直线与直线方程复习

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人教版必修二：直线与方程复习讲义及巩固练习

直线与方程知识梳理：1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. 4．斜率与倾斜角的对应关系α＝0° 0°<α<90°α＝90° 90°<α<180°5.直线的斜率公式已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).6.两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2.则对应关系如下：7.8.直线方程的五种形式(1)直线的点斜式方程: y －y 0＝k(x －x 0). 由直线上一定点P 0(x 0，y 0)及斜率k 确定. (2)直线的斜截式方程：y ＝kx ＋b. 由直线的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定. (3)直线的两点式方程:y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 由直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)确定. (4)直线的截距式方程：x a ＋yb＝1 . 由直线分别在x ，y 轴上的截距a ，b 确定.(5)直线的一般式方程: Ax ＋By ＋C ＝0. 当B≠0时，其斜率是－A B ，在y 轴上的截距是－CB 当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴. 9.两条直线的位置关系已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2.(1) l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2. (2) l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 10.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P(x ，y)是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.11.两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两直线相交，交点坐标为(x 0，y 0).12.两点间的距离公式(1)已知平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则它们的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离|OP|＝x 2＋y 2. ②当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. ③当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 13.点到直线的距离公式点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2. 14.两条平行直线间的距离公式两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.巩固练习：1．如图，直线l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为__________.3．已知A(2,3)、B(－1,4)，则直线AB的斜率是________．4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为_______．5．已知直线l1∥l2，直线l1的斜率k1＝2，则直线l2的斜率k2＝________.6.已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．7．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y ＝________.8．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则( )A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90° C．|α1－α2|＝90° D．α1＋α2＝180°9．直线l过点A(－1,2)，斜率为3，则直线l的方程为___________________.10．已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y 轴上的截距为________．11.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5的直线方程为____________________；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2的直线方程为_____________________；12．(1)经过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程为_____________________；(2)经过点(－1,1)且与直线y＝－2x＋7垂直的直线方程为_________________．13．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是_________________.14．直线2x＋3y＋1＝0的斜率为________；在x轴上的截距为________；在y轴上的截距为________．15．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝516．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<017．在下列各种情况下，直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的系数A，B，C之间各有什么关系：(1)直线与x轴平行时：_____________； (2)直线与y轴平行时：_________________；(3)直线过原点时：_________________； (4)直线过点(1，－1)时：_______________.18．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是______________.19．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|=_____________. 20．直线x －2y ＋1＝0与2x ＋y －1＝0的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．重合 21．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为___________.22．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为________________. 23．若点(1，a)到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 为___________.24．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是_________. 25.当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2 (1)平行; (2)垂直26．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．。

直线与方程章末复习课件

[例 1] (1)点( 3，4)在直线 l：ax－y＋1＝0 上，则
直线 l 的倾斜角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
(2)已知在平行四边形 ABCD 中，A(1，2)，B(2，1)，
中心 E(3，3)．
①判断平行四边形 ABCD 是否为正方形；
②点 P(x，y)在平行四边形 ABCD 的边界及内部运动，
(2)单调性．当 α 由 0°→90°→180°(不含 180°)变化时，k 由 0(含 0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到 0(不含 0)．经过 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式是 k＝xy22－－xy11，应用时注意其适用的条件是 x1≠x2，当 x1＝x2 时，直线的斜率不存在．
解：由点M(3，5)及直线l：x－2y＋2＝ 0，可求得点M关于l的对称点M1(5，1)，
同理可得点M关于y轴的对称点M2(－ 3，5)，如图所示．
根据M1，M2两点可得直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 令x＝0，得直线M1M2与y轴的交点Q0，72，解方程组xx＋－22yy－＋72＝＝00，，得两直线的交点P52，94. 所以点P52，94与点Q0，72即为所求．
归纳升华利用直接求解法比较烦琐时，可从图形方面考虑，利用数形结合的方法来求解，从而使问题变得形象、直观，利于求解．
[变式训练] 点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋ λ)y－2－5λ＝0的距离为d，则d的最大值为________．
解析：直线l的方程可化为x＋y－2＋λ(3x＋y－5)＝0，
[例 2] 已知两条直线 l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x ＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的 a，b 的值：

直线与直线方程复习整理

必修2 3.1-3.4 直线与直线方程复习整理【学习目标】巩固知识点，掌握基本方法，结合知识点与基本方法提高解决数学问题能力，打开思维空间【知识网络】直线与方程⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧_______________________________________________.2______________________________________________.1_______________.2.1.21.5距离公式本思想间的距离，解析几何基直线的交点坐标；两点求参数、解直线方程判断的方法两直线平行和垂直距）由方程定位置特点（截由条件写方程种形式直线方程的率取值范围的求解）系，倾斜角的求解、斜直线倾斜角和斜率（关【基础过关】1.(1)当m 为_________时,直线l 1:2x+(m+1)y+4=0与直线l 2:mx+3y-2=0平行;当m 为_________时,直线l 1:2x+(m+1)y+4=0与直线l 2:mx+3y-2=0重合。

(2)当a 为_________时,直线l 1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l 2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直。

2..与直线:51260l x y -+=平行且到l 的距离为2的直线的方程：____________3.直线过（2,1）和x-y+1=0与2x+y+2=0的交点的直线方程:）__________4. 直线3ax+5y-2x-ay-a+6=0，无论a 取任意实数，它都过点______5. 已知正方形的中心为直线x-y+1=0和2x+y+2=0的交点,正方形一边所在直线方程为 x+3y-2=0,其他三边方程:______________________________________________________.【复习专题】专题一：分类讨论的思想【例1】求通过两直线x+3y-10=0和3x-y=0的焦点，且距原点距离为1的直线方程。

直线与方程_知识点总结_例题习题精讲精练

直线与方程专题复习【知识点一：倾斜角与斜率】（1）直线的倾斜角①直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00；②倾斜角α的范围000180α≤<（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==； ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 【知识点三：直线的方程】（1）直线方程的几种形式问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。

距离的值是非负数。

截距是实数，不是“距离”，可正可负。

截距式方程的应用①与坐标轴围成的三角形的周长为: |a |+|b②直线与坐标轴围成的三角形面积为: S =1||2ab ； ③直线在两坐标轴上的截距相等，则1k =-或直线过原点，常设此方程为x y a y kx +==或（2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为【知识点四直线的交点坐标与距离】（1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++= 两条直线的交点坐标就是方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y间的距离公式12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离d =精讲精练：【例】已知(1A 直线l 过原点O 且与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )ABCD【例】在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1,且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条【例】方程1=+y x 所表示的图形的面积为_______．【例】一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________．【例】已知直线(2)(31)1,a y a x -=--为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是___ _．【例】直线13y x =-+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值．【例】已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=上，求22PB PA +取得最小值时P 点的坐标．【例】在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为210,x y A -+=∠的平分线所在直线的方程为0y =．若点B 的坐标为(1,2),求点C 的坐标．【例】直线l 过点(2,1),P 且分别与,x y 轴的正半轴于,A B 两点，O 为原点．（1）求△AOB 面积最小值时l 的方程；（2）|PA|•|PB|取最小值时l 的方程．【例】求倾角是直线1y =+的倾角的1,4且分别满足下列条件的直线方程： (1)经过点1)-；(2)在y 轴上的截距是－5. 【例】已知直线:120l kx y k -++=．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 负半轴于,A 交y 正半轴于,B AOB ∆的面积为,S 试求S 的最小值并求出此时直线l 的方程．练习：1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为； 2．如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是；3．两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是； 4．直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是； 5．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是:6．三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是:7．已知点(1,2),B(2,2),C(0,3),A --若点),(b a M )0(≠a 是线段AB 上一点,则直线CM k 的取值范围是: 8．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为:9过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；10．已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线方程是____________． 11．光线从点()3,2A 射出在直线01:=++y x l 上，反射光线经过点()1,1B ,则反射光线所在直线的方程 12．点A （1，3），B （5，－2），点P 在x 轴上使|AP |－|BP |最大，则P 的坐标为: 13．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为4，求直线l 的方程． 14．（1）要使直线l 1：m y m m x m m 2)()32(22=-+-+与直线l 2：x -y=1平行，求m 的值. （2）直线l 1：a x +(1-a)y=3与直线l 2：(a -1)x +(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值.15．已知∆A B C 中，A (1, 3)，AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x y -+=210 和y -=10，求∆A B C各边所在直线方程．16.△ABC 中，A （3，－1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为：6x ＋10y －59=0， ∠B 的平分线方程B T 为：x －4y ＋10=0，求直线BC 的方程.17．已知函数(x)a f x x =+的定义域为(0,),+∞且(2)22f =+设点P 是函数图象上的任意一点,过点P 分别作直线y x =和y 轴的垂线，垂足分别为,M N ．（1）求a 的值；（2）问：|PM ||PN |⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设O 为原点，若1OMPN S =求P 点的坐标．。

2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)

直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。

《直线与方程》复习课件(17张ppt)

方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点一个无数个零个
直线L1,L2间的位置关系相交重合
平行
5、3种距离
（1).两点距离公式 | AB | (x1 x2)2 ( y1 y2)2
(2)点线距离公式设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
a=1或-3
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； 2x-y+5=0
.
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0
直线的交点个数与直线位置的关系
6
D.
π
6
B
3、直线的5种方程
名称已知条件
标准方程适用范围
点斜式点P1(x1，y1)和斜率k y y1 k(x x1) 不垂直于x轴的直线
斜截式斜率k和y轴上的截距 y kx b 不垂直于x轴的直线
两点式点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) 截距式在x轴上的截距a
在y轴上的截距b
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
点（1,3）到直线3x 4 y 4 0的距离为
中点坐标公式
x0
y0

史上最全直线与直线方程题型归纳

精心整理直线与直线方程一、知识梳理1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.2.斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=3.直线方程的五种形式直线形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x 轴垂直的直线①已知斜率 ②已知一点斜截式不能表示与x 轴垂直的直线①已知斜率②已知在y 轴上的截距两点式不能表示与x 轴、y 轴垂直的直线①已知两个定点 ②已知两个截距截距式（b a 、分别为直线在x 轴和y 轴上的截距）不能表示与x 轴垂直、与y 轴垂直、过原点的直线已知两个截距（截距可以为负）一般式表示所有的直线求直线方程的结果均可化为一般式方程 7．斜率存在时两直线的平行：21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠. 8．斜率存在时两直线的垂直：⇔⊥21l l 121-=k k ．9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．二、典例精析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为030的直线有且仅有一条； ③若直线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ； ④如果两直线平行，则它们的斜率相等 A.0个B.1个C.2个D.3个【练习】如果0<AC 且0<BC ，那么直线0=++C By Ax 不通过（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( ) A ．k sin α>0 B ．k cos α>0C ．k sin α≤0 D ．k cos α≤0【练习】图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()．A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2【例3】经过点()2,1P 作直线l ，若直线l 与连接()10—，A ，()1,4B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围。

高三数学第一轮知识点：直线与方程

高三数学第一轮知识点：直线与方程第1篇：高三数学第一轮知识点：直线与方程导语：直线与方程就是直线的方程，在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点，直线，平面间的关系研究几何图形的*质。

以下是小编整理高三数学第一轮知识点的资料，欢迎阅读参考。

(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，。

当时，;当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90(2)k与p1、p2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴未完，继续阅读 >第2篇：高三数学一轮直线与方程的知识点一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，。

当时，;当时，不存在。

直线方程复习

直线方程复习一.直线的方向向量与法向量以及直线方程
方程名称直线方程 y=kx+b (y-y0)=k(x-x0) 图形
b
P(x0,y0)
法向量 n
方向向量 d
斜率k
k=tan k=k/1 k=tan k=k/1
斜截式
点斜式
n=(k,-1)
n=(k,-1)
d=(1,k)
d=(1,k) d=(u,v)
-8-2 5
=2
∵AB=2
2
A 3 4 2 2 B 2
∴l与l1 夹角为45o
设直线l的斜率为k,l1的斜率为由两直线的夹角公式:
k-(3 4
)
3 4
tan45o= k=
1 7
1+k (-
)
=1
或 k= -1 y= x+1或y=-x+1
7 1
∴直线的方程为l:
例3.已知: A(1,4),B(3,1)与直线l:y=ax+2,若直线l与线段AB相交求实数a的取值范围. 解: 直线l与线段AB相交点求点A、B在直线l的两侧AB0 A到直线l的有向距离: A=
∴n1=2d2
必要性:若n1=kd2, 即:(2-a,a)=k(a,1) ∴a2=2-a a2+a-2=0, ∴a=-2或a=1 非必要性
二.直线的倾斜角斜率以及与方向向量与法向量之间关系 y 1.直线的斜率k与倾斜角之间关系:
tan , 当[0, )( ,)时,
2 当= 2 2
x x0 y y0 点方向式 u v x x1 y y1 两点式 x2 x1 y2 y1
d=(u,v)
P(x0,y0) Q(x2,y2) P(x1,y1)

第一节直线及直线的方程(知识梳理)

第一节直线及直线的方程复习目标学法指导1.倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角及其取值范围.(2)直线斜率的概念. (3)过两点的直线斜率的计算公式.2.直线的方程(1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程. (3)直线的两点式方程. (4)直线的截距式方程. 1.求斜率可用k=tan α(α≠90°),其中α为倾斜角,倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记“斜率变化分两段,90°是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论.”2.求直线方程常用待定系数法.3.使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时,直线方程需化为Ax+By+C=0的形式后才能指出A,B,C的值,否则易出错.(5)直线的一般式方程.3.两点连线的中点坐标公式.4.直线的交点坐标与距离公式(1)两条直线的交点坐标.(2)根据方程确定两条直线的位置关系.(3)点到点、点到线的距离公式.(4)两条平行线距离的求法.一、直线的斜率及直线方程1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义:当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. ②范围:倾斜角α的范围为[0°,180°). (2)直线的斜率①定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率. ②过两点的直线的斜率公式:经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k=2121yy xx --.2.直线方程的五种形式式截距式x轴上截距为a与y轴上截距为b1x ya b+=不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用1.概念理解(1)所有直线都有倾斜角,但并非所有直线都有斜率.其中倾斜角为90°的直线其斜率不存在.(2)应结合y=tan x在[0,π2),(π2,π)上的单调性及图象记忆斜率的变化规律.2.相关结论(1)两点间距离公式:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则()()221212x x y y-+-(2)点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上⇔Ax0+By0+C=0.(3)点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0外⇔Ax0+By0+C≠0.(4)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离0022A B+.(5)两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离1222A B+.二、两直线间的位置关系1.两直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2.l 1∥l 2⇔1212,;kk b b =⎧⎨≠⎩l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1;l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.2.两直线A 1x+B 1y+C 1=0与A 2x+B 2y+C 2=0.l 1∥l 2⇔122121120,0;A B A B B C B C -=⎧⎨-≠⎩l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0;l 1与l 2相交⇔A 1B 2-A 2B 1≠0.1.理解辨析(1)直线l 1与直线l 2的斜率都不存在时,l 1∥l 2.(2)直线l 1与直线l 2有一条斜率不存在,另一条斜率为零时,l 1⊥l 2. 2.与两直线位置关系相关结论(1)设直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,将这两条直线的方程联立,得方程组1112220,0.A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩①若方程组有唯一解,则l 1与l 2相交,此解就是l 1,l 2交点的坐标; ②若方程组无解,则l 1与l 2无公共点,此时l 1∥l 2; ③若方程组有无数组解,则l 1与l 2重合. (2)常见直线系方程①过定点P(x 0,y 0)的直线系方程:A(x-x 0)+B(y-y 0)=0(A 2+B 2≠0),还可表示为y-y 0=k(x-x 0)(斜率不存在时可设为x=x 0).②平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程Ax+By+λ=0(λ≠C). ③垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程Bx-Ay+λ=0.④过两条已知直线A 1x+B 1y+C 1=0,A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线系方程A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0(不包括直线A 2x+B 2y+C 2=0). (3)对称问题的相关结论①点A(x 0,y 0)关于点P(a,b)的对称点A ′(2a-x 0,2b-y 0).②点M(x 0,y 0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点M ′(x ′0,y ′0)的求法:由MM ′⊥l ⇔000yx y x '--'·(-AB )=-1得x ′0,y ′0的一个等量关系式,线段MM ′的中点在直线l 上⇔A(02xx +')+B(002yy +')+C=0,联立,求得点(x ′,y ′0)的坐标.③直线l 1关于直线l 的对称直线l ′1的求法步骤:若l 1与l 相交,第一步求出l 1和l 的交点M;第二步在l 1上找一特殊点,它关于l 的对称点N 在l ′1上,第三步由M,N 两点用两点式写出所求l ′1的方程.若l 1∥l,则l 1′∥l,设出l 1′方程,使l 1′与l 1到l 距离相等,可求出l 1′方程.④直线l 关于点P(a,b)的对称直线l ′的求解步骤,第一步,确定两条直线为平行线,若直线l 方程为Ax+By+C 1=0,则可设l ′的方程为Ax+By+C 2=0,第二步,利用点P 到l 的距离等于点P 到l ′的距离求出C 2即得直线l ′的方程.1.xsin 70°+ycos 70°=1倾斜角为( C ) (A)20° (B)70° (C)110° (D)-70°解析:y=-tan 70°x+1cos70︒,k=tan α=-tan 70°, 因为0°≤α<180°,由tan(180°-θ)=-tan θ知α=110°,故选C. 2.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是 . 解析:先将2x+2y+1=0化为x+y+12=0, 则两平行线间的距离为1|2|22-32.答案:323.点A(1,3)关于直线l:y=x+1的对称点的坐标为 .解析:设对称点坐标为B(m,n),由AB 的中点(12m +,32n+)在直线l 上,知32n +=12m ++1,① 而直线AB 与l 垂直,故它们的斜率互为负倒数,因此31n m --=-1,② 由①②可得m=2,n=2. 答案:(2,2)4.若A(0,a),B(1,4),C(-a,-2)在同一条直线上,则a= .解析:由三点共线得k AB =k BC ,即4-a=61a+,解得a=1或a=2. 答案:1或25.若原点在直线上的射影为A(2,-1),则直线的方程为 .解析:设所求直线的斜率为k,则依题意有k ×k OA =-1,而k OA =1020---=-12,所以k=2,所以所求直线的方程为 y-(-1)=2(x-2),即2x-y-5=0. 答案:2x-y-5=0考点一直线的倾斜角与斜率[例1] (1)两直线的倾斜角为α1,α2,斜率为k 1,k 2,则( ) (A)若α1<α2,则k 1<k 2 (B)若α1<α2,则k 1>k 2 (C)若0<k 1<k 2,则α1<α2(D)若k1<k2<0,则α1>α2(2)已知A(2,0),B(-3,1),若过点P(0,-2)的直线l与线段AB没有公共点,则直线l的斜率的取值范围是.解析:(1)k=tan α,α∈[0,π2)∪(π2,π)的图象如图,易知当α∈[0,π2)时,k=tan α递增;当α∈(π2,π)时,k=tan α递增;但是当α1<π2<α2时,k1>0>k2,故选C.解析:(2)如图,由斜率公式知k AP=1,k BP=-1.当直线l绕P点从PA逆时针旋转到PB时的所有直线与线段AB均有交点,此时斜率k满足k≥1或k≤-1.因此满足条件的直线l的斜率的取值范围为(-1,1).答案:(1)C (2)(-1,1)(1)斜率的求法①定义法:k=tan α(α≠90°);②公式法:若已知直线上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),根据斜率公式k=2121yy xx --(x 1≠x 2).(2)求斜率或倾斜角取值范围时要注意结合图象,从旋转的角度求解. (3)求倾斜角或斜率问题时应注意 ①倾斜角的范围是[0,π);②函数k=tan α在[0,π2),(π2,π)上均为增函数,但在[0,π)上不单调.坐标平面内有相异两点A(cos θ,sin 2θ),B(0,1),经过两点的直线的倾斜角的取值范围是( B )(A)[-π4,π4] (B)(0,π4]∪[3π4,π) (C)[0,π4]∪[3π4,π) (D)[π4,3π4] 解析:k AB =2sin 1cos θθ-=2cos cos θθ-=-cos θ∈[-1,1],且 k AB ≠0.设直线的倾斜角为α,当0<k AB ≤1时,则0<tan α≤1, 所以倾斜角α的范围为0<α≤π4. 当-1≤k AB <0时,则-1≤tan α<0,所以倾斜角α的范围为3π4≤α<π.故选B.考点二直线的方程[例2] (1)直线l 过(1,0),倾斜角是x-2y+1=0倾斜角的2倍,直线l 方程为( )(A)y=x-1 (B)y=2x-2(C)y=43x-43 (D)y=43x-1(2)过两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)的直线一定可以表示为( ) (A)y-y 1=2121yy x x --(x-x 1) (B)y-y 2=2121yy xx --(x-x 2)(C)121y y y y --=121x xx x-- (D)(x 2-x 1)(y-y 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)(3)过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .解析:(1)设x-2y+1=0的倾斜角为α,则tan α=12,于是直线l 的斜率k=tan 2α=22tan 1tan αα-=43,所以直线l 的方程为y=43 (x-1),即y=43x-43,故选C.解析:(2)过两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1≠x 2,y 1≠y 2)的直线为121y y y y --=121x x x x--,而当x 1=x 2或y 1=y 2时有分母为0,不能用比例式表示,只能用乘积式(x 2-x 1)(y-y 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)①,即当x 1=x 2时,①表示直线x=x 1(或x 2);当y 1=y 2时,①表示直线y=y 1(或y 2).故选D. 解析:(3)若直线过原点,则直线方程为3x+2y=0;若直线不过原点,则斜率为1,方程为y+3=x-2,即为x-y-5=0,故所求直线方程为3x+2y=0或x-y-5=0.答案:(1)C (2)D (3)3x+2y=0或x-y-5=0(1)求直线方程的常用方法有:①直接法:直接求出直线方程中的系数,写出直线方程;②待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再构造关于系数的方程(组)求系数,最后代入写出直线方程.(2)求直线方程时,应注意分类讨论思想的应用,如直线的斜率是否存在,直线在两坐标轴的截距是否为0等.(3)如果没有特别要求,则求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0,且A ≥0.设直线l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a ∈R). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程; (2)若l 不经过第二象限,求实数a 的取值范围.解:(1)当直线过原点时,该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零,截距相等,所以a=2,方程即3x+y=0.若a ≠2,由于截距存在,所以21a a -+=a-2, 即a+1=1,所以a=0,方程即x+y+2=0.解:(2)法一将l 的方程化为y=-(a+1)x+a-2,所以欲使l 不经过第二象限,当且仅当()10,20,a a ⎧-+≥⎪⎨-≤⎪⎩ 所以a ≤-1.所以a 的取值范围是(-∞,-1]. 法二将l 的方程化为(x+y+2)+a(x-1)=0(a ∈R),它表示过l 1:x+y+2=0与l 2:x-1=0的交点(1,-3)的直线系(不包括x=1).由图象可知l 的斜率-(a+1)≥0时,l 不经过第二象限,所以a ≤-1. 考点三两直线的位置关系[例3] 已知两直线l 1:ax+2y+6=0和l 2:x+(a-1)y+(a 2-1)=0. (1)若l 1⊥l 2,求实数a 的值;(2)试判断l 1与l 2是否平行. 解:法一 (斜截式方程)(1)由直线l 1的方程知其斜率为-2a ,当a=1时,直线l 2的斜率不存在,l 1与l 2不垂直; 当a ≠1时,直线l 2的斜率为-11a -. 由-2a ·11a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-1⇒a=23. 故所求实数a 的值为23. 解:法一(2)由(1)知,当a=1时,l 1,l 2相交, 当a ≠1时,直线l 1的斜率为-2a , 直线l 2的斜率为-11a -. 由l 1∥l 2可得-2a =-11a -, 解得a=-1或a=2.当a=2时,l 1的方程为x+y+3=0, l 2的方程为x+y+3=0,显然l 1与l 2重合.当a=-1时,l 1的方程为x-2y-6=0,l 2的方程为x-2y=0,显然l 1与l 2平行.所以,当a=-1时,l 1∥l 2; 当a ≠-1时,l 1与l 2不平行. 法二 (一般式方程)(1)由已知条件得a ·1+2·(a-1)=0⇒a=23. 故所求实数a 的值为23. 法二(2)由A 1B 2-A 2B 1=0,得a(a-1)-1×2=0,即a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.当a=-1时,l1的方程为x-2y-6=0,l2的方程为x-2y=0,显然两直线平行.当a=2时,l1的方程为x+y+3=0,l2的方程为x+y+3=0,显然两直线重合. 所以,当a=-1时,l1∥l2;当a≠-1时,l1与l2不平行.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件,显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简便.另外利用直线的斜率和截距讨论时,不要忘记斜率不存在时的情况.已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.解:(1)由已知可得l2的斜率存在,且k2=1-a,若k2=0,则1-a=0,a=1.因为l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.又因为l1过点(-3,-1),(矛盾),所以-3a+4=0,即a=43所以此种情况不存在,所以k2≠0,即k1,k2都存在且不为0.,l1⊥l2,因为k2=1-a,k1=ab所以k 1k 2=-1,即a b(1-a)=-1.(*)又因为l 1过点(-3,-1), 所以-3a+b+4=0.(**)由(*)(**)联立,解得a=2,b=2. 解:(2)因为l 2的斜率存在,l 1∥l 2, 所以直线l 1的斜率存在,k 1=k 2,即ab =1-a,①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等,且l 1∥l 2,所以l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b =b,②联立①②,解得2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,32.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以a=2,b=-2或a=23,b=2. 考点四对称问题[例4] 已知直线l:3x-y+3=0,求: (1)点P(4,5)关于l 的对称点;(2)直线x-y-2=0关于直线l 对称的直线方程; (3)直线l 关于点(1,2)的对称直线方程.解:(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P ′(x ′,y ′),因为k PP ′·k l =-1,即y yx x'-'-×3=-1.① 又PP ′的中点在直线3x-y+3=0上,所以3×2x x '+-2y y '++3=0.②由①②得439,5343.5x y x x y y -+-⎧'=⎪⎪⎨++⎪'=⎪⎩③④把x=4,y=5代入③④得x ′=-2,y ′=7,所以点P(4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(-2,7). 解:(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y, 得关于l 对称的直线方程为4395x y -+--3435x y ++-2=0, 化简得7x+y+22=0.解:(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3), 关于点(1,2)的对称点M ′(x ′,y ′),所以02x '+=1,x ′=2,32y '+=2,y ′=1,所以M ′(2,1).l 关于点(1,2)的对称直线平行于l,所以k=3, 所以对称直线方程为y-1=3×(x-2), 即3x-y-5=0.解决对称问题的方法(1)中心对称①点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点P ′(x ′,y ′)满足2,2.x a x y b y '=-⎧⎨'=-⎩ ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B ≠0)的对称点A ′(m,n),则有1,0.22n b A m a B a m b n A B C ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.在△ABC 中,已知A(3,-1),∠B 的平分线BD 所在的直线方程是x-3y+6=0,AB 边上的中线CE 所在的直线方程是x+y-8=0,求点B 的坐标和边BC 所在的直线方程.解:设B 点坐标为(x,y),因为E 是AB 中点,所以E(32x +,12y -). 因为CE 所在直线方程为x+y-8=0,所以32x ++12y --8=0,即x+y-14=0① 而BD 所在直线方程为x-3y+6=0②联立方程①②可得9,5x y =⎧⎨=⎩ 所以B 点坐标为(9,5)因为BD 是∠B 的平分线,所以点A(3,-1)关于BD 所在直线的对称点A ′在BC 所在直线上.设A ′(x ′,y ′),则有31360,2213,3x y y x ''+-⎧-⨯+=⎪⎪⎨'+⎪=-⎪'+⎩ 解得3,531,5x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩所以A ′(35,315).则BC 所在直线方程等价于BA ′所在直线方程x+7y-44=0. 考点五直线方程的应用[例5] 已知两直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q 1(a 1,b 1),Q 2(a 2,b 2)(a 1≠a 2)的直线方程. 解:因为点P(2,3)在已知直线上,所以2a 1+3b 1+1=0,2a 2+3b 2+1=0, 所以2(a 1-a 2)+3(b 1-b 2)=0,即1212b ba a --=-23, 所以所求直线方程为y-b 1=-23(x-a 1).所以2x+3y-(2a 1+3b 1)=0, 即2x+3y+1=0.直线l 的方程中除去x,y 还有其他字母(称为参数),若直线l 过一个定点P,求定点P 的坐标时,通常对参数分别取两个具体的值,将所得的两个方程联立得方程组,由方程组的解可得定点P 的坐标.已知点A(2,4),B(6,-4),点P 在直线3x-4y+3=0上,若满足PA 2+PB 2=λ的点P 有且仅有1个,求实数λ的值. 解:设点P 的坐标为(a,b), 因为A(2,4),B(6,-4),所以PA 2+PB 2=[(a-2)2+(b-4)2]+[(a-6)2+(b+4)2]=λ, 即2a 2+2b 2-16a+72=λ, 又因为P 在直线3x-4y+3=0上, 所以3a-4b+3=0,所以509b 2-803b+90=λ, 又因为满足PA 2+PB 2=λ的点P 有且仅有1个,所以Δ=(-803)2-4×509×(90-λ)=0, 即λ=58.。

直线与方程知识点总结(实用4篇)

直线与方程知识点总结第1篇空间两条直线只有三种位置关系。

1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线xxx的角：范围为（0，90）esp。

空间向量法两异面直线间距离：公垂线段（有且只有一条）esp。

空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点相交直线；（2）没有公共点平行或异面直线与方程知识点总结第2篇常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

有些学生仍然在遇到三角函数题目的时候画直角三角形协助理解，这是十分危险的，也是我们所不提倡的。

三角函数的定义在引入了实数角和弧度制之后，已经发生了革命性的变化，sinA中的A不一定是一个锐角，也不一定是一个钝角，而是一个实数弧度制的角。

有了这样一个思维上的飞跃，三角函数就不再是三角形的一个附属产品（初中三角函数很多时候依附于相似三角形），而是一个具有独立意义的函数表现形式。

既然三角函数作为一种函数意义的理解，那么，它的知识结构就可以完全和函数一章联系起来，函数的精髓，就在于图象，有了图象，就有了所有的性质。

对于三角函数，除了图象，单位圆作为辅助手段，也是非常有效就好像配方在二次函数中应用广泛是一个道理。

三角恒等变形部分，并无太多诀窍，从教学中可以看出，学生听懂公式都不难，应用起来比较熟练的都是那些做题比较多的同学。

题目做到一定程度，其实很容易发现，高一考察的三角恒等只有不多的几种题型，在课程与复习中，我们也会注重给学生总结三角恒等变形的统一论，把握住降次，辅助角和万能公式这些关键方法，一般的三角恒等迎刃而解。

关键是，一定要多做题。

直线与方程知识点总结第3篇①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率xxx 表示。

直线方程总复习

y
O
Ax
C
例2：如图，已知正方形ABCD的中心为E(-1,0)，一边AB所在的直线方程为x-3y-5=0，求其他各边所在的直线方程。
y
C D
x E
B
A
例3、已知点A(5,8),B(4,1)，则A点关于B点的对称点为__________。
12
例4 对称问题
已知直线l : y 1 x 1， 2
（B）k3<k1<k2 （D）k1< k3< k2
O x
L1
3、过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的
直线条数有（ C）
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4Biblioteka 4、设Ａ、Ｂ是x轴上的两点，点Ｐ的横坐标为２，且|ＰＡ|＝|ＰＢ|，若直线ＰＡ的方程为x－y＋1=0，则直线ＰＢ的方程是（ A ） (Ａ)x＋y－5=0 (B)2x－y－1=0 (C)x－2y＋4=0 (D)2x＋y－7=0
（1）求点P(3, 4)关于直线l的对称点
（2）求直线l关于点(2, 3)对称的直线方程（3）求直线l关于直线y=2x+1对称的直线方程
数形结合与对称的灵活应用已知一条光线从点A(2，-1)发出、经x轴反射后，通过点B(-2,-4)，试求点P坐标变：已知两点A(2，-1)、B(-2,-4) 试在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小变：试在x轴上求一点P，使|PB|-|PA|最大
2x-y+5=0
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0
. (4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；

_直线方程(高考复习)

1．过点(1,3)作直线 l，若经过点(a,0)和(0，b)，且 a∈N*， b∈N*，则可作出的 l 的条数为 A．1 C．3 B．2 D．4 ( )
答案 B
解析
a＝2， b＝6
1 3 由题意＋＝ 1 ⇒ (a － 1)(b － 3) ＝ 3. 有两组解 a b
(3)由已知：设直线 y＝3x 的倾斜角为 α，则所求直线的倾斜角为 2α. 2tanα 3 ∵tanα＝3，∴tan2α＝ 2 ＝－ . 4 1－tan α 又直线经过点 A(－1，－3)， 3 因此所求直线方程为 y＋3＝－ (x＋1)， 4 即 3x＋4y＋15＝0.
3 【答案】 (1)y＝± x－5 4 (3)3x＋4y＋15＝0 (2)2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0
为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0 时，对于一切情况都成立．
x y ＋＝1 (4)截距式： a b ，其中 a· b≠0， a 为 l 在 x 轴上的截距，
b 是 l 在 y 轴上的截距． (5)一般式： Ax＋By＋C＝0 ，其中 A、B 不同时为 0.
1．若直线 x＝1 的倾斜角为 α，则 α A．等于 0 π C．等于 2 B．等于 π D．不存在
(3)x＋y－3＝0 (4)x＋2y－4＝0
探究 3
利用待定系数法设出直线方程，转化;0，且 A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线，则 ab 的最小值为______．
x y 【解析】根据 A(a,0)、 B(0， b)确定直线的方程为＋＝1， a b －2 －2 又 C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ a b ab.又 ab>0，故 a<0， b<0.根据基本不等式 ab＝－2(a＋b)≥4 ab，从而 ab≤0(舍去)或 ab≥4，故 ab≥16，即 ab 的最小值为 16.

直线方程复习卷2

必修二第三章直线与方程复习卷一、单项选择1、已知直线的倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2，则此直线方程为（） A ．2y x =-+ B ．2y x =+ C ．2y x =- D ．2y x =--2、如右图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k 则（） A ．123k k k << B ．312k k k << C ．132k k k << D ．321k k k <<3、直线()()21210a x ay a R +-+=∈的倾斜角不可能为（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．56π4、与直线23y x =-+平行，且与直线34y x =+交于x 轴上的同一点的直线方程是（）A ．823y x =--B ．142y x =+ C ．1823y x =- D ．24y x =-+ 5、已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则+a b的值为（）A.7-B.1-C.1D.76、已知直线 310x y +-=与直线2330x my ++=平行，则它们之间的距离是( ) A.1 B.45C.3D.4 7、以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是（） A ．38=0+x y - B ．3=+0+4x y C ．36=0+x y - D ．3=+0+3x y 8、l ：2360x y +-=与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．6B ．1C ．52 D ．39、已知直线过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直，则该直线方程为（）A ．3210x y +-=B ．2310x y +-=C ．3210x y ++=D ．2310x y +-=10、已知直线()1:4410l m x y -++=和()()2:4110l m x m y +++-=，若12l l ⊥，则实数m 的值为（）A ．1或3-B ．12或13-C ．2或6-D ．12-或2311、已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线为1l ，2:210l x y +-=，3:10l x ny ++=.若12l l //，23l l ⊥，则m n +的值为（） A ．10-B ．2-C ．0D ．812、若光线从点(3,3)P -射到y 轴上，经y 轴反射后经过点(1,5)Q --，则光线从点P 到点Q 走过的路程为（）A ．10B ．5＋17C ．45D ．217 13、与直线关于x 轴对称的直线方程为A.B.C.D.14、已知直线l 的方程是y ＝2x ＋3，则l 关于y ＝－x 对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y ＝0 C ．x －2y －3＝0 D ．2x －y ＝0 15、若直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点（）A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(2,4)-D ．(4,2)-16、P 、Q 分别为3x ＋4y12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( ) A.95B.185C ．3D ．617、已知直线:20l kx y -+=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则||MP 的最小值是（）A.10 B .55 C.6 D.3518、已知实数满足250x y ++=,那么22x y +的最小值为( )A ．5B ．5C ．25D ．5519、设点3(2,)A -，(3,2)B --，直线l 过(1,1)P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．34k ≥或4k -… B ．344k-剟 C ．344k -剟 D ．以上都不对20、设直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y ++=的交点为A ； ,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-21、己知()3,1A ，()1,2B -，若ACB ∠的角平分线所在直线方程是1y x =+，则直线AC 方程为（）A ．210x y --=B ．1522y x =-+C ．25y x =-D ．270x y +-= 22、过点()3,1A -且在两坐标轴上截距相等的直线有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条二、填空题23、已知ABC ∆的顶点为()()()1,2,3,1,3,4A B C ，则AB 边的中线所在直线的斜率为__________．24、若(2,3),(3,2),(4,)A B C m --三点共线则m 的值为________. 25、点(3,4)A -与点(1,8)B -关于直线l 对称，则直线l 的方程为______．26、过两直线310x y -+=和330x y +-=的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.27、光线从点(1,4)射向y 轴，经过y 轴反射后过点(3,0)，则反射光线所在的直线方程是________. 28、直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30°,直线2l过点()2,0且与1l 垂直,则1l 与2l 的交点坐标为____三、解答题29、求满足下列条件的直线的方程：(1)求与直线20x y -=平行，且过点(2)3，的直线方程； (2)已知正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，其一边所在直线的方程为350x y +-=,求其他三边的方程.30、已知直线1:330l mx y m +++=，直线()2:220l x m y +-+=．求当m 为何值时，直线1l 与2l分别有如下位置关系：（1）平行；（2）垂直．31、已知ABC △的顶点()4,3A ，AB 边上的高所在直线为30x y --=，D 为AC 中点，且BD 所在直线方程为370x y +-=.（1）求顶点B 的坐标；（2）求BC 边所在的直线方程。