2018考研高数重点复习定积分与不定积分定理总结
定积分和不定积分的计算方法总结
定积分和不定积分的计算方法总结一、不定积分的定义和基本性质不定积分是函数积分的一种形式，表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示自变量。
1.不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。
因此，∫f(x)dx = F(x) + C。
2.基本性质(1) 常数因子法则：若c是常数，则有∫cf(x)dx = c∫f(x)dx。
(2) 线性法则：若f(x)和g(x)都有原函数，则有∫(f(x) ±g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
(3) 逐项积分法则：若f(x)的原函数为F(x)，g(x)的原函数为G(x)，则有∫(f(x) ± g(x))dx = F(x) ± G(x)。
(4) 分部积分法则：若f(x)和g(x)都具有原函数，则有∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫(F(x)g'(x))dx，其中F(x)为f(x)的一个原函数，g'(x)为g(x)的导数。
二、定积分的定义和计算方法定积分是计算函数在一个有限区间上的面积的数值，表示为∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间。
1.定积分的定义设f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]分为n个小区间，长度为Δx，选择每个小区间上一点ξi，记为Δx = (b-a)/n，ξi = a + iΔx (i = 0,1,2,...,n)。
定义Riemann和为S(f, Δx, ξ) = Σf(ξi)Δx =f(ξ1)Δx + f(ξ2)Δx + ... + f(ξn)Δx。
当n趋于无穷大时，Riemann和的极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为∫[a,b]f(x)dx。
2.计算方法(1)几何意义：定积分表示函数f(x)在区间[a,b]上曲线与x轴之间的面积。
考研定积分知识点总结
一、定积分的定义和性质1. 定积分的概念定积分是微积分学中的重要概念，它是对函数在一个区间上的积分值进行求解的操作。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则我们可以通过定积分的形式来求解函数f(x)在区间[a,b]上的积分值，即∫(a to b) f(x)dx。
这里，∫表示积分符号，a和b分别表示区间的起点和终点，f(x)表示要求解的函数，dx表示积分变量，并代表着在区间[a,b]上x的变化范围。
因此，定积分的求解可以看做是对函数在一个区间上的积分值进行求解的过程。
2. 定积分的性质定积分具有一系列的性质，这些性质在定积分的求解中起着重要的作用。
主要的性质包括线性性、可加性、积性、保号性、保序性等。
具体来说，线性性指的是定积分的线性组合仍然可以进行积分求解；可加性指的是如果一个区间可以分解成若干个子区间，那么对应的积分值也可以进行求和；积性指的是如果一个函数是另一个函数的乘积，那么对应的积分值也可以进行相乘；保号性指的是如果函数在区间上恒大于等于零（小于等于零），那么对应的积分值也恒大于等于零（小于等于零）；保序性指的是如果函数在区间上恒大于等于另一个函数（小于等于另一个函数），那么对应的积分值也恒大于等于（小于等于）另一个函数在相同区间上的积分值。
这些性质在定积分的具体求解中是非常有用的，可以帮助我们简化求解的过程，提高计算的效率。
二、定积分的计算1. 定积分的计算方法定积分的计算方法主要包括定积分的定义法、不定积分法、分部积分法、换元积分法和定积分的几何意义。
其中，定积分的定义法是直接根据定积分的定义进行求解；不定积分法是将定积分转化成不定积分，通过求解不定积分再将得到的结果代入原来的定积分式中，从而得到最终的定积分值；分部积分法是将被积函数进行分解，然后利用分部积分公式对各项进行积分求解；换元积分法是通过变量代换的方法将被积函数进行转化，然后再进行积分求解；定积分的几何意义则是利用定积分代表曲线下面积的特性来进行求解。
考研数学-专题10 不定积分和定积分的方法和技巧
∫ ∫ a −a
f
( x) d
x
=
⎪⎧0, ⎪⎩⎨2
a 0
f
( x) d
x,
f (x) 为奇函数时， f (x) 为偶函数时.
(2) 设 f (x) 是以T 为周期的连续函数，则对任给数 a ，总有
5）利用公式
∫ ∫ a+T
T
f (x)d x = f (x) d x.
a
0
6
∫ ∫ (1)
π
2 sinn x d x =
x
= A + Bx + C
x3 − x2 + x −1 x −1 x2 +1
则 x ≡ A(x2 + 1) + (Bx + C)(x −1)
由此解得 A = 1 , B = − 1 ,C = 1 .
2
22
∫
x3
−
x x2 +
x
dx −1
=
1 2
∫
dx x −1
−
1 2
∫
x −1
x
2
+
dx 1
= 1 ln x −1 − 1 ln(x2 + 1) + 1 arctan x + C
0
∫=
2
[(x −1) +1]
1− (x −1)2 dx
0
【例 3】
∫= 2 2x − x2 dx = π （几何意义）
0
2
∫π x
cos2 x − cos4 xdx = __________ .
0
∫ ∫ 【解】
原式 = π
π cos2 x − cos4 xdx = π
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
定积分与不定积分定理总结
定积分与不定积分定理总结定积分与不定积分定理总结定积分与不定积分定理总结不定积分1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
●分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的`路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a定积分的应用1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)●直角坐标系下(含参数与不含参数)●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)d x,其中A(x)为截面面积)●功、水压力、引力●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)。
不定积分与定积分
不定积分与定积分积分是数学分析中重要的概念和工具，在微积分中具有广泛的应用。
其中不定积分和定积分是常见的两种类型。
它们分别具有不同的定义和性质，对于解决实际问题和求解函数的面积等概念都有着重要的作用。
一、不定积分1.1 定义不定积分是函数的原函数的集合。
给定一个连续函数f(x)，其不定积分可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数。
1.2 性质不定积分具有线性性质，即∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
同时，不定积分满足微积分基本定理，即对于函数f(x)的原函数F(x)，有∫f'(x)dx = F(x) + C。
1.3 计算方法求解不定积分的方法有很多，最常用的方法是换元法和分部积分法。
换元法是通过引入新的变量替代原变量，将原函数转换成更容易积分的形式。
分部积分法则是通过对乘积的两个函数进行积分，得到原函数的表达式。
二、定积分2.1 定义定积分是对函数在一个闭区间上的积分。
给定函数f(x)在[a, b]区间上连续，定积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。
定积分表示函数在该区间上的面积或曲线与x轴所围成的面积。
2.2 性质定积分具有线性性质和可加性质，即对于函数f(x)和g(x)，有∫[a, b][f(x) ± g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx。
同时，定积分也满足中值定理，即在区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b - a)。
2.3 计算方法计算定积分可以使用几何意义的面积计算法、代数意义的换元法和分段函数积分法等。
其中，面积计算法是将曲线区间划分成若干个小矩形，再对这些小矩形的面积求和。
而换元法和分段函数积分法则是通过转换变量或分别对函数在不同区间求积分。
不定积分和定积分
不定积分和定积分重点知识
1、不定积分的定义
2、不定积分的性质（这个很简单，明白有这个东西）
3、不定积分的基本公式（初等函数的不定积分）
4、不定积分的基本方法（换元和分部基本）【*】
5、定积分的定义【计算一些无穷极限】
定积分的思想就是分割，无线分割求和的思想，注意理解！！！
6、定积分的计算。
首先要熟练公式，然后利用公式会做基本的计算。
另外会掌握几何法去计算定积分。
最后是一些技巧性比较强的计算。
7、定积分的应用。
包括求体积和面积。
这个非常重要。
8、微积分基本原理。
这个非常重要。
极限，不等式证明，最值极值都可以结合这个知识考察。
【变上限函数的求导】9、关于到暑假前的安排
首先还是以基础知识为主。
把我告诉你的这些重要知识研究透，公式熟练记忆。
把这个看完后，就来复习全书的习题，一道一道的吃透。
最后强化训练。
应该坚持下去90分以上是没问题的。
以后每周我会找10道经典例题检测你前面所学知识是否掌握。
2018考研数学必看重点：定积分证明三大解题思路_毙考题
2018考研数学必看重点：定积分证明三大解题思路
在考研数学中，定积分及其应用这部分知识点考察形式多样，是每年考察的重点，而定积分证明就是常见形式之一，大家需要加以重视，下面一起来看看这类题目的解题思路吧。
2、定积分中值定理命题的证明。
一般利用连续函数的介值定理、微分中值定理、积分中值定理等来证明，其关键是构造辅助函数。
3、定积分不等式的证明。
一般有三种方法。
①利用被积函数的单调性、定积分的保序性和估值定理证明。
②将定积分的上(下)限改为变量，从而将定积分不等式化为函数不等式，再用微分学方法证明。
③利用微分中值定理、积分中值定理(适用于已知条件中有连续性和一阶可导性)与泰勒公式(适用于题设中有二阶以上可导性)。
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面就来对定积分的相关知识点进行一个全面的汇总。
一、定积分的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上连续，用分点＼（a ＝x_0 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜＼cdots ＜ x_n ＝ b\）将区间＼（a,b\）等分成＼（n\）个小区间，在每个小区间＼（x_{i 1}， x_i\）上取一点＼（＼xi_i\）（＼（i ＝ 1, 2, ＼cdots, n\）），作和式＼（＼sum_{i ＝ 1}＾n f(＼xi_i) ＼Delta x\）（其中＼（＼Delta x ＝＼dfrac{b a}｛n}＼））。
当＼（n\）无限趋近于正无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的定积分，记作＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）。
二、定积分的几何意义1、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为正时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示由曲线＼（y ＝ f(x)＼），直线＼（x ＝ a\），＼（x ＝ b\）和＼（x\）轴所围成的曲边梯形的面积。
2、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）的值为上述曲边梯形面积的相反数。
3、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上有正有负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴上方部分与＼（x\）轴所围成的面积减去曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴下方部分与＼（x\）轴所围成的面积。
三、定积分的性质1、＼（＼int_{a}＾｛a} f(x)dx ＝ 0\）2、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝＼int_{b}＾｛a} f(x)dx\）3、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x) ± g(x)dx ＝＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ±＼int_{a}＾｛b} g(x)dx\）4、＼（＼int_{a}＾｛b} kf(x)dx ＝ k ＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）（其中＼（k\）为常数）四、定积分的计算1、牛顿莱布尼茨公式如果函数＼（F(x)＼）是连续函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的一个原函数，那么＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝ F(b) F(a)＼）。
2018年高等数学 定积分复习攻略
2018年高等数学定积分复习攻略我们可以看到：在学习定积分之前，我们首先学习了不定积分。
很多同学把不定积分与定积分搞混淆。
其实不定积分是导数的逆运算，本质还是导数的延伸。
而真正的积分部分是定积分。
在临考前提供如下学习建议：1.复习知识体系在讲定积分的时候，我又回归到原来的讲法：从知识体系讲起。
因为定积分这章非常重要，考试考查的内容多而广。
这章包括：定积分的定义，性质;微积分基本定理;反常积分;定积分的应用。
这四个部分各有侧重点。
其中定积分的定义是重点;要理解微积分基本定理;要掌握定积分在几何和物理上面的应用。
至于反常积分大家了解就行了。
2.深刻回顾知识点在掌握了知识体系之后，自然就需要明确具体的重点知识点了。
首先是定积分的定义及性质。
大家需要深刻理解定积分的定义。
我觉得同学们不仅要会用自己的话来表述定义，而且要一步一步的写出精髓。
比如说从定义中体现的思想：微元法。
同学们要理解分割，近似，求和，取极限这四个步骤。
同时要知道其几何意义及定义中需要注意的方面。
对定积分定义的考察在每年考研中是必考内容。
所以希望引起大家的足够重视。
至于性质，大家关键也在于理解。
特别是区间可加性;比较定理;积分中值定理。
对这三个性质大家一定要知道是怎么来的。
考研中有关积分的证明题多多少少会用到这三个性质。
所以大家只有理解了才懂得在什么时候用。
然后是微积分基本定理。
这个知识点非常重要。
因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。
而且在一定的条件下，它的导数就是f(x)。
所以我们扩展了函数类型。
那么导数应用中的切线与法线;单调性;极值;凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。
同时提出了牛顿-莱布尼茨公式，使得我们可以用不定积分来计算定积分。
希望同学们要掌握牛顿-莱布尼茨公式的证明过程。
补充说一点：求定积分常用的方法是基本积分公式;换元积分法(凑微分法和换元积分法);分部积分法。
其中换元积分法和分部积分法是重点。
大家要理解换元积分法的思想。
定积分与不定积分
定积分与不定积分积分是微积分中的重要概念之一，分为定积分和不定积分。
在数学和物理学等领域中，积分广泛应用于求解曲线下面的面积、求解变化率、求解平衡点等问题。
在本文中，我们将详细讨论定积分和不定积分的概念、性质以及求解方法。
一、定积分定积分是指对于一个函数在给定区间上的积分结果是一个确定的数值。
它常常用于求解曲线下面的面积。
在数学中，定积分可以通过黎曼和牛顿-莱布尼茨公式来进行计算。
黎曼和公式可以用如下形式表示：∫[a,b] f(x)dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δx其中，f(x)是被积函数，[a,b]是积分区间，xi是取自积分区间的一个点，Δx是每一小段区间的长度。
牛顿-莱布尼茨公式表示为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数。
从这两个公式可以看出，定积分的结果是一个数值，并且与所选取的具体积分区间无关。
定积分还具有求解变化率、求解物体质量等方面的应用。
二、不定积分不定积分是指对于一个函数求出它的原函数，也称为不定积分。
不定积分的结果通常表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
不定积分解决的是反导数问题。
不定积分与定积分的关系可以用牛顿-莱布尼茨公式来表示。
定积分就是不定积分的上下限差：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|[a,b]这意味着通过求解不定积分，我们可以求出定积分的值。
不定积分可以利用换元法、分部积分法等方法来求解。
其中，换元法是指通过换一种变量的表示方式，来简化积分形式。
分部积分法则是指求导运算和积分运算之间的一个关系，可以将一个复杂的积分转化为一个或多个简单的积分。
三、定积分与不定积分的性质1.线性性质：定积分和不定积分都具有线性性质，即对于任意常数a和b，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
2.区间可加性：定积分具有区间可加性，即对于[a,b]和[b,c]，有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
不定积分知识点总结
不定积分知识点总结不定积分是高等数学中的重要内容，是定积分的逆运算，也称为反导数。
它在微积分中有着广泛的应用。
下面是不定积分的知识点总结。
一、不定积分的定义和性质：1. 不定积分的定义：设函数F(x)在区间[a,b]上有原函数f(x)，如果F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记为F(x)=∫f(x)dx。
其中F(x)是不定积分号∫的上界，f(x)是被积函数，dx是自变量。
2.基本性质：（1）线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
其中a、b为常数。
（2）和差性质：∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
（3）分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx。
将f'(x)视为u'(x)，g(x)视为v(x)。
3.不定积分的四则运算：（1）常数定积分：∫kdx = kx + C。
其中，k是常数，C是任意常数。
（2）幂函数的不定积分：∫x^kdx = 1/(k+1) * x^(k+1) + C。
其中，k≠-1（3）指数函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。
（4）对数函数的不定积分：∫1/xdx = ln，x， + C。
（5）三角函数的不定积分：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C。
（6）反三角函数的不定积分：∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C，∫1/√(1+x^2)dx = arcsinhx + C。
其中，-1≤x≤14. 不定积分的换元法：设F(x)是f(x)的一个原函数，g(x)是可导函数，则∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C。
其中，F(g(x))是∫f(g(x))dx 的原函数。
二、基本初等函数的不定积分：1. e^x函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。
定积分与不定积分
定理4.2.1 (微积分学基本定理)
(x) f (t)dt 在 [a,b] 上可导 ,且
a x
若函数 f (x)在区间 [a,b]上连续 ,则积分上限函数
证
d x (x) f (t)dt f (x) ,x [ a , b ] dx a 任取 x ,x x [ a , b ], 有 ( x ) ( x x ) ( x )
3 x 2有无穷多个原函数，且其中任意两个函数相差一个
常数，这一点具有普遍性
F(x)是 f (x)在区间 I上的一个原函数， 定理4.2.2 设
则 f (x ) 的原函数有无穷多个， 并且都可以表示 F(x) C，其中C为任意常数 因为 F ( x ) C F ( x ) f ( x ) ， 证
(x) f () 从而得 x
积分上限函数是表示函 数关系的一种新方 , 一些性质 ,如单调性、极值、凸性 、拐点等 .
例4.2.1 求
d dx
我们可以用微分学方法 去研究积分上限函
x
a
sin t 2 dt
解
d x 2 2 sint dt sin x 例4.2.2 求 dx x b t2 d d x t2 x2 解 (e 1 ) dt ( e 1 ) dt ( e x dx b dx d lnx t e s in tdt 例4.2.3 求 dx 0 这里注意：
所以 F (x ) C也是 f (x) 的原函数 ,
由于C的任意性， 则f ( x)的原函数有无穷多个 .
设 G (x)是 f (x)在区间 I上的任意一个原函数， 则 G ( x ) f( x ) 又 G ( x ) F ( x ) F ( x )f( x ), 故
积分知识点总结公式
积分知识点总结公式一、基本概念1. 定积分定积分是对函数f(x)在区间[a, b]上积分的概念，表示为∫f(x)dx。
它的几何意义是函数f(x)与x轴所围成的面积。
定积分的概念可以表示成：∫f(x)dx = lim[n→∞]∑[i=1]ⁿ f(xᵢ)Δx其中，Δx = (b - a)/n，xᵢ = a + iΔx。
求解定积分通常使用牛顿-莱布尼茨公式：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的不定积分。
2. 不定积分不定积分是对函数f(x)的积分的概念，表示为∫f(x)dx。
它的几何意义是求解函数f(x)的原函数F(x)。
求解不定积分的常用方法包括换元法、分部积分法、特殊积分法等。
3. 曲线的长、面积、体积通过积分的方法可以求解曲线的长度、曲线围成的面积以及体积。
曲线的长度可以表示成：L = ∫[a, b]√(1 + (dy/dx)²)dx曲线围成的面积可以表示成：S = ∫[a, b]f(x)dx体积可以表示成：V = ∫[a, b]A(x)dx其中A(x)是截面积。
二、常见积分公式1. 基本积分公式基本积分公式包括：∫xⁿdx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n≠-1∫eˣdx = eˣ + C∫aˣdx = (1/lna)aˣ + C，其中a>0，a≠1∫sinxdx = -cosx + C∫cosxdx = sinx + C∫sec²xdx = tanx + C∫csc²xdx = -cotx + C∫secxtanxdx = secx + C∫cscxcotxdx = -cscx + C∫1/(1+x²)dx = arctanx + C∫1/√(1-x²)dx = arcsinx + C∫1/(x²+a²)dx = (1/a)arctan(x/a) + C2. 分部积分公式分部积分公式是对两个函数的积分的概念，表示为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
不定积分和定积分的关系
不定积分和定积分的关系摘要：一、不定积分与定积分的概念1.不定积分的定义2.定积分的定义二、不定积分与定积分的关系1.不定积分与定积分的联系2.不定积分与定积分的区别三、不定积分与定积分的应用1.不定积分在求解定积分中的应用2.定积分在求解不定积分中的应用四、总结1.不定积分与定积分的重要性2.不定积分与定积分在数学领域的发展趋势正文：一、不定积分与定积分的概念1.不定积分不定积分是一种求解导数的方法，它可以将一个函数的不定积分求出来，即求出该函数的导数。
2.定积分定积分是一种求解面积的方法，它可以将一个函数在一定区间内的定积分求出来，即求出该函数在这个区间内的面积。
二、不定积分与定积分的关系1.不定积分与定积分的联系不定积分与定积分是两种求解函数的方法，它们之间存在紧密的联系。
在求解问题时，我们可以先求出函数的不定积分，再求出该函数的定积分；也可以先求出函数的定积分，再求出该函数的不定积分。
2.不定积分与定积分的区别虽然不定积分与定积分都是一种求解函数的方法，但它们求解的问题不同。
不定积分主要用于求解函数的导数，而定积分主要用于求解函数在一定区间内的面积。
三、不定积分与定积分的应用1.不定积分在求解定积分中的应用在求解定积分时，我们可以通过求解函数的不定积分，然后将求得的导数代入定积分公式，从而求出函数在一定区间内的面积。
2.定积分在求解不定积分中的应用在求解不定积分时，我们可以通过求解函数的定积分，然后将求得的面积代入不定积分公式，从而求出函数的原函数。
四、总结1.不定积分与定积分的重要性不定积分与定积分是数学中的两种基本方法，它们在解决实际问题时具有重要的作用。
定积分与不定积分基础
定积分与不定积分基础定积分和不定积分是微积分中的两个重要概念。
它们在数学和物理学中具有广泛的应用。
本文将重点介绍定积分和不定积分的基础知识。
一、不定积分不定积分，也叫原函数，是函数的逆运算。
给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么函数F(x)就是f(x)的一个不定积分。
常用的表示方法是∫f(x)dx = F(x) + C，其中C是常数。
不定积分的计算方法有多种，包括直接运用积分的基本公式和换元法等。
下面举例说明：例1：计算∫3x²dx解：根据不定积分的定义，我们要找到一个函数F(x)，使得F'(x) =3x²。
我们知道，F(x) = x³就满足这个条件。
因此，∫3x²dx = x³ + C，其中C是常数。
例2：计算∫eˣdx解：同样地，我们要找到一个函数F(x)，使得F'(x) = eˣ。
根据指数函数的求导规则可知，F(x) = eˣ就是满足条件的函数。
因此，∫eˣdx = eˣ + C，其中C是常数。
二、定积分定积分是函数在一定区间上面积的度量。
给定一个函数f(x)，如果从a到b的区间内，存在一个数I，使得随着区间划分的细化，当n趋向于无穷大时，分割后的矩形面积之和趋近于I，那么I就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作∫[a, b]f(x)dx。
定积分的计算方法有多种，包括几何法，分区间求和法和基本积分公式等。
下面举例说明：例3：计算∫[0, 1]xdx解：根据定积分的定义，我们需要求出函数x在[0, 1]上的面积。
这是一个三角形，底边为1，高为1，因此面积为1/2。
因此，∫[0, 1]xdx = 1/2。
例4：计算∫[0, 2]x²dx解：根据定积分的定义，我们需要求出函数x²在[0, 2]上的面积。
这是一个梯形，上底为4，下底为0，高为4，因此面积为8。
考研积分知识点总结
考研积分知识点总结一、定积分1、定义：设f(x)在区间[a,b]上有界，将[a,b]分成n份，每份的长度为Δx，然后在每份上取一点ξi，令Δx→0时，若极限存在，记为∫abf(x)dx2、性质：（1）可加性：∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx（2）常数性质：∫abcf(x)dx=c∫abf(x)dx（3）区间可加性：∫abf(x)dx+∫bdf(x)dx=∫acf(x)dx（4）绝对值不等式：|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx3、微元法：设f(x)在[a,b]上有界，则∫abf(x)dx可看成是多个矩形的面积的和，通过微元法可得到∫abf(x)dx的表达式，即∫abf(x)dx=limΔx→0∑f(ξi)Δx二、不定积分1、定义：设f(x)在区间I上有定义，则函数F(x)称为f(x)在I上的原函数，即F’(x)=f(x)。
不定积分是指对于f(x)进行积分操作，得到一个原函数F(x)，表示为∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数。
2、性质：（1）线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx（2）微分求积分关系：若F’(x)=f(x)，则∫F’(x)dx=F(x)+C3、换元法：（1）第一类换元法：若积分中含有复合函数，并且确实有合适的简化形式，可以采用第一类换元法，设u=g(x)，则du=g’(x)dx，∫f(g(x))g’(x)dx=∫f(u)du（2）第二类换元法：当上述第一类换元法不适用时，可以采用第二类换元法，通过变换积分上限和下限的方式，将积分变为已知的形式。
设u=g(x)，则x=h(u)，∫f(x)dx=∫f(h(u))h’(u)du三、区间无穷积分1、无穷远处的积分：（1）定积分的上限或下限为无穷时，这种积分称为无界积分。
（2）若∫abf(x)dx存在且极限为∞或-∞，则∫abf(x)dx称为绝对收敛。
积分的定积分与不定积分
积分的定积分与不定积分积分是微积分中的重要概念之一，用于求解曲线下面积、函数的平均值、变化率等问题。
在积分中，我们常常会遇到定积分和不定积分两种形式。
本文将从定义、性质、计算方法等方面介绍定积分和不定积分的基本知识。
一、定积分的定义与性质定积分是对函数在给定区间上的积分，它的定义如下：设函数f(x)在区间[a, b]上有界，将[a, b]分成n个小区间，其中第i 个小区间为[x_(i-1), x_i]，对于任意一个小区间，取其左端点上的函数值f(x_(i-1))作为近似值，求所有小区间上的近似求和，然后令n趋向于无穷大，即可得到定积分的值。
定积分的性质如下：1. 定积分的值和积分的区间有关，即[a, b]上的积分与[b, a]上的积分相差一个负号，表示积分的方向。
2. 一个区间上的定积分可以分割成多个子区间的积分之和，即[a, b]上的积分等于[a, c]上的积分加上[c, b]上的积分。
3. 函数的常数倍不影响定积分的值，即k∫f(x)dx = ∫(k*f(x))dx。
4. 定积分有加法原理，即∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
二、不定积分的定义与性质不定积分是求解函数的原函数的过程，它的定义如下：设函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，则F(x)+C称为f(x)在I上的不定积分，其中C为任意常数。
不定积分的性质如下：1. 函数的不定积分是原函数的集合，因为对于任意一个原函数F(x)，都有F(x)+C是f(x)的不定积分，其中C为任意常数。
2. 不定积分具有线性性质，即∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
3. 不定积分有积分微分的逆运算性质，即函数f(x)在[a, b]上可积的充分必要条件是它在[a, b]上有连续的原函数。
三、定积分与不定积分的关系在计算上，定积分和不定积分是相互联系的。
下面是一些常见的关系：1. 定积分可以通过不定积分来求解，即∫(a, b)f(x)dx = F(x)∣_(a, b) = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
高数积分总结
高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1如果在区间I上，可导函数F (x)的导函数为f(x)，即对任一x I , 都有F'(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x) 就称为f(x)( 或f(x)dx) 在区间I 上的原函数。
定义2:在区间I上，函数f (x)的带有任意常数项的原函数称为f (x)(或者f(x)dx )在区间I上的不定积分，记作f(x)dx 。
性质1:设函数f(x) 及g(x) 的原函数存在，则[ f(x) g ( x)] dx f (x)dx g(x)dx 。
性质2:设函数f(x) 的原函数存在，k 为非零常数，则kf(x)dx k f (x)dx 。
2、换元积分法(1) 第一类换元法:定理1:设f(u) 具有原函数，(x) 可导，则有换元公式f[ (x)] '(x)dx [ f( )d ] 。
其中1(x)是 x (t)的反函数。
例:: dx求2 2x a(a 0) 解 •/ 1 tan 21 sec 2t , 设xta nt2t-，那么x 2a 2、a 2a 2tan 2t a\ 1asect,dx asec f tdt ，•/ sectdx2 2x a2 .a sec t1( dt asectdx22x adx22■- x a2 2——，且 sect tant 0 ar~22\ x aIn sect sectdttant CC ln(x > x 2 a 2) C 1 , C 1C ln a例：求 2cos2xdx解 2cos2xdx cos2x?2dx cos2x?(2x)'dx cos d 将 2x 代入，既得2cos2xdx sin2x C(2)第二类换元法：定理2:设x (t)是单调的、可导的函数，并且'(t) 0.又设f[ (t)] '(t)具有原函数，则有换元公式f(x)dx [ f[ (t)] '(t)dt]t i (x)于是tan 213、分部积分法 定义：设函数 (x)及 (x)具有连续导数。
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2018考研高数重点复习定积分与不定积
分定理总结
在暑期完成第一轮基础考点的复习之后，9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。
本文为同学们整理了高数部分的定积分与不定积分定理定义汇总。
▶不定积分
1、原函数存在定理
●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x ∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
●分部积分法
如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
▶定积分
1、定积分解决的典型问题
(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程
2、函数可积的充分条件
●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质
●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx ≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。
4、关于广义积分
设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a
▶定积分的应用
1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)
●直角坐标系下(含参数与不含参数)
●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)
●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)
●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积)
●功、水压力、引力
●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)。