盐城市2014届高三年级第一学期期中考试数学试题及答案

盐城市2014届高三年级第一学期期中考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合{}1,0,1,2A =-, {}2|10B x x =->，则A B = ▲ .2．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是 ▲ ． 3．函数2cos y x =的最小正周期为 ▲ ．4．设函数2()(2)1f x x a x =+--在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的最小值 为 ▲ .5．设向量(1,),(3,4)a x b ==-，若//a b ，则实数x 的值为 ▲ .6．在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则10a = ▲ .7．设函数()f x 是周期为5的奇函数，当02x <≤时，()23xf x =-，则(2013)f =▲ .8．设命题:p 4>x ；命题082:2≥--x x q ，那么p 是q 的 ▲ 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)． 9．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 ▲ .10．在ABC ∆中，6BC =，BC 边上的高为2，则AB AC ⋅的最小值为 ▲ .11．在数列{}n a 中，11a =，2(1)2nn n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S = ▲ .12．在ABC ∆中，若22()||5CA CB AB AB +⋅= ，则tan tan AB= ▲ .13．在数列{}n a 中，10a =，111111n n a a +-=--，设n b =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则99S = ▲ .14. 设)(x f '和)(x g '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''≤在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性相反.若函数31()23f x x ax =-与2()2g x x bx =+在开区间(,)a b 上单调性相反（0a >），则b a -的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中角ϕ的终边经过点P ，且0ϕπ<<. （1）求ϕ的值；（2）求()f x 在[0,]π上的单调减区间．16. (本小题满分14分)设集合{}21A x x =-<<-，|lg ,0,3x a B x y a a R a x -⎧⎫==≠∈⎨⎬-⎩⎭. （1）当a =1时，求集合B ；（2）当A B B = 时，求a 的取值范围．17. (本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(1,1)m = ，(cos ,sin )n A A =-，记()f A m n =⋅.（1）求()f A 的取值范围；（2）若m 与n 的夹角为3π，3C π=，c =b 的值．18. (本小题满分16分)某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数()y f x =来拟合该景点对外开放的第x (1)x ≥年与当年的游客人数y （单位：万人）之间的关系. （1）根据上述两点预测，请用数学语言描述．．．．．．．函数()y f x =所具有的性质； （2）若()f x =mn x +，试确定,m n 的值，并考察该函数是否符合上述两点预测； （3）若()f x =(0,1)xa b c b b ⋅+>≠，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b 的取值范围．19. (本小题满分16分)若函数()(ln )f x x x a =-（a 为实常数）.（1）当0a =时，求函数)(x f 在1x =处的切线方程； （2）设()|()|g x f x =.①求函数()g x 的单调区间； ②若函数1()()h x g x =的定义域为2[1,]e ，求函数()h x 的最小值()m a .20. (本小题满分16分)设数列{}n a 的各项均为正实数，2log n n b a =，若数列{}n b 满足20b =，12log n n b b p +=+，其中p 为正常数，且1p ≠.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数M ，使得当n M >时，1473216n a a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>恒成立？若存在，求出使结论成立的p 的取值范围和相应的M 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若2p =，设数列{}n c 对任意的*n N ∈，都有12132n n n c b c b c b --+++⋅⋅⋅1n c b +2n =-成立，问数列{}n c 是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由.盐城市2014届高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.{}2 2. ,sin 1x R x ∃∈> 3. π 4.－2 5. 43-6.5127.－18.充分不必要9.2ln 22- 10.－5 11. 930 12.73 13. 910 14. 12二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1） 角ϕ的终边经过点P ，tan ϕ∴=， (4)分又0ϕπ<<，3πϕ∴=； ……………………7分（2）因为()2sin(2)3f x x π=+，由3222232k x k πππππ+≤+≤+， 得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ……………………11分取0k =，则71212x ππ≤≤，()f x ∴在[0,]π上的单调减区间为7[,]1212ππ． ………………14分16．解：（1）当a =1时，1lg3x y x -=-，由103x x->-， ……………………3分解得13x <<，所以集合{13}B x x =<<； (7)分（2）因为A B B = ，则A B ⊆， (8)分由03x aa x->-，得()()30x a x a --<．（ⅰ）当0a >时，(,3)B a a =，显然不满足题意； ……………………10分（ⅱ）当0a <时，(3,)B a a =，由题意知32,1a a ≤-⎧⎨≥-⎩解得213a -≤≤-. ………………13分 综上所述，所求a 的取值范围是213a -≤≤-. ……………………14分17．解：（1）因为()f A m n =⋅ =cos sin 4A A A π⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭， (3)分0A π<< ，3444A πππ∴-<-<，sin 124A π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭，()f A ∴的取值范围是(-； (7)分（2）∵m n 与的夹角为3π，∴cos 3m n m n π⋅= ，即cos sin 42A A A π⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，1sin 42A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,46A ππ∴-=或546A ππ-=（舍去），512A π∴=， ……………………10分 又3Cπ=，4B π∴=，由正弦定理知sin sin c bC B =sin sin 34b π=，解得2b =. (14)分18.解：（1）预测①：()f x 在[1,)+∞上单调递增；预测②：()130f x <对[1,)x ∈+∞恒成立； ……………………2分（2）将（1，100）、（2、120）代入到m y n x =+中，得1001202m nmn =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得40140m n =-⎧⎨=⎩. ……………………5分因为40()140f x x =-+，所以240()0f x x'=>， 故()f x 在[1,)+∞上单调递增，符合预测①； ……………………7分又当4x ≥时，40()140130f x x=-+≥，所以此时()f x 不符合预测②. (9)分（3）由2100120ab c ab c =+⎧⎨=+⎩，解得20(1)201001a b b c b ⎧=⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩. ……………………11分因为()ln x f x a b b '=⋅⋅，要想符合预测①，则()0f x '>，即ln 0a b ⋅>，从而01a b >⎧⎨>⎩或001a b <⎧⎨<<⎩. (12)分[1]当1b>时，200(1)a b b =>-，此时符合预测①，但由()130f x ≥，解得23log ()22b bx b ≥-，即当23log ()22b bx b ≥-时，()130f x ≥，所以此时()f x 不符合预测②； (13)分[2]当01b <<，200(1)ab b =<-，此时符合预测①，又由1x ≥，知(0,]x b b ∈，所以[,0)x a b ab ⋅∈，从而()[,)f x ab c c ∈+.欲()f x 也符合预测②，则130c ≤，即201001301b -≤-，又01b <<，解得103b <≤.综上所述，b 的取值范围是1(0,]3. ……………………16分19．解：（1）当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，()11k f '∴==， (2)分又当1x =时，0y =，∴函数)(x f 在1x =处的切线方程1y x =-； (4)分（2）因为()()|()|ln g x f x x x a ==-ln ,|ln |ln ,aax x ax x e x x a ax x x x e ⎧-≥=-=⎨-<⎩， ①当ax e ≥时，()ln 10g x x a '=+->恒成立，所以(,)a x e ∈+∞时，函数()g x 为增函数； ………………………7分 当ax e <时，()1ln g x a x '=--，令()1ln 0g x a x '=-->，得10a x e -<<，令()1ln 0g x a x '=--<，得1a x e ->，所以函数()g x 的单调增区间为1(,),(0,)aa e e -+∞；单调减区间为1(,)a a e e -; (10)分 ②当2[1,]x e ∈时，ln [0,2]x ∈，因为11()()|ln |h x g x x x a ==-的定义域为2[1,]e , 所以2a>或0a <. ………………………11分（ⅰ）当0a <时，1ae <，所以函数()g x 在2[1,]e 上单调递增，则()g x 的最大值为()22a e -，所以()h x 在区间2[1,]e 上的最小值为()21()2m a a e =-； (13)分（ⅱ）当23a <<时，2a ee <，且121a e e -<<，所以函数()g x 在)1[1,a e -上单调递增，在(12,a ee -⎤⎦上单调递减，则()g x 的最大值为1a e -，所以()h x 在区间2[1,]e 上的最小值为11()a m a e -=；………………………14分 （ⅲ）当3a ≥时，12a ee ->，所以函数()g x 在2[1,]e 上单调递增，则()g x 的最大值为()22a e -，所以()h x 在区间2[1,]e 上的最小值为()21()2m a a e =-. 综上所述，()()2121,0,21(),23,1,3.2a a a e m a a e a a e -⎧<⎪-⎪⎪=<<⎨⎪⎪≥⎪-⎩ ………………………16分20．解：（1）因为12log n n b b p +=+，所以12log n n b b p +-=，所以数列{}n b 是以2log p 为公差的等差数列，又20b =，所以2222(2)(log )log n n b b n p p -=+-=， ………………………2分故由2log nn b a =，得22log 222n nb p n n a p --===. (4)分（2）因为2n na p -=，所以14732n a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12534n p p p p--= (35)125(34)2n nn pp--++++-== ，又16a =14p，所以(35)2n np->14p ， (6)分（ⅰ）当01p <<时，(35)2n n-14<，解得743n -<<，不符合题意； ………………………7分（ⅱ）当1p >时，(35)2n n-14>，解得4,n >或73n <-. ………………………8分 综上所述，当1p >时，存在正整数M 使得1473216n a a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>恒成立，且M的最小值为4.………………………9分 （3）因为2p =，由（1）得2n b n =-，所以123(2)(3)(4)(1)2n c n c n c n c n -+-+-+⋅⋅⋅+-=- ①，则1231(1)(2)(3)(1)2(1)n c n c n c n c n +-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+ ②， 由②-①，得12312n n c c c c c ++++⋅⋅⋅+-=- ③， (12)分所以123122n n n c c c c c c +++++⋅⋅⋅++-=- ④，再由④-③，得122n n c c ++=，即*212()n n c n N c ++=∈， 所以当2n ≥时，数列{}n c 成等比数列， ………………………15分又由①式，可得12c =，24c =，则212c c =，所以数列{}n c 一定是等比数列，且2n n c =. ………………………16分（说明：若第（3）小题学生由前几项猜出等比数列，再代回验证的，扣3分）。