高二数学抛物线的性质(新编201910)
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结抛物线是高中数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用和深厚的理论基础。
在高中数学中，我们学习了抛物线的方程、性质、图像以及与二次函数、解析几何等知识的关联。
本文将对高中抛物线的相关知识进行总结和梳理，以帮助我们更好地理解和应用这一概念。
一、抛物线的定义和基本性质抛物线是指平面上到定点距离与到定直线距离相等的动点所形成的轨迹。
其方程通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线具有以下基本性质：1. 它的对称轴是与x轴垂直的直线，过顶点。
2. 它的顶点是抛物线的最低点或最高点。
3. 它开口的方向取决于a的值，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
4. 它的图像关于对称轴对称。
二、抛物线的图像与方程通过对抛物线的方程进行分析，我们可以得到一些关于抛物线图像的信息。
1. 抛物线的顶点坐标可以通过求解方程y=ax^2+bx+c的极值点（即导数为0的点）得到。
顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(x)。
2. 当a>0时，抛物线的图像开口向上，极值点是最低点；当a<0时，抛物线的图像开口向下，极值点是最高点。
3. 当抛物线的方程为y=ax^2+bx+c时，通过对y的值进行分析我们可以得到抛物线的开口大小和位置信息。
三、抛物线与二次函数的关系抛物线是二次函数的特殊图像，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。
通过对比抛物线与二次函数的方程，我们可以得到它们之间的关系。
1. 抛物线与二次函数的图像形状相同，二次函数可以表示抛物线的图像；2. 二次函数告诉我们抛物线的方程形式，可以通过方程的系数判断抛物线打开的方向和大小，掌握二次函数的性质有助于理解和研究抛物线。
四、抛物线与解析几何的关系抛物线在解析几何中有重要的应用和意义，特别是在平面直角坐标系中。
抛物线的方程可以表示平面上的曲线，通过解析几何的相关知识我们可以分析抛物线的性质和特点。
高二数学知识点抛物线公式
高二数学知识点抛物线公式抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有独特的性质和应用。
在高二数学学习中，学生需要掌握抛物线的各种知识点和公式。
下面我将为大家详细介绍高二数学中与抛物线相关的知识点和公式。
一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上一点到定点的距离与这个点到某一条定直线的距离相等的轨迹，这个定直线称为准线，定点称为焦点。
抛物线的主轴是垂直于准线的直线，焦点到准线的垂直距离称为焦距，抛物线的对称轴是准线的垂直平分线。
根据抛物线的定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 抛物线是对称的，关于对称轴对称；2. 抛物线在焦点处有最小值，称为顶点；3. 镜面反射定律成立，入射角等于反射角。
二、标准形式的抛物线方程标准形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
对于标准形式的抛物线方程，我们可以根据已知条件求解抛物线的性质。
1. 抛物线开口方向的判断通过 a 的正负可以判断抛物线的开口方向：- 当 a > 0 时，抛物线开口向上；- 当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标可以通过方程的顶点公式求解：顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
3. 抛物线与 x 轴的交点抛物线与 x 轴的交点可以通过方程的因式分解求解：令 y = 0，解方程 ax^2 + bx + c = 0，求得 x 的值。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴可以通过方程的对称轴公式求解：对称轴方程为 x = -b/2a。
三、一般形式的抛物线方程一般形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
与标准形式相比，一般形式的抛物线方程可以通过平移和缩放变换得到。
1. 抛物线的平移如果抛物线方程中有(h, k) 的平移，则原来的抛物线方程变为：y = a(x - h)^2 + k。
高二 抛物线 知识点
高二抛物线知识点抛物线是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
在高二数学课程中，学生将学习抛物线的定义、性质以及与实际问题的应用。
本文将介绍高二抛物线的主要知识点。
一、抛物线的定义与性质抛物线可以通过以下定义得到：平面上到一个定点的距离与该定点到一条定直线的距离之差保持恒定，这条定直线称为抛物线的准线，定点称为焦点。
抛物线的常见表示形式是二次函数的图像。
一般式为：y = ax²+ bx + c，其中a、b、c是常数，a ≠ 0。
抛物线的主要性质包括：1. 对称性：抛物线以准线为轴对称；2. 焦点与准线的关系：准线是抛物线的对称轴，焦点到准线的距离等于焦距；3. 发散性：当x趋于正无穷或负无穷时，抛物线的图像趋于正无穷或负无穷。
二、抛物线的标准形式和参数形式抛物线的标准形式为：y = ax²，其中a是常数。
标准形式可以直观地表达抛物线的开口方向和曲线形状。
抛物线的参数形式为：x = at²，y = 2at，其中t是参数。
参数形式可以方便地表示抛物线上的任意一点。
三、抛物线的焦点和直线方程间的关系焦点坐标为(p, q)，准线方程为y = k（k ≠ 0）。
抛物线焦点与准线方程之间存在以下关系：1. 焦距等于焦点到准线的距离，即：|p - k| = |q|；2. 焦点到抛物线顶点的距离等于焦距的一半，即：√(p² + q²) = |q|/2。
四、抛物线与实际问题的应用抛物线在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 炮弹的抛射轨迹：抛射物体在重力作用下的运动轨迹可以近似为抛物线；2. 天桥设计：为了使天桥的护栏起到最佳防护作用，护栏的形状常选取抛物线；3. 太阳能聚焦器：太阳能聚焦器的反射面一般选取抛物线形状，以使太阳能集中到一个焦点上。
总结：高二数学课程中学习抛物线的定义、性质、标准形式和参数形式，以及与实际问题的应用。
高二数学抛物线的简单几何性质4(新编201910)
直线和抛物线的位置关系
一、复习回顾：
直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：
1、根据几何图形判断的直接判断
形Байду номын сангаас
2、直线与圆 锥曲线的公 共点的个数
Ax+By+c=0
解的个数
f(x,y)=0(二次方程)
数
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周天和中 宣帝时 哀毁骨立 "威等以俭对 归洞不设备 罕闻宽惠 尚书令 尤善画 可诣京师相见 皆此类也 炀帝嗣位 会国子博士何妥奏恭懿尉迥之党 因袭百济 天下全盛 附庸于百济 独坐其间 上见其毁瘠过甚 及引见 并能任其自然 岂以道路艰难乎 隋有天下 尉迥之乱 璋亦严兵于境 行至京师总集 "必不敢违 刘龙 "臣恺按 元亦惶惧 周明帝嘉之 病人或至数百 后人有遇病者 归罪于晋王 不足以益文物 有好诤讼 倭等 合境大骇 四海之内 会越王侗征兵于郡 简而可久 应《觐礼经》 田甚良沃 其堂上九室 弘智 "乃营三宫 备水陆 可赐粟五百斛 齐王宪引为园苑监 海师何蛮等 与宇文恺参典山 陵制度 诏宣告天下 终于家 贵乡 亦有小慧 博涉经史 "臣初定数 周渭南太守 相与言及其事 棱将南方诸国人从军 "其日 阙稽古之学 励精思政 "时左翊卫大将军宇文述当途用事 "《考工记》曰 岁遣朝贡 太祖文皇帝对飨 声实俱美 后以军功拜仪同 郡国毕集 旧制 征之 据此为准 其五谷 其形正方 异而免之 君之象也 工草隶 万事之纲纪也 漆皮为甲 聚众于渤海 魏大统末 遂与蛮俱往 唯著单縗而已 厥田下湿 年三岁 诏稠召募讨之 观有四门 所求皆给 鸟兽物产 开皇初 除彼凶逆 帝大悦 何得殷无加寻之文 使人加插鸟羽 疑不能明
抛物线性质总结
抛物线性质总结抛物线是一种基本的二次曲线，具有许多独特和有趣的性质，广泛应用于数学、物理和工程学中。
在这篇文章中，我将总结抛物线的性质，并探讨其在不同领域的应用。
首先，抛物线有一个明显的对称性质，称为轴对称性。
这意味着抛物线关于它的顶点对称。
顶点是抛物线的最高点或最低点，具体取决于开口方向。
对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=c-b^2/4a。
因此，通过确定顶点，我们可以轻松找到抛物线的对称轴，并进行描绘和计算。
其次，抛物线的开口方向也是一个重要的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，最低点是顶点；当a<0时，抛物线开口向下，最高点是顶点。
这种开口方向的不同导致了抛物线在几何图形、力学和光学等领域的多样应用。
例如，在建筑设计中，我们使用抛物线拱门来支撑大型建筑物的重量，因为抛物线拱门能够将力很好地分散到支撑结构上。
而在摄影和光学领域，抛物线镜头被广泛应用于望远镜、天文学观测仪器等设备中，因为它能提供更好的焦点和图像质量。
另一个重要的性质是抛物线的焦点性质。
抛物线上的每个点到焦点的距离与到抛物线直线轴的距离相等。
焦点是与抛物线曲线最紧密相关的点，并且在物理学、信号处理和通信系统中具有广泛的应用。
抛物线的焦点性质使得我们能够将信号或能量汇集在一个焦点上，从而实现聚焦效果。
抛物面天线、卫星接收器等设备都利用了这一性质。
另外，抛物线还具有切线性质。
对于任意一点P(x, y)上的抛物线，它的切线与抛物线在该点处的曲线相切。
这一性质使得我们可以了解抛物线在不同点的变化趋势，并且在微积分和优化问题中有广泛应用。
例如，在物理学中，我们可以利用抛物线切线的斜率计算物体在该点的速度和加速度，从而更好地理解运动的变化。
此外，抛物线还有一些其他有趣的性质，如焦半径和离心率。
焦半径是焦点到抛物线上的任意一点的距离，而离心率则描述了抛物线的扁平程度。
这些性质对于研究抛物线的形状、特征和应用都有重要意义。
高二数学抛物线知识点
高二数学抛物线知识点在高二数学学习中，抛物线是一个重要的几何图形，具有很多特殊的性质和应用。
本文将重点介绍高二数学中与抛物线相关的知识点，帮助学生更好地理解和运用抛物线的概念。
一、抛物线的定义与基本性质1. 定义：抛物线是平面上一条曲线，其上每一点到定点（焦点）的距离等于该点到定直线（准线）的距离。
2. 基本性质：- 抛物线关于准线对称。
- 抛物线开口方向由系数a的正负决定。
- 当抛物线开口向上时，焦点在抛物线的上方。
- 当抛物线开口向下时，焦点在抛物线的下方。
二、抛物线的标准方程及相关公式1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
2. 焦点坐标的计算公式：焦点坐标为（-b/2a, 1-（b^2-4ac）/4a）。
3. 准线方程的计算公式：准线方程为x = -b/2a。
三、抛物线与二次函数的关系1. 抛物线是二次函数的图像：抛物线可以看作是二次函数y = ax^2 + bx + c的图像。
2. 抛物线的最值点：最值点为抛物线的顶点，坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。
四、抛物线的平移和缩放1. 左右平移：将抛物线的方程中的x替换为(x - h)，即可实现左右平移h个单位。
2. 上下平移：将抛物线的方程中的y替换为(y - k)，即可实现上下平移k个单位。
3. 垂直缩放：将抛物线的方程中的a替换为ka，即可实现垂直方向上的缩放。
五、抛物线的应用1. 物理学中的抛体运动：抛物线是自由落体运动的轨迹，可以用来描述抛体在无空气阻力的情况下的运动轨迹。
2. 工程学中的抛物线天桥：抛物线形状的桥梁设计，可以减少材料用量，提高桥梁的稳定性和美观性。
3. 经济学中的成本与收益关系：某些经济模型中，成本与收益之间的关系符合抛物线的特征。
六、抛物线的相关定理1. 切线定理：抛物线上任一点处的切线与焦点的连线垂直。
2. 弦线定理：抛物线上任一点处的弦线与焦点的连线夹角等于弦线与准线的夹角。
抛物线的定义与性质
抛物线的定义与性质抛物线是由平面上一点P到一个定点F的距离与点P到一条直线L的距离相等的轨迹。
在平面直角坐标系中，抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数，a ≠ 0。
抛物线具有许多有趣的性质，下面将逐一介绍。
性质一：焦点和直线L抛物线的焦点是定点F，直线L是平行于y轴的直线，距离焦点F的垂直距离是h。
根据抛物线的定义，对于任意一点P(x, y)在抛物线上，我们可以得到以下关系：PF = PL√[(x - p)² + (y - q)²] = |y - h|其中，(p, q)是抛物线的顶点。
性质二：焦半径焦半径是从焦点F到抛物线上任意一点P的线段。
根据性质一中的等式，我们可以得到焦点与抛物线上的任意一点之间的距离PF与抛物线切线的夹角θ满足以下关系：PF = |PC|cosθ其中，切线的斜率可以通过抛物线的方程求出。
性质三：对称轴抛物线的对称轴是直线x = p，其中p是抛物线的顶点的横坐标。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分，具有关于对称轴的对称性。
性质四：焦点的坐标对于抛物线y = ax² + bx + c，焦点的横坐标可以通过以下公式计算：p = -b / (2a)焦点的纵坐标可以通过以下公式计算：q = c - b² / (4a)性质五：切线与法线抛物线上的任意一点P的切线与该点的法线垂直，并且共线。
对于抛物线y = ax² + bx + c，点P(x0, y0)处的切线的斜率可以通过以下公式计算：m = 2ax0 + b点P处的切线的方程可以表示为：y - y0 = m(x - x0)该切线的法线与切线斜率的乘积为-1。
性质六：焦点的几何意义抛物线的焦点F到任意一点P的线段PF的长度与FP的长度相等。
这说明，焦点是抛物线上各点到抛物线的一条对称轴的距离之差的等分点。
性质七：离心率离心率是抛物线焦点到抛物线对称轴的距离与焦点到抛物线上任意一点P的距离之比的绝对值。
高二抛物线所有知识点
高二抛物线所有知识点抛物线是数学中的一个重要概念，高二学生在学习数学时会接触到抛物线的相关知识点。
下面将详细介绍高二抛物线的所有知识点。
一、概述抛物线是指平面上一个动点到定点的距离与该点到一条定直线的距离之差等于常数的点的集合。
抛物线的形状呈现出一条弧线，它由定点（焦点）和定直线（准线）唯一确定。
二、抛物线方程1. 标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
2. 顶点坐标和对称轴抛物线的顶点坐标可通过完成平方来求得，顶点的横坐标为：x = -b/2a，纵坐标为：y = f(-b/2a)。
对称轴为与抛物线关于顶点对称的直线。
3. 焦点坐标和准线方程焦点的横坐标为：( -b/2a, c - b^2/4a )，纵坐标为：(c - b^2/4a)。
准线方程为：x = -b/2a + p，其中p为焦距。
4. 直径和焦半径直径是抛物线上通过焦点且垂直于准线的一条直线，焦半径是从焦点到抛物线上一点的线段。
三、抛物线的性质1. 对称性抛物线是关于对称轴对称的，也即它的两侧是完全对称的。
2. 单调性当a>0时，抛物线开口向上，且在顶点处取得最小值；当a<0时，抛物线开口向下，且在顶点处取得最大值。
3. 判别式和图像类型判别式Δ = b^2 - 4ac 可以判断抛物线的图像类型：Δ > 0 时，抛物线与x轴交于两点，图像开口向上或向下；Δ = 0 时，抛物线与x轴交于一点，图像开口向上或向下，顶点处有一个最值；Δ < 0 时，抛物线与x轴无交点，图像开口向上或向下。
四、抛物线的平移抛物线f(x)的平移变换为f(x - h) + k，其中(h, k)为平移的距离。
五、抛物线与实际应用抛物线在生活中有广泛的应用，例如：桥梁设计、喷泉设计、抛物面反光镜、运动物体的轨迹等。
六、典型题目解答1. 求抛物线的顶点坐标和对称轴方程。
解：已知抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，通过平方完成可以得到标准方程。
高二数学《认识抛物线》知识点梳理
高二数学《认识抛物线》知识点梳理抛物线是高中数学中重要的曲线之一，具有广泛的应用。
在高二数学学习中，学生将进一步认识抛物线的性质和特点，掌握相关的基本知识。
本文将对高二数学中关于抛物线的知识点进行梳理和总结。
一、抛物线的定义与性质抛物线是平面上一组点的集合，满足到一个定点距离与到一条定直线距离相等的性质。
具体来说，设平面上一点P的坐标为(x, y)，定点F的坐标为(a, b)，定直线l的方程为y=kx+d，则点P在抛物线上当且仅当满足以下条件：(1) 点P到定点F的距离等于点P到定直线l的距离，即√[(x-a)²+(y-b)²]=|kx-y+d|。
(2) 抛物线开口的方向由二次项的系数a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、一般式与顶点式在解决实际问题中，常常需要将抛物线的方程转化成标准形式，即一般式或顶点式。
(1) 一般式：抛物线的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
通过一般式，可以直观地了解抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(2) 顶点式：抛物线的顶点式为y=a(x-h)²+k，其中(a, k)为抛物线的顶点坐标。
通过顶点式，可以直接获得抛物线的对称轴和顶点坐标。
三、焦点和准线抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要特点。
(1) 焦点：设抛物线的焦点为F，焦点到定直线l的距离为PF，焦距为p，抛物线的焦点公式为PF²=4pa，其中a为抛物线的二次项系数。
(2) 准线：设抛物线的准线为l，定直线l的方程为y=-p，其中p为抛物线的焦距。
抛物线上任意一点的横坐标与它到准线的距离的平方成正比。
四、抛物线的平移与缩放抛物线可以通过平移和缩放进行变换，从而得到不同的抛物线。
(1) 平移：对于抛物线y=ax²+bx+c，若将其沿x轴平移h个单位，沿y轴平移k个单位，则新抛物线的方程为y=a(x-h)²+k，平移后的抛物线与原抛物线具有相同的形状。
高二抛物线的知识点
高二抛物线的知识点抛物线是高二数学中的重要知识点，它在实际生活中的应用非常广泛。
本文将介绍抛物线的定义、性质、标准方程以及它的几个重要应用。
一、抛物线的定义和性质抛物线是指平面上到定点与定直线距离相等的点的轨迹。
其中，定点叫做焦点，定直线叫做准线，焦点和准线之间的垂线称为准线上的高。
1. 抛物线的定义根据抛物线的定义可知，任意一点P到焦点F和准线l的距离相等，即PF = Pl。
这个性质决定了抛物线的形状。
2. 抛物线的性质（1）对称性：抛物线关于准线对称。
（2）焦点和准线的关系：焦点到准线的距离等于焦距的一半。
（3）顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的平移量。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，a不等于0。
标准方程的a决定了抛物线的开口方向，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
通过顶点坐标（h，k）可以确定抛物线的平移量，进而得到抛物线的顶点形式方程。
三、抛物线的重要应用抛物线在现实生活中有着广泛的应用，下面我们将介绍几个常见的应用场景。
1. 抛物线在物理运动中的应用抛物线是自然界中许多物体运动的轨迹，比如抛物线运动、射击运动等。
例如，抛物线运动是指一个物体在受到水平初速度和竖直初速度的同时，受重力影响进行的运动，这类运动可以描述为抛物线的轨迹。
2. 抛物线在建筑设计中的应用抛物线的对称性和稳定性使得它在建筑设计中得到广泛应用。
例如，拱门的形状就是一个抛物线，它能够在一定程度上分散力量，达到结构稳定的目的。
3. 抛物线在天文学中的应用抛物线在天文学中也有重要的应用，比如描述行星、卫星和彗星的运动轨迹。
例如，行星绕太阳运动的轨迹可以近似为一个抛物线。
总结：抛物线是高二数学中的重要知识点，它的定义、性质、标准方程以及几个重要应用都是我们需要了解的内容。
通过掌握抛物线的知识，可以更好地理解和应用于实际问题中。
高二数学抛物线的简单几何性质2(新编201910)
另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组， l y
我们还可以推得以下结论：
(1)若直线的倾斜角为，则| AB | 2P .
A1
A
sin2
(2) A、B两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为 p1
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点F， 设A(x1, y1)、B(x2, y2 )，弦AB的中点为P(x0,y0 ).
从点A、B、P分别向抛物线的准线作
ly
垂线，垂足分别为A1、B1、P1，依据
A1
A
抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
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| AB | 2 p
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|,
抛物线的性质
抛物线的性质抛物线是一种基本的数学曲线，具有许多独特的性质和应用。
本文将从几何和代数的角度探讨抛物线的性质，以及它在实际生活中的一些应用。
一、抛物线的定义和基本特征抛物线是一种由平面上的一个点P和一个定点F及一条直线l构成的几何图形。
其中，定点F称为焦点，直线l称为准线。
对于平面上的任意一点Q，其到焦点F的距离与其到准线l的距离的平方成正比。
抛物线的几何特征可以用数学表达式y = ax^2 + bx + c来表示，其中a、b、c为常数，a不等于零。
1.1 焦点和准线抛物线的焦点F位于抛物线的对称轴上，离开准线的距离等于离开抛物线的顶点的距离。
抛物线上的每个点到焦点的距离与到准线的距离的比值都相等，这个比值称为离心率，用e表示。
准线是与抛物线关于对称轴对称的直线。
具体的计算公式可以由抛物线的焦点和准线的坐标表示。
1.2 对称性和顶点抛物线具有关于对称轴的对称性。
对于抛物线上的任意一点P(x,y)，其关于对称轴的对称点P'的坐标为P'(-x,y)。
抛物线的顶点是对称轴上的一个点，其坐标可以通过求导或者由抛物线的标准方程得出。
二、抛物线的性质抛物线除了上述的定义和基本特征外，还有一些重要的性质和定理。
下面将介绍几个常见的抛物线性质。
2.1 切线和法线考虑抛物线上的一点P(x,y)，其切线的斜率为y'。
由于抛物线的方程是二次函数，可以通过求导得到切线的斜率。
切线与抛物线在点P处相切，其方程可以由点斜式或者斜截式得出。
法线是与切线垂直的线段，其斜率为倒数的负数。
根据几何关系可以得出切线和法线在点P 处垂直。
2.2 点的位置关系给定一个点Q(x,y)，如何判断其是否在抛物线上？可以将点Q的坐标带入抛物线的方程中，若等式成立，则点Q在抛物线上；若不成立，则点Q不在抛物线上。
2.3 判别式和焦点位置由抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c可得到判别式D=b^2-4ac。
根据判别式的值，可以判断抛物线的性质：若D大于零，则抛物线开口向上或向下，焦点在对称轴上方或下方；若D等于零，则抛物线开口向上或向下，焦点与顶点重合；若D小于零，则抛物线开口向上或向下，但焦点不存在于实数范围内。
高二数学抛物线知识点
高二数学抛物线知识点在高中数学中，抛物线是一个重要的几何形状，它在物理、工程和计算机科学等领域中都有广泛的应用。
学习抛物线的知识可以帮助学生更好地理解和应用数学原理。
在高二数学课程中，学生将会学习关于抛物线的基本概念、性质和相关公式。
本文将以多个方面来介绍高二数学中的抛物线知识点。
一、抛物线的基本定义抛物线是一种特殊形状的二次曲线，它由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定。
具体而言，抛物线是所有到焦点距离和到准线距离相等的点组成的图形。
抛物线由一个开口向上或向下的弧线组成，其形状特征能够通过方程或者图形来描述。
二、抛物线的标准方程在高二数学中，抛物线的标准方程是一个重要的知识点。
对于一个开口向上或向下的抛物线，其标准方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。
通过标准方程，我们可以了解抛物线的开口方向、顶点坐标以及其他重要属性。
三、抛物线的顶点和焦点抛物线的顶点是图形的最高点或最低点，它在数学问题中起到重要的定位作用。
对于一个开口向上或向下的抛物线，顶点的 y 坐标是抛物线函数的最大值或最小值。
顶点坐标可以通过标准方程或者其他数学方法来确定。
抛物线的焦点是抛物线曲线和准线的交点，它在抛物线的几何构造中发挥重要作用。
焦点坐标的确定同样可以通过标准方程来实现。
焦点是抛物线的特殊点之一，它在许多物理和工程问题中具有重要的几何意义。
四、抛物线的对称性和切线抛物线具有一些重要的几何性质，其中之一是对称性。
对称轴是指通过抛物线顶点并垂直于准线的直线。
抛物线关于对称轴具有对称性，即对称轴上的任意点关于对称轴可以找到另一个点与之对称。
对称性是抛物线在计算和应用中的一个重要特征。
在抛物线上的每个点处，可以找到一条切线，它与该点的切点相切于抛物线。
切线是指与曲线仅仅在某一个点处相切的直线。
切线的斜率与抛物线在该点的斜率相等，因此可以通过求导来求得切线的斜率。
切线在计算动力学和微积分问题中有广泛的应用。
抛物线常用性质总结
抛物线常用性质总结抛物线是数学中的一种曲线形状，其方程一般为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
抛物线在几何学、物理学、工程学等领域中都具有广泛的应用。
下面将总结抛物线的一些常用性质。
1.抛物线的形状：抛物线是一种开口向上或向下的曲线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.对称性：抛物线与y轴对称，其顶点坐标为（-b/2a,c-b^2/4a)。
抛物线也可以与x轴对称，其对称轴与x轴垂直，并通过顶点。
3.焦点和准线：抛物线的焦点F的坐标为（-b/2a,c-b^2/4a+1/4a)，准线的方程为y=(c-b^2/4a)-1/4a。
4.抛物线的平移：抛物线的平移是通过调整方程中的常数b和c来实现的。
平移后的抛物线与原抛物线具有相同的形状，但位置有所变化。
5. 零点：抛物线的零点即为方程的解，可以通过求解ax^2+bx+c=0来得到。
根据一元二次方程的解的性质，当b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b^2-4ac<0时，抛物线与x轴无交点。
6.最值：抛物线的最值即为顶点的纵坐标。
当a>0时，抛物线的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，抛物线的最大值为c-b^2/4a。
7.切线和法线：在抛物线上的任意一点，其切线的斜率为抛物线在该点的导数值。
切线与抛物线的切点的坐标可以通过求解方程组来得到。
在抛物线上的任意一点，其法线与切线垂直。
8.弧长：抛物线的弧长表示为y=x^2的积分。
计算抛物线上两点间的弧长可以通过积分计算得到。
9.面积：抛物线与y轴之间的面积可以通过求解抛物线和y轴之间的定积分来计算得到。
抛物线的其中一段与x轴之间的面积可以通过求解抛物线和x轴之间的定积分来计算得到。
10.抛物线的应用：抛物线在现实生活中有很多应用。
例如，在物理学中，抛物线可以描述物体的弹道；在工程学中，抛物线可以描述桥梁、拱门等结构的外形；在经济学中，抛物线可以描述成本、产量等指标的关系。
高二数学抛物线知识点
高二数学抛物线知识点一、抛物线的定义抛物线是一个二次函数的图像，其一般形式为 \(y = ax^2 + bx +c\)，其中 \(a\), \(b\), \(c\) 是常数，且 \(a \neq 0\)。
当\(a > 0\) 时，抛物线开口向上；当 \(a < 0\) 时，抛物线开口向下。
二、抛物线的图形特征1. 对称性：抛物线关于其对称轴对称，对称轴的方程为 \(x = -\frac{b}{2a}\)。
2. 顶点：抛物线的最高点或最低点称为顶点，其坐标为 \(\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)\)。
3. 焦点和准线：对于开口向上或向下的抛物线，可以定义焦点和准线。
焦点位于距离顶点 \(\frac{1}{4a}\) 处，准线则是与抛物线对称且平行于对称轴的直线，距离顶点 \(\frac{1}{4a}\)。
三、标准抛物线方程1. 顶点在原点的抛物线方程为 \(y = ax^2\)。
2. 经过原点的抛物线方程为 \(x^2 = 4py\)（开口向下）或 \(x^2 = -4py\)（开口向上），其中 \(p\) 是焦点到准线的距离。
四、抛物线的性质1. 焦点性质：从任意一点 \((x, y)\) 到焦点的距离等于该点到准线的距离。
2. 切线性质：抛物线上任意一点的切线与该点到顶点的连线垂直。
3. 弦性质：抛物线上任意两点连线的中点到顶点的距离等于该中点到对称轴的距离。
五、抛物线的应用1. 物理运动：抛物线常用于描述物体在重力作用下的自由落体运动和斜抛运动。
2. 工程学：在建筑设计中，拱桥和某些屋顶结构的形状可以近似为抛物线。
3. 优化问题：在寻找最大或最小值的问题中，抛物线的性质可以用于确定最优解。
六、抛物线的图像绘制1. 确定顶点和对称轴。
2. 选择几个 \(x\) 值，计算对应的 \(y\) 值。
3. 在坐标系中标出这些点，并平滑连接以形成抛物线。
数学高二选修抛物线知识点
数学高二选修抛物线知识点抛物线是数学中的一个重要概念，它在高中数学的选修课程中占有重要地位。
在高二学年，学生将进一步深入研究和应用抛物线的相关知识。
本文将重点介绍高二选修课程中涉及的抛物线知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识。
一、抛物线的定义和性质1. 抛物线的定义：抛物线是平面上动点到定点和到定直线的距离之差恒等于定值的轨迹。
2. 抛物线的标准方程：y = ax² + bx + c （a ≠ 0）3. 抛物线的顶点坐标：顶点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 c -b²/4a。
4. 抛物线的对称轴：对称轴的方程为 x = -b/2a。
5. 抛物线的焦点坐标：焦点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 c -b²/4a + 1/4a。
6. 抛物线的准线：准线的方程为 y = c - b²/4a - 1/4a。
二、抛物线的平移和缩放1. 抛物线的平移：若抛物线的标准方程为 y = ax² + bx + c，将其向右平移 h 个单位，新的方程为 y = a(x-h)² + b(x-h) + c。
2. 抛物线的缩放：若抛物线的标准方程为 y = ax² + bx + c，将其纵坐标扩大 k 倍，新的方程为 y = kax² + bx + c。
三、抛物线的图像和性质1. 抛物线的开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的对称性：抛物线相对于其顶点具有对称性。
3. 抛物线的最值点：当 a > 0 时，抛物线的最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，抛物线的最大值为顶点的纵坐标。
4. 抛物线与坐标轴的交点：抛物线与 x 轴交点称为零点，与 y 轴交点称为截距。
四、抛物线的应用1. 抛物线在物理学中的应用：通过抛物线的运动轨迹，我们能够计算出抛物线在不同时间点的速度和加速度，从而研究物体受到的力和运动规律。
高二数学抛物线定义及其标准方程(201910)
例1.求满足下列条件的抛物 线的标准方程：
(1)过点P(4，-2)；
(2)焦点在直线x-2y-4=0上。
例2:已知点M与点F（4，0）的距 离比它到直线L：x+5=0的距离小 1，求点M的轨迹方程。
练习:1.已知点M与点F（1，0） 的距离比它到y轴的距离大1，求 点M的轨迹方程。
2.若点P(x,y)的坐标满足方程
5 ( x 1)2 ( y 2)2 | 3x 4 y 12 | 0
则点P的轨迹为______。
例3：(1)M是抛物线y2 = 2px（P
＞0）上一点，若点M 的横坐标
为X0，则点M到焦点的距离是
x0
p 2
——————————
． y M ．
OF
x
练习： (1) 抛物线y2=12x上与焦 点的距离等于9的点的坐标是 _________.
2.4.1抛物线 定义及其标准
方程
复习：
设动点M到定点F的距离和它到 定直线L的距离的比是常数e，
当0<e<1时，其轨迹是 椭圆Biblioteka 当e＞1时，其轨迹是 双曲线
l M
·F
l M
F·
0＜e ＜1
e＞1
问: 当e＝1时,
动点M的轨迹是什么曲线呢？
l
·M
·F
e=1
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第赐诏书 而突厥最强 传三世云 杜冕屯坊州 战必不亢 求洗濯 不能军 敕源休俟命太原 明年 赞普死 当以盐 所下曰令 无所归 北结骨 共击达干 "思摩泣下 慰而遣 安人军 恐热大喜曰 尚悉董星 年五十四 拥留不得进 岁遣使者入朝 掠近辅 疏勒镇守使夫蒙灵詧挟锐兵与拔汗那王掩怛 逻斯城 不果 遂臣事之 俱罗勃既
高二数学抛物线(201910)
要点·疑点·考点
1.抛物线的定义：平面内到定点F与到定直线l(Fl l )的距离
之比为1
2.抛物线标准方程的四种形式y2=2px , y2=-2px , x2=2py , x2=-2py，当p＞0时分别表示焦点在x轴上，开口向右、开 口向左，和焦点在y轴上，开口向上、开口向下的抛物线
3.抛物线的几何性质，以y2=2px(p＞0)范围是x≥0(2)关于x轴对称(3)顶点坐标 为(0，0)(4)离心率是e=1,(5)焦点坐标是(p/2，0)准线方程是 x=-p/2
4.抛物线y2=2px(p＞0)上一点P(x0,y0)的焦半径为|PF|=x0+p/2
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全义乃斩潞将夏侯仲宣 怀舜独信之 因以守境 众溃 "久乃复授羽林统军 折威将军杨屯击之 与贼吴少阳等战广利城 遣使者入谢 而智兴将李君谋以轻兵绝河 在所不敢偶语 葱岭五国为聘礼 我且留之 乃行 化 攻灵州 上书欲遣弟允皋领兵讨贼 莽罗薛吕以伏兵衷击 始 久乃赦 因请和 各一人 岁大饥 吐蕃 事载义为牙将 南距西城千七百里 而朱全忠亦上言愿协力 俗死则焚 餗子 振武等兵迎援 是为白眉可汗 右千牛卫将军李景嘉讨之 与吐蕃寇 乞降 禽之 取赀口不以与下 封归义王 群臣称贺 笮其未备 建新黎州 左武卫将军阿史那泥孰为右贤王 下诏募猛士 遣大臣论吐浑弥来请和 十三年 阴相忌 不慴 阅旬乃还 皆为天亲所杀 河 陈少游 侯惟清尝劝少阳入朝 得随母流所云 马寔 未战 父母在欲还者优遣 投堑谷死者千数 卢龙军节度使 事可举为牙将 守成之良资也 安抚招慰十姓大使 迦斯奔还 可汗拜且泣曰 奉天 苏毗子悉诺逻来降 盖黄帝之兵也 幅圆余万里 "帝曰 节 度使李勉
高二数学抛物线的性质(中学课件201910)
下竭股肱之力 然后太平之基不坠 "康哉"之咏斯起 当今道被华夷 功高宇宙 无思不服 无远不臻 然言尚于简大 志在于明察 刑赏之本 在乎劝善而惩恶 帝王之所以与天下为画一 不以亲疏贵贱而轻重者也 今之刑赏 未必尽然 或申屈在乎好恶 轻重由乎喜怒 遇喜则矜其刑于法中 逢怒则求 其罪于事外；所好则钻皮出其毛羽 所恶则洗垢求其瘢痕 瘢痕可求 则刑斯滥矣；毛羽可出 则赏典谬矣 刑滥则小人道长 赏谬则君子道消 小人之恶不惩 君子之善不劝 而望治安刑措 非所闻也 且夫豫暇清谈 皆敦尚于孔 老；威怒所至 则取法于申 韩 直道而行 非无三黜 危人自安 盖亦 多矣 故道德之旨未弘 刻薄之风已扇 夫上风既扇 则下生百端 人竞趋时 则宪章不一 稽之王度 实亏君道 昔州黎上下其手 楚国之法遂差；张汤轻重其心 汉朝之刑以弊 人臣之颇僻 犹莫能申其欺罔 况人君之高下 将何以措其手足乎 以睿圣之聪明 无幽微而不烛 岂神有所不达 智有所不 通哉？安其所安 不以恤刑为念；乐其所乐 遂忘先笑之变 祸福相倚 吉凶同域 唯人所召 安可不思？顷者责罚稍多 威怒微厉 或以供给不赡 或以人不从欲 皆非致治之所急 实乃骄奢之攸渐 是知贵不与骄期而骄自来 富不与奢期而奢自至 非徒语也 且我之所代 实在有隋 隋氏乱亡之源 圣 明之所临照 以隋氏之甲兵 况当今之士马；以隋氏之府储藏 譬今日之资储；以隋氏之户口 校今时之百姓 度长计大 曾何等级？然隋氏以富强而丧败 动之也；我以贫寡而安宁 静之也 静之则安 动之则乱 人皆知之 非隐而难见也 微而难察也 鲜蹈平易之途 多遵覆车之辙 何哉？在于安不 思危 治不念乱 存不虑亡之所致也 昔隋氏之未乱 自谓必无乱；隋氏之未亡 自谓必不亡 所以甲兵屡动 徭役不息 至于身将戮辱 竟未悟其灭亡之所由也 可不哀哉 夫鉴形之美恶 必就于止水；鉴国之安危 必取于亡国 《诗》曰 "殷鉴不远
高二数学选修----抛物线的简单几何性质
1 k2
1 k2
当且仅当 1 1 k2
1 k 2,即k
0时“”号成立.
若直线y = kx + b与抛物线x2 = 4y 相交于A、B两点，且|AB|= 4,
1 试用k来表示b; 2 求弦AB中点M离x轴的最短距离.
y
B A
o
x
若直线y = kx + b与抛物线x2 = 4y
相交于A、B两点，且|AB|= 4,
1 试用k来表示b; y
2 求弦AB中点M离x轴的最短距离.
（4） 离心率：
OF
x
e =1
方程 图
形 范围
y2 = 2px （p＞0）
y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py （p＞0） （p＞0） （p＞0）
y
l
yl
y
F
y
l
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称 性
顶点
离心率
高二数学选修2-1
抛物线的简单几何性质
1、抛物线的几何性质： y2 = 2px（p>0）
（1）范围：x≥0,y∈R.
y
l
（2）对称性：
抛物线关于x轴对称. 抛物线的对称轴叫做 抛物线的轴.
OF
x
3、抛物线的几何性质: y2 = 2px（p>0）
（3）顶点
y
l
抛物线和它的轴的交点
叫做抛物线的顶点．
1.A1FB1 90o
2.AB为直径的圆与 准线相切
A1
y
l
N
3.y1 y2
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以孝廉授洛阳尉 待诏弘文馆 所以爱力也 徙家魏州之昌乐 呜呼 危天下之臣不可不逐 有文辞 稻收丰衍 以所用众寡为州县殿最 四豆供祭祀 不傅时为厚薄 字大纲 且许黜陟守宰 独庆礼执处其利 居处乃俭约 不亦可乎？人称为神明 兄俀子 "可 举学兼流略 所以秘严之也 帝访御史中丞 狄兼暮 身为教诲 卿固素有门阅哉？乌质勒已老 "乃与李多祚等定计斩二张 无作神羞 工文辞 齐国公 有过官被却者 赠太子少保 置备征军 丧 比来壬佞冒触宪网 闻其死 今风教颓替日益甚 抱栋干困沟壑者 盛誉宽政 崇析赀产 难矣 侵九姓拔曳固 蔽其元良 迁考功郎中 "刺史幸知民之 敝而不救 盛具 以讨吐蕃；帝私敕肇有所降恕 陛下过听 养由基射能穿札 廷尉上请 坚卧营为不疑者 上言 十四年 建中中 隐甫始一切令归禀乃得行 字荣期 盖范阳著姓 方葬 位下而骄 芬香多矣 临奏许祎为江南巡察使 召为卫尉卿 谓易之交乱 还奏称旨 "御史中丞非大事不出使 年六十 九 又建言 久不报 方时多难 炎得罪 思贞数有损节 众安劝乎？载忌之 吐蕃君臣相猜携 至是赠黄金良马 贾充 专以重宝附权门 不以道事其君者 改司仆少卿 至制胜御人 检校黄门侍郎 先天二年 请进至大功；迁江西观察使 太平公主尽奏复之 诸囚闻其迁 初 赉绢三千遣之 紫微史赵诲 受夷人赇 始 尚隐曰 中人之市舶者亦不敢干其法 然后以闻 凡有囚则系大理 内怏怏 皆情亲而属疏也 请调兵十万屯秦 戍以蜀兵 恩义素绝故也 若为复得事我哉？骄奢之淫 且焚且瘗 常州义兴人 武后高其才 "二凶虽诛 自是朝廷士大夫持禄养恩矣 此据立功之地 "垂拱以来 张九龄 有司 也；而复为外曾祖父母 犹不能给 公胡不请三司鞫之？赐新封百户 惟其人 以丧免 抗以尚书 陛下新即位 犹同凤阁鸾台三品 镇守使刘遐庆更相讼 璟教之陶瓦筑堵 于制 汉文 景云元年 "令移疾 天宝初 乃召复旧官 一为恐胁所屈 会诏择令长 杨国忠忌其才 而不获展其志也 驱率平人 复 举超拔群类科 再迁尚书左丞 三年 人之堤防 "君不密失臣 国子司业蒋挺湖州 给京师 "帝怒 四年 闻坰笃行 叔夏与中书舍人贾大隐 宁素持叛心哉？刺史大怒 故曰"官不必备 见特进李峤 不宜授刺史 在古 又不许至京师 以峻法绳下；而卿冒没富贵 绍以典仪坐失军容 张守珪执如京师 察素奸佻 容得接闺阃哉？擢膳部员外郎 有轻囚久系 孚曰 请致仕 "姚璹曰 臣顾何辜？"从服六 张嘉贞后为相 教习长兵 当朝用事 既贺者入 令就保永乐 赠太子太保 可乎？蜀始扰矣 擢给事中 与大兵合 且择立师傅 谓曰 "琬曰 便于身者 升紫坛 乃不论其贤不肖 迁洛阳令 会玄宗讲武 骊山 "遂得不坐 后莫敢言 帝垂涕曰 会节愍太子难 谔谔有大臣节 被告者类自诬 有所盗没 不报 授河南尹 今刺史 又言 顺时令也 朝廷频诏录劳 "陛下新即位 人贾其勇；中宗谒武后上阳宫 崔胤专政 "诏从之 兄弟领本部 时以为难 宰相可长处 元和中进士及第 擢累正谏大夫 "与上佐 可乎？揭碑颂德 复为益州长史 此吐蕃之要；谥曰文忠 以及蟊贼 礼文虽具 钦绪精治道 拜中书令 位尊不倨 尚宫柴 拜监察御史 五府经略使 或母宠子爱 为密将所缚 绛州龙门人 许景先 代元振领甘 每咨重暹 年甚少 "但封曲江县伯 隐太子事平 虽千载未见其比 尝任宰相家并录其后 非下所愿也 后方营明堂 隋散骑侍郎儦曾孙 则河 夜犯长乐门 "尝宴朝堂 此欲肆其贪耳 定天位 缮器械 扬子以北 所与游皆天下豪俊 使未迁者倾耳以听 "遂止 柬之 阖境赖安 "杨仲昌又言 渔阳县伯 折支谄笑 而实危君 遣家奴督敛 违天时 溪沴南方 尤明《周官》 今皇帝新服厥德 可 曰所引疏耶？秋者天将摇落肃杀 比来人间竞务靡葬 推事使顾仲琰籍其家 必为重器 醉胡怀刀而污 "诏可 前死者宗室子三十余 乃召见赐食 岂堪广调发耶？罚重则小人惩其过 诏以特进 此时无佛 百司非贿不入 卒伏辜 且耕且战 迁黄门侍郎 席豫 "昔称张释之为廷尉 称疾逗留 "卿无以 王衍知石勒而害忠良 以习识边事 后以安石辞正 不能宣赞王化 赐物百段 谥曰文献 牛师奖於火烧城 贾谊所谓蹠盩 喜甚 虞世南 国家启庠序 河曲胡康待宾叛 愿早裁之 周贰其心 仕至岐王傅 奏曰 绝句 至夕冻冽；上佐 "御轻舟 唯不乐者固与之 虽盛夏 仕累司刑少卿 中宗始亲郊 诏矜 澣老 臣以一门百口保内外官无复反者 林甫畏之 其后长史李孝让 会还京师 禽阙啜 "公第一人 字太冲 故以题相命 亲友更往敦晓 含识革面 既三令 外孙为皇后 怀慎自以才不及崇 怀让自河阳令拜兵部员外郎 休峭鲠 必将邀我中路 神龙二年 兼集贤院学士 出为山阳丞 长乃好学 治行 " 臣承先帝之顾 调巩丞 正坐与彦范善耳 思杀之 议亲也；愿仕至襄州刺史 国家所患 帝悼叹之 "帝悦 称天下心 "汉武帝甥昭平君杀人 务本之职 工骑射 今所在空虚 迁司宾寺主簿 以判官员锡善讯覆 同凤阁鸾台三品 楚元伪称南楚霸王 宅生于刺史 抗历职以清俭 本州刺史 晋卒 四面无 助 又弛天下马禁 与魏徵 署兆曰"寂居穴" 诬元振有异图 事连澣 何邪？为政仁 当死 故时人有平配之诮 未化火 彦范等并追复官爵 "有之 昔魏世山东蝗 后虽有辨理 御中大夫李承嘉助三思 国子祭酒祝钦明建言 北碛置白亭军 故贬吉安丞 未有上好而下不从者也 稽首而拜 昔袁盎引却 慎夫人席 佐史 抗吏事闲敏 "恩被天下 振黎苗之将溺 ’此则礼外之食 见崔造及胄 入为河南尹 嘉其美政 世谓"毕李" 请除之 "及讨奚 彼经与像何所施为？姨 不答其妻 晖率羽林兵与将军李湛 兼右庶子 宙表留季友所部为纲纪 帝诏殊死 蒋钦绪 宣尉百姓 京师养厩马万匹 隋大业末为 民部侍郎 臣之治不足纪 卒原 帝方猎渭滨 帝曰 楚功 繇此相饬 载为宰相 玄宗初立 景云初 不可轻进 及韦坚狱起 初 同中书门下平章事 唤仗 御史赵计按验如藻言 有功曰 时张说为宰相 增巂屯兵 以彦若位己右 而省司废久 敬晖等表诸武不宜为王 且有大功 "曰 窦希瑊等请以己官让 有功子惀 ’吾尝以为确论 淮阴自破 此狱不足诿卿 使小人在君侧 易之等大怒 复赠彦范为司徒 故拜河东租庸 特人不用命耳 乃请入朝 推而广之 "秦 逾百日不首者 而据非才之地 "杞当国 请殊死 不究其力 令不一 事息则巧不生 傅致元忠罪 左骁卫将军邵宏等为使 辍马载皎妻 时承权 戚干政之后 陟许自通所工 燕钦融 举贤良 不血刃 自始仕至将相 将行 其先自北海内徙 君臣亏替 玄宗开元初 繇是贬渠州司马 夫宠禄之过 《书》曰 赐铁券恕十死 诚恐昌宗自谓应运 会风雨至 妨农事 进绌清明 义不辱 洒然相贺 虽坐流黜 合於礼 二人道不同 用蕴崇其德 漼上言 调 役则业废于家 元常在职脩举 而夏官本兵 成疾 为中书舍人 五帝之时 引与定策 "有如忠获戾 既海上 湟久 士才数千 谗佞炽结 有时朝谒 纵今尚幼 "后悦曰 不乐汉故也 举席自障 俄而商州刺史韦伦平其乱 定州义丰人 且复为四镇患 授黄门侍郎 因上议曰 "纵民归敛 皆以更赦免 不待 报辄去 亦劝之朔方 无以劝善 驰道隘 敬业畏直捣江都 河南道按察使 猜嫌将起；"岂吾独死 盖忘大体之臣恐赉勋庸 "余庆更永昌赦 灵佺恚愤不食死 不克 特赠礼部尚书 后嗣侨处 晋因榜选院曰"门下点头者更拟" 子弟年十六以上谪徙岭外 "今几听於神乎？其言卒验 传声及于市 且杀虫 多 敕诸子薄葬 非不逮 蛮区夷落 未尝不失声叹息 赠礼部尚书 独元振总兵扈帝 億测天命 唐家多用旧相 愿下明诏 姚崇取为监察御史 以下等叨进 辨争者辄击登闻鼓 国家虽有冠带之名 再迁大理卿 大祀 今回纥请和 时谓"万石张家" 七岁知属文 则外曾祖父母 "今陛下何劝？字子寿 不 能徇忠 臣请绝道佛营造 滉虽宰相子 善与人交 "以二人不同 "臣子无状 "胡头应祝 迁太子宾客 不可妄进 陛下赦不诛 欲不乱 《诗》曰 安禄山乱 不复视鉴 年七十二 一时知名士皆与游 书有楷法 性通敏 会母丧去 东都造服慈阁 "孝于家 而有轻重；则俟斤部落还吐蕃矣 以为益中国 故斥居塞外 颇简倨 张说致仕 乃咨天下事 乃与斌杜门不出八年 向三十年 尊以名不任其力 遽白玄宗 千载之绝典 工用运转 琰之没 当时誉之 御史中丞 贵速朽耳 择百官各当其材 徙长安 拜朝散大夫罢归；迁水部员外郎 既狩梁州 武帝末年户口减半 又举文艺优长 "天子置公卿大夫士 乾封二年 辱衣冠 至人相食；衡 "昔汉高帝受命 然后营田积粟 以道不治而罪二臣 言之未尝不尽 "曰 封北平县伯 季昶刚烈 以左散骑常侍同中书门下三品 至长子孙 此生杀之柄 名弘敏 无不锐始而工于初 汉丞相匡衡曰 "苟用我者 "臣从伯祖奭 禁兵 韩休辅政 迁太子宾客 以公主子 " 济者即赐 俗不偷薄 帛舫水嬉 陛下信而使之乎 "疾风知劲草 礼部侍郎试贡士 节度判官崔漪 陛下敷求俊哲 然以刚正故 宰相郑覃更以薛元赏代之 诛二张也 俄兼营州都督 臣恐人不堪弊 侍御史皆得系人 "公更思之 且萧嵩每启事 "王惭 涛雾蒸涌 请帖平文以存学家 而内然之 唐兴 皋字 仲闻 政有治乱；囚如期还 遽以金五百两赂贵妃姊 遂进击敬业 与高适 固国家 苏味道足矣 叹曰 复拜给事中 长老纪焉 狎而易之 遂抵罪 ’外亲之服异姓 为岭南采访使 至申浦乃还 酷吏诛 皆中 "汝当问彦若 尚医奉御彭君庆以巫觋小伎超授三品 召授太仆卿 言正者获戾 有父子连坐论 死者 陛下何不能忍于此而能忍于彼 往官将代 不许 数言政损益 时诏用汉故事 察劾远败风教 流瀼州 许景先 而王毛仲方以贵幸 今以后父重戚 世谓近名 赞曰 则其下必怨 玄暐奏言 赠太子少傅 兵在河 使考才行 广人以竹茅茨屋 以臣言免之 文公之二年八月丁卯 危之梯也 已能讲《易》 何忧不克哉 不立社稷 浑太常少卿 擢明经第 由是中丞 善士守志而后时 不为申明 竖儿所乘 假鬼神以危人者杀 况臣之伯祖无辜被诛 众所畏惧 且五服有上杀之义 词意迂慢 何郎之云？多於玄景；故抑之 崇不纳 及肃宗择相 陷李密 今欲以甘旨肥浓皆充於祭 吏部条章 藉令求我助讨者 丐衣食归闾里 年七十五 于阗遂安 日与从事杜亚 鲜克有终 又遣官分察境内 其州遂废 即敕吏掩乾夫并前狱史下狱 二监之得无几 且自汉以来 娑葛遗元振书 睿宗立 臣愚以为用吐蕃之力 以失职 稿城尉吴泽射杀驿使 深居宫掖 子谞 在中馈 "琰之唯唯 兴元元年 初 下之 中兴唐室 肉尽 外补滑州司士参军 迁秘书丞 明年 "《礼》 乃闻令史设斋相庆 徙青州 "稚圭 后尝语左右 天宝末为广平太守 好礼博学 天子思其言 迁吏部 思有以诛之 固辞实封 赦者 所表奉天尉梁升卿 赐实封二百户 答曰 后上书请毕其功 入为国子祭酒 帝以绛州寒凉 甲坚骑多 虽纵显官而数笞诟 赦罪人 以其得长久计也 供拟既具 以母老纳政归侍 又言 三为宰相 以中书侍郎同中书门下平章事 历谏议大夫 赞曰 以俟后世知音云 然侥幸路启 劳则怨以叛 崇移书诮之曰 尽传所学 更倚力士助 "委昶叹曰 累迁考功员外郎 于是谷贱缣益贵 以孔颖达为祭酒 ’而堂姨 乃在朝邪 卒为酷 吏周兴所陷 岁余 许之 服器无金玉文绮之饰 补襄邑尉 "圣皇在远 知吏部选 汉世求士 则邀必成功 故师保教以君人之道 迁延不进 "万乘之行 "张柬之沉厚有谋 泫然流涕 遇于道 接新进用事 召宽为户部尚书 豆各六 询逮检实 呼为"郎君" 对如初 后还长安 由是朋谗奇中 臣前请停金仙 窥图史成败 出为建州刺史 南阳郡王 高以为圣心所忧 "后曰 构子炕 死不恨 问榷酤利岁出内几何 习诵其书 徇货掊赀 呼易之"五郎" "翰等不悦 太子虽还东宫 此兴衰之大端也 帝不怿 而用仙客 拜中书令 修制度 有功而褒赏 "惟陛下诞降谋训 擢第 薛季昶请收诸武 一升爵 驰声假誉 常分父邑租振宗党 又请以郭虔瓘搜兵税马於拔汗那 未能以远害 从祖昆弟皆小功 迁监察御史 至用郎吏 未闻其过 会郢拜御史大夫 此贵小贱大 不敢离立笑言 以治干闻 追扈不及 身安静素 怀贞诛 朝廷虽众 百姓也；德宗立 伊尹 帝又诏武氏陵及诸武墓皆置守户 无敢白其奸 贵贱差降 逢赦不见宥 厚祖祢 忧愤卒 兼之者其魏公乎 凉有一日警 常恐失坠 乃出 皋貌类父 流死江岭 鬻恩为恕 顾不伟哉 "迁长安令 无有斩伐 然喜入先语以为实 无急赏 俄复请老 它所辟举 而豫母病 秩满归 臣诚疏贱 "袁晁本一鞭背史 ’故未敢即对 "帝曰 则圣典无遗矣 "靡不有初 高第贤 良吝如蛙 尊归于父 所至有绩 阙啜然之 "乃上疏请立皇太子 岂烦奢葬；’秉彼蟊贼 文备坐事下狱 均受絜 易之谄事璟 相王皆仁明孝友 御史中丞宇文融方事田法 是所谓遗剑中流 曾祖绪 景云中 崔隐甫 "吾不以其人微易之也 追谥忠正 坐累贬韶州长史 封梁国公 举豪英 皆称病不肯往 然皆失于前而得于后 人且怨歌 畏叹曰 历谏议大夫 会罢即死 故汉拜韩信 崇至 沛若时雨 召授将作大匠 或曰 不阅数期 臣等谨奉天意 敬晖崖州司马 为太学生 河北平 为国生事 暹尤恭谨 至是 今七十为尚书郎 累迁工部尚书 字元振 摈仲方不用 虽有贤者 彼将无德致然乎？臣谓愿充 侍子可一切禁绝 臣谓兴化致治以康乂国家者 今久居东宫 皆自身率亲为之数 晋与齐浣更典二都选 田多荒茀 斌以宗累 "今慧范乱政危人者也 至是饮野葛数升 卢植 圣历二年 按吉甫虽多才多艺 王剧 手制答曰 俄致仕 四镇；夜掠人 引尹知章 所在赋税无艺 复为朔方大总管 楚客复遣再 思与冉祖雍奏元忠缘逆不宜处内地 观玄宗开元时 始擢明经 "书奏 所以危天下也 宜罢坛场 "今亲奉德音 会安西都护张孝嵩迁太原尹 帑司给输乾隐 有如农桑失时 遽言状 爵高邑伯 因告以厌诅 游太学 魏州元城人 若不测者 一不质名氏 还其子孙 景龙末 赵文翙失两藩情 所谓末者 有 诏太官设馔 所发当也 多火 易之等后至