2019-2020高中数学第三章函数的应用3-2-2函数模型的应用实例学案含解析新人教A版必修1
2019-2020年高中数学第三章函数的应用第2节函数模型及其应用4教案新人教A版必修1
2019-2020年高中数学第三章函数的应用第2节函数模型及其应用4教案新人教A版必修1教学分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》第三章的3.2.2“函数模型的应用实例”，即建立拟合函数模型解决实际问题．函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，它主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，建立拟合函数模型解决实际问题．而建立拟合函数模型解决实际问题是其重点，也是难点．函数模型的应用教学，既有不可替代的位置，又有重要的现实意义．本节通过实例来说明函数模型的应用，是因为函数模型本身就来源于现实，能给学生提供更多从实际问题中发现或建立数学模型的机会，并体会数学在实际问题中的应用价值．因此在中学教学中有重要的地位．学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了函数的图象和性质，理解了函数的图象与性质之间的关系，尤其是学习了3.2.1几类不同的函数增长模型和3.2.2函数模型的应用实例．学会了如何利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，已经具备了一定的函数模型应用能力．这为理解建立拟合函数模型解决实际问题提供了基础，也为深入理解如何建立合适的拟合函数模型提供了依据．但学生对于动态数据认识薄弱，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生选择合适的模型造成一定的困难．因此，在教学时应该为学生创设熟悉的问题情境，充分利用学生熟悉的函数图象来选择合适的模型．引导学生观察、计算、思考和理解问题的本质．教学目标知识与技能：了解函数拟合的基本思想，学会建立拟合函数模型解决实际问题．过程与方法：借助信息技术，利用数据画出函数图象，从拟合简单的一次函数模型入手，掌握多角度观察函数图象的技能，探究出各种合适的拟合函数模型．在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想．情感、态度与价值观：体验探究的乐趣，体验函数是描述变化规律的基本数学模型，培养学生分析解决问题的能力．重点与难点重点：将实际问题化为函数模型，建立合适的拟合函数模型解决简单的实际问题．难点：如何建立适当的函数模型来解决实际问题．教学过程设计思想一、创设应用情境，引出问题前面我们学习过两种函数模型的应用，分别是利用给定函数模型解决实际问题，建立确定性的函数模型解决问题，那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下，又该如何解决实际问题呢？二、组织探究例1下表是我校从实施研究性学习以来，高一年级段学生的研究性学习小论文在我市每析式．设计意图以学生熟悉的实际问题为背景，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现了数学的应用价值．探究：(1)组织学生读、议，小组讨论该如何分析题目？图1③根据点的分布特征，可以考虑以一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)作为描绘篇数与年份的变化趋势．取(1,14)，(4,35)，有⎩⎪⎨⎪⎧14＝k ·1＋b ，35＝k ·4＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7b ＝7.这样，我们就得到函数模型y ＝7x ＋7.作出此模型函数图象如下：图2 根据上述图象，我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地图3由前三组数据，用计算器确定函数模型：；x＋92.5.图4可见，乙同学选择的模型较好.此变式训练是为进一步巩固例1的拟合函数思想，培养学生的应用数学意识与提高解决问题能力．体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高的同学体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，下面请各位同学对照拟合函数模型来测算自己的体重是否正常？设计意图本例题以学生熟悉的问题出发再创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生构建自身基础上的“再创造”，并通过小组合作学习，培养学生解决问题的能力，应用数学的意识．问题(1)的探究：①通过学生自主活动分析数据，发现本题只给出了通过测量得到的数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．②教师引导学生将表中的数据输入计算器或计算机，画出它们的散点图．教师提问所作散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型．图5由图可发现指数型函数y＝a×b x的图象可能与散点图的吻合较好，可选之．③教师再问：如何确定拟合函数模型中a，b值．④教师把学生每4人分成一小组合作探究，求出拟合函数模型中a，b的值，然后画出图形，得到的拟合函数效果如何？⑤教师下去巡视后，请小组中的1名成员上台到实物投影处讲解．组1：选取(150,42.9)，(154,46.5)两组数据，用计算器得a＝0.918，b＝1.026.从而得函数解析式为y＝0.918×1.026x，画出这个函数图象与散点图．图6我们发现，函数y＝0.918×1.026x不能很好地反映我校学生身高与体重的关系．组2：选取(168,61.4)，(172,66.2)两组数据，用计算器算出a＝3.065，b＝1.018.这样得到函数模型为y＝3.065×1.018x，画出这个函数图象与散点图．图7我们发现，函数y＝3.065×1.018x不能很好地反映我校学生身高与体重关系．组3：选取(154,46.5)，(168,61.4)两组数据，用计算器算出a＝2.2，b＝1.02.这样得出函数模型为y＝2.2×1.02x，画出这个函数图象与散点图．图8我们发现，散点图上的点基本上或大多数接近函数y＝2.2×1.02x的图象，所以函数y＝2.2×1.02x很好地刻画了我校学生身高与体重的关系．教师引导学生回顾问题的特点及解决问题的过程与方法．本题需要判断选择的函数模型与问题所给数据的吻合程度，当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式可能会不一样，需不断修正．当然本题若运用计算器或计算机的拟合功能，那么获得的函数模型会更精确，下课后同学们自己试一试，并且本例题体现了一个完整的建立函数模型进而解决问题的过程．在教师引导下，请一学生归纳解决问题的基本过程：设计意图引导学生进行反思和总结，并将之一般化，用流程的形式表达出来，培养了学生的反思能力及总结提升的能力．问题(2)探究：由于是研究学生自身的体重问题，因而学生的兴趣很高，每人很快都编好了自己的问题，解答起来．如一男生身高175 cm，体重80 kg，他的计算如下：将x＝175代入y＝2.2×1.02x，得y＝2.2×1.02175≈70.4.由于80÷70.4≈1.136<1.2.所以，该男生体重正常．设计意图采用师生平等对话交流，学生单独完成的模式．因为本题是测算自己本身体重的问题，所以学生兴趣很高．本题问题难度不大，但意义重大，是培养数学应用意识的重要素材，即用拟合函数来预测自己关心的日常生活问题，学生体验过程方式教学，体现了新课程的理念．三、练习反馈教材本节练习1.学生完成后在小组中互相批改、交流．设计意图本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的理念，使学生及时巩固所学知识、方法，以达到教学目标．四、小结反思以小组中1人总结，3人倾听的方式，对本课内容进行自主小结，教师归纳强调建立拟合函数模型解决实际问题的基本过程．设计意图提高学习主动性，培养学生表达、交流的数学能力，自主小结的形式是将课堂还给学生，是对所学内容的回顾与梳理．五、课外作业教材习题3.2A组1题，B组1题．六、课外实践通过拟合函数模型看温州经济发展．上网收集1995～xx年温州的国内生产总值、财政收支、对外经济三项数据，建立适当的拟合函数模型，画出拟合函数模型的图象，并通过拟合函数图象来预测温州在xx年的经济发展状况．设计意图课外作业为巩固作业，课外实践为拓展作业，培养学生应用数学知识、提高解决问题的能力，培养学生的探究和再创造能力．教学流程创设情境——实际问题引入，激发学生兴趣．↓组织探究——画出散点图，建立模型，体会不同函数模型拟合的准确程度．↓探索研究——由数据画出散点图，建立拟合函数模型，尝试选择不同的函数拟合数据并不断修正．↓巩固反思——师生交流共同小结，归纳建立拟合函数模型应用题的求解方法与步骤．↓作业回馈——强化基本方法及过程，规范基本格式．↓课外实践——收集生活中的具体实际问题，运用拟合函数思想来解决，培养问题意识及提高应用数学的能力．知识结构问题探讨(1)第三章的3.2.2函数模型的应用实例是否可以设置为3课时，给定的函数模型、建立确定性函数模型、建立拟合函数模型解决实际问题各设置1课时，这样可以让学生感受到函数的广泛应用，真实体验到数学是有用的；体现新课程的问题性，应用性特点；培养学生的问题意识，更加拓展学生数学活动的空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．(2)在函数模型的应用中，建立拟合函数模型解决实际问题是实际应用最广泛、学生最陌生、也是难度最大的，尤其是如何建立适当的拟合函数模型来解决实际问题．建议在教材中是否可安排更多的建立拟合函数模型解决实际问题的例题，加深学生对如何建立适当拟合函数模型的理解．并在练习中多安排渗透拟合函数思想的思考题．学习资源.。
2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例学案(含解析)新人教版必修1
3.2.2 函数模型的应用实例学习目标①了解函数拟合的基本思想,学会建立拟合函数模型解决实际问题;②借助信息技术,利用数据画出函数图象,从拟合简单的一次函数模型入手,掌握多角度观察函数图象的技能,探究出各种合适的拟合函数模型.在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想;③体验探究的乐趣,了解函数是描述变化规律的基本数学模型,培养学生分析、解决问题的能力.合作学习一、设计问题,创设情境大家已看到在课本第三章的章头图中,说的是有名的“澳大利亚的人兔大战”.859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,到1890年,新南威尔士州的兔子数量据估计就有3600万只.到1926年,全澳洲的兔子数量已经增长到了创纪录的100亿只.可爱的兔子变得可恶起来,100亿只兔子吃掉了相当于10亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛、羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.与之相应,图中话道出了其中的意蕴:对于一个种群的数量,如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下,那么它将呈指数增长;但在有限制的环境中,种群数量一般符合对数增长模型.前面我们学习过两种函数模型的应用,分别是利用给定函数模型解决实际问题、建立确定性的函数模型解决问题,那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下,又该如何解决实际问题呢?二、自主探索,尝试解决问题1:一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式,并作出相应的图象.再次探索:(1)将图中的阴影部分隐去,得到的图象有什么意义?(2)图中每一个矩形的面积的意义是什么?(3)汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系?它们关于时间的函数图象又有何关系?三、信息交流,揭示规律通过前面的分析例题,进行总结归纳.利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法:(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系;(2)利用待定系数法,确定具体函数模型;(3)对所确定的函数模型进行适当的评价;(4)根据实际问题对模型进行适当的修正.四、运用规律,解决问题我校不同身高的男、女同学的体重平均值如下表:(1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映我校学生体重y kg与身高x cm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相同身高的学生体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,下面请各位同学对照拟合函数模型来测算自己的体重是否正常.请同学们归纳解决问题的基本过程:五、变式训练,深化提高一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%衰减.(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)六、限时训练,巩固提高请同学们在8分钟之内完成以下5个小题,比一比谁做的最快最好.1.已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=0.1x2-11x+3000,每台产品的售价为25万元,则生产者为获得最大利润,产量x应定为( )A.55台B.120台C.150台D.180台2.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y={4x ,1≤x <10,x ∈N *,2x +10,10≤x <100,x ∈N *,1.5,x ≥100,x ∈N *.其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( )A.15B.40C.25D.1303.某产品成本为a 元,在今后m 年内,计划使成本平均每年比上一年降低p %,则成本y 与经过的年数x 的函数关系式为( )A.y=a ·(1-p %)m (m ∈N *)B.y=a ·(1-m ·p %)x (x ∈N *且x ≤m )C.y=a ·(1-p %)x (x ∈N *且x ≤m ) D.y=a ·(1-p %)x x,(x ∈N *,且x ≤m )4.把长为12cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,那么这两个正方形面积之和的最小值是 .5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=12·log 3x100,单位是m/s,其中O 表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是多少? (2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.七、反思小结,观点提炼 1.课堂作业课本P 104练习第1,2题;P 106练习第1,2题.2.以小组中1人总结,3人倾听的方式,对本课内容进行自主小结.参考答案二、自主探索,尝试解决问题1:(1)S=360,阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km .(2)s={50x +2004,0≤x <1,80(x -1)+2054,1≤x <2,90(x -2)+2134,2≤x <3,75(x -3)+2224,3≤x <4,65(x -4)+2299,4≤x ≤5.函数图象如图(2)略四、运用规律,解决问题问题(1)的探究①通过学生自主活动分析数据,发现本题只给出了通过测量得到的数据表,要想由这些数据直接发现函数模型是困难的.②教师引导学生将表中的数据输入计算器或计算机,画出它们的散点图.教师提问所作散点图与已知的哪个函数图象最接近,从而选择这个函数模型.由图可发现指数型函数y=a·b x的图象可能与散点图的吻合较好,可选之.③教师再问:如何确定拟合函数模型中a,b值.④教师把学生每4人分成一小组合作探究,求出拟合函数模型中a,b的值,然后画出图形,得到的拟合函数效果如何?⑤教师下去巡视后,请小组中的1名成员上台到实物投影处讲解.组1:选取(168,61.4),(172,66.2)两组数据,用计算器算出a=2.6,b=1.019.这样得到函数模型为y=2.6×1.019x,画出这个函数的图象与散点图.我们发现,函数y=2.6×1.019x不能很好地反映我校学生身高与体重关系.组2:选取(154,46.5),(168,61.4)两组数据,用计算器算出a=2.2,b=1.02.这样得出函数模型为y=2.2×1.02x,画出这个函数的图象与散点图.我们发现,散点图上的点基本上或大多数接近函数y=2.2×1.02x的图象,所以函数y=2.2×1.02x很好地刻画了我校学生身高与体重的关系.(2)如一男生身高175cm,体重80kg,他的计算如下:将x=175代入y=2.2×1.02x ,得y=2.2×1.02175≈70.4. 由于80÷70.4≈1.136<1.2. 所以,该男生体重正常. 五、变式训练,深化提高 解:(1)最初的质量为500g .经过1年后,ω=500(1-10%)=500×0.91;经过2年后,ω=500×0.9(1-10%)=500×0.92;由此推知,t 年后,ω=500×0.9t.(2)解方程500×0.9t =250,则0.9t=0.5, 所以t=lg0.5lg0.9=-lg22lg3-1≈6.6(年), 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年. 六、限时训练,巩固提高 1.D 2.C 3.C 4.92cm 25.解:(1)由题意得v=12log 32700100=32(m/s). (2)当一条鱼静止时,即v=0(m/s), 则0=12log 3x100, 解得O=100.所以当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是32m/s,当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100.。
学案3：3.2.2 函数模型的应用实例
3.2.2 函数模型的应用实例导入新知1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝ (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝ (k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝ (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ (a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(5)指数函数模型：f (x )＝ (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝ (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)． 2．建立函数模型解决问题的框图表示化解疑难求解函数应用题的程序常考题型题型一 二次函数模型例1 已知某种商品涨价x 成(1成＝10%)时，每天的销售量减少45x (其中x >0)成．(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？ (2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x 的取值范围． 类题通法利用二次函数模型解决问题的方法在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．活学活用1.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．题型二分段函数模型例2提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．类题通法构建分段函数模型的关键点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 活学活用2.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？题型三 指数、对数型函数模型例3 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为a 2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a . (1)求p %的值．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)该森林今后最多还能砍伐多少年？ 类题通法指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．活学活用3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知： lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)随堂即时演练1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x (1≤x ≤4，x ∈N *)之间关系的是( ) A ．y ＝100x B ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100x2．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x 关于时间t (时)的函数解析式是( ) A ．x ＝60t B ．x ＝150－50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150－50t ，t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50t －3.5，3.5＜t ≤6.53．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机15年后的价格应降为________元．4.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付的电话费为________元；(2)通话5分钟，需付的电话费为________元；(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式为________．5．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每百件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？参考答案导入新知1．(1) kx(2) k x(3) kx＋b(4)ax2＋bx＋c(5) ab x ＋c (6)m log a x ＋n (7) ax n ＋b例1 解：设商品原价格为m ，每天的原销售量为n ，则每天的原营业额为m ·n ，涨价后每天的营业额为y ＝m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n . (1)y ＝m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x 10·n ＝⎣⎡⎦⎤－1125⎝⎛⎭⎫x －542＋8180·m ·n . 当x ＝54，即涨价125%时，每天的营业额最大．(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加， 则需m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n ＞m ·n ， 即2x 2－5x ＜0，变形得x (2x －5)<0. 又x >0，故0＜x ＜52.∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，52. 活学活用1. 解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米． 又△EPQ ∽△EDF ， 所以EQ PQ ＝EFFD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米， 则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10， 所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米. 例2 解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20＜x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b (a ≠0)，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 活学活用2. 解：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1＜t ≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则－23t 1＋203＝4，解得t 1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3(t 3>10)小时，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4，解得t 3＝13.5，故第四次服药应在20：30.例3 解：(1)由题意得a (1－p %)10＝a2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝⎛⎭⎫12. (2)设经过m 年森林面积为22a ， 则a (1－p %)m＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12，m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年 ，n 年后森林面积为22a ·(1－p %)n . 令22a (1－p %)n ≥14a ， 即(1－p %)n ≥24， ⎝⎛⎭⎫12≥⎝⎛⎭⎫12，得n 10≤32，解得n ≤15， 故今后最多还能砍伐15年． 活学活用3.解：依题意，得2100·⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120. 则n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，考虑到n ∈N ，即至少要过滤8次才能达到市场要求．随堂即时演练 1．【答案】C【解析】当x ＝4时，A 中，y ＝400；B 中，y ＝700；C 中，y ＝800；D 中，y ＝1004.故选C. 2．【答案】D【解析】显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数． 3．【答案】2 400【解析】y ＝a ·⎝⎛⎭⎫1－13，所以当x ＝15时，y ＝8 100×⎝⎛⎭⎫1－133＝8 100×827＝2 400(元)． 4. 【答案】(1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3)【解析】(1)由题图可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元． (2)由题图可知，当t ＝5时，y ＝6，即需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于x 的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点， 故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，11010m1210n325x则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0.故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)． 5． 解：设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20<P ≤26，代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600，14≤P ≤20，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600，20<P ≤26， (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元． 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．。
高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修
3.2.2 函数模型的应用实例1.知识与技能(1)能利用给定函数模型解决实际问题;(2)通过给出数据进行分析,画出散点图,并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合;(3)增强读图、画图、识图的意识,全面提高阅读理解的能力.2.过程与方法(1)通过对给出的图形和数据的分析,抽象出相应的确定性函数的模型;(2)根据收集到的数据作出散点图,并通过观察图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.3.情感、态度与价值观应用数学知识解决实际问题.培养学生高尚的品德,使其树立远大的理想,并能利用所学知识为社会服务.重点:根据收集到的数据作出散点图,并通过观察图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题.重难点突破:结合学生的知识水平,在引导学生选择数学模型分析解决实际问题的同时总结该类问题的解法:(1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解;(2)列式比较法:若题中所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较;(3)描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.全国大学生建模竞赛简介1.建模竞赛的起源与历史建模竞赛是由美国工业与应用数学学会在1985年发起的一项大学生竞赛活动,目的是促进建模的教学,培养学生应用数学的能力.我国在1992年起开展这项竞赛,现已形成一项全国性的竞赛活动.2.建模竞赛题的类型及出题的指导思想大部分的建模竞赛题都是源于生产实际或者科学研究的过程中,例如去年C题“资金的使用计划”,D题“公交车的调度”.关于“公交车的调度”这道题目,在这儿稍做详细一点的介绍,题目给出我国某座大城市的一条交通线路.它只有上、下行驶方向各14个站,从早上6时开始至晚上12时,每站每小时上的人数的统计资料已绘出;每站之间的距离,公交车行驶速度也绘出.汽车平均可载客100人,最大载承量为120人,要求在人流高峰期乘客候车时间不超过5分钟,客流低峰期候车时间不超过15分钟,客车空载率不低于50%.问:(1)此线路应当配备多少辆车?(2)如何设计发车时间表?这样的问题与传统的数学竞赛一般偏重理论知识不一样,它要考查的内容单一,数据简单明确,不允许用计算器完成.对此而言,建模竞赛题是一个“课题”,它是一个综合性的问题,数据庞大,需要用计算机来完成.其答案往往不是唯一的(数学模型是实际的模拟,是实际问题的近似表达,它的完成是在某种合理的假设下,因此其只能是较优的,不唯一的)呈报的成果是一篇“论文”.由此可见“建模竞赛”偏重于应用,它是以数学知识为主导,计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛.3.全国大学生建模竞赛是如何进行的呢?我国著名的大学每年通常参加二次建模竞赛.春节后有一次“全美建模竞赛”,其发起的单位是美国工业与应用数学学会,现在已经发展成一项国际性的竞赛活动,竞赛题在网上获得,论文的书写是全英文的,比赛评奖直接在美国本土进行,第二项比赛就是“全国大学生建模竞赛”了.4.参加建模竞赛通常需要哪些方面的知识呢?第一方面:数学知识的应用能力.按历年比赛的试题来看,虽然涉及的数学知识面十分地宽广,但归结起来大体上有以下几类:(1)概率与数理统计.(2)统筹与线性规划.(3)微分方程及与计算机知识相交叉的知识,计算机模拟.第二方面:计算机的运用能力.第三方面:论文的写作能力.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课件新人教A版
解析：(1)由 v＝12log310θ0可知，当 θ＝900 时，v＝12log3910000＝12log39 ＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是 1 m/s.
(2)由 v2－v1＝1，即12log31θ020－12log31θ010＝1，得θθ21＝9.所以耗氧 量的单位数为原来的 9ห้องสมุดไป่ตู้倍．
1.审题 2．建模 3．求解
类型二 分段函数模型
例 2 为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供 自行车出租．该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自 行车的费用是每日 115 元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超 过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每超过 1 元，租 不出的自行车就增加 3 辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元) 只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一次函数模型中，系数 k 的取值会影响函数的性质．( √ ) (2)在幂函数模型的解析式中，a 的正负会影响函数的单调 性．( √ )
2．某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(副)的关系式为 y ＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副 10 元，则该厂为了不亏本， 日产手套至少为( )
1)(37－
2x)]＝
1150x(72－6x)＝
1 25
x(12－x)．
∴g(x)＝215x(12－x)(x∈N 且 x≤12)．
(2)g(x)＝2x5(12－x)＝－215(x2－12x＋36－36)＝－215[(x－6)2－ 36]＝－215(x－6)2＋3265，
∴当 x＝6 时，g(x)有最大值3265.即第六个月需求量最大，为3265万 件．
高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例学案 新人教A版必修1(2021年整理)
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3.2.2函数模型的应用实例学习过程一、复习提问我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么?二、新课例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。
(1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立汽车行 驶这段路程时汽车里程表读数skm 与时间th 的函数解析式，并作出檅应的图象。
解：（1）阴影部分面积为：50×1+80×1+90×1+75×1+65×1＝36阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为360km.（2）根据图有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(8010200450t t t t t t t t t t s 画出它的函数图象P121。
在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因 此，我们应当注意提高读图的能力.本例题是分段函数是刻画现实问题的重要模型。
2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1
3.2.2 函数模型的应用实例[目标] 1.会用分段函数模型或自建函数模型解决一些简单的实际问题；2.会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合．[重点] 根据给定的函数模型解决实际问题．[难点] 建立数学模型解答实际问题.知识点一解函数模型应用题的一般步骤[填一填]1．函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．2．解函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关系．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．[答一答]1．常见的函数模型有哪些？提示：(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．知识点二函数拟合与预测的一般步骤[填一填](1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验．若符合实际情况，则用函数模型解释实际问题；若不符合实际情况则从(3)重新开始．[答一答]2．如何根据收集到的数据解决实际问题？提示：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步．若符合实际，则进入下一步；第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．以上过程可用程序框图表示如下：3．数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示：因为根据已给的数据作出散点图，一般是以比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时要重新调整数据或选用其他函数模型．类型一建立函数模型的应用题[例1] 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元．市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？[分析] 解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价；先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得汽车合适的销售单价．[解] (1)因为y＝29－25－x，所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．(2)z＝(8＋x0.5×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)．故当x＝1.5时，z max ＝50.所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.[变式训练1] 据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且为二次函数的顶点．(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？。
高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用举例教学案无答案新人教A版(1)
3.3.1 函数模型的应用举例使用说明与学法指导1、认真自学课本P101—P106，牢记基础知识，弄清课本例题，试完成教学案练习，掌握基本题型，再针对疑问重新研读课本.2、限时完成，书写规范，高效学习，激情投入.3、小组长在课中讨论环节要组织高效讨论，做到互学，帮学。
一、学习目标1．会利用给定的函数模型解决实际问题．(重点)2．能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题．(重点、难点) 二、问题导学（自学课本后，请解答下列问题）教材整理 函数模型的应用 阅读教材P 101～P 106，完成下列问题． 1．常见的函数模型f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，x ∈D 1f 2x ，x ∈D 2……f nx，x ∈D n2.建立函数模型解决问题的框图表示A．300只B．400只C．600只 D．700只2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0. 8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)三、合作探究一次函数、二次函数模型的应用例1：商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？变式1：某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点 由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t 小时内向居民供水总量为1006t (0≤t ≤24)，求供水 几小时后，蓄水池中的存水量最少.指数函数、对数函数模型的应用例2：声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg I10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？变式2：目前某县有100万人，经过x 年后为y 万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．分段函数模型的应用例3：经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足于f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧15＋12t ，t 25－12t ，t(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．变式3：国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元. 【导学号：97030142】(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？拟合数据构建函数模型例4：某企业常年生产一种出口产品，自2013年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2013年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：(1)画出2013～(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2017年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2017年的年产量为多少？变式4：某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100x四、当堂检测1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，y最适合的拟合函数是( )A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．3．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．4．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)5．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时 )，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．五、我的学习总结①知识与技能方面：②数学思想与方法方面：。
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即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
[类题通法]
构建分段函数模型的关键点
建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．
指数、对数型函数模型
[例3] 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为 .为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的 .已知到今年为止，森林面积为 a.
(1)求p%的值．
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)该森林今后最多还能砍伐多少年？
[活学活用]
某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？
即2x2－5x＜0，变形得x(2x－5)<0.
又x>0，故0＜x＜ .
∴x的取值范围为 .
[类题通法]
利用二次函数模型解决问题的方法
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．
(2)反比例函数模型：f(x)＝ (k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
[活学活用]
[活学活用]
如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于Q，
[解] (1)由题意得a(1－p%)10＝ ，
即(1－p%)10＝ ，解得p%＝1－ .
(2)设经过m年森林面积为 a，
则a(1－p%)m＝ a，即 ＝ ，
＝ ，解得m＝5.
故到今年为止，已砍伐了5年．
2019-2020高中数学第三章函数的应用3-2-2函数模型的应用实例学案含解析新人教A版必修1
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3．2.2 函数模型的应用实例
[导入新知]
1．常见的函数模型
(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；
所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，
所以 ＝ ，即 ＝ .
所以y＝－ x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S(x)＝xy＝x ＝－ (x－10)2＋50，
S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，
所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．
[解] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20＜x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米.
分段函数模型
[例2] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
2．建立函数模型解决问题的框图表示
[化解疑难]
求解函数应用题的程序
二次函数模型
[例1] 已知某种商品涨价x成(1成＝10%)时，每天的销售量减少 x(其中x>0)成．
(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？
再由已知得
解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并结合(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20＜x≤200时，f(x)＝ x(200－x)＝－ (x－100)2＋ ≤ ，当且仅当x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值 .
(2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x的取值范围．
[解] 设商品原价格为m，每天的原销售量为n，则每天的原营业额为m·n，涨价后每天的营业额为y＝m· · ·n.
(1)y＝m· ·ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ·n
＝ ·m·n.
当x＝ ，即涨价125%时，每天的营业额最大．
(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，
则需m· · ·n＞m·n，
解：(1)依题意得y＝
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－ t1＋ ＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－ t2＋ － (t2－4)＋ ＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t3(t3>10)小时，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－ (t3－4)＋ － (t3－9)＋ ＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.