二○○四年湖南省高中数学竞赛试题
湖南省高中数学竞赛试题及答案
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B ．提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设kx x A ⊕=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，故1x A =或3.x A =答案：A ．2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是 （ ）A ．6B ．3C ．1D ．2 3.设函数()2c o s ,fx x x =-{}n a 是公差为8π的等差数列，()()12f a f a +++()n f a 5,π=则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （ ）A ．0B ．116π C ．18π D ．21316π答案：D ．提示：因为{}n a 是公差为8π的等差数列，且 ()()12f a f a +++()5f a()()()1122552cos 2cos 2cos 5,a a a a a a π=-+-++-=即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π+++-+++=，所以33333310cos cos cos cos cos 5.4884a a a a a a πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即33102cos2cos1cos 5.48a a πππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭记()102cos2cos1cos 548g x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭，即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2x π=，所以3.2a π=所以()2223151320.2242416f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m+--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（ ）答案：B ． 提示：z n i z m i n ++-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近点2F ．5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭是将向量()1,1经过 变换得到的，答案是 （ ）A ．顺时针旋转60所得B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．提示：设两向量所成的角为θ，则()1,11cos ,2θ⋅==又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=．又110,022<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B ．提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有23650n Cr -+-=，即()()3444.2n n r --=+因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故0r ≠；②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；③当2r =时，有()()3492n n --=，即27800,n n --=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --=，但它没有正整数解，故 3.r ≠二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）7.规定：对于x R ∈，当且仅当()*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式[][]2436450x x -+≤的解集是 ．答案：28.x ≤≤。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
1 。 100
，a n 1 arctan(sec a n ) ， （n N ） 求正整数 m ， 6 , ) ，且 tan a n 1 sec a n 2 2
★解析：由已知条件可知，对任意正整数 n ， a n 1 ( 由于 sec a n 0 ，故 a n 1 (0,
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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2a | QF1 | | QF2 || PF1 | | PF2 | 2c 4
于是 | QF2 || PF1 | | PF2 | | QF1 | 2c 1 设 H 为线段 PF1 的中点，则 | F1 H | 2, | QH | 5 ，且有 F2 H PF1 。由勾股定理知，
① ②
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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而点 P 的坐标 ( a, b) 同时满足①，②。故 A ， B 的坐标均满足方程
by 2( x a )
③ ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 )
故③就是直线 AB 的方程。 直线 PO 与 AB 的斜率分别为 从而③即为 y
tan a m tan a1 tan a 2 … sec a1 sec a 2 sec a m
tan a m tan a1 tan a 2 … （利用①） tan a 2 tan a3 tan a m 1
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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2 2 2 2 2 2 5
48 3 。 64 4
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2014A 9、 （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：过 P 可作抛物线 y 4 x 的两条切线，两切点连线 l P 与 PO 垂直.设直线 l P 与直线 PO ， x 轴的交点分别 为 Q, R 。 ⑴证明： R 是一个定点； ⑵求
2014年郴州一中高二年级数学竞赛试题
2014年郴州一中高二年级数学竞赛试题1.删去正整数数列1,2,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2010 项是_____________.2.全国篮球职业联赛的某个赛季在H 队与F 队之间角逐。
采取七局四胜制（无平局），即若有一队胜4场，则该队获胜并且比赛结束。
设比赛双方获胜是等可能的。
根据已往资料显示，每场比赛的组织者可获门票收入100万元。
组织者在此赛季中，两队决出胜负后，门票收入不低于500万元的概率是_____________.3．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，,,AB a BC b ==1A A c =，E 为D 1C 1中点，若平面A 1BC 1与平面ACE 所成二面角的平面角为θ，则Sin θ=____________________．4.设正数数列{}n a 的前n 项之和为n b ，数列{}n b 的前n 项之积为n c ，且1n n b c +=，则数列1{}na 中最接近2010的数是 .5.213)()n n N +∈的整数部分和小数部分分别是A 、B ，则()B A B += .6.如图, ,M N 分别为正六边形ABCDEF 的对角线AC,CE 的内分点,且AM CNAC CEλ==,若B,M,N 三点共线,则λ=______________ 7.对于给定的正整数n ,则由直线2y n =与抛物线2y x =所围成的封闭区域内(包括边界)的整点个数为________________8.已知复数1z 在11=z 的条件下变动,而21412120102009z z z -+=--,则复数z 对应点的形成的区域图形的面积是 .；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒∠∠∠∆30.9PCA PBC PAB ABC P 10.已知数列}{n a 由)(,,32*2121211N n a a a a a n n n ∈++==-+ 确定.若对于任意*N n ∈，M a a a n <+++++11111121 恒成立。
年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案
年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。
3、解题书写不要超出装订线。
4、不能使用计算器。
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合，，则 ( ) A．(－2，2) B．[－2，2] C． D．2．若，则 = ( )A．－1 B． 1 C． D．3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是 ( )A．[1，2] B．[2，4] C．[1，3] D．[3，6]4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成角，则这样的直线条数是 ( )A． 1 B． 2C． 3 D． 45．等腰直角三角形 ABC中，斜边BC= ，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上） ( )A． B．C． D．（注：原卷中答案A、D是一样的，这里做了改动）6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( )A．1372 B． 2024 C． 3136 D．4495二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。
）7．等差数列的前m项和为90，前2 m项和为360，则前4m项和为_____.8．已知，，且，则的值为______ ___.9．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.10．在 ABC中，AB= ，AC= ，BC= ，有一个点D使得AD平分BC并且是直角，比值能写成的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n=______ __.11．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，B，C1，D1的圆上的点Q之间的最小距离是___________.12．一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。
全国各省省高中数学竞赛试题及参考答案汇编
1、浙江省高中数学竞赛试题2、河北省高中数学竞赛试题3、全国高中数学联赛广东省预赛4、全国高中数学联赛江苏赛区初赛题5、浙江省高中数学竞赛试题6、湖北省高中数学竞赛试题7、全国高中数学联合竞赛一试试题8、二Ｏ一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题9、全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷10、全国高中数学联赛山东省预赛试题11、全国高中数学联赛江西省预赛试题12、全国高中数学联赛山西省预赛13、全国高中数学联赛甘肃省预赛试题14、全国高中数学联合竞赛（四川初赛）15、全国高中数学联赛安徽省预赛试题16、新知杯上海市高中数学竞赛试题17、湖南省高中数学竞赛试卷A卷浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[,]42ππθ∈） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ）A. 2B. C. 2±D. ±3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ ） A.B.C. 3D.21243400,3x x x x AB -=⇒==⇒==。
正确答案为C 。
5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ ）A. 单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）2212231A. 4+52π B. 4+32π C. 4+2π D. 4+π 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ） A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数()2sin2xf x x =的最小正周期为______ ____。
2004年湖南省高中数学竞赛
( A) ( - 2 - 1 , 2 ) (B) ( - 2 , 2 - 1) ( C) [ 0 , 2 - 1) ( D) ( 0 , 2 - 1 )
8 . 过正方体 A B CD - A 1 B 1 C1 D 1 的对
角线 B D 1 的截面面积为 S , 记 S 1 和 S 2 分别 为 S 的最大值和最小值 . 则
3 . 方程 x + x - 1 = xπx - 1 + ( x 2 - 1 ) πx 的解集为 A ( 其中π 为无理数 ,π = 31141 …, x 为实数) . 则 A 中所有元素的平方和等 ). 于 ( ( A) 0 (B) 1 ( C) 2 ( D) 4 )2 + 4 . 已知点 P ( x , y ) 满足 ( x - 4 cos θ ( y - 4sin θ ) 2 = 4 (θ∈R) . 则点 P ( x , y ) 所在
B ED 1 E1 , 则 S =
28 2 S △BD 1 E1 = h ・ BD1 , 这 1 a・ b | a| 2・ | b| 2 1 4 | a| ・ | b| 1 2 = [ (| a| ・ | b| ) 2 - ( a ・ b) ]. 4 13 . 4 . =
中 等 数 学
2
里 h 为 E1 到 BD 1 的 距离 . 易 知 , h 为 异 面 直 线 BD1 与 B 1 C1 间 的距 离 h′ 时最小, 此 时 , h = h′ =
5 . C.
设编号分别为 1 、 2、 3 的盒子中球的个数依次为
x1 、 x2 、 x3 ,则 x 1 + x 2 + x 3 = 10 ( x 1 ≥ 1 , x2 ≥ 2 , x3 ≥ 3) .
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1. 若正数,a b 满足 2362log 3log log ()a b a b ，则11a b的值为 ．答案：108．解：设2362log 3log log ()a b a b k ，则232,3,6k k k a b a b ，从而23231161082323k k k a b a b ab ．2. 设集合312b a b a中的最大元素与最小元素分别为,M m ，则M m 的值为 ．答案：5 ．解：由12a b 知，33251b a ，当1,2a b 时，得最大元素5M．又33b a a aa b时，得最小元素m因此，5M m3. 若函数2()1f x x a x 在[0,) 上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．答案：[2,0] ．解：在[1,) 上，2()f x x ax a 单调递增，等价于12a，即2a ．在[0,1]上，2()f x x ax a 单调递增，等价于02a，即0a ．因此实数a 的取值范围是[2,0] ．4. 数列{}n a 满足12a ，*12(2)()1n n n a a n n N ，则2014122013a a a a ．答案：20152013．解：由题设 122(1)22(1)1n n n n n n a a a n n n112(1)2232(1)12n n n a n n n ．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则21223242(1)n n S n −=+×+×+++ ，所以 2322223242(1)nn S n =×+×+×+++ ，参考答案及评分标准2014年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）将上面两式相减，得 122(1)(2222)n n n nS n −−=+−++++2(1)22n nn n n =+−=．故2013201420131220132201522013a a a a20152013． 5. 正四棱锥P ABCD 中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是 ．答案解：设底面对角线,AC BD 交于点O ，过点C 作直线MN 的垂线，交MN 于点H ．由于PO 是底面的垂线，故PO CH ，又AC CH ，所以CH 与平面POC 垂直，故CH PC ．因此CH 是直线MN 与PC的公垂线段，又CH MN 与PC6. 设椭圆Г的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Г交于点,P Q ．若212PF F F ，且1134PF QF ，则椭圆Г的短轴与长轴的比值为 ．答案． 解：不妨设114,3PF QF ．记椭圆Г的长轴，短轴的长度分别为2a ，2b ，焦距为2c ，则2122PF F F c ，且由椭圆的定义知，1212224a QF QF PF PF c ．于是 212121QF PF PF QF c ．设H 为线段1PF 的中点，则12,5F H QH ，且有21F H PF ．由勾股定理知，2222222121QF QH F H F F F H ，即2222(21)5(2)2c c ，解得5c ，进而7a，b =，因此椭圆Г的短轴与长轴的比值为b a ．7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI ，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为 ．答案． 解：由1PI 知点P 在以I 为圆心的单位圆K 上．设BAP ．在圆K 上取一点0P ，使得 取到最大值0 ，此时0P 应落在IAC 内，且是0AP 与圆K 的切点．由于003，故 001sin sin sin sin 621sin sin sin sin 23336APB APCAP AB S S AP AC， ①其中，006IAP． 由02AP I知，011sin 24IP AI r，于是cot ，所以sin 6sin 6．②根据①、②可知，当0P P 时，APB APC S S． 8. 设A ，B ，C ，D 是空间四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则A ，B 可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为 ．答案：34．解：每对点之间是否连边有2种可能，共有6264 种情况．考虑其中A ，B 可用折线连接的情况数．(1) 有AB 边：共5232 种情况．(2) 无AB 边，但有CD 边：此时A ，B 可用折线连接当且仅当A 与C ，D 中至少一点相连，且B 与C ，D 中至少一点相连，这样的情况数为22(21)(21)9 ．(3) 无AB 边，也无CD 边：此时AC ，CB 相连有22种情况，AD ，DB 相连也有22种情况，但其中AC ，CB ，AD ，DB 均相连的情况被重复计了一次，故A ，B 可用折线连接的情况数为222217 ．以上三类情况数的总和为329748 ，故A ，B 可用折线连接的概率为483644．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x 的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为Q ，R ．(1) 证明R 是一个定点； (2) 求PQ QR的最小值．解： (1)设P 点的坐标为(,)(0)a b b ，易知0a ≠．记两切点A ，B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则PA ，PB 的方程分别为112()yy x x ， ① 222()yy x x ，② 而点P 的坐标(,)a b 同时满足①，②，故A ，B 的坐标11(,)x y ，22(,)x y 均满足方程2()by x a ． ③故③就是直线AB 的方程．直线PO 与AB 的斜率分别为b a 与2b，由PO AB 知，21b a b ，故2a ．………………4分从而③即为2(2)y x b，故AB 与x 轴的交点R 是定点(2,0)． ……………8分(2) 因为2a =− ，故直线PO 的斜率12bk ，直线PR 的斜率24b k ．设OPR ，则 为锐角，且21212111824tan 224b b PQ k k b b b QR k k b ．当b 时，PQ QR的最小值为 …………………16分10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a，*1arctan (sec )()N n n a a n ．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a． 解：由已知条件可知，对任意正整数n ，1,22n a，且 1tan sec n n a a ．①由于sec 0n a ，故10,2n a．由①得，2221tan sec 1tan n n n a a a ，故 221132tan 1tan 133n n a n a n，即tan n a …………………10分 因此121212tan tan tan sin sin sin sec sec sec m m ma a a a a a a a a12231tan tan tan tan tan tan m m a a a a a a（利用①）11tan tan m a a1100，得m =3333． …………………20分11. （本题满分20分）确定所有的复数 ，使得对任意复数12121,(,1,z z z z z ≠2)z ，均有211()z z ≠222()z z ．解：记2()()f z z z ．则22121122()()()()f z f z z z z z121212(2)()z z z z z z ．①假如存在复数12121,(,1,z z z z z ≠2)z ，使得12()()f z f z ，则由①知，121212(2)()z z z z z z ，利用121212z z z z z z ≠0知，12122222z z z z ，即2 ． …………………10分另一方面，对任意满足2 的复数 ，令12i,i 22z z，其中012，则1z ≠2z ，而i 122，故12,1z z ．此时将 12z z ，122i z z ，122i 2i z z代入①可得，12()()2i (2i)0f z f z ，即12()()f z f z ．综上所述，符合要求的 的值为 ,2C ． …………………20分. 证明1 若，则命题已成立.若，不妨设，则由知. 我们有， ① …………………10分以及， ② 其中①式等号在时成立，②式等号在时成立，因此①，②中等号不能同时成立. …………………30分由于，将①，②式相乘得 ， 即 ，14ab bc ca ++<+4ab bcca ++≤4ab bc ca ++>max{,,}a a b c =1a b c ++=3a ≥21()11412434a b c aab bc ca ++−=≤++−≤11()44ab bc ca a b c bc ++−=+−+111(1)444a a bc bc bc −−+≤−+3a =2a =104ab bc ca ++−>2144abc ab bc ca++−<14ab bc ca ++−<一、（本题满分40分）设实数a ,b ,c 满足a +b +c =1，abc >0.求证：参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次，不要增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可2.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.1.说明：参考答案及评分标准2014年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）从而 . …………………40分 证明2 由于，故中或者一个正数，两个负数；或者三个都是正数. 对于前一种情形，不妨设，，则，结论显然成立. …………………10分下面假设，不妨设，则，. 我们有.，， 因此. …………30分于是只需证明，即 . ①由于，故 . ② 由平均不等式. ③将②，③两式相加即得①式成立，因此原不等式成立. ………………40分14ab bc ca++<+0abc >,,a b c 0a >,0b c <()()(1)0ab bc ca b ac ca b a c b b++=++<+=−<,,0a b c >a b c ≥≥13a ≥103c <≤()ab bc ca c a b ++−+)(1c c =−+≥≥>122a b c+−≤=11(1)(1)22c c c c c c −−−+≤−+ 213442c c =−+−23042c c −+>310c −+>103c <≤103c −≥1311113333333++≥⋅=>二、（本题满分40分）如图，在锐角三角形中，，过点分别作三角形的外接圆的切线，且满足．直线与的延长线分别交于点．设与交于点，与交于点. 证明：．证明1 如图，设两条切线交于点，则．结合可知．作的平分线交于点，连接．由知，，，故与相似． ………………10分由此并结合，及内角平分线定理可得， 因此． ………………20分同理，．由此推出． ………………30分再结合以及内角平分线定理得到， ABC 60BAC ∠≠°,B CABC ,BD CE BDCE BC ==DE ,AB AC ,F G CF BD M CE BG N AM AN =,BD CE K BK CK =BD CE =DE BC BAC ∠AL BC L ,LM LN DE BC ABC DFB ∠=∠FDB DBC BAC ∠=∠=∠ABC ∆DFB ∆DE BC BD BC =MC BC BD AC LC MF FD FD AB LB====LM BF LN CG 180ALM ALB BLM ALB ABL BAL ∠=∠+∠=∠+∠=−∠ 180CAL ALC ACL ALC CLN =−∠=∠+∠=∠+∠ ALN =∠BC FG 1LM LM BF CG CL AB BC CL ABLN BF CG LN BC AC BL BL AC=⋅⋅=⋅⋅=⋅=GFNMED CB AF即．故由，，得到与全等，因而，证毕． ………………40分证明2由于和都是的切线，故. 再由，可得四边形是等腰梯形，从而DE BC .由于，，故∽. ………………10分设三角形的三内角分别为，三条边长分别为，，. 由∽有，可得.由，可得，故由可得 . ① 在三角形中，，由余弦定理得. ② ………………30分 用同样方法计算和时，只需在上述与的表达式①，②中将交换. 而由②可见的表达式关于对称，因此，即，结论获证. ………………40分LM LN =AL AL =ALM ALN ∠=∠LM LN =ALM ∆ALN ∆AM AN =BD EC ωDBC BAC ECB ∠=∠=∠BD CE =BCED BFD ABC B ∠=∠=FDB DBC BAC A ∠=∠=∠=DFB ∆ABC ∆ABC ,,A B C BC a =CA b =AB c =DFB ∆ABC ∆FD BD a c b b ==ac FD b=BC FD ‖BM BC bMD FD c==BD a =abBM b c=+ABM ABM B A ∠=+222222cos()()a b abcAM c A B b c b c=+−+++22222222()2a b abc a b c c b c b c ab+−=++⋅++()222222221()()()()c b c a b c a b c b c b c ++++−++()22342222232234212()b c bc c a b a bc a c b c b c bc c b c +++++++−−+()223322222212()b c bc b c a b a c a bc b c ++++++CN 2AN BM 2AM ,b c 2AM ,b c 22AN AM =AM AN =三、（本题满分50分）设. 求最大的整数，使得有个互不相同的非空子集，具有性质：对这个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.解 对有限非空实数集，用与分别表示的最小元素与最大元 素.考虑的所有包含1且至少有两个元素的子集， 一共个， 它们显然满足要求， 因为. 故. …………………10分 下面证明时不存在满足要求的个子集. 我们用数学归纳法证明：对整数， 在集合的任意个不同非空子集中， 存在两个子集，，满足， 且. ① 显然只需对的情形证明上述结论.当时， 将 的全部7个非空子集分成3组， 第一组：， ， ；第二组：， ；第三组：， . 由抽屉原理， 任意4个非空子集必有两个在同一组中， 取同组中的两个子集分别记为，排在前面的记为，则满足①. …………………20分假设结论在时成立， 考虑的情形. 若中至少有个子集不含， 对其中的 个子集用归纳假设，可知存在两个子集满足①.…………………30分 若至多有个子集不含， 则至少有个子集含， 将其中子集都去掉， 得到的个子集.由于的全体子集可分成组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，在上述个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集. 因此，相应地有两个子集， 满足， 这两个集合显然满足①. 故时结论成立.综上所述， 所求. …………………50分 {1,2,3,,100}S = k S k k A min A max A A S 9921−min()1max i j i A A A ∩=<99max 21k ≥−992k ≥k 3n ≥{1,2,,}n 1()2n m −≥12,,,m A A A ,i j A A i j ≠i j A A ∩≠∅min()max i j i A A A ∩=12n m −=3n ={}1,2,3{3}{1,3}{2,3}{2}{1,2}{1}{1,2,3},i j A A i A (3)n ≥1n +122,,,n A A A 12n −1n +12n −121n −−1n +121n −+1n +121n −+1n +{1,2,,}n 121n −+{1,2,,}n 12n −121n −+,i j A A {1}i j A A n ∩=+1n +99max21k =−四、（本题满分50分）设整数模2014互不同余， 整数模2014也互不同余. 证明：可将重新排列为， 使得模4028互不同余.证明 记. 不妨设， . 对每个整数，， 若，则令，; 否则， 令，. …………………20分如果是前一种情形，则. 如果是后一种情形， 则也有.若不然， 我们有，，两式相加可得，于是， 但模互不同余，特别地，，矛盾. …………30分由上述构造方法知是的排列. 记， . 下面验证模互不同余. 这只需证明，对任意整数， ，模两两不同余. （*）注意，前面的构造方式已保证.（**） 情形一：， 且. 则由前面的构造方式可知，.由于，故易知与及模不同余，与及模不同余，从而模更不同余，再结合（**）可见（*）得证.情形二：， 且. 则由前面的构造方式可知122014,,,x x x 122014,,,y y y 122014,,,y y y 122014,,,z z z 112220142014,,,x z x z x z +++ 1007k =()mod 2i i x y ik ≡≡12i k ≤≤i 1i k ≤≤()mod 4i i i k i kx y x y k +++≡+/i i z y =i k i k z y ++=i i k z y +=i k i z y +=()mod 4i i i i i k i k i k i kx z x y x y x z k +++++=+≡+=+/()mod 4i i i i k i k i i k i kx z x y x y x z k +++++=+≡+=+/()mod 4i i i k i k x y x y k +++≡+()mod 4i i k i k ix y x y k +++≡+()22mod 4i i kx x k +≡()mod 2i i k x x k +≡122014,,,x x x 2014(2)k =()mod 2i i k x x k +≡/122,,,k z z z 122,,,k y y y ii i w x z =+1,2,,2i k = 122,,,k w w w 4k ,i j 1i j k ≤<≤,,,i j i k j k w w w w ++4k ()()mod 4,mod 4i i k j j k w w k w w k ++≡≡//i i z y =j j z y =()2mod 2i i k w w ik +≡≡()2mod 2j j k w w jk +≡≡()22mod 2i j k ≡/i w j w j k w +2k i k w +j w j k w +2k 4k i i k z y +=j j k z y +=， .同样有与及模不同余，与及模不同余.与情形一相同地可知（*）得证. …………………40分情形三：， 且（，且的情形与此相同）. 则由前面的构造方式可知，.由于 是奇数， 故，更有， 因此仍然有与及模不同余，与及模不同余. 从而（*）得证.因此本题得证. …………………50分()2mod 2i i k w w i kk +≡≡+()2mod 2j j k w w j k k +≡≡+i w j w j k w +2k i k w +j w j k w +2k i i z y =j j k z y +=i i k z y +=j j z y =()2mod 2i i k w w ik +≡≡()2mod 2j j k w w j kk +≡≡+k ()22mod 2i j k ≡+/()22mod 2i j kk ≡+/i w j w j k w +2k i k w +j w j k w +2k。
湖南省高中数学竞赛试题
2010年湖南省高中数学竞赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()18f =，则()()20102009f f -=（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．对于非零向量,a b 有两个命题有两个命题. . 命题甲：a b ⊥；命题乙：函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数为一次函数. . 则甲是乙的（）条件）条件. .A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．如图，若Ω是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台4．如图，在半径为1r =的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和个圆的面积之和. . . 取正数取正数9933π4ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭. . 若若4πn S ξ-<，则n 的取值为（）.A ．大于100的所有自然数的所有自然数B ．大于100的有限个自然数的有限个自然数C ．不大于100的所有自然数的所有自然数D ．不大于100的有限个自然数的有限个自然数 5．设直线2x =与双曲线22:14xy Γ-=的渐近线交于点1E 、2E ，记11OE e =，22OE e =，任取双曲线Γ上的点P . . 若若()12OP ae be a b =+∈R 、，则（，则（ ））. A ．2201a b <+< B ．22102a b <+< C ．221a b +≥ D ．2212a b +≥6．一厂家有一批长40cm 40cm、宽、宽30cm 的矩形红布的矩形红布. . . 现该厂家要将每块矩形红布剪一次后现该厂家要将每块矩形红布剪一次后拼成一面三角形旗子拼成一面三角形旗子. . . 则红布可以拼成三角形旗子的种数是（则红布可以拼成三角形旗子的种数是（则红布可以拼成三角形旗子的种数是（ ））. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题7．设定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12PP 的长为________.8．在等比数列{}n a 中，11a =，20104a =，函数()()()()122010f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-.则函数()y f x =在点()0,0处的切线方程为______.9．如果执行图所示的程序，输入正整数n 、()m n m ≥，那么，输出的p 等于______.10．已知y =f f((x x))为区间[0,10,1]]上的连续函数，且恒有0≤f f((x x))≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分∫f (x )10d x . . 先产生两组（每组先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数x 1,x 2,⋅⋅⋅,x N 和y 1,y 2,⋅⋅⋅,y N ，由此得到N 个点(x i ,y i )(i =1,2,⋅⋅⋅,N )；再数出其中满足y i ≤f f((x i )()(i i =1,2,⋅⋅⋅,N N))的点数N 1. . 那么，由随机模拟方法可得积分那么，由随机模拟方法可得积分∫f f((x x))d x 10的近似值为______.11．设n a 是()()32,3,nxn -=⋅⋅⋅的二项展开式中x 的系数的系数.. . 则则1823nn n a ==∑______. 12．若三个非零的实数()()()x y z y z x z y x ---，，成等比数列，则其公比是______.13．设函数()2π4sin sin cos 242x f x x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭．若()2f x m -<成立的充分条件是π2π63x ≤≤，则实数m 的取值范围是______．14．空间有五个点，任意四点不共面．空间有五个点，任意四点不共面. . . 若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中三角形个数的最大值为______.三、解答题15．已知当[]1,e x ∈时，不等式()21ln 12a x x a x ≤-++恒成立恒成立. . . 试求实数试求实数a 的取值范围范围. .16．如图，1O 、2O 在O 内滚动且始终保持与O 内切，切点分别为P 、Q ，MN是1O 和2O 的外公切线的外公切线. . . 已知已知1O 、2O 、O 的半径分别为1r 、2r 、R . . 求证：求证：22MNPQ为定值为定值. .17．设椭圆22122:1x y C a b +=，22222:1x yC m n +=，过原点O 引射线分别与椭圆1C 、2C 交于点A 、B ，P 为线段AB 上一点上一点. .（1）求证：OA 、OP 、OB 成等比数列的充要条件点P 的轨迹方程为222232222:1xy x y C a b m n ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线得出相应的正确结论（不要求证明）. 18．设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是整数1，2，…，n 的一个排列，且满足的一个排列，且满足 （1）11a =；（2）()121,2,,1i i a a i n +-≤=⋅⋅⋅-.记上述排列的个数为()f n . . 试求试求()2010f 被3除的余数除的余数. .参考答案1．C 【解析】 【详解】由()f x 是R 上周期为5的奇函数，则()()()()()()2010200901018f f f f f f -=--=+=. 故答案为:C 2．B 【解析】【解析】 【详解】注意到222()()f x a bx b a x a b =⋅+--⋅，a b ⊥⇔0a b ⋅=. 而0a b ⋅=时，()f x 可能是常数函数，不一定为一次函数可能是常数函数，不一定为一次函数. .而f(x)f(x)是一次函数，必有是一次函数，必有0a b ⋅=. 所以甲是乙的必要不充分条件所以甲是乙的必要不充分条件. . 故答案为B 3．D 【解析】若FG 不平行于EH ，则FG 与EH 相交，交点必然在B 1C 1上，与EH ∥B 1C 1矛盾，所以FG ∥EH ；由EH ⊥平面A 1ABB 1，得到EH ⊥EF ，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台的定义与题中的图形．没能正确理解棱台的定义与题中的图形． 4．A 【解析】 【详解】记第n 个圆的半径为n r . 易知，132n n r r -=，圆面积134n n a a -=，211ππa r ==.则213134π4π13414nn n S r ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=⋅=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 由99334π4π3π44nn S ⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1003310044nn ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:A 5．D 【解析】【解析】 【详解】【详解】易求得()12,1E ，()22,1E -.则()1222,OP ae be a b a b =+=+-.由点P 在双曲线上得()()222214a b a b +--=，化简得41ab =.故22122a b ab +≥=.故答案为D 6．D 【解析】 【详解】【详解】如图所示，共有四种不同的拼法如图所示，共有四种不同的拼法. .故答案为：D 7．23. 【分析】【分析】画出函数6cos y x =，5tan y x =，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象，如图所示上的图象，如图所示. .观察图象可知，线段12PP 的长即为满足6cos 5tan x x =时对应的sin x 的值，再求出sin x 的值即得解值即得解. . 【详解】画出函数6cos y x =，5tan y x =，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象，如图所示上的图象，如图所示. .观察图象可知，线段12PP 的长即为满足6cos 5tan x x =时对应的sin x 的值，的值，所以sin 6cos 5tan =5cos xx x x=⋅，所以26cos 5sin x x = 因为22sin cos 1x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x ∴<<，则26sin 5sin 60x x +-=，所以2sin 3x =，故线段12PP的长为23. 故答案为：23.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．20102y x =【解析】 【详解】【详解】令()()()()122010g x x a x a x a =--⋅⋅⋅-.则()()f x xg x =.因为()()()f x g x xg x ='+'， 所以，()()()20102010212201012010002f g a a a a a ==⋅⋅⋅=='.故在点()0,0处的切线方程为20102y x =.故答案为：20102y x =9．m nA 【解析】 【详解】 由图可知由图可知()()12mn P n m n m n A =-+-+⋅⋅⋅=.故答案为：mn A10．N 1N【解析】因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：∫f(x)10dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f(x)与x 轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f(x i )的有N 1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x ＝0到x ＝1上与x轴围成的面积为N 1N ×1＝N 1N ，即∫f(x)10dx ＝N 1N .考点：定积分的定义、几何概型. 11．17 【解析】 【详解】因为223Cn nn a -=，所以，()()23218311nn a n n n n =⨯=--. 从而，()1818223118171nn n n a n ====-∑∑.故答案为：1712．152±【解析】【解析】 【详解】注意到()()()x y z y z x z y x -+-=-,所以，所以，()()()()()()()()1y z x z y x y z x z y x xy z x y z x y z y z x ----+==⋅---- 即21q q += (q 为公比）为公比）. .解得152q ±=. 13．()1,4【解析】 【详解】【详解】()()2π1cos 24sin cos22sin 1sin 12sin 12sin 2x f x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⋅+=++-=+． 当π2π63x ≤≤时，()2f x m -<恒成立，即()()22f x m f x -<<+恒成立．恒成立．故有()()()()maxmin22f x m f x -<<+．易知()max 3f x=，()min 2f x =．故14m <<．14．4 【解析】【解析】【详解】首先构造下左图首先构造下左图..已知其符合条件且恰有四个三角形已知其符合条件且恰有四个三角形. . 下面假设存在某种情况使三角形的个数不少于五个下面假设存在某种情况使三角形的个数不少于五个. .若仅有两条线段未连，则这两条线段必无公共端点（如下左图），否则存在四面体，否则存在四面体. . . 但仅有但仅有四个三角形，矛盾四个三角形，矛盾. .若至少有三条线段未连，当有某条线段作为三个三角形的边时，如上右图，仅有三个三角形；当每条线段至多作为两个三角形的边时，则至多有()25C 3243⎡⎤-⨯⎢⎥=⎢⎥⎣⎦个三角形个三角形.. 故答案为：故答案为：4 4 15．(())()2e 2ee 2e 1a g -≥=-【解析】【解析】 【详解】不等式可化为()2ln 2xa x x x -≥-.因为[]1,e x ∈，所以，ln 0x x ->.于是，不等式化为22ln xx a x x-≥-.设()[]()221,eln x x g x x x x -=∈-. . 注意到注意到()()()211ln 20ln xx x g x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=>-'， 其中，()1,e x ∈，且()g x 在1x =和e x =处连续，所以，()g x 在[]1,e x ∈上为增函数上为增函数. .故()()2e 2e e 2e 1a g -≥=-.16．见解析．见解析 【解析】【解析】【详解】设12O OO θ∠=，易知，1O 、2O 分别在线段OP 、OQ 上，且1O M MN ⊥，2O N MN ⊥. 则()2221212MN O O r r =--. ① 在12O OO 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 ()()()()2221212122cos O O R r R r R r R r θ=-+----()()()()2121221cos r r R r R r θ=-+---. 将上式代入式①得将上式代入式①得()()()21221cos MN R r R r θ=---.又()2221cos PQ R θ=-， 故()()21222R r R r MN PQ R--=为定值为定值. . 17．（1）见解析；（2）见解析）见解析【解析】【详解】【详解】（1）设射线OA 的参数方程为()02π,0x tcos t y tsin θθθ=⎧≤≤>⎨=⎩. 设()11cos ,sin A t t θθ，()22cos ,sin B t t θθ，()33cos ,sin P t t θθ. 将点A 的坐标代入1C 的方程，整理得2222211cos sin t a b θθ=+. 再将3sin y t θ=，3cos x t θ=，代入上式化简得2222221311x y t t a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 同理，2222222311x y t t m n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故OA 、OP 、OB 成等比数列成等比数列2123224123111t t t t t t ⇔=⇔⋅= 222222221x y x y a b m n⎛⎫⎛⎫⇔++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设双曲线1C 、2C 的方程分别为()222210,0x y a b a b -=>>和()222210,0x ym n m n -=>>. 过原点O 引射线分别与曲线1C 、2C 交于点A 、B ，P 为线段AB 上一点，则OA 、OP 、OB 成等比数列的充要条件是点P 的轨迹方程为222232222:1x y x y C a b m n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18．见解析．见解析【解析】【解析】【详解】可验证()11f =，()21f =，()32f =. 设4n ≥. . 则则22a =或3.对于22a =，排列数是()1f n -. . 这是因为通过删除第一项，这是因为通过删除第一项，这是因为通过删除第一项，且以后所有项都减且以后所有项都减1，可以建立一一对应的数列立一一对应的数列. .对于23a =，若有32a =，则44a =，这样排列数为()3f n -；若32a ≠，则2一定排在4的后面，由此得出所有奇数顺序排列的后面是所有偶数的倒序排列的后面，由此得出所有奇数顺序排列的后面是所有偶数的倒序排列. . 因此，()()()131f n f n f n =-+-+. 设()r n 是()f n 除以3的余数的余数. . 则(())(())121r r ==，(())32r =. 当4n ≥时，()()()()131mod3r n r n r n ⎡⎤≡-+-+⎣⎦. 由此得(){}r n 构成周期为8的数列：的数列：11，1，2，1，0，0，2，0，….，…. 因(())20102mod8≡，所以，(())20101r =，即(())2010f 被3除的余数为1.。
2004年全国高中数学联赛试题及答案
2004年全国高中数学联合竞赛试题第 一 试 时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ）A.6πB.51212orππ C.5612orππ D.12π 2、已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。
若对所有,m R M N ∈≠∅均有，则b 的取值范围是（ ）A. ⎡⎢⎣⎦B. ⎛ ⎝⎭C. (]33-D. ⎡⎢⎣⎦3、3121log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3)B. (2,3]C. [2,4)D. (2,4]4、设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（ ）A. 2B.32C. 3D.535、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ）A. 45个B. 81个C. 165个D. 216个6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ）A.3B.3C.3D.3二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。
8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。
湖南省炎德英才杯2024_2025学年高二数学下学期基础学科知识竞赛试题
湖南省炎德英才杯2024-2025学年高二数学下学期基础学科学问竞赛试题时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知命题p ：∀x>0，ln(x ＋1)>0，则命题p 的否定是 A.∀x>0，ln(x ＋1)≤0 B.∀x ≤0，ln(x ＋1)>>0 C.∃x 0>0，ln(x 0＋1)>0 D.∃x 0>0，ln(x 0＋1)≤02.已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{t ∈Z|t ＝2x ＋1，x ∈A}，则A ∩B ＝ A.{－1，0，1} B{－1，0} C{0，1} D.{0}3.已知正项等比数列{a n }的公比为q ，若a 2a 6＝4a 52，则公比q ＝ A.12B.22C.2D.24.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，c ＝λa ＋µb ，若a ⊥c ，则下列结论正确的是Aλ－μ＝0 B.λ＋μ＝0 C.2λ－μ＝0 D.2＋μ＝0 5.(2x 2＋1x)5的绽开式中，x 4的系数是 A160 B.80 C.50 D.10 6.已知cos(α－4π)sin(34π－α)＝33，α∈(3,24ππ)，则sin2α＝A.2313- B.2313- C.313- D.313+ 7.唐朝闻名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为A.(0，＋∞) 8.巳知实数a ，b 满意ab>0，则2a aa b a b-++的最大值为A.2B.2C.3－D.3＋二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
湖南省高中数学竞赛试卷
注意事项： 1．首先填写所在县（市）学校、年级和姓名．2．用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写． 3．本试卷共19题，满分150分．一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1． 已知集合M ＝{(x ,y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ,y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N 为（ ）A ．31x y =⎧⎨=-⎩B ．(3,－1)C ．{3,－1}D ．{(3,－1)}2． 已知1(0),()π(0),0(0).x x f x x x +>⎧⎪==⎨⎪<⎩则f {f [f (－1)]}＝ （ ） A ．π- B ．π C ．π1-- D ．π1+3． 周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S 3、S 4、S 6，则（ ）A ．S 3＞S 4＞S 6B ．S 6＞S 4＞S 3C ．S 6＞S 3＞S 4D ．S 3＞S 6＞S 44． 若n 是自然数，则1(1)22(1)nk n n --=+-的值 （ ） A ．一定是偶数 B ．一定是奇数C．是偶数但不是2D ．可以是偶数也可以是奇数5． 设全集U＝{x |1≤x ≤6，x ∈N }，A ＝{2,3,4}，若(){1,2,3,5,6}UA B =，则集合B 可以为 （ ） A ．{2,3,4}B ．{3,4,5}C ．{4,5,6}D ．{2,6,7}6． 函数y ＝f (x ＋4)的图象过点（－2,3），则函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称的图形一定过点 （ ） A ．(2,－3)B ．(－2,3)C ．(－3,－3) D ．(－3,3)7． 方程x 2－3|x |－2＝0的最小根的负倒数是 （ ）A ．－1B ．1(32C ．1(32-D ．13)48． 已知2{1,},{1,}M y y x x N y y x x ==+∈==+∈R R ，则MN 等于（ ）A ．{(0,1),(1,2)}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．[)1,+∞9． 设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ) f (x －2)＝－2012，且f (1)＝503，则f (2013)的值等于 （ ） A ．503B ．－503C ．4D ．－410．函数f (x )是(0,＋∞)上的单调递增函数，当n ∈N *时，f (n )∈N *，且f (f (n ))＝3n ，则f (1)的值等于 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分，请将正确的答案填在 横线上．）11的整数部分是a ，小数部分是b，则2(1a ab ++的值为 ．12．在正实数集上定义一个运算*，其规则为：当a ＞b 时，a *b ＝b a；当a ≤b 时，a *b ＝b 2．根据这个规则，方程4*x ＝16的解是 ．13．设x 为正实数，则函数212y x x x=-++的最小值是 ． 14．如图所示，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构 成，如：1→2→3→5→7就是一条移动路线．则从1到7共有移动路 线 条．三、解答题（本大题共5个小题，共66分，请将正确的答案填在横线上．） 15．（本小题满分12分） 已知函数22(1),()(12),2(2).x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥且f (a )＝3，求a ．13 5 72 4 616．（本小题满分12分）在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，求证：AD＜12(AB＋AC)．AD CB某项工程，，由甲、乙两队共同承建需要2811天，需支付18000元；若由乙、丙两队共同承建需要3313天，支付费用16800元；由甲、丙两队共同承建则需要21112天，支付费用16100元．在保证一周内完成工程任务的前提下，选择哪个队单独承建所需费用最少？=++====．f x x px q A x x f x B x f f x x(),{()},{[()]}（1）求证：A B⊆；（2）如果{1,3}A=-，求B．19．（本小题满分14分）已知a，b是实数，关于x，y的方程组32y x ax bxy ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(x,y)，求a，b满足的关系式．。
2022年湖南省高中数学竞赛试卷(含详解)
2022年湖南省高中数学竞赛试题说明:1、评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题严格按标准给分,不设中间档次分.2、如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准适当档次给分.一、填空题(本大题共10小题, 每小题7分,满分70分).1.已知函数32()1()f x x ax x a R =+++∈在区间21(,)33--内为减函数,在区间1(,)3-+∞内为增函数,则a = 2 .【解析】因由题可知,2()321f x x ax '=++,且13x =-是函数()f x 的极值点,即1()03f '-=得2a =.2.设A B 、是两个集合,称(,)A B 为一个“对子”.当A B ≠时,将(,)A B 与(,)B A 视为不同的“对子”.满足条件{1,2,3,4}A B =的不同的对子(,)A B 的个数为 81 .【解析】分类讨论:①当A =Φ时,则{1,2,3,4}B =只有一种情形;②当A 为单元集时(有14C 种),如取{1}A =时,则{2,3,4},B =或{1,2,3,4}B =两种,其个数相当于是{1}的子集个数2,故由分步办事乘法原理知,此时有1428N C =⨯=种;③当A 为双元集时(有24C 种),如取{1,2}A =时,则B 除含有元素3,4外,可含或不含{1,2}A =中元素.其情况相当于是{1,2}的子集个数224=,故由分步办事乘法原理知,此时有24424N C =⨯=种;④同理,当A 为三元集时有334232C ⨯=种),当{1,2,3,4}A =时有444216N C =⨯=种;综上可知,由分类办事加法原理得共有,1824321681N =++++=种. 如图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( B )3.设函数2()()f x x x m m R +=++∈,若()0f t <,则你对函数()y f x =在区间(,1)t t +中零点存在情况的判断是 1 . 【解析】由于()0f t <,且抛物线开口向上,可知其与x 轴有两个交点12,x x ,且12x t x <<,而又由于211x x -=,可知21t x t <<+,显然(1)0f t +>,且图象在(,1)t t +上单调递增,故只有一个零点.4.已知椭圆22:12x C y +=的两个焦点分别为12,,F F 点00(,)P x y 满足2200012x y <+≤,则12||||PF PF +的取值范围是.【解析】由题知点00(,)P x y 在椭圆内部(含边界),故有122||||2c PF PF a ≤+≤,即求.5.已知复数1z 满足1(2)(1)1(z i i i -+=-为虚数单位),复数2z 的虚部为2,则12z z ⋅为实数的条件是2z =42i + .【解析】 由1(2)(1)1z i i -+=-得12z i =-,又设22()z a i a R =+∈,所以12(22)(4),z z a a i =++-又12z z ⋅为实数,所以得4a =,即242z i =+.6.已知数列{}n a 满足递推关系式1221(),n n n a a n N ++=+-∈且{}2n na +λ为等差数列,则λ的取值是1λ=-.【解析】由已知得,112(1)2n n n a a +-=-+,两边同除以12n +得,11111222n n n n a a ++--=+,显然数列1{}2n n a -是公差为12的等差数列.或者由1111221212222n n n n n n n n n n n a a a a +++++λ+λ+-+λ+λ--λ-=-=为常数,所以1λ=-,即求. 7. 过函数()cos f x x x x =+的图象上一点的切线的斜率为k ,则k 的取值范围是 [-1,3]【解析】由()1sin 12sin()[1,3]3f x x x x π'=-=-+∈-8.已知平面内三点A B C 、、满足||3,||4,||5AB BC CA ===,则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值为-25 .【解析】由条件知AB BC ⊥,所以2()25AB BC BC CA CA AB CA AB BCCA ⋅+⋅+⋅=⋅+=-=-. 9.边长为4的正方形ABCD 沿BD 折成060的二面角,则BC 中点与A的距离为【解析】取BD 中点O ,容易证明ACO ∆是边长为,所以AC =.设BC 中点为M ,在ACB ∆中AM ==10.规定一又筷子由同色的2支组成.现有黑、白、黄筷子各8只,不用眼睛看,任意地取出筷子来,使得至少有两双筷子不同色,则至少要取出 11 只筷子才能做得到. 【解析】因为11只筷子中必有2支筷子同色,不妨设它是黄色的一双筷子,则黑色或白色的筷子至少有3只,其中必有一双同色,即同为黑色或白色,故11只筷子足以保证成功.但少于11只不行,如只取10只筷子,就可能出现8只黄色，黑色和白色各1只的情形,不合要求.二、解答题(大本题共4个小题,满分80分) 11. (本小题满分20分)如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部,试问:在允许将抛物线平移或旋转的条件下,平面内2022条抛物线的内部能否盖住整个平面?请作判断,并证明你的结论. 【解析】不能.证明如下:因为每条抛物线有一条对称轴,所以2022条抛物线至多有2022条对称轴.……8分.在平面上任作一条不平行于每一条对称轴的直线,l 则直线l 和至多2022条对称轴相交至多得2022个交点.……12分这至多2022个交点将直线l 截割若干段,其中2条为射线,其它的为线段,位于抛线线内部的至多只有2022条线段.……16分所以,抛物线不能盖住平面上的直线l ,当然不能盖住整个平面.……20分. 12. (本小题满分20分)设22221111,12(1)1k a k k k k =+++++++-求证:20102011222011(,)a a ∈.【证明】:易知k a 的表达式共有21k +项,分别考察其前k 项的和与后1k +项的和.……4分因为2222211111,1211k k k k k k k k k ++++>=+++-++ 又当2k ≥时,2222211111,121k k k k k k k k ++++<=+++-所以, 22221111111121k k k k k k k<++++<++++- ①……8分同理可证2222111111112(1)1k k k k k k k k<++++<++++++- ②……12分 由①+②,可得221k a k k<<+由此得11112k k k a a ++<<……16分 取2010k =,得201020111201112a a <<,即20102011222011a a <<所以,20102011222011(,)a a ∈……20分.13.(本小题满分20分)(Ⅰ)设实数0t >,求证:2(1)ln(1)2t t++>.(Ⅱ)从编号为1到100的100张卡片中,每次随机地抽取1张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为p ,求证:21p e<.【证明】:(Ⅰ)构造函数2()ln(1),2xf x x x =+-+……2分则22()(1)(2)x f x x x '=++,当0x >时,()0f x '>,所以()f x 在(0,)+∞上为增函数……6分所以()(0)f t f >,即2ln(1)02t t t +->+,变形即得2(1)ln(1)2t t++>……10分 (Ⅱ)由条件知20100999881100p ⨯⨯⨯⨯=……14分又222998190,988290,918990,⨯<⨯<⨯<所以199()10p <.………16分在(1)的结论中令19t =,得19210101912(),99n e >>即19291()10e <.所以,21p e<……20分.14.(本小题满分20分)如图所示,已知由ACB ∆的顶点A 引出的两条射线AX AY 、分别交BC 于点X Y 、.求证:22AB CY CX AC BX BY ⋅⋅=⋅⋅成立的充要条件是BAX CAY ∠=∠. 【证明】:(Ⅰ)先证充分性若BAX CAY ∠=∠,如图所示,,BAX CAY ∠=∠=α又作ABC ∆的高AD ,垂足为D ,则sin sin ABX ACY S AB AX BX ADS AC AY CY AD∆∆⋅⋅α⋅==⋅⋅α⋅……2分 由此得AB AX BXAC AY CY⋅=⋅ ①……6分 同理AB AY BY AC AX CX⋅=⋅ ②……8分 由①×②得22AB BY BXAC CX CY⋅=⋅,变形整理,即得22AB CY CX AC BX BY ⋅⋅=⋅⋅……10分 (Ⅱ)再证必要性作ABC ∆的高AD ,垂足为D ,不妨设,,BAX CAY XAY ∠=α∠=β∠=θ,则 sin sin ABX ACY S AB AX BX AD S AC AY CY AD ∆∆⋅⋅α⋅==⋅⋅β⋅,所以sin sin AB AX BXAC AY CY⋅⋅α=⋅⋅β ③……12分同理,sin()sin()AB AY BYAC AX CX⋅⋅α+=⋅⋅β+θθ ④……14分 由③×④得22sin sin()sin sin()AB BY BX AC CX CY α⋅α+⋅=⋅β⋅β+⋅θθ,由题设得22AB BY BXAC CX CY⋅=⋅ 所以得sin sin()sin sin()α⋅α+=β⋅β+θθ……16分即sin (sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin )α⋅α+α=β⋅β+βθθθθ所以,22(sin sin )cos (sin cos sin cos )sin 0α-β+αα-ββ=θθ1(sin sin )(sin sin )cos (sin 2sin 2)sin 02α+βα-β+α-β=θθ12sin cos 2cos sin cos 2cos()sin()sin 022222α+βα-βα+βα-β⋅⋅⋅⋅+⋅α+β⋅α-β⋅=θθ即sin()sin()cos cos()sin()sin 0α+β⋅α-β⋅+α+β⋅α-β⋅=θθsin()[sin()cos cos()sin ]sin()sin()0α-βα+β+α+β=α-βα+β+=θθθ因为α+β+∠θ=BAX 是ACB ∆的一个内角,所以上式中只能是sin()0α-β= 则,α=β,即BAX CAY ∠=∠……20分.。
湖南省高中数学竞赛试题及答案
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题本大题共6个小题;每小题5分;满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的1.设集合{}0123,,,S A A A A =;在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=;其中k 为i j +被4除的余数;,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B ．提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=;设k x x A ⊕=;所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=;故1x A =或3.x A =答案：A ．2.一个骰子由1-6六个数字组成;根据如图所示的三种状态显示的数字;可推得“ ”的数字是A ．6B ．3C ．1D ．23.设函数()2cos ,f x x x =-{}n a 是公差为8π的等差数列;()()12f a f a +++()n f a 5,π=则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ A ．0B ．116πC ．18πD ．21316π 答案：D ．提示：因为{}n a 是公差为8π的等差数列;且即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π+++-+++=;所以即33102cos 2cos 1cos 5.48a a πππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭记()102cos 2cos 1cos 548g x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭;则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭;即()g x 在R 为增函数;有唯一零点2x π=;所以3.2a π=所以()2223151320.2242416f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数;i 为虚数单位;z C ∈;则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m +--=-在同一复平面内的图形其中12,F F 是焦点是答案：B ．提示：z ni z mi n ++-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由n z ni z mi m n =++-≥+;知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近点2F ．5.给定平面向量()1,1;那么;平面向量⎝⎭是将向量()1,1经过变换得到的;答案是A ．顺时针旋转60所得B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．提示：设两向量所成的角为θ;则()1,11cos ,2θ⋅==又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦;所以60θ=．又110,022-+<>;所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中;原计划每两名选手各比赛一场;但有3名选手各比赛了两场之后就退出了;这样全部比赛只进行了50场;那么上述3名选手之间比赛场数是A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B ．提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ;共n 名选手参赛;依题意有23650n C r -+-=;即()()3444.2n n r --=+因为03r ≤≤;所以分4种情况讨论：①当0r =时;有()()3488n n --=;即27760n n --=;但它没有正整数解;故0r ≠； ②当1r =时;有()()3490n n --=;解得13n =;故1r =符合题意；③当2r =时;有()()3492n n --=;即27800,n n --=但它没有正整数解;故2r ≠； ④当3r =时;有()()3494n n --=;即27820n n --=;但它没有正整数解;故 3.r ≠ 二、填空题本大题共6个小题;每小题8分;满分48分;解题时只需将正确答案直接填在横线上．7.规定：对于x R ∈;当且仅当()*1n n n n N ≤<+∈时;[]x n =．则不等式[][]2436450x x -+≤的解集是．答案：28.x ≤≤提示：所求不等式为关于[]x 的一元二次不等式．由[][]2436450x x -+≤;得[]31522x ≤≤;故[]27x ≤≤;即28.x ≤<8.在三棱锥S -ABC 中;4,7,9,5,6,8,SA SB SC AB BC AC =≥≥=≤≤则三棱锥的体积的最大值为． 答案：提示：设SAB α∠=;根据余弦定理有222cos 2SA AB SB SA AB α+-=≤⋅22245712455+-=-⨯⨯;故1sin sin 2SAB S SA AB αα∆=≤=⋅⋅≤由于棱锥的高不超过它的侧棱;所以13CSAB SAB F S BC ∆≤⋅≤事实上;取7,6SB BC ==;且CB ⊥面SAB 时;可以满足已知条件;此时CSAB V =9．一个均匀小正方体的六个面中;三个面上标以数字0;两个面上标以数字1;一个面上标以数字2..将这个正方体的抛掷两次;则向上的数之积的数学期望是答案；4.9提示：由题意知;抛掷小正方体向上的数为0的概率为12;向上的数为1的概率为13;向上为2的概率为1;如下表所示：于是所得向上的数之积的分布列为： 10．观察下列等式：2235515-=+C C ； 3799591922+=++C C C ； 511131391351311322-=+++C C C C ；............由以上等式推测出一般的结论：对于*,N n ∈=+++++++++1414914514114n n n n n C C C C L答案：()4121212.nn n --+-⋅11．方程xx x x 116cos sin 16+=ππ的解的集合是答案：11,44⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．提示：当0x >时;1168x x +≥;当且仅当14x =时取“=”．而16sin cos 8sin 28x x x πππ=≤;当且仅当1,4x k k Z =+∈时取“=”号．于是;当0x >时;方程只有一个解1.4x =由奇函数的性质可知;14x =-是方程的另一个解．故方程的解集合为11,.44⎧⎫-⎨⎬⎩⎭12．当一个非空数集F 满足条件“如果F b a ∈,;则F b a b a b a ∈⋅-+,,;且当0≠b 时;F ba ∈”时;我们称F 就是一个数域..以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域F 有非零元素;则F ∈2016；③集合{}Z k k x x P ∈==,3|是一个数域；④有理数集是一个数域.. 其中真命题的代号是写出所有真命题的代号 答案：①②④．提示：根据数域的定义判断;①②④均正确．取3,6a b ==;则,a b P ∈;但12aP b=∉;即③错误．三、简答题本大题共4个小题;满分72分13．本小题满分16分已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点()3,0;离心率为21;经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于B A ,两点;点B F A ,,在直线4=x 的射影依次是E K D ,,.. 1求椭圆的C 的方程；2连接BD AE ,;试探求当直线l 的倾斜角变化时;直线AE 与BD 是否相交于定点 若是;请求出定点的坐标并给予证明；否则;说明理由..解：1由经过点(;得b =由离心率为12;得12c e a ===;得 2.a = 故椭圆C 的方程为22: 1.43x y C +=2当直线l 的斜率不存在时;直线l x ⊥轴;则ABED 为矩形;由对称性知;直线AE 与BD相交于FK 的中点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭;由此猜想直线AE 与BD 相交于定点5,0.2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭证明：设()()()()112212,,,,4,,4,A x y B x y D y E y 直线AB 的方程为()1y k x =-;联立椭圆C 的方程消去y 得()22234112x k x +-=;即()22223484120,k x k x k +-+-=221212228412,.3434k k x x x x k k -+==++又因为()2121:44AE y y l y y x x --=--;当52x =时;()()()()211212211528314224k x x k x x kx x k y k x x x -+--=--⨯=-- ()()()()2222183424125802434k k k k k k x k -+--+⋅==-+;即点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭在直线AE l 上． 同理可证;点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BD l 上;所以;当直线l 的倾斜角变化时;直线AE 与BD 相交于定点5,0.2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 14．本小题满分16分已知四边形ABCD 是正方形;P 是边CD 上一点点P 不与顶点重合;延长AP 与BC 的延长线交于点Q ..设ABQ ∆;PAD ∆;PCQ ∆的内切圆半径分别是321,,r r r ..1证明：32214r r r ≥;并指出点P 在什么位置时等号成立； 2若,1=AB 试求证：21223232221<++<-r r r ..证明：1如图所示;因为△ABQ ∽△PDA ∽△PCQ ;所以123::::.r r r AB PD PC = 而AB CD PD PC ==+;故123r r r =+≥即21234.r r r ≥当且仅当23r r =;即P 为CD 的中点时;等号成立． 2由1得123r r r =+;所以有记04DAP πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭;则令cos cos t θθ+=;则1t <<且21sin cos .2t θθ-= 故它是关于t 的单调递增函数;所以()()222221232233113.2111r r r ---=<++<=+即22212313.2r r r -<++<15．已知函数.,21ln )(2R m x mx x x x f ∈--= 1当2-=m 时;求函数)(x f 的所有零点；2若)(x f 有两个极值点21,x x ;且21x x <;求证：221e x x >⋅..解：1当2m =-时;()()2ln ln 1,0.f x x x x x x x x x =+-=+->设()ln 1,p x x x =+-0,x >则()110p x x'=+>;于是()p x 在()0,+∞上为增函数． 又()10p =;所以;当2m =-时;函数()f x 有唯一零点 1.x = 2若()f x 有两个极值点12,x x ;则导函数()f x '有两个零点12,.x x 由()ln f x x mx '=-;可知1122ln 0,ln 0.x mx x mx -=⎧⎨-=⎩要证212x x e >;可转化为证明：12ln ln 2.x x +>由1122ln 0,ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩可得1212ln ln .x x m x x +=+ 由1122ln 0,ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩可得1212ln ln .x x m x x -=- 两式联立;得12121212ln ln ln ln .x x x x x x x x +-=+-进一步;得设120x x <<;则1201x t x <=<;()121ln ln ln .1t t x x t ++=-下面证只须证明： ()1ln 21t t t +>-;即证()21ln 1t t t -<+当01t <<时恒成立． 设函数()()21ln 1t g t t t -=-+;则()()()()2221140,11t g t t t t t -'=-=>++ 故函数()g t 在()0,1上为增函数;()()10.g t g <= 所以;()21ln 1t t t -<+当01t <<时恒成立;即212.x x e >16．已知互异的正实数4321,,,x x x x 满足不等式171111)(43214321<⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++x x x x x x x x .. 求证：从4321,,,x x x x 可任取3个数作为边长;共可构成4个不同的三角形..证明：由于344C =;故从1234,,,x x x x 中任取3个数作为边长;共可构成4个不同的三角形;即是任取3个数作为边长均可构成不同的三角形．下面用反证法给出证明：若存在某三个数为边长的不能构成三角形;由对称性可知不妨设这三个数为123,,x x x ;且满足123.x x x ≥+因为 由()2323114x x x x ⎛⎫++≥⎪⎝⎭;知2323114x x x x +≥+;并设()1231x t t x x =≥+;得由条件;得112417t t++<;即()1401.t t t t+-<≥事实上;当1t ≥时;()()2411145140,t t t t t t t t t---++-==≥ 这与上面所得结论矛盾．所以;原命题成立．。
2004年湖南高考数学真题
2004年高考试题湖南卷数学试题（理工类）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项最符合题目要求的。
（1）复数41(1)t+的值是（A ）4t （B ）4t - （C ）4 （D ）4-（2）如果双曲线2211312x y -=上点PP 到右准线的距离是 （A ）135 （B ）13 （C ）5 （D ）513（3）设1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，若11[1()][1()]8f a f b --++=，则()f a b -的值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2log 3（4）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点且当棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的度数为（A ）90（B ）60（C ）45（D ）30（5）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②。
则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（A ）分层抽样法，系统抽样法 （B ）分层抽样法，简单随机抽样法 （C ）系统抽样法，分层抽样法 （D ）简单随机抽样法，分层抽样法（6） 设函数2,0,()2,0.x bx c x f x x ⎧++=⎨>⎩… 若(4)(0),(2)2f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （7）设0,0a b >>，则以下不等式中不恒成立的是（A ）11()()4a b a b++… （B ）3322a b ab +… （C ）22222a b a b +++… （D（8）数列{}n a 中，*11116,,N 55n n n a a a n ++=+=∈，则120lim()n n a a a →++⋅⋅⋅+=（A ）25 （B ）27 （C ）14 （D ）425（9）设集合{(,)|R,y R}U x y x =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)B x y x y n =+-0}…，那么点(2,3)()U P A C B ∈ 的充要条件是（A ）1,5m n >-< （B ） 1,5m n <-< (C ）1,5m n >-> （D ）1,5m n <->（10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为 （A ）56 （B ）52 （C ）48 （D ）40（11）农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。
2023-2024学年湖南省长沙市高二下学期数学竞赛模拟试题
2023-2024学年湖南省长沙市高二下学期数学竞赛模拟试题一、单选题（每小题5分，共40分）1.设实数0a >，则“22a >”是“1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由22a >，可得1a >，由1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得1a >或102a <<，再利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由22a >，可得所以1a >；由1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得1log log 12a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，∴1112a a >⎧⎪⎨+>⎪⎩或01112a a <<⎧⎪⎨+<⎪⎩，∴1a >或102a <<；因此“22a >”是“1log 02a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭”的充分不必要条件.故选：A.2.若函数()22f x x a x =++，x R ∈在区间[)3+∞，和[]21--，上均为增函数，则实数a 的取值范围是（）A.11,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.[]6,4--C.3,⎡--⎣D.[]4,3--【正确答案】B【分析】易知()f x 为R 上的偶函数，因此只需考虑函数()f x 在()0+∞，上的单调性即可，结合题设条件分析可得函数的对称轴须满足[]232a-∈，，进而求得a 的取值范围.【详解】由题意知函数()f x 为偶函数，对称轴为2ax =-，所以()f x 在[)3+∞，上为增函数，在[]12，上为减函数，故须满足[]232a-∈，，解之得[]6,4a ∈--.故选：B .本题主要考查二次函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和转化思想，属于常考题.3.4sin 40tan 40- （）A.B.C.2+D.1【正确答案】A【分析】先通过切角化弦后再通分，再利用二倍角公式，同角三角函数关系及诱导公式即可求出结果.【详解】方法一：sin 404sin 40cos 40sin 402sin80sin 404sin 40tan 404sin 40=cos 40cos 40cos 40---=-=()sin80sin80sin 40sin802cos60sin 20sin80sin 204sin 40tan 40==cos 40cos 40cos 40+-++∴-=()()sin 5030sin 5030sin80sin 20504sin 40tan 40==cos 40cos 40cos 40++-+∴-==方法二：sin 404sin 40cos 40sin 402sin80sin 404sin 40tan 404sin 40=cos 40cos 40cos 40---=-=()133cos10sin10cos10sin102cos10sin 301022224sin 40tan 40===cos 40cos 40cos 40⎫-⎪--+⎝⎭∴-1sin102404sin 40tan 40==cos 40cos 40⎫-⎪⎝⎭∴-=故选：A4.如果函数f (x )＝(2)1,1,1xa x x a x -+<⎧⎨≥⎩，满足对任意x 1≠x 2，都有1212()()f x f x x x -->0成立，那么实数a 的取值范围是（）A.(0，2)B.(1，2)C.(1，＋∞)D.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】根据函数f (x )是R 上的增函数，由()201211a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-⨯+≤⎩求解.【详解】因为函数满足对任意x 1≠x 2，都有1212()()f x f x x x -->0成立，所以函数f (x )是R 上的增函数，所以()201211a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-⨯+≤⎩，解得322a ≤<，故选：D5.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（）A.()2ln x f x x= B.()2ln x f x x =C.()211f x x =- D.()2||1x f x x =-【正确答案】B【分析】根据函数的定义域和奇偶性进行判断即可.【详解】首先由函数的图象可知：函数是偶函数，定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞-⋃-⋃⋃+∞.A ：因为()()2ln xf x f x x--==--，所以函数不是偶函数，不符合题意；B ：因为01ln 0x x x ≠⎧⇒≠±⎨≠⎩且0x ≠，所以定义域符合图象；因为()()2ln xf x f x x-==-，所以函数是偶函数；C ：2101x x -≠⇒≠±，所以函数的定义域不符合图象；D ：2101x x -≠⇒≠±，所以函数的定义域不符合图象，最后可以确定只有B 符合题意，故选：B6.已知关于x 的方程12a x x =+有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是A.(),0-¥ B.()0,1 C.()1,+¥ D.()0,+¥【正确答案】C【分析】【详解】由题意，问题可转化为12y x =+与||y a x =的图象有3个交点，显然0a >，只需保证0x <时，12y x =+与||y a x =的图象有2个交点即可，即12ax x -=+在(,0)-∞有2个根，也即是2210(0)ax ax a ++=>在(,0)-∞有2根，所以02010aa a⎧⎪∆>⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎪⎩，解得1a >7.已知函数(),0ln ,0x xe x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()()g x f x ax =-有四个不同的零点，则a 的取值范围为（）A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[)1,e D.[),e +∞【正确答案】A【分析】讨论0x ≤、0x >，应用导数研究单调性，要使()0g x =有四个不同的解，即当两个区间均存在两个零点时，求a 的范围即可.【详解】由题意知：()()g x f x ax =-有四个不同的零点，∴,0()ln ,0x xe ax x g x x ax x ⎧-≤=⎨->⎩，则()0g x =有四个不同的解，当0x ≤时，()()0x g x x e a =-=，其零点情况如下：1）当0a ≤或1a =时，有0x =；2）当01a <<或1a >时，0x =或ln x a =；当0x >时，1()g x ax'=-，则有如下情况：1）当0a ≤时()0g x '>，即()g x 单调递增，不可能出现两个零点，不合题意；2）当0a >时，在10x a <<上()0g x '>，()g x 单调递增，在1x a>上()0g x '<，()g x 单调递减，而0x +→有()g x →-∞，x →+∞有()g x →+∞，所以只需1()ln 10g a a =-->，得1a e<时，()g x 必有两个零点.∴综上，有10a e<<时，()g x 在0x ≤、0x >上各有两个零点，即共有四个不同的零点.故选：A.关键点点睛：应用分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求在满足零点个数的情况下参数范围.8.已知0.02e a -=，b =0.01，c =ln1.01，则（）A.c >a >bB.b >a >cC.a >b >cD.b >c >a【正确答案】C【分析】根据指数函数的性质判断,a b ，构造函数()e 1x f x x =--，由导数确定单调性得(0.01)(0)f f >，再由对数性质得,b c 大小，从而得结论．．【详解】由指数函数的性质得：10.022ee0.01-->=>>，设()e 1x f x x =--，则e ()10x f x '=->在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，()f x 是连续函数，因此()f x 在[0,)+∞上是增函数，所以(0.01)(0)f f >，即0.01e 10.010-->，即0.01e 1.01>，所以0.01ln1.01>，所以a b c >>．故选：C ．二、多选题（每小题5分，共20分）9.若01a <<，1b c >>，则（）A.1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭B.c a cb a b->-C.11a a c b --< D.log log c b a a<【正确答案】AD【分析】运用不等式的性质，对四个选项逐一分析【详解】对于A ，1b c >> ，1b c ∴>，01a << ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故B 错误；对于C ，01a << ，10a ∴-<，1b c >> ，则11a a c b -->，故C 错误；对于D ，1b c >> ，log log c b a a ∴<，故D 正确.故选：AD.本题主要考查不等式的性质，熟记不等式的性质即可，属于基础题．10.下列式子等于cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭的是（）A.5cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭B.2sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭C.3cos sin 2x x+ D.22cos 1122x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【正确答案】CD【分析】根据诱导公式，即可判断A ，B 不正确；根据三角恒等变换，即可判断C 正确；根据余弦的二倍角公式，即可判断D 正确，由此即可得到答案.【详解】5cos cos cos cos 6666x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 不正确；2sin sin cos cos 36266x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--≠- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 不正确；sin 1cos sin cos 2226x x x x x π+⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故C 正确；22cos 1cos cos 12266x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：CD.11.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且当(0,1]x ∈时，()1f x x =-，则（）A.()f x 是周期函数B.()f x 在（－1，1)上单调递减C.()f x 的图象关于直线3x =对称D.()f x 的图象关于点（2，0)对称【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用周期的定义判断，对于B ，根据题意求出()f x 在[1,0)x ∈-的解析式，然后判断，对于C ，利用函数的周期和奇函数的性质可得(3)(3)f x f x +=-，从而可求得其对称轴，对于D ，利用函数的周期和奇函数的性质可得()(4)0f x f x +-=，从而可求得其对称中心【详解】对于A ，因为定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，所以(22)(2)f x f x ++=-+，(0)0f =，所以(4)[()]()f x f x f x +=--=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以A 正确，对于B ，当[1,0)x ∈-时，(0,1]x -∈，则()1()1f x x x -=--=+，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()1f x x -=+，所以()1f x x =--，所以当[1,0)x ∈-时，()1f x x =--为减函数，且当0x →时，()1f x →-，当(0,1]x ∈时，()1f x x =-为减函数，且当0x →时，()1f x →，所以()f x 在（－1，1)上不是单调递减，所以B 错误，对于C ，因为()f x 是周期为4的周期函数，所以(6)(2)()()f x f x f x f x +=+=-=-，所以(36)[(3)]f x f x -+=--，即(3)(3)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，所以C 正确，对于D ，因为(4)()()f x f x f x +==--，所以(4)()0f x f x ++-=，所以(44)[(4)]0f x f x -++--=，所以()(4)0f x f x +-=，所以()f x 的图象关于点4,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，即()f x 的图象关于点（2，0)对称，所以D 正确，故ACD12.已知函数()21e xx x f x +-=，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 存在两个不同的零点B.函数()f x 既存在极大值又存在极小值C.当e 0k -<≤时，方程()f x k =有且只有两个实根D.若[),x t ∈+∞时，()2max 5ef x =，则t 的最小值为2【正确答案】ABC【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A ，由()0f x =，得210x x +-=，∴12x -=，故A 正确；对于B ，()()()2122e e x xx x x x f x +---'=-=-，当()(),12,x ∈-∞-+∞ 时，()0f x '<，当()1,2x ∈-时，()0f x ¢>，∴()f x 在(),1-∞-，()2,+∞上单调递减，在()1,2-上单调递增，∴()1f -是函数的极小值，()2f 是函数的极大值，故B 正确；对于C ，当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)e f -=-，再根据单调性可知，当e 0k -<≤时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确．故选：ABC.本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知集合{|13}A x x =<<，{|21}B x m x m =<<-，若A B =∅ ，则实数m 的取值范围是________.【正确答案】[)0,∞+【分析】根据A B ⋂=∅可讨论B 是否为空集：B =∅时，21m m -；B ≠∅时，212311m mm m <-⎧⎨-⎩或 ，解出m 的范围即可．【详解】解：A B =∅ ；∴①B =∅时，21m m - ；∴13m ；②B ≠∅时，132311m m m ⎧<⎪⎨⎪-⎩或 ；解得103m <；综上得，实数m 的取值范围是[)0,∞+．故[)0,∞+．考查描述法、区间表示集合的定义，交集的定义及运算，空集的定义，属于基础题．14.已知π02α-<<，1sin cos 5αα+=，则221cos sin αα-的值为________．【正确答案】257【分析】将1sin cos 5αα+=的两边同时平方可得242sin cos 25αα=-，结合角α的范围即可求得7cos sin 5αα-=，即可计算出22125cos sin 7αα=-.【详解】由题意1sin cos 5αα+=，两边同时平方可得112sin cos 25αα+=，即242sin cos 25αα=-，所以()249cos sin 12sin cos 25αααα-=-=，又因为π02α-<<，所以sin 0α<，cos 0α>，所以7cos sin 5αα-=，可得()()221125cos sin cos sin cos sin 7αααααα==-+-．故25715.已知函数()12y f x =+-为奇函数，()211x g x x -=-，且()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则126126x xx y y y ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=______．【正确答案】18【分析】由题意得函数f （x ）与g （x ）的图像都关于点()1,2对称，结合函数的对称性进行求解即可．【详解】 函数()12y f x =+-为奇函数，∴函数()y f x =关于点()1,2对称，()211211x g x x x -==+-- ，∴函数()y g x =关于点()1,2对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称， ()f x 与()g x 图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ,两两关于点()1,2对称，126126x x x y y y ∴++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+323418=⨯+⨯=.故答案为18本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.16.函数2ln y x x =-上的点到直线2y x =-的最短距离是________．【分析】由题意知：平行于2y x =-且与2ln y x x =-相切的直线上的切点，即为要找的点，进而应用点线距离公式求最短距离即可.【详解】要使2()ln f x x x =-上的点到直线2y x =-的最短，则该点切线平行于2y x =-，由1()2f x x x =-'且0x >，令1()21f x x x '=-=，∴2210x x --=，解得12x =-（舍）或1x =，∴切点为(1,1)=.四、解答题（共6小题，共70分）17.已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值..【正确答案】（1）64（2）18【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；（2）将28x y xy +=变形为分式型281y x+=，利用“1”的代换和基本不等式可得结果.【小问1详解】∵0x >，0y >，280x y xy +-=，∴28xy x y =+≥=，当且仅当28x y =时取等号，8≥∴64xy ≥，当且仅当416x y ==时取等号，故xy 的最小值为64.【小问2详解】∵28x y xy +=，则281y x+=，又∵0x >，0y >，∴2828()(101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=，当且仅当212x y ==时取等号，故x y +的最小值为18.18.已知函数()()π4sin sin 103f x x x ωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（1）求ω及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 图象的对称中心．【正确答案】（1）ω=1，增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）ππ,0122k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．【分析】（1）利用三角恒等变换得到π()2sin(2)6f x x ω=-，利用函数的最小正周期为π得到ω，然后再利用正弦函数的基准增区间即可求解；（2）令π2π6x k -=，k ∈Z ，解之即可求解.【小问1详解】()214sin sin cos 12sin cos 122f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭π1cos 2212cos 22sin 26x x x x x ωωωωω⎛⎫=-+-=-=- ⎪⎝⎭．∵最小正周期为π，∴2ππ2ω=，∴1ω=，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，解得ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．【小问2详解】令π2π6x k -=，k ∈Z ，解得ππ122k x =+，k ∈Z ，∴()f x 图象的对称中心为ππ,0122k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．19.已知定义域为R 函数()()1x x f x a k a -=--⋅（0a >且1a ≠）是奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若()10f <，判断函数()f x 的单调性，若()()220f m f m -+>，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）2（2）在R 上单调递减，()2,1-【分析】（1）根据题意，利用()00f =，求得2k =，结合函数奇偶性的定义，即可求解；（2）由()10f <，求得01a <<，得到()x x f x a a -=-在R 上单调递减，把不等式转化为()()22f m f m ->-，结合单调性，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()1x x f x a k a -=--⋅的定义域为R 的奇函数，可得()()()0001110f a k a k =--=--=，解得2k =，经验证：当2k =时，()x x f x a a -=-，可得()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，则()f x 为奇函数，符合题意，所以2k =．【小问2详解】解：由（1）知，()x x f x a a -=-（0a >且1a ≠），因为()10f <，即10a a-<，又因为0a >，且1a ≠，所以01a <<，而x y a =在R 上单调递减，x y a -=-在R 上单调递减，故由单调性的性质可判断()x x f x a a -=-在R 上单调递减，不等式()()220f m f m -+>可化为()()22f m f m ->-，可得22m m -<-，即220m m +-<，解得21m -<<，所以实数m 的取值范围是()2,1-．20.已知22sin 2sin 12αα=-.（1）求sin cos cos 2ααα+的值；（2）已知()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2tan 6tan 1ββ-=，求2αβ+的值.【正确答案】（1）15；（2）74π.【分析】（1）先求出1tan 2α=-，再化简22tan 1tan sin cos cos 2tan 1αααααα+-+=+即得解；（2）先求出1tan 23β=-，再求出tan(2)1αβ+=-，求出52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即得解.【详解】（1）由已知得2sin cos αα=-，所以1tan 2α=-222222sin cos cos sin tan 1tan 1sin cos cos 2sin cos tan 15αααααααααααα+-+-+===++（2）由2tan 6tan 1ββ-=，可得22tan 1tan 21tan 3βββ==--，则11tan tan 223tan(2)1111tan tan 2123αβαβαβ--++===---⨯.因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,βπ∈，又1tan 233β=->-，则52,6πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()0,απ∈，13tan 23α=->-，则5,6παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以724παβ+=.易错点睛：本题容易得出两个答案，724παβ+=或34π.之所以得出两个答案，是没有分析缩小,αβ的范围，从而得到52,23παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小.21.设()()3211cos sin 32g x x ax x a x x =-+--，R a ∈，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【正确答案】答案见解析【分析】求出()g x '，因式分解得()()()sin g x x a x x '=--，先说明()sin h x x x =-的单调性，再分类讨论0a >，0a =及a<0时，()g x 的增减性和极值情况即可．【详解】因为()()3211cos sin 32g x x ax x a x x =-+--，所以()()()()()()2cos sin cos sin sin g x x ax x x a x x x x a x a x x a x x '=-+---=---=--，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增，因为()00h =，所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <．（1）当a<0时，()()()sin g x x a x x '=--，当(),x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(),0x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增．所以，当x a =时，()g x 取到极大值，极大值是()31sin 6g a a a =--，当0x =时，()g x 取到极小值，极小值是()0g a =-．（2）当0a =时，()()sin g x x x x '=-，当(),x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值．（3）当0a >时，()()()sin g x x a x x '=--，当(),0x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减．当(),x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增．所以，当0x =时，()g x 取到极大值，极大值是()0g a =-；当x a =时，()g x 取到极小值，极小值是()31sin 6g a a a =--．综上，当a<0时，()g x 在(),a -∞和()0,∞+上单调递增，在(),0a 上单调递减，极大值是()31sin 6g a a a =--，极小值是()0g a =-；当0a =时，()g x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(),0∞-和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，极大值是()0g a =-，极小值是()31sin 6g a a a =--．22.已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象在点()2,(2)f 处的切线的倾斜角为45°，对于任意的[]1,2t ∈，函数32()()2m g x x x f x '⎡⎤=+⋅+⎢⎥⎣⎦在区间(),3t 上总不是单调函数，求m 的取值范围．【正确答案】(1)见解析(2)37 ,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭【详解】【试题分析】(1)求出函数的定义域,对函数求导后,对a 分类讨论函数的单调区间.(2)倾斜角为45 ,斜率为1,根据斜率为1可求得a 的值.化简()g x 的表达式,求出()g x 的导数,将函数在区间上不是单调函数的问题,转化为函数导数在区间上有变号零点问题来求解.【试题解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝.∴g (x )＝x 3＋x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m的取值范围是37,93⎛⎫--⎪⎝⎭.本小题主要考查函数导数与单调区间,考查不是单调函数的转化方法,考查了分类讨论的思想方法,和化归与转化的数学思想方法.求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,。
湖南省望城五中高二数学竞赛试题.doc
20XX 年湖南省望城五中高二数学竞赛试题姓名 记分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知A={x|x+1≥0}，B={y|y 2－2>0}，全集I=R ，则A ∩C I B 为（ ）A.{x|x ≥2或x ≤－2}B.{x|x ≥－1或x ≤2}C.{x|－1≤x ≤2}D.{x|－2≤x ≤－1}2.不等式log 31(x －1)>－1的解集为（ ）A.{x|x>4}B.{x|x<4}C.{x|1<x<4}D.{x|1<x<32} 3.在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）A.若向量a =(x ，y)，向量b =(－y ，x)(x 、y ≠0)，则a ⊥bB.四边形ABCD 是菱形的充要条件是AB =，且|AB |=|AD |C.点G 是△ABC 的重心，则GA +GB +CG =0D.△ABC 中，AB 和的夹角等于180°－A4.已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-n C ．14-n D ．)14(31-n5.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，公比q ≠1，那么（ ）A.a 32+a 72>a 42+a 62B.a 32+a 72<a 42+a 62C.a 32+a 72=a 42+a 62D.大小不确定6.圆064422=++-+y x y x 截直线x -y -5＝0所得弦长等于（ ） A ．6 B ．225 C ．1 D ．57.函数y=f(x+1)与y=f(1－x)的图象关于( )A.y 轴对称B.原点对称C.直线x=1对称D.关于y 轴对称且关于直线x=1对称8.某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①26C ；②665646362C C C C +++；③726-；④26A ．其中正确的结论是（ ）A ．仅有①B ．仅有②C ．②和③D ．仅有③9.将函数y ＝2x 的图像按向量a 平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：①a的坐标可以是（-3.0）；②a 的坐标可以是（0，6）；③a的坐标可以是（-3，0）或（0，6）；④a的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足( )A.a<0B.0≤a<1C.a=1D.a>1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望学校，每所小学至少得到2台，不同送法的种数共有__________种.12.已知f(x)=|log 3x|，当0<a<2时，有f(a)>f(2)，则a 的取值范围是__________.13.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S ，则S 的取值范围为__________.14.设有四个条件：①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等；②直线a ∥b ，a ⊥平面α，b ⊥平面β；③a 、b 是异面直线，a ⊂α，b ⊂β，且a ∥β，b ∥α；④平面α内距离为d 的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d 的平行线.其中能推出α∥β的条件有__________.(填写所有正确条件的代号)三、解答题(本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分10分)△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边. 已知tanA+tanB+3=tanA ·tanB ·3， (1)求∠C 的大小； (2)若c=27，△ABC 的面积S △ABC =233，求a+b 的值.2019年10月16日整理16.(本小题满分10分)已知a ，b 都是非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a－2b 垂直，求a 与b的夹角.17.(本小题满分10分)已知曲线C ：x 2－y 2=1及直线L ：y=kx －1. (1)若L 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若L 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△OAB 的面积为2，求实数k 的值.18.(本小题满分10分)AC=4，PB=PC=BC.(1)求三棱锥P—ABC的体积V；(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE，并求AE的长；(3)求二面角A—PC—B的大小.19.(本小题满分15分)函数f(x)=log a(x－3a)(a>0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y=f(x)图象上的点时，Q(x－2a，－y)是函数y=g(x)图象上的点.(1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)当x∈［a+2，a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围.参 考 答 案一、选择题:1.解析：由已知得A={x|x ≥－1}，B={y|y ＞2或y ＜－2}，C I B={y|－2≤y ≤2}，则A ∩C I B={x|－1≤x ≤2}，选C. 答案：C2.解析：由已知得⎩⎨⎧<->-.31,01x x 得1＜x ＜4，选C. 答案：C3.解析：若点G 是△ABC 的重心，则有++=0，而C 的结论是++=0，显然是不成立的，选C. 答案：C4.：D5.解析：取特殊数列验证：根据题意取数列1，2，4，8，16，32，64(q ＞1)，易证a 32+a 72>a 42+a 62；取数列64，32，16，8，4，2，1(0＜q ＜1＝，易证a 32+a 72>a 42+a 62，故选A. 答案：A6.A7.解析：根据对称关系验证D 正确，选D. 答案：D8..C9.答案：D10.解析：由图知a=1时，图象只有一个交点，故选C. 答案：C 二、填空题:11.解析：分为三种情况：①每所学校得3台电脑；②有两所学校各得2台电脑，一所学校得5台电脑；③有一所学校得2台电脑，一所学校得3台电脑，一所学校得4台电脑.答案：10 12.解析：由f(a)＞f(2)，得|log 3a|＞log 32. log 3a ＞log 32或log 3a ＜－log 32=log 321， 得a ＞2或0＜a ＜21，又0＜a ＜2，∴0＜a ＜21.答案：0＜a ＜21 13.解析：由已知S=q -12，得q=S S 2-.又－1＜q ＜0得－1＜SS 2-＜0.解之得1＜S ＜2.答案：1＜S ＜214.解析：答案：②③ 三、解答题:15.解：(1)tanC=－tan(A+B) =－BA BA tan tan 1tan tan ⋅-+=－B A B A tan tan 1)1tan (tan 3⋅--⋅⋅=3.∵0°＜C ＜180°，∴C=60°.(2)由c=27及余弦定理，得a 2+b 2－2abcos60°=(27)2.又由S △ABC =21absin60°=233，整理得⎪⎩⎪⎨⎧==-+.6,44922ab ab b a ∴(a+b)2=4121，即a+b=21116.解：∵a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，∴(a +3b )·(7a －5b )=0，(a －4b )·(7a －2b ) =0.即⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅-=-⋅+.0||830||7 ,0||1516||72222b b a a b b a a两式相减：a ·b =21|b |2，代入①得|a |2=|b |2.∴cos α=||||b a b a ⋅=21.∴α=60°，即a 与b 的夹角为60°.17.解：(1)曲线C 与直线L 有两个不同交点，则方程组⎩⎨⎧-==-1122kx y y x 有两个不同的解.代入整理得：(1－k 2)x 2+2kx －2=0.此方程必有两个不等的实根x 1，x 2，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-+=∆≠-.0)1(84,01222k k k解得－2＜k ＜2且k ≠±1时，曲线C 与直线L 有两个不同的交点.(2)设交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线L 与y 轴交于点D(0，－1)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=⋅--=+.12,12221221k x x k k x x ∵S △OAB =S △OAD +S △OBD =21|x 1|+21|x 2|=21(|x 1|+|x 2|) (∵x 1x 2＜0)=21|x 1－x 2|=2， ∴(x 1－x 2)2=(22)2，即(212k k --)2+218k -=8.解得k=0或k=±26.∵－2＜k ＜2，∴k=0或k=±26时，△OAB 面积为2.18.解：(1)∵PA ⊥平面ABC ，PB=PC ，由射影定理得，AB=AC=4.∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AC.在Rt △PAC 中，可求出PC=5，则PB=BC=5.取BC 中点D ，连AD.在等腰△ABC 中，求出底边上的高AD=239. ∴V=31·21·5·239·3=4395.(2)连PD ，则PD ⊥BC ，又AD ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAD.又BC ⊂平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC.作AE ⊥PD 于E ，则AE ⊥平面PBC ，AE 为点A 到平面PBC 的垂线段. 在Rt △PAD 中，由PA ·AD=AE ·PD ，即3·239=AE ·235，求出AE=5133. ① ②(3)作AF ⊥PC 于F ，连EF ，由三垂线逆定理，得EF ∠AFE 为二面角A —PC —B 的平面角. 在Rt △PAC 中，由PA ·AC=PC ·AF ，即3·4=5·AF ，求出AF=512， ∴sinAFE=AF AE =5133·125=413.即二面角A —PC —B 为arcsin 413.19.解：(1)设P(x 0，y 0)是y=f(x)图象上的点，Q(x ，y)是y=g(x)图象上的点，则⎩⎨⎧-=-=.,200y y a x x∴⎩⎨⎧-=+=.,200y y a x x ∴－y=log a (x+2a －3a).∴y=log a a x -1(x ＞a)，即y=g(x)=log aa x -1(x ＞a). (2)∵⎩⎨⎧>->-.0,03a x a x ∴x ＞3a.∵f(x)与g(x)在［a+2，a+3］上有意义，∴3a ＜a+2.∴0＜a ＜1. ∵|f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴|log a (x －3a)(x －a)|≤1恒成立.∴⎩⎨⎧<<≤--≤-.10,1])2[(log 122a a a x a ⇔a ≤(x －2a)2－a 2≤a 1.对x ∈［a+2，a+3］时恒成立，令h(x)=(x －2a)2－a 2，其对称轴x=2a ，2a ＜2，2＜a+2，∴当x ∈［a+2，a+3］时，h(x)min =h(a+2)，h(x)max =h(a+3).∴⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥≤.691,44)(1,)(.max min a a a a x h ax h a 0＜a ≤12579-.。
湖南省高中数学竞赛
湖南省2002年高中数学竞赛试题及解答2002.9.7 9：00-11;00说明：1.评阅试卷时请依本评分标准.选择题只设6分及0分两档,填空题只设6分及0分两档.其他各题评阅请严格依照本评分规定的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方式与本解答案不同,只要思路合理,步骤正确,在证券时参照本评分标准划分的评分档次,给予相应的分数.一 选择题(本题共6个小题,每小题6分,满分36分.)1．定义在实数集R 上的函数y=f （-x ）的反函数是)(1x fy -=-，则（A ）y=f （-x ）是奇函数（B ）y=f （-x ）是偶函数（C ）y=f （-x ）既是奇函数，也是偶函数（D ）y=f （-x ）既不是奇函数，也不是偶函数2．二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象如图所示。
记N=|a+b+c|+|2a-b|M=|a-b+c|+|2a+b|，则（ ）（A ） M ＞N （B ）M=N（C ） M ＜N （D ）M ，N 的大小关系不能确定3．在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是（ ）（A ） 4或5或6或7（B ） 4或6或7或8（C ） 6或7 或8（D ） 4或5 或64．ABC 中，若（sinA+sinB ）（cosA+cosB ）=2sinC ，则（ ）（A ） △ABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形（B ） △ABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形（C ） △ABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形（D ） △ABC 既是等腰三角形也是直角三角形5．△ABC 中，∠C=90O ，若sinA ，sinB 是一元二次方程02=++q px x 的两个根，则下列关系中正确的是（ ）6．已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一焦点的轨迹为（）。
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2004年湖南省高中數學競賽試題一、選擇題：(本大題共10個小題；每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中， 有且只有一項是符合題目要求的)1.已知函數f(x)是R 上的奇函數，g(x)是R 上的偶函數，若129)()(2++=-x x x g x f ，則=+)()(x g x f ( )A ．1292-+-x x B ．1292-+x xC ．1292+--x xD ． 1292+-x x2.有四個函數：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ⋅ ④ xxy cos sin = 其中在)2,0(π上為單調增函數的是 ( )A ．①B ．②C ．①和③D ．②和④3.方程x x x x x x ππ)1(12122-+=-+-的解集為A(其中π為無理數，π=3.141…，x 為實數)，則A 中所有元素的平方和等於 ( )A ．0B ．1C ．2D ．44.已知點P(x,y)滿足)(4)sin 4()cos 4(22R y x ∈=-+-θθθ，則點P(x,y)所在區域的面積為 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( )5.將10個相同的小球裝入3個編號為1、2、3的盒子(每次要把10個球裝完)，要求每個盒子裏球的個數不少於盒子的編號數，這樣的裝法種數為 ( ) A ．9B ．12C ．15D ．186.已知數列{n a }為等差數列，且S 5=28，S 10=36，則S 15等於 ( ) A ．80B ．40C ．24D ．-487.已知曲線C ：x x y 22--=與直線0:=-+m y x l 有兩個交點，則m 的取值範圍是 ( )A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-8.過正方體ABCD-A 1B 1C 1D 1的對角線BD 1的截面面積為S ，S max 和S min 分別為S 的最大值和最小值，則m inm axS S 的值為 ( ) A ．23 B ．26 C ．332 D ．362 9.設7log ,1sin ,82.035.0===z y x ，則x 、y 、z 的大小關係為 ( )A ．x<y<zB ．y<z<xC ．z<x<yD ． z<y<x10.如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分別是投擲骰子所得的數字，則該二次方程有兩個正根的概率P= ( )A ．181 B ．91 C ．61 D ．1813 二、填空題（本大題共4個小題，每小題8分，共32分）11.設P 是橢圓191622=+y x 上異於長軸端點的任意一點，F 1、F 2分別是其左、右焦點，O 為中心，則=+⋅221||||||OP PF PF ___________.12.已知△ABC 中，==,，試用a 、b 的向量運算式子表示△ABC 的面積，即S △ABC = ____________________.13.從3名男生和n 名女生中，任選3人參加比賽，已知3人中至少有1名女生的概率為3534，則n=__________.14.有10名乒乓球選手進行單循環賽，比賽結果顯示，沒有和局，且任意5人中既有1人勝其餘4人，又有1人負其餘4人，則恰好勝了兩場的人數為____________個.三、解答題（本大題共5個小題，15-17題每小題12分，18題、19題每小題16分，共68分） 15.對於函數f(x),若f(x)=x,則稱x 為f(x)的“不動點”，若x x f f =))((，則稱x 為f(x)的“穩定點”，函數f(x)的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為A 和B ，即x x f x A ==)(|{}})]([|{x x f f x B ==.(1). 求證：A ⊆B(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求實數a 的取值範圍.16.某制衣車間有A 、B 、C 、D 共4個組，各組每天生產上衣或褲子的能力如下表，現在上衣及褲子要配套生產(17.設數列}{n a 滿足條件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求證：對於任何正整數n ，都有 nnn n a a 111+≥+18.在周長為定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且當頂點C 位於定點P 時，cosC 有最小值為257. (1).建立適當的坐標系，求頂點C 的軌跡方程.(2).過點A 作直線與(1)中的曲線交於M 、N 兩點，求||||BN BM ⋅的最小值的集合.19.已知三棱錐O-ABC 的三條側棱OA 、OB 、OC 兩兩垂直，P 是底面△ABC 內的任一點，OP 與三側面所成的角分別為α、β、γ. 求證：33arcsin32≤++<γβαπ2004年湖南省高中數學競賽試題參考答案一、選擇題： ADCBC CCCBA 二、填空題：11. 25 12.13. 4 14. 1 三、解答題：15.證明(1).若A=φ，則A ⊆B 顯然成立；若A ≠φ，設t ∈A ，則f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,從而 A ⊆B. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)=x 即x ax =-12的實根. 由 A ≠φ，知 a=0 或 ⎩⎨⎧≥+=∆≠0410a a 即 41-≥aB 中元素是方程 x ax a =--1)1(22即 0122243=-+--a x x a x a 的實根由A ⊆B ，知上方程左邊含有一個因式12--x ax ，即方程可化為 0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax因此，要A=B ，即要方程 0122=+-+a ax x a ① 要麼沒有實根，要麼實根是方程 012=--x ax ② 的根. 若①沒有實根，則0)1(4222<--=∆a a a ，由此解得 43<a 若①有實根且①的實根是②的實根，則由②有 a ax x a +=22，代入①有 2ax+1=0.由此解得 a x 21-=,再代入②得,012141=-+a a 由此解得 43=a . 故 a 的取值範圍是 ]43,41[-16.解：A 、B 、C 、D 四個組每天生產上衣與褲子的數量比分別是：76,117,129,108，且11712910876>>> ① 只能讓每天生產上衣效率最高的組做上衣，生產褲子效率最高的組做褲子，才能使做的套數最多.由①知D 組做上衣效率最高，C 組做褲子效率最高，於是，設A 組做x 天上衣，其餘(7-x)天做褲子；B 組做y 天上衣，其餘(7-y)天做褲子;D 組做7天上衣，C 組做7天褲子.則四個組7天共生產上衣 6×7+8x+9y (件)；生產褲子11×7+10(7-x)+12(7-y) (條)依題意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 769x y -=. 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(769x -)=123+x 72 因為 0≤x ≤7,所以，當x=7時，此時y=3, μ取得最大值，即μmax =125.因此，安排A 、D 組都做7天上衣，C 組做7天褲子，B 組做3天上衣，4天褲子，這樣做的套數最多，為125套.17.證明：令 10=a ,則有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 於是 ∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111 由算術-幾何平均值不等式，可得nn n a a a a a a 132211+⋅⋅⋅≥ +n n n a a a a a a 113120+-⋅⋅⋅ 注意到 110==a a ，可知nn n nn a a a 11111+++≥，即 nnn n a a 111+≥+18.解：(1) 以AB 所在直線為x 軸，線段AB 的中垂線為y 軸建立直角坐標系，設 |CA|+|CB|=2a(a>3)為定值，所以C 點的軌跡是以A 、B 為焦點的橢圓，所以焦距 2c=|AB|=6.因為 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C 又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由題意得 25,25718122==-a a. 此時，|PA|=|PB|，P 點座標為 P(0，±4).所以C 點的軌跡方程為)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨設A 點座標為A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).當直線MN 的傾斜角不為900時，設其方程為y=k(x+3) 代入橢圓方程化簡，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 顯然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+ 而由橢圓第二定義可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k k k k k k k x x x x x x BN BM只要考慮251653114422+-k k 的最小值，即考慮2516531144251612++-k 取最小值，顯然. 當k=0時，||||BN BM ⋅取最小值16.當直線MN 的傾斜角為900時，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅ 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，這樣的M 、N 不存在，即||||BN BM ⋅的最小值的集合為空集.19.證明：由 題意可得 1sin sin sin 222=++γβα，且α、β、 )2,0(πγ∈所以 )cos()cos()2cos 2(cos 21sin sin 1sin222γβγβγβγβα-+=+=--=因為 )cos()cos(γβγβ+>-，所以 )](2[sin )(cos sin 222γβπγβα+-=+>當2πγβ≥+時，2πγβα>++.當2πγβ<+時，)(2γβπα+->，同樣有 2πγβα>++故 2πγβα>++另一方面，不妨設 γβα≥≥，則 33sin ,33sin ≤≥γα 令 βγα2211sin )33(1sin ,33sin --==， 則 1sin sin sin 12212=++γβα)cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=因為 γαγα-≤-11，所以 )cos()cos(11γαγα-≥- 所以 )cos()cos(11γαγα+≥+ 所以 11γαγα+≤+如果運用調整法，只要α、β、γ不全相等，總可通過調整，使111γβα++增大. 所以，當α=β=γ=33arcsin時，α+β+γ取最大值 333arcsin . 綜上可知， 33arcsin32≤++<γβαπ。