2017年江苏省宿迁市高考数学三模试卷
江苏省连云港市、徐州市、宿迁市2017届高三下学期第三次模拟考试数学试题含答案-精编
(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)苏北三市高三年级第三次模拟考试 2017届高三年级第三次模拟考试(三)数学参考公式：样本数据1，2，…，n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1 (i －)2，其中＝1n∑n i ＝1i . 棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，1，2}，B ＝{0，1，2，7}，则集合A∪B 中元素的个数为________．2. 设a ，b ∈R ，1＋i 1－i＝a ＋b i(i 为虚数单位)，则b 的值为________．(第5题)3. 在平面直角坐标系Oy 中，双曲线x 24－y23＝1的离心率是________．4. 现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．5. 如图是一个算法的流程图，则输出的的值为________．6. 已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是________．7. 已知实数，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3x ＋y≥2，则yx的取值范围是________．8. 若函数f ()＝2sin (2＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象过点(0，3)，则函数f ()在上的单调减区间是________．9. 在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和．若a 1＝1q 2，且S 5＝S 2＋2，则q 的值为________．10. 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝3，点P 在棱CC 1上，则三棱锥PABA 1的体积为________．(第10题)(第11题)11. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a ，y 2＝2log a 和y 3＝log a (a>1)的图象上，则实数a 的值为________．12. 已知对于任意的∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有2－2(a －2)＋a>0，则实数a 的取值范围是________．13. 在平面直角坐标系Oy 中，圆C ：(＋2)2＋(y －m )2＝3.若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，则实数m 的取值范围是________．14. 已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，c ＝2.当AC →·AB→取得最大值时，ba的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD ＝3DB ，cos A ＝45，cos ∠ACB ＝513，BC ＝13.(1) 求cos B 的值； (2) 求CD 的长．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上(异于点P ，C)，平面ABE 与棱PD 交于点F.(1) 求证：AB∥EF；(2) 若平面PAD⊥平面ABCD ，求证：AF⊥EF.如图，在平面直角坐标系Oy 中，已知椭圆C ：x 24＋y23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在轴上方)．(1) 若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2) 设直线AP ，BQ 的斜率分别为1，2.是否存在常数λ，使得1＝λ2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆D 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且AB AD ≥12.设∠E OF＝θ，透光区域的面积为S.(1) 求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域．(2) 根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．已知两个无穷数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，a 1＝1，S 2＝4，对任意的n∈N *，都有3S n ＋1＝2S n ＋S n ＋2＋a n .(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若{b n }为等差数列，对任意的n ∈N *，都有S n >T n .证明：a n >b n ； (3) 若{b n }为等比数列，b 1＝a 1，b 2＝a 2，求满足a n ＋2T n b n ＋2S n＝a (∈N *)的n 值．已知函数f ()＝m x＋ln(m >0)，g ()＝ln －2. (1) 当m ＝1时，求函数f ()的单调增区间；(2) 设函数h ()＝f ()－g ()－2，>0.若函数y ＝h (h ())的最小值是322，求m 的值；(3) 若函数f ()，g ()的定义域都是，对于函数f ()的图象上的任意一点A ，在函数g ()的图象上都存在一点B ，使得OA ⊥OB ，其中e 是自然对数的底数，0为坐标原点．求m 的取值范围．(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第三次模拟考试(三)数学附加题21. 本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，．并作答．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A . (本小题满分10分)如图，圆O 的弦AB ，MN 交于点C ，且A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上．若∠ACN＝3∠ADB ，求∠ADB 的度数．B . (本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ，若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，求矩阵A 的特征值．C. (本小题满分10分)在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ≤2π)上．当线段AB最短时，求点B的极坐标．D. (本小题满分10分)已知a，b，c为正实数，且a3＋b3＋c3＝a2b2c2.求证：a＋b＋c≥333.【必做题】第22题、第23题．每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系Oy中，点F(1，0)，直线＝－1与动直线y＝n的交点为M，线段MF 的中垂线与动直线y＝n的交点为P.(1) 求动点P的轨迹E的方程；(2) 过动点M作曲线E的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．23. (本小题满分10分)已知集合U＝{1，2，…，n}{n∈N*，n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B ＝∅，则称(A，B)为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”)．(1) 写出f(2)，f(3)，f(4)的值；(2) 求f(n).(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第三次模拟考试(三)(苏北三市)数学参考答案一、填空题1. 52. 13.72 4. 16 5. 6 6. 265(或 5.2) 7. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23⎝⎛⎭⎪⎫或－13≤y x ≤23 8. (π12，7π12)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 9. 5－12 10. 943 11. 2 12. (1，5](或1<a≤5) 13. (或－2≤m ≤2) 14. 2＋ 3二、 解答题15. (1) 在△ABC 中，cos A ＝45，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.(2分) 同理可得，sin ∠ACB ＝1213. (4分)所以cos B ＝cos ＝－cos (A ＋∠ACB)＝sin A sin ∠ACB －cos A cos ∠ACB (6分) ＝35×1213－45×513＝1665.(8分) (2) 在△ABC 中，由正弦定理得，AB ＝BCsin Asin ∠ACB ＝1335×1213＝20.(10分)又AD ＝3DB ，所以BD ＝14AB ＝5. (12分)在△BCD 中，由余弦定理得， CD ＝BD 2＋BC 2－2BD·BC cos B ＝52＋132－2×5×13×1665＝9 2. (14分)16. (1) 因为ABCD 是矩形，所以AB∥CD.(2分) 又因为AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ， 所以AB∥平面PDC.(4分) 又因为AB ⊂平面ABEF ， 平面ABEF∩平面PDC ＝EF ， 所以AB∥EF.(6分)(2) 因为ABCD 是矩形，所以AB⊥AD. (8分)又因为平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， AB ⊂平面ABCD ，所以AB⊥平面PAD. (10分) 又AF ⊂平面PAD ，所以AB⊥AF. (12分) 又由(1)知AB∥EF，所以AF⊥EF.(14分)17. (1) 因为a 2＝4，b 2＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1， 所以F 的坐标为(1，0)，(1分)设P(1，y 1)，Q(2，y 2)，直线l 的方程为＝my ＋1， 代入椭圆方程，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2， y 2＝－3m －61＋m 24＋3m2. (4分) 若QF ＝2PF ，则－3m －61＋m 24＋3m 2＋2×－3m ＋61＋m24＋3m 2＝0， 解得m ＝255，故直线l 的方程为5－2y －5＝0.(6分)(2) 由(1)知，y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，所以my 1y 2＝－9m 4＋3m 2＝32(y 1＋y 2)，(8分)所以k 1k 2＝y 1x 1＋2·x 2－2y 2＝y 1（my 2－1）y 2（my 1＋3） (12分)＝32（y 1＋y 2）－y 132（y 1＋y 2）＋3y 2＝13， 故存在常数λ＝13，使得1＝132.(14分)18. (1) 过点O 作OH⊥FG 于点H ，则∠OFH＝∠EOF＝θ， 所以OH ＝OF sin θ＝sin θ， FH ＝OF cos θ＝cos θ.(2分) 所以S ＝4S △OFH ＋4S 扇形OEF＝2sin θcos θ＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12θ ＝sin 2θ＋2θ，(6分) 因为AB AD ≥12，所以sin θ≥12，所以定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2.(8分)(2) 矩形窗面的面积为S 矩形＝AD·AB＝2×2sin θ＝4sin θ. 则透光区域与矩形窗面的面积比值为 2sin θcos θ＋2θ4sin θ＝cos θ2＋θ2sin θ.(10分)设f(θ)＝cos θ2＋θ2sin θ，π6≤θ<π2.则f′(θ)＝－12sin θ＋sin θ－θcos θ2sin 2θ＝sin θ－θcos θ－sin 3θ2sin 2θ＝sin θcos 2θ－θcos θ2sin 2θ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ－θ2sin 2θ，(12分)因为π6≤θ<π2，所以12sin 2θ≤12，所以12sin 2θ－θ<0，故f′(θ)<0，所以函数f(θ)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2上单调减． 所以当θ＝π6时，f (θ)有最大值π6＋34，此时AB ＝2sin θ＝1(m )．(14分)答：(1) S 关于θ的函数关系式为S ＝sin 2θ＋2θ，定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2；(2) 透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB 的长度为1m .(16分) 19. (1) 由3S n ＋1＝2S n ＋S n ＋2＋a n ，得2(S n ＋1－S n )＝S n ＋2－S n ＋1＋a n ， 即2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n . (2分) 由a 1＝1，S 2＝4，可知a 2＝3.所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(4分)(2) 证法一：设数列{b n }的公差为d ，则T n ＝nb 1＋n （n －1）2d ，由(1)知，S n ＝n 2.因为S n >T n ，所以n 2>nb 1＋n （n －1）2d ，即(2－d)n ＋d －2b 1>0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－d≥0，d －2b 1>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧d≤2，2b 1<d.(6分) 又由S 1>T 1，得b 1<1，所以a n －b n ＝2n －1－b 1－(n －1)d ＝(2－d)n ＋d －1－b 1 ≥(2－d)＋d －1－b 1＝1－b 1>0. 所以a n >b n ，得证. (8分)证法二：设{b n }的公差为d ，假设存在自然数n 0≥2，使得an 0≤bn 0， 则a 1＋(n 0－1)×2≤b 1＋(n 0－1)d ，即a 1－b 1≤(n 0－1)(d －2)， 因为a 1>b 1，所以d>2.(6分)所以T n －S n ＝nb 1＋n （n －1）2d －n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫d 2－1n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－d 2n ，因为d 2－1>0，所以存在N 0∈N *，当n >N 0时，T n －S n >0恒成立．这与“对任意的n ∈N *，都有S n >T n ”矛盾！ 所以a n >b n ，得证. (8分)(3) 由(1)知，S n ＝n 2.因为{b n }为等比数列，且b 1＝1，b 2＝3， 所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以b n ＝3n －1，T n ＝3n－12.(10分)则a n ＋2T n b n ＋2S n ＝2n －1＋3n －13n －1＋2n 2＝3n ＋2n －23n －1＋2n 2＝3－6n 2－2n ＋23n －1＋2n2， 因为n ∈N *，所以6n 2－2n ＋2>0，所以a n ＋2T nb n ＋2S n<3.(12分)而a ＝2－1，所以a n ＋2T nb n ＋2S n＝1，即3n －1－n 2＋n －1＝0(*)．当n ＝1，2时，(*)式成立；(14分) 当n ≥2时，设f (n )＝3n －1－n 2＋n －1，则f (n ＋1)－f (n )＝3n －(n ＋1)2＋n －(3n －1－n 2＋n －1)＝2(3n －1－n )>0，所以0＝f (2)<f (3)<…<f (n )<…. 故满足条件的n 的值为1和2.(16分) 20. (1) 当m ＝1时，f()＝1x ＋ln ，f ′()＝－1x2＋ln ＋1.(2分)因为f′()在(0，＋∞)上单调增，且f′(1)＝0， 所以当>1时，f ′()>0；当0<<1时，f ′()<0. 所以函数f()的单调增区间是(1，＋∞)．(4分)(2) h()＝m x ＋2－2，则h′()＝2－m x 2＝2x 2－mx 2，令h′()＝0得＝m 2， 当0<<m2时，h ′()<0，函数h()在(0，m2)上单调减； 当>m2时，h ′()>0，函数h()在(m2，＋∞)上单调增． 所以min ＝h(m2)＝22m － 2.(6分) ①当2(2m －1)≥m 2，即m≥49时， 函数y ＝h(h())的最小值h(22m －2)＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2（2m －1）＋2（2m －1）－1＝322，即17m －26m ＋9＝0，解得m ＝1或m ＝917(舍)，所以m ＝1；………8分)②当0<2(2m －1)<m 2，即14<m<49时， 函数y ＝h(h())的最小值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＝2(2m －1)＝322， 解得m ＝54(舍)．综上所述，m 的值为1.(10分)(3) 由题意知，OA ＝m x 2＋ln ，OB ＝ln x －2x.考虑函数y ＝ln x －2x ，因为y′＝3－ln xx 2>0在上恒成立， 所以函数y ＝ln x －2x在上单调增，故OB ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－1e .(12分)所以OA ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，e ，即12≤m x 2＋ln ≤e 在上恒成立，即x 22－2ln ≤m ≤2(e －ln )在上恒成立． 设p()＝x 22－2ln ，则p′()＝－2ln ≤0在上恒成立，所以p()在上单调减，所以m≥p(1)＝12. (14分)设q()＝2(e －ln )，则q′()＝(2e －1－2ln )≥(2e －1－2lne )>0在上恒成立， 所以q()在上单调增，所以m≤q(1)＝e .综上所述，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，e . (16分) 附加题21. A. 连结AN ，DN . 因为A 为弧MN 的中点， 所以∠ANM ＝∠ADN . 而∠NAB ＝∠NDB ，所以∠ANM ＋∠NAB ＝∠ADN ＋∠NDB ， 即∠BCN ＝∠ADB . (5分) 又因为∠ACN ＝3∠ADB ，所以∠ACN ＋∠BCN ＝3∠ADB ＋∠ADB ＝180°， 故∠ADB ＝45°.(10分)B. 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋62＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝8，2＋2d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝1.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321.(5分) 所以矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4，令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝4.(10分) C. 以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A (2，π2)的直角坐标为(0，2)，直线l 的直角坐标方程为＋y ＝0.(4分)AB 最短时，点B 为直线－y ＋2＝0与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. 所以点B 的直角坐标为(－1，1)．(8分) 所以点B 的极坐标为(2，34π)．(10分)D. 因为a 3＋b 3＋c 3＝a 2b 2c 2≥33a 3b 3c 3， 所以abc ≥3，(5分)所以a ＋b ＋c ≥33abc ≥333，当且仅当a ＝b ＝c ＝33时，取“＝”．(10分)22. (1) 因为直线y ＝n 与＝－1垂直，所以MP 为点P 到直线＝－1的距离． 连结PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y ＝n 的交点，所以MP ＝PF. 所以点P 的轨迹是抛物线．(2分) 焦点为F(1，0)，准线为＝－1. 所以曲线E 的方程为y 2＝4. (5分)(2) 由题意，过点M(－1，n)的切线斜率存在，设切线方程为y －n ＝(＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋n ，y 2＝4x ， 得y 2－4y ＋4＋4n ＝0，所以Δ1＝16－4(4＋4n)＝0，即2＋n －1＝0(*)，(8分) 因为Δ2＝n 2＋4>0，所以方程(*)存在两个不等实根，设为12， 因为1·2＝－1，所以∠AMB＝90°，为定值. (10分)23. (1) f(2)＝1，f(3)＝6，(2分) f(4)＝25. (4分)(2) 解法一：设集合A 中有个元素，＝1，2，3，…，n －1. 则与集合A 互斥的非空子集有2n －－1个．(6分)于是f(n)＝12k ＝1n －1C k n (2n －－1)＝12[错误!C 错误!－C 错误!－C 错误!＝2n－2，所以f(n)＝12＝12(3n －2n ＋1＋1)．(10分)解法二：任意一个元素只能在集合A ，B ，C ＝∁U (A∪B)之一中， 则这n 个元素在集合A ，B ，C 中，共有3n种；(6分) 其中A 为空集的种数为2n，B 为空集的种数为2n， 所以A ，B 均为非空子集的种数为3n－2×2n＋1，(8分) 又(A ，B)与(B ，A)为同一组“互斥子集”， 所以f(n)＝12(3n －2n ＋1＋1)．(10分)。
江苏省宿迁市高三数学第三次调研测试试卷含标准答案
OEFM DCBA宿迁市高三年级第三次调研测试数学参考答案及评分标准必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1．{}2；2．2- ； 3．43-； 45．221169x y -=； 6．2π； 7．1,42-；8．5；9．8π； 10．16a -≤≤； 11．51630x y -+=； 12．27； 13． 213x x <->或；14．③④二、解答题：本大题共6小题，共90分…………………………………4分 ……………………………………8分(Ⅱ) ∵抽样的20只产品中在[39.98,40.02]范围内有17只，………………………………10分∴合格品的概率为17100%85%20⨯=． ……………………………………12分∴1000085%8500⨯=（只） ……………………………………13分答：根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格数为8500只． (14)分 16．（Ⅰ）设AC BD O =，连OE ．由题意可得11,22===EM EF AC AO又∵EM AO ， ∴EOAM 为平行四边形，∴ .EO AM ……………… 4分⊂⊄EO EBD AM EBD 平面,平面∴AM EBD 平面 ……………………… 6分（Ⅱ）连DM ，BM ，MO,,AF AC EC AC AFEC ABCD ⊥⊥⊥平面平面5直径/mm,,,,AF ABCD EC ABCD AF AD EC DC ∴⊥⊥∴⊥⊥平面平面 ABCD 又为菱形,∴A D=DC ，∴DF=DE ．……………………………8分又点M 是EF 的中点，∴DM EF ⊥ ……………………………………10分12,2BD AF DO BD AF MO =∴=== ∴45DM O ∠=︒，同理45BM O ∠=︒ D M B M ∴⊥又EF BM M =∴⊥DM BEF 平面 ………………………………………12分,DM EFD EFD BEF ⊂∴⊥平面平面平面． ……………………………14分 17．（Ⅰ）A 、B 、C 成等差数列，2,B A C ∴=+又A B C π++=,3π=∴B ， (2)分由23-=⋅BC AB 得，2332cos-=⋅πa c ，3=∴ac ① (4)分又由余弦定理得ac c a ac c a b -+=∴-+=222223,3cos 2π622=+∴c a ② (6)分由①、②得，32=+c a ……………………………………8分（Ⅱ）2sin sin A C -=22sin sin()3A A π--12sin sin )2A A A =-+ ………10分=3sin )226A A A π-=-， …………………………………12分20,,3662A A ππππ<<∴-<-<∴2sin sin A C-的取值范围为.2⎛- ⎝…………14分 18．（Ⅰ）直线1:2,l y =设1l l D D 交于点，则（）.l 的倾斜角为30，260l ∴的倾斜角为，……2分2k ∴=反射光线2l 所在的直线方程为2y x -=-.40y --=.……4分已知圆C 与1l A 切于点，设C （a,b)圆心C 在过点D 且与l垂直的直线上，8b ∴=+ ①…………………………6分 又圆心C 在过点A 且与1l垂直的直线上，a ∴=②，由①②得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩圆C 的半径r=3.故所求圆C的方程为22((1)9x y -++=. ………………………………………10分（Ⅱ）设点()0,4B -关于l 的对称点00(,)B x y '，则000044,22y x y x -+==且12分得(B '-.固定点Q 可发现，当B P Q '、、共线时，PB PQ +最小，故PB PQ +的最小值为为3B C '-. …………………………………………………………14分121y y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩得1),2P最小值33B C '-=. ………………………16分19．（Ⅰ）由题意得(1)(1)0f g -=，即l o g 22l o g (2)a a t =+，解得2t =-．…………2分（Ⅱ）不等式f (x )≥g (x )恒成立，即12log a (x +1)≥log a (2x +t) (x ∈[0,15])恒成立，它等价于x +1≤2x +t (x ∈[0,15])，即t ≥x +1-2x (x ∈[0,15])恒成立．………………………6分令x +1＝u (x ∈[0,15])，则u ∈[1, 4]，21x u =-，x +1-2x ＝221172(1)2()48u u u --+=--+，当1u =时，x +1-2x 最大值为1， ∴t ≥1为实数t 的取值范围．……………………………………………………………………8分（Ⅲ）F (x )=2g (x )-f (x ) =4log a (2x +t ) - log a (x+1)4log a=．z (x ∈[0,15])，则z ∈[1, 2]，41x z =-，432(1)22z t t z z z -+-==+，z ∈[1, 2]，…………………………………………10分设32()2t p z z z -=+，z ∈[1, 2]，则222()6t p z z z-'=-． 令()0p z '=，得z ． ∵t ∈， 当1z ≤<2z <≤，()0p z '>． 故[()]p z 12分且()p z 的最大值只能在1z =或2z =处取得． 而(1)22p t t =+-=，2(2)161522t tp -=+=+， ∴(1)(2)152tp p -=-， 当2630t ≤≤时，(1)(2)p p ≤，max ()(2)152tp z p ==+， 当3056t <≤时，(1)(2)p p >，max ()(1)p z p t ==， ∴max 15, 2630,[()]2, 3056.tt p z t t ⎧+≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩…………………………………………………………14分∴当1a >时，342()4log [8()]6a t h t -=； 当01a <<时，4log (15), 2630,()24log , 3056.a a t t h t t t ⎧+≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩…………………………………………16分20.（Ⅰ）数表中第i +1行数依次所组成数列的通项为f (i +1,j ),则由题意可得 f (i +1,j+1)-f (i +1,j )=[f (i ,j +1)+f (i ,j +2)]-[f (i ,j )+f (i ,j +1)]=f (i ,j +2)-f (i ,j ),………………2分又数表中第i (1≤i ≤n -3)行的数依次成等差数列，设其公差为d ，故f (i +1,j +1)- f (i +1,j )=f (i ,j +2)- f (i ,j )=2d 是与j 无关的常数，故第i +1行数依次所组成数列为等差数列，且其公差为2d ．……………………………………4分（Ⅱ）∵f (1,j )= 4j ，∴第 1行的数依次成等差数列，由（Ⅰ）可得第2行的数也依次成等差数列，依此类推，可知数表中任一行的数（不少于3个）都依次成等差数列． 设第i 行的公差为d i ，则d i+1=2d i ，故d i = d 1×2i -1=2i+1（易知f (n-1,2)- f (n -1,1)= 2n ）………6分∴f (i ,1)= f (i -1,1) +f (i -1,2) =2f (i-1,1) +2i =2[2f (i-2,1) +2i -1]+2i =22f (i-2,1) +2×2i = … =2i -1f (1,1) +(i -1)×2i =2i -1×4+(i -1)×2i=(i +1)× 2i． ……………………………………10分［另法：由f (i ,1)= 2f (i-1,1) +2i ,得f (i ,1)2i = f (i -1,1)2i-1+1,故f (i ,1)2i = i +1,故f (i ,1)=(i +1)×2i］ （Ⅲ）由f (i ,1) = (i +1)(a i -1)，可得a i = f (i ,1)i +1+1=2i +1，11111111()(21)(21)22121i i i i i i i i b a a +++===-++++，…………………………………………………12分令()2i g i =，则1111111()()2221212121ii i i i i i b g i ++=-⨯=-++++， 2231111111()()()212121212121n n n S +=-+-++-++++++11113213n +=-<+．…………………………………………………………………………………14分要使n S m >，即111321n m +->+，只要111132133n mm +-<-=+， ∵m ∈(14, 13)，∴10134m <-<，∴只要132113n m ++>-，即只要23log (1)113n m >---， ∴令λ=23log (1)13m--，则当n λ>时，都有n S m >．所以适合题设的一个函数为()2=x g x ．………………………………………………………………16分。
江苏省宿迁市高三数学三模试卷
江苏省宿迁市高三数学三模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共7题；共14分)1. （2分） (2017高二下·伊春期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）下列说法正确的是（）A . 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B . ai是纯虚数(a∈R)C . 如果复数x＋yi(x、y∈R)是实数，则x＝0，y＝0D . 复数a＋bi(a、b∈R)不是实数3. （2分）(2020·南昌模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A . －2B . －1C . 2D . 34. （2分）在数列{an}中，a1=1，an+1=an2﹣1（n≥1），则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A . ﹣1B . 1C . 0D . 25. （2分）已知a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（）A . （-,）B . （,-）C . （,）D . （,-）6. （2分） (2019高一下·上海月考) “ ”是“ ”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既不充分亦不必要条件7. （2分） (2018高一上·江苏月考) 已知函数 , 满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A . (－∞，2)B .C . (－∞，2]D .二、填空题 (共6题；共6分)8. （1分） (2018高一下·百色期末) 已知等比数列的前项和为，若，则________．9. （1分） (2017高二上·海淀期中) 已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为________．10. （1分） (2018高二下·邯郸期末) 若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为________．11. （1分）(2017·沈阳模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为________12. （1分） (2017高一上·扬州期中) 已知函数f（x﹣1）=x2﹣2x，则f（x）=________．13. （1分） (2017高二下·济南期末) 已知双曲线的离心率是，则n=________．三、解答题 (共6题；共30分)14. （5分） (2016高一下·攀枝花期中) 在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若• =4，b=4 ，求边a，c的值．15. （5分）已知OA，OB，OC交于点O，AD OB，E，F分别为BC，OC的中点．求证：DE∥平面AOC．16. （5分） (2016高二下·韶关期末) 某厂为了解甲、乙两条生产线生产的产品的质量，从两条生产线生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）．如图是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品．（1）根据样本数据，计算甲、乙两条生产线产品质量的均值与方差，并说明哪条生产线的产品的质量相对稳定；（2）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E（ξ）．17. （5分）求与直线3x-4y+7=0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程.18. （5分） (2019高二下·廊坊期中) 已知点是椭圆上一点，分别是椭圆的左右焦点，且（I）求曲线E的方程；（Ⅱ）若直线不与坐标轴重合）与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围.19. （5分） (2018高二下·泰州月考) 设，，在集合的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加，和记为 ,较小元素之和记为 .（1）当时,求 , 的值；（2）求证:为任意的 , ，为定值.参考答案一、单选题 (共7题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、二、填空题 (共6题；共6分)8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共6题；共30分)14-1、14-2、15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、19-2、第11 页共11 页。
江苏省宿迁市高考数学三模试卷
江苏省宿迁市高考数学三模试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 14 题；共 15 分)1. （1 分） (2016 高一上·浦东期中) A={x|x≤1，x∈R}，则∁RA=________．2. （2 分） (2019 高二下·杭州期中) 已知复数________；________.（i 是虚数单位），则复数 的共轭复数3. （1 分） 某校共有教师 200 人，男学生 1200 人，女学生 1000 人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一 个容量为 的样本，已知从女学生中抽取的人数为 50 人，那么 的值为________.4. （1 分） 命题：“或”的否定是________．5. （1 分） (2016 高二上·河北期中) 书架上有 4 本不同的语文书，2 本不同的数学书，从中任意取出 2 本， 能取出数学书的概率为________．6. （1 分） (2016 高一下·徐州期末) 某校举行元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图， 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是________．7. （1 分） (2019 高二上·龙江月考) 设 ， 是双曲线圆的一个公共点，则的面积等于________.的两个焦点， 是双曲线与椭8. （1 分） (2017 高三下·鸡西开学考) 若实数 x，y 满足 9. （1 分） (2020 高一下·平谷月考) 给出以下四个说法：则 z=x+2y 的最大值是________．①将 可得到的图像向右平移 的图像；③将个单位，得到的图像；②将的图像向左平移 2 个单位，得到第 1 页 共 18 页的图像向右平移 2 个单位， 的图像；④函数的图像是由有正确说法的序号都填上）的图像向左平移 个单位得到的．其中正确的说法是________．（将所10. （1 分） (2019·呼和浩特模拟) 以下四个命题：①设 要条件；②已知命题 、 、 满足“ 或 ”真，“，则是的充或 ”也真，则“ 或 ”假；③若，则使得恒成立的 的取值范围为{或}；④将边长为 的正方形沿对角线________.折起，使得，则三棱锥的体积为.其中真命题的序号为11. （1 分） (2016·福建模拟) 已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且a1=2．则{an}的通项公式为________．12. （1 分） (2016 高二上·吉林期中) 若 x＞ ，则 y=4x﹣1+的最小值是________．13. （1 分） (2017·诸暨模拟) 已知△ABC 的面积为 8，cosA= ，D 为 BC 上一点， =+，过点 D 做 AB，AC 的垂线，垂足分别为 E，F，则 • =________．14. （1 分） (2016 高二下·威海期末) 函数 y=x2﹣4lnx 的单调递减区间是________．二、 解答题 (共 12 题；共 115 分)15. （5 分） 如图，在四棱锥 A﹣BCDE 中，底面 BCDE 是直角梯形，∠BED=90°，BE∥CD，AB=6，BC=5，，侧面 ABE⊥底面 BCDE，∠BAE=90°．（1）求证：平面 ADE⊥平面 ABE；（2）过点 D 作面 α∥平面 ABC，分别于 BE，AE 交于点 F，G，求△DFG 的面积．第 2 页 共 18 页16. （10 分） 已知向量 =（ cosωx，1）， =（2sin（ωx+ ），﹣1）（其中 ≤ω≤ ），函 数 f（x）= • ，且 f（x）图象的一条对称轴为 x= ．（1） 求 f（ π）的值；（2） 若 f（ ）=，f（ ）=，且，求 cos（α﹣β）的值．17. （10 分） (2015 高三上·青岛期末) 已知函数 f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 ．（其中 ω＞0），若（1） 求 y=f（x）的单调递增区间；（2） 在△ABC 中角 A、B、C 的对边分别是 a，b，c 满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则 f（B）恰是 f（x）的最大 值，试判断△ABC 的形状．18. （10 分） (2020·南通模拟) 如图，点焦点，过点 F 的直线交椭圆 C 于点.分别为椭圆的左､右顶点和右（1） 若，点 F 与椭圆 左准线的距离为 5，求椭圆 C 的方程；（2） 已知直线的斜率是直线 MA 斜率的 倍.①求椭圆 C 的离心率；②若椭圆 C 的焦距为 2，求面积的最大值.19. （15 分） 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f（x）的全体，存在实数 a、k（k≠0），对于定义域内的任 意 x 均有 f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数 f（x）的“伴随数对”第 3 页 共 18 页（1） 判断 f（x）=x2 是否属于集合 M，并说明理由； （2） 若函数 f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数 f（x）的所有“伴随数对”；（3） 若（1，1），（2，﹣1）都是函数 f（x）的“伴随数对”，当 1≤x＜2 时， f（x）=0．求当 2014≤x≤2016 时，函数 y=f（x）的零点．；当 x=2 时，20. （10 分） (2019 高三上·珠海月考) 设数列 。
、徐州市、宿迁市高三数学下学期第三次模拟考试试题(2021年整理)
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试试题参考公式:样本数据x1，x2，…,x n的方差s2＝错误!错误!（x i－x)2,其中x＝错误!错误!x i。
棱锥的体积V＝错误!Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1。
已知集合A＝｛－1，1,2｝,B＝｛0，1，2,7}，则集合A∪B中元素的个数为________．2. 设a，b∈R,错误!＝a＋b i（i为虚数单位）,则b的值为________．(第5题)3. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线错误!－错误!＝1的离心率是________．4。
现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦"这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．5. 如图是一个算法的流程图,则输出的k的值为________．6. 已知一组数据3,6，9，8，4，则该组数据的方差是________．7. 已知实数x，y满足错误!则错误!的取值范围是________．8. 若函数f(x)＝2sin(2x＋φ）错误!的图象过点(0,错误!)，则函数f(x)在上的单调减区间是________．9. 在公比为q且各项均为正数的等比数列｛a n｝中，S n为｛a n}的前n项和．若a1＝错误!，且S5＝S2＋2,则q的值为________．10。
2017年江苏省高考数学模拟应用题选编(三)
2017年江苏省高考数学模拟应用题大全（三）1、（江苏省连云港、徐州、宿迁2017届高三年级第三次模拟考试）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值 越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．2、（江苏省南京、淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．3、（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟考试数学试题）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当r 和θ分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；A BCDFEO(第1题)G θ（第2题图）（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.4、（江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．5、（江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次调研考试数学试题）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参 观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建该参观线路的最低费用．（第4题图）DCB AO（第5题）6、（江苏省南通、扬州、泰州、徐州、淮安、宿迁2017届高三二模数学试题）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截 成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．7、（江苏省如皋市2017届高三下学期语数英学科联考（二）数学试题）如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB 围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB 上，街道由两条平行于对称轴l 且关于l 对称的两线段EF 、CD ，及夹在两线段EF 、CD 间的弧组成．若商业街在两线段EF 、CD 上收益为每千米2a 元，在两线段EF 、CD 间的弧上收益为每千米a 元．已知2AOB π∠=，设2EOD θ∠=，(1) 将商业街的总收益()f θ表示为θ的函数； (2) 求商业街的总收益的最大值．北(第6题)8、（江苏省苏州大学2017届高考数学考前指导卷 1）如图，某地区有一块（百米），植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为.（1（2，若计划9、舞，试求这块圆形广场的最大面积．(10、（江苏省泰州市2017届高三考前参考题数学试题）甲、乙分别位于扇形居民区弧⌒AB合）处建造一个大型快件集散中心，经过前期的调查，发现可以分别用抗拒系数⌒AB的中点时，（1（211、（上海市崇明区2017届高三第二次（4月）模拟考试数学试卷）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．E为A B中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比（1AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，甲？12、（江苏省学大教育2017届高考数学密2）13、（江苏省学大教育2017届高考数学密1）某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面仪容镜（仪容镜为平面镜），如图，仪容2米，（1（2答案1、（12分分，所以定义域为10分12分所以，所以，故有最大，此时（2）1m ．………16分2、（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ．＝(4－23cos θ) 800sin θ ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分34、解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40，从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252 平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b 2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立．设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)．则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分5、【解】设DE 与半圆相切于点QDQ＝QE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）方法一：由题意得，点E……1分设直线EF，因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF (3)分F……5分即．……7分方法二：切圆所以Rt△EHF≌Rt△OGF，……3分……5分所以．……7分（2①所以当时，取最小值为……11分②……13分且当时，；当时，调递增．由①②知，取最小值为……15分答：（1（2）修建该参观线路的最低费用为万元．……16分6、解：（1，……2分．……5分又B到边界线l……8分（2AB C图甲走私……12分1.55所以缉私艇能在领海内截住走私船．……14分答：（1（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．……16分18.7、1）①3分②6分由①②8分（2）①列表：11分所以在时单调递减所以…………………14分10分的面积最大值为分⌒AB（2由（119.11、解：（1分分.....................................................6分（2）以所在直线为轴，中垂线为分分6为半径的上半圆在矩形区域人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲...........................................14分12、13由正弦定理，)2,21(tan 2321sin )32sin(sin sin ∈+=-==C C C C B AB AC π即的取值范围为AB AC 的取值范围为（2,21）（2）易知AD A A 2='、又由三角形ABC 的面积A AC AB AD BC S sin 2121⋅=⋅=,可得AC AB AD ⋅=43由余弦定理，AC AB AC AB AC AB A AC AB AC AB BC ⋅=⋅-⋅≥⋅⋅-+==2cos 24222, 解得4≤⋅AC AB ，当且仅当2==AC AB 时。
江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2017届高三数学第三次模拟考试试题(含解析)
江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三数学第三次模拟考试试题（含解析）参考公式：样本数据的方差，其中.棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，是高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合，，则集合中元素的个数为____．【答案】【解析】由于，所以集合中元素的个数为5.【点睛】根据集合的交、并、补定义：，，，求出，可得集合中元素的个数.2. 设，（为虚数单位），则的值为____．【答案】1【解析】由于，有，得.3. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率是____．【答案】【解析】4. 现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是____．【答案】【解析】把这三张卡片排序有“中”“国”“梦”，“中”“梦”“国”，“国”“中”“梦”；“国”“梦”“中”“梦”“中”“国”；“梦”“国”“中”；共计6种，能组成“中国梦” 的只有1种，概率为.【点睛】本题为古典概型，三个字排列可采用列举法，把所有情况按顺序一、一列举出来，写出基本事件种数，再找出符合要求的基本事件种数，再利用概率公式，求出概率值.5. 如图是一个算法的流程图，则输出的的值为____．【答案】【解析】试题分析：由得，再由题意知.考点：算法流程图的识读和理解．6. 已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是____．【答案】(或)【解析】7. 已知实数，满足则的取值范围是____．【答案】(或)【解析】本题为线性规划，画出一元二次不等式组所表示的可行域，目标函数为斜率型目标函数，表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，得出最优解为，则的取值范围是【点睛】线性规划问题为高考热点问题，线性规划考查方法有两种，一为直接考查，目标函数有截距型、斜率型、距离型（两点间距离和点到直线距离）等，二为线性规划的逆向思维型，给出最优解或最优解的个数反求参数的范围或参数的值.8. 若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是____．【答案】(或)【解析】函数的图象过点，则，，，.,,,有于在为减函数，所以，解得.9. 在公比为且各项均为正数的等比数列中，为的前项和．若，且，则的值为____．【答案】【解析】 , ,,.10. 如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥的体积为____．【答案】【解析】由已知，由于平面，所以【点睛】求三棱锥的体积要注意利用体积转化，以方便计算.体积转化方法有平行转化法、比例转化法、对称转化法.用上述方法交换顶点的位置，此外还经常利用底面的关系交换底面，利用图形特点灵活转化，达到看图清楚，计算简单的目的.11. 如图，已知正方形的边长为，平行于轴，顶点，和分别在函数，和()的图象上，则实数的值为____．【答案】【解析】由于顶点，和分别在函数，和()的图象上，设，由于平行于轴，则，有，解得，又，则.【点睛】由于正方形三个顶点在对数函数图像上，且平行于轴，则轴，因此可以巧设出三点的坐标，利用两点纵坐标相等，横坐标之差的绝对值为边长2，以及两点横坐标相等，纵坐标之差的绝对值为边长2，解答出本题.12. 已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是____．【答案】(或)【解析】利用一元二次方程根的分布去解决，设，当时，即时，对恒成立；当时，，不合题意；当时，符合题意；当时，，即，即：综上所述：实数的取值范围是.【点睛】有关一元二次方程的根的分布问题，要结合一元二次方程和二次函数的图象去作，要求函数值在某区间为正，需要分别对判别式大于零、等于零和小于零进行分类研究，注意控制判别式、对称轴及特殊点的函数值的大小，列不等式组解题.13. 在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是____．【答案】(或)【解析】由于圆存在以为中点的弦，且，所以,如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，连接，，由于，，，解得.【点睛】已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆存在以为中点的弦，且，说明，就是说圆上存在两点，使得.过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，则只需，列出不等式解出的范围.14. 已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，．当取得最大值时，的值为____．【答案】【解析】设的外接圆半径为，则 .,,.,，则当，即：时，取得最大值为，此时中，.【点睛】已知三角形的一边及其所对的角，可以求出三角形外接圆的半径，利于应用正弦定理“边化角”“角化边”，也利于应用余弦定理. 具备这样的条件时要灵活选择解题路线，本题采用先“边化角”后减元的策略，化为关于角的三角函数式，根据角的范围研究三角函数的最值，从角的角度去求最值，由于答案更加准确，所以成为一种通法，被更多的人采用.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15. 如图，在中，已知点在边上，，，，．（1）求的值；（2）求的长．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：根据平方关系由求出，利用求出，根据三角形内角和关系利用和角公式求出，利用正弦定理求出，根据，计算，最后利用余弦定理求出.试题解析：（1）在中，，，所以．同理可得，．所以．（2）在中，由正弦定理得，．又，所以．在中，由余弦定理得，．【点睛】凑角求值是高考常见题型，凑角求知要“先备料”后代入求值，第二步利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，要灵活使用正、余弦定理，有时还要用到面积公式，注意边角互化.16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱交于点．（1）求证：；（2）若平面平面，求证：．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：利用线面平行的判定定理由，说明平面，再由线面平行的性质定理，说明线线平行；由面面垂直的性质定理，平面内一条直线垂直交线，说明线面垂直，利用线面垂直的判定定理说明线面垂直.（1）因为是矩形，所以．又因为平面，平面，所以平面．又因为平面，平面平面，所以．（2）因为是矩形，所以．又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由（1）知，所以．【点睛】证明垂直问题时，从线线垂直入手，进而达到线面垂直，最终证明面面垂直，而面面垂直的性质定理显得更加重要，使用面面垂直的性质定理时，一定要抓住交线，面面垂直性质定理的使用非常重要，要引起重视.17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：设直线的方程，联立方程组，利用向量关系找出两交点的纵坐标关系，解方程求出直线方程；利用第一步的根与系数关系，借助已知的斜率关系求出的值.试题解析：（1）因为，，所以，所以的坐标为，设，，直线的方程为，代入椭圆方程，得，则，．若，则，解得，故直线的方程为．（2）由（1）知，，，所以，所以，故存在常数，使得．【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设存在，利用所求的，，结合已知条件，得出坐标关系，再把，代入求出符合题意，则存在，否则不存在.18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且．设，透光区域的面积为．（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．【答案】（1）（2）【解析】试题分析: 根据题意表示出所需的线段长度，再分别求三角形和扇形面积，从而表示出总面积，再根据题意要求求出函数的定义域；根据题意表示出“透光比”函数，借助求导，研究函数单调性求出最大值.试题解析:（1）过点作于点，则，所以，．所以，因为，所以，所以定义域为．（2）矩形窗面的面积为．则透光区域与矩形窗面的面积比值为．…10分设，．则，因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减．所以当时，有最大值，此时(m)．答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1m．【点睛】应用问题在高考试题中很常见，也是学生学习的弱点，建立函数模型是关键，本题根据题目所给的条件列出面积关于自变量的函数关系，注意函数的定义域；求函数最值问题方法很多，求导是一种通法.19. 已知两个无穷数列和的前项和分别为，，，，对任意的，都有．（1）求数列的通项公式；（2）若为等差数列，对任意的，都有．证明：；（3）若为等比数列，，，求满足的值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：利用题目提供的方面的关系，借助转化为的关系，证明出满足等差数列定义，利用等差数列通项公式求出，进而得出，成等差数列，写出，根据恒成立，得出和公差的要求，比较的大小可采用比较法；是以为首项，为公比的等比数列，求出和，根据题意求出的值.试题解析：（1）由，得，即，所以．由，，可知．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．故的通项公式为．（2）证法一：设数列的公差为，则，由（1）知，．因为，所以，即恒成立，所以即又由，得，所以．所以，得证．证法二：设的公差为，假设存在自然数，使得，则，即，因为，所以．所以，因为，所以存在，当时，恒成立．这与“对任意的，都有”矛盾！所以，得证．（3）由（1）知，．因为为等比数列，且，，所以是以为首项，为公比的等比数列．所以，．则，因为，所以，所以．而，所以，即（*）．当，时，（*）式成立；当时，设，则，所以．故满足条件的的值为和．【点睛】等差数列和等比数列是高考的重点，要掌握等差数列和等比数列的通项公式与前项和公式，另外注意利用这个公式，从到，从到转化.20. 已知函数，．（1）当时，求函数的单调增区间；（2）设函数，．若函数的最小值是，求的值；（3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数，为坐标原点．求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：求函数的单调区间可利用求导完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出最值；解决问题，先求出斜率的取值范围，根据垂直关系得出斜率的取值范围，转化为恒成立问题，借助恒成立思想解题.试题解析：（1）当时，，．因为在上单调增，且，所以当时，；当时，．所以函数的单调增区间是．（2），则，令得，当时，，函数在上单调减；当时，，函数在上单调增．所以．①当，即时，函数的最小值，即，解得或（舍），所以；②当，即时，函数的最小值，解得（舍）．综上所述，的值为．（3）由题意知，，．考虑函数，因为在上恒成立，所以函数在上单调增，故．所以，即在上恒成立，即在上恒成立．设，则在上恒成立，所以在上单调减，所以．设，则在上恒成立，所以在上单调增，所以．综上所述，的取值范围为．【点睛】求函数的单调区间、极值和最值是高考常见基础题，求函数的单调区间可利用求导完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出最值；恒成立为题为高考热点，已经连续命题许多年，必须重视.本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上．若，求的度数．【答案】45°【解析】试题分析：同弧或等弧所对的圆周角相等，利用等量代换，借助角与角的关系求出所求的角 .试题解析：连结，．因为为弧的中点，所以．而，所以，即．又因为，所以，故．【点睛】平面几何选讲部分要注意与圆有关的定理，特别是涉及到角的关系的定理，寻求角的相等，边与边的关系，大多利用全等三角形或相似三角形解题.22.已知矩阵，若，求矩阵的特征值．【答案】矩阵的特征值为，．【解析】试题分析: 根据矩阵运算解出，写出矩阵的特征多项式，计算后令，求出特征值.试题解析：因为，所以解得所以．所以矩阵的特征多项式为，令，解得矩阵的特征值为，．【点睛】矩阵为选修内容，根据矩阵运算解出，写出矩阵的特征多项式，计算后令，求出特征值.23.在极坐标系中，已知点，点在直线上．当线段最短时，求点的极坐标．【答案】点的极坐标为．【解析】试题分析：利用极坐标与直角坐标互化公式，把化为直角坐标，再把的方程化为直角坐标方程，要使最短，过点作直线的垂线，垂足为，写出垂线方程，解方程组求出交点坐标，再化为极坐标.试题解析：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为．最短时，点为直线与直线的交点，解得所以点的直角坐标为．所以点的极坐标为．【点睛】极坐标为选修内容，掌握极坐标与直角坐标互化公式，掌握点和方程的互化，结合解析几何知识解题.24. 已知，，为正实数，且．求证：．【答案】详见解析【解析】试题分析：根据实施等转不等，得出，再根据三个正数的算术平均数不小于几何平均数，证明出结论.试题解析：因为，所以，所以，当且仅当时，取“”．【点睛】不等式选讲为选修内容，注意利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式进行证明，另外注意选用证明方法，如综合法、分析法、反证法，与正整数有关的命题有时还采用数学归纳法.【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．【答案】（1）曲线的方程为．（2）详见解析试题解析：（1）因为直线与垂直，所以为点到直线的距离．连结，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以．所以点的轨迹是抛物线．焦点为，准线为．所以曲线的方程为．（2）由题意，过点的切线斜率存在，设切线方程为，联立得，所以，即（*），因为，所以方程（*）存在两个不等实根，设为，因为，所以，为定值．【点睛】求动点轨迹方程是常见考题，常用方法有直接法、坐标相关法，定义法、交轨法、参数法等，定点、定值问题常出现在考题的第二步，一般采用设而不求的解题思想.26. 已知集合，对于集合的两个非空子集，，若，则称为集合的一组“互斥子集”．记集合的所有“互斥子集”的组数为(视与为同一组“互斥子集”)．（1）写出，，的值；（2）求．【答案】（1），，．（2）．【解析】试题分析：分别对三种情况研究集合的非空子集，并找出交集为空集的子集对数，得出，任意一个元素只能在集合，，之一中，则这个元素在集合，，中，共有种；减去为空集的种数和为空集的种数加1，又与为同一组“互斥子集”，得出.试题解析：（1），，．（2）解法一：设集合中有k个元素，．则与集合互斥的非空子集有个．于是．因为，，所以．解法二：任意一个元素只能在集合，，之一中，则这个元素在集合，，中，共有种；其中为空集的种数为，为空集的种数为，所以，均为非空子集的种数为，又与为同一组“互斥子集”，所以．【点睛】本题为自定义信息题，这是近几年一些省市高考压轴题，首先要读懂新定义的概念的含义，从简单的情况入手去研究，如本题先从入手，，其非空子集有三个，满足的有一对，则，继续探讨，推广到.。
江苏苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2017年高考年级第三次模拟考试数学试题卷及答案解析
数学Ⅰ
参考公式：样本数据
x1, x2 ,, xn
s2 的方差
1 n
n
( xi
i 1
x )2
，其中
x
1 n
n
xi
i 1
V .棱锥的体积
1 Sh 3，
其中 S 是棱锥的底面积， h 是高.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置
是
第六圈
否
0
0
1
0
2
－2
3
－2
4
0
5
4
输出 5
∴最终输出结果 k=5 【考点】程序框图。
6.已知一组数据 3 ， 6 ， 9 ， 8 ， 4 ，则该组数据的方差是____．
26 【答案】 5
【解析】
x
1
(3
6
9
8
4)
6, S 2
1 [(3
6)2
(6
6)2
(9
6)2
(8
62 )
P( A) m
件种数，再找出符合要求的基本事件种数，再利用概率公式
n ，求出概率值.
5.下图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 ． 【答案】5。 【解析】 根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：
是否继续循环
k
k2 5k 4
循环前
第一圈
是
第二圈
是
第三圈
是
第四圈
2017年江苏省高考数学三模试卷
2017年江苏省高考数学三模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|=．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则=．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为．9．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为．10．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为．12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C的离心率为．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=，cos∠ACB=，BC=13．（1）求cosB的值；（2）求CD的长．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AE⊥EF．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF=2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且≥，设∠EOF=θ，透光区域的面积为S．（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．19．已知两个无穷数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，a 1=1，S 2=4，对任意的n ∈N *，都有3S n +1=2S n +S n +2+a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若{b n }为等差数列，对任意的n ∈N *，都有S n ＞T n ．证明：a n ＞b n ；（3）若{b n }为等比数列，b 1=a 1，b 2=a 2，求满足=a k （k ∈N *）的n 值．20．已知函数f （x ）=+xlnx （m ＞0），g （x ）=lnx ﹣2．（1）当m=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）设函数h （x ）=f （x ）﹣xg （x ）﹣，x ＞0．若函数y=h （h （x ））的最小值是，求m 的值； （3）若函数f （x ），g （x ）的定义域都是[1，e ]，对于函数f （x ）的图象上的任意一点A ，在函数g （x ）的图象上都存在一点B ，使得OA ⊥OB ，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点，求m 的取值范围．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲21．如图，圆O 的弦AB ，MN 交于点C ，且A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上，若∠ACN=3∠ADB ，求∠ADB 的度数．B.选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．C.选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A（2，），点B在直线l：ρcosθ+ρsinθ=0（0≤θ≤2π）上，当线段AB最短时，求点B的极坐标．D.选修4-5：不等式选讲24．已知a，b，c为正实数，且a3+b3+c3=a2b2c2，求证：a+b+c≥3．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]25．在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．[选修4-5：不等式选讲]26．已知集合U={1，2，…，n}（n∈N*，n≥2），对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=∅，则称（A，B）为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f（n）（视（A，B）与（B，A）为同一组“互斥子集”）．（1）写出f（2），f（3），f（4）的值；（2）求f（n）．2017年江苏省高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是5．【考点】1D：并集及其运算．【分析】利用并集定义先求出A∪B，由此能求出集合A∪B中所有元素之和．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={﹣1，0，1，1，2，3}，∴集合A∪B中所有元素之和是：﹣1+0+1+2+3=5．故答案为：5．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算化为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求【解答】解：∵（1+2i）z=i，∴z===+，∴复数z的虚部为．故答案为3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|=2．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】解方程求出函数y与直线y=1的交点A的横坐标，再求线段的长|MA|．【解答】解：令y=tan x=1，解得x=1+4k，k∈Z；又x∈（﹣2，2），∴x=1，∴函数y与直线y=1的交点为A（1，1）；又M（﹣3，﹣1），∴|MA|==2．故答案为：2．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】利用定义求这组数据的平均数、方差和标准差即可．【解答】解：数据12，8，10，11，9的平均数为：=×（12+8+10+11+9）=10，方差为：s2=×[（12﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（9﹣10）2]=2；∴这组数据的标准差为s=．故答案为：．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为﹣1．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=﹣1，n=2016时不满足条件n＜2016，退出循环，输出S的值为﹣1，即可得解．【解答】解：输入s=0，n=1＜2016，s=0，n=2＜2016，s=﹣1，n=3＜2016，s=﹣1，n=4＜2016，s=0，n=5＜2016，…，由2016=503×4+3得，输出s=﹣1，故答案为：﹣1．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解，∴16a2﹣20a2﹣4a≥0，∴﹣1≤a≤0时方程有实根，∵在区间[﹣1，2]上任取一实数a，∴所求的概率为P==．故答案为：7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则= 5．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】先利用向量的加法把转化为，再代入原题整理后即可求得结论．【解答】解：因为=（+）+（+）=+（）=．∴（）•（）=（）•（）=﹣=32﹣22=5．故答案为58．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为4．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出A1C1⊥平面A1MB，从而三棱锥A1﹣MBC1的体积=，由此能求出结果．【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2=BC2，∴A1C1⊥A1B1，∵AA 1∩A 1B 1=A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ，∵M 是AA 1的中点，∴===3，∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：====4．故答案为：4．9．已知函数f （x ）=x |x ﹣2|，则不等式f （2﹣ln （x +1））＞f （3）的解集为 {x |﹣1＜x ＜﹣1} ．【考点】7E ：其他不等式的解法．【分析】由题意，f （x ）=，在（2，+∞）单调递增，x ＜2，f（x ）max =1＜f （3）=3．f （2﹣ln （x +1））＞f （3）化为2﹣ln （x +1）＞3，即可解不等式．【解答】解：由题意，f （x ）=，在（2，+∞）单调递增，x ＜2，f （x ）max =1＜f （3）=3．∵f （2﹣ln （x +1））＞f （3），∴2﹣ln （x +1）＞3，∴ln （x +1）＜﹣1，∴0＜x +1＜，∴﹣1＜x ＜﹣1，∴不等式f （2﹣ln （x +1））＞f （3）的解集为{x |﹣1＜x ＜﹣1}，故答案为{x |﹣1＜x ＜﹣1}．10．曲线f （x ）=xlnx 在点P （1，0）处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积．【解答】解：f′（x）=lnx+x•=lnx+1，∴在点P（1，0）处的切线斜率为k=1，∴在点P（1，0）处的切线l为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，∵y=x﹣1与坐标轴交于（0，﹣1），（1，0）．∴切线y=x﹣1与坐标轴围成的三角形面积为S=×1×1=．故答案为：．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为（0，2] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】化简f（x）=sinωx，根据正弦函数的单调性得出f（x）的单调增区间，从而列出不等式解出ω的范围．【解答】解：f（x）=+1=2sin xcos x=sinωx，令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ，解得﹣+≤x≤+，k∈Z，∵ω＞0，∴f（x）的一个单调增区间为[﹣，]，∴，解得0＜ω≤2．故答案为（0，2]．12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是＜t＜1．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】求导，求导函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x+cosx，x∈（0，1），∴f′（x）=1﹣sinx＞0，函数单调递增，∵f（t2）＞f（2t﹣1），∴1＞t2＞2t﹣1＞0，∴＜t＜1，故答案为＜t＜1．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y 的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知b=1，求出A点坐标，代入双曲线方程化简即可得出a，c 的关系，从而得出离心率的值．【解答】解：F（c，0），B（0，1），∴b=1．设A（m，n），则=（m，n﹣1），=（c﹣m，﹣n），∵=3，∴，解得，即A（，），∵A在双曲线﹣y2=1的右支上，∴﹣=1，∴=．∴e==．故答案为：．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为ln．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解．【解答】解：因为==1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数y=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，设M（t，t+3lnt）是曲线y=x+3lnx的切点，因为y′=1+，故点M处的切斜的斜率k=1+，由题意可得1+=2，解得t=3，也即当切线与已知直线y=2x+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y=2x+3的距离最近，最近距离d==，也即（a﹣c）2+（b﹣d）2==ln，故答案为：ln二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=，cos∠ACB=，BC=13．（1）求cosB的值；（2）求CD的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）在△ABC中，求出sinA==．，sin∠ACB=．可得cosB=﹣cos（A+∠ACB）=sinAsin∠ACB﹣cosAcosB；（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=sin∠ACB．在△BCD中，由余弦定理得，CD=．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=，A∈（0，π），所以sinA==．同理可得，sin∠ACB=．所以cosB=cos[π﹣（A+∠ACB）]=﹣cos（A+∠ACB）=sinAsin∠ACB﹣cosAcos∠ACB=；（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=sin∠ACB=．又AD=3DB，所以DB=．在△BCD中，由余弦定理得，CD===9．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AE⊥EF．【考点】LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出AB∥CD，从而AB∥平面PDC，由此能证明AB∥EF．（2）推导出AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而AB⊥AF，由AB∥EF，能证明AF⊥EF．【解答】证明：（1）因为ABCD是矩形，所以AB∥CD．又因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC．又因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC=EF，所以AB∥EF．（2）因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD．又AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF．又由（1）知AB∥EF，所以AF⊥EF．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF=2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆方程求出a，b，c，可得F的坐标，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，求得P，Q的纵坐标，再由向量共线的坐标表示，可得m的方程，解方程可得m，进而得到直线l的方程；（2）运用韦达定理可得y1+y2，y1y2，my1y2，由A（﹣2，0），B（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1=my1+1，x2=my2+1，运用直线的斜率公式，化简整理计算可得常数λ的值，即可判断存在．【解答】解：（1）因为a2=4，b2=3，所以c==1，所以F的坐标为（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程+=1，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，则y1=，y2=．若QF=2FP，即=2，则+2•=0，解得m=，故直线l的方程为x﹣2y﹣=0．（2）由（1）知，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，所以my1y2=﹣=（y1+y2），由A（﹣2，0），B（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1=my1+1，x2=my2+1，所以=•===，故存在常数λ=，使得k1=k2．18．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且≥，设∠EOF=θ，透光区域的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．【考点】HN：在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）过点O作OH⊥FG于H，写出透光面积S关于θ的解析式S，并求出θ的取值范围；（2）计算透光区域与矩形窗面的面积比值，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求出比值最大时对应边AB的长度．【解答】解：（1）过点O作OH⊥FG于H，∴∠OFH=∠EOF=θ；又OH=OFsinθ=sinθ， FH=OFco sθ=cosθ，∴S=4S △OFH +4S 阴影OEF =2sinθcosθ+4×θ=sin2θ+2θ；∵≥，∴sinθ≥，∴θ∈[，）；∴S 关于θ的函数关系式为S=sin2θ+2θ，θ∈[，）；（2）由S 矩形=AD•AB=2×2sinθ=4sinθ，∴=+，设f （θ）=+，θ∈[，），则f′（θ）=﹣sinθ+===；∵≤θ＜，∴sin2θ≤，∴sin2θ﹣θ＜0， ∴f′（θ）＜0，∴f （θ）在θ∈[，）上是单调减函数；∴当θ=时f （θ）取得最大值为+，此时AB=2sinθ=1（m ）；∴S 关于θ的函数为S=sin2θ+2θ，θ∈[，）；所求AB 的长度为1m ．19．已知两个无穷数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，a 1=1，S 2=4，对任意的n ∈N *，都有3S n +1=2S n +S n +2+a n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若{b n }为等差数列，对任意的n ∈N *，都有S n ＞T n ．证明：a n ＞b n ；（3）若{b n }为等比数列，b 1=a 1，b 2=a 2，求满足=a k （k ∈N *）的n 值．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）方法一、设数列{b n }的公差为d ，求出S n ，T n ．由恒成立思想可得b 1＜1，求出a n ﹣b n ，判断符号即可得证；方法二、运用反证法证明，设{b n }的公差为d ，假设存在自然数n 0≥2，使得a≤b，推理可得d ＞2，作差T n ﹣S n ，推出大于0，即可得证；（3）运用等差数列和等比数列的求和公式，求得S n ，T n ，化简，推出小于3，结合等差数列的通项公式和数列的单调性，即可得到所求值． 【解答】解：（1）由3S n +1=2S n +S n +2+a n ，得2（S n +1﹣S n ）=S n +2﹣S n +1+a n ， 即2a n +1=a n +2+a n ，所以a n +2﹣a n +1=a n +1﹣a n ． 由a 1=1，S 2=4，可知a 2=3．所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． 故{a n }的通项公式为a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，n ∈N*． （2）证法一：设数列{b n }的公差为d ，则T n =nb 1+n （n ﹣1）d ，由（1）知，S n =n （1+2n ﹣1）=n 2．因为S n ＞T n ，所以n 2＞nb 1+n （n ﹣1）d ， 即（2﹣d ）n +d ﹣2b 1＞0恒成立，所以，即，又由S 1＞T 1，得b 1＜1，所以a n ﹣b n =2n ﹣1﹣b 1﹣（n ﹣1）d=（2﹣d ）n +d ﹣1﹣b 1≥2﹣d +d ﹣1﹣b 1=1﹣b 1＞0．所以a n ＞b n ，得证．证法二：设{b n }的公差为d ，假设存在自然数n 0≥2，使得a ≤b ， 则a 1+2（n 0﹣1）≤b 1+（n 0﹣1）d ，即a 1﹣b 1≤（n 0﹣1）（d ﹣2），因为a 1＞b 1，所以d ＞2．所以T n ﹣S n =nb 1+n （n ﹣1）d ﹣n 2=（d ﹣1）n 2+（b 1﹣d ）n ，因为d ﹣1＞0，所以存在N ∈N*，当n ＞N 时，T n ﹣S n ＞0恒成立． 这与“对任意的n ∈N *，都有S n ＞T n ”矛盾！所以a n ＞b n ，得证．（3）由（1）知，S n =n 2．因为{b n }为等比数列，且b 1=1，b 2=3，所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列．所以b n =3n ﹣1，T n =（3n ﹣1）．则===3﹣，因为n ∈N*，所以6n 2﹣2n +2＞0，所以＜3．而a k =2k ﹣1，所以=1，即3n ﹣1﹣n 2+n ﹣1=0（*）．当n=1，2时，（*）式成立；当n ≥2时，设f （n ）=3n ﹣1﹣n 2+n ﹣1，则f （n +1）﹣f （n ）=3n ﹣（n +1）2+n ﹣（3n ﹣1﹣n 2+n ﹣1）=2（3n ﹣1﹣n ）＞0， 所以0=f （2）＜f （3）＜…＜f （n ）＜…，故满足条件的n 的值为1和2．20．已知函数f（x）=+xlnx（m＞0），g（x）=lnx﹣2．（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数h（x）=f（x）﹣xg（x）﹣，x＞0．若函数y=h（h（x））的最小值是，求m的值；（3）若函数f（x），g（x）的定义域都是[1，e]，对于函数f（x）的图象上的任意一点A，在函数g（x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出h（x）的最小值，从而求出m的值即可；（3）根据OA和OB的关系，问题转化为﹣x2lnx≤m≤x2（e﹣lnx）在[1，e]上恒成立，设p（x）=﹣x2lnx，根据函数的单调性求出m≥p（1）=，设q （x）=x2（e﹣lnx），根据函数的单调性求出m≤q（1），从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=+xlnx，f′（x）=+lnx+1，因为f′（x）在（0，+∞）上单调增，且f′（1）=0，所以当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）的单调增区间是（1，+∞）．（2）h（x）=+2x﹣，则h′（x）=，令h′（x）=0，得x=，当0＜x＜时，h′（x）＜0，函数h（x）在（0，）上单调减；当x＞时，h′（x）＞0，函数h（x）在（，+∞）上单调增．所以[h（x）]min=h（）=2m﹣，①当（2m﹣1）≥，即m≥时，函数y=h（h（x））的最小值h（2m﹣）= [+2（2﹣1）﹣1]=，即17m﹣26+9=0，解得=1或=（舍），所以m=1；②当0＜（2﹣1）＜，即＜m＜时，函数y=h（h（x））的最小值h（）=（2﹣1）=，解得=（舍），综上所述，m的值为1．（3）由题意知，K OA=+lnx，K OB=，考虑函数y=，因为y′=在[1，e]上恒成立，所以函数y=在[1，e]上单调增，故K OB∈[﹣2，﹣]，所以K OA∈[，e]，即≤+lnx≤e在[1，e]上恒成立，即﹣x2lnx≤m≤x2（e﹣lnx）在[1，e]上恒成立，设p（x）=﹣x2lnx，则p′（x）=﹣2lnx≤0在[1，e]上恒成立，所以p（x）在[1，e]上单调减，所以m≥p（1）=，设q（x）=x2（e﹣lnx），则q′（x）=x（2e﹣1﹣2lnx）≥x（2e﹣1﹣2lne）＞0在[1，e]上恒成立，所以q（x）在[1，e]上单调增，所以m≤q（1）=e，综上所述，m的取值范围为[，e]．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲21．如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且A为弧MN的中点，点D在弧BM 上，若∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数．【考点】NB：弦切角．【分析】连结AN，DN．利用圆周角定理，结合∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数．【解答】解：连结AN，DN．因为A为弧MN的中点，所以∠ANM=∠ADN．而∠NAB=∠NDB，所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB，即∠BCN=∠ADB．又因为∠ACN=3∠ADB，所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°，故∠ADB=45°．B.选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】利用矩阵的乘法，求出a，d，利用矩阵A的特征多项式为0，求出矩阵A的特征值．【解答】解：因为A==，所以，解得a=2，d=1．所以矩阵A的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣6=（λ﹣4）（λ+1），令f（λ）=0，解得矩阵A的特征值为λ=4或﹣1．C.选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A（2，），点B在直线l：ρcosθ+ρsinθ=0（0≤θ≤2π）上，当线段AB最短时，求点B的极坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】点A（2，）的直角坐标为（0，2），直线l的直角坐标方程为x+y=0．AB 最短时，点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点，求出交点，进而得出．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A（2，）的直角坐标为（0，2），直线l的直角坐标方程为x+y=0．AB最短时，点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点，联立，得，所以点B的直角坐标为（﹣1，1）．所以点B的极坐标为．D.选修4-5：不等式选讲24．已知a，b，c为正实数，且a3+b3+c3=a2b2c2，求证：a+b+c≥3．【考点】R6：不等式的证明．【分析】利用基本不等式的性质进行证明．【解答】证明：∵a3+b3+c3=a2b2c2，a3+b3+c3≥3abc，∴a2b2c2≥3abc，∴abc≥3，∴a+b+c≥3≥3．当且仅当a=b=c=时，取“=”．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]25．在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）连接PF，运用中垂线的性质可得|MP|=|PF|，再由抛物线的定义可得点P的轨迹方程；（Ⅱ）求得M（﹣1，n），过点M的切线斜率存在，设为k，则切线方程为：y ﹣n=k（x+1），联立抛物线的方程，消去y，运用相切的条件：判别式为0，再由韦达定理，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）据题意，MP⊥直线x=﹣1，∴|MP|为点P到直线x=﹣1的距离，连接PF，∵P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点，∴|MP|=|PF|，∴P点的轨迹是抛物线，焦点为F（1，0），准线为直线x=﹣1，∴曲线Г的方程为y2=4x；（Ⅱ）证明：据题意，M（﹣1，n），过点M的切线斜率存在，设为k，则切线方程为：y﹣n=k（x+1），联立抛物线方程可得ky2﹣4y+4k+4n=0，由直线和抛物线相切，可得△=16﹣4k（4k+4n）=0，即k2+kn﹣1=0，（*）∵△=n2+4＞0，∴方程（*）存在两个不等实根，设为k1，k2，∵k1=k AM，k2=k BM，由方程（*）可知，k AM•k BM=k1•k2=﹣1，∴切线AM⊥BM，∴∠AMB=90°，结论得证．[选修4-5：不等式选讲]26．已知集合U={1，2，…，n}（n∈N*，n≥2），对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=∅，则称（A，B）为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f（n）（视（A，B）与（B，A）为同一组“互斥子集”）．（1）写出f（2），f（3），f（4）的值；（2）求f（n）．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】（1）直接由“互斥子集”的概念求得f（2），f（3），f（4）的值；（2）由题意，任意一个元素只能在集合A，B，C=C U（A∪B）之一中，求出这n个元素在集合A，B，C中的个数，再求出A、B分别为空集的种数，则f（n）可求．【解答】解：（1）f（2）=1，f（3）=6，f（4）=25；（2）任意一个元素只能在集合A，B，C=C U（A∪B）之一中，则这n个元素在集合A，B，C中，共有3n种；其中A为空集的种数为2n，B为空集的种数为2n，∴A，B均为非空子集的种数为3n﹣2n+1+1，又（A，B）与（B，A）为一组“互斥子集”，∴f（n）=．2017年5月24日。
连云港、徐州、宿迁2017届数学三模(含参考答案)
连云港、徐州、宿迁2017届数学三模(含参考答案)S 数学Ⅰ试卷 第2页 （共38页）宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,nx x x L 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11n ii x x n ==∑.棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,1,2}A =-，{0,1,2,7}B =，则集合A B U 中注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本S 数学Ⅰ试卷 第3页 （共38页）元素的个数为 ▲ ．2．设a b ∈R ，，1ii 1i a b +=+-（i 为虚数单位），则b 的值为 ▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22143y -=的离心率是 ▲ ．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 ▲ ．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．6．已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ▲ ． 7．已知实数x ，y 满足1,3,2,y x x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥ 则yx 的取值范围是▲ ．8．若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点3)， 开结N k ←输出k k ←k 2－Y （第5题）S 数学Ⅰ试卷 第4页 （共38页）则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是 ▲ ． 9．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}na 中，nS 为{}na 的前n 项和．若121a q=，且522S S =+，则q 的值为 ▲ ．10．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，点P 在棱1CC 上，则三棱锥1P ABA -的体积为 ▲ ．ABC PA BC (第10题)y xOA DB CS 数学Ⅰ试卷 第5页 （共38页）11．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数13log ay x =，22log ay x =和3log ay x =(1a >)的图象上，则实数a 的值为 ▲ ．12．已知对于任意的(,1)(5,)x ∈-∞+∞U ，都有22(2)0x a x a --+>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(2)()3C x y m ++-=．若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知ABC △三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π3C =，2c =．当AC AB ⋅u u u r u u u r 取得最大值时，b a的值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．S 数学Ⅰ试卷 第6页 （共38页）15．（本小题满分14分）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．AB CD(第15题)16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB EF∥；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF EF⊥．A B CD EFP(第16题)S 数学Ⅰ试卷第7页（共38页）S 数学Ⅰ试卷 第8页 （共38页）17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22143x y C :+=的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．ABP QO F x yS 数学Ⅰ试卷 第9页 （共38页）18．（本小题满分16分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ． （1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域； （2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值 越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．A B C D F E O(第18题) GθS 数学Ⅰ试卷 第10页 （共38页）19．（本小题满分16分）已知两个无穷数列{}na 和{}nb 的前n 项和分别为n S ，n T ，11a =，24S =，对任意的*n N ∈，都有1232n n n nS S S a ++=++．（1）求数列{}na 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，对任意的*n N ∈，都有nnS T >．证明：nna b >；（3）若{}nb 为等比数列，11b a =，22ba =，求满足*2()2n n kn na Ta k bSN +=∈+的n 值．20．（本小题满分16分）已知函数()ln (0)m f x x x m x=+>，()ln 2g x x =-． （1）当1m =时，求函数()f x 的单调增区间； （2）设函数()()()2h x f x xg x =--0x >．若函数(())y h h x =32求m的值；（3）若函数()f x，()g x的定义域都是[1,e]，对于函数()f x的图象上的任意一点A，在函数()g x的图象上都存在一点B，使得，其中e是自然对数的底数，O为OA OB坐标原点．求m的取值范围．宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。
2017届江苏省宿迁市三校高三下学期3月质量检测 数学试题及答案
绝密★启用前宿迁市三校2017届高三下学期质量检测数 学 试 卷 2017-03-28注意事项：1、 答题前，考生务必将自己的姓名、考试号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
2、 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
3、 考试结束，考生将本试卷和答题卡一并交回。
否则不予计分。
参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n ii x x n ==∑.一、填空题：(每题5分，共计70分)1、已知{}{}1,0,2,1,1,A B =-=-则A B = ▲ .2、已知复数21iz i=+，(i 为虚数单位)则复数z的实部为▲ .3、写出命题:“若x =3，则x 2-2x -3=0”的否命题: ▲ ．4、一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的“茎叶图”如图，则他在这5场比赛中得分的方差为 ▲ .08910125、如图所示的流程图，输出的n =▲ . 6、已知抛物线28y x=的焦点是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ . 7、若实数,x y 满足不等式组0220x y xx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为▲ ．8、已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 ▲ .9、在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，若338,20,a S ==则5S = ▲ .10、将x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位（0>ϕ），使得平移后的图像过点),23,3(π则ϕ的最小值为 ▲ ． 11、若直线l ： y x a =+被圆()2221x y -+=截得的弦长为2，则a= ▲.12、已知函数f(x)= 22,0,3,0x ax x bx x x ⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为 ▲13、在三角形ABC 中，已知AB=3，A=0120,ABC ∆的面积为4，则BC BA的值= ▲ .14、设点P,M,N 分别在函数22,3y x y y x =+==+的图象上，且2MN PN =,则点P 横坐标的取值范围为 ▲ .二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程） 15、（本小题满分14分）已知()sin cos f x x a x =+， （1）若a =()f x 的最大值及对应的x 的值.（2）若04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1(0)5f x x π=<<，求tanx 的值.16、（本小题满分14分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC,AB BC ⊥，D 为PB 中点，E 为PC 的中点，（1）求证：BC 平面ADE ；（2）求证:平面AED ⊥平面AB P .17、（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25-x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润．．．．．最大？（利润=累计收入+销售收入-总支出）18、（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程;（2）若点B 在椭圆上，点D 在y 轴上，且2BD DA =，求直线AB 方程.19、已知数列{}n a 满足121,0a a a ==>，数列{}n b 满足1n n n b a a += （1）若{}n a 为等比数列，求{}n b 的前n 项的和n s ； （2）若3n n b =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若2n b n =+，求证：121113na a a +++>20、已知函数(),()ln x f x e g x x ==， （1）求证：()1f x x ≥+ ;(2)设01x >,求证：存在唯一的0x 使得g(x)图象在点A(00,()x g x )处的切线l 与y=f(x)图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得()1|1|f x a x--<成立.高三数学试卷参考答案一、填空、(每题5分，满分70分)1、{-1,0,1,2}，2、1,3、“若3x ≠则2230x x --≠”，4、2,5、4,6、y =， 7、6, 8、6π， 9、40, 10、6π， 11、-2,12、-4∞（，），13、332， 14、53[,]22-。
江苏省宿迁市高考数学三模试卷(理科)
江苏省宿迁市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若全集为实数集R，集合，则=（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高三上·长葛月考) 设，为虚数单位，且，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二下·凯里期末) 已知是公差为的等差数列，为数列的前项和，若，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一上·保定期末) 若平面向量与的夹角60°，，|则 =（）A .B .C . 1D . 25. （2分）(2013·四川理) 抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A .B .C . 1D .6. （2分）(2017·南阳模拟) 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A .B . 8πC . 9πD .7. （2分） (2018高一下·北京期中) 某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（）A . 不增不减B . 约增1.4%C . 约减9.2%D . 约减7.8%8. （2分）(2017·衡阳模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）A . i＞3？B . i＜5？C . i＞4？D . i＜4？9. （2分）某五国领导人A，B，C，D，E参加国际会议，除E与B，E与D不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤，现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（）A . 48种B . 36种C . 24种D . 8种10. （2分） (2018高二上·山西月考) 已知，则（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·榆林期末) 椭圆的长轴端点坐标为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·诸暨模拟) 已知f（x）=x2+3x，若|x﹣a|≤1，则下列不等式一定成立的是（）A . |f（x）﹣f（a）|≤3|a|+3B . |f（x）﹣f（a）|≤2|a|+4C . |f（x）﹣f（a）|≤|a|+5D . |f（x）﹣f（a）|≤2（|a|+1）2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知n= x3dx，则（x﹣）n的展开式中常数项为________．14. （1分）(2016·绍兴模拟) 已知数列{an}中，a1=1，a2=3对任意n∈N* ，an+2≤an+3•2n ，an+1≥2an+1都成立，则a2016=________．15. （1分）(2017·辽宁模拟) 已知x、y满足，若x2+y2的最大值为m，最小值为n，则mx+ny 的最小值为________．16. （1分）(2018·石嘴山模拟) 利用一个球体毛坯切削后得到一个四面体，其中底面中，，且，平面，则球体毛胚表面积的最小值应为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2020·丽江模拟) 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，且 .（1）求；（2）求的面积.18. （10分） (2016高二下·郑州期末) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．19. （10分） (2017高一下·衡水期末) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．（1）求证：AB1⊥BC1；（2）求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值．20. （5分） (2017高二上·海淀期中) 某隧道的拱线段计为半个椭圆的形状，最大拱高为（如图所示），路面设计是双向四车道，车道总宽度为．如果限制通行车辆的高度不超过，那么隧道设计的拱宽至少应是多少米（精确到）？21. （5分）(2017·山西模拟) 已知函数f（x）=2lnx，g（x）= ax2+（2a﹣1）x（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x），讨论函数h（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）﹣ax=0有两个不同实数解x1 ， x2 ，求证：lnx1+lnx2＞2．22. （10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（φ为参数），定P（﹣1，0）．（1）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|•|BP|的值．（2）过点P作曲线C的切线m（斜率不为0），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求切线m的极坐标方程．23. （10分）(2018·邵东月考) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
宿迁三模数学试题2017
宿迁三模数学试题2017一、选择题1. 下列哪个数是6的整数倍？A. 4.5B. 8.3C. 7.6D. 5.22. 若正整数a的10%等于b的60%，则a与b的比值是：A. 6:1B. 3:5C. 1:6D. 1:33. 若14x - 20 = 11 - 7x，则x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 小明在一次考试中得了84分，比班级平均成绩高出12分，班级平均成绩是：A. 72B. 80C. 88D. 965. 扇形的半径为10cm，弧长为15cm，扇形的面积为：A. 25π cm²B. 50π cm²C. 75π cm²D. 100π cm²二、填空题1. 已知a:b = 2:3，b:c = 4:5，求a:b:c的值。
2. 某商品原价500元，由于促销活动打折，现价为原价的80%，则现价为多少元？3. 在等差数列1, 3, 5, 7, …中，前10项的和是多少？4. 一辆汽车以每小时60km的速度行驶，行驶一定时间后行驶的距离是80km，这段时间是多久？5. 若a:b = 3:4，b:c = 5:6，且a+b+c=270，求a、b、c的值。
三、解答题1. 有一条长50m的绳子，将其剪成若干段，其中一段长为x，已知剩下的绳子长度是x的2倍，求x的值。
2. 某数与4的差是7，并且这个数是3的倍数，求这个数。
3. 某球队共有25名队员，其中既参加篮球比赛又参加足球比赛的队员有21名，只参加篮球比赛的队员有4名，问只参加足球比赛的队员有几名？4. 某公司一部手机的进价为2000元，售价为3000元，求该手机的利润率。
5. 某班学生成绩的频数分布如下表：成绩范围频数60-70 570-80 880-90 1290-100 3请根据上表回答以下问题：（1）计算该班学生人数。
（2）计算该班学生的平均成绩。
四、解答题1. 解方程组：{ x + y = 6{ 2x - 3y = -92. 将一个数开平方后再开平方，结果是这个数的2倍，求此数。
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2017年江苏省宿迁市高考数学三模试卷一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2}，B={0，1，2，7}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）设a，b∈R，=a+bi（i为虚数单位），则b的值为．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的离心率是．4．（5分）现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．6．（5分）已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是．7．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围是．8．（5分）若函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象过点（0，），则函数f（x）在[0，π]上的单调减区间是．9．（5分）在公比为q且各项均为正数的等比数列{a n}中，S n为{a n}的前n项和．若a1=，且S5=S2+2，则q的值为．10．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1上，则三棱锥P﹣ABA1的体积为．11．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1=3log a x，y2=2log a x和y3=log a x（a＞1）的图象上，则实数a的值为．12．（5分）已知对于任意的x∈（﹣∞，1）∪（5，+∞），都有x2﹣2（a﹣2）x+a＞0，则实数a的取值范围是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C：（x+2）2+（y﹣m）2=3，若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB=2GO，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为α，b，c，且C=，c=2．当取得最大值时，的值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（15分）如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=，cos∠ACB=，BC=13．（1）求cosB的值；（2）求CD的长．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF．17．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF=2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．18．（15分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且≥，设∠EOF=θ，透光区域的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．19．（15分）已知两个无穷数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n，T n，a1=1，S2=4，=2S n+S n+2+a n．对任意的n∈N*，都有3S n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}为等差数列，对任意的n∈N*，都有S n＞T n．证明：a n＞b n；（3）若{b n}为等比数列，b1=a1，b2=a2，求满足=a k（k∈N*）的n值．20．（15分）已知函数f（x）=+xlnx（m＞0），g（x）=lnx﹣2．（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数h（x）=f（x）﹣xg（x）﹣，x＞0．若函数y=h（h（x））的最小值是，求m的值；（3）若函数f（x），g（x）的定义域都是[1，e]，对于函数f（x）的图象上的任意一点A，在函数g（x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲21．如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且A为弧MN的中点，点D在弧BM 上，若∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数．B.选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．C.选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A（2，），点B在直线l：ρcosθ+ρsinθ=0（0≤θ≤2π）上，当线段AB最短时，求点B的极坐标．D.选修4-5：不等式选讲24．已知a，b，c为正实数，且a3+b3+c3=a2b2c2，求证：a+b+c≥3．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]25．在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．[选修4-5：不等式选讲]26．已知集合U={1，2，…，n}（n∈N*，n≥2），对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=∅，则称（A，B）为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f（n）（视（A，B）与（B，A）为同一组“互斥子集”）．（1）写出f（2），f（3），f（4）的值；（2）求f（n）．2017年江苏省宿迁市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，满分70分，江答案填在答题纸上）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2}，B={0，1，2，7}，则集合A∪B中元素的个数为5．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={﹣1，1，2}，B={0，1，2，7}，∴A∪B={﹣1，0，1，2，7}，集合A∪B中元素的个数为5．故答案为：5．【点评】本题考查并集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2．（5分）设a，b∈R，=a+bi（i为虚数单位），则b的值为1．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵a，b∈R，=a+bi（i为虚数单位），∴a+bi===i．∴b=1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数相等、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的离心率是．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a2、b2的值，由双曲线的几何性质可得c的值，进而由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，则a2=4，b2=3，则c==，则其离心率e==；故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键要熟悉双曲线标准方程的形式．4．（5分）现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是．【分析】将这三张卡片随机排序，基本事件总数为：n==6，能组成“中国梦”包含的基本事件个数m=1，由此能求出能组成“中国梦”的概率．【解答】解：现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，基本事件总数为：n==6，能组成“中国梦”包含的基本事件个数m=1，∴能组成“中国梦”的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k的值是3．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．【点评】本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．6．（5分）已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 5.2．【分析】利用定义求这组数据的平均数和方差即可．【解答】解：数据3，6，9，8，4的平均数为：=×（3+6+9+8+4）=6，方差为：s2=×[（3﹣6）2+（6﹣6）2+（9﹣6）2+（8﹣6）2+（4﹣6）2]==5.2．故答案为：5.2．【点评】本题考查了利用定义求数据的平均数和方差的问题，是基础题．7．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围是[，] ．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率，联立方程组求得A（3，﹣1），B（3，2），又，．∴的取值范围是[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）若函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象过点（0，），则函数f（x）在[0，π]上的单调减区间是[，]【或（，）也正确】．【分析】根据函数f（x）图象过点（0，）求出φ的值，写出f（x）解析式，再根据正弦函数的图象与性质求出f（x）在[0，π]上的单调减区间．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象过点（0，），∴f（0）=2sinφ=，∴sinφ=；又∵0＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）；令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；令k=0，得函数f（x）在[0，π]上的单调减区间是[，]．故答案为：[，]【或（，）也正确】．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9．（5分）在公比为q且各项均为正数的等比数列{a n}中，S n为{a n}的前n项和．若a1=，且S5=S2+2，则q的值为．【分析】由a1=，且S5=S2+2，q＞0．可得a3+a4+a5=（1+q+q2）=2，代入化简解出即可得出．【解答】解：∵a1=，且S5=S2+2，q＞0．∴a3+a4+a5=（1+q+q2）=2，∴q2+q﹣1=0，解得q=．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1上，则三棱锥P﹣ABA1的体积为．【分析】点P到平面ABA1的距离即为△ABC的高，由此能求出三棱锥P﹣ABA1的体积．【解答】解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=3，点P在棱CC1上，∴点P到平面ABA1的距离即为△ABC的高，即为h==，==，三棱锥P﹣ABA1的体积为：V===．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合、化归与转化思想，是中档题．11．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1=3log a x，y2=2log a x和y3=log a x（a＞1）的图象上，则实数a的值为．【分析】设B（x，2log a x），利用BC平行于x轴得出C（x2，2log a x），利用AB垂直于x轴得出A（x，3log a x），则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为log a x=x2﹣x=2，求出x，再求a 即可．．【解答】解：设B（x，2log a x），∵BC平行于x轴，∴C（x′，2log a x）即log a x′=2log a x，∴x′=x2，∴正方形ABCD边长=|BC|=x2﹣x=2，解得x=2．由已知，AB垂直于x轴，∴A（x，3log a x），正方形ABCD边长=|AB|=3log a x﹣2log a x=log a x=2，即log a2=2，∴a=，故答案为：．【点评】本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现出了数形结合的思想．12．（5分）已知对于任意的x∈（﹣∞，1）∪（5，+∞），都有x2﹣2（a﹣2）x+a＞0，则实数a的取值范围是（1，5] ．【分析】对△进行讨论，利用二次函数的性质列不等式解出．【解答】解：△=4（a﹣2）2﹣4a=4a2﹣20a+16=4（a﹣1）（a﹣4）．（1）若△＜0，即1＜a＜4时，x2﹣2（a﹣2）x+a＞0在R上恒成立，符合题意；（2）若△=0，即a=1或a=4时，方程x2﹣2（a﹣2）x+a＞0的解为x≠a﹣2，显然当a=1时，不符合题意，当a=4时，符合题意；（3）当△＞0，即a＜1或a＞4时，∵x2﹣2（a﹣2）x+a＞0在（﹣∞，1）∪（5，+∞）恒成立，∴，解得3＜a≤5，又a＜1或a＞4，∴4＜a≤5．综上，a的范围是（1，5]．故答案为（1，5]．【点评】本题考查了二次函数与二次不等式的关系，二次函数的性质，属于中档题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C：（x+2）2+（y﹣m）2=3，若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB=2GO，则实数m的取值范围是[﹣，] ．【分析】本题的实质是圆C上存在AB两点，使∠AOB=90°，即过O到向圆引的两条切线的夹角不小于90°，即圆心（﹣2，m）到原点的距离不大于，进而得到答案．【解答】解：本题的实质是圆C上存在AB两点，使∠AOB=90°，即过O到向圆引的两条切线的夹角不小于90°，即圆心（﹣2，m）到原点的距离不大于，即≤，解得：m∈[﹣，]．故答案为：[﹣，]【点评】本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，考查轨迹方程，正确转化是关键．14．（5分）已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为α，b，c，且C=，c=2．当取得最大值时，的值为2+．【分析】根据正弦定理用A表示出b，代入=2bcosA，根据三角恒等变换化简得出当取最大值时A的值，再计算sinA，sinB得出答案．【解答】解：∵C=，∴B=﹣A，由正弦定理得=，∴b=sin（﹣A）=2cosA+sinA，∴=bccosA=2bcosA=4cos2A+sin2A=2+2cos2A+sin2A=（sin2A+cos2A）+2=sin（2A+）+2，∵A+B=，∴0＜A＜，∴当2A+=即A=时，取得最大值，此时，B=﹣=∴sinA=sin=sin（）=﹣=，sinB=sin（）==．∴==2+．故答案为2+．【点评】本题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角恒等变换，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（15分）如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=，cos∠ACB=，BC=13．（1）求cosB的值；（2）求CD的长．【分析】（1）在△ABC中，求出sinA==．，sin∠ACB=．可得cosB=﹣cos（A+∠ACB）=sinAsin∠ACB﹣cosAcosB；（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=sin∠ACB．在△BCD中，由余弦定理得，CD=．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=，A∈（0，π），所以sinA==．同理可得，sin∠ACB=．所以cosB=cos[π﹣（A+∠ACB）]=﹣cos（A+∠ACB）=sinAsin∠ACB﹣cosAcos∠ACB=；（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=sin∠ACB=．又AD=3DB，所以DB=．在△BCD中，由余弦定理得，CD===9．【点评】本题考查了正余弦定理、三角恒等变形，属于中档题．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥EF．【分析】（1）推导出AB∥CD，从而AB∥平面PDC，由此能证明AB∥EF．（2）推导出AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而AB⊥AF，由AB∥EF，能证明AF⊥EF．【解答】证明：（1）因为ABCD是矩形，所以AB∥CD．又因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC．又因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC=EF，所以AB∥EF．（2）因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD．又AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF．又由（1）知AB∥EF，所以AF⊥EF．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．17．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF=2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由椭圆方程求出a，b，c，可得F的坐标，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，求得P，Q的纵坐标，再由向量共线的坐标表示，可得m的方程，解方程可得m，进而得到直线l的方程；（2）运用韦达定理可得y1+y2，y1y2，my1y2，由A（﹣2，0），B（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1=my1+1，x2=my2+1，运用直线的斜率公式，化简整理计算可得常数λ的值，即可判断存在．【解答】解：（1）因为a2=4，b2=3，所以c==1，所以F的坐标为（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程+=1，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，则y1=，y2=．若QF=2FP，即=2，则+2•=0，解得m=，故直线l的方程为x﹣2y﹣=0．（2）由（1）知，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，所以my1y2=﹣=（y1+y2），由A（﹣2，0），B（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1=my1+1，x2=my2+1，所以=•===，故存在常数λ=，使得k1=k2．【点评】本题考查直线的方程的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，解方程求交点，考查存在性问题的解法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（15分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m且≥，设∠EOF=θ，透光区域的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．【分析】（1）过点O作OH⊥FG于H，写出透光面积S关于θ的解析式S，并求出θ的取值范围；（2）计算透光区域与矩形窗面的面积比值，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求出比值最大时对应边AB的长度．【解答】解：（1）过点O作OH⊥FG于H，∴∠OFH=∠EOF=θ；又OH=OFsinθ=sinθ，FH=OFcosθ=cosθ，∴S=4S△OFH +4S阴影OEF=2sinθcosθ+4×θ=sin2θ+2θ；∵≥，∴sinθ≥，∴θ∈[，）；∴S关于θ的函数关系式为S=sin2θ+2θ，θ∈[，）；（2）由S矩形=AD•AB=2×2si nθ=4sinθ，∴=+，设f（θ）=+，θ∈[，），则f′（θ）=﹣sinθ+===；∵≤θ＜，∴sin2θ≤，∴sin2θ﹣θ＜0，∴f′（θ）＜0，∴f（θ）在θ∈[，）上是单调减函数；∴当θ=时f（θ）取得最大值为+，此时AB=2sinθ=1（m）；∴S关于θ的函数为S=sin2θ+2θ，θ∈[，）；所求AB的长度为1m．【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了三角恒等变换以及三角函数最值的应用问题，是综合题．19．（15分）已知两个无穷数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n，T n，a1=1，S2=4，=2S n+S n+2+a n．对任意的n∈N*，都有3S n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}为等差数列，对任意的n∈N*，都有S n＞T n．证明：a n＞b n；（3）若{b n}为等比数列，b1=a1，b2=a2，求满足=a k（k∈N*）的n值．【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）方法一、设数列{b n}的公差为d，求出S n，T n．由恒成立思想可得b1＜1，求出a n﹣b n，判断符号即可得证；方法二、运用反证法证明，设{b n}的公差为d，假设存在自然数n0≥2，使得a≤b，推理可得d＞2，作差T﹣S n，推出大于0，即可得证；（3）运用等差数列和等比数列的求和公式，求得S n，T n，化简，推出小于3，结合等差数列的通项公式和数列的单调性，即可得到所求值．=2S n+S n+2+a n，得2（S n+1﹣S n）=S n+2﹣S n+1+a n，【解答】解：（1）由3S n+1即2a n=a n+2+a n，所以a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n．+1由a1=1，S2=4，可知a2=3．所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．故{a n}的通项公式为a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，n∈N*．（2）证法一：设数列{b n}的公差为d，则T n=nb1+n（n﹣1）d，由（1）知，S n=n（1+2n﹣1）=n2．因为S n＞T n，所以n2＞nb1+n（n﹣1）d，即（2﹣d）n+d﹣2b1＞0恒成立，所以，即，又由S1＞T1，得b1＜1，所以a n﹣b n=2n﹣1﹣b1﹣（n﹣1）d=（2﹣d）n+d﹣1﹣b1≥2﹣d+d﹣1﹣b1=1﹣b1＞0．所以a n＞b n，得证．}的公差为d，假设存在自然数n0≥2，使得a≤b，证法二：设{b则a1+2（n0﹣1）≤b1+（n0﹣1）d，即a1﹣b1≤（n0﹣1）（d﹣2），因为a1＞b1，所以d＞2．所以T n﹣S n=nb1+n（n﹣1）d﹣n2=（d﹣1）n2+（b1﹣d）n，因为d﹣1＞0，所以存在N∈N*，当n＞N时，T n﹣S n＞0恒成立．这与“对任意的n∈N*，都有S n＞T n”矛盾！所以a n＞b n，得证．（3）由（1）知，S n=n2．因为{b n}为等比数列，且b1=1，b2=3，所以{b n}是以1为首项，3为公比的等比数列．所以b n=3n﹣1，T n=（3n﹣1）．则===3﹣，因为n∈N*，所以6n2﹣2n+2＞0，所以＜3．而a k=2k﹣1，所以=1，即3n﹣1﹣n2+n﹣1=0（*）．当n=1，2时，（*）式成立；当n≥2时，设f（n）=3n﹣1﹣n2+n﹣1，则f（n+1）﹣f（n）=3n﹣（n+1）2+n﹣（3n﹣1﹣n2+n﹣1）=2（3n﹣1﹣n）＞0，所以0=f（2）＜f（3）＜…＜f（n）＜…，故满足条件的n的值为1和2．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查不等式的证明，注意运用恒成立思想和作差法，或反证法，考查数列的单调性的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．20．（15分）已知函数f（x）=+xlnx（m＞0），g（x）=lnx﹣2．（1）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数h（x）=f（x）﹣xg（x）﹣，x＞0．若函数y=h（h（x））的最小值是，求m的值；（3）若函数f（x），g（x）的定义域都是[1，e]，对于函数f（x）的图象上的任意一点A，在函数g（x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点，求m的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出h（x）的最小值，从而求出m的值即可；（3）根据OA和OB的关系，问题转化为﹣x2lnx≤m≤x2（e﹣lnx）在[1，e]上恒成立，设p（x）=﹣x2lnx，根据函数的单调性求出m≥p（1）=，设q （x）=x2（e﹣lnx），根据函数的单调性求出m≤q（1），从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=+xlnx，f′（x）=+lnx+1，因为f′（x）在（0，+∞）上单调增，且f′（1）=0，所以当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）的单调增区间是（1，+∞）．（2）h（x）=+2x﹣，则h′（x）=，令h′（x）=0，得x=，当0＜x＜时，h′（x）＜0，函数h（x）在（0，）上单调减；当x＞时，h′（x）＞0，函数h（x）在（，+∞）上单调增．所以[h（x）]min=h（）=2m﹣，①当（2m﹣1）≥，即m≥时，函数y=h（h（x））的最小值h（2m﹣）=[+2（2﹣1）﹣1]=，即17m﹣26+9=0，解得=1或=（舍），所以m=1；②当0＜（2﹣1）＜，即＜m＜时，函数y=h（h（x））的最小值h（）=（2﹣1）=，解得=（舍），综上所述，m的值为1．（3）由题意知，K OA=+lnx，K OB=，考虑函数y=，因为y′=在[1，e]上恒成立，所以函数y=在[1，e]上单调增，故K OB∈[﹣2，﹣]，所以K OA∈[，e]，即≤+lnx≤e在[1，e]上恒成立，即﹣x2lnx≤m≤x2（e﹣lnx）在[1，e]上恒成立，设p（x）=﹣x2lnx，则p′（x）=﹣2lnx≤0在[1，e]上恒成立，所以p（x）在[1，e]上单调减，所以m≥p（1）=，设q（x）=x2（e﹣lnx），则q′（x）=x（2e﹣1﹣2lnx）≥x（2e﹣1﹣2lne）＞0在[1，e]上恒成立，所以q（x）在[1，e]上单调增，所以m≤q（1）=e，综上所述，m的取值范围为[，e]．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲21．如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且A为弧MN的中点，点D在弧BM 上，若∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数．【分析】连结AN，DN．利用圆周角定理，结合∠ACN=3∠ADB，求∠ADB的度数．【解答】解：连结AN，DN．因为A为弧MN的中点，所以∠ANM=∠ADN．而∠NAB=∠NDB，所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB，即∠BCN=∠ADB．又因为∠ACN=3∠ADB，所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°，故∠ADB=45°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．B.选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．【分析】利用矩阵的乘法，求出a，d，利用矩阵A的特征多项式为0，求出矩阵A的特征值．【解答】解：因为A==，所以，解得a=2，d=1．所以矩阵A的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣6=（λ﹣4）（λ+1），令f（λ）=0，解得矩阵A的特征值为λ=4或﹣1．【点评】本题考查矩阵的乘法，考查矩阵A的特征值，属于中档题．C.选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A（2，），点B在直线l：ρcosθ+ρsinθ=0（0≤θ≤2π）上，当线段AB最短时，求点B的极坐标．【分析】点A（2，）的直角坐标为（0，2），直线l的直角坐标方程为x+y=0．AB 最短时，点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点，求出交点，进而得出．【解答】解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A（2，）的直角坐标为（0，2），直线l的直角坐标方程为x+y=0．AB最短时，点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点，联立，得，所以点B的直角坐标为（﹣1，1）．所以点B的极坐标为．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．D.选修4-5：不等式选讲24．已知a，b，c为正实数，且a3+b3+c3=a2b2c2，求证：a+b+c≥3．【分析】利用基本不等式的性质进行证明．【解答】证明：∵a3+b3+c3=a2b2c2，a3+b3+c3≥3abc，∴a2b2c2≥3abc，∴abc≥3，∴a+b+c≥3≥3．当且仅当a=b=c=时，取“=”．【点评】本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]25．在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P．（Ⅰ）求点P的轨迹Г的方程；（Ⅱ）过动点M作曲线Г的两条切线，切点分别为A，B，求证：∠AMB的大小为定值．【分析】（Ⅰ）连接PF，运用中垂线的性质可得|MP|=|PF|，再由抛物线的定义可得点P的轨迹方程；（Ⅱ）求得M（﹣1，n），过点M的切线斜率存在，设为k，则切线方程为：y ﹣n=k（x+1），联立抛物线的方程，消去y，运用相切的条件：判别式为0，再由韦达定理，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）据题意，MP⊥直线x=﹣1，∴|MP|为点P到直线x=﹣1的距离，连接PF，∵P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点，∴|MP|=|PF|，∴P点的轨迹是抛物线，焦点为F（1，0），准线为直线x=﹣1，∴曲线Г的方程为y2=4x；（Ⅱ）证明：据题意，M（﹣1，n），过点M的切线斜率存在，设为k，则切线方程为：y﹣n=k（x+1），联立抛物线方程可得ky2﹣4y+4k+4n=0，由直线和抛物线相切，可得△=16﹣4k（4k+4n）=0，即k2+kn﹣1=0，（*）∵△=n2+4＞0，∴方程（*）存在两个不等实根，设为k1，k2，∵k1=k AM，k2=k BM，由方程（*）可知，k AM•k BM=k1•k2=﹣1，∴切线AM⊥BM，∴∠AMB=90°，结论得证．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用抛物线的定义，考查直线和抛物线方程联立，运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]26．已知集合U={1，2，…，n}（n∈N*，n≥2），对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=∅，则称（A，B）为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f（n）（视（A，B）与（B，A）为同一组“互斥子集”）．（1）写出f（2），f（3），f（4）的值；（2）求f（n）．【分析】（1）直接由“互斥子集”的概念求得f（2），f（3），f（4）的值；（2）由题意，任意一个元素只能在集合A，B，C=C U（A∪B）之一中，求出这n 个元素在集合A，B，C中的个数，再求出A、B分别为空集的种数，则f（n）可求．【解答】解：（1）f（2）=1，f（3）=6，f（4）=25；（2）任意一个元素只能在集合A，B，C=C U（A∪B）之一中，则这n个元素在集合A，B，C中，共有3n种；其中A为空集的种数为2n，B为空集的种数为2n，∴A，B均为非空子集的种数为3n﹣2n+1+1，又（A，B）与（B，A）为一组“互斥子集”，∴f（n）=．【点评】本题是新定义题，考查交、并、补集的混合运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．。