2015-2016年贵州省遵义市航天高中高一(上)数学期中试卷和答案

2015-2016学年贵州省遵义市航天高中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填写在答题卡上．）1．（5.00分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则∁U A=（）A．∅B．{2，4，6}C．{1，3，6，7}D．{1，3，5，7}2．（5.00分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=﹣x2+1 B．y=﹣2x+3 C．y=log3x D．3．（5.00分）函数f（x）=的定义域是（）A．∅B．（1，4） C．[1，4） D．（﹣∞，1）∪[4，+∞]4．（5.00分）下列四组函数中表示同一函数的是（）A．f（x）=x，B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．，g（x）=|x|D．f（x）=0，5．（5.00分）若102x=25，则x=（）A．lg B．lg5 C．2lg5 D．2lg6．（5.00分）函数y=﹣x2+2x+3，x∈[0，3]的值域是（）A．（﹣∞，4]B．[4，+∞）C．[0，3]D．[0，4]7．（5.00分）f（x）=则f[f（）]=（）A．9 B．C．1 D．38．（5.00分）函数f（x）=4﹣4x﹣e x（e为自然对数的底）的零点所在的区间为（）A．（1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（﹣2，0）9．（5.00分）三个数为，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．a＞b＞c10．（5.00分）已知f（x）=ax4+bx2﹣x+m，f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．0 C．3 D．﹣211．（5.00分）设奇函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，且f（2）=0，则的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞．﹣2）∪（2．+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）12．（5.00分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是（）A．0＜m≤4 B．0≤m≤1 C．m≥4 D．0≤m≤4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5.00分）若幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）=．14．（5.00分）已知f（x）是在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）x，那么f（）=．15．（5.00分）设4a=5b=m，且+=1，则m=．16．（5.00分）若函数f（x）满足下列性质：（1）定义域为R，值域为[1，+∞）；（2）图象关于x=2对称（3）函数在（﹣∞，0）上是减函数请写出函数f（x）的一个解析式（只要写出一个即可）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤并写在答题卡指定位置．17．（10.00分）化简求值（1）（2）（lg2）2+lg2•lg50+lg25．18．（12.00分）已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．（1）当a=3时，求A∩B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．19．（12.00分）已知函数f（x）=，若函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）．（1）求实数a的值．（2）判断函数的单调性．20．（12.00分）已知f（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以说明；（Ⅲ）求的值．21．（12.00分）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：f（t）=．（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？22．（12.00分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x），满足f（xy）=f（x）+f（y），，当x＞1时，f（x）＜0，（1）求f（1）的值．（2）判断函数的单调性．（3）解关于x的不等式f（x）+f（x﹣2）＞﹣1．2015-2016学年贵州省遵义市航天高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填写在答题卡上．）1．（5.00分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则∁U A=（）A．∅B．{2，4，6}C．{1，3，6，7}D．{1，3，5，7}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，∴∁U A={1，3，6，7}，故选：C．2．（5.00分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=﹣x2+1 B．y=﹣2x+3 C．y=log3x D．【解答】解：由于y=﹣x2+1在区间（0，+∞）上是减函数，故排除A；由于y=﹣2x+3在区间（0，+∞）上是减函数，故排除B；由于y=在区间（0，+∞）上是减函数，故排除D；由于y=log3x 在区间（0，+∞）上是增函数，故满足条件，故选：C．3．（5.00分）函数f（x）=的定义域是（）A．∅B．（1，4） C．[1，4） D．（﹣∞，1）∪[4，+∞]【解答】解：由得：x∈[1，4），故函数f（x）=的定义域是[1，4），故选：C．4．（5.00分）下列四组函数中表示同一函数的是（）A．f（x）=x，B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．，g（x）=|x|D．f（x）=0，【解答】解：∵y=x（x∈R）与（x≥0）两个函数的定义域不一致，∴A中两个函数不表示同一函数；∵f（x）=x2，g（x）=（x+1）2两个函数的对应法则不一致，∴B中两个函数不表示同一函数；∵f（x）=|x|与g（x）==|x|，且两个函数的定义域均为R∴C中两个函数表示同一函数；f（x）=0，=0（x=1）两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一函数；故选：C．5．（5.00分）若102x=25，则x=（）A．lg B．lg5 C．2lg5 D．2lg【解答】解：∵102x=25，则∴2x=lg25=2lg5，∴x=lg5．故选：B．6．（5.00分）函数y=﹣x2+2x+3，x∈[0，3]的值域是（）A．（﹣∞，4]B．[4，+∞）C．[0，3]D．[0，4]【解答】解：因为函数的对称轴是x=1，开口向下，1∈[0，3]，所以函数在x=1时取得最大值﹣1+2+3=4，f（0）=3，f（3）=﹣9+6+3=0，所以函数的值域是[0，4]．故选：D．7．（5.00分）f（x）=则f[f（）]=（）A．9 B．C．1 D．3【解答】解：∵f（x）=，∴f（）==﹣2，f[f（）]=f（﹣2）=3﹣2=．故选：B．8．（5.00分）函数f（x）=4﹣4x﹣e x（e为自然对数的底）的零点所在的区间为（）A．（1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（﹣2，0）【解答】解：∵f（x）=4﹣4x﹣e x单调递减又∵f（0）=3＞0，f（1）=﹣e＜0由函数的零点判断定理可知，函数f（x）的零点在区间（0，1）故选：B．9．（5.00分）三个数为，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．a＞b＞c【解答】解：∵a=log30.2＜log31=0，b=30.2＞30=1，0＜0.23＜0.20=1，∴a＜c＜b．故选：C．10．（5.00分）已知f（x）=ax4+bx2﹣x+m，f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．5 B．0 C．3 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=ax4+bx2﹣x+m，f（2）=1，∴f（2）=16a+4b﹣2+m=1，∴f（﹣2）=16a+4b+2+m=（16a+4b﹣2+m）+4=1+4=5．故选：A．11．（5.00分）设奇函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，且f（2）=0，则的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞．﹣2）∪（2．+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）【解答】解：奇函数f（x）在（﹣∞，0）内是减函数，则f（x）在（0，+∞）内是减函数．且f（﹣2）=f（2）=0，不等式等价为x•f（x）＞0，即或，即有0＜x＜2或﹣2＜x＜0．则解集为（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．12．（5.00分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是（）A．0＜m≤4 B．0≤m≤1 C．m≥4 D．0≤m≤4【解答】解：若函数f（x）=的定义域是一切实数，则等价为mx2+mx+1≥0恒成立，若m=0，则不等式等价为1≥0，满足条件，若m≠0，则满足，即，解得0＜m≤4，综上0≤m≤4，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5.00分）若幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）=．【解答】解：设幂函数为f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过点（2，），∴，解得a=，∴f（x）=．故答案为：．14．（5.00分）已知f（x）是在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）x，那么f（）=﹣．【解答】解：∵当x＜0时，f（x）=（）x，∴f（﹣）==，又∵f（x）是在R上的奇函数，∴f（）=﹣f（﹣）=﹣，故答案为：﹣15．（5.00分）设4a=5b=m，且+=1，则m=100．【解答】解：∵4a=5b=m，∴a=log4m，b=log5m，∴=log m4，=log m5，∴+=log m4+2log m5=log m100=1，∴m=100，故答案为：100．16．（5.00分）若函数f（x）满足下列性质：（1）定义域为R，值域为[1，+∞）；（2）图象关于x=2对称（3）函数在（﹣∞，0）上是减函数请写出函数f（x）的一个解析式（x﹣2）2+1（只要写出一个即可）【解答】解：根据f（x）满足的条件知，f（x）可为一个二次函数；写出其中一个二次函数为：f（x）=（x﹣2）2+1．故答案为：f（x）=（x﹣2）2+1．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤并写在答题卡指定位置．17．（10.00分）化简求值（1）（2）（lg2）2+lg2•lg50+lg25．【解答】解：（1）=﹣﹣1+24×0.25=﹣﹣1+2=2，（2）（lg2）2+lg2•lg50+lg25，=（lg2）2+lg2（1+lg5）+2lg5，=（lg2）2+lg2+lg2lg5+2lg5，=lg2（lg2+lg5）+lg2+lg5+lg5，=lg2+1+lg5，=1+1，=2．18．（12.00分）已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．（1）当a=3时，求A∩B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，A={x|2﹣a≤x≤2+a}={x|﹣1≤x≤5}，B={x|x≤1或x≥4}．则A∩B={x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}；（2）若2+a＜2﹣a，即a＜0时，A=∅，满足A∩B=∅，若a≥0，若满足A∩B=∅，则，即，解得0≤a＜1综上实数a的取值范围a＜1．19．（12.00分）已知函数f（x）=，若函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）．（1）求实数a的值．（2）判断函数的单调性．【解答】解：（1）由题意，函数的定义域为R．…（2分）∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（﹣0）=﹣f（0），即f（0）=0．∴．解得a=1 …（6分）（2）f（x）在定义域R上为增函数任取x1，x2∈R，x1＜x2，则…（7分）则f（x1）﹣f（x2）=＜0∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在定义域R上为增函数．…（12分）20．（12.00分）已知f（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以说明；（Ⅲ）求的值．【解答】（I）由，得，解得﹣1＜x＜1．所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（II）函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，因为f（﹣x）=log2（1+（﹣x））+log2（1﹣（﹣x））=log2（1﹣x）+log2（1+x）=f （x），所以函数f（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）是偶函数．（III）因为==．21．（12.00分）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：f（t）=．（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？【解答】解：（1）当0＜t≤10时，f（t）=﹣t2+24t+100=﹣（t﹣12）2+244是增函数，且f（10）=240；当20＜t≤40时，f（t）=﹣7t+380是减函数，且f（20）=240．所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟．（2）f（5）=195，f（25）=205，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．（3）当0＜t≤10时，f（t）=﹣t2+24t+100=180，则t=4；当20＜t≤40时，令f（t）=﹣7t+380=180，t≈28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57﹣4=24.57＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．22．（12.00分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x），满足f（xy）=f（x）+f（y），，当x＞1时，f（x）＜0，（1）求f（1）的值．（2）判断函数的单调性．（3）解关于x的不等式f（x）+f（x﹣2）＞﹣1．【解答】解：（1）因为f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），所以，令x=y=1代入得，f（1）=f（1）+f（1），所以，f（1）=0；（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减，证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，所以＞1，则f（x1）=f（•x2）=f（）+f（x2），即f（x1）﹣f（x2）=f（），根据题意，当x＞1时，f（x）＜0，所以f（）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，所以，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）∵f（1）=f（3）+f（）且f（）=1，∴f（3）=﹣1，不等式f（x）+f（x﹣2）＞﹣1可化为：f[x（x﹣2）]＞f（3），根据单调性和定义域列出不等式如下：，解得x∈（2，3），即该不等式的解集为（2，3）．。