课标A版--高考数学一轮复习---§7.4 基本不等式_？？≤？？(a,b〉0)--(附答案)
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案理含解析新人教A版
高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案理含解析新人教A 版第4讲 基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥□012ab (a ，b ∈R )(当且仅当□02a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：□03a >0，b >0； (2)等号成立的条件：当且仅当□04a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的□05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的□06几何平均数． 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当□07x ＝y 时，x ＋y 有□08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当□09x ＝y 时，xy 有□10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A.1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．故选B.2．(2019·山西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72B.4C.92D.5答案 C解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立.故选C.3.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为( )A.9B.92 C.3 D.322答案 B解析 当a ＝－6或a ＝3时，3－a a ＋6＝0；当－6<a <3时，3－aa ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．4．(2019·南昌摸考)已知函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．答案 4解析 ∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2x －2·mx －2＋2＝2m ＋2，当且仅当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4.5．(2019·大连模拟)函数y ＝2x ＋2x(x <0)的最大值为________．答案 －4解析 ∵x <0，∴－x >0，∴(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ≥2－2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝4，即y ＝2x ＋2x≤－4(当且仅当－2x ＝－2x，即x ＝－1时等号成立)．6．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 由a －3b ＋6＝0可得a －3b ＝－6， 又∵2a＋18b ≥22a8b ＝22a －3b ＝22－6＝14(当且仅当a ＝－3，b ＝1时取等号)， ∴2a＋18b 的最小值为14.核心考向突破考向一 利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0 解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.触类旁通通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：1拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. 3拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.即时训练 1.已知x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，则8x ＋2y ＋4的最小值为________．答案 12解析 ∵x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，∴x ＋2＋y ＋4＝8，∴8≥2x ＋2y ＋4，即1x ＋2y ＋4≥116，当且仅当x ＝2，y ＝0时取等号，则8x ＋2y ＋4≥816＝12. 角度2 利用常数代换法求最值例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D. (2)(2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．答案 8解析 ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24ab·b a＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.触类旁通常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： 1根据已知条件或其变形确定定值常数. 2把确定的定值常数变形为1.3把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. 4利用基本不等式求解最值.即时训练 2.(2019·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb2的最大值为( )A ．8B ．2C ．18D ．16答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·ca＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. (2)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 答案 3解析 由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.触类旁通通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．即时训练 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3b a的最小值为________．答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b＋3ba的最小值是6.考向二 求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.(2)(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)·(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6.故选C.触类旁通1要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活的进行转化. 2利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或范围.即时训练 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，又a ＋b 2ab＝a b ＋b a＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16答案 D 解析32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.考向三 基本不等式的实际应用例5 (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.触类旁通有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 3解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.4在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.即时训练 6.某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab，由于ab >0，∴4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练 已知a >b >0，求a 2＋16ba －b的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16.当a 2＝64a2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16ba －b的最小值为16.。
高考理科数学(人教A版)一轮复习课件72基本不等式及其应用
1
∴ + =
2
2
+
当且仅当 =
1
2
2
(x+2y)= +
2
+5≥2·
2
2
· +5=4+5=9.
1
,即 x=y= 时等号成立,
3
1
所以2+ 的最大值为9.
故选 C.
(2)∵正项等比数列{an}的公比为 3,且 aman=922 ,
a2·
3n-2=22 ·3m+n-4=922 ,
∴2x+y=xy.
1
1
1
1
∴ +x+2y= + 2xy≥2
1
1
· = 2.
2
-9-
考点1
考点2
考点3
思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?
解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明
的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、
配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;
(1)求a的值;
1
2
1
1
(2)若正数 x,y 满足 + =a.证明:+x+2y≥ 2.
-8-
考点1
考点2
考点3
解:(1)由f(x)=|x-1|-|x+a|≤|x-1-x-a|=|a+1|,
又f(x)≤2恒成立,
∴|a+1|≤2.
∴-3≤a≤1.
∵a∈N*,
∴a=1.
高三文科数学一轮复习 7.4基本不等式
2．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．
A.1
2
B ．1
C ．2
D ．4 3．若x ＞54，则f (x )＝4x ＋1
4x －5
的最小值为( )
A ．－3
B ．2
C ．5
D ．7
4．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )
A.13
B.12
C.34
D.23 5．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)·(1x 2＋4y 2)的最小值为__________．
6.当x ＞0时，f (x )＝
2x
x 2
＋1
的最大值为__________． 7.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用
建筑总面积)
自我评价
1.知识方面
2.数学思想方法。
高考数学一轮复习 不等式选讲-1基本不等式与绝对值不等式课件 理 新人教A版
(4)利用基本不等式求最值 对两个正实数x、y ①如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y 时，它们 S2 的积P取得最大值 大 4；
＝y y时，它 ②如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝ 小 2 们的和S取得最小值 2 P P．
2. 绝对值三角不等式
a||＋ ＋||b b||，当且仅 定理1.如果a，b是实数，则|a＋b|≤ |a
请注意！ 1．利用不等式的性质考查函数的单调性、比较实数的大小、 求函数的最值是考查的重点． 2．利用绝对值的定义及绝对值的几何意义解含有绝对值的不 等式或证明不等式是考查的重点也是难点．
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 1．基本不等式 (1)定理1 如果a，b∈R，时
基本不等式与绝对值不等式
考纲下载 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意 义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax ＋ b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 3.会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利 用基本不等式求一些特定函数的最值．
当a，b同号时 同号时，等号成立． 定理2.如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a＋b|，当且 仅当a，b异号时，等号成立． 异号时
3．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式 |x|<a |x|>a a>0 a＝0 Ø x x∈ ∈R R且 且x x≠ ≠0 0 a<0 Ø Ø x ∈ R x ∈ R
当a＝b 时，等号成立． (2)算术平均与几何平均
a＋ ＋b b 如果a，b都是正数，我们就称 2 为a，b的算术平 2
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
解析：选B.任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油
+
+
价为元/升，第一种方案的均价：
=
≥ ；第二种方案的
均价： =
≤ .所以无论油价如何变化，第二种都更划算.故
+
+
��
选B.
2.设等差数列{ }的公差为,其前项和是 ,若 = =
+
− +
+
+
= + ，即 =
=
+
+
，
−
+
<<
，
+ − ≥ − = ，当
= 时，取等号，故 + 的最小值为2.
方法三：因为 + + = ，所以 + + = ，所以
+ 取得最小值
⑧_____.
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小.
1.
+ ≥ （,同号）.
+
2. ≤
+
3.
4.
≥
+
, ∈ .
+
≥
+
≥
, ∈ .
> , > .
1.函数 =
+
+ + ，
+ + − ≥ ，即
+ + + − ≥ ，解得 + ≥ ，
(新课标)2019届高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等
(1)(湖北荆州市 2017 届期末)已知 x， y∈(0， 1 1 ＋∞)，且满足 ＋ ＝1，那么 x＋4y 的最小值为( ) x 2y A．3－ 2 C．3＋ 2 B．3＋2 2 D．4 2
1 1 解： 因为 x， y 为正实数， 所以 x＋4y＝(x＋4y)( ＋ ) x 2y 4y x 4y x 4y ＝3＋ ＋ ≥3＋2 · ＝3＋2 2，当且仅当 ＝ x 2y x 2y x 2＋2 x ，即 x＝ 2＋1，y＝ 时等号成立．故选 B. 2y 4
x y 1 2 解： ＋ ＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，可得 ＋ ＝1，所以 a b a b 1 2 b 4a b 4a ＋ 2a＋b＝(2a＋b) a b ＝4＋ ＋ ≥4＋2 · ＝8，当且仅 a b a b 当 a＝2，b＝4 时取“＝”．故填 8.
a4＋4b4＋1 (2)(2017· 天津)若 a， b∈R， ab＞0， 则 ab 的最小值为________．
(河北省衡水中学 2017 届第三次调考)若 a>0， b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则 a＋b 的最小值为( A．8 B．6 C．4 ) D．2
解： 由 a＞0， b＞0， lga＋lgb＝lg(a＋b)， 得 lg(ab) 1 1 ＝lg(a＋b)，即 ab＝a＋b，则有 ＋ ＝1，所以 a＋b a b 1 1 b a b a ＝ a＋b (a＋b)＝2＋ ＋ ≥2＋2 · ＝4，当且仅 a b a b 当 a＝b＝2 时等号成立， 所以 a＋b 的最小值为 4.故选 C.
若实数 x，y 满足 xy＝1，则 x ＋2y 的 最小值为________．
2
2
2 解： 由 xy＝1 得 x ＋2y ＝x ＋ 2≥2 2， 当 x
高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：7.4 基本不等式48
第4讲 基本不等式【2014年高考会这样考】考查基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b >0)的简单应用，主要是不等式比较大小、求最值、求取值范围等．对应学生102考点梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.[来源: ] (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．基本不等式的变形(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时取等号； a ＋1a ≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24.(简记：和定积最大) 【助学·微博】(1)创设运用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式，其目的在于使等号能够成立．(2)既要记住基本不等式的原始形式，而且还要掌握它的变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)．两点提醒(1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．考点自测1．(2013·株洲联考)“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 a >0且b >0⇒a ＋b 2≥ab ，但a ＋b2≥ab ⇒/ a >0且b >0，只能推出a ≥0且b ≥0. 答案 A2．已知a ，b ∈(0,1)，且a ≠b ，下列各式中最大的是( )． A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b解析 由a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab ，排除B ，C.再取a ＝12，b ＝14得：a 2＋b 2＝516，a ＋b ＝12＋14＝34>516.3．若lg x＋lg y＝2，则1x＋1y的最小值是()．A.120 B.15 C.12D．2解析∵lg x＋lg y＝lg xy＝2，∴xy＝100，∴1x＋1y≥21xy＝15.答案 B4．(2012·福建)下列不等式一定成立的是()．A．lg(x2＋14)＞lg x(x＞0)B．sin x＋1sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1＞1(x∈R)解析取x＝12，则lg⎝⎛⎭⎪⎫x2＋14＝lg x，故排除A；取x＝32π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则1x2＋1＝1，故排除D.应选C. 答案 C5．(2013·合肥模拟)若x>－3，则x＋4x＋3的最小值为________．解析∵x>－3，∴x＋3>0，∴x＋4x＋3＝(x＋3)＋4x＋3－3≥2 (x＋3)·4x＋3－3＝1.当且仅当x＝－1时取等号．答案 1对应学生103考向一利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________． (2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. [审题视点] (1)直接利用基本不等式求解； (2)先变形再利用基本不等式． 解析 (1)因为1＝x 3＋y4≥2x 3·y 4＝2xy12＝xy3，所以xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时取等号，故xy 的最大值为3. (2)当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 (1)3 (2)3(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解． 【训练1】 (1)(2013·福州模拟)已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( )． A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－4(2)已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．解析 (1)∵x <0，∴－x >0， ∴x ＋1x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2(－x )·1(－x )－2＝－4，当且仅当－x ＝－1x ，即x ＝－1时等号成立． (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b [来源: ] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 答案 (1)C (2)9考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . [审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到． 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·abc ＝2b ； ca b ＋ab c ≥2ca b ·abc ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号．利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考向三 基本不等式的实际应用【例3】►(2012·江苏)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[审题视点] (1)令y ＝0，解得x ＝20k1＋k 2，通过变形利用基本不等式确定其最大值；(2)通过二次不等式的求解来确定对应的横坐标的取值范围．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标．(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【训练3】 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解 (1)由题意有1＝4－k 1，得k ＝3，故x ＝4－32t ＋1.∴y ＝1.5×6＋12xx ×x －(6＋12x )－t＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)．(2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12. 由基本不等式9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥29t ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＝6，当且仅当9t＋1 2＝t＋12，即t＝2.5时等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫t＋12≤27.5－6＝21.5.当且仅当9t＋12＝t＋12时，等号成立，即t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2013年的年促销费用投入 2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．对应学生104热点突破16——巧用基本不等式求最值问题【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对利用基本不等式求最值的考查，题型多以选择题、填空题的形式出现，且常与函数、指数、对数等知识结合在一起考查，有时也出现在解答题中，如在数列、解析几何中求最值也常用到基本不等式．【真题探究】►(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()．A.245 B.285C．5 D．6[教你审题] 第1步把已知条件变形，构造出常数；第2步利用常数的代换与所求式子相乘；第3步利用基本不等式求最值．[解法] 由x＋3y＝5xy可得15y＋35x＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)⎝⎛⎭⎪⎫15y＋35x＝95＋45＋3x5y＋12y5x≥135＋125＝5(当且仅当3x5y＝12y5x 时，即当x＝2y时等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.[答案] C[反思] 利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．在利用基本不等式求解最值时，要尽量避免多次利用其求最值，否则就必须检验各个等号成立的条件是否一致．【试一试】 函数f (x )＝xx 2＋2 013x ＋4(x >0)的最大值为________．解析 f (x )＝x x 2＋2 013x ＋4＝1x ＋4x＋2 013因为x >0，由基本不等式，可得x ＋4x ≥4(当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立)．故x ＋4x ＋2 013≥2 017， 所以函数f (x )的最大值为12 017. 答案 12 017对应学生289A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·宁波模拟)若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为 ( )． A.12B ．1C ．2D ．4解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.当且仅当a ＝1，b ＝12时等号成立． 答案 A2．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )．A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析 ∵x >1，∴x －1>0， ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时取等号． 答案 A3．(2012·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )．A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2解析 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2aba ＋b<2ab2ab ＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a .答案 A4．(2013·杭州模拟)设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是( )．A ．2B ．4C ．2 5D ．5解析 2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2＝2a 2＋a －b ＋bab (a －b )－10ac ＋25c 2＝2a 2＋1b (a －b )－10ac ＋25c 2≥2a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22－10ac ＋25c 2(b ＝a －b 时取“＝”)＝2a2＋4a 2－10ac ＋25c2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝2，b ＝22，c ＝25时取“＝”，故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)[来源: ]5．(2011·浙江)设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 解析 依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105.当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值2105. 答案21056．(2013·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案 5 8 三、解答题(共25分)7．(12分)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解 ∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8，∴xy ≥64. 故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋8＝18.[来源: ] 故x ＋y 的最小值为18.8．(13分)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立． 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 D2．(2012·湖南)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba 的最小值为( )．A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434解析 如图，作出y ＝|log 2x |的图象，由图可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x D x C －x A，根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m .同理可得x C ＝2－82m ＋1，x B ＝2m，x D ＝282m ＋1，所以b a ＝2m －282m ＋12－82m ＋1－2－m ＝2m －282m ＋11282m ＋1－12m ＝2m －282m ＋12m－282m ＋12m ·282m ＋1＝282m ＋1＋m ，由于82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32时等号成立，故b a 的最小值为272＝8 2. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 解析 由a ，b ∈R ＋，由基本不等式得a ＋b ≥2ab ， 则ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0⇔(ab －3)(ab ＋1)≥0⇒ab ≥3， ∴ab ≥9. 答案 [9，＋∞)4．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________。
高考数学一轮复习 第七篇 不等式第4讲 基本不等式课件 理
两个变形
(1)a2＋2 b2≥a＋2 b2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；
(2)
a2＋b2 2
≥
a＋b 2
≥
ab
≥
2 1＋1
(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等
ab
号)．
这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．
考向一 利用基本不等式求最值
【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则
第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式
基础梳理
1．基本不等式： ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)；
(2)ba＋ab≥2(a，b 同号)； (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)； (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)．
记：积定和最小)
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是p42.(简记：
和定积最大)
一个技巧
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2
＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋2 b2；a＋2 b≥ ab(a，b＞0)逆用就是ab≤a＋2 b 2(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条 件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有 的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不 等式时等号成立的条件相矛盾. 【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次 时应保证两次等号成立的条件同时相等.
高三数学基本不等式知识点分析人教新课标A版
基本不等式目标认知学习目标：1、了解基本不等式的证明和几何解释，在熟练掌握基本不等式的基础上，会用基本不等式解决简单的最值问题，会用基本不等式证明不等式.2、通过实例探索抽象基本不等式，应用基本不等式建立数学模型. 培养分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识。
重点：弄清基本不等式的结构特征，熟悉利用基本不等式求最值和证明不等式难点：创设应用基本不等式求最值的环境及在应用问题中能够准确把应用问题转化为利用基本不等式求最值的数学问题。
知识要点梳理知识点一：基本不等式１、如果那么当且仅当a=b时取“=”号）.２、如果那么（当且仅当a=b时取“=”号）.３、如果那么（当且仅当a=b时取“=”号）.４、如果，那么（当且仅当时取“=”号）５、如果，那么（当且仅当时取“=”号）6、若a1,a2,……,a n∈R+,则（当且仅当a1=a2=……=a n 时取=号）。
知识点二：基本不等式的应用1、基本不等式的功能在于“和积互化”。
（1）、若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；（2）、若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。
2、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：（1）、各项都是正数；（2）、和（或积）为定值；（3）、各项能取得相等的值。
3、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：（1）、先理解题意，设变量，设变量时一般把要求把最大值或最小值的变量定为函数，（2）、建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.（3）、在定义域内，求出函数的最大或最小值（4）、写出正确答案.规律方法指导1．不等式的应用主要围绕着以下几个方面进行：会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题；利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值。
2. 二元基本不等式有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点。
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§7.4基本不等式:≤(a,b>0)
考纲解读
分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.
五年高考
考点利用基本不等式求最值
1.(2015陕西,9,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()
A.q=r<p
B.q=r>p
C.p=r<q
D.p=r>q
答案C
2.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.
答案4
3.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.
答案30
4.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是.
答案8
教师用书专用(5—8)
5.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为()
A.0
B.
C.2
D.
答案C
6.(2014上海,5,4分)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.
答案2
7.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为
辆/小时;
(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.
答案(1)1900(2)100
8.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a=时,+取得最小值.
答案-2
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点利用基本不等式求最值
1.(2018湖北稳派教育第二次联考,4)若x>0,y>0,则“x+2y=2”的一个充分不必要条件是()
A.x=y
B.x=2y
C.x=2,且y=1
D.x=y,或y=1
答案C
2.(2017河北武邑第三次调研,2)若不等式x2+2x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是()
A.(-2,0)
B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(-4,2)
D.(-∞,-4)∪(2,+∞)
答案C
3.(人教A必5,三,3-4,1,变式)下列结论正确的是()
A.当x>0且x≠1时,lg x+≥2
B.当x∈时,sin x+的最小值为4
C.当x>0时,+≥2
D.当0<x≤2时,x-无最大值
答案C
4.(2016福建“四地六校”第三次联考,3)已知函数f(x)=x++2的值域为(-∞,0]∪[4,+∞),则a的值为()
A. B. C.1 D.2
答案C
5.(2018北京朝阳期中,10)已知x>1,且x-y=1,则x+的最小值是.
答案3
6.(2018浙江台州中学第三次统练,14)已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,则m的最大值为.
答案16
7.(2017河南部分重点中学第一次联考,15)函数y=log a(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则+的最小值为.
答案3+2
B组2016—2018年模拟·提升题组
(满分:30分时间:20分钟)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018河南高三12月联考,8)已知x>0,y>0,z>0,且+=1,则x+y+z的最小值为()
A.8
B.9
C.12
D.16
答案B
2.(2017江西上高二中、丰城中学模拟)若正实数x,y满足(2xy-1)2=(5y+2)·(y-2),则x+的最大值为()
A.-1+
B.-1+
C.1+
D.-1-
答案A
3.(2017河北武邑第三次调研,7)a n=(2x+1)dx,数列的前n项和为S n,数列{b n}的通项公式为b n=n-8,则b n S n的最小值为()
A.-3
B.-4
C.3
D.4
答案B
4.(2017河北衡水中学第三次调研,9)已知a>b,二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,又∃x0∈R,a+2x0+b=0成立,则的最小值为()
A.1
B.
C.2
D.2
答案D
5.(2016黑龙江哈师大附中模拟,3)函数y=+的最大值为()
A. B. C.2 D.2
答案D
二、填空题(共5分)
6.(2018山东烟台实验中学第三次诊断,15)已知函数f(x)=sinπx(0<x<1),若a≠b,且f(a)=f(b),则+的最小值为. 答案9
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法1利用基本不等式求最值问题
1.(2017广东深圳三校联考一模,9)已知f(x)=(x∈N*),则f(x)在定义域上的最小值为()
A. B. C. D.2
答案B
2.(2017河北“五个一名校联盟”二模,13)已知正实数x,y满足2x+y=2,则+的最小值为.
答案
方法2基本不等式的实际应用
3.(2017安徽六安中学月考,14)某种汽车购车时的费用为10万元,每年保险、养路费、汽油费共1.5万元,如果汽车的维修费第1年0.1万元,从第2年起,每年比上一年多0.2万元,这种汽车最多使用年报废最合算(即平均每年费用最少).
答案10
4.(2016湖北荆州一模,20)某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机,以每年22万元的价格出租给工程队.基建公司负责挖掘机的维护,第一年维护费为2万元,随着机器磨损,以后每年的维护费比上一年多2万元,同时该机器第x(x∈N*,x≤16)年末可以以(80-5x)万元的价格出售.
(1)写出基建公司到第x年年末所得总利润y(万元)关于x的函数解析式,并求其最大值;
(2)为使经济效益最大化,即年平均利润最大,基建公司应在第几年年末出售挖掘机?说明理由.
解析(1)y=22x+(80-5x)-100-(2+4+…+2x)=-20+17x-x(2+2x)=-x2+16x-20=-(x-8)2+44(0<x≤16,x∈N*),
由二次函数的性质可得,当x=8时,y max=44,
即总利润的最大值为44万元.
(2)年平均利润为万元,则=16-,设f(x)=16-,0<x≤16,x∈N*.
x+≥2=4,当且仅当x=2时,取得等号.
由于x为整数,且4<2<5,f(4)=16-(4+5)=7,f(5)=7,
则x=4或5时,f(x)取得最大值.
故为使年平均利润最大,基建公司应在第4或5年年末出售挖掘机.。