线性代数第三章布置的作业详细做题步骤
线性代数课本第三章习题详细答案
9. 证明：1 2 ,2 3,3 1 线性无关的充分必要条件是1,2 ,3 线性无关.
1 0 1 证：方法 1，（1 2 ,2 3,3 1 ）=（1,2 ,3 ） 1 1 0
(k1 k3 )1 (k1 k2 ) 2 (k2 k3 ) 3 0
因为1,2 ,3 线性无关，所以
kk11
k3 k2
0 0
，可解得 k1
k2
k3
0 ，所以1
2 , 2
3 ,3
1 线性无关.
k2 k3 0
必要性，（方法 1）设1 2 ,2 3,3 1 线性无关，证明1,2 ,3 线性无关，
所以
5 4
1
1 4
2
1 4
3
1 44Βιβλιοθήκη .设存在 k1, k2 , k3 , k4 使得 k11 k2 2 k3 3 k4 4 ，整理得
k1 2k2 k3 0 ， k1 k2 k3 k4 0 ，
3k2 k4 0 ， k1 k2 k4 1 .
解得 k1 1, k2 0, k3 1, k4 0. 所以 1 3 .
0 1 1 101 因为 1,2,3 线性无关，且 1 1 0 2 0 ，可得 1 2,2 3,3 1的秩为 3 011 所以1 2 ,2 3,3 1 线性无关.线性无关；反之也成立.
方法 2，充分性，设1,2 ,3 线性无关，证明1 2 ,2 3,3 1 线性无关.
设存在 k1, k2 , k3 使得 k1 (1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0 ，整理得，
线性代数课后习题解答第三章习题解答
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。
线性代数第三章习题及解答
解：取 α1 = (1, 0, 0)T , α2 = (0, 1, 0)T , β1 = (−1, 0, 0)T , β2 =
(0, −1, 0) α1 + α2 + β1 + β2 = 0, 但 α1 , α2 线性无关， 且 β1 , β2 也线性无关 (3) 若只有当 λ1 , . . . , λm 全为 0 时，等式 λ1 α1 + · · · + λm αm + λ1 β1 +· · ·+λm βm = 0 才能成立， 则 α1 , α2 , . . . , αm 线性无关， β1 , β2 , . . . , βm
证明：因为 n = R(e1 , . . . , en ) ≤ R(α1 , . . . , αn ) ≤ n 于是 R(α1 , . . . , αn ) = n， 则 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关
7. 设向量组 α1 , α2 , . . . , αm 线性相关，且 α1 ̸= 0, 证明：存在某
2
(0, 0, 0)T , β3 = (−1, −1, 1)T 5. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关
组， 并把其余列向量用最大线性无关组线性表示 . 25 31 17 43 75 94 53 132 (1) 75 94 54 134 25 32 20 48 25 31 17 43 25 31 17 75 94 53 132 0 1 2 解： 75 94 54 134 −→ 1 3 0 25 32 20 48 0 1 3 α1 α2 α3 α4 25 31 17 43 1 0 0 8 5 0 1 2 3 0 1 0 −1 −→ 0 0 1 2 −→ 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3
线性代数第三章习题课
特征值与特征向量相关题目解析
题目一
求给定矩阵的特征值和特征向量。
题目二
判断给定的数是否为矩阵的特征值，并说明 理由。
题目三
证明两个矩阵相似或不相似。
矩阵对角化相关题目解析
证明两个矩阵可对角化或不可对 角化。
求可对角化矩阵的对角化形式。
判断给定的矩阵是否可对角化， 并说明理由。
题目一
题目二
题目三
04
学生自主练习与互动环节
分组讨论，分享解题思路和方法
学生按照小组进行讨论，交流 各自在解题过程中的思路和方 法。
每个小组选派一名代表，向全 班分享本组的解题思路和方法 ，促进全班学生之间的交流和 学习。
老师鼓励学生们提出不同的解 题思路和方法，引导学生们从 多个角度思考问题。
针对疑难问题，老师进行指导和解答
01
要求
02
学生应该按时完成老师布置的作业和习题，认真对待每一道题目，做 到独立思考、仔细分析、认真解答。
03
学生应该积极参加课堂讨论和提问环节，勇于表达自己的观点和想法， 与老师和同学进行深入的交流和探讨。
04
学生应该注重学习方法和效率的提高，合理安排学习时间，做到有计 划、有目标地进行复习和预习。
总结本次习题课成果和不足
• 学生之间的合作和交流得到了加强，有利于培养学生的团队合作精神。
总结本次习题课成果和不足
01
不足
02
部分学生对某些知识点的掌握还不够扎实， 需要进一步加强复习和练习。
03
部分学生在解题过程中缺乏思路和方法，需 要老师给予更多的指导和帮助。
04
部分学生的计算能力和速度还有待提高，需 要加强计算训练。
培养独立思考和自主学习的能力，为将来的学习和工 作打下坚实的基础。
线性代数课后习题详细解答 (袁晖坪版)第三章 线性方程组
1 2 3 1⎞ 1 1 −4 1 ⎟ ⎟ 得 r ( A) ≠ r ( A) ，因此原方程组 0 −6 −3 10 ⎟ ⎟ 0 0 0 3⎠
无解。 ⎛ 1 −2 3 −4 4 ⎞ ⎜ 0 1 −1 1 −3 ⎟ ⎟ (3) 由方程组的增广矩阵 A = ( A, β ) = ⎜ ⎜1 3 0 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 −7 3 1 −3 ⎠
r3 − 2 r2 r2 ↔ r3 r3 + 3r2
1 r3 ×( − ) 6 r2 + 3 r3 r1 − r3
r1 − r2
r2 − 2 r1 r3 − 2 r1
4 ⎧ x1 = − x4 , 4 ⎧ ⎪ 3 ⎪ x1 + 3 x4 = 0, ⎪ ⎪ ⎪ x = − x4 , 得 ⎨ x2 + x4 = 0, ，所以 ⎨ 2 ( x4为自由未知量) ，令 x4 =k ，得原方程组 2 ⎪ ⎪ x = −2 − x4 2 ⎪ x3 + x4 = −2; ⎪ 3 3 3 ⎩ ⎪x = x ⎩ 4 4 4 ⎧ ⎪ x1 = − 3 k , ⎪ ⎪ x = −k , 得通解为： ⎨ 2 (k ∈ R) 2 ⎪ x = −2 − k ⎪ 3 3 ⎪x = k ⎩ 4
11 1 ⎧ ⎪ x1 = 5 + k1 + 5 k 2 , ⎪ ⎪ x2 = k1 , 得原方程组得通解为： ⎨ (k1 , k2 ∈ R) ⎪x = 2 + 2 k ⎪ 3 5 5 2 ⎪x = k ⎩ 4 2 (5) 由方程组的增广矩阵： 1 1 1 1 0⎞ 2 −5 r 1 ⎛1 ⎛1 1 1 1 1 0⎞ r ⎜ ⎟ r3 − r2 ⎜ ⎟ A = ( A, β ) = ⎜ 3 2 1 1 −3 0 ⎟ → ⎜ 0 −1 −2 −2 −6 0 ⎟ ⎜ 5 4 −3 3 −1 0 ⎟ ⎜ 0 0 −6 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
线性代数 课后习题详解 第三章
第三章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+.解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T )01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T --+=T )4,3,2,1(=3．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示. (2)若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. (3)若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.(4)若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a 032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ ) m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关 取021====m a a a 取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.(4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2= ⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.4．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组 4321,,,b b b b 线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得 044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k , 411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组 r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关. 证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= 故方程组只有零解则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---140113130********211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53105310321043173125 2334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1401131302151201221114132~r r rr --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组．7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta . 解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~ 秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,. 8．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能 由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关. 证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关不妨设:nnn n n n nn nn a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121 两边取行列式，得 T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121=由002121≠⇒≠TnTTT n T T a a a e e e即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21 线性无关.9．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量 T n k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都 可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即 nnn n n n nn nn k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121 两边取行列式，得T nT T nnn n n n Tn TTk k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nn n n n n TnTTk k k k k k k k k a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T TT n T T T n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεε 212112121 即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由8题知n a a a ,,,21 线性无关.10．设向量组A :s a a a ,,,21 的秩为1r ,向量组B :t b b b ,,,21 的秩2r 向量组C : r s b b b a a a ,,,,,,,2121 的秩3r ,证明 21321},max{r r r r r +≤≤证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,,含有的向量个数 (秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价,易知B A ,均可由C 线性表示,则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤设A '与B '中的向量共同构成向量组D ,则B A ,均可由D 线性表示,即C 可由D 线性表示,从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D ), D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.11.证明()()()B R A R B A R +≤+.证明:设T n a a a A ),,,(21 = T n b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为T r T T ααα,,,21 Ts T T βββ,,,21 显然,存在矩阵B A '',,使得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T A a a a ααα 2121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T B b b b βββ 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+∴T n T n T T T T b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββααα 2121 因此 ()()()B R A R B A R +≤+12．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11 =，其中K 为r s ⨯矩阵，且A 组线性无关。
线性代数 第3章 主要学习内容
求解线性方程组 首先要判断线性 方程组是否有解
若无解则结束
若有解则利用高斯消 元法化简方程组并求 得全体未知数的取值
实际上，高斯消元法通过对线性方程 组进行行变换，将其转化为三角形方 程组，然后再通过回代法求解出未知 数的值，由以下例题加以说明。
3.1 高斯消元法求解线性方程组
例1.《九章算术》第八章中介绍“方程术”的案例为：
方程组（3-11）的解为：
3.3 高斯消元法求逆矩阵
思考：可逆矩阵的乘积矩阵是否可逆？
3.3 高斯消元法求逆矩阵
解：由题意 根据例8的结果知
3.3 高斯消元法求逆矩阵
3.3 高斯消元法求逆矩阵
3.3 高斯消元法求逆矩阵
回顾与小结
1.逆矩阵的定义； 2.用逆矩阵的定义求方阵的逆矩阵； 3.用高斯消元法求方阵的逆矩阵。
“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何?”
将其翻译过来就是：现有上等谷子3捆，中等谷子2捆，下等谷子1捆，果实共计39斗； 上等谷子2捆，中等谷子3捆，下等谷子1捆，果实共计34斗；上等谷子1捆，中等谷子2捆， 下等谷子3捆，果实共计26斗，问上等、中等、下等谷子1捆分别是几斗？
3.1 高斯消元法求解线性方程组
解：利用高斯消元法从上往下消元依次为：
求解线性方程组首先要 判断线性方程组是否有 解，若无解则结束；若 有解，则利用高斯消元 法化简方程组并求得全 体未知数的取值
3.1 高斯消元法求解线性方程组
例3 求解线性方程组
3.1 高斯消元法求解线性方程组
解：利用高斯消元法从上往下消元依次为：
线性代数第3章习题解答
Cauchy 中值定理
F(x)x
洛必达法则
型
f g1g1 f 1g1 f
0型 0 型
00,1,0型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
Lagrange f(a)f(b)
中值定理
Rolle 定理
n0
Taylor 中值定理
泰勒公式
导数的应用
,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
几何解释： 曲线 y = f (x) 至少有一条切线平行于
连接曲线端点的弦。
.
线性代数第3章习题解答
柯西中值定理：
若 f(x若 )和 F 1f((x x)):: (1)在 闭 区[a间 ,b]上 连 续 ；
(2在 ) 开区 (a,间 b)内可导；
(F 3 (x ) 0 x ( a ,b ).
.
则 至 少 存在 (一 a,b)， 点使 得
定 理2 如 果 f(x)在 (x0,x0)内 存 在 二 阶 导 数,则点x0,f(x0)是拐点的必要条件是
f"(x0)0.
线性代数第3章习题解答
方法1: 设函f数 (x)在x0的邻域内二, 阶可导 且f(x0)0, (1 )x 0 两f近 (x )变 ,点 旁 (x 号 0 ,f(x 0 )即 ) 为 ; (2 )x 0 两f( 近 x ) 不 旁 ,点 变 (x 0 ,f(x 0 ) 号 不 ) .是
线性代数第3章习题解答
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
定理(必要条件) 设 f(x )在 点 x 0 处 具 有 导 数 ,且 在 x 0 处 取 得 极 值 ,那 末 必 定 f'(x 0 ) 0 .
线性代数刘大瑾主编化学工业出版社第三章课后习题详细答案解析
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：10 2 12 3 1(1); (2);2 03 1 0 34 3 3434711 1 3 4 323 1 3 7(3) 32 3 2 5 3 4 2 1 0 ; (4) 13 2 2 08 2 3 4 0. 33 421237 43121r ( 22) r1211解 (1)2 30 0 3 413 r 3~( 3)r10 0 0 0 1 2 3 0r2( 1)rr1 02 1321 0 21r3~( 2) 0 0 0 0 1 1 03 ~ 0 0 0 0 1 033r33123 3 021rr121~~0 0 1 3 0 0 1 0 00 0 1 01r 1 ( 2)r1 0 02r1~0 1 0 r 30 01231r 2 ( 32) r 0 2 311(2)0 0 3 44 73 1r 3~(2 )r10 0 0 0 1 313r 3r2r2 2 0 1011 0 5r 1~ 3r20 0 0 01 03 0 ~ 0 0 0 0 1 0 3 0(3)13213235344231r2r33r1~2r1113434863863 3 42 1r43r10 0 5 10 10rr23(~(43))11311422322r1 3r2~r3r21112232r4( 5)0122r4r20 0 0 0 0(4)2133221832374r1r32~3r2r211281812914122 3 74 3r42 r20 7 7 8 11rr232~8r1r1111211124r1r2~(r21)112111214r 74r114r4r30 0 0 0 0r2~r3112112340 0 0 0 02．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0 的r 1 阶子式?有没有等于0 的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的r 1 阶子式,也可能存在等于0 的r 阶子式.1 0 0 00 1 0 0例如，0 0 1 00 0 0 00 0 0 0R 同时存在等于0 的3 阶子式和 2 阶子式. ( ) 33．从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B ,问A, B的秩的关系怎样?解R(A)R(B )设R (B)r ，且B 的某个r 阶子式 D r 0 .矩阵B 是由矩阵 A 划去一行得到的，所以在 A 中能找到与D 故而R ( A)R ( B ) . r相同的r阶子式D r，由于D r D 0 ，r4．求作一个秩是 4 的方阵,它的两个行向量是(1,0,1,0 ,0 ),(1, 1,0 ,0 ,0 )解设1, , , , 为五维向量,且 1 (1,0 ,1, 0, 0),2 3 4 5122 ,则所求方阵可为 A , 秩为4,不妨设(1, 1,0 ,0 ,0 )3453 ( 0,0,0, x,04) ( 0,0,0 ,0 , x )4 5 取 1 x4 x5(0,0,0,0,0) 51 0 1 0 01 1 0 0 0故满足条件的一个方阵为0 0 0 1 00 0 0 0 10 0 0 0 05．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：3 1 0 2 3 2 1 3 1(1) ; (2)；1 12 1 2 13 1 31 3 4 4 7 0 5 1 82 1 83 7(3) 23325785.1 0 32 03 1 0 21 12 1rr12解 (1)1 12 1 ~3 1 0 2 13441344r3 r21 ~ r r3 11 0 0 4 4 12 6 6 1 5 5 rr 3 2 ~ 10 0 1 4 0 2 6 0 150 秩为 23 1 二阶子式 411．3 2 2 1 1 3 3 1 2 3 r 1 2rr 2 ~2 r 11 0 3 7 4 11 4 9 1(2)57 r r70 5 18 021 33 27 153113441r.3r秩为23 0 7 11 9 5 2~3 2 二阶子式721．(3)2 2 31 32 8 0 53 7 87 5 0r1r22 ~2r4r40 0 01 32 2 6 4 13 2 7 51 0 3 2r 3 3 r 4 10 3 2 0r 2r 3 3 r112171614r1r4r3r2r1~1411322171~2 r1秩为 31 0 32 0 0 0 0 0 0r 164r r4 30 7 55 8三阶子式70 05 8 0 53 23 2 0．6．求解下列齐次线性方程组:x1x2x x0234,x2x x x12340,(1) 2x x x x0,1234(2) 3x6x x3x12340,2x12xx2x2340;5x110x2x35x40;2x3x x5x0,3x4x5x7x0, 12341234 3x x2x7x0,2x3x3x2x0, 12341234 (3) (4)4x x3x6x0,4x11x13x16x0, 12341234 x2x4x7x0;7x2x x3x0.12341234解(1) 对系数矩阵实施行变换:1 2 2112211112101~0131即得40013xxx1234343x3x4x44x x44x1x2x3k4343故方程组的解为x 43 1(2) 对系数矩阵实施行变换:x2x x1241 3 52610111135121~即得0010xxx234x2x4x 12 1故方程组的解为x2x3k11k2x41(3) 对系数矩阵实施行变换:x 0 2 3 1 5 1 0 0 013 4 1123760 1 0 0~ 即得0 0 1 0xx231 2 4 7 0 0 0 1 x 04x1故方程组的解为xx230 x 04(4) 对系数矩阵实施行变换:3 4 5 7 1 0317131723311130 0 0 0 7 2 1 321920~0 141617170 0 0 0x 1317x 31317x4即得x 2 1917x 32017x4x3 x3x x4 4x 13171317故方程组的解为x 2x 3x4k119 171 0 1k22017 07．求解下列非齐次线性方程组 :4 x 1 x 1 x 3 11 1 2 x2 x2 x1 32 x 23 x 3 8;2,10 , (2)2 x34 x x x 2 3 y 8 y y y 4 9 z z 2 z z 4 , 5, 136;(1),2 x y z w 1, 2 x y z w 1,(3) (4)4 x 2 y 2 z w 2, 3 x 2 y z 3w4,2 x y z w 1; x 4 y3 z 5 w 2;解(1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有4 2 1 2 1 3 3 8~3 1 2 10 0 10 11 3411 3 0 8 0 0 0 6R 而R(B ) 3 ,故方程组无解．( A) 2(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:2 3 1 4 1 0 2 11 3 28 42513~ 01124 1 9 6 0 0 0 0x 2 z 1 x 2 1即得亦即y z 2 y k 1 2z z z 1 0(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:2 1 1 1 1 2 1 1 1 1~4 2 2 1 2 0 0 0 1 02 1 1 1 1 0 0 0 0 0即得xyzyz12y12z12即xyzk1211k212112w0 0 0w 0(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:1 4 3 52 21 1 1 13 14 2 1 35 3 4 2 ~ 0 0 10 5 7 0 97 0 5 71 0 171767~ 0 1 5797570 0 0 0 0x 17z17w67 x171767即得y 57z97w57即yzk51k7297571 0 0z zw0 1 0w w8．取何值时,非齐次线性方程组x 1 x x 1,2 3x x x ,1 2 32x x x1 2 3(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?1 1解(1) 0,即1, 2 时方程组有唯一解. 111 1(2) R(A)R ( B )21 1 11 1~B 1 1 0 1 1 (1 )21 1 0 0 (1 )(2 ) (1 )(2 1)2由(1 )( 2 ) 0,(1)( 1) 0得 2 时,方程组无解.2 ,(3) R(A)R ( B ) 3 ,由(1 )( 2 ) (1 )( 1) 0得 1 时,方程组有无穷多个解.9．非齐次线性方程组82 x x x 2,1 2 3x 2 x x ,1 2 32x x 2 x1 2 3当取何值时有解？并求出它的解．1 2 1 21 1 2解B 11 21 12 2~ 011(2(31 )(1 )2)方程组有解，须(1 )( 2)0 得1, 2x11 1当 1 时,方程组解为x k 1 02x 1 03x 1 21当 2 时,方程组解为x k 1 22x 1 03( 2) x 2 x 2 x1 2 31,10．设2x( 5) x 4 x1 2 32,2 x 4 x (5 ) x1 2 31,问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．2 2 2 1解 2 5 4 22 4 5 151 2 12 初等行变换~ 00 1 1 1(1 )( 10 ) (12)( 4)2 2(1 ) (10 )当 A 0 ,即02 1且10 时，有唯一解.(1 )( 10 )当02(1)( 4 )且02，即10 时，无解.(1 )( 10 )当0 2(1 )( 4 )且 02 ，即1 时，有无穷多解 .12 2 1 此时，增广矩阵为0 0 0 0 0x122 1 原方程组的解为 x2k11 k0 0 2(k 1 , kR )2x3111．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：3 3 32 1 21 5 3; (2)3 0 1 02 2 2 10 2 3 21 12 1(1) .3 2 1 1 0 0 3 2 1 1 0 0 解 （1）~3 1 5 0 1 0 0 14 1 1 0 323 01211~ 3 0 0 2 1 0 0 0 2 3 2 1 1 0 1 0 1 2 2 1 ~3 0 0 0 1 0 0 0 1 7 2 1 1 2 21 09 2 2127 2 3 1 00 6 3 2~ 01 00 1 1 1 2 1 0 2 1 272 3 故逆矩阵为6 1 3 1 2 21 21 23 2 0 1 1 0 0 0 (2)1 2 2 2 3 12 00 1 00 10 00 1 2 10 0 1 1232 01~0 0 1 4 2 9 1 5 01 00 0 3 10 2 2 10 10 0 1232 01~0 0 1 0 2 1 1 1 01 00 0 3140 0 2 1 0 1 0 2 1232 01~0 0 1 0 2 1 1 1 01 00 0 3140 0 0 1 2 1 6 10 120 01 122~0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1` 1 03 160 1 2 16101 0 01 12 4 ~0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 3 160 0 01 2 1 6 101 12 4 故逆矩阵为0 1 1 10 3 1 6 2161041 2 1312．(1) 设 A,求 X 使 AXB ;2 2 1 , B2 231131(2) 设0 2 11 2 3A ,求X 使XAB .2 13 , B2 3 13 3 4解4 1 2 1 3 1 0 0 10 2初等行变换(1) ~A B 2 2 1 2 2 0 1 0 15 33 1 1 3 1 0 0 1 12 410 21X A B 15 312 40 2 1 1 0 0(2)AB2 13 0 1 0初等列变换3 34 0 0 1~1 23 2 112 3 1 4 7 42 1 1 1X BA ．4 7 4。
线性代数(含全部课后题详细答案)3第三章矩阵习题解答.docx
习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、 ・仇 ・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。
线性代数学习笔记——第三章
线性代数学习笔记——第三章线性代数学习笔记——第三章肝了两个多⼩时，还是肝完了⼀篇笔记，借鉴了很多其他⼤佬的整理。
（不过基本上还是宋浩⽼师的原话），今天的任务算是完成⼀半了，我东某⼈真是可悲！向量的定义n维向量：n个数组成的有序数组。
⾏向量（α1,α2,α3)。
列向量将上述的竖着写。
零向量：分量全部为零。
负向量：取相反数。
向量相等：同维数，元素对应相等。
只有同维向量才能⽐较⼤⼩，以及相加。
kα = 0 ⇔ k = 0 or α = 0 。
矩阵：AB = 0 ⇏ A=0 or B=0。
向量间的线性关系线性关系：零向量可由任意向量组表⽰。
向量组中任⼀向量可由向量组表⽰eg：\alpha1=\alpha1 + 0\alpha2 + 0\alpha3。
任意向量都可由n维单位向量组表⽰。
向量组的等价：①：同维。
②：两个向量组可以相互线性表⽰。
线性组合：β、α1……αn。
若β可以⽤α向量组表⽰出来，那么就叫β是α向量组的线性组合（或者称β可以由α向量组线性表⽰）。
同时在表⽰的过程中系数可以全取零。
反⾝性、对称性、传递性均适⽤。
线性相关：α1、α2……αn是n个m维向量组，若存在⼀组不全为0的k1,k2……k n,使得k1α1 + ……+ k nαn= 0，那么则叫α1……αn是线性相关。
线性⽆关：①：不是线性相关。
②：找不到⼀组不全为0的k1……k n满⾜线性相关的条件。
③：使得k1+k2+……+k n=0的k1，k2……必定全为零。
向量组中两向量成⽐例，向量组必线性相关。
含零向量的向量组必线性相关。
⼀个⾮零向量必⽆关。
⼀个向量α相关\Leftrightarrowα=0 。
部分组线性相关\longrightarrow整体组线性相关。
整体组线性⽆关\longrightarrow部分组线性⽆关。
线性⽆关的向量组，它的接长向量组也线性⽆关。
线性相关的向量组，它的截短向量组也线性相关。
n个n维向量（维数 = 个数）构成的⾏列式D \neq 0,那么线性⽆关，否则相关。
线性代数第三章布置的作业详细做题步骤
线性代数第三章布置的作业详细做题步骤P75:3(3)321422221x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩、用消元法解下列非齐次线性方程组（3）2131113212212-+21-22111142212211112111100010000201111122220001000000111102220001000000r r r r r r r r r r A -⨯-⨯⨯⨯-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）解：行最简型121212112(A)R(A)24111=++()2220=,,(,R)1111++22221==000R x y z y z w y c z c c c x c c y c c z c w ==<∴⎧-⎪⎨⎪=⎩=∈⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣ （未知量的个数）非齐次线性方程组有无穷多个解.由增广矩阵的行最简型可写出原线性方程组的同解方程组和是自由未知量取则原非齐次线性方程组的通解为：212112200++,(,R)1000c c c ⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥∈⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦123123212361x x x x x x x x x λλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩、取何值时，下列非齐次线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其解.（1）1321313222223222321111111110110111110110021r r r r r r r r A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔--⨯+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→---⎢⎥⎢⎥---+-⎣⎦解：（1）式2i (A)R(A)3=3201-2.11-24ii =-2=0-33-6(A)R(A)00031111iii =1=00000000(A)R(A)13R R R λλλλλλ==--≠≠≠⎡⎤⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==< （）当（未知量的个数）时，非齐次线性方程组有唯一解.即时，即当且时，有唯一解（）当时，（1）式，，非齐次线性方程组无解.（）当时，（1）式（2）式行最简型，（未知量的12323=--+1x x x x x 个数），非齐次线性方程组有无穷多解.原非齐次线性方程组的同解方程组为：（，为自由未知量）21321211221121232=,--+1-1-11==1+0+0,(,R)010x c x c c c R x c c x c c c c c x c =∈⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦取（，）原非齐次线性方程组的通解为：12321231231235.1+110=1=1+=1=.111+,,,,,,λααλαβλλλλβαααβαααβααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦设有向量，，，试问当取何值时，（1）可由线性表示，且表达式唯一？（2）可由线性表示，且表达式不唯一？（3）不能由线性表示？132131112233123222+2=k k k (1),,(1)(A)R(A)=31+11011+1111+111+11+11+110111+0--0--2-r r r r r r R A λβαααβαααλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔--⨯++⇔=⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−−−→ （1）解：设式（i ）如可由唯一线性表示，即式对应的非齐次线性方程组有唯一解（未知量的个数）322232+2223--111+0--(2)0-3--2-r r λλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦式2123-3-00-3(A)R(A)=3,,.R λλλλβααα≠≠≠= 分析(2)式可知，当，即当且时，（未知量的个数）可由线性表示，且表达式唯一123=0=0(2)11100000(3)0000(A)R(A)=1<3(1),,=-3=-3(2)11-290-33-12(4)0006(A)R(A)(1)ii A R iii A R λλβαααλλ⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴=⇔⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴≠⇔ （）当时，将代入式式（未知量的个数）式对应的非齐次线性方程组有无穷多解，即可由不唯一线性表示.（）当时，将代入式式式对应的非齐次线性方程组无解，123,,βααα即不能由线性表示.P85:2131231231122331232.11=1==111,,0.(A)3,,1111A 11111111r r a a a a R a a a a a a αααααααααααα↔⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦++=⇔⇔<-⎡⎤⎢⎥=-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦取何值时，下列向量组线性相关：，，，解：设线性相关,则k k k 有非零解齐次线性方程组有无穷多个解（未知量的个数，即向量组中向量的个数）2131322221231111011011011002+2+=0(A)32-1,,.r r r a r r r a a a a a a a a a a a a R a a ααα--⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→+--−−−→+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦∴-<==当时，即当或时，线性相关P109:521312312311223312311-110-45.===20-812,,0.(A)3,,11-110-4A 20-812r r r k R k αααααααααααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦++=⇔⇔<⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦已知向量组，，，线性相关，求k.解：设线性相关,则k k k 有非零解齐次线性方程组有无穷多个解（未知量的个数，即向量组中向量的个数）21324142(1)221231111110130130260000110022=0(A)232,,.r r r r r r r r k k k R k ααα--+----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦∴-=<=当时，即当时，线性相关P89:3(2)12123412343.21381115====.1719110211A ,,,.213811111521A =1719171102111r r αααααααα↔-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.（2），，，解：设向量组:则矩阵2131412232421221(1)()2331511153803121906241021109364131115103303120112330000000000000000r r r r r r r r r r r r r r ----⨯⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦行最简型（1）式01200001212343124122111==17110:,A ,,,.41132==+.3333A A A A A αααααααααααααα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-设向量组为，，R()=2(中包含的向量的个数)故线性无关,向量组是向量组:的一个极大线性无关组由（1）式分析得出，P101:4(2)221313212341234123415224.52311536 1.24261523111523111A 536110284145602421601427280r r r r r r r x x x x x x x x x x x x ----+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩-----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--−−−→--−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 求下列非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.（2）解：21215145231114272800009123721511101111101201272720000000000r r r +-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→--−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦行最简型123412341343423491+0172110++=27291=++17211=272x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--⎪⎩⎧-⎪⎪⎨⎪--⎪⎩原非齐次线性方程组的同解方程组为：（1）式变形为（，为自由未知量）（2）式123434134334423412==0=0091=+1072=1101=72x x x x x x x x x x x x x x x x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎧-⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪-⎪⎩取0，，则原非齐次线性方程组的一个特解为原非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组为：（，为自由未知量）（3）式，取，代入（3）式1212917211==720110.ξξξξ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得，，即，是原非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的一个基础解系P159答案也是对的，只是把基础解系中的向量中的分量都放大了。
线性代数第3章(知识梳理)
本章结构0 m n m n A x b A x ⨯⨯⇓⎧→⎪=⎨→⎪⎩⎧→⎪=⎨→→⎪⎩矩阵表示消元法非齐次向量表示向量与向量组的线性组合线性方程组矩阵表示消元法齐次向量表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组、秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组解的性质、基础解系、全部解 解的性质、全部解 常用方法：1−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−→初等行变换初等行变换初等行变换非零首元上面元素消成零非零首元消成“”相应矩阵阶梯形简化阶梯行最简阶梯 1、矩阵A 化等价标准形A −−−−→初等行变换阶梯形，求出矩阵A 的秩r ，则标准形 r I O D O O ⎛⎫= ⎪⎝⎭2、求矩阵A 的逆()()1A I IA -→3、消元法求线性方程组Ax b =的解增广矩阵()A b →行最简阶梯4、求矩阵A 的秩A →阶梯形5、判断向量β能否由向量组12,,,s ααα线性表示以12,,,,s αααβ为列向量的矩阵→行最简阶梯6、求向量组12,,,s ααα的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示以12,,,s ααα为列向量的矩阵→行最简阶梯7、用基础解系表示(非)齐次线性方程组的全部解增广矩阵()A b →行最简阶梯一、用消元法求解非齐次线性方程组m n A x b ⨯=1、() A b 初等行变换阶梯形矩阵，进而求出()r A 和(,)r A b2、观察()r A 和(,)r A b 的关系：(1) ()(,)r A r A b ≠，方程组无解；(2) ()=(,)r A r A b ，方程组有解： ①、()=(,)r A r A b n =，方程组有唯一解； ②、()=(,)r A r A b n <，方程组有无穷多个解.3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。
实用大众线性代数第三章复习要求及习题
3.6.1 本章要求掌握的概念和计算(1) 二阶三阶方阵行列式的来源和表达式的几何意义。
(2) 高阶行列式的主元连乘法定义及好处，和消元法及LU 分解的关系。
(3) 非齐次方程组Ax =b 的解存在是唯一的必要条件是det(A )≠0，齐次方程组Ax =0有非零解的条件是det(A )=0。
(4) 行列式的主要性质及其利用上三角阵特性的证明，特别是如何快速判断行列式为零。
(5) 知道行列式计算的原理，会用软件工具计算行列式。
(6) 知道行列式的三个用途，判解、求面积(体积)、解特征方程。
(7) MATLAB 实践：符号矩阵的行阶梯和主元连乘求行列式，面积计算子程序，特征根计算。
(8) MATLAB 函数：det 、lu 、ref1、diag 、prod 、syms 、poly 、roots 、null 。
3.6.2 计算题3.1 用行阶梯形(或LU 分解)方法求矩阵的行列式，并与用det 函数求的结果比较：(a) 6 7 7 6 3 4 2 3 4 2 0 6 1 7 8 3 −−⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ；(b) 0 5 7 1 7 7 6 8 6 5 4 9 9 7 3 2 −−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥=⎢⎥−−⎢⎥−⎣⎦B ；(c) 6 9 2 6 6 5 7 9 2 1 0 34 8 6 2C −−−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥−−−⎣⎦。
3.2 用det 函数计算行列式： (a) 252041194；(b) 902713491；(c)ba ba ab a b ba b a +++；(d) 100000010001a b cd 及100010000001a b c d 。
3.3 用randintr(n)函数随机生成两个四阶方阵A ，B 。
(a) 验证等式det()det()det()+=+A B A B 是否成立。
(b) 验证等式det()det det()=()AB A B 是否成立。
线性代数 刘大瑾主编 化学工业出版社 第三章课后习题详细答案解析
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132. 解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------10105663008840034311 (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110 2．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1-r 阶子式?有没有等于0的r 阶 子式?解 在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等 于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000010000100001α3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样? 解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(- 解 设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x 故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100000100000011001015．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812. 解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131223123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-． (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------02301024205363071210 131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000010000712100231秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x (3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x xx x 7．求解下列非齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有 2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解． (2) 对系数的增广矩阵施行行变换:即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．λ取何值时,非齐次线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1) 0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R <由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ 得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ, 得1=λ时,方程组有无穷多个解. 9．非齐次线性方程组当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------154224521222λλλλ 当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解.此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023. 解 （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------1061263111010421112．(1) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231,113122214B A ,求X 使B AX =;(2) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=132321,433312120B A ,求X 使B XA =.解(1) ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210100010001 (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫⎝⎛132321433312120B A 初等列变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---474112100010001 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∴-4741121BA X ．。
线性代数第三章总结
线性代数第三章总结概述线性代数是数学的一个重要分支，探究了向量空间和线性变换的性质与运算规律。
本文主要总结线性代数第三章的内容，包括矩阵的基本知识、矩阵运算以及逆矩阵的求解方法等。
矩阵的基本知识矩阵是线性代数中最重要的概念之一，它是由数字构成的一个矩形数组。
矩阵可以表示为一个m行n列的二维矩形，用符号A表示。
在矩阵中，每个数字称为一个元素，用aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的大小由行数m和列数n决定，记作m×n。
矩阵可以进行加法和数乘运算。
对于两个矩阵A和B，只有当它们的行数和列数相同时，才能进行加法运算 A + B。
数乘运算是指将一个矩阵的每个元素乘以一个实数。
矩阵运算矩阵运算是线性代数中的重要内容，常见的矩阵运算包括矩阵的乘法、转置和求逆等。
矩阵乘法矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，当A的列数等于B的行数时，可以进行矩阵乘法运算。
乘法运算的结果是一个新的矩阵C，它的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
矩阵乘法的计算规则是将A的第i行与B的第j列对应元素相乘，然后将乘积相加。
矩阵乘法可以用以下公式表示：Cij = ∑(AikBkj)其中∑ 表示对k的求和。
矩阵转置矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。
对于一个m×n的矩阵A，其转置矩阵记作AT，转置矩阵的行数等于A的列数，列数等于A的行数。
转置矩阵的运算规则是将A的第i行变为AT的第i列，将A的第j列变为AT的第j行。
逆矩阵的求解逆矩阵是指对于一个n×n的矩阵A，存在一个矩阵B，满足A乘以B等于单位矩阵I，同时B乘以A也等于单位矩阵I。
这个矩阵B被称为A的逆矩阵，记作A-1。
逆矩阵的求解需要满足以下条件： - 矩阵A的行数等于列数，即A是一个方阵。
- 矩阵A的行列式不等于0，即|A| ≠ 0。
如果一个矩阵满足上述条件，则可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。
具体的求解步骤如下： 1. 计算A的伴随矩阵C，其中Cij = (-1)i+j × Mij，Mij是A的代数余子式。
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线性代数第三章布置的作业详细做题步骤P75:3(3)321422221x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩、用消元法解下列非齐次线性方程组（3）2131113212212-+21-22111142212211112111100010000201111122220001000000111102220001000000r r r r r r r r r r A -⨯-⨯⨯⨯-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）解：行最简型121212112(A)R(A)24111=++()2220=,,(,R)1111++22221==000R x y z y z w y c z c c c x c c y c c z c w ==<∴⎧-⎪⎨⎪=⎩=∈⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣ （未知量的个数）非齐次线性方程组有无穷多个解.由增广矩阵的行最简型可写出原线性方程组的同解方程组和是自由未知量取则原非齐次线性方程组的通解为：212112200++,(,R)1000c c c ⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥∈⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦123123212361x x x x x x x x x λλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩、取何值时，下列非齐次线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其解.（1）1321313222223222321111111110110111110110021r r r r r r r r A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔--⨯+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→---⎢⎥⎢⎥---+-⎣⎦解：（1）式2i (A)R(A)3=3201-2.11-24ii =-2=0-33-6(A)R(A)00031111iii =1=00000000(A)R(A)13R R R λλλλλλ==--≠≠≠⎡⎤⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==< （）当（未知量的个数）时，非齐次线性方程组有唯一解.即时，即当且时，有唯一解（）当时，（1）式，，非齐次线性方程组无解.（）当时，（1）式（2）式行最简型，（未知量的12323=--+1x x x x x 个数），非齐次线性方程组有无穷多解.原非齐次线性方程组的同解方程组为：（，为自由未知量）21321211221121232=,--+1-1-11==1+0+0,(,R)010x c x c c c R x c c x c c c c c x c =∈⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦取（，）原非齐次线性方程组的通解为：12321231231235.1+110=1=1+=1=.111+,,,,,,λααλαβλλλλβαααβαααβααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦设有向量，，，试问当取何值时，（1）可由线性表示，且表达式唯一？（2）可由线性表示，且表达式不唯一？（3）不能由线性表示？132131112233123222+2=k k k (1),,(1)(A)R(A)=31+11011+1111+111+11+11+110111+0--0--2-r r r r r r R A λβαααβαααλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔--⨯++⇔=⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−−−→ （1）解：设式（i ）如可由唯一线性表示，即式对应的非齐次线性方程组有唯一解（未知量的个数）322232+2223--111+0--(2)0-3--2-r r λλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦式2123-3-00-3(A)R(A)=3,,.R λλλλβααα≠≠≠= 分析(2)式可知，当，即当且时，（未知量的个数）可由线性表示，且表达式唯一123=0=0(2)11100000(3)0000(A)R(A)=1<3(1),,=-3=-3(2)11-290-33-12(4)0006(A)R(A)(1)ii A R iii A R λλβαααλλ⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴=⇔⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴≠⇔ （）当时，将代入式式（未知量的个数）式对应的非齐次线性方程组有无穷多解，即可由不唯一线性表示.（）当时，将代入式式式对应的非齐次线性方程组无解，123,,βααα即不能由线性表示.P85:2131231231122331232.11=1==111,,0.(A)3,,1111A 11111111r r a a a a R a a a a a a αααααααααααα↔⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦++=⇔⇔<-⎡⎤⎢⎥=-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦取何值时，下列向量组线性相关：，，，解：设线性相关,则k k k 有非零解齐次线性方程组有无穷多个解（未知量的个数，即向量组中向量的个数）2131322221231111011011011002+2+=0(A)32-1,,.r r r a r r r a a a a a a a a a a a a R a a ααα--⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→+--−−−→+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦∴-<==当时，即当或时，线性相关P109:521312312311223312311-110-45.===20-812,,0.(A)3,,11-110-4A 20-812r r r k R k αααααααααααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦++=⇔⇔<⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦已知向量组，，，线性相关，求k.解：设线性相关,则k k k 有非零解齐次线性方程组有无穷多个解（未知量的个数，即向量组中向量的个数）21324142(1)221231111110130130260000110022=0(A)232,,.r r r r r r r r k k k R k ααα--+----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦∴-=<=当时，即当时，线性相关P89:3(2)12123412343.21381115====.1719110211A ,,,.213811111521A =1719171102111r r αααααααα↔-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.（2），，，解：设向量组:则矩阵2131412232421221(1)()2331511153803121906241021109364131115103303120112330000000000000000r r r r r r r r r r r r r r ----⨯⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦行最简型（1）式01200001212343124122111==17110:,A ,,,.41132==+.3333A A A A A αααααααααααααα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-设向量组为，，R()=2(中包含的向量的个数)故线性无关,向量组是向量组:的一个极大线性无关组由（1）式分析得出，P101:4(2)221313212341234123415224.52311536 1.24261523111523111A 536110284145602421601427280r r r r r r r x x x x x x x x x x x x ----+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩-----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--−−−→--−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 求下列非齐次线性方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.（2）解：21215145231114272800009123721511101111101201272720000000000r r r +-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→--−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦行最简型123412341343423491+0172110++=27291=++17211=272x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--⎪⎩⎧-⎪⎪⎨⎪--⎪⎩原非齐次线性方程组的同解方程组为：（1）式变形为（，为自由未知量）（2）式123434134334423412==0=0091=+1072=1101=72x x x x x x x x x x x x x x x x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎧-⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪-⎪⎩取0，，则原非齐次线性方程组的一个特解为原非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组为：（，为自由未知量）（3）式，取，代入（3）式1212917211==720110.ξξξξ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得，，即，是原非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的一个基础解系P159答案也是对的，只是把基础解系中的向量中的分量都放大了。