安徽省宿州市十三校重点中学2012届高二数学上学期期中考试 文

安徽省宿州市十三校重点中学2010—2011学年第一学期期中考试高二数学试题（文科） 第I 卷一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 不等式（1－x ）（3+x ）>0的解集是A. (－3,1) B (－∞,－3)∪(1,+∞) C. (－1,3) D. (－∞,－1)∪(3,+∞)2. 已知数列}{n a 的通项公式是na nn )1(3-+=：，则32a a +的值为A . 2B .32 C . 35 D . 383. 如果实数b a >，则下列各式正确的是A ．22b a > B. 33b a > C. ba 11< D. ab a >2 4. 在△ABC 中，已知045,2,2===A b a ,则B 等于A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120° 5. 已知数列}{n a 的通项公式是11+-=n n a n ，那么这个数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列6.已知实数y x b a <<,，且0))((,0))((>--<--b y a y b x a x ,则下列关系式正确的是 A.b y x a <<< B. y b x a <<< C. b y a x <<< D. b a y x <<<7. 已知实数2,=+b a ab ，则ba33+的最小值是A. 18B. 6C. 23D.2438.在线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-o y x y x y x 20630下,目标函数y x z +=2的最小值是.A. 9B. 2C. 3D. 49.等比数列}{n a 的前n 项的和为n S ，若321,2,4a a a 成等差数列，则44a S 的值是A.167 B. 1615 C .87 D. 81510.已知实数y x ,满足11122=+yx ，则222y x +有 A. 最大值3+22 B. 最小值3+22 C. 最大值42 D. 最小值4211. 在△ABC 中，三边c b a ,,成等差数列，B=300，三角形ABC 的面积为21，则b 的值是 A ．1+3 B. 2+3 C. 3+3 D.333+ 12.已知等差数列数列}{n a 前n 的和为S n,,,若20101-=a ，22007200920072009=-S S ，则2011S 的值是 A ． 2009B. 2010C ．0D ．2010×2011二.填空题:（本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在答题卷的相应位置）13.不等式01>-xx 的解集是 14.在三角形ＡＢＣ中，若31cos ,3==A a ，则bc 的最大值是 .15.关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集是Ｒ，则实数a 的取值范围是 .16.已知等差数列}{n a 的首项1a 及公差d 都是整数，且前n 项和为n S ，若9,3,1341≤>>S a a ，则数列}{n a 的通项公式是 ________.第Ⅱ卷三.解答题:（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 是等比数列，首项16,241==a a . （1）求数列}{n a 的通项公式（2）若数列}{n b 是等差数列，且5533,a b a b ==求数列}{n b 的通项公式及前n 项和n S .18.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是c b a ,,，已知54cos ,5,6-===A b a （1）求角B 的大小（2）求三角形ABC 的面积。

19.（本小题满分12分）已知)6()6(3)(2->+-+-=c cx a a x x f（1）若关于x 的不等式0)(>x f 的解集是（－1，3），求实数 c a ,的值。

（2）解关于a 的不等式0)1(>f20.（本小题满分12分）已知A,B 是海面上位于东西方向(B 在A 东)相距5（3+3）海里的两个观测点，现位于A 点北偏东450，B 点北偏西600的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 的南偏西600且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里／小时，该救援船到达D 点需要多长时间？21. （本小题满分12分）已知函数c bx x x f ++=2)(和b x x g +=2)(，若对任意的R x ∈，恒有)()(x g x f ≥（1） 证明：1≥c 且b c ≥（2） 证明：当0≥x 时，)()(2x f c x ≥+22.（本小题满分14分）等比数列}{n a 的前n 项和n S ，且12+=+n n a S （1）求数列}{n a 的通项公式（2）求数列})12{(n a n -的前n 项的和n S .高二数学参考答案一.选择题1.A2. D3. B4. A 5 .A 6 .B 7. B 8. B 9. D 10. B 11 C. 12. C 二.填空题13.（－1，0）∪(1,+∞) 14 .49 15 .[0，1] 16. 1+=n a n三．解答题17解：（1）由16,241==a a 及}{n a 是等比数列 ， 得 1631=q a 2=q ∴n n n q a a 211==- （2） 由已知 ⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=+=+121632482111d b d b d b ∴281212)1(16-=⋅-+-=n n a nn n n n n S n 146122)1()16(2-=⋅-+-⋅= 18(1) ∵53sin 54cos =∴-=A A 由正弦定理21sin sin ,sin sin ==∴=a A b B b b A a 又b a > ∴B 为锐角 B=30（2）1043330sin cos 30cos sin )30sin()sin(sin 00-=+=+=+=A A A b a C∴21239sin 21-==∆A ab S ABC 19解：（1） 由已知－1，3是方程0)6(32=+-+-c x a a x 的两个根，由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯----=+-3313)6(31c a a 解得⎩⎨⎧=±=933c a（2）由0)1(>f ，即 0)6(3>+-+-c a a 整理为0362<-+-c a a 因为c>－6所以0)6(4>+=∆c 方程的两个根是636321++=+-=c x c x所以不等式的解集是}6363|{++<<+-c x c x20.以题意知AB=5（3+3）︒=︒-︒=∠︒=︒-︒=∠454590,306090DAB DBA ︒=︒-︒-︒=∠1054530180ADB在△ABC 中，由正弦定理ADBABDAB BD ∠=∠sin sin31060sin 45cos 60cos 45sin 45sin )33(5sin sin =︒︒+︒︒︒+=∠∠∠=ADB DAB AB BD在三角形DBC 中,又32060=︒=∠BC DBC ，由余弦定理 CBD BC BD BC BD CD ∠⋅-+=cos 2222309002132031021200300==⨯⨯⨯-+=CD 所需时间13030==t 答：救援船到达D 点需要1小时。

21：解：（1）由已知0)2(2≥-+-+b c x b x 恒成立所以0)(4)2(2≤---=∆b c b ，从而 142+≥b c 于是 0412≥≥-b c 0)12(1422≥-=-+≥-bb b b c所以 1≥c 且b c ≥（2）∵)1()2()()(2-+-=-+c c x b c x f c x 当0≥x 时，由（1）0)(2≥-+=-b c c b c0)1(≥+c c∴0)1()2()()(2≥-+-=-+c c x b c x f c x故：当0≥x 时，)()(2x f c x ≥+22.解：由已知：当1=n 时，212a a =+ ①当2=n 时，3212a a a =++ ②②－①得232a a = 所以公比2=q 且122a a = ③ ③代人①解得21=a 所以n n n a 2221=⋅=-（2） n n n T 2)12(25232132⨯-++⨯+⨯+⨯= ①同乘公比2得 14322)12(2523212+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n T ②②－①得11114322)32(62)12()12(822)12(222222222)21(++-+⨯---=⨯---+=⨯--⨯++⨯+⨯+⨯+=-n n n n n n n n n T∴ 12)32(6+⨯-+=n n n T［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=2π (2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =21-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan21-m ,α∈（0，2π）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan21-m ，α∈(2π,π). 说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （21，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A 、B 、C 三点共线， ∴ｋAB ＝ｋAC ，.22132332+-=+--m 解得m =21.邪恶动态图/xieedontaitu/ 奀莒哃说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解. ［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.∵tan2α=ｋAB =.43)1(3)5(2=-----43tan 1tan 22=-∴αα 即3tan 2α+8tan α－3=0， 解得tan α＝31或tan α＝－3. ∵tan2α＝43＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°， ∴tan α＝31. 因此，直线l 的斜率是31 说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.命题否定的典型错误及制作在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．一、典型错误剖析错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．例1 写出下列命题的否定： ⑴ 对于任意实数x ，使x 2＝1； ⑵ 存在一个实数x ，使x 2＝1． 错解：它们的否定分别为 ⑴ 对于任意实数x ，使x 2≠1；⑵存在一个实数x，使x2≠1．剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x2≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x2≠1．正解：⑴存在一个实数x，使x2≠1；⑵对于任意实数x，使x2≠1．错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换．例2写出下列命题的否定：⑴线段AB与CD平行且相等；⑵线段AB与CD平行或相等．错解：⑴线段AB与CD不平行且不相等；⑵线段AB与CD不平行或不相等．剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．正解：⑴线段AB与CD不平行或不相等；⑵线段AB与CD不平行且不相等．错误3——认为“都不是”是“都是”的否定例3写出下列命题的否定：⑴a，b都是零；⑵高一(一)班全体同学都是共青团员．错解：⑴a，b都不是零；⑵高一(一)班全体同学都不是共青团员．剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．⑵高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．错误4——认为“命题否定”就是“否命题”根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．例4写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定．错解：不满足条件C的点不都在直线F上．剖析：对于原命题可表示为“若A，则B”，其否命题是“若┐A，则┐B”，而其否定形式是“若A，则┐B”，即不需要否定命题的题设部分．正解：满足条件C的点不都在直线F上．二、几类命题否定的制作1．简单的简单命题命题的形如“A是B”，其否定为“A不是B”．只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可．例5写出下列命题的否定：⑴ 3＋4＞6；⑵ 2是偶数．解：所给命题的否定分别是：⑴ 3＋4≤6；⑵ 2不是偶数．2．含有全称量词和存在量词的简单命题全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A 是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题．例6写出下列命题的否定：⑴不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实根．⑵存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0．⑶至少有一个整数是自然数．⑷至多有两个质数是奇数．解：⑴原命题相当于“对所有的实数m，x2＋x－m＝0必有实根”，其否定是“存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实根”．⑵原命题的否定是“对所有的实数x，x2＋x＋1＞0”．⑶原命题的否定是“没有一个整数是自然数”．⑷原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；例7写出下列命题的否定：⑴他是数学家或物理学家．⑵他是数学家又是物理学家．⑶2123x x+-≥0．解：⑴原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．⑶若认为┐p：2123x x +-＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括2123x x+-＜0或2123x x+-＝0．或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．第1章第3节知能训练·提升考点一：命题真假的判断1．如果命题“非p或非q”是假命题，则下列结论中正确的为( )①命题“p且q”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题； ③命题“p 或q ”是真命题； ④命题“p 或q ”是假命题．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：由“非p 或非q ”是假命题知，非p 和非q 都是假命题．即p 为真，q 为真．所以p 且q 为真，p 或q 也为真．①③正确．答案：A2．设命题p ：若a ＞b ，则1a ＜1b ；命题q ：1ab＜0⇔ab ＜0.给出下列四个复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③綈p 且q ；④綈p 或綈q .其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由题意知p 为假命题，q 为真命题，故p 或q 为真，p 且q 为假，綈p 且q 为真，綈p 或綈q 也为真，故真命题有3个．答案：D3．(2010·湖北质检)P ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；Q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果P 与Q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不单调递减．曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.情形(1)：P 正确，但Q 不正确，因此a ∈(0,1)∩[12，52]，即a ∈[12，1)．情形(2)：P 不正确，但Q 正确，因此a ∈(1，＋∞)∩[(－∞，12)∪(52，＋∞)]，即a ∈(52，＋∞)．综上，a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)．考点二：反证法的应用4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除 答案：B5．已知函数f (x )对其定义域内的任意两个实数a 、b ，当a ＜b 时，都有f (a )＜f (b )，求证：f (x )＝0至多有一实根．证明：假设f (x )＝0至少有两个不同的实根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，由方程的定义，f (x 1)＝0，f (x 2)＝0，则f (x 1)＝f (x 2)，①但是由已知，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，②①式与②式矛盾，因此假设不成立．故f (x )至多有一个实根．考点三：充要条件的判断及证明6．若不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是( )A ．[－43，12]B ．[－12，43]C ．(－∞，－12]D ．[43，＋∞)解析：|x －m |＜1⇔m －1＜x ＜m ＋1.由题意m －1≤13且m ＋1≥12，得－12≤m ≤43.答案：B7．(2010·山东名校联考)已知命题p ：－1≤4x －3≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，12]B ．[12，1]C ．[13，12]D ．(13，1]解析：由题知，命题p 为M ＝[12，1]，命题q 为N ＝[a ，a ＋1]．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，从而有M N ，于是可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ＋1＞1.而当a ＝0或a ＝12时，同样满足M N 成立，故a 的取值范围是[0，12]．答案：A8．(探究题)(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解：(1)因为x 2－x －2＞0的解为x ＞2或x ＜－1.所以当x ＞2或x ＜－1时，x 2－x －2＞0.由4x ＋p ＜0得x ＜－p 4.设A ＝{x |x ＞2或x ＜－1}，B ＝{x |x ＜－p4}．由题意得B ⊆A .所以－p4≤－1，所以p ≥4.故存在实数p ≥4，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件．(2)由(1)知，要使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的必要条件，则需满足A ⊆B ，但这不可能，故不存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的必要条件.1.(2009·浙江)已知a 、b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由a ＞0且b ＞0可得a ＋b ＞0，ab ＞0，由a ＋b ＞0有a 、b 至少一个为正，ab ＞0可得a 、b 同号， 两者同时成立，则必有a ＞0，b ＞0，故选C. 答案：C2．(2009·安徽)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞dB ．p ：a ＞1，b ＞1，q ：f (x )＝a x－b (a ＞0，且a ≠1)的图像不过第二象限C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a ＞1，q ：f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数 解析：∵p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＜d ， ∴pq ，q ⇒p .对于选项B ：p ⇒q ，qp ，p 是q 的充分不必要条件．对于选项C ：p ⇒q ，q p ，p 是q 的充分不必要条件． 对于选项D ：p ⇔q ，p 是q 的充要条件．故选A. 答案：A3．(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；(3)设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； (4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题．．．的序号是________(写出所有真命题的序号)． 解析：(1)由面面平行的判定定理可得，该命题正确； (2)由线面平行的判定定理可得，该命题正确．(3)如图(举反例)，a ⊂α，α∩β＝l ，a ⊥l ，使α与β不垂直．(4)l ⊥α，垂直的充要条件是l 与α内的两条相交直线垂直． 答案：(1)(2)1.对于函数：①f (x )＝|x ＋2|，②f (x )＝(x －2)2，③f (x )＝cos(x －2)，判断如下两个命题的真假；命题甲：f (x ＋2)是偶函数；命题乙：f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；能使命题甲、乙均为真命题的所有函数的序号是( )A ．①②B ．②C ．①③D ．③解析：对于函数①，∵f (x ＋2)＝|x ＋4|，∴命题甲是假命题；对于函数②，∵f (x ＋2)＝x 2，∴命题甲是真命题，且命题乙是真命题； 对于函数③，∵f (x ＋2)＝cos x ，∴命题甲是真命题，但命题乙是假命题． 答案：B2．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方得y ＝(x －34)2＋716.∵x ∈[34，2]，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈[716，2]．∴A ＝{y |716≤y ≤2}．化简集合B ，由x ＋m 2≥1，∴x ≥1－m 2， B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，解之，得m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是(－∞，－34]或[34，＋∞)．。