003分子运动论2

四、三种速率
⎛ m0 ⎞ f (v ) = 4π ⎜ ⎟ ve ⎝ 2πkT ⎠
2
3
m0v 2 − 2 2 kT
f (v)
1) 最概然速率 (最可几速率)
q (v) = ∫ q (v) f (v)dv
0
∞
vp =
∞
2kT = m0
df (v ) =0 dv
2 RT RT ≈ 1.41 M mol M mol
av 0 + av 0 = 1 ∴ a =
2 v0
2v 0
v
① ②
表氧的分布函数的曲线为:
v
o
（1) 曲线 ① （2) 曲线 ②
[例5-13] 图示的曲线分别表示了氢气和氦气在同一温 度下的麦克斯韦分子速率的分布情况。由图可知，氢 f(v) 气分子的最可几速率为（ B） (A) 1000m/s (B) 1414m/s (C) 1732m/s (D) 2000m/s
混合前的总内能为：
混合后，气体的温度变为T，总内能为： ⎛ 3 5T1 ⎞ 3 5 E = ν 1 RT + ν 2 RT = ⎜ + ⎟ν 1 RT 2 2 ⎝ 2 2T2 ⎠ 由于混合前后总内能相等，即E0=E，所以有 8T1 8 3 5T1 = 284 K ν 1 RT1 = ( + )ν 1 RT ⇒ T = 3 + 5T1 / T2 2 2 2T2
§5-4 能量均分定理 理想气体的内能 一、自由度 — 确定一物体的空间方位所需的独立坐标数 1、质点的自由度 3个
火车：被限制在 一曲线上运动 自由度为1
轮船：被限制在 一曲面上运动 z 自由度为2 (经度、纬度)
飞机：自由度为3 (经度、纬度、高度)
γ
β α y
2、刚性细杆的自由度
5个 x
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
质心 3个 平动自由度 转动 2个 转动自由度
o
非刚性细杆 刚性细杆自由度加一个振动自由度 6个 3. 不规则刚体的自由度 6个 z o x 平动t 转动r 总自由度i 单原子分子 刚性双原子分子 刚性多原子分子 3 3 3 0 2 3 3 5 6
质心 3个 平动自由度 转动 3个 转动自由度 4. 刚性分子的自由度
y
※刚性CO2分子自由度为 5
二、能量按自由度均分定理 3 1 2 1. 推导：分子平动动能 ε k = 2 m0 v = 2 kT 1 3 2 2 2 即： m 0 (v x + v y + v z ) = kT 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 m 0 v x = m 0 v y = m 0 v z = kT ∵vx = vy = vz 2 2 2 2 1 kT 各平动自由度具有相等的平均平动动能 2 2. 能量按自由度均分原理 温度为T 的平衡态下， 1 气体分子每个自由度的平均动能都为 2 kT
o
v (m/s)
1000
[例5-14] 处于平衡态的理想气体，其分子的速率分布 Δ 曲线如图所示。设 v p 表示最概然速率， N p / N 表示分布 在 v p → v p + Δv 之间的分子数占总分子数的百分率， 当温度降低时，则（ C ） f(v) Δ （A） p 减小， N p / N 也减小 v Δ （B）v p 增大， N p / N 也增大 Δ （C） p 减小， N p / N 增大 v v (m/s) o v p v p + Δv Δ （D） p 增大， N p / N 减小 v
1 i i i N 2 mu 2 Nmu = ν RΔT = RΔT = NkΔT ΔT = 2 2 NA 2 5k 2
§5-5 麦克斯韦速率分布律
概率
补充：
概率 概率
统计平均值 统计平均值
分布函数 分布函数
在所有可能发生的事件中，某种事件发生 的可能性的大小。 概率定义式 在很多次的试验中
某事件X 出现的概率 事件X出现的次数 试验总次数 若可能事件有 种 试验总次数
3 3 ε k = kT = × 1.38 × 10 − 23 × 273.15 = 5.65 × 10 − 21 ( J ) 2 2
[例5-5] 三个容器内分别储有1mol氦气， 1mol氢气和 1mol氨气。将它们均视为刚性分子的理想气体。若它们 的温度都升高1K，则三种气体的内能的增加值分别是多 i i 少？ Δ E = RΔ T E 解： mol = RT 2 2 3 H e : i = 3 ΔE = RΔT = 12.5( J ) 2 5 H 2 : i = 5 ΔE = RΔT = 20.8( J ) 2
f (υ )
T1
T2
vp =
T3
2 RT = M mol

2kT m0
o υ p υp υ p 1 ∴ m1 > m 2 2) T 相同的两种气体 υ p ∝ f (υ) m1 m0 m2 同一温度下，气体分子质 量越小，速率大的分子数越 多；分子按速率分布越均匀。
1
2
∴ T3 > T2 > T1 对同一气体，温度越 高，速率大的分子数越多； 分子按速率分布越均匀。 υ
υp
2) 平均速率
υ
υ2
v
8 RT 8kT RT = ≈ 1.60 v = ∫ vf (v)dv = πm πM mol M mol 0 0 3) 方均根速率
v 2 = ∫0 v f (v )dv
2
∞
3kT = m0
v
2
=
v p< v < v 2
3kT = m0
3 RT ≈ 1.73 RT M mol M mol
0
2
v2
v1
∫
f (υ ) dυ =
v2
v1
∫
dN N
v1
v dv
v2
v
速率在v1—v2区间内的分子数占总分子数的百分比 (3) 曲线下的总面积 ∞
∫ f (υ ) dυ
0
∞
=
∫
0
∞
dN N
=1
∫
0
f ( v )dv = 1
归一化条件
三、物理量的平均值
1) Nf (v )dv = dN 速率v附近dv速率区间内的分子数
1) M mol 相同， v p ∝ T
3
0
υp υp
1
2
υ
3) 不要问速率刚好等于某一值的分子数多少，没有意义。
五、分子速率的实验测定 自己看书 [例5-9] 已知f(v), 求v>vp范围内分子的平均速率表达式。 解：υ
=
=
大于v p的分子速率和 大于v p的分子个数 ∞ ∞ ∫ υ dNυ N ∫ υf (υ )dυ
v2
1
∫ 5)
v2
v1
q ( v ) Nf ( v )dv
v2 v1
∫
∫ =
Nf ( v )dv
∞
6） q (v ) = ∫0 q(v ) f (v )dv 物理量(q量)的平均值
q(v ) f (v )dv 速率在v —v 范围内 v1 1 2 v2 的分子的q量平均值 f (v )dv ∫
v1
v2
6 NH 3 : i = 6 ΔE = RΔT = 24.9( J ) 2
[例5-6] 一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装 有氦气，温度为250K；另一半装有氧气，温度为310K。 二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。 解：混合前，对He气：PV1 = ν 1 RT1 对O2气：P2V2 = ν 2 RT2 1 ν 由于 PV1 = P2V2 所以有： 1T1 = ν 2T2 1
说明 1) 内能是气体状态的单值函数 理想气体： E = E(T)
2) 在实际上当T =0时, E≠0 量子力学可以证明， 仍有零点能存在 3) 内能与机械能的区别： 机械能是一种宏观能，取决于物体的宏观运动状态; 内能是一种微观能，取决于物体的微观运动状态
[例5-4]求 0oC时氧分子和氦分子的平均平动动能. 解:此时二者平均平动能是相同的. t = T − 273.15
归一化条件
各种可能事件的概率之和等于1。 称为概率的归一化条件。
的统计平均值
p( x ) 分布函数
一、麦克斯韦速率分布律 随机的, 理想气体处于 单个分子速率不可预知， 平衡状态时，其大量分子的速率分布是确定的。 遵循统计规律 ——满足麦克斯韦速率分布律 1. 速率分布的描述: 1) 将速率空间分为无数等间隔速率区间 υ → υ + dυ 2) 其中速率υ附近dυ 速率空间内的分子数为 dNυ 3) 则 dNυ / N 是速率υ附近dυ速率区间内的分子个数 占总分子个数的百分比， 应与υ和dυ的大小有关。 dN υ 4) 取 = f (υ )dυ f (υ ) ：速率分布函数
3 5 8 E0 = E1 + E 2 = ν 1 RT1 + ν 2 RT2 = ν 1 RT1 2 2 2
[例5-7] 在标准状态下体积比为1:2的氧气和氦气 （均视为刚性分子理想气体）相混合，混合气体中氧 气和氦气的内能之比为（B ） (D) 10 : 3 (B) 5 : 6 (C) 5 : 3 (A) 1 : 2 1 P1V1 = ν 1 RT1 ν :ν = 1 : 2 P1 = P2 T1 = T2 V1 = V2 1 2 2 P2V2 = ν 2 RT2 i1 i2 5 ν 2 RT2 = 5ν 1 3ν 2 = E1 : E 2 = ν 1 RT1 2 2 6 [例5-8] 一容器中的气体包含N个氢分子, 每个分子的 质量为m, 容器以速率u 运动, 容器突然停止, 问:气体 的温度升高多少? 容器突然停止, 气体整体定向运动的动能转化 解: 为 气体热运动的内能, 即: