32--)代入y =－x 2+x +2的左右两边，左边=m m 32--， 右边=(-1--m )2+(1--m )+2=m m 32--，∴ 左边=右边．即无论m 取何值，顶点P 都在抛物线y =2x -+x +2上．即所求抛物线的函数表达式是y =2x -+x +2．…3分 （注：如果没有“左边=右边”的证明，那么解法一最多只能得4分）方法二：令1--m =x ，将m =1--x 代入m m 32--，得(-1--x )2－3(1--x )=2x -+x +2．………………………………………………3分 即所求抛物线的函数表达式是y =2x -+x +2上． ………………………………3分(2) 如果顶点P (1--m ，m m 32--)在直线y =x +1上，则m m 32--=1--m +1， …………………………………2分即m m 22-=． ∴ m =0或 m =2-．∴当直线y =x +1经过二次函数y =x 2+2(m +1)x m -+1图象的顶点P 时，m 的值是2-或0． ………………2分。
2006年八年级数学竞赛试题
2006年八年级数理竞赛试题数学部分一、选择题（每题3分，共15分）1、若|x-8y|+（4y-1）2=0，则（x+2y ）3值为（ ）A 、641B 、116425C 、1585 D 、27 2、今有煤m 吨，现在每天需烧掉a 吨，如果每天能节约b 吨，可比原来多烧（ ）天 A 、b a m --a m B 、b a m - C 、-a m D 、a m -b a m - 3、已知∠AOB=40。
，∠BOC=60。
，那么射线OB （ ）A 、在∠AOC 内，B 、在∠AOC 外 C 、在∠AOC 内或∠AOC 外D 、与∠AOC 一边垂直4、已知|x|=5，（y-2）2=16，则xy=（ ）A 、30或—30B 、30或—10C 、30或—30，10或—10D 、10或—105、一次函数y=kx+3，当x 减少2时，y 的值增加6，则k 的值为（ ）A 、—3B 、23C 、3D 、-23二、阅读理解并填空（每空1分，共10分）九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册中，有以下几段文字：“对于坐标平面内任意一点M ，都有唯一的一对有序实数（x ，y ）和它对应；对于任意一对有序实数（x ，y ），在坐标平面内都有唯一的一点M 和它对应，也就是说，坐标平面内的 点与有序实数对是一一对应的。
”“一般地，对于一个函数，如果把自变量x 与函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内指出相应的点，这些点所组成的图象。
”“实际上，所有一次函数的图象都是一条直线。
”“因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线，就可以了。
”由此可知：满足函数关系式的有序实数对所对应的点，一定在这个函数的图象上；反之，函数图象上的点的坐标，一定满足这个函数的关系式。
另外，已知直线上两点坐标，便可求出这条直线所对应的一次函数的表达式。
（1）已知点A （m ，1）在直线y=2x-1上，求m 的方法是______________________________________________________________________,所以m=_______;已知点B(-2,n)在直线y=2x-1上,所以n=___________.(2)已知某一次函数的图象经过点P(0,5)和Q(—7，—9)，求这个一次函数的表达式时一般先_________________________,,再有已知条件可得_____________________________,解得______________.所以满足已知条件的一次函数的表达式为_____________________,这个一次函数的图象与两坐标的交点坐标为_________________,再平面直角坐标系中,描出这两个点,并画出这个函数的图象.像解决问题(2)这样_______________________________的方法,叫做待定系数法.三、运用创新题1、初中学生的视力状况已受到全社会的广泛关注。
2006年初中数学竞赛模拟试题
１ ． ０ ＋ １＋ ２十 ３＋ … ＋ ２０ 。中 ， 有 １ ０ 奇 数 ， ２在 。 ０５ 共 ０ ３个 因此 ， 无论 怎么添加 “ 号 或“ 号 ， 代数 和必 为奇数． ＋” 一” 其 于 是 ， １ 个 正整 数 中 ， 表 出 的 数 必 在 １ ３ ５ ７ ９之 中． 面 前 Ｏ 可 ，，， ， 下 说 明 这 ５个 数 都 可 表 出 ． 于 ４个 连 续 平 方 数 。 （ １ ， 对 ， ＋ ）
０ （） ・ １ ＡＢ一
＜ ＋ ， － ＋÷≤ ≤ ÷ ，－ ＋ ≤ｎ ÷ ｋ ｎ ＋ ＋ ｋ １ ≤ ＋ ．
这 说 明 当 取 七 一 ＋ １ 一 ， ＋２ … ， ＋七这 ２ ， 个 自然
√ 一
数时 ， 接 近 的整 数都 是 ． 与√ 最 由于 ４ ４ １８ ， ４ ＋４ — ９０ 则有
Ｄ． 无 数 多 个 有 ６从小到大 排 列 的 １ ． １个 两 两 不 等 的 自然 数 ｎ ， … ， 。ｎ ，
，
２ 已 知 平 行 四 边 形 ＡＢ Ｄ 中 ， 一 ３ Ｂ ． Ｃ ＡＢ ， Ｃ＝ ２ Ａ一６ 。 ， ０，
它们的和为 ２ ０ ． 么，ｅ ０５那 ａ 的最大 最小值之和为（
Ａ． １ Ａ Ｂ １ ＜ Ａ Ｂ １ １＜ 一 一 ２ ＋ ＜ ３
一 赛
Ｂ １ ＜ Ａ０ Ｂ： １ ＜ Ａ Ｂ ＜ １ ． １ 一 ｉ ２ ＜ ＋ ３
Ｃ． ２ Ａ。 Ｂ０ １ ＜ Ａ １＜ 一 — ３ ＋ ＜ ｌ ４ Ｄ． ２ Ａ Ｂ １ ＜ Ａ。 Ｂ ＜ １ １＜ 一 ＜ ３ ＋ 。 ４
７ 如图 １ 在等腰 直角三角形 ＡＢ ． ， Ｃ 中 ， Ａ一 ９ 。ＡＢ一 １ Ｅ 为 腰 ＡＣ 上 任 ０， ， 意一 点 ， 为 底 边 Ｂ 上 一 点 ， Ｅ Ｆ Ｃ 且 Ｆ上 Ｂ ． ＡＥ Ｅ记 ＝ｘ，ｋ Ｅ 的 面积 为 厂（ ） ／Ｃ Ｆ ｚ，
2006年全国初中数学竞赛预选赛试题
FEODCBA DCB A2006年全国初中数学竞赛预选赛试题题号 一二总1 2345得一、选择题(第小题5 ，共25 ) 列各题给出A 、B 、C 、D 四个答案，其中只有一个是 确的，请把 确答案的序号选出来，填在题 括号 ．已知点M(93−a ，a −1)在第 象限，且它的坐标都是整数，则a 等于A ．0B ．1C ．2D ．3、乙、丙 家超市为了促销一种定 相 的商品， 超市连续两次降 以代%，乙超市一次性降 4代%，两超市第一次降 3代%，第二次降 令代%，那 顾客在哪家超市购买这种商品更合算A ．B ．乙C ．丙D ．一样若等腰梯形两底之差等于一腰的长，则腰 底的夹角为A ．°60B ．°30C ．°45D ．°15 一个 角形两边长 别是2和4，第 边长适合方程0121022=+−x x ，则周长是 A ．8 B ．9 C ．8或9 D ．10O 为圆心的两个 心圆，大圆的半径为13，小圆的半径为5，若大圆的弦AB 和小圆相 ，则弦AB 的长为A ．24B ．20C ．12D ．10 二、填空题( 小题6 ，共30 ) 若a a a =−+−20062005，则22005−a 称_______．若 等式<−<−ax b aa x 536732的解集是5 x <22时，则a 称__，b 称__．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象 x 轴交于点(-以，代)，(1x ，代)，且令 1x 以， y 轴 半轴的交点在(代，以)的 方， 列结论 0<<b a 02>+c a04<+c a 012>+−b a ．其中 确的结论是_______．(填写序号)如图， 方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 是 方形O C B A '''的一个顶点，如果两个 方形的边长都是2cm ，求两个 方形 叠部 的面 是_____2cm ．321OEDCBA如图，在两个直角 角形中，∠ACB=∠ADC=°90，AC=6，AD=2，那 当AB 的长等于_____时，使得两个 角形相似． 、解答题(令代 )已知关于x 的方程032=++a x x 的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程023)1(2=−+−a x x k 有实数根，又k 为 整数，求 数式6122−+−k k k 的值．(令以 )已知:如图，BC 为半圆的半径，O 为圆心，D 是⌒AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ．(1)试判断 △ABE ∽△DBC 成立吗 说明理(2)已知BC=25，CD=25，求AEB ∠sin 的值 (3)在(2)的条 ，求弦AB 的长．PN M F ED C B AAB CD E FM N P (令3 )在车站开始检票时，有a (a 代) 旅客在候车室排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口的速度 是固定的．若开一个窗口，则需3代 钟可将排队等候检票的旅客全部检票完毕 若开放两个检票口，则只需令代 钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕 如果要在5 钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕， 使 来到站的旅客能随到随检，至少 时开放几个检票口(令5 )已知 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，直线MN 是梯形的对 轴，P 是MN 一点，直线BP 交直线DC 于F ，交CE 于E ，且CE ∥AB ．(1)若点P 在梯形的内部，如图 ．BP 2=PE ·PF 成立吗 为什(2)若点P 在梯形的外部，如图 ．那 (1)的结论是否成立 若成立，请证明 若 成立，请说明理 ．图 图(令5 )某校数学研究性学 小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个 要结论 一是发现抛物线322++=x ax y (0≠a )，当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线 二是发现当实数a 变化时，若把抛物线322++=x ax y 的顶点的横坐标 少a 1，纵坐标增加a 1，得到A 点的坐标 若把顶点的横坐标增加a 1，纵坐标增加a1，得到B 点坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线322++=x ax y ．(令)请你协助探求出实数a 变化时，抛物线322++=x ax y 的顶点所在的直线的解析式(以)问题(令)中的直线 有一个点 是抛物线的顶点，你能找出它吗 并说明理 (3)在他们的第二个发现启发 ，运用 一般里特殊里一般 的思想，你能发现什 一般结论 请你用数学语言将你猜想表达出来，你的猜想成立吗 若能成立，请说明理 ．参考答案及评 标准一、 C B A B A ． 二、 2006522，637 1 3或23． 、 解 设方程 的两个根为1x 、2x ，则≥−=∆=⋅−=+04932121a a x x x x条 知21212111x x x x x x ⋅+=+称3 即33=−a 且49≤a ，故1−=a ．…………………………5 则方程 为023)1(2=−+−a x x k当1−k =0即1=k 时，6122−+−k k k 称代 当01≠−k 时，)1(89−−=∆k =0817≥−k ， 817≤k ． 又 k 是 数，且01≠−k ， k 称以，但使6122−+−k k k 无意 ． 综 ， 数式6122−+−k k k 的值为代.…………………………令代解 (令)△ABE ∽△DBC 成立．⌒AC =⌒CD ， ∠1=∠2．又BC 是⊙O 的直径， ∠BAC=∠BDC=°90．△ABE ∽△DBC ．……………………………………………3 (以) △ABE ∽△DBC ， ∠AEB=∠DCB ． 在Rt △BCD 中，BC=25，CD=25， BD=22CD BC −=5． AEB ∠sin =DCB ∠sin =552255==BC BD ．………………7 (3) ∠1=∠2，∠2=∠3， ∠1=∠3． 又∠ADE 是公共解， △AED ∽△BAD ．ADDEBD AD =，即BD DE AD ⋅=2． 又CD=AD=25， 5)5(25(2⋅−=BE ，BE=453．≤+×=+=+nyx a y x a yx a 55102103030PNM FED CB A A B CD EFM N P在Rt △ABE 中，AB=BE ·AEB ∠sin =453·552=23．…令以 解 设检票开始 钟增加的旅客为x 人，检票的速度为 个检票口 钟检票y 人，5 钟内检票完毕 时开放n 个检票口，根据题意，得 (7)×3- ，得y a 302=，a y 154=把 入 ，得30ax =把 入 ，得36an a a ⋅≤+．0>a ， 5.3≥n ．……………………………………………令代 n 取最小整数，所 4=n ．故至少需 时开放4个检票口．解 (令)成立连接PC ．MN 是对 轴， 四边形ABNM 沿MN 折叠 DCNM 合． ∠1=∠2，PB=PC ． CE ∥AB ， ∠1=∠E ．又∠CPE 是公共角， △CPE ∽△EPC ．PCPF PE PC =，即PC 2=PE ·PF ． PB 2=PE ·PF ．……………………………………………7 (以)成立． 连接PC ．MN 是对 轴， 四边形ABNM 沿MN 折叠 DCNM 合． ∠ABP=∠DCP ，PB=PC ．CE ∥AB ， ∠ABP ∠CEP 互补．…………令代又∠DCP ∠PCF 互补， ∠CEB=∠PCF ．又∠CPE 是公共角， △PCE ∽△PFC ．PCPFPE PC =，即PC 2=PE ·PF ． PB 2=PE ·PF ．…………………………令5解 (令) 322++=x ax y 称aa x a 13)1(2−++顶点坐标为(a 1−，a13−)．设顶点所在直线为b kx y +=(0≠b )，1=a ，则a 1−=1−，a 13−=2， 1−=a ，则a 1−=1，a13−=4．将(1−，2)，(1，4) 入b kx y +=，得3+=x y ．即抛物线322++=x ax y 在直线3+=x y ． (5)(以) 点(代，3)在直线3+=x y ，但 点 是抛物线322++=x ax y 的顶点．01≠−a ，313≠−a． 故点(代，3) 是抛物线322++=x ax y 的顶点．……………令代(3)得出猜想 对于抛物线c bx ax y ++=2(0≠a )，得其顶点的横坐标增加或 少a1，纵坐标增加a1，所得两个点一定仍在抛物线 ． 抛物线c bx ax y ++=2(0≠a )的顶点坐标为(a b 2−，a b ac 442−)． 将其横坐标 少a 1，纵坐标增加a 1，得A(a b 22+−，ab ac 4442+−)把ab x 22+−= 入c bx ax y ++=2，得 c a b b a b a y ++−++−=)22()22(2称ab ac 4442+−． 点A 在抛物线c bx ax y ++=2 ．理可证得点B 在抛物线c bx ax y ++=2 ，故猜想能成立．令5。
2006年全国各地九年制义务教育初三数学竞赛试题及参考答案解析决赛试卷
2006年全国九年级义务教育初中中考数学联赛决赛试卷一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.已知四边形ABCD 为任意凸四边形,E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,用S ,P 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；1S ,1P 分别表示四边形EFGH 的面积和周长,设1S K S =,11PK P =,则下面关于K ,1K 的说法正确的是( ) A.K ,1K 均为常值B.K 为常值,1K 不为常值C.K 不为常值,1K 为常值D.K ,1K 均不为常值 【解析】 B .如图,易知14AEH ABD S S =△△,14CFG CBD S S =△△,故14AEH CFG S S S +=△△.同理,14BEF DHG S S S +=△△.故112S S =,即K 2=为常值.又易知1P AC BD =+,特别的,若取邻边长分别为1、2的矩形,则1K =；再取邻边长分别为1、3的矩形,则1K ==故1K 不是常值.GHFEDCBA2.已知m 为实数,且sin α,cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根,则44sin cos αα+的值为( )A.29B.13C.79 D,1 【解析】 C .由根与系数的关系知1sin cos 3αα=,则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-⋅=.3.关于x 的方程21x a x =-仅有两个不同的实根,则实数a 的取值范围是( ) A.0a > B.4a ≥C.24a <<D.04a <<【解析】 D .当0a <时,无解；当0a =时,0x =,不合题意；当0a >时,方程化为21x a x =±-,整理得20x ax a -+=或20x ax a +-=.这两个方程的判别式分别为214a a =-△和224a a =+△.∵20>△,原方程仅有两个不同实根,所以2140a a =-<△,从而04a <<.4.设0b >,2220a ab c -+=,2bc a >,则实数a ,b ,c 的大小关系是( ) A.b c a >> B.c a b >> C.a b c >> D.b a c <<【解析】 A .由2bc a >及0b >,知0c >.由222ab a c =+及0b >,知0a >.由2220a ab c -+=,知()2220b c a b -=-≥,从而b c ≥.若b c =,由2220a ab c -+=知a b =,从而a b c ==与2bc a >矛盾,故b c >. 由22b bc a >>,知b a >；又由22222a c ab a +->,知c a >.5.设a ,b 为有理数,且满足等式a +则a b +的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】 B .3==,所以3a +=+即()(310a b -+-. 由a 、b 为有理数,则3a =,1b =,即4a b +=.6.将满足条件“至少出现一个数字0,且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20,40,60,80,100,104,……,则这列数中的第158个数为( ). A.2000 B.2004 C.2008 D.2012 【解析】 C .在正整数中,是4的倍数的特征为末两位数字是4的倍数,其中包含数字0的7种情形:00,04,08,20,40,60,80和包括数字0的18种情形.显然,满足条件的两位数仅有4个；满足条件的三位数共有9763⨯=个；满足条件千千位数字为1的四位数共有71018188⨯+⨯=个.因为46388155++=,则从小到大的第155个满足条件的数为1980.下面满足条件的数依次为2000,2004,2008.故这列数中的第158个数为2008.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.函数220062008y x x =-+的图象与x 轴交点的横坐标之和等于 . 【解析】 0.原方程可转化为求方程2200620080x x -+=的所有实根之和.若实数0x 为方程的根,则其相反数0x -也为该方程的根,所以,方程的所有实根之和为0,即与x 轴交点的横坐标之和为0.2.在等腰Rt ABC △中,1AC BC ==,M 是BC 的中点,CE AM ⊥于E 交AB 于F ,则MBF S =△ .【解析】 112.如图,作BG BC ⊥交CF 的延长线于点G ,易证Rt Rt ACM CBG △≌△.故BG CM =,12CBG ACM ABC S S S =-△△△.由易证BFM BFG △≌△,故BGF BMF CMF S S S ==△△△.从而1113612MBF CBG ABC S S S ===△△△.MGF ECBA3.x 取值为 .【解析】 83.在直角坐标系xOy 中,设()0,2A -,()8,4B ,(),0P x ,有PAPB则10PA PB AB +=≥.当且仅当A 、P 、B 三点共线时,上式等号成立.因此,当且仅当A 、P 、B 三点共线时,原式取最小值.此时,易知BCP AOP △∽△,有2CP BCPO AO==.从而,1833OP OC ==.故原式取最小值时,83x =.4.在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点坐标分别为()00O ，、()1000A ，、()100100B ，、()0100D ，.若正方形OABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足:POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,就称格点P 为“好点”,则正方形OABC 内部“好点”的个数为 .(注:所谓“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.) 【解析】 如图,过点P 分别作PD 、PE 、PF 、PG 垂直于点OA 、AB 、BC 、OC 于点D 、E 、F 、G .易知100PF PD +=,100PE PG +=.由POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,知PD PF PE PG ⋅=⋅,即()()100100PD PD PG PG -=-.化简为()()1000PD PG PD PG -+-=,故PD PG =或100PD PG +=,即PD PG =或PG PF =. 于是P 为对角线OB 上的点或P 为对角线AC 上的点.因此,当且仅当P 为对角线OB 或对角线AC 内部的格点时,点P 为好点.易知OB 内部有99个好点,AC 内部也有99个好点,又知对角线OB 与AC 的交点也为好点,于是满足条件的好点个数为99991197+-=个.三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)1.如图,D 为等腰ABC △底边BC 的中点,E 、F 分别为AC 及其延长线上的点.又已知90EDF ∠=o ,1ED DF ==,5AD =.求线段BC 的长.DEC FBA【解析】 如图,过点E 作EG AD ⊥于点G ,过点F 作FH AD ⊥于点H ,则EDG DFH ∠=∠.故Rt Rt EDG DFH △≌△.设EG x =,DG y =,则DH x =,FH y =,且221x y +=.又Rt Rt AEG AFH △∽△,则EG AGFH AH=.即55x y y x -=+. 化简为()225x y y x +=-. 由上述两式解得35x =,45y =. 又因为Rt Rt AEG ACD △∽△,则CD EGAD AG=. 故35554755EG CD AD AG =⋅=⨯=-.所以,1027BC CD ==.FEDC B A2.在平行四边形ABCD 中,A ∠的平分线分别与BC 及DC 的延长线交于E 、F ,点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心.⑴ 求证:O 、E 、1O 三点共线； ⑵ 求证:若70ABC ∠=o ,求OBD ∠的度数.【解析】 ⑴如图,连结OE 、OF 、1O A 、1O E .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以ABE ECF ∠=∠.又因为点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心,所以OE OF =,11O A O E =,122EOF ECF ABE AO E ∠=∠=∠=∠. 于是有1OEF O EA △∽△.故1OEF AEO ∠=∠,所以O 、E 、1O 三点共线.⑵连接OD 、OC .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以,CEF DAE BAF CFE ∠=∠=∠=∠. 故CE CF =.又因为点O 为CEF △的外心,所以OE OF OC ==. 则OCE OCF △≌△,有OEC OFC OCF ∠=∠=∠.故OEB OCD ∠=∠.又BAE EAD AEB ∠=∠=∠,则EB AB DC ==. 因此OCD OEB △≌△.所以,ODC OBE ∠=∠,OD OB =,ODC OBC ∠=∠,OBD ODB ∠=∠,OBD OBC CBD ∠=∠+∠ODC BDA =∠+∠ADC BDO =∠-∠ABC OBD =∠-∠.故12OBD ABC ∠=∠.DO 1O FEDCBA3.设p 为正整数,且2p ≥.在平面直角坐标系中,连结点()0A p ，和点()0B p ，的线段通过1p -个格点()111C p -，,…,()i C i p i -，,…,()111p C p --，. 证明:⑴ 若p 为索数,则在原点()00O ，与点()i C i p i -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点；⑵ 若在原点()00O ，与点()1i C i p -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点,则p 为索数.【解析】 ⑴用(),P a b 表示OAB △内的格点,a 、b 为正整数.假设结论不成立,则点P 位于某条线段1OC 内部(如图9).过点P 作PE OB ⊥于点E ,过点i C 作i C F OB ⊥于点F .由i OEP OFC △∽△,知b p ia i-=,其中11i p -≤≤. 易知1a i <≤,1b p i <-≤. 由b p ia i-=知()a b i ap +=,从而|i ap . 因为p 为质数,且11i p <-≤,则i 与p 互质.从而|i a ,故i a ≤,这与a i <矛盾. 所以,假设不成立,从而原结论成立. ⑵假设结论不成立,即p 为合数.故p xy =,其中x 、y ∈N ,且2,1x y p -≤≤.因为OAB △内部的格点的横、纵坐标之和可以是从2到1p -之间的任何整数,故必存在一格点(),P a b ,满足a b x +=,于是()a b y xy p +==,即ay by p +=.因此点(),ay by 必是()11,1C p -,()22,2C p -,…,()11,1p C p --中的一个点,设为(),i C i p i -.从而有ya i =,by p i =-,故b p ia i-=. 所以,点(),P a b 在线段i OC 内部,即在线段i OC 上除端点外还有其他格点,这与已知矛盾. 故原结论成立.。
2006年第二学期八年级数学竞赛试题(含答案)-
二○○六学年第二学期八年级数学竞赛试题（本卷满分120分，考试用时120分钟）一、选择题（本题有6小题，每题5分，共30分）1、在关于x 1、x2、x 3的方程组 中，已知P 1＞P 2＞P 3那么x 1、x 2、x 3的大小顺序是（ ）A. x 1＞x 2＞x 3B. x 2＞x 3＞x 1C. x 3＞x 1＞x 2D. x 2＞x 1＞x 3 2、六个全等的直角三角形拼接成如图的花环状图案，ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1都是正六边形，已知∠ABB 1＝90°AB ＝3，则正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为（ ） A.2B. 1C.D. 3、一个均匀的立方体六个面上分别标有1、2、3、4、5、6，右图是这个立方体表面的展开图，抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的 的概率是（ ）A.B. C. D.4、甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲单独做了10天，然后，乙队加入合做，完成剩下的全部工程，设工程总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比由甲单独完成这项工程所需的时间少（ ）A. 2天B. 3天C. 4天D. 5天5、如图A 、B 、C 是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 的距离为（ ） A.2B.1052C.1054D.10516、正实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，设m ＝13+a ＋13+b ＋13+c ，则（ ） A. m ＞4B. m ＝4C. m ＜4D.m 与4的大小关系不确定x 1＋x 2＝P 1x 2＋x 3＝P 2 x 3＋x 1＝P 3212221ABDEFA B C D E F 111111(第2题图)123546(第3题图)61312132(第4题图)A(第5题图)二、填空题（本题有6小题，每题5分，共30分）7、如图，锐角△ABC 中，AD 和CE 分别是BC 和AB 边上的高，若AD 与CE夹的锐角为54º，则∠BAC ＋∠BCA 的大小是 。
2006年“信利杯”全国初中数学竞赛试题及答案
2006年“信利杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号内，不填、多填或错填得零分。
）1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。
刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）（A）36 （B）37 （C）55 （D）902、已知m=1+2，n=1—2，且（7m2—14m+a）（3n2—6n—7）=8，则a的值等于（）（A）—5 （B）5 （C）—9 （D）93、RtΔABC的三个顶点A、B、C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x 轴。
若斜边上的高为h，则（）（A）h＜1 （B）h=1 （C）1＜h＜2 （D）h＞24、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 Array5、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，PGFE DCBA连结DP ，DP 交AC 于点Q ，若QP=QO ，则QAQC的值为（ ） （A ）23—1 （B ）23 （C ）3+2 （D ）3+2 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6、已知a 、b 、c 为整数，且a+b=2006，c —a=2005。
若a ＜b ，则a+b+c 的最大值为7、如图，面积为a b —c 的正方形DEFG 内接于面积 为1的正三角形ABC ，其中a 、b 、c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bca -的值等于8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米。
2006年八年级(下)数学竞赛试题
汉城纽约多伦多伦敦北京2006年八年级（下）数学竞赛试题时间：100分钟 满分：150分 命题人：陈建卫 一、选择题（每小题4分，共40分） 1、北京等5个城市的国际标准时间可在数轴上表示（如右图）： 如果将两地国际标准时间的差简称为时差，那么----------------------------------------------（ B ） A ．汉城与纽约的时差为13小时 B ．汉城与多伦多的时差为13小时 C ．北京与纽约的时差为14小时 D ．北京与多伦多的时差为14小时2、如图1，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m (g)的取值范围，在数轴上 可表示为3、学校篮球场的长是28米，宽是---------------------------------------------------------------------（ B ）A ．5米B ．15米C ．28米 D ．34米4、小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有------------------------------------------------------------------------------------------（A ） A ．正三角形、正方形、正六边形B．正三角形、正方形、正五边形C ．正方形、正五边形D ．正三角形、正方形、正五边形、正六边形5、将一正方形纸片按图2中⑴、⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的---------------------------------------( B )A ．B ．C ．D ． 6、小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如图3所示），则这个正方体礼品盒的平面 展开图可能是------------------------------------------------------------------------------------------（ A ）A ．B ．C ．D ．7、法国的“小九九”从“一一得一” 到 “五五二十五”和我国的“小九九”是 一样的，后面的就改用手势了。
2006年初中数学竞赛模拟试题(2)含答案-
2006年初中数学竞赛模拟试题(2)一、选择题（每小题6分，共30分）1．已知4=-b a ，042=++c ab ，则b a +＝（ ） （A ）4 （B ）0 （C ）2 （D ）－22．方程xx x x ||34||=-的实根的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于O ，△AOD 的面积为4，△BOC 的面积为9，则梯形ABCD 的面积为（ ） （A ）21 （B ）22 （C ）25 （D ）264．已知⊙O 1与⊙O 2是平面上相切的半径均为1的两个圆，则在这个平面上有（ ）个半径为3的圆与它们都相切． （A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）65．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是（ ） （A ）11 （B ）13 （C ）17 （D ）19二、填空题（每小题6分，共30分）6．已知等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，若底边BC ＝8cm ，则△ABC 的面积为 ．7．△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于 ． 8．若[]x 表示不超过x 的最大整数，且满足方程[]04953=-+x x ，则x ＝ ．9．若直线1103457323=+y x 与直线897543177=+y x 的交点坐标是（a ，b ），则222004b a +的值是 ．10．抛物线5422--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移两个单位，得抛物线C ，则C 关于y 轴对称的抛物线解析式是 ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．如图所示，在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝4，D 为AB 的中点，E 为AC 边上一点，且∠AED ＝90°＋21∠C ，求CE 的长．12．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？A DB CE13．已知一个两位数，其十位与个位数字分别为p 、q ，二次函数p qx x y ++=2的图象与x 轴交于不同的两点A 、B ，顶点为C ，且S △ABC ≤1．（1）求p q 42-的取值范围；（2）求出所有这样的两位数pq ．14．已知n 是正整数，且12+n 与13+n 都是完全平方数．是否存在n ，使得35+n 是质数？如果存在，请求出所有n 的值；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．B 2．A 3．C 4．D 5．C二、填空题6．8cm 2或32cm 2 7．14 8．319 9．2008 10．3822+-=x x y 三、解答题11．作BF ∥DE 交AC 于F ，作∠ACB 的平分线交AB 于G ，交BF 于H ．则∠AED ＝∠AFB ＝∠CHF ＋21∠C 。
2006年全国初中数学竞赛试题
2006年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号.不填、多填或错填得零分）。
1. 在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）。
（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）90 2. 已知21+=m ，21-=n ，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ）。
（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 3. Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）。
（A ）1<h （B ）1=h （C ）21<<h （D ）2>h 4. 一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）。
（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）20075. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（ ）。
（A ）132- （B ）23 （C ）23+ （D ）23+二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6. 已知c b a ,,为整数，且b a +＝2006，a c -＝2005．若b a <，则c b a ++的最大值为_____________。
2006年初中数学竞赛模拟试卷
2006年初中数学竞赛模拟试卷班级 姓名 得分一、选择题（每题5分） 1. 抛物线q px xy ++=2与Ｘ轴的两个交点Ａ、Ｂ及顶点Ｃ构成等腰直角三角形则该抛物线向上平移多少个单位后与Ｘ轴只有一个交点（ ） A ．１ B ．２ C ．３ D ．４2. 已知函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图3所示，给出以下结论：① a +b +c <0；② a -b +c <0；③ b +2a <0；④ abc >0 ⑤b 2－4ac ＞0． 其中正确结论的序号是（ ） A ． ③④ B ．②③⑤ C ． ①④⑤ D ． ①②③3.已知函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象如图，并设M ＝|a ＋b ＋c|－|a －b ＋c|＋|2a ＋b|－|2a －b|，则（ ） A. M ＞0 B. M ＝0 C. M ＜0 D.M 的符号不确定.4．已知a1、a2、…、a2004都是正数，设M ＝（a1＋a2＋…＋a2003）(a2＋a3＋…＋a2004)，N ＝（a1＋a2＋…＋a2004）(a2＋a3＋…＋a2003)，那么M 、N 的大小关系是（ ） A. M ＞N B. M ＝N C. M ＜N D. 不确定的.5．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1)1(22-+=x y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是（ ） A . 2)3(22-+-=x y B . 2)3(22++-=x y C . 2)1(22---=x y D . 2)1(22+--=x y6.已知：关于x 的方程x 2＋bx ＋c=0的两根为2006和2007 ，当x 依次取整数0，1，2，…，2008时，函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对应值依次为y 0 ，y 1 ，y 2 ，…， y 2008 这些值中能被6整除的数为（ ） A. 1368 B. 1369 C. 1370 D. 1371 二、填空题（每题5分）7. 已知点Ｐ１（x 1，２００5），Ｐ２（x 2，２００5）是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋２００6上（a ≠０）的两个不同点，则当x ＝x 1＋x 2时，y ＝9. 当n=1,2,3,…，2006时，所有二次函数y=(n 2+2n)x 2+(2n-1)x+1的图象与x 轴所截得的线段长度之和为 。
2006年初中数学竞赛模拟试卷
2006 年初中数学比赛模拟试卷班姓名得分一、（每 5 分）1.抛物 y x2px q 与Ｘ的两个交点Ａ、Ｂ及点Ｃ组成等腰直角三角形抛物向上平移多少个位后与Ｘ只有一个交点（）A ．１B ．２C．３D．４2.已知函数 y=ax2+bx+c(a≠ 0)的象如 3 所示，出以下：①a+b+c<0；② a- b+c<0；③ b+2a<0 ；④ abc>0 ⑤ b2－ 4ac＞0．此中正确的序号是（）A．③④ B ．②③⑤C．①④⑤D．①②③3. 已知函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的象如，并M＝ |a ＋ b＋ c| － |a － b＋ c| ＋ |2a ＋ b| －|2a － b| ，（）A. M ＞0B. M＝0C. M＜0D.M的符号不确立.4．已知 a1、 a2、⋯、 a2004 都是正数，M＝（ a1＋ a2＋⋯＋ a2003） (a2 ＋a3＋⋯＋ a2004) ，N＝（ a1＋ a2＋⋯＋ a2004） (a2 ＋ a3＋⋯＋ a2003) ，那么 M、 N的大小关系是（）A.M＞NB.M＝NC.M＜ND.不确立的.5．作抛物 A 对于 x 称的抛物B，再将抛物 B 向左平移 2 个位，向上平移 1 个位，获得的抛物 C 的函数分析式是y 2( x 1) 2 1 ，抛物A所的函数表达式是（）A.y2( x 3)22B.y2( x 3)22C.y2(x 1) 22D.y2( x 1) 226. 已知：对于x 的方程 x2＋ bx＋ c=0 的两根 2006 和 2007 ，当 x 挨次取整数0， 1， 2，⋯， 2008 ，函数 y＝ x2＋ bx＋ c 的挨次y0， y1，y2，⋯，y2008些中能被 6 整除的数（）A. 1368B. 1369C. 1370D. 1371二、填空（每 5 分）7.已知点Ｐ１（ x1，２００ 5），Ｐ２（ x2，２００ 5）是抛物 y＝ax2＋bx＋２００ 6 上（ a≠０）的两个不同点，当x＝x1＋x2， y＝9.当 n=1,2,3,⋯， 2006，全部二次函数y=(n 2+2n)x 2+(2n-1)x+1的象与 x 所截得的段度之和。
2006年初中数学竞赛模拟试题
2006年初中数学竞赛模拟试题一、选择题（本题有5小题，每小题6分，共30分）每小题都只有一个答案是正确的，多选不给分 1．如果多项式222242009p a b a b =++++，则p 的最小值是 （ ） （A ）2005 （B ）2006 （C ）2007 （D ）20082．一架天平因为两臂的长不相等，所以称得物体质量不准．要是把某物体放在天平的左盘，称得质量是1m 克，把这一物体放在天平的右盘，称得质量是2m 克，那么这个物体的准确质量（单位：克）是 （ ）（A ）221m m + （B ）21m m （C ）2121m m m m + （D ）22221m m +3．函数c bx ax y ++=2图象的大致位置如右图所示，则()()222222,,,2,,a b c b a b c a b a bc ab --+-++等代数式的值中，正数有 （ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 （第3题图）4．某工厂实行计时工资制，每个工人工作1小时的报酬是6元，一天工作8小时．但是用于计时的那口钟不准：每69分钟才使分针与时针重合一次，因此工厂每天少付给每个工人的工资是 （ ） （A ）2.20元 （B ）2.40元 （C ）2.60元 （D ）2.80元5．2条相交的弦把圆分成4部分，3条两两相交的弦最多能把圆分成7部分，如果两两相交的k 条弦最多能把圆分成n 部分，那么两两相交的k ＋1条弦最多能把圆分成几部分？答：（ ） （A ）n ＋1 （B ）2n （C ）n ＋k （D ）n ＋k ＋1二、填空题（本题有5小题，每小题6分，共30分）6．如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°， 若22PF PE +=8，则AB 等于 ． 7．若573-=+y x ，753-=-y x ，则=xy ．8．已知不论x 取何数值，分式53++bx ax 的值都为同一个定值， （第6题图） 那么bba +的值为 ． 9．如图，在□ABCD 中，∠B =60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，E ，F 为垂足. 设□ABCD 的面积为 S ，则△AEF 的面积为 ． 10．若二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0）． 则c b a S ++=的值的变化范围是 ． （第9题图） 三、解答题（本题有4小题，每小题15分，共60分）11．甲、乙两辆公共汽车分别自A 、B 两地同时出发，相向而行．甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进．各车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回．当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A 、B 两地距离．12．如图，四边形ABCD 内接于以BC 为直径的半圆O ，且AB=AD ，DA 、CB 的延长线相交于点P ，CE ⊥PE ，PB=BO ．已知DC=18，求DE 的长．13．（1）试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形（分得的正方形大小可以不相同）；又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形？（2）试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体（要求：不重复不遗漏，分得的立方体大小可以不相同）．14．如图，AB 、CD 是半径为1的⊙P 两条直径，且∠CPB=120°，⊙M 与PC 、PB 及弧都相切，O 、Q 分别为PB 、弧上的切点．(1)试求⊙M 的半径r ；(2)以AB 为x 轴，OM 为y 轴(分别以OB 、OM 为正方向) 建立直角坐标系， ①设直线m kx y +=过点M 、Q ，求k ，m ；②设函数c bx x y ++=2的图像经过点Q 、O ，求此函数解析式；③当c bx x y ++=2＜0时，求x 的取值范围；④若直线m kx y +=与抛物线c bx x y ++=2的另一个交点为E ，求线段EQ 的长度．参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1．B2006)1(2)1(22++++=b a p ，故最小值为2006．2．B设物体的准确质量为x ，左右两臂长分别为a ，b ，则21,am bx bm ax ==． 两式相乘，约去正数ab ，得212m m x =． 3. A显然，.0,0,0><<b c a 由12<-ab，得a b 2-<，所以02<+b a ； 由a －b ＋c <0得()()()022<+-++=-+c b a c b a b c a ；由a ＋b ＋c >0得a ＋b >－c >0，因此()0,,02222>->>-+a b a b c b a ．综上所述，仅有()2222,a b c b a --+为正数．4．C正常的时钟，分针与时针重合一次的时间为⎪⎭⎫⎝⎛+116060分，因此，工人一天实 际工作时间为30253116060698=+⨯（小时），超过3013830253=-（小时）． 少付工资60.253230136==⨯元． 5．D第k ＋1条直线与前面的k 条直线都相交，且不经过原有的任何一个交点，因此 把前k 条直线为边界的（k ＋1）个区域一分为二，增加了（k ＋1）个区域，结 果区域总数成为n ＋k ＋1．二、填空题（每小题6分，共30分） 6．4作E 关于AB 的对称点G ，则PG=PE ，PG ⊥PE ，22,822222===+=+FG FG PF PG PF PE ．但FG 所对的圆周角为45°，所以FG 所对的圆心角为90°，圆的半径为2． 7．57-)57(4)753()573()()(422-=---=--+=y x y x xy ，∴57-=xy ．8．58 当0=x 时，分式值为53． 所以当1=x 时，5353=++b a ，53=b a ，58=+b b a ．9．S 83由△ABE ∽△ADF 得AF AE AD AB =,即AFAEBC AB =， 易证∠B=∠EAF ，可知△AEF ∽△ABC ，相似比为23sin60=︒． 但△ABC 的面积为2S，所以△AEF 的面积为S S 83243=⨯． 10．20<<S分别令0=x ，1=y 和1-=x ，0=y ，求得1=c ，1-=b a ，∴b c b a S 2=++=． 由题设知，002<>-a ab且，∴02>b ．又由1+=a b 及0<a 可知22<b ． ∴20<<S ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．设甲车的速度为x(千米/时)，乙车的速度为y(千米/时)，A 、B 两地的距离为S(千米) …………（2分） 则…………（6分）即 …………（8分）①÷②得 …………（12分）去分母，化简得S 2-190S=0S ＝0(舍) S ＝190 …………（14分） 答：A 、B 两地的距离为190千米。
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学校 班级 考号 姓名_________________试场号______________ 装订线内不要答题 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆2006年初中数学竞赛模拟试题一、选择题（本题有5小题，每小题6分，共30分）每小题都只有一个答案是正确的，多选不给分 1．如果多项式222242009p a b a b =++++，则p 的最小值是 （ ） （A ）2005 （B ）2006 （C ）2007 （D ）20082．一架天平因为两臂的长不相等，所以称得物体质量不准．要是把某物体放在天平的左盘，称得质量是1m 克，把这一物体放在天平的右盘，称得质量是2m 克，那么这个物体的准确质量（单位：克）是 （ ）（A ）221m m + （B ）21m m （C ）2121m m m m + （D ）22221m m +3．函数c bx ax y ++=2图象的大致位置如右图所示，则()()222222,,,2,,a b c b a b c a b a bc ab --+-++等代数式的值中，正数有 （ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 （第3题图）4．某工厂实行计时工资制，每个工人工作1小时的报酬是6元，一天工作8小时．但是用于计时的那口钟不准：每69分钟才使分针与时针重合一次，因此工厂每天少付给每个工人的工资是 （ ） （A ）2.20元 （B ）2.40元 （C ）2.60元 （D ）2.80元5．2条相交的弦把圆分成4部分，3条两两相交的弦最多能把圆分成7部分，如果两两相交的k 条弦最多能把圆分成n 部分，那么两两相交的k ＋1条弦最多能把圆分成几部分？答：（ ） （A ）n ＋1 （B ）2n （C ）n ＋k （D ）n ＋k ＋1二、填空题（本题有5小题，每小题6分，共30分）6．如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°， 若22PF PE +=8，则AB 等于 ． 7．若573-=+y x ，753-=-y x ，则=xy ．8．已知不论x 取何数值，分式53++bx ax 的值都为同一个定值， （第6题图） 那么bba +的值为 ．9．如图，在□ABCD 中，∠B =60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，E ，F 为垂足. 设□ABCD 的面积为 S ，则△AEF 的面积为 ．10．若二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象的顶点在 第一象限，且过点（0，1）和（－1，0）． 则c b a S ++=的值的变化范围是 ．（第9题图）三、解答题（本题有4小题，每小题15分，共60分）11．甲、乙两辆公共汽车分别自A、B两地同时出发，相向而行．甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进．各车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回．当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A、B两地距离．12．如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的半圆O，且AB=AD，DA、CB的延长线相交于点P，CE ⊥PE，PB=BO．已知DC=18，求DE的长．13．（1）试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形（分得的正方形大小可以不相同）；又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形？（2）试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体（要求：不重复不遗漏，分得的立方体大小可以不相同）．14．如图，AB、CD是半径为1的⊙P两条直径，且∠CPB=120°，⊙M与PC、PB及弧都相切，O、Q分别为PB、弧上的切点．(1)试求⊙M的半径r；(2)以AB 为x 轴，OM 为y 轴(分别以OB 、OM 为正方向) 建立直角坐标系， ①设直线m kx y +=过点M 、Q ，求k ，m ；②设函数c bx x y ++=2的图像经过点Q 、O ，求此函数解析式；③当c bx x y ++=2＜0时，求x 的取值范围；④若直线m kx y +=与抛物线c bx x y ++=2的另一个交点为E ，求线段EQ 的长度．参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1．B2006)1(2)1(22++++=b a p ，故最小值为2006．2．B设物体的准确质量为x ，左右两臂长分别为a ，b ，则21,am bx bm ax ==． 两式相乘，约去正数ab ，得212m m x =． 3. A显然，.0,0,0><<b c a 由12<-ab，得a b 2-<，所以02<+b a ； 由a －b ＋c <0得()()()022<+-++=-+c b a c b a b c a ；由a ＋b ＋c >0得a ＋b >－c >0，因此()0,,02222>->>-+a b a b c b a ．综上所述，仅有()2222,a b c b a --+为正数．4．C正常的时钟，分针与时针重合一次的时间为⎪⎭⎫⎝⎛+116060分，因此，工人一天实 际工作时间为30253116060698=+⨯（小时），超过3013830253=-（小时）． 少付工资60.253230136==⨯元． 5．D第k ＋1条直线与前面的k 条直线都相交，且不经过原有的任何一个交点，因此 把前k 条直线为边界的（k ＋1）个区域一分为二，增加了（k ＋1）个区域，结 果区域总数成为n ＋k ＋1．二、填空题（每小题6分，共30分） 6．4作E 关于AB 的对称点G ，则PG=PE ，PG ⊥PE ，22,822222===+=+FG FG PF PG PF PE ．但FG 所对的圆周角为45°，所以FG 所对的圆心角为90°，圆的半径为2． 7．57-)57(4)753()573()()(422-=---=--+=y x y x xy ，∴57-=xy ．8．58 当0=x 时，分式值为53． 所以当1=x 时，5353=++b a ，53=b a ，58=+b b a ． 9．S 83由△ABE ∽△ADF 得AF AE AD AB =,即AFAEBC AB =， 易证∠B=∠EAF ，可知△AEF ∽△ABC ，相似比为23sin60=︒． 但△ABC 的面积为2S，所以△AEF 的面积为S S 83243=⨯． 10．20<<S分别令0=x ，1=y 和1-=x ，0=y ，求得1=c ，1-=b a ，∴b c b a S 2=++=． 由题设知，002<>-a ab且，∴02>b ．又由1+=a b 及0<a 可知22<b ． ∴20<<S ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．设甲车的速度为x(千米/时)，乙车的速度为y(千米/时)，A 、B 两地的距离为S(千米) …………（2分） 则…………（6分）即 …………（8分）得 …………（12分）①÷② 去分母，化简得S 2-190S=0S ＝0(舍) S ＝190 …………（14分） 答：A 、B 两地的距离为190千米。
…………（15分）12．如图，连结AO ，AC ．……（1分）由AD AB =知，ACD BCA ∠=∠.…（2分） 又OCA BOA ∠=∠2，所以OCD BOA ∠=∠，AO ∥DC .…（4分） ∵ OC BO PB ==，∴ AD PA 2=,1232==CD AO .…（6分） 由切割线定理知PA ·PB PD =·PC ，33622==BO AD ·212，……（8分）∴ 26=AD . ∴ 26==AD AB .…………（10分）∵ Rt △EDC ∽Rt △ABC ，…（12分）∴ BC AB DC ED =，242618=ED ，…（14分） ∴ 229=DE .…………（15分） 13．（1）容易把一个正方形分成42=16个正方形，再把其中位于一角的9个拼成一个正方形，共得：16﹣9+1=8个正方形. …………（5分）分成16个正方形后，把其中任意5个分成4个小正方形，共有16﹣5+5×4=31个正方形. …………（10分）（2）把立方体分割成33=27个立方体，再把其中4个各分成23=8个立方体，共27﹣4+4×23=55个立方体. …………（15分）14．(1)由2360sin =︒=PM r ，=+MQ PM 32r +r 1=，得 r 2=3-3. …………（2分）(2)①点()r M ,0，即)332,0(-M ；点)23,60cos (︒r Q ，即)23,233(-Q .由已知直线过点M 、Q ，得 332-=m ,23)233(=+-m k , 解得 3=k ，332-=m . …………（5分）②由c bx x y ++=2过点O 、Q ，则0=c ,23233223322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b ，得 27=b ,即得 x x y 272+=. …………（8分）③令0272=+x x ，则271-=x ，02=x , 即得 当027<<-x 时，0<y . ④由已知得 3323-+=x y ，x x y 272+=， 消去y ，得 0323)327(2=-+-+x x . …………（12分）设点E 的横坐标为2x ，点Q 的横坐标为2331-=x ， 由根与系数的关系得 22-=x ，则213223321+=+-=-x x …………（14分） 进而得线段EQ 的长为132+. …………（15分）。