【解析版】盐城市亭湖区新洋实验学校2015届中考数学模拟试卷

江苏省盐城市亭湖区新洋实验学校2015届中考数学模拟试卷一.填空题（24分）1．9的平方根是( )A．±3 B．3 C．﹣3 D．±2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A．B．C．D．3．如图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体，则这个几何体的俯视图是( )A．B．C．D．4．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( )A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣65．如图，已知a∥b，∠1=55°，则∠2的度数是( )A．35°B．45°C．55°D．125°6．为了了解某班学生每天使用零花钱数（单位：元）的情况，小王随机调查了15名同学，结果如下表：每天使用零花钱数 1 2 3 5 6人数 2 5 4 3 1则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是( )A．2元、3元B．2.5元、3元C．2元、2.5元D．3元、2.5元7．若二次函数y=（x﹣k）2+m，当x≤2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是( ) A．k=2 B．k＞2 C．k≥2 D．k≤28．如图，（n+1）个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设阴影部分△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2面积S2，…，△B n+1D n C n面积S n，则S2015值为( )A．B．C．D．二.填空题（30分）9．若二次根式有意义，则x的取值范围是__________．10．已知△ABC与△DEF相似且周长比为2：5，则△ABC与△DEF的相似比为__________．11．已知实数m是关于x的方程x2﹣3x﹣1=0的一根，则代数式2m2﹣6m+2值为__________．12．母线长为3，底面圆的直径为2的圆锥的侧面积为__________．13．分解因式：a2+3ab=__________．14．下列四个函数：①y=﹣2x+1，②y=3x﹣2，③y=﹣，④y=x2+2中，当x＞0时，y 随x的增大而增大的函数是__________（选填序号）．15．四名选手参加射击预选赛，他们成绩的平均环数及方差S2如右表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，则应选__________．16．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=__________．17．如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=__________度．18．如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=2，BO=4，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为__________．三.解答题19．计算（1）|﹣2|﹣（）﹣1+4sin45°；（2）解不等式组．20．先化简：÷（a），再选取一个你喜欢的数a代入求值．21．某体院要了解篮球专业学生投篮的命中率，对学生进行定点投篮测试，规定每人投篮20次，测试结束后随机抽查了一部分学生投中的次数，并分为五类，Ⅰ：投中11次；Ⅱ投中12次；Ⅲ：投中13次；Ⅳ：投中14次；Ⅴ：投中15次．根据调查结果绘制了下面尚不完整的统计图1、图2：回答下列问题：（1）本次抽查了__________名学生，图2中的m=__________．（2）补全条形统计图，并指出中位数在哪一类．（3）求最高的命中率及命中最高的人数所占的百分比．（4）若体院规定篮球专业学生定点投篮命中率不低于65%记作合格，估计该院篮球专业210名学生中约有多少人不合格．22．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是__________；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是__________；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．23．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，点A在点B的正东方向，AB=4km，有一艘小船在点P处，从点A 测得小船在北偏西60°方向，从点B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求小船到海岸线l的距离；（2）小船从点P沿射线AP方向航行一段时间后，到C处，此时，从点B测得小船在北偏西15°的方向，求此时小船到观测点B的距离．（结果保留根号）24．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CAB=2∠CBF．（1）试判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，BF=8，求tan∠CBF．25．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）若∠AFC=2∠ABC，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．26．在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？27．如图1，点P为四边形ABCD所在平面上的点，如果∠PAD=∠PBC，则称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的横坐标为﹣6．（1）如图2，若A、D两点的坐标分别为A（﹣6，4）、D（0，4），点P在DC边上，且点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，则点P的坐标为__________；（2）如图3，若A、D两点的坐标分别为A（﹣2，4）、D（0，4）．①若P在DC边上时，则四边形ABCD关于A、B的等角点P的坐标为__________；②在①的条件下，将PB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜6）得到线段P′B′，连接P′D，B′D，试用含m的式子表示P′D2+B′D2，并求出使P′D2+B′D2取得最小值时点P′的坐标；③如图4，若点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，且点P坐标为（1，t），求t的值；④以四边形ABCD的一边为边画四边形，所画的四边形与四边形ABCD有公共部分，若在所画的四边形内存在一点P，使点P分别是各相邻两顶点的等角点，且四对等角都相等，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．28．如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B．将抛物线y=x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．（1）写出点B的坐标及求抛物线y=x2+bx+c的解析式：（2）求证：∠AMA1=180°（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大．如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的最大面积；如果不存在，请说明理由．江苏省盐城市亭湖区新洋实验学校2015届中考数学模拟试卷一.填空题（24分）1．9的平方根是( )A．±3 B．3 C．﹣3 D．±考点：平方根．分析：根据平方与开平方互为逆运算，可得一个正数的平方根．解答：解：±，故选：A．点评：本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解答：解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．点评：本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．如图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体，则这个几何体的俯视图是( )A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从上面看易得左边第一列有2个正方形，中间第二列最有2个正方形，最右边一列有1个正方形在右上角处．故选C．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( )A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣6考点：科学记数法—表示较小的数．专题：常规题型．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故选：D．点评：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．如图，已知a∥b，∠1=55°，则∠2的度数是( )A．35°B．45°C．55°D．125°考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据对顶角相等可得∠2=∠3．解答：解：如图，∵a∥b，∴∠3=∠1=55°，∴∠2=∠3=55°．故选C．点评：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键．6．为了了解某班学生每天使用零花钱数（单位：元）的情况，小王随机调查了15名同学，结果如下表：每天使用零花钱数 1 2 3 5 6人数 2 5 4 3 1则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是( )A．2元、3元B．2.5元、3元C．2元、2.5元D．3元、2.5元考点：众数；中位数．分析：由于小红随机调查了15名同学，根据表格数据可以知道中位数在第三组，再利用众数的定义可以确定众数在第二组．解答：解：∵小红随机调查了15名同学，∴根据表格数据可以知道中位数在第三组，即中位数为3．∵2出现了5次，它的次数最多，∴众数为2．故选A．点评：此题考查中位数、众数的求法：①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．7．若二次函数y=（x﹣k）2+m，当x≤2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是( ) A．k=2 B．k＞2 C．k≥2 D．k≤2考点：二次函数的性质．专题：探究型．分析：先根据二次函数的解析式得出该函数的对称轴方程，再根据当x≤2时，y随x的增大而减小得出k的取值范围即可．解答：解：∵二次函数的解析式为：y=（x﹣k）2+m，∴其对称轴方程x=k，∵当x≤2时，y随x的增大而减小，∴x=2在对称轴的左侧或在对称轴上，∴k≥2．故选C．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．8．如图，（n+1）个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设阴影部分△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2面积S2，…，△B n+1D n C n面积S n，则S2015值为( )A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：规律型．分析：由n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…B n在一条直线上，可作出直线B1B2．易求得△AB1C1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得S n的值．解答：解：∵n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，∴S△AB1C1==，连接B1、B2、B3、B4、B5点，显然它们共线且平行于AC1，∵∠B1C1B2=60°，∴AB1∥B2C1，∴△B1C1B2是等边△，且边长=2，∴△B1B2D1∽△C1AD1，∴B1D1：D1C1=1：1，∴S1=，同理：B2B3：AC2=1：2，∴B2D2：D2C2=1：2，∴S2=，同理：B3B4：AC3=1：3，∴B3D3：D3C3=1：3，∴S3=，则归纳可得：S n=，∴S2015=，故选：D．点评：此题主要考查了等边三角形的性质与三角形面积的求解方法，注意由一般到特殊的归纳方法，找到规律C n D n=是解题的关键．二.填空题（30分）9．若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．解答：解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．点评：此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．10．已知△ABC与△DEF相似且周长比为2：5，则△ABC与△DEF的相似比为2：5．考点：相似三角形的性质．专题：存在型．分析：直接根据相似三角形性质进行解答即可．解答：解：∵△ABC与△DEF相似且周长比为2：5，∴两三角形的形似比为2：5．故答案为：2：5．点评：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．11．已知实数m是关于x的方程x2﹣3x﹣1=0的一根，则代数式2m2﹣6m+2值为4．考点：一元二次方程的解．分析：把x=m代入方程得出m2﹣3m﹣1=0，求出m2﹣3m=1，推出2m2﹣6m=2，把上式代入2m2﹣6m+2求出即可．解答：解：∵实数m是关于x的方程x2﹣3x﹣1=0的一根，∴把x=m代入得：m2﹣3m﹣1=0，∴m2﹣3m=1，∴2m2﹣6m=2，∴2m2﹣6m+2=2+2=4，故答案为：4．点评：本题考查了一元二次方程的解的应用，解此题的关键是求出2m2﹣6m的值．12．母线长为3，底面圆的直径为2的圆锥的侧面积为3π．考点：圆锥的计算．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解答：解：底面圆的直径为2，则底面周长=2π，圆锥的侧面积=×2π×3=3π．故答案为3π点评：本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．13．分解因式：a2+3ab=a（a+3b）．考点：因式分解-提公因式法．分析：提取公因式a，余下的式子为（a+3b），不能再分解．解答：解：a2+3ab=a（a+3b）．故答案为：a（a+3b）．点评：本题主要考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．14．下列四个函数：①y=﹣2x+1，②y=3x﹣2，③y=﹣，④y=x2+2中，当x＞0时，y 随x的增大而增大的函数是②③④（选填序号）．考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．分析：分别根据一次函数、反比例函数和二次函数的单调性分别进行判断即可．解答：解：①在y=﹣2x+1中，k=﹣2＜0，则y随x的增大而减少；②在y=3x+2中，k=3＞，则y随x的增大而增大；③在y=﹣中，k=﹣3＜0，当x＞0时，在第四象限，y随x的增大而增大；④在y=x2+2中，开口向上，对称轴为x=0，所以当x＞0时，y随x的增大而增大；综上可知满足条件的为：②③④．故答案为：②③④．点评：本题主要考查函数的增减性，掌握一次函数、反比例函数的增减性与k的关系，以及二次函数的增减性是解题的关键．15．四名选手参加射击预选赛，他们成绩的平均环数及方差S2如右表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，则应选乙．考点：方差；算术平均数．分析：先比较平均数，乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．解答：解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，由于S2乙＜S2丙，故丙的方差大，波动大，应选乙．故答案为：乙．点评：本题考查方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．16．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=30°．考点：圆周角定理．分析：由∠ACB是⊙O的圆周角，∠AOB是圆心角，且∠AOB=60°，根据圆周角定理，即可求得圆周角∠ACB的度数．解答：解：如图，∵∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°．故答案是：30°．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．17．如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=67.5度．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：由四边形ABCD是正方形，可得AB=BC，∠CBD=45°，又由折叠的性质可得：A′B=AB，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠BA′C的度数．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠CBD=45°，根据折叠的性质可得：A′B=AB，∴A′B=BC，∴∠BA′C=∠BCA′===67.5°．故答案为：67.5．点评：此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．18．如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=2，BO=4，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为．考点：旋转的性质．分析：作OH⊥A′B′于H，如图，在Rt△AOB中利用勾股定理可计算出AB=2，再根据旋转的性质得∠A′OB′=∠AOB=90°，A′B′=2，OA′=OA=2，OB′=OB=4，然后利用面积法求出OH=，在Rt△OHE中，根据勾股定理计算出HE=，由于OA′=OE=2，根据等腰三角形的性质得HE=HA′=，则可利用B′E=A′B′﹣HE﹣HA′求解．解答：解：作OH⊥A′B′于H，如图，在Rt△AOB中，AO=2，BO=4，则AB==2，∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′，∴∠A′OB′=∠AOB=90°，A′B′=2，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∵OH•A′B′=OA′•OB′，∴OH==，∵点E为BO的中点，∴OE=2，在Rt△OHE中，HE==，∵OA′=OE=2，∴HE=HA′=，∴B′E=A′B′﹣HE﹣HA′=2﹣2×=．故答案为：．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．三.解答题19．计算（1）|﹣2|﹣（）﹣1+4sin45°；（2）解不等式组．考点：实数的运算；负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．分析：（1）先分别根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的计算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：（1）原式=2﹣3+4×=﹣1+2；（2），由①得，x≥1，由②得，x＜3，故不等式组的解集为：1≤x＜3．点评：本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的计算法则是解答此题的关键．20．先化简：÷（a），再选取一个你喜欢的数a代入求值．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a=2代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，当a=2时，原式=1．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．某体院要了解篮球专业学生投篮的命中率，对学生进行定点投篮测试，规定每人投篮20次，测试结束后随机抽查了一部分学生投中的次数，并分为五类，Ⅰ：投中11次；Ⅱ投中12次；Ⅲ：投中13次；Ⅳ：投中14次；Ⅴ：投中15次．根据调查结果绘制了下面尚不完整的统计图1、图2：回答下列问题：（1）本次抽查了30名学生，图2中的m=108．（2）补全条形统计图，并指出中位数在哪一类．（3）求最高的命中率及命中最高的人数所占的百分比．（4）若体院规定篮球专业学生定点投篮命中率不低于65%记作合格，估计该院篮球专业210名学生中约有多少人不合格．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）用96°除以360°，得出Ⅳ所占的百分比，再根据Ⅳ的人数是8，即可求出总人数；（2）用总人数减去Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ的人数，求出Ⅱ的人数，从而补全统计图；再根据中位数的定义得出中位数在第Ⅲ类；（3）用投中15次除以20次，得出最高的命中率，再用命中率最高的人数除以总人数即可得出命中最高的人数所占的百分比；（4）根据题意得出投中次数为11次、12次的学生都不合格，求出它们所占的百分比，再乘以总人数即可得出答案．解答：解：（1）本次抽查的学生数是：8÷=30（名），图2中的m=×360=108；故答案为：30，108；（2）第Ⅱ类的人数是：30﹣2﹣9﹣8﹣6=5，补图如下：因为共有30名学生，则中位数是地15，16个数的平均数，所以中位数在第Ⅲ类；（3）根据题意得：最高命中率为×100%=75%，命中率最高的人数所占的百分比为×100%=20%；（4）∵＜＜65%，∴投中次数为11次、12次的学生记作不合格，∴估计210名学生中不合格的人数为×210=49（人）．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．考点：列表法与树状图法；概率公式．专题：压轴题．分析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．解答：解：（1）A，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为=；（2）1+4=5；2+3=5，但组合一共有3+2+1=6，故概率为=；（3）根据题意，画树状图：由树状图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44．其中恰好是4的倍数的共有4种：12，24，32，44．所以，P（4的倍数）=．或根据题意，画表格：第一次第二次 1 2 3 41 11 12 13 142 21 22 23 243 31 32 33 344 41 42 43 44由表格可知，共有16种等可能的结果，其中是4的倍数的有4种，所以，P（4的倍数）=．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，点A在点B的正东方向，AB=4km，有一艘小船在点P处，从点A 测得小船在北偏西60°方向，从点B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求小船到海岸线l的距离；（2）小船从点P沿射线AP方向航行一段时间后，到C处，此时，从点B测得小船在北偏西15°的方向，求此时小船到观测点B的距离．（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=AB=2km，再解Rt△BCF，得出BC=BF=2km．解答：解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=xkm．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴AD=PD=xkm．∵BD+AD=AB，∴x+x=4，x=2（﹣1），∴点P到海岸线l的距离为2（﹣1）km；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=2km．在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC=BF=2km，∴点C与点B之间的距离为2km．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．24．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CAB=2∠CBF．（1）试判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，BF=8，求tan∠CBF．考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连接AE．通过AB⊥BF，点B在⊙O上可以推知BF为⊙O的切线；（2）作辅助线CG（过点C作CG⊥BF于点G）构建平行线AB∥CG．由“平行线截线段成比例”知===，从而求得FG的值；然后根据图形中相关线段间的和差关系求得直角三角形CBG的两直角边BG、CG的长度；最后由锐角三角函数的定义来求tan∠CBF的值．解答：解：（1）BF为⊙O的切线．证明：连接AE．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠BAE+∠ABE=90°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵AB=AC，AE⊥BC，∴AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；∵∠CAB=2∠CBF，∴∠BAE=∠CBF，∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，即AB⊥BF，∵OB是半径，∴BF为⊙O的切线；（2）过点C作CG⊥BF于点G．在Rt△ABF中，AB=6，BF=8，∴AF=10（勾股定理）；又∵AC=AB=6∴CF=4；∵CG⊥BF，AB⊥BF，∴CG∥AB，∴===，（平行线截线段成比例），∴FG=，由勾股定理得：CG==，∴BG=BF﹣FG=8﹣=，在Rt△BCG中，tan∠CBF==．点评：本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、平行线截线段成比例、直角所对的圆周角是直角等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）若∠AFC=2∠ABC，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，CE=DC，易证得∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，则可证得△ABF≌△ECF；（2）由△ABF≌△ECF，∠AFC=2∠ABC，即可证得∠ABC=∠BAF，继而证得AE=BC，又由AD=BC，则可得AE=AD，再利用等腰三角形三线合一的性质可得AC⊥ED，进而可得结论．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵EC=DC，∴AB=EC，在△ABF和△ECF中，，∴△ABF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ABF≌△ECF，∴AF=FE，BF=FC．∵∠AFC=2∠ABC，又∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF．∴AF=BF．∴AE=BC，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC．∴AE=AD．∵CE=DC，∴AC⊥ED，∴四边形ABEC是矩形．点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．26．在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？考点：一次函数的应用．分析：（1）设函数关系式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）先求出甲队的速度，然后设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z米，再根据6小时后两队的施工时间相等列出方程求解即可．解答：解：（1）设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50），∴，解得，∴y=5x+20；（2）由图可知，甲队速度是：60÷6=10（米/时），设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z米，依题意，得=，解得z=110，答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米．点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，难点在于（2）根据6小时后的施工时间相等列出方程．27．如图1，点P为四边形ABCD所在平面上的点，如果∠PAD=∠PBC，则称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的横坐标为﹣6．（1）如图2，若A、D两点的坐标分别为A（﹣6，4）、D（0，4），点P在DC边上，且点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，则点P的坐标为（0，2）；（2）如图3，若A、D两点的坐标分别为A（﹣2，4）、D（0，4）．①若P在DC边上时，则四边形ABCD关于A、B的等角点P的坐标为（0，3）；②在①的条件下，将PB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜6）得到线段P′B′，连接P′D，B′D，试用含m的式子表示P′D2+B′D2，并求出使P′D2+B′D2取得最小值时点P′的坐标；③如图4，若点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，且点P坐标为（1，t），求t的值；④以四边形ABCD的一边为边画四边形，所画的四边形与四边形ABCD有公共部分，若在所画的四边形内存在一点P，使点P分别是各相邻两顶点的等角点，且四对等角都相等，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．考点：四边形综合题；勾股定理．专题：常规题型；几何变换．分析：（1）连结AP，BP，由全等三角形的性质就可以得出PD=PC而得出结论；（2）①由△ADP∽△BCP就可以得出而求出结论；②求出代表P′D2+B′D2的方程式，并求最小值．③画图求证△PAM∽△PBN，值得注意的是本题有两个图形，容易漏掉一个答案．④由题意可知，必须是正方形才能满足题干要求．解答：解：（1）由B点坐标（﹣6，0），A点坐标（﹣6，4）、D点坐标（0，4），可以得出四边形ABCD为矩形，∵P在CD边上，且∠PAD=∠PBC，∠ADP=∠BCP，BC=AD；∴△ADP≌△BCP，∴CP=DP，∴P点坐标为（0，2）；（2）①∵∠DAP=∠CBP，∠BCP=∠ADP=90°，∴△ADP∽△BCP，∴===，∴CP=3DP，∴CP=3，DP=1，。