北师大版高中数学选修2-1学业分层测评1
【精品】高中数学学业分层测评20含解析北师大版选修2_1
学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线【解析】 点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，符合抛物线的定义，故点P 的轨迹是抛物线．【答案】 D2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则共有L ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．【答案】 B3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0， 所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 【答案】 B4．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由2x 2－y 2＝2得x 2－y 22＝1，∴a 2＝1，b 2＝2，当直线l 与两支相交时需|AB |≥2a＝2.由|AB |＝4可得直线l 有两条；当直线l 只与右支相交时，需|AB |≥2b2a＝4，由|AB |＝4可得直线l 只有1条．综上，符合题意的直线l 共有3条．【答案】 C5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D ． 5【解析】 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，这条直线与抛物线y ＝x 2＋1相切，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2＋1，整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2－4＝0，解得k ＝±2，即ba＝2，故双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.【答案】 D 二、填空题6．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________．【解析】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x 2－y 2＝1，消去y 得x 2－(x ＋4)2＝1，则x ＝－178，代入y ＝x ＋4得y ＝158.故直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－178，1587．已知直线l 过点P (0,2)且与椭圆x 2＋2y 2＝2只有一个公共点，则直线l 的方程为____________．【导学号：32550096】【解析】 当直线l 斜率不存在时，方程为x ＝0，与椭圆x 2＋2y 2＝2有两个公共点，舍去；当直线l 斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 2＋2(kx ＋2)2＝2，整理得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0，由Δ＝64k 2－4×6×(2k 2＋1)＝0，解得k ＝±62. 【答案】 y ＝62x ＋2或y ＝－62x ＋2 8．已知抛物线y 2＝4x ，过点Q (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．【解析】 设直线AB的方程为ty ＝x －4(t ∈R )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，ty ＝x －4，得x 2－(8＋4t 2)x＋16＝0，Δ＝(8＋4t 2)2－4×16＝64t 2＋16t 4≥0，∴x 1＋x 2＝8＋4t 2≥8，∴y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥32.【答案】 32 三、解答题9．已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与直线l 上一点P (1,2)．求直线l 的斜率k 为何值时，l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点？【解】 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k )x －k 2＋4k －6＝0，当k ＝±2时，方程组有唯一解． 当k ≠±2时，由Δ＝0，得k ＝32.所以当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个交点．如图，当2＜k ＜32或k ＜－2或－2＜k ＜2时，l 与C 有两个交点．当k ＞32时，l 与C 无交点．10．已知椭圆x 23＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．(1)求AB 的中点坐标； (2)求△ABF 2的周长与面积．【解】 (1)由x 23＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，c ＝1.∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴l 的方程为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝x ＋1，消去y 得5x 2＋6x －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－35，x 0＝x 1＋x 22＝－35，y 0＝y 1＋y 22＝x 1＋1＋x 2＋12＝x 1＋x 22＋1＝25(或y 0＝x 0＋1＝－35＋1＝25)，∴中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，25. (2)由题意知，F 2到直线AB 的距离d ＝|1－0＋1|12＋12＝22＝2， |AB |＝1＋k 2l ·x 1＋x 22－4x 1x 2＝835， ∴S △ABF 2＝12|AB |d ＝12×835×2＝465，∴△ABF 2的周长＝4a ＝4 3.[能力提升]1．曲线x 2＋4y 2＝52与x 2＋y 2＝37的交点个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 将方程x 2＋4y 2＝52与x 2＋y 2＝37相减可得3y 2＝15，则y 有两个值，依据任何一个曲线方程可知y 的一个值对应两个x 值，因此，两曲线共有4个交点．【答案】 A2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B ．938C.6332D ．94【解析】 由已知得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故直线AB 的方程为y ＝tan 30°·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －34 ①y 2＝3x ②将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0，∴x 1＋x 2＝212，∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝94.【答案】 D3．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB的中点，则直线AB 的斜率为________．【解析】 法一：显然直线AB 存在斜率， 设AB 斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 方程为y －1＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋1，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2＋(4k 2－2k )x －4k 2＋4k －4＝0， ∴x 1＋x 2＝2k －4k 23－k＝4，∴k ＝6.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，且x 21－y 213＝1，x 22－y 223＝1.两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 1－y 2y 1＋y 23.显然x 1－x 2≠0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2y 1＋y 2＝6，即k AB ＝6.【答案】 64．已知点A (1,2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋。
北师大版高中数学选修2-1模块综合测评1.docx
模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若p则q”的逆命题是( )A．若q则p B．若綈p则綈qC．若綈q则綈p D．若p则綈q【解析】根据原命题与逆命题之间的关系可得：逆命题为“若q则p”，选A.【答案】 A2．已知命题p：在直角坐标平面内，点M(sin α，cos α)与N(1,2)在直线x＋y－2＝0的异侧；命题q：若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角．以下命题中为真命题的是( )A．p或q真，p且q真B．p或q真，p且q假C．p或q假，p且q真D．p或q假，p且q假【解析】∵sin α＋cos α－2≤2－2＜0，∴点M(sin α，cos α)在直线x＋y－2＝0的左下侧．又∵1＋2－2＞0，∴N(1,2)在直线x＋y－2＝0的右上侧，故命题p为真．若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角，显然为假．因为当a，b同向时，设a·b＝1＞0，但是a，b夹角为0，所以命题q为假．【答案】 B3．设p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】綈p：－1≤x≤1；綈q：－2≤x≤1，显然{x|－1≤x≤1}{x|－2≤x≤1}，所以綈p是綈q的充分不必要条件．【答案】 A4．已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 等于( )A ．4B ．2C ．4或－4D ．2或－2【解析】 由已知可设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由抛物线的定义知2＋p2＝4，∴p ＝4.∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式得m 2＝16，∴m ＝±4. 【答案】 C5．已知E 、F 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中BB 1、DC 的中点，则异面直线AE 与D 1F 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．90° 【解析】 以A 1为原点，A 1B 1→、A 1D 1→、A 1A →为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2，则A (0,0,2)，E (2,0,1)，D 1(0,2,0)，F (1,2,2)，AE →＝(2,0，－1)，D 1F →＝(1,0,2)，所以AE →·D 1F →＝0，所以AE ⊥D 1F ，即AE 与D 1F 所成的角为90°.【答案】 D6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：32550101】A.12 B ．32C ．1D ． 3【解析】 由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即±3x －y ＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d ＝|±3－0|2＝32. 【答案】 B7．如图1所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →等于( )图1A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c【解析】 连接ON ，由向量加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .故选B.【答案】 B8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段【解析】 ∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆． 【答案】 A9．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B ．y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D ．x 28－y 24＝1【解析】 由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a ＝2，∴双曲线的标准方程为y 24－x 2b2＝1.根据题意，得2a ＋2b ＝2×2c ，即a ＋b ＝2c .又∵a 2＋b 2＝c 2，且a ＝2，⎩⎨⎧a ＋b ＝2c ，a 2＋b 2＝c 2，a ＝2，解得b 2＝4，∴适合题意的双曲线方程为y 24－x 24＝1，故选B.【答案】 B10．正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.35 B ．45 C.34D ．55【解析】 如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系． 设各棱长为2，则有A (0，－1,0)，D (0,0,2)，C (0，1,0)，B 1(3，0,2)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，3x －y ＋2z ＝0⇒n ＝(0,2,1)．∴sin 〈AD →，n 〉＝AD →·n|AD →||n |＝45. 【答案】 B11．如图2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图2 A. 2 B． 3C.32D．62【解析】由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2 3.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝22，因此对于双曲线有a＝2，c＝3，所以C2的离心率e＝ca＝62.【答案】 D12．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E 相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的方程为( )A.x23－y26＝1 B．x24－y25＝1C.x26－y23＝1 D．x25－y24＝1【解析】 由已知得k AB ＝－15－0－12－3＝1.设E ：x 2a 2－y 2b 2＝1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 则(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，而⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2＝1，b 2＝54a 2.①又c 2＝a 2＋b 2＝9，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y 25＝1.【答案】 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．命题“任意x ∈R ，都有x 2＋x －4＞0”的否定________． 【解析】 全称命题的否定为特称命题． 【答案】 存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0－4≤0.14．已知命题p ：函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅.若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是________．【解析】 p 且q 为真命题⇒p 是真命题，q 是真命题．①p 是真命题⇒c －1＞0⇒c ＞1，②q 是真命题⇒Δ＝(－1)2－4c ＜0⇒c ＞14，故p 且q 为真命题⇒c ＞1⇒c ∈(1，＋∞)．【答案】 (1，＋∞)15．如图3所示，正方形ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离是________．图3【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，∴A (1,0,0)，B (1，1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，1.设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴n ·AB →＝0，且n ·BC 1→＝0，即(x ，y ，z )·(0,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·(－1,0,1)＝0.∴y ＝0，且－x ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1,0,1)．∴n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22，又EC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0，∴点E 到平面ABC 1D 1的距离为|EC 1→·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22＝22.【答案】2216．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系知，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2，于是x Q ＝x A ＋x B2＝2k2－1，把x Q 带入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k，根据|FQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解出k ＝±1. 【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：不等式|x －1|＞m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．【导学号：32550102】【解】 由于不等式|x －1|＞m －1的解集为R ， 所以m －1＜0，m ＜1；又由于f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， 所以5－2m ＞1，m ＜2.即命题p ：m ＜1，命题q ：m ＜2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假． 当p 真q 假时应有⎩⎨⎧m ＜1，m ≥2，m 无解．当p 假q 真时应有⎩⎨⎧m ≥1，m ＜2，1≤m ＜2.故实数m 的取值范围是1≤m ＜2.18．(本小题满分12分)已知p ：{x |x ＋2≥0且x －10≤0}，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 p ：{x |－2≤x ≤10}，綈p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}， 綈q ：B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，m ＞0}．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以綈q ⇒綈p ，綈p 綈q .所以BA .分析知，BA 的充要条件是⎩⎨⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．19．(本小题满分12分)如图4所示，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：图4(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC . 【证明】如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .(1)P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． 因为M 、N 分别为AB ，PC 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a 2.所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，AP →＝(0,0，a )，AD →＝(0，a,0)， 所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD . (2)由(1)可知：P (0,0，a )，C (b ，a,0)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，D (0，a,0)． 所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0n 1·PM →＝0⇒⎩⎨⎧bx 1＋ay 1－az 1＝0，b2x 1－az 1＝0，所以⎩⎨⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1.令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，⇒⎩⎨⎧bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0，所以⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝z 2.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面PMC ⊥平面PDC .20．(本小题满分12分)已知点A (0,4)，B (0，－2)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →－y 2＋8＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)．【解】 (1)由题意可知，PA →＝(－x,4－y )，PB →＝(－x ，－2－y )， ∴x 2＋(4－y )(－2－y )－y 2＋8＝0，∴x 2＝2y 为所求动点P 的轨迹方程． (2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2＝2y ，整理得x 2－2x －4＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4， ∵k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)x 1x 2＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4x 1x 2＝－4＋4＋4－4＝－1，∴OC ⊥OD .21．(本小题满分12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率； (2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程． 【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎨⎧y ＝3(x －c )，x 2a 2＋y2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2. 即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5. 椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.22．(本小题满分12分)如图5①，正三角形ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别为AC 和BC 边上的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B ，如图5②.① ②图5(1)试判断翻折后的直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角B AC D 的余弦值； (3)求点C 到平面DEF 的距离．【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (a,0,0)，A (0,0，a )，C (0，3a,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2.(1)AB →＝(a,0，－a )，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2＝12(a,0，－a )，∴EF →＝12AB →.∴EF →∥AB →.∴EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF . (2)易知DB →＝(a,0,0)是平面ADC 的一个法向量． 设平面ACB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 而AB →＝(a,0，－a )，BC →＝(－a ，3a,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝xa －az ＝0，n ·BC →＝－ax ＋3ay ＝0.令x ＝1，得z ＝1，y ＝33，∴平面ACB 的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1. ∴n ·DB →＝a .∴cos 〈n ，DB →〉＝a a ·1＋13＋1＝217.∴二面角B AC D 的余弦值为217. (3)平面DEF 内的向量DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0.设平面DEF 的一个法向量为m ＝()x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DE →＝32ay ＋a2z ＝0，m ·DF →＝a 2x ＋32ay ＝0.令y ＝3，则z ＝－3，x ＝－3.∴平面DEF 的一个法向量m ＝(－3，3，－3)． 又DC →＝(0，3a,0)， ∴DC →·m ＝3a .∴点C 到平面DEF 的距离d ＝|DC →·m ||m |3a9＋3＋9＝217a.＝。
高二数学北师大版选修1-2学业分层测评1 Word版含答案
学业分层测评(一)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．为了考查两个变量和之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立地做了次试验和次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为和.已知两个人在试验中发现对变量的观测数据的平均数都为，对变量的观测数据的平均数都为，那么下列说法中正确的是( )．直线和都过点(，)．直线和相交，但交点不一定是(，)．直线和必平行．直线和必重合【解析】线性回归方程＝＋恒过点(，)，故直线和都过点(，)．【答案】．已知人的年龄与人体脂肪含量的百分数的回归方程为＝－，如果某人岁，那么这个人的脂肪含量( )．一定是．在附近的可能性比较大．无任何参考数据．以上解释都无道理【解析】将＝代入回归方程得＝×－≈.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在附近的可能性较大，故选．【答案】．关于回归分析，下列说法错误的是( )．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法．线性相关系数可以是正的或负的．回归模型中一定存在随机误差．散点图反映变量间的确定关系【解析】用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差，故错误．【答案】．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组试验数据如下表：) ．＝－．＝．＝．＝(－)【解析】代入检验，当取相应的值时，所得值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．【答案】．在一组样本数据(，)，(，)，…，(，)(≥，，，…，不全相等)的散点图中，若所有样本点(，)(＝，…，)都在直线＝＋上，则这组样本数据的样本相关系数为( )．－．．．【解析】所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为，故选．【答案】二、填空题．回归分析是处理变量之间关系的一种数量统计方法．【解析】回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法．【答案】相关．已知某个样本点中的变量，线性相关，相关系数＜，则在以(，)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第象限．【解析】∵＜时＜，∴大多数点落在第二、四象限．【答案】二、四．某中学期中考试后，对成绩进行分析，从某班中选出名学生的总成绩和外语成绩如下表：【解析】∵＝＝，。
高二数学北师大版选修2-1学业分层测评19 Word版含答案
学业分层测评(十九)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．方程＋＝表示的曲线是( )【解析】原方程可化为(\\(≥，≥，＋＝，))或(\\(≥，≤，－＝，))或(\\(≤，≤，＋＝－，))或(\\(≤，≥，,－＋＝.))作出其曲线为.【答案】．方程－＋＋＝表示的曲线是( )．一个点．两条互相平行的直线．两条互相垂直的直线．两条相交但不垂直的直线【解析】∵－＋＋＝，∴(＋)－(－)＝，∴＋＝±(－)，∴＋＝或－＋＝，这两条直线相交但不垂直．【答案】．已知定点(－)，()，动点满足直线，的斜率之积为－，则动点满足的方程是( )．＋＝．＋＝(≠±)．＋＝(≠) ．＝(≠±)【解析】设动点的坐标为(，)，则＝(≠－)，＝(≠)．∵·＝－，∴·＝－，整理得＋＝(≠±)．【答案】．已知两定点(－)、()，如果动点满足＝，则点的轨迹所包围的图形的面积等于( )．π．π．π．π【解析】根据题意，用直译法．设动点的坐标为(，)，由已知＝，得＝，两边平方，得＋＋＋＝－＋＋，化简得(－)＋＝.所以点的轨迹是半径为的圆，所以面积是π.【答案】．设圆(＋)＋＝的圆心为，()是圆内一定点，为圆周上任一点．线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为( )－＝．＋＝－＝．＋＝【解析】∵为垂直平分线上一点，则＝，∴＋＝＋＝＝，故的轨迹是以定点、为焦点的椭圆，∴＝，＝，则＝－＝，∴其标准方程为＋＝.【答案】二、填空题．若曲线：＋＋＋＝，当＝时，曲线经过点(，－)．【导学号：】【解析】将点(，－)代入曲线的方程＋＋＋＝，由曲线与方程的概念知，方程成立，即×(－)＋×＋×(－)＋＝，解得＝.【答案】．已知点到定点()的距离和它到定直线：＝的距离的比是常数，设点的轨迹为曲线，则曲线的轨迹方程是．【解析】设点(，)则。
北师大版高中数学选修2-1学业分层测评11.docx
学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图257，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM的夹角为( )图257A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设D1C1＝a，C1B1＝b，C1C＝c.则D 1(0,0,0)，A (0，b ，c )，D (0,0，c )，C (a,0，c )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b ，12c ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12b ，0.则MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12b ，－12c ，MC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ，12c . ∵∠CMN ＝90°，∴MN →·MC →＝0. 即12b 2－14c 2＝0，即b 2＝12c 2. ∴AD 1→·DM →＝(0，－b ，－c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b ，－12c＝－b 2＋12c 2＝0.∴AD 1与DM 的夹角为90°. 【答案】 D2.如图258，在正四面体A BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )图258A.32B ．23C.12 D ．33【解析】 作AO ⊥平面BCD 于O ，则O 是△BCD 的中心，以O 为坐标原点，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则O (0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，263，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－33，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，33，63， ∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，263，CE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，233，63， ∴cos 〈OA →，CE →〉＝OA →·CE →|OA →||CE →|＝43263×3＝23. ∴CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为23. 【答案】 B3．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)，从而PD →＝(0,1，－1)，CD →＝(－1,0,0)．设平面ABC 与平面PCD 的法向量分别为n 1，n 2，取n 1＝AP →＝(0,0,1)．设n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CD →，n 2⊥PD →， 可得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝－x ＝0n 2·PD →＝y －z ＝0，可取n 2＝(0,1,1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝0＋0＋11×2＝22，所以平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为45°.【答案】 C4．如图259所示，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为( )图259A.36 B ．34 C.33D ．233【解析】 设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0.∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，且OC →为平面BDF 的一个法向量．由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12可得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)． ∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277.∴tan 〈n ，OC →〉＝233.【答案】 D5．P 是二面角αAB β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么α与β的夹角大小为( )【导学号：32550047】A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【解析】 设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，则因∠BPM ＝∠BPN ＝45°，故PE ＝a 2，PF ＝b 2.于是EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →)＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →＝ab cos 60°－a ·b 2cos45°－a 2·b cos 45°＋a 2·b 2＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab 2＝0.因为EM ，FN 分别是α，β内的与棱AB 垂直的两条直线，所以EM →与FN →的夹角就是α与β的夹角．【答案】 D 二、填空题6．若平面α的一个法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)，则l 与α所成角的余弦值为________．【解析】 ∵平面α的法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)．则cos 〈m ，b 〉＝m·b |m ||b |＝1×3＋1×3＋032×3＝63，sin 〈m ，b 〉＝33. ∴l 与α所成角的余弦值为33. 【答案】337．正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．【导学号：32550048】【解析】 建立如图坐标系，设AB ＝1，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，A (0,0,0)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，F (1,0,0)，B (0,1,0)，BF →＝(1，－1,0)．cos θ＝AD →·BF→|AD →|·|BF →|＝12＋0＋01·2＝24.【答案】 248．如图2510所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1C 与AB 夹角的余弦值为________，A 1C 1与平面BB 1C 1C 夹角为________，平面A 1BCD 1与平面ABCD 的夹角为________．图2510【解析】∠A1CD是A1C与AB的夹角，cos∠A1CD＝13＝33；∠A1C1B1是A1C1与面BC1的夹角，∠A1C1B1＝45°；∠A1BA是面A1BCD1与面ABCD的夹角，∠A1BA＝45°.【答案】3345°45°三、解答题9.如图2511，在三棱锥SABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC ＝2，BC＝13，SB＝29.图2511(1)求证：SC ⊥BC ；(2)求SC 与AB 所成角的余弦值．【解】 (1)证明：如图，取A 为原点，垂直于AB 的直线为x 轴，AB ，AS 分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (0，17，0)、S (0,0，23)、C ⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，0， ∴SC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，－23， CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. ∵SC →·CB →＝0，∴SC ⊥BC . (2)设SC 与AB 所成的角为α AB →＝(0，17，0)，SC →·AB →＝4，|SC →||AB →|＝417，∴cos α＝SC →·AB →|SC →||AB →|＝1717，即为所求． 10．如图2512，在三棱柱ABO A 1B 1O 1中，OA ⊥OB ，且OB ＝3，OA ＝4，BB 1＝4，D 为A 1B 1的中点．P 为BB 1上一点，且OP ⊥BD .图2512求直线OP 与底面AOB 的夹角的正弦值．【解】 以O 点为原点，以OB ，OA ，OO 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意，有O (0,0,0)，B (3,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，4，B 1(3,0,4)．设P (3,0，z )，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )．∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，解得z ＝98.∵BB 1⊥平面AOB ，∴BB 1→是底面AOB 的一个法向量，且BB 1→＝(0,0,4)．∴sin ∠POB ＝|cos ∠BPO |＝|OP →·BB 1→||OP →||BB 1→|＝923738×4＝37373. ∴直线OP 与底面AOB 夹角的正弦值为37373.[能力提升]1．平面α的一个法向量为n 1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n 2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )A ．－925B ．925C.725D ．以上都不对【解析】 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－925，∴平面α与平面β夹角的余弦值为925.【答案】 B2．已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12，AB ＝1，则AC 与PB 所成的角的余弦值为( )A.55 B ．105C.155D ．255【解析】 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，从而AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－12， 所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105. 【答案】 B3．正四棱锥S ABCD 中，O 为顶点在底面上的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是________．【解析】 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，则CA →＝(2a,0,0)，AP→＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →(a ，a,0)．设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，设BC 与平面PAC 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈CB →，n 〉|＝12，∴θ＝30°.【答案】 30°4．如图2513，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．【导学号：32550049】图2513(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F AB P 的余弦值． 【解】 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)． (1)证明：BE →＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)， 故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量． 于是有cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33. 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)． 由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)．则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010，易知，二面角F AB P 是锐角，所以其余弦值为31010.。
新高中数学学业分层测评11含解析北师大版选修2_1
新高中数学学业分层测评11含解析北师大版选修2_1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图257，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1与DM 的夹角为( )图257A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设D 1C 1＝a ，C 1B 1＝b ，C 1C ＝c .则D 1(0,0,0)，A (0，b ，c )，D (0,0，c )，C (a,0，c )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b ，12c ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12b ，0. 则MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12b ，－12c ，MC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ，12c .∵∠CMN ＝90°，∴MN →·MC →＝0. 即12b 2－14c 2＝0，即b 2＝12c 2. ∴AD 1→·DM →＝(0，－b ，－c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b ，－12c＝－b 2＋12c 2＝0.∴AD 1与DM 的夹角为90°. 【答案】 D2.如图258，在正四面体A BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )图258A.32B ．23 C.12D ．33【解析】 作AO ⊥平面BCD 于O ，则O 是△BCD 的中心，以O 为坐标原点，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则O (0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，263，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－33，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，33，63， ∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，263，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，233，63，∴cos 〈OA →，CE →〉＝OA →·CE →|OA →||CE →|＝43263×3＝23.∴CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为23. 【答案】 B3．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)，从而PD →＝(0,1，－1)，CD →＝(－1,0,0)．设平面ABC 与平面PCD 的法向量分别为n 1，n 2，取n 1＝AP→＝(0,0,1)．设n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CD →，n 2⊥PD →，可得⎩⎨⎧n 2·CD →＝－x ＝0n 2·PD →＝y －z ＝0，可取n 2＝(0,1,1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝0＋0＋11×2＝22，所以平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为45°.【答案】 C4．如图259所示，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为( )图259A.36 B ．34C.33D ．233【解析】 设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0.∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，且OC →为平面BDF 的一个法向量．由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12可得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277.∴tan 〈n ，OC →〉＝233.【答案】 D5．P 是二面角αAB β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么α与β的夹角大小为( )【导学号：32550047】A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【解析】 设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，则因∠BPM ＝∠BPN ＝45°，故PE ＝a 2，PF ＝b2.于是EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →)＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →＝ab cos 60°－a ·b2cos 45°－a2·b cos 45°＋a2·b2＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0.因为EM ，FN 分别是α，β内的与棱AB 垂直的两条直线，所以EM →与FN →的夹角就是α与β的夹角．【答案】 D 二、填空题6．若平面α的一个法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)，则l 与α所成角的余弦值为________．【解析】 ∵平面α的法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)．则cos 〈m ，b 〉＝m·b |m ||b |＝1×3＋1×3＋032×3＝63，sin 〈m ，b 〉＝33. ∴l 与α所成角的余弦值为33. 【答案】337．正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．【导学号：32550048】【解析】 建立如图坐标系，设AB ＝1，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，A (0,0,0)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，F (1,0,0)，B (0,1,0)，BF →＝(1，－1,0)．cos θ＝AD →·BF →|AD →|·|BF →|＝12＋0＋01·2＝24.【答案】248．如图2510所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1C 与AB 夹角的余弦值为________，A 1C 1与平面BB 1C 1C 夹角为________，平面A 1BCD 1与平面ABCD 的夹角为________．图2510【解析】 ∠A 1CD 是A 1C 与AB 的夹角，cos ∠A 1CD ＝13＝33； ∠A 1C 1B 1是A 1C 1与面BC 1的夹角，∠A 1C 1B 1＝45°； ∠A 1BA 是面A 1BCD 1与面ABCD 的夹角，∠A 1BA ＝45°. 【答案】3345° 45° 三、解答题9.如图2511，在三棱锥S ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29.图2511(1)求证：SC ⊥BC ；(2)求SC 与AB 所成角的余弦值．【解】 (1)证明：如图，取A 为原点，垂直于AB 的直线为x 轴，AB ，AS 分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (0，17，0)、S (0,0，23)、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0， ∴SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，－23， CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. ∵SC →·CB →＝0，∴SC ⊥BC . (2)设SC 与AB 所成的角为α AB →＝(0，17，0)，SC →·AB →＝4，|SC →||AB →|＝417， ∴cos α＝SC →·AB →|SC →||AB →|＝1717，即为所求．10．如图2512，在三棱柱ABO A 1B 1O 1中，OA ⊥OB ，且OB ＝3，OA ＝4，BB 1＝4，D 为A 1B 1的中点．P 为BB 1上一点，且OP ⊥BD .图2512求直线OP 与底面AOB 的夹角的正弦值．【解】 以O 点为原点，以OB ，OA ，OO 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意，有O (0,0,0)，B (3,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，4，B 1(3,0,4)． 设P (3,0，z )，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )． ∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，解得z ＝98.∵BB 1⊥平面AOB ， ∴BB 1→是底面AOB 的一个法向量，且BB 1→＝(0,0,4)． ∴sin ∠POB ＝|cos ∠BPO |＝|OP →·BB 1→||OP →||BB 1→|＝923738×4＝37373.∴直线OP 与底面AOB 夹角的正弦值为37373.[能力提升]1．平面α的一个法向量为n 1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n 2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )A ．－925B ．925 C.725D ．以上都不对【解析】 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－925，∴平面α与平面β夹角的余弦值为925.【答案】 B2．已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12，AB ＝1，则AC 与PB 所成的角的余弦值为( )A.55B ．105C.155 D ．255【解析】 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，从而AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－12， 所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105.【答案】 B3．正四棱锥S ABCD 中，O 为顶点在底面上的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是________．【解析】 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →(a ，a,0)．设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，设BC 与平面PAC 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈CB →，n 〉|＝12，∴θ＝30°.【答案】 30°4．如图2513，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．【导学号：32550049】图2513(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F AB P 的余弦值．【解】 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P(0,0,2)由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)． (1)证明：BE →＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)， 故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎨⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量． 于是有cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)． 由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32. 设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)．则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010，易知，二面角F AB P 是锐角，所以其余弦值为31010.。
高中数学学业分层测评14含解析北师大版选修2_1
——教学资料参考参考范本——高中数学学业分层测评14含解析北师大版选修2_1______年______月______日____________________部门(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a 的取值范围为( )【导学号：32550071】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 B.∪⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43 【解析】 因为点P 在椭圆＋＝1的外部， 所以＋＞1，解得a ＞或a ＜－. 【答案】 B2．已知椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )A. B ．22C.D ．12【解析】 如图，由题意得OP∥FB，＝2，∴＝＝，即＝.∴＝e＝.【答案】D3．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )A.＋＝1 B．＋＝1C.＋＝1 D．＋＝1【解析】由题意设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以a＝6.由离心率为，得＝，解得c＝3.所以b2＝a2－c2＝36－27＝9，则椭圆G的方程为＋＝1.【答案】A4．椭圆(1－m)x2－my2＝1的长轴长为( )A. B．2m－1m－1C．－D．－2－－m1－m【解析】椭圆标准方程为＋＝1，∴∴m＜0.此时1－m＞－m＞0，∴＜－.∴a2＝－，b2＝，2a＝2＝－.【答案】C5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1【解析】 根据椭圆的对称性可求得a 的值，再根据短轴的端点到直线的距离求得b 的取值范围，代入离心率公式即可得答案．根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a ＝2.又d ＝≥，所以1≤b<2，所以e ＝＝＝.因为1≤b<2，所以0<e≤，故选A.【答案】 A 二、填空题6．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______________________．【解析】 由已知得∴a2＝16，b2＝4. ∴标准方程为＋＝1. 【答案】 ＋＝17．椭圆＋＝1和＋＝k(k ＞0，a ＞0，b ＞0)具有________． ①相同的顶点；②相同的离心率；③相同的焦点；④相同的长轴和短轴．【解析】 不妨设a ＞b ，则椭圆＋＝k 的离心率e2＝＝.而椭圆＋＝1的离心率e1＝，故②正确．【答案】 ②8．焦点在x 轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M 到焦点F1的距离2，N 为MF1的中点，则|ON|(O 为坐标原点)的值为________．【导学号：32550072】【解析】∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5，∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4.【答案】4三、解答题9．已知椭圆mx2＋(m＋3)y2＝m(m＋3)(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．【解】椭圆方程可化为＋＝1，则a2＝m＋3，b2＝m，c＝＝.所以e＝＝，解得m＝1，则a＝2，b＝1，c＝.所以椭圆的标准方程为＋y2＝1，椭圆的长轴长为4；短轴长为2；焦点坐标分别为(－，0)，(，0)；顶点坐标分别为(－2,0)，(2,0)，(0,1)，(0，－1)．10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的方程；(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求·的最大值与最小值．【解】(1)设椭圆的半焦距为c，由题意＝，且a＝2，得c＝，b＝1，∴所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)设P(x ，y)，由(1)知F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(－－x ，－y)·(－x ，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋－3＝x2－2，∵x∈[－2,2]，∴当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF1→·有最小值－2；当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，·有最大值1.[能力提升]1．若直线ax ＋by ＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a ，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．需根据a ，b 的取值来确定【解析】 直线ax ＋by ＋4＝0与圆x2＋y2＝4没有公共点，即相离，∴＞2，∴a2＋b2＜4， ∴＋＜1， ∴＋＜＋＜1，∴(a ，b)在椭圆＋＝1的内部故有2个公共点． 【答案】 C2．设F1，F2分别是椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF1的中点在y 轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )A. B ．13C.D ．33【解析】 设PF1的中点为M ，连接PF2，由于O 为F1F2的中点，则OM 为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.由于∠PF1F2＝30°，所以PF1＝2PF2， 由勾股定理得F1F2＝＝PF2，由椭圆定义得2a ＝PF1＋PF2＝3PF2⇒a ＝，2c ＝F1F2＝PF2⇒c ＝，所以椭圆的离心率为e ＝＝·＝.故选D.【答案】 D3．如图312，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为 F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P 点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为________．图312【解析】 设椭圆方程为＋＝1， 建立如图所示的坐标系．则A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F2(c,0)，(－c ，－b)，(a ，－b)，F2B1→·＝(－c ，－b)·(a，－b)＝－ac ＋b2<0，又∵a2＝b2＋c2，∴－ac ＋a2－c2<0，∴e2＋e －1>0, 又∵0<e<1， ∴<e<1.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，14．如图313，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ⊥PF1.图313(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.【解】 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF1⊥PF2， 因此2c ＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2 ＝＝2.即c ＝，从而b ＝＝1，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)法一：连接F1Q ，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则x20＋＝1，x＋y＝c2，a2求得x0＝±，y0＝±.由|PF1|＝|PQ|>|PF2|得x0>0，从而|PF1|2＝2＋b4c2＝2(a2－b2)＋2a＝(a＋)2.由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|，又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此(2＋)|PF1|＝4a，即(2＋)(a＋)＝4a，于是(2＋)(1＋)＝4，解得e＝＝－.法二：如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，则|PF1|＝2(2－)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝＝|PF1|2＋|PF2|22a＝22＝＝－.。
北师大版高中数学选修2-1学业分层测评3.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p成立时，q不一定成立；当q 成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．【答案】 C2．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】分别判断由“x>1”能否推出“x3>1”和由“x3>1”能否推出“x>1”．由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x 3>1时，x >1也成立．因此“x >1”是“x 3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3． l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线，q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【解析】 根据空间两条直线的位置关系和充要条件的定义进行判断． 若l 1，l 2异面，则l 1，l 2一定不相交；若l 1，l 2不相交，则l 1，l 2是平行直线或异面直线，故p ⇒q ，qp ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】 A4．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 当a ＝1时，N ＝{1}，显然满足N ⊆M ，所以充分性成立；因为N ⊆M ，所以a 2＝1或a 2＝2，即a ＝±1或a ＝±2，故必要性不成立，所以选A.【答案】 A5．已知a ，b 为实数，命题甲：ab ＞b 2，命题乙：1b ＜1a ＜0，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当a ＝2，b ＝1时，ab ＞b 2，但1b ＜1a ＜0不成立；当1b ＜1a ＜0时，ab 2＜0，则1b ×ab 2＞1a ×ab 2，即ab ＞b 2成立，所以选B.【答案】 B二、填空题6．若p ：x 2－1＞0，q ：(x ＋1)(x －2)＞0，则綈p 是綈q 的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个)．【解析】 綈p ：x 2－1≤0，∴－1≤x ≤1，綈q ：(x ＋1)(x －2)≤0，－1≤x ≤2， ∴－1≤x ≤1⇒－1≤x ≤2而－1≤x ≤1－1≤x ≤2，∴綈p 是綈q 的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要7．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件是________． 【解析】 对a 分a ＝0和a ≠0两种情况讨论． 【答案】 ⎩⎨⎧ a ＞0b 2－4ac ＜0或⎩⎨⎧a ＝b ＝0c ＞08．若命题“若p ，则q ”为真，则下列说法正确的是________． ①p 是q 的充分条件； ②p 是q 的必要条件； ③q 是p 的充分条件； ④q 是p 的必要条件．【解析】 由充分条件与必要条件的定义知，①④正确． 【答案】 ①④ 三、解答题9．命题p ：x ＞0，y ＜0，命题q ：x ＞y ，1x ＞1y ，则p 是q 的什么条件？【导学号：32550007】【解】 p ：x ＞0，y ＜0，则q ：x ＞y ，1x ＞1y 成立；反之，由x ＞y ，1x ＞1y ⇒y －xxy ＞0，因y －x ＜0，得xy ＜0，即x ，y 异号，又x ＞y ，得x ＞0，y ＜0.所以“x ＞0，y ＜0”是“x ＞y ，1x ＞1y ”的充要条件．10．已知a ，b ，c 均为实数，求证ac ＜0是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件．【证明】①充分性．若ac＜0，则Δ＝b2－4ac＞0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，设其两根为x1，x2，因为ac＜0，所以x1·x2＝ca＜0，即x1，x2的符号相反，所以方程有一个正根和一个负根．②必要性．若方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，设其两根为x1，x2，不妨设x1＜0，x2＞0，则x1·x2＝ca＜0，所以ac＜0.由①②知ac＜0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件．[能力提升]1．“若a，b∈R＋，a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a，b∈R＋，若a2＋b2＜1，则a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＜1＋2ab＋(ab)2，即(a＋b)2＜(1＋ab)2，所以a＋b＜1＋ab成立；当a＝b＝2时，有1＋ab＞a＋b 成立，但a2＋b2＜1不成立，所以“a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的充分不必要条件．【答案】 C2．已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵f(x)＝(a x＋b)2＝a2x2＋2a·b x＋b2，且f(x)＝(a x＋b)2为偶函数，∴2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，∴f(x)＝(a x＋b)2＝a2x2＋2a·b x＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，∴“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C.【答案】 C3．已知命题p ：实数x 满足－2≤1－x －13≤2；命题q ：实数x 满足x 2－2x ＋(1－m 2)≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．【导学号：32550008】【解析】 令A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2≤1－x －13≤2＝{x |－2≤x ≤10}， B ＝{x |x 2－2x ＋(1－m 2)≤0，m ＞0} ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．∵“若綈p ，则綈q ”的逆否命题为“若q ，则p ”，而綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件，∴p ⇒q ，即A ⊆B ，故⎩⎨⎧m ＞0，1－m ≤－2，10≤1＋m ，解得m ≥9.【答案】 [9，＋∞)4．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.【解】 (1)必要性：若ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立，由二次函数性质有：⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0，即⎩⎨⎧a >0a 2－4a <0，∴0<a <4.(2)充分性：若0<a <4，对函数y ＝ax 2＋ax ＋1，其中Δ＝a 2－4a ＝a (a －4)<0且a >0，∴ax 2－ax ＋1>0(x ∈R )恒成立． 由(1)(2)命题得证．。
2019-2020学年高二数学北师大版选修1-2学业分层测评1 Word版含答案
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立地做了10次试验和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都为t，那么下列说法中正确的是( )A．直线l1和l2都过点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C．直线l1和l2必平行D．直线l1和l2必重合【解析】线性回归方程y＝bx＋a恒过点(x，y)，故直线l1和l2都过点(s，t)．【答案】 A2．已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归方程为y＝0.577x－0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )A．一定是20.3%B．在20.3%附近的可能性比较大C．无任何参考数据D．以上解释都无道理【解析】将x＝36代入回归方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B．【答案】 B3．关于回归分析，下列说法错误的是( )A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法B．线性相关系数可以是正的或负的C．回归模型中一定存在随机误差D．散点图反映变量间的确定关系【解析】用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差，故D错误．【答案】 D4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组试验数据如下表：A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)【解析】 代入检验，当x 取相应的值时，所得y 值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．【答案】 D5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0C ．12D ．1【解析】 所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D ． 【答案】 D 二、填空题6．回归分析是处理变量之间________关系的一种数量统计方法． 【解析】 回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法． 【答案】 相关7．已知某个样本点中的变量x ，y 线性相关，相关系数r ＜0，则在以(x ，y )为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第________象限．【解析】 ∵r ＜0时b ＜0， ∴大多数点落在第二、四象限． 【答案】 二、四8．某中学期中考试后，对成绩进行分析，从某班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表：【解析】 ∵x ＝482＋383＋421＋364＋3625＝402.4，y ＝78＋65＋71＋64＋615＝67.8，∑i ＝15x 2i ＝232324＋146689＋177241＋132496＋131044＝819794. ∑i ＝15x i y i ＝37596＋24895＋29891＋23296＋22082＝1337760b ＝∑i ＝15xiyi －5x y∑i ＝15x2i －5x 2＝1337760－5×402.4×67.8819794－5×402.42≈0.132，∴a ＝67.8－0.132×402.4≈14.68， ∴方程为y ＝0.132x ＋14.68. 【答案】 y ＝0.132x ＋14.68 三、解答题9．关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下的统计资料：若由资料可知y 对x (1)线性回归方程；⎝⎛⎭⎪⎪⎪⎪⎫a ＝y －b x －，b ＝∑i ＝1nxiyi －n x －y －∑i ＝1n x2i －n x 2(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 【解】 (1)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5，∑i ＝15x2i ＝90，∑i ＝15x i y i＝112.3， b ＝∑i ＝15xiyi －5x －y－∑i ＝15x2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23.于是a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08. 所以线性回归方程为y ＝1.23x ＋0.08.(2)当x ＝10时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元．10．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.【解】 画出散点图如图所示．x ＝16(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7，y ＝16(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3，∑ 6i ＝1x i y i ＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1 910， ∑ 6 i ＝1x 2i ＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1 286， ∑ 6 i ＝1y 2i ＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10 172，∑ ni ＝1 由r ＝∑ ni ＝1 x i y i －n x y ∑ ni ＝1x 2i －n x 2∑ ni ＝1y 2i －n y 2，可得r ≈-0.97.由于r 的绝对值接近于1，所以x 与y 具有很强的线性相关关系．[能力提升]1．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x ，y 6月份生产甲胶囊产量为()A ．8.1万盒B ．8.2万盒C ．8.9万盒D ．8.6万盒 【解析】 由题意知x ＝3，y ＝6，则a ＝y －0.7x ＝3.9， ∴x ＝6时，y ＝8.1. 【答案】 A2．已知x 与y 之间的几组数据如下表：(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( ) 【导学号：67720002】A ．b >b ′，a >a ′B ．b >b ′，a <a ′C ．b <b ′，a >a ′D ．b <b ′，a <a ′【解析】 由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2. 求b ，a 时， ∑i ＝16x i y i＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136，∑i ＝16x2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， ∴b ＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a ＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b <b ′，a >a ′. 【答案】 C3．已知x ，y 的取值如下表所示，由散点图分析可知y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝0.95x ＋2.6，那么表格中的数据m 的值为________.【解析】 x ＝0＋1＋3＋44＝2，y ＝2.2＋4.3＋4.8＋m 4＝11.3＋m 4，把(x －，y －)代入回归方程得11.3＋m4＝0.95×2＋2.6，解得m ＝6.7.【答案】 6.74．某商店各个时期的商品流通率y (%)和商品零售额x (万元)资料如下：散点图显示出x 与y 的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y 决定于商品的零售额x ，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋b x.试根据上表数据，求出a 与b 的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．【解】 设u ＝1x，则y ≈a ＋bu ，得下表数据：进而可得n ＝10，u ≈0.060 4，y ＝3.21， ∑10i ＝1u 2i －10u 2≈0.004 557 3， i ＝110u i y i－10uy ≈0.256 35，b ≈0.256 350.004 557 3≈56.25， a ＝y －b ·u ≈－0.187 5，所求的回归方程为y＝－0.187 5＋56.25 x.当x＝30时，y＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率约为1.687 5%.。
高中数学学业分层测评14(含解析)北师大版选修2-1(2021学年)
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学业分层测评（十四)(建议用时：45分钟)[学业达标］一、选择题1．若点P（ａ，1)在椭圆＼f（x2，2)＋＼f（y2,3)＝1的外部,则a的取值范围为( )【导学号:325500７1】A．错误!B.错误!∪错误!C.错误!D。
错误!【解析】因为点P在椭圆＼f(ｘ２，2)+错误!=1的外部，所以a２２+1２3>1，解得a>＼f（2＼r(3),３)或a<-错误!.【答案】B2．已知椭圆错误!+错误!=1(ａ>b＞0)的左焦点为Ｆ,右顶点为A,点B在椭圆上，且ＢF⊥x 轴，直线AB交ｙ轴于点P.若错误!=2错误!,则椭圆的离心率是( )A。
错误! B.错误!C。
错误!ﻩ D.错误!【解析】如图,由题意得OP∥FB,错误!=２,∴＼ｆ（|ＡO|,|ＡF｜)=错误!＝错误!,即错误!=错误!.∴错误!＝e＝错误!。
【答案】D3．已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上，离心率为错误!,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（) A。
错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!=1C．＼f（x2，4）＋错误!=１ﻩＤ．错误!＋错误!=1【解析】由题意设椭圆G的方程为错误!+错误!=1（a＞b＞0)，因为椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为1２，所以a＝６。
北师大版高中数学选修2-1学业分层测评10.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．以下四组向量：①a ＝(1，－2,1)，b ＝(－1,2，－1)； ②a ＝(8,4,0)，b ＝(2,1,0)； ③a ＝(1,0，－1)，b ＝(－3,0,3)； ④a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，－1，b ＝(4，－3,3)．其中a ，b 分别为直线l 1，l 2的方向向量，则它们互相平行的是( ) A ．②③ B ．①④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 ①∵a ＝－b ，∴a ∥b . ②∵a ＝4b ，∴a ∥b . ③∵b ＝－3a ，∴a ∥b . ④∵b ＝－3a ，∴a ∥b . 【答案】 D2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交【解析】 ∵A (9，－3,4)，B (9,2,1) ∴AB →＝(0,5，－3)∵yOz 平面内的向量的一般形式为a ＝(0，y ，z ) ∴AB →∥a∴AB →∥平面yOz .∴AB ∥平面yOz . 【答案】 C3．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152 C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152【解析】 ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152. 【答案】 D4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是( )【导学号：32550041】A ．－103B ．6C ．－6D ．103【解析】 ∵α⊥β，∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－103. 【答案】 A5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量P A →与平面α的法向量n 是否垂直，即P A →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则P A →·n ＝(1，－4，12)·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.【答案】 B 二、填空题6．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y ＝________.【解析】 ∵l ∥α，∴l ⊥α的法向量， ∴2×1－8y ＋1×2＝0，∴y ＝12. 【答案】 12.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，向量(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，则x ∶y ∶z ＝________.【解析】 设n ＝(x ，y ，z )则 n ·AB →＝0，即(x ，y ，z )·(－1,1,0)＝0， ∴－x ＋y ＝0，n ·BC →＝0，即(x ，y ，z )·(0，－1,1)＝0， ∴－y ＋z ＝0， ∴x ∶y ∶z ＝1∶1∶1. 【答案】 1∶1∶18．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(1,1,1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1＝________，b 2＝________.【解析】 设b 1＝(x ，y ，z )，∵b 1∥a ，∴x ＝y ，z ＝0. 又∵b 2＝b －b 1＝(1－x,1－y,1－z )，b 2⊥a ， ∴b 2·a ＝1－x ＋1－y ＝0，得x ＋y ＝2. ∴x ＝y ＝1.即b 1＝(1,1,0)，b 2＝(0,0,1)． 【答案】 (1,1,0) (0,0,1) 三、解答题9．用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．【解】 已知：如图，α∩β＝l ，α⊥γ，β⊥γ. 求证：l ⊥γ证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a ，b ，c ，直线l 的方向向量为e ，则a·e ＝0，b·e ＝0.因为a ，b 与e 不共面，故存在实数x ，y ，z 使c ＝x a ＋y b ＋z e . 因为a ⊥c ，b ⊥c ， 所以⎩⎨⎧a ·(x a ＋yb ＋z e )＝0，b ·(x a ＋y b ＋z e )＝0，⎩⎨⎧x ·a 2＋y a·b ＝0.x a ·b ＋y b 2＝0，因为α与β相交，所以a 与b 不共线，所以a 2a·b ≠a·b b2， 所以方程组有唯一解⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，所以c ＝z e ，即c ∥e ，从而有l ⊥γ.图2-4-410．如图2-4-4所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .证明：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 (1)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，且P A →＝(a,0，－a )，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴P A →＝2EG →，即P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )． 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .[能力提升]1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )．若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则x ，y ，z 分别为( )A.337、－157、4 B ．407、－157、4 C.407、－2、4D ．4、407、－15【解析】 AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，可解得x ＝407，y ＝－157. 【答案】 B2．如图2-4-5，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ：FD 的值为( )图2-4-5A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF →·PE →＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 【答案】 B3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →，其中正确的是________．【导学号：32550042】【解析】 ∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0，∴AP ⊥AB ，AP ⊥AD 且AP →是平面ABCD 的法向量． 【答案】 ①②③4．如图2-4-6，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC .图2-4-6(1)求证：AC ⊥PB ；(2)设O ，D 分别为AC ，AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足OG →＝13(OA →＋OB →)，求证：DG ∥面PBC ；【证明】 (1)因为P A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，且P A ∩AB ＝A ， 所以AC ⊥平面P AB .又因为PB ⊂平面P AB ， 所以AC ⊥PB .(2)法一：因为P A ⊥平面ABC ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ，所以建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz.设AC ＝2a ，AB ＝b ，P A ＝2c ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (2a,0,0)，P (0,0,2c )，D (0,0，c )，O (a,0,0)， 又因为OG →＝13(OA →＋OB →)， 所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，0.于是DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ，BC →＝(2a ，－b,0)，PB →＝(0，b ，－2c )． 设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧2ax 0－by 0＝0，by 0－2cz 0＝0.不妨设z 0＝1，则有y 0＝2c b ，x 0＝ca ， 所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1因为n ·DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，2c b ，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，－c ＝c a ·a 3＋2c b ·b3＋1·(－c )＝0，所以n ⊥DG →.又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .法二：取AB 中点E ，连接OE ，则OE →＝12(OA →＋OB →)． 由已知OG →＝13(OA →＋OB →)可得OG →＝23OE →，则点G 在OE 上．连接AG 并延长交CB 于点F ，连接PF .因为O ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以OE ∥BC ，即G 为AF 的中点．又因为D 为线段P A 的中点，又所以DG ∥PF ，又DG ⊄平面PBC ，PF ⊂平面PBC ，所以DG ∥平面PBC .。
高二数学北师大版选修2-1学业分层测评18 Word版含答案
学业分层测评(十八)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．若点()到双曲线－＝的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )．．．【解析】双曲线的渐近线方程为±＝，点()到渐近线的距离为＝，所以＝，所以双曲线的离心率为，故选.【答案】．过双曲线－＝的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则＝()．．．【解析】设，两点的坐标分别为(，)，(，)，将＝＝代入渐近线方程＝±得到，，进而求.由题意知，双曲线－＝的渐近线方程为＝±，将＝＝代入得＝±，即，两点的坐标分别为()，(，－)，所以＝.【答案】．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为＝±的是( )．－＝．－＝－＝．－＝【解析】由双曲线的性质利用排除法求解．由双曲线焦点在轴上，排除选项、，选项中双曲线的渐近线方程为＝±，故选.【答案】．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长(≠)同时增加(＞)个单位长度，得到离心率为的双曲线，则( )．对任意的，，＞．当＞时，＞；当＜时，＜．对任意的，，＜．当＞时，＜；当＜时，＞【解析】分别表示出和，利用作差法比较大小．由题意＝＝；双曲线的实半轴长为＋，虚半轴长为＋，离心率＝＝.因为－＝，且＞，＞，＞，≠，所以当＞时，＞，即＞.又＞，＞，所以由不等式的性质依次可得＞＋＞＋，所以＞，即＞；同理，当＜时，＜，可推得＜.综上，当＞时，＜；当＜时，＞.【答案】．设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )．．【解析】设双曲线方程为－＝(＞，＞)，不妨设一个焦点为()，虚轴端点为(，)，则＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直关系得·＝－，即＝，又－＝，所以－＝，两边同除以，整理得－－＝，解得＝或＝(舍去)．【答案】二、填空题．过双曲线－＝的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，为其右焦点，则＋－的值为．【解析】＋－＝＋－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝＝.【答案】．设是双曲线：－＝的一个焦点．若上存在点, 使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为．【解析】根据题意建立，间的联系，再利用离心率公式计算．不妨设(－)，的中点为(，)．由中点坐标公式可知()．又点在双曲线上，则－＝，故＝，即＝＝.【答案】．若双曲线－＝右支上一点(，)到直线＝的距离为，则＋＝.【导学号：】【解析】由于点(，)在右支上，所以－>.。
【精品】高中数学学业分层测评12含解析北师大版选修2_1
学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216a B ．66a C.156a D ．153a 【解析】 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→.∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. ∴|MN →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 【答案】 A2．已知平面α的法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (x,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为103，则x ＝( )【导学号：32550053】A ．－1B ．－11C ．－1或－11D ．－21【解析】 PA →＝(x ＋2,2，－4)，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·n |n |＝103，即|－x ＋－4－4|4＋4＋1＝103，解得x ＝－1或－11. 【答案】 C3．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长是1，则直线DA 1与AC 间的距离为( ) A.13 B ．23 C.33D ．34【解析】 建系如图A (1,0,0)，A 1(1，0,1)，C (0,1,0)，AC →＝(－1,1,0)，DA 1→＝(1,0,1)，设n ＝(x ，y ，z )，令⎩⎨⎧n ·AC →＝0n ·DA 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0x ＋z ＝0令x ＝1则n ＝(1,1，－1)DA →＝(1,0,0)，DA 1→与AC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA →·n |n|＝33.【答案】 C4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5【解析】 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )． 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ，∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45，∴BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD →|＝ 16＋8125＋14425＝5.【答案】 A5．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83 B ．38 C.43D ．34【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2，0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．∴D 1B 1→＝(2,2,0)， D 1A →＝(2,0，－4)，AA 1→＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，则n ⊥D 1B 1→，n ⊥D 1A →，∴⎩⎨⎧n ·D 1B 1→＝0，n ·D 1A →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由AA 1→在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |n |＝43.【答案】 C 二、填空题6．如图265所示，在直二面角D AB E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为________．图265【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2).AD →＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0；2y ＋2z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)． 故点D 到平面ACE 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝233. 【答案】2337．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【导学号：32550054】【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ，－2，＝0，x ，y ，z，0，＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z y ＝－z 令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．又AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－＋－－2×732＋22＋－2＝4917＝491717. 【答案】4917178．如图267所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．图267【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1.∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴n ·D 1B 1→＝0，且n ·B 1N →＝0. 即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝0.∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0，。
【精品】高中数学学业分层测评3含解析北师大版选修2_1
学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p成立时，q不一定成立；当q成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．【答案】 C2．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】分别判断由“x>1”能否推出“x3>1”和由“x3>1”能否推出“x>1”．由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3． l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( ) A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解析】根据空间两条直线的位置关系和充要条件的定义进行判断．若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p⇒q，q p，故p是q的充分不必要条件．【答案】 A4．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 当a ＝1时，N ＝{1}，显然满足N ⊆M ，所以充分性成立；因为N ⊆M ，所以a 2＝1或a 2＝2，即a ＝±1或a ＝±2，故必要性不成立，所以选A.【答案】 A5．已知a ，b 为实数，命题甲：ab ＞b 2，命题乙：1b ＜1a＜0，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当a ＝2，b ＝1时，ab ＞b 2，但1b ＜1a ＜0不成立；当1b ＜1a ＜0时，ab 2＜0，则1b×ab 2＞1a×ab 2，即ab ＞b 2成立，所以选B.【答案】 B 二、填空题6．若p ：x 2－1＞0，q ：(x ＋1)(x －2)＞0，则綈p 是綈q 的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个)．【解析】 綈p ：x 2－1≤0，∴－1≤x ≤1， 綈q ：(x ＋1)(x －2)≤0，－1≤x ≤2， ∴－1≤x ≤1⇒－1≤x ≤2而－1≤x ≤1－1≤x ≤2，∴綈p 是綈q 的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要7．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件是________． 【解析】 对a 分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0b 2－4ac ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c ＞08．若命题“若p ，则q ”为真，则下列说法正确的是________． ①p 是q 的充分条件； ②p 是q 的必要条件； ③q 是p 的充分条件；④q 是p 的必要条件．【解析】 由充分条件与必要条件的定义知，①④正确． 【答案】 ①④ 三、解答题9．命题p ：x ＞0，y ＜0，命题q ：x ＞y ，1x ＞1y，则p 是q 的什么条件？【导学号：32550007】【解】 p ：x ＞0，y ＜0，则q ：x ＞y ，1x ＞1y成立；反之，由x ＞y ，1x ＞1y ⇒y －xxy＞0，因y －x ＜0，得xy ＜0，即x ，y 异号，又x ＞y ，得x＞0，y ＜0.所以“x ＞0，y ＜0”是“x ＞y ，1x ＞1y”的充要条件．10．已知a ，b ，c 均为实数，求证ac ＜0是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件．【证明】 ①充分性．若ac ＜0， 则Δ＝b 2－4ac ＞0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，设其两根为x 1，x 2， 因为ac ＜0， 所以x 1·x 2＝c a＜0， 即x 1，x 2的符号相反，所以方程有一个正根和一个负根．②必要性．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根，设其两根为x 1，x 2，不妨设x 1＜0，x 2＞0，则x 1·x 2＝c a＜0， 所以ac ＜0.由①②知ac ＜0是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件．[能力提升]1． “若a ，b ∈R ＋，a 2＋b 2＜1”是“ab ＋1＞a ＋b ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 a ，b ∈R ＋，若a 2＋b 2＜1，则a 2＋2ab ＋b 2＜1＋2ab ＜1＋2ab ＋(ab )2，即(a ＋b )2＜(1＋ab )2，所以a ＋b ＜1＋ab 成立；当a ＝b ＝2时，有1＋ab ＞a ＋b 成立，但a 2＋b2＜1不成立，所以“a 2＋b 2＜1”是“ab ＋1＞a ＋b ”的充分不必要条件．【答案】 C2．已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵f (x )＝(a x ＋b )2＝a 2x 2＋2a ·b x ＋b 2，且f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数，∴2a·b ＝0，即a·b ＝0，所以a ⊥b ；若a ⊥b ，则有a·b ＝0，∴f (x )＝(a x ＋b )2＝a 2x 2＋2a ·b x ＋b 2＝a 2x 2＋b 2为偶函数，∴“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的充要条件，故选C.【答案】 C3．已知命题p ：实数x 满足－2≤1－x －13≤2；命题q ：实数x 满足x 2－2x ＋(1－m 2)≤0(m＞0)．若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．【导学号：32550008】【解析】 令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤1－x －13≤2＝{x |－2≤x ≤10}， B ＝{x |x 2－2x ＋(1－m 2)≤0，m ＞0}＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．∵“若綈p ，则綈q ”的逆否命题为“若q ，则p ”，而綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件，∴p ⇒q ，即A ⊆B ，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，10≤1＋m ，解得m ≥9.【答案】 [9，＋∞)4．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.【解】 (1)必要性：若ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立，由二次函数性质有： ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0a 2－4a <0，∴0<a <4.(2)充分性：若0<a <4，对函数y ＝ax 2＋ax ＋1，其中Δ＝a 2－4a ＝a (a －4)<0且a >0， ∴ax 2－ax ＋1>0(x ∈R )恒成立．由(1)(2)命题得证．。
「精品」高中数学学业分层测评2含解析北师大版选修2_1
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】 ∵－2＜x ＜1x ＞1或x ＜－1，且x ＞1或x ＜－1－2＜x ＜1，∴“－2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的既不充分，也不必要条件．【答案】 C2．a ＜0，b ＜0的一个必要条件为( ) A ．a ＋b ＜0 B ．a －b ＞0 C.ab ＞1D ．a b＜－1【解析】 a ＋b ＜0 a ＜0，b ＜0，而a ＜0，b ＜0⇒a ＋b ＜0.【答案】 A3．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ab ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.【答案】 C4．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是( )A ．a ≤0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＜1【解析】 ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴x 1x 2＜0.即1a＜0⇔a ＜0，本题要求的是充分条件．由于{a |a ＜－1}⊆{a |a ＜0}，故答案应为C.【答案】 C5．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x ·sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立．【答案】 B 二、填空题6．满足sin α＝12的一个充分条件是α＝____(填一角即可)．【解析】 ∵α＝π6⇒sin α＝12，∴sin α＝12的一个充分条件可以是α＝π6.【答案】π67．已知“x ＞k ”是“3x ＋1＜1”的充分条件，则k 的取值范围是________． 【导学号：32550004】【解析】 解不等式3x ＋1＜1得，x ＜－1或x ＞2， ∵x ＞k ⇒x ＞2或x ＜－1∴k ≥2. 【答案】 [2，＋∞)8．已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}．∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，∴m ＞5或m ＜－3.【答案】 (－∞，－3)∪(5，＋∞) 三、解答题9．分别判断下列“若p ，则q ”命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p ：sin θ＝0，q ：θ＝0； (2)p ：θ＝π，q ：tan θ＝0； (3)p ：a 是整数，q ：a 是自然数； (4)p ：a 是素数，q ：a 不是偶数．【解】 (1)由于p ：sin θ＝0⇐q ：θ＝0，p ：sin θ＝0 q ：θ＝0，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件．(2)由于p ：θ＝π⇒q ：tan θ＝0，p ：θ＝π⇐/ q ：tan θ＝0， 所以p 是q 的充分条件，p 是q 的不必要条件． (3)由于p ：a 是整数q ：a 是自然数，p ：a 是整数⇐q ：a 是自然数，所以p 是q 的必要条件，p 是q 的不充分条件． (4)由于p ：a 是素数⇔/ q ：a 不是偶数， 所以p 是q 的不充分条件，p 是q 的不必要条件．10．已知p ：4x ＋k ≤0，q ：x 2－x －2＜0，且p 是q 的必要条件，求k 的取值范围． 【解】 由4x ＋k ≤0，得x ≤－k4；由x 2－x －2＜0，得－1＜x ＜2.设A ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－k4，B ＝{x |－1＜x ＜2}， 由p 是q 的必要条件，得A ⊇B . ∴－k4≥2，∴k ≤－8.即k 的取值范围为(－∞，－8]．[能力提升]1．不等式1－1x＞0成立的充分条件是( )A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ＜－1或0＜x ＜1D ．x ＜0或x ＞1【解析】 x ＞1⇒1－1x＞0，故选A.【答案】 A2．设a ，b 为向量，则“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉＝|a||b|， ∴cos 〈a ，b 〉＝1， ∴〈a ，b 〉＝0， ∴a·b ＝|a||b|⇒a∥b .而∵a∥b 夹角可为π，∴a·b ＝－|a||b|， ∴a·b ＝|a||b|⇐/ a∥b ， 故选A. 【答案】 A3．(2016·长春高二检测)如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．【解析】 否命题为真，则逆命题为真． ∴“若B ，则A ”为真，∴B ⇒A ， 而原命题为假设AB ，∴A 是B 的必要条件． 【答案】 必要4．已知p ：x 2－2x －3＜0，若－a ＜x －1＜a 是p 的一个必要条件但不是充分条件，求使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围．【解】 由于p ：x 2－2x －3＜0⇔－1＜x ＜3，－a ＜x －1＜a ⇔1－a ＜x ＜1＋a (a ＞0)．依题意，得{x |－1＜x ＜x |1－a ＜x ＜1＋a }(a ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤－1，1＋a ≥3，2a ＞4.解得a ＞2，则使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2，即(－∞，2]．。
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高中数学学习材料
（灿若寒星精心整理制作）
学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列语句不是命题的有()
①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗？
②2x－1＞3.
③7＋6＝14.
④两直线平行内错角相等．
A．①②B．①③
C．②④D．①②③
【答案】 A
2．若命题p的逆命题是假命题，则下列判断一定正确的是()
A．命题p是真命题
B．命题p的否命题是假命题
C．命题p的逆否命题是假命题
D．命题p的否命题是真命题
【解析】一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B.
【答案】 B
3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是() A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
【解析】此命题可改为“若一个四边形是平行四边形则它的对角线互相平分，也互相垂直”，故结论为选项C.
【答案】 C
4．在下列命题中，真命题是()
A．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题
B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题
C．若x∈R，则x2＋3＜0
D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
【解析】“相似三角形的对应角相等”是真命题，又因为原命题与逆否命题为等价命题，故选D.
【答案】 D
5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是() A．3B．2
C．1D．0
【解析】易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．【答案】 C
二、填空题
6．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题．
【导学号：32550002】【解析】根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．
【答案】否
7．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x 的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况既可)
【解析】该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用各部分的知识．部分可能情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x,2x－3等．
【答案】x轴－3－log2x
8．给定下列命题：
①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；
②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是________．
【解析】①Δ＝4＋4k∵k＞0，∴Δ＞0方程有实根，故①为真命题．②，④易判断为真命题．③对角线相等的四边形有可能是梯形．
【答案】①②④
三、解答题
9．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称．
【解】(1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．
(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题．
10．分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假：
(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；
(2)四条边相等的四边形是正方形．
【解】找出原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题．
(1)逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0；
否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除；
逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.
逆命题和否命题是假命题，原命题和逆否命题是真命题．
(2)原命题可以改写成：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；
逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；
否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；
逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等．
原命题和逆否命题是假命题，逆命题和否命题是真命题．
[能力提升]
1．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中真命题的序号为()
A．①②B．②③
C．①③D．③④
【解析】①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等”，是假命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；④“不等边三角形的三个内角相等”是假命题，其逆否命题是假命题．【答案】 C
2．若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是
() A．互逆命题B．互否命题
C．互逆否命题D．不确定
【解析】p，q互为逆否命题，又q的逆命题是r，故p、r为互否命题．【答案】 B
3．下列说法正确的是________．
①“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y全不为零”．
②“正多边形都相似”的逆命题是真命题．
③“若x－31
2是有理数，则x是无理数”的逆否命题是真命题．
【解析】 ①中否命题：“若x 2＋y 2≠0则x ，y 不全为0”，故是错误的． ②中逆命题：“若两个多边形相似，则这两个多边形是正多边形”，是假命题，故此说法错误．
③中逆否命题：“若x 不是无理数，则x －312不是有理数”，是真命题，故
说法正确．
【答案】 ③
4．若方程x 2＋2px －q ＝0(p ，q 是实数)没有实数根，则p ＋q <14.
(1)判断上述命题的真假，并说明理由．
(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．
【解】 (1)上述命题是真命题，由题意，
得方程的判别式Δ＝4p 2＋4q <0，得q <－p 2，
∴p ＋q <p －p 2＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫p －122＋14≤14， ∴p ＋q <14.
(2)逆命题：如果p ，q 是实数，p ＋q <14，则方程x 2＋2px －q ＝0没有实数根．逆
命题是假命题，如当p ＝1，q ＝－1时，p ＋q <14，但原方程有实数根x ＝－1.。