版高中数学第二章平面解析几何初步221第2课时圆的一般方程学案苏教版必修2

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【新】版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第2课时直线的两点式学业分层测评苏教版必修2

2.1.2 第2课时直线的两点式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________________．【解析】由直线的两点式方程得y －25－2＝x －－2－－，整理得x －y ＋3＝0.【答案】 x －y ＋3＝02．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程________． ①可以写成两点式或截距式； ②可以写成两点式或斜截式或点斜式； ③可以写成点斜式或截距式；④可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式．【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．【答案】 ②3．直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则a ________0，b ________0.【解析】因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a <0，b >0.【答案】 < >4．若直线l 过定点(－1，－1)和(2,5)，且点(2 017，a )在l 上，则a 的值为________．【解析】 ∵(－1，－1)，(2,5)，(2 017，a )三点共线， ∴5－－2－－＝a －52 017－2，∴a ＝4 035. 【答案】 4 0355．经过点A (2,1)，在x 轴上的截距为－2的直线方程是________.【导学号：41292074】【解析】由题意知直线过两点(2,1)，(－2,0)，由两点式方程可得所求直线的方程为y －01－0＝x ＋22＋2，即x －4y ＋2＝0. 【答案】 x －4y ＋2＝06．两条直线l 1：x a －yb ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是________．图2－1－5【解析】化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置．【答案】 ①7．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x 0，y 0)在线段AB 上移动，则4x 0＋3y 0的值等于________．【解析】 AB 所在直线方程为x 3＋y 4＝1，则x 03＋y 04＝1，即4x 0＋3y 0＝12.【答案】 128．直线mx ＋ny ＋p ＝0(mn ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则m ，n ，p 满足的条件是________．【解析】当p ＝0时，直线在两坐标轴上的截距相等，当p ≠0时，因mn ≠0，∴－p m ＝－p n，即m ＝n .【答案】 p ＝0或p ≠0且m ＝n 二、解答题9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.【解】 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k－3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知直线l 过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程．【解】设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋－4b ＝1，12|a |·|b |＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4.故直线l 的方程为x 5－y 2＝1或－2x 5＋y4＝1.即2x －5y －10＝0或8x －5y ＋20＝0.[能力提升]1．过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线的方程为__________．【解析】当b ＝0时，设直线方程为y ＝kx ，则2k ＝－1，所以k ＝－12，所以直线方程为y ＝－12x ，即x ＋2y ＝0.当b ≠0时，设直线方程为x 3b ＋y b ＝1，则23b ＋－1b ＝1，解得b ＝－13.所以直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0. 【答案】 x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝02．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，则yx的取值范围是________．【解析】如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，23．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________.【导学号：41292075】【解析】由A ，B ，P 三点共线，得y －0x －3＝4－00－3，即y ＝－43(x －3)，x ∈[0,3]．∴xy ＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43x －＝－43(x 2－3x ) ＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3.当x ＝32时，xy 取得最大值3，此时x ＝32，y ＝2，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 【答案】 34．直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差的绝对值为3，求直线l 的方程．【解】由题意可知，设直线l 与两坐标轴的交点分别为(a,0)，(0，b )，且有a ＞0，b ＞0，根据题中两个条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12ab ＝2，|a －b |＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.所以直线l 的方程为x 4＋y ＝1或x ＋y4＝1.。

高中数学第2章平面解析几何初步2.2.1圆的方程第1课时圆的标准方程讲义苏教版必修2

第1课时圆的标准方程1．圆的定义及标准方程 (1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．(2)圆的标准方程2.设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点与圆的位置关系对应如下：1.思考辨析(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝m 2一定表示圆． ( ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径． ( ) (3)圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4的圆心坐标是(1，2)，半径是4. ( )(4)点(0，0)在圆(x －1)2＋(y －2)2＝1上． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2的圆心和半径分别是________． [答案] (2，－3)， 23．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝__________．2或－2 [把点P (－1，3)代入x 2＋y 2＝m 2，得1＋3＝m 2，∴m ＝2或－2.](1)圆心为点C (8，－3)，且经过点P (5，1)； (2)以P 1(1，2)，P 2(－3，4)为直径的端点；(3)与x 轴相交于A (1，0)，B (5，0)两点且半径为 5.思路探究：(1)(2)直接求出圆心半径代入求解；(3)设出圆的标准方程，由已知条件列方程组求解．[解] (1)由题意可知，圆的半径r ＝PC ＝（8－5）2＋（－3－1）2＝5，所以圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.(2)由题意可知，P 1，P 2的中点P 的坐标为(－1，3)．又P 1P 2＝（1＋3）2＋（2－4）2＝25，所以圆的半径为12P 1P 2＝ 5.即所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝5. (3)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5. 因为点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（0－b ）2＝5，（5－a ）2＋（0－b ）2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1. 所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.法二：由于A ，B 两点在圆上，所以线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识，知这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可以设圆心为C (3，b )，又由AC ＝5，得（3－1）2＋b 2＝5，解得b ＝1或b ＝－1，所以圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.求圆的标准方程的常用方法(1)待定系数法(代数法)：设出圆的标准方程，方程中有三个未知数a ，b ，r ，根据题目条件列出a ，b ，r 的方程组求解，代数法体现了方程思想．(2)几何法：即利用圆的几何性质直接求出圆心和半径的方法，几何法体现了数形结合的思想．1．已知圆心为C 的圆经过点A (0，2)和B (－3，3)，且圆心C 在直线l ：x ＋y ＋5＝0上．求圆C 的标准方程．[解] 法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋5＝0，（0－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（－3－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2，r ＝5.∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.法二：因为A (0，2)，B (－3，3)，所以线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，直线AB 的斜率k AB ＝3－2－3－0＝－13，故线段AB 的垂直平分线方程是y －52＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，即3x －y ＋7＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋7＝0，x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－3，－2)． ∴圆的半径r ＝AC ＝（0＋3）2＋（2＋2）2＝5，所以圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.后，水面宽多少m ？(结果保留两位小数)思路探究：由条件，此问题应首先建立坐标系，转化为求圆的方程，再利用条件求水面宽度．[解] 以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立直角坐标系如图所示，设圆拱所在圆的圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则A (6，－2)．设圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2，将A (6，－2)代入方程，得r ＝10，∴圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1 m 后，可设点A ′(x 0，－3)(x 0>0)．如图所示，将A ′(x 0，－3)代入圆的方程，求得x 0＝51，∴水面下降1 m ，水面宽为2x 0＝251≈14.28(m)．本题考查应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当的坐标系，利用圆的方程来解决．一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解．2．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3 m，高为3.5 m的货车能不能驶入这个隧道？[解] 如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，将x＝3代入得y＝16－32＝7<9＝3<3.5，即在离中心线3 m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，该货车不能驶入这个隧道．1．点(1，1)是否在圆(x－1)2＋y2＝2上？[提示]点(1，1)不在圆(x－1)2＋y2＝2上，因为将点(1，1)代入圆的方程左边得(1－1)2＋12＝1≠2.2．在探究1中，点(1，1)与圆(x－1)2＋y2＝2是什么关系？[提示]点(1，1)在圆内．3．如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？[提示]将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2，点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－b)2>r2，点A在圆外．【例3】已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．(1)若点M(6，9)在圆上，求半径a；(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．思路探究：(1)点在圆上，满足圆的方程求得a值．(2)点在圆内(外)，则点与圆心的距离小于(大于)圆的半径，求a的范围．[解](1)∵点M(6，9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a＞0，∴a＝10.(2)∵PC＝（3－5）2＋（3－6）2＝13，QC＝（5－5）2＋（3－6）2＝3，PC＞QC，故点P在圆外，点Q在圆内，∴3＜a＜13.判断点与圆的三种位置关系有两种方法：(1)将所给的点M 到圆心C 的距离与半径r 比较：若CM ＝r ，则点M 在圆上；若CM ＞r ，则点M 在圆外；若CM ＜r ，则点M 在圆内．(2)可用圆的标准方程来确定．点M (m ，n )在圆C 上⇔(m －a )2＋(n －b )2＝r 2；点M (m ，n )在圆C 外⇔(m －a )2＋(n －b )2＞r 2；点M (m ，n )在圆C 内⇔(m －a )2＋(n －b )2＜r 2.3．已知两点M (3，8)和N (5，2)． (1)求以MN 为直径的圆C 的方程；(2)试判断P 1(2，8)，P 2(3，2)，P 3(6，7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？[解] (1)法一：设圆心C (a ，b )，半径r ，则由C 为MN 的中点得a ＝3＋52＝4，b ＝8＋22＝5，由两点间的距离公式得r ＝CM ＝（4－3）2＋（5－8）2＝10.∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. 法二：∵直径所对的圆周角是直角，∴对于圆上除M ，N 外任意一点P (x ，y )，有PM ⊥PN ，即k PM ·k PN ＝－1， ∴y －8x －3·y －2x －5＝－1(x ≠3且x ≠5)．化简得x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0，即(x －4)2＋(y －5)2＝10.又∵M (3，8)，N (5，2)的坐标满足方程， ∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. (2)分别计算点到圆心的距离CP 1＝（4－2）2＋（5－8）2＝13>10， CP 2＝（4－3）2＋（5－2）2＝10， CP 3＝（4－6）2＋（5－7）2＝8<10 ，因此，点P 2在圆上，点P 1在圆外，点P 3在圆内．1．本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系．难点是根据所给条件求圆的标准方程．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求圆的标准方程的方法． (2)判断点与圆的位置关系的方法． (3)求与圆有关的最值的方法．3．本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解．1．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3，2)与圆的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外D ．是圆心A [(3－2)2＋(2－3)2＝2<4.∴P 点在圆内．]2．圆心在第二象限，半径为1，并且与x ，y 轴都相切的圆的方程为________． (x ＋1)2＋(y －1)2＝1 [由条件知，|a |＝|b |＝r ＝1. ∵圆心在第二象限，∴a ＝－1，b ＝1， ∴所求的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1.]3．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1，1)的圆的方程是________． (x －2)2＋(y ＋3)2＝25 [由题意，设所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2，则有(－1－2)2＋(1＋3)2＝r 2，即r 2＝25，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.]4．已知直线l 与圆C 相交于点P (1，0)和点Q (0，1)． (1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程．[解] (1)PQ 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x . (2)由条件设圆的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝1，由圆过P ，Q 点得⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋b 2＝1，a 2＋（1－b ）2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.所以圆C 的方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.。

苏教版高中高一数学必修2《平面解析几何初步》评课稿

苏教版高中高一数学必修2《平面解析几何初步》评课稿一、教材简介《平面解析几何初步》是苏教版高中高一数学必修2教材中的一章，主要介绍平面解析几何的基本概念和基本方法。

通过学习本章内容，学生可以掌握平面坐标系的建立与运用，了解平面解析几何的基本思想和基本定理，培养学生的几何建模、问题分析和解决问题的能力。

二、教学目标本章的主要教学目标如下：1.理解平面直角坐标系的概念和性质；2.掌握平面直角坐标系中的点、线段的坐标表示方法；3.熟练掌握坐标表示法求解距离、斜率、中点等问题的方法；4.理解直线的方程及其性质，能够求解直线的方程；5.学会判定两条直线相交、平行或重合的方法；6.掌握解直线方程组的方法，理解直线方程组解的几何意义。

三、教学重点1.平面直角坐标系的建立与应用；2.直线方程的求解与性质；3.直线方程组的解与几何意义。

四、教学难点1.直线的判定；2.直线方程组的解法。

五、教学准备1.课前准备：教师需要提前准备好教材、教具等教学资源；2.课堂准备：教师需要准备黑板、彩笔等辅助教学工具。

六、教学过程1. 导入与激发兴趣（5分钟）引导学生回顾上一堂课的内容，并提出与本节课相关的问题，激发学生对本节课内容的兴趣与思考。

2. 新知呈现（15分钟）第一部分：平面直角坐标系1.教师通过示意图引入平面直角坐标系的概念和性质；2.教师展示如何在平面上建立直角坐标系，并解释坐标的表示方法；3.通过具体的例子，教师讲解点、线段在坐标系中的表示方法，并进行示范。

第二部分：距离、斜率和中点1.教师引入距离的概念，并介绍计算两点距离的方法；2.教师讲解斜率的概念和计算方法，并通过实例演示；3.教师引入线段的中点概念，并讲解求解中点坐标的方法。

3. 知识拓展与巩固（20分钟）第一部分：直线的方程1.教师引导学生探讨直线的特征和性质，进一步理解直线方程的意义；2.教师介绍直线方程的一般形式和斜截式，并通过例题演示解题方法；3.学生通过练习题巩固直线方程的求解方法。

高中数学第2章平面解析几何初步直线与圆综合学案苏教版必修2 学案

直线与圆综合（定点、定值、最值问题）一、解答题1．已知圆()222:2(0)M x y r r +-=>与曲线()():23430C y x y --+=有三个不同的交点. （1）求圆M 的方程；（2）已知点Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.①若42AB =，求MQ 及直线MQ 的方程； ②求证：直线AB 恒过定点.2．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上．(1)若圆分别与x 轴、y 轴交于点A 、B(不同于原点O)，求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于不同的两点，且，求圆M 的方程；(3)设直线与(2)中所求圆交于点E 、F ， P 为直线x=5上的动点，直线PE ，PF 与圆的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线异侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标.3．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ,当2AOB π∠=时，求k 的值.（2）若1,2k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线,PC PD ，切点为,C D ，探究：直线CD 是否过定点；（3）若,EF GH 为圆22:2O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求四边形FGFH 的面积的最大值.4．已知平面直角坐标系xoy 内两个定点()1,0A 、()4,0B ,满足2PB PA =的点(),P x y 形成的曲线记为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)过点B 的直线l 与曲线Γ相交于C 、D 两点,当⊿COD 的面积最大时,求直线l 的方程(O 为坐标原点); (3)设曲线Γ分别交x 、y 轴的正半轴于M 、N 两点,点Q 是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN 交x 轴于点E 、连结QM 交y 轴于F .求证四边形MNEF 的面积为定值.5．已知圆22:9O x y +=，直线1l :x =6，圆O 与x 轴相交于点A B 、（如图），点P (-1,2)是圆O 内一点，点Q 为圆O 上任一点（异于点A B 、），直线A Q 、与1l 相交于点C ．（1）若过点P 的直线2l 与圆O 相交所得弦长等于，求直线2l 的方程；（2）设直线BQ BC 、的斜率分别为BQ BC k k 、，求证：BQ BC k k ⋅为定值.6．已知圆C 经过点()()0,2,2,0A B ，圆C 的圆心在圆222x y +=的内部，且直线3450x y ++=被圆C 所截得的弦长为3点P 为圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . （1）求圆C 的方程；（2）求证:AN BM 为定值；（3）当PA PB 取得最大值时，求MN ．7．如图，已知定圆22:(3)4C x y +-=，定直线:360m x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点. （Ⅰ）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ；（Ⅱ）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（Ⅲ）设t AM AN =，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由. 8．已知圆，相互垂直的两条直线都过点，（1）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线都相切，求圆的方程；（2）当时，记被圆所截得的弦长分别为，求：①的值；②的最大值.9．已知圆C ：()2244x y +-=，直线l ：()()31140m x m y ++--= （Ⅰ）求直线l 所过定点A 的坐标；（Ⅱ）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；（Ⅲ）已知点()3,4M -，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数。

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高中数学苏教版教材目录(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除苏教版-----------------------------------必修-----------------------第1章集合集合的含义及其表示子集、全集、补集交集、并集第2章函数函数的概念函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质函数的单调性函数的奇偶性映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数指数函数分数指数幂指数函数对数函数对数对数函数幂函数函数的应用函数与方程函数模型及其应用-----------------------------------必修2-----------------------------------第1章立体几何初步空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线的位置关系 1.平行直线2.异面直线直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积空间几何体的体积第2章平面解析几何初步直线与方程直线的斜率直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离-----------------------------------必修3-----------------------------------第1章算法初步算法的意义流程图顺序结构选择结构循环结构基本算法语句赋值语句输入、输出语句条件语句循环语句算法案例第2章统计抽样方法简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法系统抽样分层抽样总体分布的估计频率分布表频率分布直方图与折线图茎叶图总体特征数的估计平均数及其估计方差与标准差线性回归方程第3章概率随机事件及其概率随机现象随机事件的概率古典概型几何概型互斥事件-----------------------------------必修4-----------------------------------第1章三角函数任意角、弧度任意角弧度制任意角的三角函数任意角的三角函数同角三角函数关系三角函数的诱导公式三角函数的图象和性质三角函数的周期性三角函数的图象与性质函数y=Asin(ωx+ψ)的图象三角函数的应用第2章平面向量向量的概念及表示向量的线性运算向量的加法向量的减法向量的数乘向量的坐标表示平面向量基本定理平面向量的坐标运算向量的数量积向量的应用第3章三角恒等变换两角和与差的三角函数两角和与差的余弦两角和与差的正弦两角和与差的正切二倍角的三角函数几个三角恒等式-----------------------------------必修5-----------------------------------第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理451．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列 2．1数列2．2等差数列等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的前n 项和2．3等比数列等比数列的概念等比数列的通项公式等比数列的前n 项和第3章不等式 3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 基本不等式的证明基本不等式的应用-----------------------------------选修-------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系四种命题充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词量词含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆椭圆的标准方程椭圆的几何性质2．3双曲线双曲线的标准方程双曲线的几何性质 2．4抛物线抛物线的标准方程抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用3．1导数的概念平均变化率瞬时变化率——导数3．2导数的运算常见函数的导数函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用单调性极大值和极小值最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修-------------------------第1章统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理合情推理演绎推理推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明直接证明间接证明第3章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义第4章框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系四种命题充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词量词含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆椭圆的标准方程椭圆的几何性质2．3双曲线双曲线的标准方程双曲线的几何性质 2．4抛物线抛物线的标准方程抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程曲线与方程求曲线的方程曲线的交点第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算空间向量及其线性运算共面向量定理空间向量基本定理空间向量的坐标表示空间向量的数量积 3．2空间向量的应用直线的方向向量与平面的法向量空间线面关系的判定空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．1导数的概念平均变化率瞬时变化率——导数1．2导数的运算常见函数的导数函数的和、差、积、商的导数简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用单调性极大值和极小值最大值和最小值1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分曲边梯形的面积定积分微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理合情推理演绎推理推理案例欣赏2．2直接证明与间接证明直接证明间接证明2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理二项式定理二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性条件概率事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4------------------------相似三角形的进一步认识平行线分线段成比例定理相似三角形圆的进一步认识圆周角定理圆的切线圆中比例线段圆内接四边形圆锥截线球的性质圆柱的截线圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2-----------------------------------二阶矩阵与平面向量矩阵的概念二阶矩阵与平面列向量的乘法几种常见的平面变换恒等变换伸压变换反射变换旋转变换投影变换切变变换变换的复合与矩阵的乘法矩阵乘法的概念矩阵乘法的简单性质逆变换与逆矩阵逆矩阵的概念二阶矩阵与二元一次方程组特征值与特征向量矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4-----------------------------------直角坐标系直角坐标系极坐标系球坐标系与柱坐标系曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程的意义常见曲线的极坐标方程平面坐标系中几种常见变换平面直角坐标系中的平移变换平面直角坐标系中的伸缩变换参数方程参数方程的意义参数方程与普通方程的互化6参数方程的应用平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5-----------------------------------不等式的基本性质含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式的解法含有绝对值的不等式的证明不等式的证明比较法综合法和分析法反证法放缩法几个著名的不等式柯西不等式排序不等式算术-几何平均值不等式运用不等式求最大（小）值运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值运用柯西不等式求最大（小）值运用数学归纳法证明不等式学习总结报告7。

苏教版数学必修二新素养同步课件：2.2.1 第2课时圆的一般方程

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第2章平面解析几何初步
设内切圆半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)，则有 2r＋AB＝CA ＋CB，所以 r＝1. 故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，化简得， x2＋y2－2x－2y＋1＝0，① 又因为 PA2＋PB2＋PC2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝ 3x2＋3y2－8x－6y＋25，②
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第2章平面解析几何初步
3.已知两定点 A(－2，0)、B(8，0)，动点 P 在圆 C：(x－3)2＋y2＝1 上移动． (1)求证：AP2＋BP2 恒为定值； (2)据(1)猜测：对任意圆 C′，当两定点 A、B 与点 C′满足什么关系时，AP2＋BP2 恒为定值．
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第2章平面解析几何初步
半径长 r＝2
a2－2a＋2
|a|
.
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第2章平面解析几何初步
判断二元二次方程是否是圆的方程时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看 D2＋E2－ 4F 是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
解：(1)2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，故原方程不能表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 项，故原方程不能表示圆． (3)因为 D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，所以原方程不能表示圆．
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第2章平面解析几何初步
(4)法一：因为 a≠0，所以原方程可化为 x2＋y2－4（aa－1）x ＋4ay＝0，即x－2（aa－1）2＋y＋2a2＝4[（a－a12）2＋1]＞0，所以原方程表示圆，

苏教版必修2数学课件-第2章平面解析几何初步第2节直线与方程教学课件

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3．如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？ [提示] 将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2，点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－ b)2>r2，点A在圆外．
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【例3】已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．
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自主预习探新知
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1．圆的定义及标准方程 (1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．
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(2)圆的标准方程
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0，0)
(a，b)
半径标准方程
备注
r(r>0)
r(r>0)
_x_2_＋__y_2＝__r_2_
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[解] 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a＋b＋5＝0，
则（0－a）2＋（2－b）2＝r2，（－3－a）2＋（3－b）2＝r2，
a＝－3，
解得b＝－2， r＝5.
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
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法二：因为A(0，2)，B(－3，3)，所以线段AB的中点坐标为－32，52，直线AB的斜率kAB＝－3－3－20＝－13，
_(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2＝__r_2_
确定圆的标准方程的关键是确定_圆__心__和_半__径__
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高中数学第二章平面解析几何初步 2.2.1 第2课时圆的一般方程学案苏教版必修2

第2课时圆的一般方程学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.知识点圆的一般方程思考1 方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0分别表示什么图形？思考2 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆？梳理类型一圆的一般方程命题角度1 圆的一般方程的概念例1 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径.反思与感悟形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练1 (1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为____________，半径为________.(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.命题角度2 求圆的一般方程)例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).(1)求△ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.引申探究若本例中将条件改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.类型二圆的方程在实际生活中的应用例3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？反思与感悟本类题一般是用解析法解决实际问题.解析法解决实际问题的步骤：建系、设点、列式、计算、总结.跟踪训练3 已知隧道的截面是半径为 4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3 m，高为3.5 m的货车能不能驶入这个隧道？类型三求动点的轨迹问题例4 已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.反思与感悟求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示动点P的坐标.(2)写出适合条件的点P的集合M＝{P|M(P)}.(3)用坐标表示条件M(P)，列出方程f(x，y)＝0.(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式.(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为22，在y轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程.1.圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为________.2.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是____________.3.M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是________.4.若圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________.5.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是______________.1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.答案精析问题导学知识点思考1 对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝－1，不表示任何图形．思考2 对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方并移项，得 (x ＋D2)2＋(y ＋E2)2＝D 2＋E 2－4F4.①当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，它表示一个点(－D 2，－E2)；③当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形．题型探究例1 解由表示圆的条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，解得m <15，即实数m 的取值范围为(－∞，15)．圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m . 跟踪训练1 (1)(－2，－4) 5 (2)9π例2 解 (1)设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋－2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0，∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0，即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6. 引申探究解 ∵k AB ＝3－25－2＝13，AB 的中点坐标为(72，52)，∴AB 的垂直平分线方程为y －52＝－3(x －72)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y －52＝－x －72，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝132，y ＝－132，即圆心C 的坐标为(132，－132)，r ＝132－2＋－132－2＝3702， ∴圆C 的方程为(x －132)2＋(y ＋132)2＝1852.跟踪训练2 解设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.④ 联立①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.例3 解以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A 、B ，则由已知得A (6，－2)．设圆的半径为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.①将点A 的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r －2)2＝r 2，∴r ＝10. ∴圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.②当水面下降1米后，可设点A ′的坐标为(x 0，－3)(x 0>0)，将A ′的坐标(x 0，－3)代入方程②，得x 0＝51，∴当水面下降1米后，水面宽为2x 0＝251米．跟踪训练3 解如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0)，将x ＝3代入得y ＝16－32＝7<9＝3<3.5，即在离中心线3 m 处，隧道的高度低于货车的高度．因此，该货车不能驶入这个隧道．例4 解 (1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝{M |MA ＝12MB }．由两点间的距离公式知，点M 适合的条件可表示为x －2＋y 2＝12x －2＋y 2，平方后再整理，得x 2＋y 2＝16. 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标为(x 1，y 1)．由于A (2,0)，且N 为线段AM 的中点，所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12，所以x 1＝2x －2，y 1＝2y .①由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点，所以点M 的坐标(x 1，y 1)满足x 21＋y 21＝16.② 将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．跟踪训练4 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3.故圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 在曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3. 当堂训练1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1，1922.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，123．x －y －3＝0 4.1145．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1。

「精品」高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第2课时圆的一般方程学案苏教版必修2

2.2.1 第2课时圆的一般方程1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理圆的一般方程的定义阅读教材P 109，完成下列问题． 1．圆的一般方程的定义(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F .(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.(3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则其位置关系如下表：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(√)(2)二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．(×) (3)方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.(√)(4)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆应满足的条件是①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4F >0.(√)2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0化为标准形式为_____________________．【解析】由x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，得(x－1)2＋(y＋2)2＝2.故圆的标准形式为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.【答案】(x－1)2＋(y＋2)2＝23．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是______________．【解析】由题意可知，16＋(－2)2－20m＞0，解得m＜1.【答案】(－∞，1)[小组合作型]二元二次方程的曲线与圆的关系下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－2xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－4y＝0；(5)ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0(a≠0)．【精彩点拨】根据二元二次方程表示圆的条件判断．【自主解答】(1)∵A≠B，∴不能表示圆．(2)∵xy前的系数不等于0，∴不能表示圆．(3)∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10<0，∴不能表示圆．(4)方程变形为x2＋y2－2y＝0.配方得x2＋(y－1)2＝1，故方程表示圆，其圆心为(0,1)，半径为1.(5)法一：∵a≠0，∴原方程可化为x2＋y2－a－ax＋4ay＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x－a－a2＋⎝⎛⎭⎪⎫y＋2a2＝a－2＋1]a2.∵a－2＋1]a2>0，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a－a，－2a，半径r ＝2a 2－2a ＋2|a |.法二：∵a ≠0，∴原方程可化为x 2＋y 2－a －ax ＋4a y ＝0.∵D 2＋E 2－4F ＝a －2a 2＋16a2＝a －2＋16a 2>0，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a －a，－2a ，半径r ＝2a 2－2a ＋2|a |.形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－4F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．[再练一题]1．讨论方程x 2＋y 2＋2ay ＋1＝0(a ∈R )表示曲线的形状．【解】当a <－1或a >1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a )，半径为a 2－1的圆；当a ＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a )；当－1<a <1时，此方程不表示任何曲线．圆的一般方程的求法已知△ABC 三个顶点的坐标为A (1,3)，B (－1，－1)，C (－3,5)，求这个三角形外接圆的一般方程，并判断点M (1,2)，N (4,5)，Q (2,3)与圆的位置关系．【精彩点拨】解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．【自主解答】 (1)法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．∵此圆过A ，B ，C 三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋32＋D ＋3E ＋F ＝0，－2＋－2－D －E ＋F ＝0，－2＋52－3D ＋5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝4，E ＝－4，F ＝－2.∴圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2， ①－1－a 2＋－1－b 2＝r 2， ②－3－a 2＋－b 2＝r 2， ③②－①，③－①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b －2＝0，2a －b ＋6＝0，解得a ＝－2，b ＝2. ∴r 2＝10.∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10. 即圆的一般式方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法三：AB 的中垂线方程为y －1＝－12(x －0)，BC 的中垂线方程为y －2＝13(x ＋2)，联立解得圆心坐标为(－2,2)．设圆的半径为r ，则r 2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10， ∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10，即圆的一般式方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法四：由于k AB ＝－1－3－1－1＝2，k AC ＝5－3－3－1＝－12，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形， ∴外接圆圆心为BC 的中点，即(－2,2)，半径r ＝12|BC |＝10，∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10.即圆的一般式方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. (2)∵M (1,2)，∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0， ∴点M (1,2)在圆内． ∵N (4,5)，∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0， ∴点N (4,5)在圆外． ∵Q (2,3)，∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0， ∴点Q (2,3)在圆外．本题法一、法二中采用了待定系数法．用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”．通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程．圆的标准方程和一般方程有如下关系：(1)由圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可以直接看出圆心坐标(a ，b )和半径r ，圆的几何特征明显．(2)由圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显．(3)[再练一题]2．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．【解】圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2，①又r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，∴－D2<0，即D >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4，∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.[探究共研型]轨迹问题探究1 若|AB |＝2，C 为AB 的中点，动点P 满足|PC |＝2，那么P 点轨迹是什么曲线？求出曲线方程？【提示】以AB 所在直线为x 轴，以C 为原点建立直角坐标系，则C (0,0)，P 点的轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆的方程为x 2＋y 2＝4.探究2 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A (0,2)的距离都是2，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线．【提示】设点M (x ，y )是曲线上任意一点，根据题意，有：x 2＋y －2＝2.两边平方，得x 2＋(y －2)2＝4. 因为曲线在x 轴上方，y >0，所以曲线方程应是x 2＋(y －2)2＝4(y >0)．曲线是圆心为(0,2)，半径为2的圆在x 轴上方的部分．(1)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________．(2)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足PA ＝2PB .若点P 的轨迹为曲线C ，则此曲线的方程为__________.【精彩点拨】 (1)设出中点坐标和圆上点的坐标，用圆上点的坐标表示中点坐标，再代入圆的方程，化简即可．(2)设出点P 的坐标，利用PA ＝2PB 得点P 坐标的关系，化简即可．【自主解答】 (1)设圆上任意一点为(x 1，y 1)，它与点P 连线的中点坐标为(x ，y )，则x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，所以x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，又(x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. (2)设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此即为所求．【答案】 (1)(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 (2)(x －5)2＋y 2＝16求与圆有关的轨迹问题常用的方法1．直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．如上例(2)．2．定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．3．相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)的运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．如上例(1)．[再练一题]3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．【解】设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4，圆心C (3,3)．∵CM ⊥AM ，∴k CM ·k AM ＝－1，即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1，即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)．1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________．【答案】 (2，－3)2．经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的方程为__________．【解析】设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A ，B ，C 三点代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0. 【答案】 x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝03．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为________.【解析】原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )．【答案】 (－a ，－b )4．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 【解析】圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|5＝3.【答案】 35．等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？【解】设另一端点C 的坐标为(x ，y )，依题意，得AC ＝AB .由两点间距离公式，得x －2＋y －2＝－2＋－2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线．即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为圆A 的一直径的两个端点．因为点B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)．又因为点B ，C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．。

高中数学第二章平面解析几何初步 2.2.1 第1课时圆的标准方程学案苏教版必修2

第1课时圆的标准方程学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.知识点一圆的标准方程思考1 确定一个圆的基本要素是什么？思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x －1)2＋(y－2)2＝4来表示？梳理(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫做以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.知识点二点与圆的位置关系思考点A(1,1)，B(4,0)，C(2，2)同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则OA，OB，OC同圆的半径r＝2是什么关系？梳理点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法类型一求圆的标准方程命题角度1 直接法求圆的标准方程例1 (1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C 的标准方程为________________.(2)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________________. 反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.(2)在确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.跟踪训练1 已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，求圆C 的标准方程.命题角度2 待定系数法求圆的标准方程例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.反思与感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练2 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程.类型二点与圆位置关系的判定例3 已知两点M(3,8)和N(5,2)，圆C以MN为直径.(1)求圆C的方程；(2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？反思与感悟(1)判断点与圆的位置关系的方法①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可.②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.(2)灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是__________.1.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为____________.2.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是________________.3.已知点M(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________________.4.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为________________.5.求下列圆的标准方程.(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，－4)；(2)过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆.1.判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.2.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心.(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.(3)圆心与切点的连线长是半径长.(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.3.求圆的标准方程常用的方法(1)待定系数法.(2)直接法.答案精析问题导学知识点一思考1 圆心和半径．思考2 能．知识点二思考 OA <2，OB >2，OC ＝2. 题型探究例1 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25跟踪训练1 解设圆心为(a,0)，则a －2＋－2＝a －2＋－2，解得a ＝2，故r ＝－2＋－2＝10.所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10. 例2 解方法一 (待定系数法) 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，－a 2＋－b2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 方法二 (直接法)由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径为r ＝42＋－2＝5.∴圆的标准方程为 (x －4)2＋(y ＋3)2＝25.跟踪训练2 解方法一设所求圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2，－a 2＋－2－b 2＝r 2，－3－a 2＋－4－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1，r ＝5.故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.方法二因为A (0,5)，B (1，－2)，所以线段AB 的中点坐标为(12，32)，直线AB 的斜率为k AB＝－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17(x －12)，即x －7y ＋10＝0.同理可得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0，得圆心坐标为(－3,1)．又圆的半径长r ＝－3－2＋－2＝5，故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25. 例3 解 (1)方法一设圆心为C (a ，b )，半径为r ，则由C 为MN 的中点，得a ＝3＋52＝4，b ＝8＋22＝5，由两点间的距离公式，得r ＝CM ＝－2＋－2＝10.∴所求圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. 方法二 ∵直径所对的圆周角是直角， ∴对于圆上除M ，N 外任意一点P (x ，y )，有PM ⊥PN ，即k PM ·k PN ＝－1， ∴y －8x －3·y －2x －5＝－1(x ≠3且x ≠5)，化简得x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0，即(x －4)2＋(y －5)2＝10.又∵M (3,8)，N (5,2)的坐标满足方程， ∴所求圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. (2)分别计算点到圆心的距离：CP 1＝－2＋－2＝13>10，CP 2＝－2＋－2＝10， CP 3＝－2＋－2＝8<10，因此，点P 2在圆上，点P 1在圆外，点P 3在圆内．跟踪训练3 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 当堂训练1．(1，－5)， 3 2.x 2＋(y －2)2＝1 3．[0,1) 4.x －y ＋3＝05．解 (1)由题意知，AC 为直径，则AC 的中点为圆心， ∴圆心坐标为(4,1)，半径为r ＝AC 2＝－2＋＋22＝1042＝26， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝26.(2)由几何知识知，CD 的垂直平分线经过圆心，由k CD ＝3－11－－＝1，CD 的中点坐标为(0,2)，∴CD 的垂直平分线方程为y ＝－x ＋2. 则圆心坐标为(2,0)，r ＝－1－2＋－2＝10，∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.。

高中数学第2章平面解析几何初步2.2.2圆的一般方程学案(无答案)苏教版必修2(2021学年)

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高中数学第二章平面解析几何初步 2.2.1 圆的方程(第1课时)学案(无答案)苏教版必修2(2

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课题:2.2.1 圆的方程（第1课时）班级姓名学号组别1．认识圆的标准方程，并掌握推导圆的方程的思想方法；2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程。

圆的标准方程的推导步骤以及根据具体条件正确写出圆的标准方程运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题※复习回顾 (复习回顾上节课的重点、难点)※预习检测一．阅读教材P107-108，完成下列问题:1、曲线的方程实质上是求曲线上任意一点的坐标所满足的等量关系；2、圆是的集合；定点是定长是．3、写出建立圆心在原点(0,0)，半径为r的圆的方程的四个步骤：4、同理可求得：以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为：．5、单位圆是指圆心为,半径为的圆；其方程为：． 6、你所知道的圆中与弦、切线有关的几何性质．二．课前练习1. 分别写出下列圆方程所表示圆的圆心与半径:⑴22(2)(3)7x y -+-=； ⑵22(5)(4)18x y +++=;⑶22(1)3x y ++=； ⑷22144x y +=；⑸22(4)4x y -+=2. 求圆心是(2,3)C -，且经过原点的圆的标准方程．3. 求以点(1,2)A为圆心,并且和x轴相切的圆的标准方程。

高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第1课时圆的标准方程学案苏教版必修207221104

高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第1课时圆的标准方程学案苏教版必修2072211041．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点、难点)2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)[基础·初探]教材整理1 圆的定义及标准方程阅读教材P107～P108例1，完成下列问题．1．圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．2．圆的标准方程圆特殊情况一般情况圆心(0,0)(a，b)半径r(r>0)r(r>0)标准方程x2＋y2＝r2(x－a)2＋(y－b)2＝r2备注确定圆的标准方程的关键是确定圆心和半径1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是________．【答案】(2，－3)， 22．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是________．【答案】x2＋y2＝43．以原点为圆心，且过点(2,2)的圆的标准方程为________________．【解析】由题意可设圆的标准方程为x2＋y2＝r2，又(2,2)在圆上，故22＋22＝r2，即r2＝8.故所求圆的标准方程为x2＋y2＝8.【答案】x2＋y2＝8教材整理2 点与圆的位置关系阅读教材P107～P108，完成下列问题．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(×)(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(√)(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(×)(4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(×)2．若点P(－1，3)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝__________.【解析】把点P(－1，3)代入x2＋y2＝m2，得1＋3＝m2，∴m＝2或－2.【答案】2或－2[小组合作型]求圆的标准方程求下列各圆的标准方程．(1)圆心为点C(8，－3)，且经过点P(5,1)；(2)以P1(1,2)，P2(－3,4)为直径的端点．(3)与x轴相交于A(1,0)，B(5,0)两点且半径为 5.【精彩点拨】(1)(2)直接求出圆心半径代入求解；(3)设出圆的标准方程，由已知条件列方程组求解．【自主解答】(1)由题意可知，圆的半径r＝PC＝8－52＋－3－12＝5，所以圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25，(2)由题意可知，P1，P2的中点P的坐标为(－1,3)．又P1P2＝1＋32＋2－42＝25，所以圆的半径为12P 1P 2＝ 5.即所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝5. (3)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5. 因为点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋0－b 2＝5，5－a2＋0－b2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1.所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.法二：由于A ，B 两点在圆上，所以线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识，知这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可以设圆心为C (3，b )，又由AC ＝5，得3－12＋b 2＝5，解得b ＝1或b ＝－1，所以圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.求圆的标准方程的常用方法：(1)待定系数法(代数法)：设出圆的标准方程，方程中有三个未知数a ，b ，r ，根据题目条件列出a ，b ，r 的方程组求解，代数法体现了方程思想．(2)几何法：即利用圆的几何性质直接求出圆心和半径的方法，几何法体现了数形结合的思想．[再练一题]1．已知圆心为C 的圆经过点A (0,2)和B (－3,3)，且圆心C 在直线l ：x ＋y ＋5＝0上．求圆C 的标准方程.【解】法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋5＝0，0－a 2＋2－b 2＝r 2，－3－a 2＋3－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2，r ＝5.∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.法二：因为A (0,2)，B (－3,3)，所以线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，直线AB 的斜率k AB ＝3－2－3－0＝－13，故线段AB 的垂直平分线方程是y －52＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，即3x －y ＋7＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋7＝0，x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－3，－2)．∴圆的半径r ＝AC ＝0＋32＋2＋22＝5，所以圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.圆的方程的实际应用如图2－2－1所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2 m 时，水面宽12 m ，当水面下降1 m 后，水面宽多少m ？(结果保留两位小数)图2－2－1【精彩点拨】由条件，此问题应首先建立坐标系，转化为求圆的方程，再利用条件求水面宽度．【自主解答】以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立直角坐标系如图所示，设圆拱所在圆的圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则A (6，－2)．设圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2，将A (6，－2)代入方程，得r ＝10，∴圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1 m 后，可设点A ′(x 0，－3)(x 0>0)．如图所示，将A ′(x 0，－3)代入圆的方程，求得x 0＝51，∴水面下降1 m ，水面宽为2x 0＝251≈14.28(m)．本题考查应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当的坐标系，利用圆的方程来解决．一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解．[再练一题]2．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3 m，高为3.5 m的货车能不能驶入这个隧道？【解】如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，将x＝3代入得y＝16－32＝7<9＝3<3.5，即在离中心线3 m处，隧道的高度低于货车的高度．因此，该货车不能驶入这个隧道．[探究共研型]点与圆的位置关系探究1 点(1,1)是否在圆(x－1)2＋y2＝2上？【提示】点(1,1)不在圆(x－1)2＋y2＝2上，因为将点(1,1)代入圆的方程左边得(1－1)2＋12＝1≠2.探究2 在探究1中，点(1,1)与圆(x－1)2＋y2＝2是什么关系？【提示】点(1,1)在圆内．探究3 如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？【提示】将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2，点A在圆上；若(m －a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－b)2>r2，点A在圆外．已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．【精彩点拨】(1)点在圆上，满足圆的方程求得a值．(2)点在圆内(外)，则点与圆心的距离小于(大于)圆的半径，求a的范围．【自主解答】(1)∵点M(6,9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a＞0，∴a＝10.(2)∵PC＝3－52＋3－62＝13，QC＝5－52＋3－62＝3，PC＞QC，故点P在圆外，点Q在圆内，∴3＜a ＜13.判断点与圆的三种位置关系有两种方法：(1)将所给的点M 到圆心C 的距离与半径r 比较：若CM ＝r ，则点M 在圆上；若CM ＞r ，则点M 在圆外；若CM ＜r ，则点M 在圆内．(2)可用圆的标准方程来确定．点M (m ，n )在圆C 上⇔(m －a )2＋(n －b )2＝r 2；点M (m ，n )在圆C 外⇔(m －a )2＋(n －b )2＞r 2；点M (m ，n )在圆C 内⇔(m －a )2＋(n －b )2＜r 2.[再练一题]3．已知两点M (3,8)和N (5,2)． (1)求以MN 为直径的圆C 的方程；(2)试判断P 1(2,8)，P 2(3,2)，P 3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？【解】 (1)法一：设圆心C (a ，b )，半径r ，则由C 为MN 的中点得a ＝3＋52＝4，b ＝8＋22＝5，由两点间的距离公式得r ＝CM ＝4－32＋5－82＝10.∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. 法二：∵直径所对的圆周角是直角，∴对于圆上除M ，N 外任意一点P (x ，y )，有PM ⊥PN ，即k PM ·k PN ＝－1， ∴y －8x －3·y －2x －5＝－1(x ≠3且x ≠5)．化简得x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0，即(x －4)2＋(y －5)2＝10.又∵M (3,8)，N (5,2)的坐标满足方程， ∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. (2)分别计算点到圆心的距离CP 1＝4－22＋5－82＝13>10， CP 2＝4－32＋5－22＝10， CP 3＝4－62＋5－72＝8<10 ，因此，点P 2在圆上，点P 1在圆外，点P 3在圆内．1．已知两圆C 1：(x －5)2＋(y －3)2＝9和C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________．【解析】 C 1(5,3)，C 2(2，－1)， |C 1C 2|＝5－22＋3＋12＝5.【答案】 52．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)与圆的位置关系是________．【解析】 (3－2)2＋(2－3)2＝2<4. ∴P 点在圆内．【答案】 P 点在圆内3．圆心在第二象限，半径为1，并且与x ，y 轴都相切的圆的方程为________. 【解析】由条件知，|a |＝|b |＝r ＝1. ∵圆心在第二象限，∴a ＝－1，b ＝1， ∴所求的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1. 【答案】 (x ＋1)2＋(y －1)2＝14．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程是________．【解析】由题意，设所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2，则有(－1－2)2＋(1＋3)2＝r 2，即r 2＝25，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝255．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)． (1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程．【解】 (1)PQ 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x . (2)由条件设圆的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝1，由圆过P ，Q 点得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋b 2＝1，a 2＋1－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.所以圆C 的方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.。

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