四川大学物理学院理论物理期末复习

Fi ( ) • dri ' + ∑ Fi ( ) • dri ' ∑
e i i i
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第三章
一、刚体运动的描述
角量与线量关系： 欧勒角
刚体力学
v = r =ω×r a = β × r + ω × (ω × r )
二、刚体运动方程与平衡方程
m rc = ∑ Fi ( e ) = F
dJ ′ = M′ M ′ = ∑ ri′ × Fi ( e ) 相对质心的角动量 dt （动量矩）定理 i 平衡方程 F = 0 ⎫ ⎬ 三力平衡定理 M = 0⎭
a = si +
2 32
v = vi = si
⎡1 + (dy dx) ⎤ ⎦ ρ= ⎣ d 2 y dx 2
s2
ρ
j
1
二、平动参照系
Δr = Δr0 + Δr ′ v = v′ + v0
直角坐标系:
a = a ′ + a0
三、不同坐标系下质点运动微分方程的建立和求解
⎧mx = Fx ( x, y, z , x, y, z , t ) ⎪ ⎨my = Fy ( x, y, z , x, y, z , t ) ⎪ ⎩mz = Fz ( x, y, z , x, y, z , t )
转动瞬心： 性质，特点 动力学方程
⎧mxc = Fx 约束方程 质心运动方程： ⎨ ⎩my c = Fy 绕质心的转动方程 I zz ω = I zzα = M z
1 1 2 mv c + I zz ω 2 + V = E 2 2
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只有保守力作功
第五章
一、约束与虚功原理
分析力学
约束的分类 广义坐标 虚位移总是位于约束曲面的切平面 虚位移 理想约束 平衡条件
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三、转动惯量 1 2 T = Iω I= 2
1 T = ω•J 2
I = (α
∑m ρ
i
2 i
平行轴定理
正交轴定理
J = I iω
− I xy I yy − I zy
⎛ I xx ⎜ I = ⎜ − I yx ⎜ −I ⎝ zx
− I xy I yy − I zy
− I xz ⎞ ⎟ − I yz ⎟ I zz ⎟ ⎠
质心运动定理:
d 2 rC n ( e ) m 2 = ∑ Fi d t i =1
J = ∑ (ri × pi )
i =1 n
三、动量矩定理与动量矩守恒律
对某一固定点：
′ dJ c 对质心的动量矩定理： = M ′ 质心系通常并不是惯性系 dt n n
M ' = ∑ ri '× Fi
i =1 n (e)
,s
L = T −V
,s
广义动量
∂L =0 ∂t
∂L ∂T pα = = ∂ qα ∂ qα
⎞ ∂L ⎟− ⎟ ∂q = 0, α = 1, 2, α ⎠
循环坐标
广义能量积分 对稳定约束
T 2 − T0 + V T +V = E = 常量
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三、哈密顿正则方程
哈密顿函数： H ( p, q, t ) = − L +
理论力学期末复习
第一章 质点力学
一、速度、加速度分量在不同坐标系中的表示式 直角坐标系：
dr v= = xi + yj + zk dt
平面极坐标系：
dv a= = vx i + v y j + vz k = xi + yj + zk dt
v = ri + rθ j
自然坐标系：
a = ( r − rθ 2 )i + ( rθ + 2rθ ) j
∂H ⎧ ⎪ qα = ∂ p ⎪ α ⎨ ⎪ p = − ∂H ⎪ α ∂ qα ⎩
能量积分与循环积分
∑ pα qα α
=1
s
α = 1, 2 ,
,s
∂H ∂L =− ∂t ∂t
哈密顿函数的物理意义
dϕ ∂ϕ = + [ϕ , H ] dt ∂t
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四、泊松括号与泊松定理
pα = [ pα , H ] ⎫ ⎬ (α = 1,2, qα = [qα , H ] ⎭ , s)
J = I1ω x i + I 2ω y j + I 3ω z k
惯量主轴的确定
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四、定轴转动
I zzω = M z
1 I zzω 2 + V = E （当外力为保守力时） 2
五、刚体的平面平行运动
基点描述法
dω ′ a = aA + × r′ − ω 2r′ v = vA + ω × r dt
转动瞬心的确定
β
⎛ I xx ⎜ γ )⎜ − I yx ⎜− I ⎝ zx
− I xz ⎞⎛ α ⎞ ⎟⎜ ⎟ − I yz ⎟⎜ β ⎟ I zz ⎟⎜ γ ⎟ ⎠⎝ ⎠
惯量张量
惯量主轴： I = I α 2 + I β 2 + I γ 2 1 2 3
1 2 2 T = ( I1ω x + I 2ω y + I 3ω z2 ) 2
平面极坐标:
m(r − rθ 2 ) = Fr (r , θ ; r ,θ ; t ) m(rθ + 2rθ ) = Fθ (r ,θ ; r ,θ ; t )
⎧ dv ⎪m dt = Fτ ⎪ ⎨ 2 ⎪m v = Fn ⎪ ρ ⎩
自然坐标系：
2
四、功与能
保守力的定义，性质，判据
F = −∇V (r )
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( α = 1, 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , s )
二、拉格朗日方程
基本形式的拉格朗日方程： ∂T d ∂T − = Q α , α = 1, 2 , d t ∂ qα ∂ qα n ∂r Qα = ∑ Fi ⋅ i 广义力的计算 ∂ qα i =1 保守系的拉格朗日方程：
d ⎛ ∂L ⎜ dt ⎜ ∂qα ⎝
dJ =M dt
M = ∑ (ri × Fi ( e ) )
i =1
n
J C' = ∑ ri '× mi vi ' = J C = ∑ ri '× mi vi
i =1
i =1
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四、动能定理与机械能守恒律
1 2 1 n ′2 柯尼希定理： T = mrc + ∑ mi ri 2 2 i =1
对质心的动能定理： dT ' =
W = −(VB − V A )
五、质点动力学的基本定理与基本守恒定律
动量定理与动量守恒定律 动量矩定理与动量矩守恒定理 动能定理与机械能守恒定律
dJ =M dt
六、有心力
有心力的特征 圆锥曲线方程 运动微分方程 比耐公式的推导
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行星轨道类别的判据
第二章 质点组力学
一、质心及质心速度的确定 二、动量定理与动量守恒律
∑ Ri ⋅ δ ri = 0
δ W = ∑ Fi • δ ri = 0
i =1 n
适用条件： 惯性系、理想不可解约束
广义平衡方程
Q1 = Q 2 = ⋅ ⋅ ⋅ = Q s = 0
广义力
保守系统的平 衡条件
∂V =0 ∂qα
⎛ ∂ri ⎞ Qα = ∑ ⎜ Fi ⋅ ⎟ ∂qα ⎠ i =1 ⎝
n
泊松定理
五 , q2 ,
t2 t1
, qs ; q1 , q2 ,
, qs ; t ) dt
δS = 0
六、 正则变换
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