华东师范大学高等数学B历年试题2000
华东师范大学1996-2020年数学专业考研真题汇编
具有连续的二阶偏导数.
(1) 求 f (x);
(2) 若 F(x0, y0) = 0, y0 = f (x0) 为 f (x) 的一个极值, 试证明: 当 Fy(x0, y0) 与 Fxx(x0, y0) 同号时, f (x0) 为极大值; 当 Fy(x0, y0) 与 Fxx(x0, y0) 异号时, f (x0) 为极小值.
f (a) < 0, f (x) ⩾ K > 0(x > a, K为常数),
则 f (x) 在 (a, +∞) 内有且仅有一个零点.
3.(12 分) 设
f (t) =
ˆt
2
e−x2 dx ,
0
g(t)
=
ˆ1
0
e−t 2 (1+ x 2 ) 1 + x2
dx.
试证:
f (t) + g(t) ≡ π . 4
[ f (x) + f (x)] sin x dx = 5,
0
求 f (0).
∞
∞
3.(20 分) (1). 已知 an 为发散的一般项级数, 试证明:
1+ 1 n
an 也是发散级数.
n=1
n=1
(2). 证明: 级数
∞
2n
sin
1 3n x
在
(0, +∞)
上处处收敛,
但不一致收敛.
n=1
4.(12 分) 设
2. 华东“‰ŒÆ 1997 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
1.(12 分) 设 f (x) 是区间 I 上的连续函数. 证明: 若 f (x) 为一一映射, 则 f (x) 在区间 I 上严格单调.
1, x为有理数; 2.(12 分) 设 D(x) = 0, x为无理数. 证明: 若 f (x), D(x) f (x) 在点 x = 0 处都可导, 且 f (0) = 0, 则 f (0) = 0. 3.(16 分) 考察函数 f (x) = x ln x 的凸性, 并由此证明不等式:
历年华东师范大学602高等数学(B)考研真题试卷与资料答案
历年华东师范大学602高等数学(B)考研真题试卷与资料答案一、考试解读：part 1 学院专业考试概况：①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:602高等数学(B)的考试情况；②科目对应专业历年录取统计表：含华东师范大学相关专业的历年录取人数与分数线情况；③历年考研真题特点：含华东师范大学考研专业课602高等数学(B)各部分的命题规律及出题风格。
part 2 历年题型分析及对应解题技巧：根据华东师范大学602高等数学(B)考试科目的考试题型（名词解释题、简答题、论述题、案例分析题等），分析对应各类型题目的具体解题技巧，帮助考生提高针对性，提升答题效率，充分把握关键得分点。
part 3 2018真题分析：最新真题是华东师范大学考研中最为珍贵的参考资料，针对最新一年的华东师大考研真题试卷展开深入剖析，帮助考生有的放矢，把握真题所考察的最新动向与考试侧重点，以便做好更具针对性的复习准备工作。
part 4 2019考试展望：根据上述相关知识点及真题试卷的针对性分析，提高2019考生的备考与应试前瞻性，令考生心中有数，直抵华东师范大学考研的核心要旨。
part 5 华东师范大学考试大纲：①复习教材罗列（官方指定或重点推荐+拓展书目）：不放过任何一个课内、课外知识点。
②官方指定或重点教材的大纲解读：官方没有考试大纲，高分学长学姐为你详细梳理。
③拓展书目说明及复习策略：专业课高分，需要的不仅是参透指定教材的基本功，还应加强课外延展与提升。
part 6 专业课高分备考策略：①考研前期的准备；②复习备考期间的准备与注意事项；③考场注意事项。
part 7 章节考点分布表：罗列华东师范大学602高等数学(B)的专业课试卷中，近年试卷考点分布的具体情况，方便考生知晓华东师大考研专业课试卷的侧重点与知识点分布，有助于考生更具针对性地复习、强化，快准狠地把握高分阵地。
二、华东师范大学历年考研真题与答案：汇编华东师大考研专业课考试科目的1997-2007，2011-2015年考研真题试卷，并配备2011-2015年答案与解析，方便考生检查自身的掌握情况及不足之处，并借此巩固记忆加深理解，培养应试技巧与解题能力。
2000数学一解析
2000年数学（一）真题解析一、填空题（1）【答案】7T方法一—x 2 dx = f a /1 — (jc — l)2 d(j? — 1)=J 0a /1 — x 2 dj?方法二1/----------帀x = sin tV 1 —无=o根据定积分的几何应用，「屆—工认即以曲线J 0y = Jlx — jc 2 （0 £工W 1）为曲边的曲边梯形的面积. 如图所示，显然［丿2工-工f =中.⑵【答案】千1_卄2_「2-46cos 2/d/=/2=£x Ko 2【解】"={F ： ,F ； ,F ；} |（1,一2,2）= {2工，4y ,6z} |（i,_2,2）= {2, — 8,12},qr 1 yi —I — 2 N 2则曲面在点（1.—2,2）处的法线方程为、工占=乞丁.（3） 【答案】y =q + C2（C 】，C2为任意常数）.X【解】 方法一 由xy" + 33/' = 0 ,得y"-----y' =0.X解得/hCojM =$，积分得原方程的通解为y =^ + C 2（C 15C 2为任意常数）.XJC方法二 由砂"+ 3y f =0,得 x 7,y" + 3x 2y f =0 或（x 3y'Y =0.「 C于是工s ，=c 。
，解得y =-|,积分得原方程通解为^=4 + C 2（C.,C 2为任意常数）.jc x （4） 【答案】 一1.【解】 因为原方程组无解，所以r （A ） <r （A ）,而r （A ）三3,所以r （A ） <3.于是|A 1 = 0,解得a =-1或a =3._ I 121/I 21 ! 1 \/I2 11当a = 3时，由A=”35Y -> 0 - 1-* °—131'13—2i o''o 1-3 - 1''00 00得r （A ） =r （A ） =2,原方程组有无数个解，所以a 工3 ,故a == -1.2(5)【答案】 y.【解】PCAB) =PCA) -F(AB), P CAB) = P (B) - P (AB),由P(AB)=P(AB),得P(A)=P(B).--------------1«由P(AB)=P(A+B)=l-P(A+B)=y,得P(A+B)=§.又P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2P(A)-P2(A),o o得P2(A)-2P(A)+y=0,解得P(A)=y.二、选择题(6)【答案】(A).【解】由厂Q)gQ)TQ)g‘Q)<o,得&(工)」g(工)即牛¥为减函数，当a V工时，有牛牛>力黑>侏.gd g(工)g lb)于是/'(•z)g(b)>f(b)gO,应选(A).方法点评：本题考查函数单调性.若y'(H)>o或y'(_z)<o时，/•&)严格递增或严格递减.注意如下技巧：若题中出现/'(_r)g(>z)—/■(H)g'(_z)时，一般构造辅助函数；g(H)若题中出现f'(j;)+/(a-)g z(j：),一般构造辅助函数/(JC)g(J7).(7)【答案】(C).【解】由对面积的曲面积分的对称性质，得又因为s i x dS=JJ ydSs iF ds=.sjjj/dS=0,s』n dS9所以』n dS=4JJS]S S]zdS Z(1S9s】x dS9应选(C).方法点评：二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分有类似的对称性,对面积的曲面积分的对称性如下：若》关于jrOy平面对称，其中工0夕平面上方为I】，则有]J/(z,z)dS=J0,12jJ/(jr,w)dS,I习f(.x,y,—z)=—f(工,y,z),f(a:,y,—2)=f{x,y,z).其他两种情形同上.(8)【答案】(D).【解】方法一令S”="]+“2------"”，因为工"”收敛，所以lim“”=0且limS…存在.”=]"-88设limS”=S，令S：=("]+“2)+("2+"3)+…+("”+«…+i)=2S”一"i+“卄i.OO因为limS：,=2S—-，所以级数工("”+"”+i)收敛，应选(D).心00”=1■(—1\H g/_1\W°°1方法二取U n=丄1、，级数工|/,1、收敛，而工丄1、发散，(A)不对;ln(z?+1)/z=1ln(n+1) z/=1n ln(7?+1)取"”=上?，级数》>7 =工丄发散，(B)不对；寸Tln = \” = 1"(—1 \n~l00 吕1取U ” ='，级数工(“2”T — “2”)= Y —发散，(C)不对，应选(D).n n=\n=\ n(9) 【答案】(D).【解】 令 A =( a 1 .a?,…，a ”)，B = (0i ，02，・"‘0,”).由 a i ,a 2, ,a m 线性无关，得 r (A ) =m .若山，卩-…仇线性无关，则r (B )=m,因为r(A) =r(B) 所以矩阵A.B 等价；反之,若矩阵A .B 等价，则r(A) — rCB ),因为r(A)—加，所以r(B)=加，又因为矩阵的秩与矩阵列向量组的秩相等，所以你，02,…，血的秩为加，即你心，…0”线性无关，应选(D).(10) 【答案】(E).【解】W 诃不相关的充分必要条件是Cov(f ，^) =0.而 Cov(Wq) =Cov(X + Y,X — Y) =Cov(X,X) -Cov(Y,Y) =D(X) -D(Y),又 D(X) =E(X 2) -[E(X )T ， D(Y) =E(Y 2) ~[E(Y)]2,所以不相关的充分必要条件是D(X) =D(Y),即 E(X 2) ~[E(X)J 2 =E(Y 2) -[E(Y)]2,应选(E).三、解答题(11)【解】— . 1/2 + sin j - \ 2 -h e 7由 lim T + I I = lim -------r + lim z-o+'l+e ’ 1 1 ' 乂_°* 1 += 0 + 1=1,— . 1/2 + e J . sin jc \ 9 4- e 7 sin rlim ( T x I j = lim ------------lim --------=2 — 1 = 19/2 + e T sin x \得啸匚/ +甘)7(12)【解】由复合函数求偏导法则，得券= yf ； + —fi —气 g'， dx y xdy=f\ + y (工咒y 〃-------gX1l —i £〃 无 〃〃 1 / y >—f 2 + ^yf 11 J 22 g s y yQ («Z 9』)=(13)【解】令 PCx.y) = , 2 24j ? + ydQ dp y 2 — 4 工23jc (4jc 2 + y 2 )2((乂，』)# (0,0)).如图所示，作L 0：4^2+y 2=r 2(r> 0且L 。
华东师范大学《数学分析》与《高等代数》考研真题(1997年-2013年)
续.
19
五、设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) ≥ 0 ， f ′′( x) < 0 . 证明： f ( x) ≤
2 b f (t )dt ， x ∈ [ a, b] . b − a ∫a
六、设 f ( x , y ) 在 D = [ a, b] × [ c, d ] 上有二阶连续偏导数.
15
六、 （ 15 分）假设 σ 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换， τ 是同一空间 V 的变换 . 且对
∀α , β ∈ V , 有 (σα , β ) = (α ,τβ ).
证明： 1) τ 是线性变换, 2) σ 的核等于 τ 的值域的正交补.
七、 （15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。
n →∞ a≤ x≤ b a≤ x≤ b a≤ x≤ b n →∞
八、设 S ⊂ R 2 , P0 ( x0 , y0 ) 为 S 的内点， P 1 ( x1 , y1 ) 为 S 的外点. 证明：直线段 P0 P 1 至少与 S 的边界 ∂S 有一个交点.
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、 （12 分）设 f ( x) 是区间 I 上的连续函数. 证明：若 f ( x) 为一一映射，则 f ( x) 在 区间 I 上严格单调.
二、 （12 分）设
⎧1, x为有理数 D ( x) = ⎨ ⎩0， x为无理数
证明：若 f ( x) ， D ( x) f ( x) 在点 x = 0 处都可导，且 f (0) = 0 ，则 f '(0) = 0.
二、(10 分)证明：方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 ⎪a x + a x + ... + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⋯ (1) ⎨ ............ ⎪ ⎪ ⎩ as1 x1 + as 2 x2 + ... + asn xn = 0
华东师范大学数学分析试题
华东师范大学2019数学分析一、（30分）计算题。
1、求2120)2(cos lim x x x x -→ 2、若)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y .3、求⎰--dx x xe x2)1(. 4、求幂级数∑∞=1n n nx的和函数)(x f .5、L 为过)0,0(O 和)0,2(πA 的曲线)0(sin >=a x a y ,求⎰+++L dy y dx y x .)2()(3 6、求曲面积分⎰⎰++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧.二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续.3、若)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑⎰=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 110)()()1()(1lim . 4、若∑∞=1n n a收敛，则∑∞=12n n a 收敛.5、若在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微.6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若⎰⎰=>∀∀rD dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞→ 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。
华东师范大学2000至2009年数学分析,高等代数试题
华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析一．（24分）计算题： （1）011lim();ln(1)x x x→-+（2）32cos sin ;1cos x xdx x⨯+⎰ （3）设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=,所确定的可微隐函数，试求grad Z.二．（14分）二、设 n n ne )11(+=，*N n ∈；1)11(++=n n nE ，*N n ∈；证明： （1）}{n e 是严格递增的;（2）}{n E 是严格递减的; （3）用对数函数x ln 的严格递增性质证明：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，对一切n ∈N *成立. 三．（12分）设f 在[],a b 中任意两点之间都具有介值性，而且f在(),a b 内可导，'|()|f x K ≤（正常数）, (,).x a b ∈证明f 在点a 右连续（同理在点b 左连续）. 四．（14分）设12(1).nn I x dx =-⎰证明:（1）1221n n nI I n -=+,n=2,3…;（2）2,3n I n≥n=1,2,3….五（12分）设S 为一旋转曲面，由平面光滑曲线{(),[,](()0)z y f x x a b f x ==∈≥饶x 轴旋转而成。
试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为'22()1()baA f x fx dx π=+⎰（提示：据空间解几知道S 的方程为222()y z f x +=）六（24分）级数问题：（1）设sin ,0()1,0xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,求()(0)k f。
（2）设1nn n a =∑收敛，lim 0n n na →∞=证明:111()nnn n n n n n a a a +==-=∑∑。
（3）设{()}n f x 为[],a b 上的连续函数序列，且()(),[,]n f x f x x a b ⇒∈证明：若()f x 在[],a b 上无零点。
华东师范大学数学分析试题解答
cos x(1 cos2 x) d (cos x)
1 cos2 x
t(t 2 1) dt
1t2
t
2t 1 t2
dt
= 1 cos2 x ln(1 cos2 x) C 2
yzF1 2xF2 xyF1 2zF 2
zxF1 2 yF2 xyF1 2zF2
，证明：
绕 x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出 S
的面积公式为：
A
2
b
a
f
(x)
1 f '(x)2 dx
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
华东师大教育信息技术专业数学B考研笔记(精华资料)
华东师范大学数学（B）考研复习笔记一、华东师范大学数学（B）考试范围a.高等数学（函数、极限、连续、一元函数微积分、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程）；b.线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量）。
参考教材为《线性代数》科学出版社《高等数学》同济出版社二、数学（B）考试特点及考生应对策略数学（B）考试试题难度一般，重视考生基础，考试难度基本上与国家统考数学（四）差不多，数学题量较大。
考生在复习时，按照同济版本的教材认真复习，把书上的题要弄会弄懂。
牢固掌握书上的基本概念，基本原理，掌握解题的常规方法，要善于总结。
例如，对求极限的题共有哪些方法，考生必须会灵活应用。
在复习时挑一本比较好的练习册，不用做太多的题，但是做一道要讲究质量，不要做太难的题，考试考的都比较基础。
考生在平时的复习时要提高自己的做题速度，前提是保证质量。
由于考试的题量较大，再加上考试时或多或少的会紧张，因此打好平时的基本功是考试获得高分的关键。
考生还要注意一点，华东师范大学数学（B）出题的难度一年比一年有所加大，但是增加难度的幅度不是很大。
考生不要因为做哪一年的真题觉得简单就掉以轻心，就少用时间复习。
要时刻记住，你考得是华东师大，没那么容易就让你拿分，每道题都需要自己动脑其琢磨，认认真真地做。
至于真题，建议考生只要把04、05、06年的真题认真做做，研究研究，其他的真题就不用研究了，没必要。
看看数学（B）出题的难度，题型，以及出题难度的逐年变化。
心里有个底，知道复习的时候应该怎么样复习，复习到什么难度。
对于具体的考试内容，将在数学（B）考研笔记中有所反映，有些知识点考生不用看的，在笔记中有所标记。
考生可以按照考研笔记的顺序复习。
肯定不考的知识有向量代数和空间解析几何，曲面积分，二次型。
在高数种所有关于微积分的物理应用知识都不考，方向导数和梯度也不考。
在本人编写的考研笔记中对有些章节中不考的会有所标记，对于考的知识点会标记出能出哪些题型，出题的难度如何。
华东师范大学高等数学历年试题 (9)
1.Why did you choose East China Normal University?(你为什么选择报考华东师范大学?)2.Why did you choose XXX?(你为什么选择报考MBA专业?)3.What would you like to be doing 3 years after graduation?(what’s your plan if you are admitted to our school? (毕业5年后，你希望从事什么样的工作?)4.What has been your greatest accomplishment?(你曾取得的最大成就是什么?)5.Describe your greatest strengths and weaknesses. (请描述一下你最大的优点和缺点?)6.What have you learned from the jobs you have held?(你从以往所从事的工作中学到了哪些东西?)7.谈谈你在学期间最大的收获是什么8.“我们的问题都问完了，请问你对我们有没有什么问题要问准备英语面试最好先写一个自我陈述，就像中文的自我介绍一样，尽量写得详细些，包括自己生活、学习的方方面面，然后把它翻译成英文，流利地背下来，老师的很多提问都可以用其中的句子来回答。
一、面试程序不同的单位对面试过程的设计会有所不同，有的单位会非常正式，有的单位则相对比较随意，但一般来说，面试可以分为以下五个阶段：第一阶段：准备阶段。
准备阶段主要是以一般性的社交话题进行交谈，例如主考会问类似“从宿舍到这里远不远”、“今天天气很好，是吗？”这样的问题，目的是使应聘人员能比较自然地进入面试情景之中，以便消除毕业生紧张的心情，建立一种和谐、友善的面试气氛。
毕业生这时就不需要详细地对所问问题进行一一解答，可利用这个机会熟悉面试环境和考官。
第二阶段：引入阶段。
华东师大2000年数学分析试题及答案
华东师大2000年数学分析试题一、（24分）计算题：求011lim()ln(1)x x x→-+；求32cos sin 1cos x x dx x +⎰ 设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数，试求grad z 。
二、（14分）证明：（1）11(1)n n+⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为递减数列：（2）111ln(1),1,21n n n n<+<=+⋅⋅⋅⋅ 三、（12分）设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导，'()f x K ≤ （K 为正常数），(,)x a b ∈证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续。
四、（14分）设120(1)nn I xd x=-⎰，证明：12,2,3,21,1,2,n nI n n n -==⋅⋅⋅⋅+≥=⋅⋅⋅⋅n n (1)I (2)I ()f x =五、（12分）设S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段 [](),,,0y f x x a b z =∈= (()0)f x ≥ 绕x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为：2(baA f x π=⎰六、（24分）级数问题：设sin,01,0()xx xx f x ≠=⎧=⎨⎩{}[]() x a,b ()()11()()n nnf x f x f x f x f x ∈⇒⇒,求()(0),1,2,k fk =（1） 设1nn a∞=∑收敛，lim 0n x na →∞=，证明：111()nn n n n n aa a ∞∞+==-=∑∑。
（2） 设{}()n f x 为[]a,b 上的连续函数序列，且()()n f x f x ⇒，[]x a,b ∈，证明：若()f x 在[]a,b 上无零点，则当n 充分大时，()n f x 在[]a,b 上也无零点；并有11()()n f x f x ⇒，[]x a,b ∈。
考研真题数学二(2000——2018)高数大题
数学二高数（2018）（15）（本题满分10分）（一元函数积分学的计算）2.x e ⎰求不定积分（2018）（16）（本题满分10分）20()()()x xf x f t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰已知连续函数满足（I ）()f x 求；（II ）()[0,1]1,.f x a 若在区间上的平均值为求的值（2018）（17）（本题满分10分）（二重积分）sin ,(02),(2).1cos Dx t t D t x x y d y t πσ=-⎧≤≤+⎨=-⎩⎰⎰设平面区域由曲线与轴围成计算二重积分（2018）（18）（本题满分10分）（一元函数微分学的应用，微分不等式）已知常数ln 2 1.k ≥-证明：2(1)(ln 2ln 1)0.x x x k x --+-≥ （2018）（19）（本题满分10分）（多元函数微分学，条件极值）2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最.若存在，求出最小值（2018）（20）（本题满分11分）（一元函数微分学的应用）已知曲线()()24:(0),0,0,0,1.9L y x x O A P L S OA AP L =≥点点设是上的动点，是直线与直线及曲线()3,4.P x S t 所围成图形的面积，若运动到点时沿轴正向的速度是4，求此时关于时间的变化率（2018）（21）（本题满分11分）（数列存在性与计算）{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞>=-=L 设数列满足：证明收敛，并求求+→0lim xt x dt（16）（本题满分10分）设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，()y ,xf e cosx =,求dyd x x=,220d y d x x =（17）（本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（18）（本题满分10分）已知函数)(x y 由方程023333=-+-+y x y x 确定，求)(x y 的极值 （19）（本题满分10分）设函数()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0()(1)0,lim 0x f x f x+→><，证明 （1）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；（2）方程2)]([)()(x f x f x f '+'' 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.（20）（本题满分11分）已知平面区域(){}22,2D x y xy y =+≤，计算二重积分()21Dx dxdy +⎰⎰（2017）（21）（本题满分11分）设()y x 是区间3(0,)2内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与y 轴相交于点(0,)P Y ，法线与x 轴相交于点(,0)P X ，若p P X Y =，求L 上点的坐标(,)x y 满足的方程。
数分真题答案
华东师大2000年数分考研试题解答一．（1）解：()011lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪+⎝⎭()()0ln 1lim ln 1x x x x x →-+=+()0111limln 11x xx x x→-+=+++()()0lim1ln 1x xx x x→=+++()011lim ln 1112x x →==+++； 解：32cos sin 1cos x x dx x +⎰ ()()22cos 1cos cos 1cos x x d x x -=-+⎰()221cos 1t t t x dt t-=+⎰()22121t t dt t+-=+⎰221t t dt t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎰ ()221ln 12t t C =-++ ()221cos ln 1cos 2x x C =-++； 解：121222x xz F yzF xF z F xyF zF +=-=-+，121222yy z F zxF yF z F xyF zF +=-=-+，(),x y gradz z z =；二、证明 （1） (应用比值法与贝努里不等式) 由于=+n n e e 112])1()2([2++⋅++n n n n n n 12])1(11[2++⋅+-=n n n n 12])1(1[2++⋅+->n n n n 11)1(])1()1([22+++⋅+-+=n n n n n 1)1(1)1(33>+++=n n , 于是有1+<n ne e ,所以}{n e 是严格递增的;(2) (应用比值法与贝努里不等式)由于=+1n n E E 21])2()1([12++⋅+++n n n n n n 21])2(11[1++⋅++=+n n n n n 21])2(11[++⋅+++>n n n n n 21])2()1(111[2++⋅++++=n n n n n n 121]111[=++⋅++>n n n ,于是有1+>n nE E ,所以}{n E 是严格递减的;（3）因为11111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n nn e n ，所以11ln 11(1)ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，对一切n ∈N *成立 三．证明0ε∀>，取2kεδ=，当(),x a a δ∈+时，若()()f x f a ≡，则f 在a 右连续；否则()0,x a a δ∃∈+，使得()()0f x f a ≠.不妨设()()0f x f a <，μ∀满足：()()0f x f a μ<<， ()02f x εμ-<，由题设条件，()10,x a x ∃∈，使得()1f x μ=，于是对于一切(),x a a δ∈+，有()()()()()()11f x f a f x f x f x f a -≤-+-()()()1f x x f a ξμ'=-+-22k kεεε<⋅+=，所以f 在a 右连续.同理可证f 在b 左连续.四、证明 （1）因为120(1)nn I xdx =-⎰1222101(1)2(1)0nn x x n x x dx -=-+-⎰122102[(1)1](1)n n x x dx -=-+-⎰122n n nI nI -=-，所以有1221n n nI I n -=+，2,3,...n =； （2）由（1），12102(1)3I x d x =-=⎰， 1222421215n n n I I n n -=⋅⋅⋅⋅+-22242212153n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅+-=>>=（1,23,...n =）。
华东师大2000年数学分析试题
华东师大2000年数学分析试题一、（24分）计算题：（1） 求011lim()ln(1)x x x→-+； （2） 求32cos sin 1cos x x dx x+⎰ （3） 设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数，试求grad z 。
二、（14分）证明：（1）11(1)n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为递减数列： （2） 111ln(1),1,21n n n n<+<=+⋅⋅⋅⋅ 三、（12分）设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导，'()f x K ≤ （K 为正常数），(,)x a b ∈ 证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续。
四、（14分）设120(1)n n I x dx =-⎰，证明：12,2,3,21 ,1,2,n n I n n n -==⋅⋅⋅⋅+≥=⋅⋅⋅⋅n n (1)I (2)I ()f x = 五、（12分）设S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段[](),,,0y f x x a b z =∈= (()0)f x ≥ 绕x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为：2(b a A f x π=⎰六、（24分）级数问题：（1） 设sin,01,0()x x x x f x ≠=⎧=⎨⎩{}[]() x a,b ()()11()()n n n f x f x f x f x f x ∈⇒⇒,求()(0),1,2,k f k= （2） 设1n n a ∞=∑收敛，lim 0n x na →∞=，证明：111()n n n n n n a a a ∞∞+==-=∑∑。
（3） 设{}()n f x 为[]a,b 上的连续函数序列，且()()n f x f x ⇒，[]x a,b ∈，证明：若()f x 在[]a,b 上无零点，则当n 充分大时，()n f x 在[]a,b 上也无零点；并有11()()n f x f x ⇒，[]x a,b ∈。
【华师期末复习卷】高数期末试题
学生填写）： 姓名： 学号： 命题：黄寿生 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）三．计算题（一）（每小题6分，共36分） （计算下列极限）16. xx xx x x sin cos lim--→；17. 0sin 2limsin 5x xx→；18. 221lim n nn ++++∞→Λ；19. x x x cot lim 0→；20. 20tan sin lim.sin x x xx x→-；21. 21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭。
四. 计算题（二）22．求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求极限032lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→-→．23．求函数xx y 1sin =的间断点,并说明间断点所属类型. 如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续.24. 设2sin 0() 0 x x x f x a x x <⎧=⎨+≥⎩要使()f x 在(,+)-∞∞内连续,应当怎样选择数a ?班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）五．证明题 25. 证明方程01sin =++x x 在开区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一根.六．应用题26. 试确定b a ,之值，使2111lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x .16. 解：由洛必达法则，0cos 1cos sin limlimsin 1cos x x x x x x x xx x x →→--+=-- 0sin sin cos limsin x x x x xx →++= 3=17. .解：原式=52525sin 522sin lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅→x x xx x 18. . 解：212lim 2)1(lim 21lim 2222=+=+=++++∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n Λ 19. . 解：1cos sin lim sin cos lim cot lim 00=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅=→→→x x x x x x x x x x x 20.解：20tan sin limsin x x x x x →- 20tan (1cos )lim sin x x x x x→-= 20(1cos )lim x x x x x →⋅-=⋅ 12=21. . 解：原式=()[]22/11lim e x x x =+∞→四. 计算题（二）22..求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求极限032lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→-→．解：2(1)(3)()(2)(3)x x f x x x -+=-+，故()f x 在(,3)(3,2)(2,)-∞--+∞U U 内连续22033211(3)18lim ()(0),lim ()lim ,lim ()22325x x x x x f x f f x f x x →→-→-→---=====-=∞--- 23.求函数xx y 1sin =的间断点,并说明间断点所属类型. 如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续.解：由于x x y 1sin=在0=x 处没有定义，因此0=x 是间断点，且01lim sin 0x x x→=,故0=x 为第一类可去间断点,若定义0)0(=y ,则y 在0=x 处连续.24. 设2sin 0() 0 x x x f x a x x <⎧=⎨+≥⎩要使()f x 在(,+)-∞∞内连续,应当怎样选择数a ?解：由于函数在()f x 在(,+)-∞∞内连续，故：2lim sin 0,lim()x x x x a x a -+→→=+=当0a =时，00lim ()lim ()0x x f x f x -+→→==则0lim ()(0)x f x f →=，此时()f x 在0x =连续，也在(,+)-∞∞内连续。