高数期中练习

2
1 2t x 2t 1 2t )e . 4.设 f ( t ) lim t (1 ) , 则 f ( t ) ( ________ x x
5.曲线 y ln x 上与直线 x y 1 垂直的切线 x y 1 方程为________ .0
2e 6. lim x 0 x 1
4
所以原式=
e
1
1 2 2 e x , x 0 e x2 , x 0 4.设 f ( x ) ，则 f ( x ) x 3 , 0, x 0 0, x 0 使得 f ( n ) (0) 0的n为正整数 . 1 1 2 e x 0 f (0) lim lim x1 0. x 0 x 0 x x2 e 1
2x e 7. 设 y arctan e x ln 2 x ，则 dy | x 1 __________ ______. e 1
d2 y 8.设 x arctan y y , 则 (1 , 1) __________ ______. 2 4 dx
e 1 6. 2 ln 2 ; 7. 2 dx ; 8. 4 e 1
x2
ex a 2.已知 f ( x ) 在 x e 处为无穷间断点， ( x a )( x b ) 在 x 1 处为可去间断点， 则 a _____ .
e
1 3 3 sin x x cos x 3. lim _______ 2 . x 0 (1 cos x ) ln(1 x )
3.lim(tan x)
x
tan 2 x
4
4
lim(1 tan x 1) tan 2 x
x
lim[(1 tan x 1)
x
1 tan x 1 (tan x 1) tan 2 x
4
]
2 tan x lim(tan x 1) 1 2 1 tan x x
13.在 x 0 的某邻域内与函数 y s无穷小的二次多 项式为__________. 2
1 14.函数 f ( x ) 在 x0 1 处的带拉格朗日余项 x ( 要求中值用 表示, 0 1 ) 的 n 阶泰勒公式为 n1 n1 1 ( 1 ) ( x 1 ) 1 ( x 1) ( x 1) 2 ( 1) n ( x 1) n n 2 x [1 ( x 1)]
1 ex 3.曲线 y ( ). x D 1 e ( A) 没有渐近线 ; ( B ) 仅有水平渐近线 ; (C ) 仅有铅直渐近线 ; ( D ) 既有水平又有铅直渐近 线.
4.设 f (0) 0, 则 f ( x ) 在 x 0 处可导的充分必要条件 为 ( B ). 1 1 ( A) lim 2 f (1 cos h) 存在； ( B ) lim f (1 e h ) 存在； h 0 h h 0 h 1 1 (C ) lim 2 f ( h sin h) 存在； ( D ) lim [ f ( 2 h) f ( h)] 存在. h 0 h h 0 h
高 等 数 学 期 中 考 试 试 题（2005年11月） 一. 填空题（每小题1分，共14分）
1.设函数 f ( x ) e , f [ ( x )] 1 x , 且 ( x ) 0, ln(1 x ) , x0 . 则 ( x ) __________ __________
6.设 u f ( x 2 y 2 ), 其中 f 可导，y y( x )由y e y x du dy 2 2 所确定, 则 f ( x y ) ( 2 x 2 y ) dx dx y 2 2 2 f (x y )(x ) y 1 e
x e 2 t cos t 7. y f ( x)由 确定, 2t y e sin t dy d y 则 |t 3, 2 |t 10 2e dx 4 dx 4
( A) 处处可导; (C ) 仅有两个不可导点 ;
5.
f ( x ) lim n 1 | x |3 n
n
x3 1 x 3
x1 | x | 1 x1
6.设函数 f ( x ) 连续, 且 f (0) 0, 则存在 0, 使得 ( ( A) f ( x ) 在 (0, ) 内单调增加 ; ( B ) f ( x ) 在 ( , 0) 内单调减少 ; (C ) 对任意的 x (0, ) 有 f ( x ) f (0); ( D ) 对任意的 x ( , 0) 有 f ( x ) f (0).
C ).
高 等 数 学 期 中 考 试 试 题（2006年11月） 一. 填空题（15分）
1.设函数 y y( x ) 满足 y ( x 1) y x 2 y 2e x , y( x ) x 且 y (0) 1. 若 lim a , 则 a _____. 2 x 0 x
e e
1 x
1 x

1 x 1 x
e e ( A) 可去间断点; ( B) 跳跃间断点;
1 arctan 的 ____ . x
(C ) 无穷间断点; ( D) 振荡间断点.
1 3 x sin 2 x 0 4. 函数 f ( x) 在点 x 0 处 ____ . x x0 0 ( A) 不连续； ( B) 一阶可导但导函数不连续； (C ) 一阶导函数连续但不存在二阶导数； ( D) 二阶可导.
1 2 ln 2 3 3 9. ; 10. e x ( x 2 48 x 551) ; 11. ( , ), 6 2 2 2
12. 在 x 0 的某邻域内与函数 y tan x 的差为 x 3 的 高阶无穷小的三次多项 式为__________
13.函数 f ( x ) xe x 带拉格朗日余项( 要求中值用 表示, 0 1 ) 的 n 阶麦克劳林公式为__________ ______.
x a cos t 2.曲线 在 t 的切线方程为__________ __ . y b sin t 4
3 1. a ; 2. bx ay 2ab 2
3. lim (ln x ) ln 5 ( x 1) _______.
x 1
ln(1 2 x 2 ) 4. lim _______. x 0 sec x cos x
5. 设 y x x 2 , 则 y __________ ____ .
x2
3. 0 ; 4. 2 ; 5. x (2x ln x x) 2x
x2
6. 已知lim
1 f ( x) f ( x) ln 1 4 , 则 lim _________. x 3 x 0 2 1 x 0 x 1 cos x
1 3 12. x x ; 3
3 x 13. xe x x x 2 2!
xn 1 (n 1 x)e x x n 1 . (n 1)! (n 1)!
二. 单项选择题 （每小题1分，共5分）
2 ex 1 1.极限 lim （ | x | sin ) ____ . 2 x x 1 e x ( A) 等于 0; ( B ) 等于 2; (C ) 等于1;
二. 单项选择题 （每小题1分，共6分）
1 1.若函数 y f ( x ) 有 f ( x0 ) , 则当 x 0时, 2 该函数在 x x0 处的微分是( B ). ( A) 与 x 等价的无穷小； ( B ) 与 x 同阶的无穷小； (C ) 比 x 低阶的无穷小； ( D ) 比 x 高阶的无穷小 .
4.( A) 1 cos h 0 0； ( B ) u 1 e h 0； (C ) h sin h 0 ； ( D ) f (0)存在性未知.
5.设 f ( x ) lim
n
n
1 | x |3 n , 则 f ( x ) 在 ( , ) 内 ( C ). ( B ) 仅有一个不可导点 ; ( D ) 至少有三个不可导点 .
3. A ; 4. B
5. 已知函数 f ( x ) 在 x 0 的某个邻域内连续 ,且 f ( x ) f ( 0) lim a (a 0) , 则在 x 0 处 _____. x 0 1 cos x ( A) 不可导; ( B ) 有二阶导数; (C ) 一定取得极值 ; ( D ) 是否取极值与a 的值有关.
5. C
高等数学期中考试解答2007年11月
x 1 x lim 2 . 1.lim 2 x x 0 (e 1)sin x x 0 2 x 2
2
2
2. lim( 2arctan )ln x
x
x
2arctan x ln x lim 0. x 1 x x
( D ) 不存在.
2.设曲线 y x 2 ax b 与 2 y xy 3 1 在点 (1, 1) 处相切, 则 2a b ____. ( A) 2; ( B) 5; (C ) 1; ( D) 3.
1. C ; 2. D
3. x 0 是函数f ( x)
e 9. lim _______. 3 x 0 tan x e
x
sin x
10. 设 f ( x ) ( x 2 1) e x , 则 f ( 24) ( x ) __________ ___ .
11.曲线弧 y ln x 上在点_________处的曲率半径最小 , 该点的曲率半径为________.
2
x2
1 _______ . 16
π ( ,1) 10.曲线弧 y sin x (0 x π) 上在点_____ 2 处的曲率