山西省长治二中康杰中学临汾一中忻州一中2013届高三第四次四校联考数学理试题

山西省长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中2013届高三第四次四校联考数学试题（理）（满分150分，考试时间120分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号) 1．已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N MA ．),1[+∞-B ．]2,1[-C ．),2[+∞D ．φ2．下列说法错误．．的是 A ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件 B ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”C ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠D ．若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题3．函数)20)(2sin(πϕϕ<<+=x y 图象的一条对称轴在（π6，π3）内，则满足此条件的一个ϕ值为 A ．12πB ．6πC ．3πD ．65π 4．一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分， 则这个几何体的表面积为A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π5．若实数x ，y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数24z x y =+的最大值为A ．10B ．12C ．13D ．146．运行下图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为2log 3和3log 2,则输出M 的值是A ．0B ．1C ．2D ．－17．已知数列{n a }满足)(log log 1133++∈=+N n a a n n ，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是A ．15 B ． 15- C ． 5 D ．5-8．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为34π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是A ．36B ．312C ． 318D ． 3249．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 且a=1，B=45°，ABC S ∆=2，则b 等于 A ．5 B ．25 C ．41D ．2510．已知函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线x y 21=垂直的切线，则实数m 的取值范围是A ．2≤mB ．2>mC ．21-≤m D ．21->m 11．若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的零点个数是A ．2个B ．3个C ． 4个D ．多于4个12．已知A B P 、、是双曲线22221x y a b -=上的不同三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积23PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率e =A B D二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13．若函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象过点（2，－1），且函数)(x f y =的图像与函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像关于直线xy =对称，则)(x f = ．14．i 为虚数单位，则复数i i43105-+的虚部是 ．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有 ．16．已知函数+M,最小值为m,则mM= ． 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17．（本小题满分12分）已知点A （4，0）、B （0，4）、C （ααsin 3,cos 3）（1）若),0(πα∈α的大小；（2）BC AC ⊥，求αααtan 12sin sin 22++的值．18．（本小题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（ （2）当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75，该产品为优等品，①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；②从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其期望．19．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM . （1）求证：BM AD ⊥ ；（2）若点E 是线段DB 的中点，求二面角D AM E --的余弦值.20．（本小题满分12分）已知21,F F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点，M 为椭圆上的动点，且21MF MF ⋅的最大值为1，最小值为-2.（1）求椭圆C 的方程； （2）过点),(056-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点，A 为椭圆的左顶点。

试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数ax xxx f -=ln )(（1）若函数()()1,f x +∞在上是减函数，求实数a 的最小值； （2）若212,,x x e e⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+（0>a ）成立，求实数a 的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22.（本小题满分10）选修4-1：几何证明选讲AF如图，已知⊙O 是ABC ∆的外接圆，AD BC AB ,=是BC 边上的高，AE 是⊙O 的直径． （1）求证：AE AD BC AC ⋅=⋅；（2）过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点F ，若4,2==CF AF ，求AC 的长． 23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设()||,.f x x a a =-∈R（1）当5=a ，解不等式3≤)(x f ；（2）当1=a 时，若∃R x ∈，使得不等式m x f x f 2121-≤+-)()(成立，求实数m的取值范围．2013届第四次四校联考（理数）参考答案一、选择题： 1-5 B A A B C 6-10 C D C A B 11-12 CD二、填空题13. x y )21(= 14. 2 15. 216 16. 22三．解答题：17. 解：（1）由已知得2222)4sin 3(cos 9sin 9)4cos 3(-+=+-αααα……2分则ααcos sin =，……5分 因为),0(πα∈，所以4πα=……6分（2）由0)4sin 3(sin 3cos 3)4cos 3(=-⋅+⋅-αααα得43cos sin =+αα，……7分 平方得1672sin -=α，……8分 1672sin cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin 2tan 12sin sin 2222-==⋅=++=++αααααααααααα。

(12)分18. 解：（1）设乙厂生产的产品数量为x 件，由题意得1284=5x ，所以x=35。

------------2分（2）①由题意知乙厂生产的优等品的数量为213553=⨯件---------------4分②由题意知2,1,0=ξ101)0(2522===C C P ξ 53106)1(251213====C C C P ξ 103)2(2523===C C P ξ---------------7分所以随机变量ξ的分布列为---------------10分 所以随机变量ξ的均值103210611010⨯+⨯+⨯=ξE =56---------------12分 19.解：取AM 的中点O ，AB 的中点N ，则OD OA ON ,,两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，如图.根据已知条件，得)0,0,22(A ,)0,2,22(-B ,)0,0,22(-M ,)22,0,0(D ……2分 （1）由于0=⋅BM AD ,故BM AD ⊥.…5分（2）依题意)42,22,42(-E ……6分∵平面AMD 的一个法向量)0,10(，=n ……7分 设平面AME 的一个法向量为),,(z y x m =，而)0,0,2(-=AM ,)42,22,423(-=AE 00=∙=∙AE m AM m 且∴0422242302=++-=-z y x x 且. x=0,取z=2,则y=1 ∴)2,1-0(，=m ……9分∴51,cos -<n m ……11分二面角D AM E --的余弦值为55……12分20.解：（1）设),,(''y x M (则222'222212'2222'2,a b x ab a MF MF x a b b y -+-=⋅-=(-a ≤x ≤a)…2分，所以当0'=x 时，21MF MF ⋅取得最小值2222-=-a b ，当a x ±='时，21MF MF ⋅取得最大值12=b ，∴42=a ……5分故椭圆的方程为1422=+y x -----6分 （2）设直线MN 的方程为56-=ky x ,……7分 联立方程组可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=145622y x ky x ，化简得：02564512422=--+ky y k )(……8分 设),(),,(2211y x N y x M ，则)(,)(451242564221221+=++-=k ky y k y y ，…9分 又),(02-A ,0251654122212122211=++++=+∙+=∙)()(),(),(y y k y y k y x y x AN AM …11分所以AN AM ⊥,所以MAN ∠的大小为定值90︒……12分21.解：（1）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立．…1分 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤．………………2分 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-，………4分 故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． …………………………6分 （2）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于“当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”．由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”． ………………………8分01当14a ≥时，max 1()4f x a '=-≤0, ()f x 在2[e,e ]上为减函数，则min ()f x =222e 1(e )e 24f a =-≤，故21124e a ≥-． ………10分…2当0<14a <时，max 1()4f x a '=->0,由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数； 由min ()f x =00001()ln 4x f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈． 所以，2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合题意．综上，得21124e a ≥-． …………………………12分 22.（本小题满分10）选修4-1：几何证明选讲解：（1）证明：连结BE ,由题意知ABE ∆为直角三角形．因为,,90ACB AEB ADC ABE ∠=∠=∠=∠ 所以ABE ∆∽ADC ∆ 3分则ACAEAD AB =，则AE AD AC AB ⋅=⋅．又BC AB =，所以AE AD BC AC ⋅=⋅ 5分（II ）因为FC 是⊙O 的切线，所以BF AF FC ⋅=2，又4,2==CF AF ，所以6,8=-==AF BF AB BF ． 7分 因为AFC CFB FBC ACF ∠=∠∠=∠又,，所以AFC ∆∽CFB ∆ 则BC AC FC AF =，即3=⋅=CFBCAF AC ． 10分23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（I ）由θθρcos 4sin2=，得θρθρcos 4)sin (2=所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=. 5分 （II ）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得t 2sin 2α－4t cos α－4＝0. 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝αα2sin cos 4，t 1t 2＝α2sin 4-， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+，当α＝π2时，|AB |的最小值为4 10分24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲解：（I ）5=a 时原不等式等价于,||35≤-x 即82353≤≤≤-≤-x x ,所以解集为{82≤≤x x } 5分 （II ）当1=a 时，|1|)(-=x x f 。