知识点019 与二次函数有关几何方面应用2012b
二次函数的几何应用教案道客巴巴
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二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何中有着广泛
的应用。
下面我将从几何图形的性质、实际问题的建模等方面来详
细解释二次函数的几何应用。
首先，二次函数在几何中常常与抛物线相关联。
抛物线是二次
函数的图像，它的几何特征包括顶点、焦点、直径、对称轴等。
通
过学习二次函数，我们可以深入理解抛物线的性质，比如开口方向、开口大小、顶点坐标等。
这些性质在解决与抛物线相关的几何问题
时非常有用，比如确定抛物线的焦点和直径、求解抛物线与直线的
交点等。
其次，二次函数还可以用来建立实际问题的数学模型。
例如，
抛物线的形状可以用来描述抛射物的运动轨迹，这在物理学和工程
学中有着广泛的应用。
通过二次函数建立的模型，我们可以计算抛
射物的最大高度、飞行时间、落地点等信息，这对于设计弹道导弹、射击运动员的训练等具有重要意义。
此外，二次函数还可以用来解决与面积和体积相关的几何问题。
比如，通过二次函数的图像，我们可以求解封闭图形的面积，或者
利用二次函数建立立体图形的体积模型。
这些都是二次函数在几何中的重要应用之一。
总之，二次函数在几何中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解抛物线的性质，还可以用来解决实际问题并建立数学模型。
通过深入学习二次函数的几何应用，我们可以更好地理解数学与现实世界的联系，提高数学建模和解决实际问题的能力。
希望这些内容能够对你有所帮助。
二次函数的性质和应用
二次函数的性质和应用二次函数是一种常见的函数形式，在数学中具有重要的地位。
本文将讨论二次函数的性质和应用，希望能帮助读者更好地理解这种函数形式。
一、二次函数的定义和基本性质二次函数的标准形式为f（x）=ax²+bx+c，其中a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
它的图象是一个开口向上或向下的抛物线。
1. 对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，它的方程式为x=-b/2a。
对称轴把图象分成两个对称的部分。
2. 零点：一个二次函数可以有两个、一个或零个零点。
其中，零点是函数的根，即f（x）=0的解。
3. 最值和顶点：当a>0时，f（x）的最小值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最小值。
当a<0时，f（x）的最大值为y=c-b²/4a，它位于对称轴上，称为抛物线的最大值。
最小值或最大值统称为顶点。
4. 函数的增减性：当a>0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）<f（x₂）。
当a<0时，如果x₁<x₂，则f（x₁）>f（x₂）。
二、二次函数的应用1. 抛物线的运动学应用：抛物线可以描述物体的抛体运动轨迹，因此它在物理学中经常被使用。
例如，在高尔夫球运动中，运动员需要考虑到地面的摩擦力和空气的阻力等因素，以确定击球的位置和力度。
抛物线方程可以帮助运动员做出更精确的计算，从而提高得分率。
2. 光学应用：抛物线的形状与光的传播有关。
例如，抛物面反射镜常用于望远镜、卫星通信等光学领域中，因为它可以使光线以特定的角度集中在一个点上，从而使视野更宽广。
3. 非线性回归分析：在生物统计学、社会科学、经济学和金融学等领域中，二次函数经常被用于分析非线性回归方程。
非线性回归是指，回归方程中包含二次函数或更高次的函数。
例如，经济学家常用二次函数分析消费者的支出模式，这会帮助他们预测市场的需求变化。
4. 工程应用：二次函数也可以用于工程领域中的计算。
初中数学二次函数的解法与应用知识点总结
初中数学二次函数的解法与应用知识点总结二次函数是初中数学中重要的内容之一，它在代数与几何中都有广泛的应用。
本文将总结二次函数的解法与应用知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、二次函数的标准形式与一般形式二次函数的标准形式为：y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 可以是任意实数。
二、二次函数图像的性质1. 开口方向：- 当 a > 0 时，二次函数开口朝上；- 当 a < 0 时，二次函数开口朝下。
2. 对称轴：对于二次函数 y = ax² + bx + c，其对称轴为 x = -b / (2a)。
对称轴平分了抛物线，并且抛物线上任意两点关于对称轴对称。
3. 最值点：- 当 a > 0 时，二次函数的最小值为 c - (b² / (4a))，对应的 x 坐标为-b / (2a)；- 当 a < 0 时，二次函数的最大值为 c - (b² / (4a))，对应的 x 坐标为-b / (2a)。
三、二次函数的解法1. 求零点：通过解二次方程 ax² + bx + c = 0 来求二次函数的零点。
- 当Δ = b² - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = b² - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ = b² - 4ac < 0 时，方程无实数根。
2. 求顶点：二次函数的顶点为最值点，可通过顶点公式 x = -b / (2a) 来求得。
四、二次函数的应用知识点1. 面积与最值：在给定条件下，一个矩形的面积最大或最小值可以由一个二次函数的最值点确定。
2. 抛物线的运动轨迹：- 在自由落体的问题中，我们可以利用二次函数来建立小球的运动模型；- 在抛体运动的问题中，我们也可以通过二次函数来描述物体的轨迹。
二次函数知识点知识点总结
二次函数知识点知识点总结二次函数知识点总结在数学的世界里，二次函数是一个非常重要的概念，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还在物理、经济等其他领域发挥着重要作用。
下面就让我们一起来深入了解一下二次函数的相关知识点。
一、二次函数的定义一般地，如果形如$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a$、＄b$、＄c$是常数，＄a ≠ 0$）的函数，那么我们就称它为二次函数。
其中，＄x$是自变量，＄y$是因变量。
需要特别注意的是，＄a$的取值不能为零，因为如果$a ＝ 0$，那么函数就变成了一次函数$y ＝ bx ＋ c$。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线$x ＝＼frac{b}｛2a}＄，顶点坐标为$（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＄。
通过对二次函数图像的观察和分析，我们可以得到很多有用的信息。
例如，根据抛物线的开口方向和顶点坐标，可以判断函数的最值；根据抛物线与$x$轴的交点个数，可以判断方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根的情况。
三、二次函数的表达式二次函数常见的表达式有三种形式：1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ≠ 0$），这种形式是最常见的，它能直接反映出二次函数的各项系数。
2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（＄a ≠ 0$），其中顶点坐标为$（h, k)＄。
当已知二次函数的顶点坐标时，使用顶点式会更加方便。
3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄（＄a ≠ 0$），其中$x_1$和$x_2$是抛物线与$x$轴交点的横坐标。
当已知抛物线与$x$轴的交点坐标时，使用交点式可以更快捷地写出函数表达式。
四、二次函数的平移二次函数的图像可以通过平移得到。
对于抛物线$y ＝ a(x h)＾2 ＋k$，向左平移$m$个单位，得到$y ＝ a(x h ＋ m)＾2 ＋ k$；向右平移$m$个单位，得到$y ＝ a(x h m)＾2 ＋ k$；向上平移$n$个单位，得到$y ＝ a(x h)＾2 ＋ k ＋ n$；向下平移$n$个单位，得到$y ＝ a(x h)＾2 ＋ k n$。
初中数学二次函数最全知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学的重点内容之一，掌握二次函数的知识对于解决实际问题和提高数学能力都具有重要意义。
以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1.函数：函数是一种特殊的关系，它可以用来描述自变量和因变量之间的对应关系。
2. 二次函数：二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二、图像和性质1.基本图像：二次函数的基本图像是抛物线，开口方向由常数a的正负决定。
2. 零点：二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解，可以用求根公式或配方法求出。
3.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。
4.最值：二次函数的最值可以通过对称轴得到，最值为抛物线的顶点。
5.单调性：当抛物线开口向上时，二次函数是增函数；开口向下时，二次函数是减函数。
6.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小来获得新图像。
三、二次函数的解析式1. 标准形式：当a = 1时，二次函数的标准形式是y = x² + px + q。
2.顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
3. 一般形式：二次函数的一般形式是y = ax² + bx + c，实际问题中常用。
四、二次函数的变形1. 增长量：二次函数y = ax² + bx + c中，增长量即为b。
2.曲线方向：二次函数的曲线方向由a的正负决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
3.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小进行变形。
4.翻折：二次函数的图像可以进行关于x轴或y轴的翻折，得到新的图像。
五、二次函数的性质1.零点性质：二次函数的零点个数最多为2个。
2.对称性质：二次函数关于对称轴具有对称性。
3.成立范围：二次函数在全体实数范围内都成立。
初中数学重难点归纳：二次函数与几何图形的综合运用
初中数学重难点归纳：二次函数与几何图形的综合运用
二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类：
第一类、利用待定系数法
对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。
解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。
第二类、分析数量关系型
题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。
解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。
第三类、建模型
即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。
这类问题建模要求高，有一定难度。
二次函数知识点总结九年级
二次函数知识点总结九年级二次函数知识点总结二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理等领域都有广泛的应用。
在九年级数学学习中，我们学习了许多与二次函数相关的知识点，本文将对这些知识进行总结。
一、二次函数的定义与性质二次函数是指一元二次方程所对应的函数。
一元二次方程的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
其主要性质包括：1. 抛物线的开口方向由二次系数a的正负决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为该点的纵坐标。
3. 抛物线与x轴交点数目由判别式Δ=b^2-4ac的正负决定。
若Δ>0，则抛物线与x轴有两个交点；若Δ=0，则抛物线与x轴有一个交点，此时抛物线是切线；若Δ<0，则抛物线与x轴没有交点。
二、二次函数的图像和性质1. 抛物线的对称轴与顶点坐标有关。
对称轴的方程为x=-b/2a。
2. 抛物线的平移：对于一般形式y=a(x-h)^2+k，抛物线的顶点坐标为(h, k)，表示抛物线向左平移h个单位，向上或向下平移k个单位。
3. 抛物线的特殊情况：当b=0时，抛物线的对称轴与y轴重合，此时抛物线为关于y轴对称的。
当c=0时，抛物线过原点。
三、二次函数的函数值与因式分解1. 函数值：给定一元二次方程y=ax^2+bx+c，我们可以通过将x的值代入方程，计算出对应的函数值y。
这些值构成了二次函数的图像。
2. 因式分解：对于一元二次方程y=ax^2+bx+c，可以使用因式分解的方法将其写成两个一次因子的乘积形式。
这种形式可以更方便地求解方程的根。
四、解二次方程与判别式1. 解二次方程：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式来计算出方程的根。
求根公式为x=(-b±√Δ)/2a，其中Δ=b^2-4ac称为判别式。
初中数学二次函数知识点整理
初中数学二次函数知识点整理二次函数是初中数学中的重要知识点之一。
本文将从定义、图像、性质和应用等几个方面来整理和讲解初中数学的二次函数知识点。
一、定义二次函数是形如y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数。
其中，a、b、c 均为实数，a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项，x 为自变量，y 为因变量。
二、图像1. 平移：二次函数的图像沿着 y 轴或 x 轴平移。
2. 对称轴：二次函数的图像关于某条直线对称，这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴的方程可以通过求出顶点的横坐标得到。
3. 开口方向：二次函数开口向上或向下。
开口向上的二次函数对应的二次项系数 a 大于 0，开口向下的二次函数对应的二次项系数 a 小于 0。
4. 顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点。
顶点的纵坐标即为函数的最值。
三、性质1. 轴对称性：二次函数关于对称轴有轴对称性。
2. 最值性：开口向上的二次函数的顶点是最小值，开口向下的二次函数的顶点是最大值。
3. 零点性：二次函数的零点即为方程 y = 0 的解，可以通过求解二次方程 ax² + bx + c = 0 得到。
如果判别式（b² - 4ac）大于 0，则有两个不相等的实数根；如果判别式等于 0，则有两个相等的实数根；如果判别式小于 0，则无实数根。
4. 单调性：开口向上的二次函数在顶点左侧是单调递减的，右侧是单调递增的；开口向下的二次函数在顶点左侧是单调递增的，右侧是单调递减的。
四、应用二次函数的应用非常广泛，涉及到物理、经济、工程等各个领域。
以下是一些常见的应用案例：1. 抛物线轨迹：当抛出物体的运动轨迹为抛物线时，可以使用二次函数描述。
例如，炮弹飞行轨迹、跳水运动员的动作等等。
2. 弹性系数：弹性系数是描述弹簧变形程度的物理量，可以使用二次函数来描述。
3. 优惠券面值：商家发放的优惠券面值有时候会采用二次函数的形式，通过调整参数来达到不同的优惠程度。
初三数学下学期《二次函数的应用》知识点
2019 学年初三数学放学期《二次函数的应用》知识点学习是一个不停深入的过程，他需要我们对每日学习的新知识点实时整理，接下出处查词典大学网为大家供给了二次函数的应用知识点，望大家好好阅读。
知识点总结一.二次函数的最值：1.假如自变量的取值是全体实数，那么二次函数在图象极点处取到最大值 (或最小值 ) 。
这时有两种方法求最值：一种是利用极点坐标公式，一种是利用配方计算。
三.二次函数的实质应用在公路、桥梁、地道、城市建设等好多方面都有抛物线型;生产和生活中，有好多“收益最大”、“用料最少”、“开销最节俭”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。
那么解决这种问题的一般步骤是：第一步：设自变量;第二步：成立函数解析式;第三步：确立自变量取值范围;第四步：依据极点坐标公式或配方法求出最值 (在自变量的取值范围内 )。
第1页/共2页常有考法(1)察看一些带拘束条件的二次函数最值;(2)联合二次函数察看一些创新问题。
教师范读的是阅读讲课中不能够缺乏的部分，我常采纳范读，让少儿学习、模拟。
如领读，我读一句，让少儿读一句，边读边记；第二通读，我高声读，我高声读，少儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗诵磁带，一边放录音，一边少儿频频聆听，在频频聆听中体验、品尝。
查词典大学网初中频道为大家介绍的二次函数的应用知识点，大家认真阅读了吗 ?更多知识点总结尽在查词典大学网初中频道。
家庭是少儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好少儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出初期抓好少儿阅读的要求。
我把少儿在园里的阅读活动及阅读状况实时传达给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，少儿的阅读能力提升很快。
第2页/共2页。
初中数学二次函数知识点整理
初中数学二次函数知识点整理二次函数是初中数学中的一个重要知识点，它在数学中有很广泛的应用。
下面将对初中数学二次函数的相关知识点进行整理。
一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如y=ax²+bx+c（其中a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a表示二次项的系数，b表示一次项的系数，c表示常数项。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3.二次函数的顶点：二次函数的图像上的最高点（a<0）或最低点（a>0）称为二次函数的顶点，其坐标为（h，k），其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
4.对称轴：二次函数图像的对称轴是通过顶点的一条垂直线。
5.零点：二次函数与x轴交点的横坐标称为零点，即二次函数的根。
6. 判别式：对于二次函数y=ax²+bx+c，其判别式Δ=b²-4ac的值能够确定二次函数的图像与x轴的交点个数。
a）当Δ>0时，二次函数与x轴有两个交点，即有两个不相等的根。
b）当Δ=0时，二次函数与x轴有一个交点，即有一个重根。
c）当Δ<0时，二次函数与x轴没有交点，即没有实根。
二、性质和特点1. 对于二次函数y=ax²+bx+c，等价于y=a(x-h)²+k，其中(h，k)为顶点的坐标。
二次函数的特点有：a）当a>0时，教材开口向上，最小值为k。
b）当a<0时，教材开口向下，最大值为k。
c）当a>1时，抛物线越“瘦长”，曲线变化越快。
d）当a<1时，抛物线越“胖宽”，曲线变化越慢。
e）当a=1时，曲线为标准的抛物线。
2.二次函数的平移和缩放a）平移：对于函数y=ax²+bx+c，平移后的函数为y=a(x-h)²+k，其中(h，k)为平移的向量。
b）缩放：对于函数y=x²，缩放后的函数为y=ax²，其中a的取值决定了缩放的程度。
初中二次函数的所有知识点
初中二次函数的所有知识点二次函数是二次多项式的图象,用来描述一些变化的规律。
它的标准形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的知识点主要包括：1. 定义：二次函数是一种以二次多项式表达的函数，可以表达为f(x) = ax² + bx + c。
2.零点：二次函数的零点是函数图象与x轴相交的点，通常是解二次方程f(x)=0得到的。
3.对称轴：二次函数的对称轴是与函数图象呈对称关系的一条线。
对称轴的方程为x=-b/(2a)。
4.最值：二次函数的最值即在定义域内的最大值或最小值。
若抛物线开口向上，最小值为函数的最值；若抛物线开口向下，最大值为函数的最值。
5.图象：二次函数的图象是一个抛物线。
抛物线的开口方向和平移方向是由二次函数的系数a的正负决定的。
6.纵轴截距：二次函数的纵轴截距是函数图象与y轴相交的点，可以通过求解f(0)得到。
7.顶点：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，即函数的最值点。
顶点的纵坐标可以通过代入对称轴的x值得到。
8.开口：二次函数的开口方向可以根据二次项的系数a的正负判断。
a>0，开口向上；a<0，开口向下。
9. 判别式：二次函数的判别式可以通过b² - 4ac来计算。
判别式的值可以判断二次方程的根的情况。
当判别式大于0时，有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，有两个相等的实数解；当判别式小于0时，无实数解。
10.平移：二次函数的图象可以通过改变a、b、c来实现平移。
平移的规律是：左右平移是改变h，上下平移是改变k，其中h、k是顶点坐标。
11.更形式的表达：二次函数还可以有其他形式的表达，如顶点、描点和标准式等形式。
不同的表达形式可以方便地求解一些问题。
12. 降幂排列：二次函数的降幂排列是将二次函数按照指数递减的顺序排列，如ax² + bx + c可以降幂为c + bx + ax²。
二次函数应用知识点总结
二次函数应用知识点总结二次函数是高中数学中的重要内容，学好二次函数的应用是解决实际问题的关键。
以下是二次函数应用知识点的总结：1. 二次函数的概念和性质- 二次函数是形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
- 二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于 $a$ 的正负性。
- 抛物线的对称轴是一个过抛物线顶点的直线，其方程为 $x = -\frac{b}{2a}$。
- 二次函数的最值可以通过求解方程$\frac{{-b}}{{2a}}$ 得到。
2. 抛物线的方程和图像- 二次函数的图像称为抛物线，其形状和位置可以通过函数的系数进行调整。
- 当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上，顶点是最小值点。
- 当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下，顶点是最大值点。
- 通过变换和平移可以将标准形式的抛物线方程转化为一般形式。
3. 抛物线的顶点和轴- 抛物线的顶点是抛物线的最值点，其 $x$ 坐标为 $-\frac{b}{2a}$，$y$ 坐标可以通过代入得到。
- 抛物线的轴对称线是过顶点的直线，其方程为 $x = -\frac{b}{2a}$。
4. 抛物线的焦点和准线- 抛物线的焦点是到抛物线上任意一点的距离与到抛物线的直线的距离之比保持不变的点。
- 抛物线的准线是到抛物线上任意一点的距离与到抛物线的直线的距离之比为1的直线。
5. 解决实际问题- 在解决实际问题中，抛物线的应用非常广泛。
例如，可以利用二次函数模型解决抛物线的最值问题、时间和距离问题等。
- 在解决问题时，需要将实际问题转化为数学模型，并利用相关知识点解决问题。
以上是二次函数应用知识点的总结。
通过理解和掌握这些知识点，我们能够更好地应用二次函数解决实际问题。
希望这份总结对您有帮助！。
二次函数知识点及其应用的总结
二次函数知识点总结知识结构框图一、二次函数的概念形如c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数，其中x ，是自变量，a b c 、、分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的一般表达式1、 一般式：c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2、顶点式：k h x a y +-=2)(（a ，h ，k 为常数，0a ≠）其中2424b ac b h k a a-=-=，； 3、 双根式：21212()()(0,,=)y a x x x x a x x ax bx c x =--≠++其中是y 与轴交点的横坐标二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.三、二次函数2y ax bx c =++的图像性质(轴对称图形)1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-， 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 四、二次函数的图像与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．五、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图像与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根． 12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标.② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。
二次函数在几何中的应用
二次函数在几何中的应用二次函数是一种常见的函数形式，其数学表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c代表常数，a≠0。
二次函数在数学中有重要的应用，同样也广泛应用于几何学中。
本文将探讨二次函数在几何中的应用，并通过实例解释其具体用途。
一、二次函数与平面几何中的抛物线二次函数的图像是抛物线，而抛物线是几何学中的重要概念之一。
通过研究二次函数的图像，我们可以了解抛物线的特征，并在几何问题中应用这些特征。
1. 确定抛物线的开口方向：二次函数中的a值决定了抛物线开口的方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
因此，通过给定二次函数的a值，我们可以直观地确定抛物线的开口方向。
2. 确定抛物线的顶点坐标：二次函数的顶点坐标即为抛物线的顶点坐标。
抛物线的顶点是图像的最高点或最低点，也是抛物线的对称轴上的点。
通过求解二次函数的顶点坐标，我们可以确定抛物线的位置，进而解决涉及抛物线的几何问题。
3. 确定抛物线与坐标轴的交点：二次函数与坐标轴的交点即为抛物线与x轴和y轴的交点。
通过求解二次函数与坐标轴的交点，我们可以进一步确定抛物线的形状，从而应用于解决几何问题。
二、二次函数与立体几何中的应用除了在平面几何中的应用外，二次函数也在立体几何中发挥着重要的作用。
以下将介绍二次函数在立体几何中的两个具体应用。
1. 求解抛物面的性质：抛物面是由二次函数生成的曲面。
在立体几何中，我们常常需要求解抛物面的性质，例如确定抛物面的方程、确定抛物面的焦点和准线等。
通过应用二次函数的性质，我们可以轻松地解决这些问题。
2. 确定旋转体的体积：旋转体是指由某条曲线绕某条轴旋转一周而形成的立体。
通过应用二次函数的性质，我们可以确定旋转体的体积。
具体而言，旋转体的体积等于曲线沿轴旋转一周所围成的面积乘以旋转一周的角度。
通过计算二次函数所确定的曲线的面积，并乘以旋转角度，我们可以准确地计算旋转体的体积。
二次函数在几何中的应用
二次函数在几何中的应用二次函数是一种重要的数学函数，它在几何学中有着广泛的应用。
从抛物线的形状到曲线光滑的特性，二次函数在描述自然界中的曲线和形状方面发挥着重要的作用。
本文将探讨二次函数在几何中的应用，并通过一些具体的例子来阐述。
1. 平移和缩放二次函数中的平移和缩放操作对于修改几何图形的形状和位置是非常重要的。
平移是指通过改变二次函数的常数项来使整个图形在平面上移动。
缩放则是通过改变二次函数的系数来改变图形的大小。
举个例子，考虑函数y = ax^2，其中a是非零常数。
当a>1时，抛物线的开口向上，图形比标准的抛物线更加“尖锐”，而当0<a<1时，抛物线的开口向下，图像则更加“扁平”。
这些变化可以通过改变a的值来实现。
2. 曲线的焦点焦点是指在平面上到给定曲线上的所有点的距离相等的点。
对于二次函数而言，它的图形是一个抛物线。
这个抛物线的焦点是该二次函数的一个重要几何特性。
具体来说，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，焦点的x坐标可以通过公式x = -b/(2a)来计算，而y坐标则是函数在该点的函数值。
通过求解焦点，我们可以更好地理解二次函数的几何特性。
3. 最值问题二次函数在几何中的应用还可以涉及到最值问题。
由于二次函数的抛物线形状，它可以帮助我们确定图形的最大值和最小值。
举个例子，考虑函数y = ax^2 + bx + c，其中a>0。
这个函数对应着一个开口向上的抛物线。
由于抛物线的性质，我们可以通过函数的顶点（即最值点）来找到函数的最小值。
4. 几何图形的求解除了以上提到的常见应用，二次函数还能够帮助我们求解几何图形的性质和问题。
例如，通过解二次方程可以计算出两个抛物线的交点，这对于确定图形的交点、重叠部分或者切线非常有用。
同时，利用二次函数的图形性质，我们还可以计算出图形的切线方程和切点位置，为几何问题的求解提供了数学工具。
总结：二次函数在几何中扮演着至关重要的角色，通过平移和缩放，我们可以修改图形的形状和尺寸。
二次函数在几何问题中的应用解析
二次函数在几何问题中的应用解析二次函数是一种常见的数学函数形式，它在几何问题中扮演了重要的角色。
本文将探讨二次函数在几何问题中的应用，并对其解析进行分析。
1. 抛物线的性质抛物线是二次函数的图像，其标准形式为y = ax² + bx + c。
在几何中，抛物线具有以下性质：- 对称轴：抛物线的对称轴是一个垂直于x轴的直线，过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过求抛物线的顶点坐标得到。
- 顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，可以通过求导数等方法求得。
- 开口方向：抛物线的开口方向由二次项的系数决定。
若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
- 零点：抛物线与x轴的交点称为零点，可以通过解方程求得。
2. 抛物线在几何中的应用抛物线在几何问题中的应用广泛，以下是其中几个典型的应用示例。
2.1 求解最值问题抛物线的顶点即为其最值点，可通过二次函数的最值性质求解几何问题。
例如，在确定水平距离为d的情况下，求抛物线y = ax² + bx + c的最大值或最小值。
我们可以通过求导数找到使得导数为0的x坐标，再代入函数得到对应的y坐标。
2.2 确定几何形状抛物线的开口方向可以用来确定几何形状。
若抛物线开口向上，则形状类似一个U；若开口向下，则形状类似一个倒置的U。
这在建模物体的运动轨迹、桥梁设计等问题中有广泛的应用。
2.3 优化问题二次函数可以被用于解决优化问题。
例如，当我们需要绘制一个围起来面积最大的矩形时，可以通过分析矩形的边长与面积的关系，建立二次函数模型，并通过求解最值问题得到最大面积。
3. 示例分析假设有一块长为L的铁板，要制作一个没有顶盖的长方体盒子，使得盒子的体积最大。
设长方体的底边宽度为x，高度为h，由此可以得到体积函数V(x) = x( L - 2x )h。
我们可以通过建立函数模型并求解最值问题来解决这个几何问题。
对于函数V(x)，我们首先计算其导数V'(x)，然后令导数为0，解得x = L/4。
初中数学知识归纳二次函数的像和应用
初中数学知识归纳二次函数的像和应用二次函数是数学中一种重要的函数形式，也是初中数学中的重点内容之一。
它具有独特的特点和广泛的应用。
在学习二次函数的过程中，我们不仅需要了解二次函数的像，还需要掌握它的应用。
本文将对初中数学中关于二次函数的像和应用进行归纳总结。
一、二次函数的像二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
为了了解二次函数的像，我们需要掌握以下几个方面的内容：1. 顶点坐标：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c来说，顶点的横坐标可以通过公式x=-b/2a计算得出，将这个横坐标代入函数中即可求得顶点的纵坐标。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，通过顶点，并且与x轴的交点的纵坐标相等。
对称轴的方程可以通过公式x=-b/2a得到。
3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次系数a的正负决定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
二、二次函数的应用除了了解二次函数的基本性质，我们还需要掌握二次函数的应用。
二次函数在现实生活中的许多问题中都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 物体抛射问题：当我们研究物体抛掷的运动轨迹时，往往可以建立二次函数来描述物体的运动规律。
例如，当我们考虑抛体的垂直运动时，可以建立高度随时间变化的二次函数模型。
通过求解二次函数的极值点，我们可以得到物体的最高点和最远点等相关信息。
2. 平面图形：二次函数可以描述平面图形的形状和特征。
例如，二次函数可以用来描述一些几何图形的边缘线条或弧线。
通过对二次函数的性质进行研究，我们可以得到图形的对称轴、顶点、开口方向等重要信息。
3. 经济学应用：二次函数在经济学中的应用也较为广泛。
例如，二次函数可以用来描述成本、利润、销售量等与价格相关的经济指标。
通过求解二次函数的极值，我们可以确定经济模型中的最优解，辅助决策。
二次函数的像与性质的应用
二次函数的像与性质的应用二次函数是一种非常重要且常见的数学函数，它的图像呈现出一个对称的抛物线形状。
在数学中，我们经常会运用二次函数的性质来解决各种实际问题。
本文将重点探讨二次函数的像和性质，并介绍如何将其应用于实际场景。
一、二次函数的性质二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c都是常数，且a 不等于0。
二次函数的性质包括顶点、轴对称、开口方向、零点等。
1. 顶点：二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点，可以通过求解二次函数的一阶导数（即斜率）为零的点来确定顶点。
顶点的坐标为（h,k），其中h和k分别表示抛物线在x轴和y轴上的坐标。
2. 轴对称：二次函数的图像关于某一直线对称，该直线称为轴对称线。
轴对称线的方程可以通过将二次函数的变量x替换为常量h来得到，即x=h。
3. 开口方向：二次函数的抛物线可能向上开口（a>0）或向下开口（a<0），开口方向取决于a的正负性。
4. 零点：二次函数的零点是使得函数值等于零的解，可以通过求解二次方程来确定。
二次函数的零点可能有一个、两个或零个解。
二、二次函数在实际问题中的应用二次函数的图像特点以及性质的应用广泛存在于科学、工程、经济等领域。
下面将介绍几个常见的应用实例：1. 弹性力的计算：在物理学中，弹性力与弹性形变之间存在二次函数关系。
根据胡克定律，当弹簧伸长或压缩时，弹簧的弹性力与伸长或压缩的距离成正比。
假设一根弹簧的伸长距离为x，弹性力为y，则可以建立以下二次函数关系式：y=kx^2，其中k为弹簧的弹性系数。
2. 投掷运动的轨迹预测：在物理学中，二次函数可以用于预测抛体的轨迹。
假设一个物体在水平面上以一定的初速度和发射角度抛出，可以通过建立关于时间的二次函数方程来描述其垂直于水平面的运动轨迹。
3. 成本与收益的平衡分析：在经济学中，二次函数可以用于分析成本与收益的平衡点。
假设某生产企业的成本与销售量之间存在二次函数关系，可以通过优化求解二次方程来确定利润最大化的销售量。
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一、选择题1. （2012四川攀枝花，10，3分）如图3，直角梯形AOCD 的边OC 在x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于x 轴，D （5,4），AD=2.若动点F E 、同时从点O 出发，E 点沿折线DC AD OA →→运动，到达C 点时停止；F 点沿OC 运动，到达C 点是停止，它们运动的速度都是每秒１个单位长度.设E 运动秒x 时，△EOF 的面积为y （平方单位），则y 关于x 的函数图象大致为（ ）考点解剖：1考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据动点确定分段函数的图象．解题思路：1首先根据点D 的坐标求得点A 的坐标，从而求得线段OA 和线段OC 的长，然后根据运动时间即可判断三角形EOF 的面积的变化情况．解答过程：解:如图1，∵D （5，4），AD =2．∴OC =5，CD =4 OA =5，∴运动x 秒（x ＜5）时，OE=OF=x ，作EH ⊥OC 于H ，AG ⊥OC 于点G ，∴EH ∥AG ，∴△EHO ∽△AGO ，∴EH OEAG OA=，即：45EH x =，∴EH= 54x ，∴S△EOF= 121425OF EH x x ⋅=⨯225x =；故A 、B 选项错误；当点F 运动到点C 时，点E 运动到点A ，此时点F 停止运动，点E 在AD 上运动，△EOF 的面积不变，点在DC 上运动时，如图2，EF=11-x ，OC=5∴11555(11-)5=-+2222EOF S OC CE x x =⋅=⨯⨯△是一次函数.故C 正确．规律总结： 要确定函数图像，应先探究其函数解析式；搞清动点P 运动的路线及字母x 、y 的含义，是解答本题的关键.关键词：一次函数 反比例函数 图景信息型2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.二、填空题1. （2012四川自贡，17，4分）正方形ABCD 的边长为1cm ，M 、N 分别是BC 、CD 上两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，当BM ＝ cm 时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为 cm 2。
考点解剖：本题考查的是“最值”问题，解决此类问题最关键的是必须掌握求“最值”的常用方法.解题思路：因为四边形ABCN 为梯形，且下底AB 和高BC 均为定值，所以欲使其面积最大，只需上底CN 最长即可，由△ABM 和△MCN 相似可求出CN 的最大值.解答过程：解：∵AM ⊥MN ，∴∠AMB ＋∠CMN ＝90°，又四边形ABCD 为正方形，；∴∠B ＝∠C ＝90°，∴∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∴∠BAM ＝∠CMN ，∴△ABM ∽△MCN ，∴AB ：MC ＝BM ：CN ，设BM ＝x ，则1：（1－x ）＝x ：CN ，∴CN ＝x －x 2＝－（x －21）2＋41≤41，即BM 为21时，CN 最长，值为41，∴四边形ABCN 的最大面积＝21（41＋1）³1＝85. 规律总结：初中阶段，求最大（小）值的常用方法有两种：①配方法；②利用函数自变量取值的有界性；③利用几何相关性质，如“两点间线段最短”等. 关键词： 配方法，正方形，相似形，最值 2. 3. 4. 5. 6.三、解答题1. （2012山东济宁23，10分）如图，抛物线24y ax bx =+-与X 轴交于()()4,02,0A B -、两点，与Y 轴交于点C ，点P 是线段AB 上的一动点（端点除外），过点P 作PD ∥AC ，交BC 于点D ，连接CP ． （1）求该抛物线的解析式；（2）当动点P 运动到何处时，2BP BD BC =⋅； （3）当△PCD 的面积最大时，求点P 的坐标．考点解剖：二次函数及相似形.若两直线平行则有相似三角形，且相似三角形的面积比等于相似比的平方． 解题思路：（1）将点A 、B 的坐标代入二次函数解析式求出未知字母的值，从而得到二次函数解析式．（2）易得点C 坐标以及线段AB ，BC ，AC 的长度．根据PD ∥AC 得到△BPD ∽△BAC ，从而得到线段BD ，BC ，BP ，BA 成比例．设出点P 的坐标，表示出BP 的长．利用线段BD ，BC ，BP ，BA 成比例．求出BD 的长．利用2BP BD BC =⋅求出P 点的坐标．（3）由于PD ∥AC ，得到三角形△BPD 、△BAC 的面积比等于(BP ：BA )2，从而表示出△BPD 的面积；利用S △BPC －S △BPD 的面积＝S △PDC ，从而得到关于点P 横坐标的二次函数，利用二次函数的极值即可确定点P 的坐标．解答过程：（1）由题意得164404240a b a b +-=⎧⎨--=⎩ 解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线解析式为2142y x x =--．（2）设点P 运动到点(),0x 时，有2BP BD BC =⋅ 令0x =时，则4y =-， ∴点C 的坐标为（0，－4）∵PD ∥AC ，∴△BPD ∽△BAC ，∴BD BPBC BA=∵BC ==()6,22AB BP x x ==--=+，∴))2263x x BP BC BD BA ++⨯===．(第23题)∵2BP BD BC =⋅，∴())2223x x ++=⨯ 解得124,23x x ==-（－2不合题意，舍去） ∴点P 的坐标为4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．即当点P 运动到4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭时，2BP BD BC =⋅……7分（3）∵△BPD ∽△BAC ，∴2BPD BAC S BP S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∴()()222221=64=623BPD BACx x BP S S AB ++⎛⎫=⋅⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭△△， ∴12PDCBPC BPD BPD S S S BP OC S =-=⋅-△△△△＝()()()222112413233x x x +⨯+⨯-=--+． ∵103-<， ∴当1x =时，PDC S △有最大值为3．即点P 的坐标为()1,0时，△PDC 的面积最大．规律总结：平面直角坐标系中求三角形面积时，有下列方法：（1）利用相似三角形的面积比等于相似比解决；（2）将三角形的底建立在坐标轴上，高是平面内某点到坐标轴的距离；（3）将三角形化为几个容易求的图形的面积的和或者差．关键词：二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最大最小值 2. （2012山东莱芜，24，12分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标为（2，－1），并且与y 轴交于点C（0，3），与x 轴交于两点A ，B ． （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连结AC 、AD ，求△ACD 的面积； （3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．考点解剖：本题是一道以二次函数知识为主的压轴题，具体考查二次函数解析式的确定方法，抛物线的对称轴，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，三角形的面积， 以及存在性问题的探索等知识。
解题思路：（1）设顶点式，再把点C 的坐标代入即可求解析式。
（2）先求出A 、B 点坐标，再求出直线BC 的解(第24题x析式，进而求点D 的坐标，利用S △ACD ＝S △ABC －S △ADB 求面积。
（3）假设存在这样的点。
因△BCO 是等腰直角三角形，那么要求△DEF 也必须是等腰直角三角形，然而EF ∥CO ，故点E 不可能是直角顶点，是直角顶点的可能是点D 、F ，分两种情况讨论：①△DEF ∽△BCO ，此时有DF ∥BO ，所以点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相等，又点F 在抛物线上，所以点F 与点E 的横坐标可求，点E 的坐标可求。
②△EFD ∽△BCO ，此时，点F 一定落在AD 上，是AD 与抛物线的交点，联立两个解析式，点F 坐标可求，从而点E 的坐标可求。
解答过程： （1）由题意可设抛物线的表达式为y ＝a (x －2)2－1． ∵点C （0，3）在抛物线上，∴a (0－2)2－1＝3，解得a ＝1． ∴抛物线的表达式为y ＝(x －2)2－1，即y ＝ x 2－4x +3．（2）令y ＝0，即x 2－4x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A (1，0)，B （3，0）． 设BC 的解析式为y ＝kx +b ，将B （3，0），C （0，3）代入得⎩⎨⎧==+.3,03b b k 解得⎩⎨⎧=-=.3,1b k ∴直线BC 的解析式为y ＝－x +3 ．当x ＝2时，y ＝－2+3＝1，∴D (2，1) ． ∴ACD S ∆＝ABC S ∆－ABD S ∆＝12213221⨯⨯-⨯⨯＝2． （3）假设存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似，∵△BCO 是等腰直角三角形，则以D 、E 、F 为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形．由EF ∥OC ，得∠DEF ＝450，故以只能以点D 、E 、F 为顶点的等腰直角三角形只能以D 、F 为直角顶点． ①当F 为直角顶点时，DF ⊥EF ，此时△DEF ∽△BCO ，∴DF 所在的直线为y ＝1．由⎩⎨⎧=+-=.1,342y x x y 解得22±=x ． 将22+=x 代入y ＝－x +3，得y ＝1－2 ，∴E （22+，1－2）． 将22-=x 代入y ＝－x +3，得y ＝1+2 ，∴E （22-，1+2）．②当D 为直角顶点时，DF ⊥ED ，此时△EFD ∽△BCO ．∵点D 在对称轴上，∴DA ＝DB ，∵∠CBA ＝450，∴∠DAB ＝450，∴∠ADB ＝900． ∴AD ⊥BC ，故点F 在直线AD 上． 设AD 的解析式为y ＝kx +b ，将A （1，0），D (2，1)代入得⎩⎨⎧=+=+.12,0b k b k 解得⎩⎨⎧-==.1,1b k ∴直线AD 的解析式为y ＝x －1． 解得直线AD 的解析式为y ＝x －1，将B （3，0），C （0，3）代入得由⎩⎨⎧-=+-=1,342x y x x y ，解得x 1＝1，x 2＝4． 将x ＝1代入y ＝－x +3，得y ＝2，∴E （1，2）． 将x ＝4代入y ＝－x +3，得y ＝－1，∴E （4，－1）． 综上所述，点E 的坐标可以为E （22+，1－2），（22-，1+2），（1，2），（4，－1）．……12分规律总结：第（1）问简单。
第（2）问从图上把握S △ACD ＝S △ABC －S △ADB ，要求出两个三角形的面积，需要求点D 的坐标。