21高斯消元法
数值计算方法 高斯消元法、主元素法 - 高斯消元法、主元素法-1
求 f (4) .
c b a 1
高 斯
设所求二次函数为 f ( x) ax2 bx c ，其待定系数满足c 2b 4a 2 解此方程组得 f ( x) 3 x2 11 x 3 ，则 f (4)= 5 c 3b 9a 0
消
22
元
思 考 在一次智力测验中，老师写出某个数列的前两项为1，2，让学生按照前两
9
预备知识——Cramer法则
b1 a12
a1n
b2 a22
a2 n
高
x1
D1 D
bn
an2 A
ann ,
斯
消
元
a11 a12
b1
法
a21 a22
b2
xn
Dn D
an1
an 2 A
bn ,
D0
a11
b1
a1n
a21
b2
a2n
,
xk
Dk D
an1
bn A
ann ,
,
优点：收敛、稳定、结论可靠 缺点：计算量过大 计算量： M＝(n2 1)n!n 当 n 10 时，M 0.359251210109 当n 40时，M 0.13046485371042
a
(2) 2j
ai(22)
a
(2) 22
方程右边
bi(3)
bi(2) b2(2)
ai(22)
a
(2) 22
方程左边
ai(jk 1)
ai(jk)
ak(kj)
ai(kk) ak(kk)
方程右边
bi(k 1)
bi(k)
bk(k)
ai(2k) ak(kk)
25
方程组的行列式解法和高斯消元法
方程组的行列式解法和高斯消元法方程组是我们学习高等数学的基础，而解方程组的方法则是数学研究的重点之一。
其中，行列式解法和高斯消元法是两种常见的解方程组的方法。
本文将会介绍这两种方法的具体操作和优缺点。
一、行列式解法行列式解法是一种基于行列式的方法，它适用于二元线性方程组和三元线性方程组。
对于二元线性方程组：$$\left\{\begin{aligned}&a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\&a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2\end{aligned}\right.$$我们可以将这个方程组转换为矩阵形式：$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} &a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1 \\b_2\end{pmatrix}$$然后，我们可以求出系数矩阵的行列式$D$以及增广矩阵的行列式$D_x$和$D_y$，其中$D_x$和$D_y$分别表示将系数矩阵中第一列和第二列替换为增广矩阵的列向量得到的矩阵的行列式。
这个过程可以表示为：$$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix},D_x=\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix},D_y=\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}$$最后，我们可以通过克拉默法则得到方程组的解：$$x_1=\frac{D_x}{D},x_2=\frac{D_y}{D}$$对于三元线性方程组，我们可以采用类似的方法求解。
高斯列主元消去法例题
高斯列主元消去法例题高斯列主元消去法是解线性方程组的一种方法，也称为高斯-约旦（Gauss-Jordan）消去法。
它的基本思想是通过矩阵的初等行变换，将矩阵化为简化行阶梯形矩阵，然后根据系数矩阵的行列式是否等于0来求得唯一或无穷多解。
下面以一个例题来讲解高斯列主元消去法的步骤。
例题：解下列线性方程组x1 + 2x2 + 3x3 = 94x1 + 5x2 + 6x3 = 247x1 + 8x2 + 10x3 =40首先，将方程组表示为增广矩阵的形式：1 2 3 | 94 5 6 | 247 8 10| 40接下来，要使用高斯列主元消去法，将增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵。
具体步骤如下：1.将第一列中的绝对值最大的元素移到第一行。
7 8 10| 404 5 6 | 241 2 3 | 92.用第一行的首元素消元。
7 8 10| 400 1 -2| 60 -6 -21| -273.将第二列中的绝对值最大的元素移到第二行。
7 8 10| 400 -6 -21| -270 1 -2| 64.用第二行的次元素消元。
7 8 10| 400 1 -2| 60 0 -9| 95.将第三列中的绝对值最大的元素移到第三行。
7 8 10| 400 1 -2| 60 0 -9| 96.用第三行的末元素消元。
7 8 10| 400 1 -2| 60 0 1 | -1现在，我们得到了一个简化行阶梯形矩阵，可以根据系数矩阵的行列式是否等于0来求得唯一或无穷多解。
我们发现，最后一行只有一个非零元素，因此，对应的未知数x3的系数不为0，可以直接利用倒推法求得方程组的解。
7.用第二行解出x2x2 - 2x3 = 6x2 = 2x3 + 68.用第一行解出x1x1 + 8x2 + 10x3 = 40x1 + 8(2x3 + 6) + 10x3 = 40x1 + 26x3 = 8综上所述，该线性方程组的解为：x1 = -26t + 8x2 = 2t + 6x3 = t其中，t为任意常数。
高斯消去法
高斯消去法高斯消去法，又称高斯消元法，实际上就是我们俗称的加减消元法。
数学上，高斯消去法或称高斯－约当消去法，由高斯和约当得名（很多人将高斯消去作为完整的高斯－约当消去的前半部分），它是线性代数中的一个算法，用于决定线性方程组的解，决定矩阵的秩，以及决定可逆方矩阵的逆。
当用于一个矩阵时，高斯消去产生“行消去梯形形式”。
目录例如信息学方面的应用下面介绍一下矩阵的初等行变换:对于增广矩阵A求解线性方程组的步骤：历史编辑本段例如一个二元一次方程组，设法对每个等式进行变形，使两个等式中的同一个未知数的系数相等，这两个等式相减，得到一个新的等式，在这个新的等式中，系数相等的未知数就被除去了（系数为0）。
同样的也适合多元多次方程组。
编辑本段信息学方面的应用高斯消元是求解线性方程组的重要方法，在OI中有广泛的应用。
本文就来讨论这个方法。
什么是线性方程组？含m个方程和n个未知量的方程组定义为a(11)x(1)+a(12)x(2)+...+a(1n)x(n)=b(1)a(21)x(1)+a(22)x(2)+...+a(2n)x(n)=b(2)...a(m1)x(1)+a(m2)x(2)+...+a(mn)x(n)=b(m)这个方程组称为m*n线性方程组，其中a(ij)和b(i)为实数，括号中为下标。
这个方程组有多种表示方法。
例如，我们知道m*n矩阵（用大写字母表示）是一个m行n列的数阵，n维向量（用加粗的小写字母表示）是n个数的数组，也就是一个n*1矩阵（列向量。
我们不考虑行向量）。
另外，大家也都知道矩阵乘法。
因此一个m*n线性方程组可以表示为Ax=b，其中A是由系数aij组成的m*n矩阵即系数矩阵，x是n维的未知数向量，b是m维的结果向量。
如果把向量b写到A的右边得到m*(n+1)的矩阵，得到的新矩阵称为这个方程组的增广矩阵。
每一个方程组均对应于一个增广矩阵。
编辑本段下面介绍一下矩阵的初等行变换:1 交换两行2 用非零实数乘以任一行3 把某一行的倍数加到另一行上同理可以定义初等列变换。
矩阵的初等变换线性代数
2
r1 r3 3r1 r4
10
6
1
0
0
0
1 3 4 2
2 3 3 1
1 3 2 4
4
6
6
6
返回
x1 x2 2x3 x4 4 (1)
x1 x2 2x3 x4 4 (1)
3x2 3x3 3x4 6 4x2 3x3 2x4 6
(2) (3)
1(2)
3
0 0
0 0
1 0
0 1
4 3
21
0 0
0 0
1 0 4 2 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x1 1 x2 7x5
x3
2
4x5
， x2, x5任意（自由未知量）
x4
1
3x5
为方程组的全部解.
返回
增广矩阵均可经 行 初等变换化为行（简化）阶梯形。
3. 该阶梯形与方程组解的关系：
x2 x3 x4 2 4x2 3x3 2x4 6
(2) (3)
2x2 x3 4x4 6 (4)
2x2 x3 4x4 6 (4)
1 1 2 1
0
3
3
3
0 4 3 2
0
2
1
4
4
6
6
6
13r2
1
0
0
1 1 4
2 1 3
1 1 2
0 2 1 4
4
2
6
6
1 1 2 0
0
1
1
0
0 0 1 0
0
0
0
1
3
1 1 0 0
1
r3 r2 2r3 r1
高斯分解法
高斯分解法高斯分解法又称为高斯消元法，常用于解线性方程组及其相关问题。
它是由德国数学家高斯在18世纪中期首次提出的，已被广泛应用于科学、工程等领域中。
高斯分解法的基本思想是，将一个线性方程组化为一个简化阶梯形矩阵，从而使得求解过程更加简化。
对于一个n元线性方程组，其一般形式为：$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1$$$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2$ ····$a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n$高斯分解法的具体步骤如下：（1）将系数矩阵A以及常数向量B组成增广矩阵[AB]。
（2）利用初等行变换将增广矩阵[AB]化为行阶梯矩阵[U|C]，其中U为简化阶梯形矩阵，C为增广矩阵的最右一列。
（3）从最后一行开始向上，采用回带法求得$n-1$个未知数的值，直至求得所有未知数的值。
从最后一行开始，求解最后一个未知数$x_n$：$x_n = \frac{b_n}{a_{nn}}$对于$i=n-1,n-2,...,1$，求解$x_i$：$x_i = \frac{1}{a_{ii}}[b_i-\sum_{j=i+1}^na_{ij}x_j]$至此，线性方程组的解就求得了。
需要注意的是，在高斯分解法求解线性方程组时，可能会遇到以下情况：（1）增广矩阵的某一行全为0，则方程组的解为不唯一的。
（2）增广矩阵中某个位置的对角线元素为0，则需要进行行交换，以避免出现除数为0的情况。
（3）高斯分解法计算过程中需要进行浮点数计算，因此可能会存在数值误差积累的问题，需要注意控制精度误差。
总之，高斯分解法是解决线性方程组问题的一种有效且常用的方法，它兼具简洁、高效和通用性的优点，在科学计算和实际应用中起到了重要的作用。
求向量组的秩的三种方法
求向量组的秩的三种方法一、概述向量组的秩，即向量组中线性无关向量的个数。
秩是线性代数中非常重要的概念，涉及到向量组的基、解空间及解的唯一性等概念。
本文将详细介绍求向量组秩的三种方法：高斯消元、矩阵的秩和行列式的秩，同时附上实例说明。
二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种基本方法，用于消元、求解下三角矩阵和上三角矩阵。
在求向量组秩时，可以将向量组构成增广矩阵，通过高斯消元将其变为简化阶梯形矩阵，然后根据主元的数量，即非零行数，即可得到向量组的秩。
对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成增广矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过高斯消元可得简化阶梯形矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知主元是1，非零行数是1，因此向量组的秩是1。
三、矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中非常基础的概念之一，也是求向量组秩的一种方法。
矩阵的秩是指在矩阵的行（或列）空间中，线性无关的向量的个数。
对于一个m\times n矩阵A，如果它的秩为r，则有以下三条性质：1. 行秩：A的行空间的秩为r；2. 列秩：A的列空间的秩为r；3. 行列式：A的任意r\times r子式的行列式不为0，而r+1阶子式的行列式为0。
由此可知，对于一个向量组，可以将其构成矩阵，然后求出矩阵的秩来得到向量组的秩。
对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成矩阵：A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过对A做初等行变换，得到简化阶梯形矩阵：R=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知A的秩为1，因此向量组的秩也为1。
三元方程的解法及其应用
三元方程的解法及其应用在数学中，三元方程是指含有三个未知数的方程，它的解法不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以拓展我们的数学思维。
本文将探讨三元方程的解法及其应用。
一、三元方程的通解三元方程一般可以使用代数求解法和消元法等多种方法求解，下面介绍其中一个通解方法——高斯消元法。
高斯消元法的基本思路是将方程组化为上三角矩阵，然后使用回代法求解。
具体步骤如下：步骤1：将三元方程写成增广矩阵的形式：$\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3\end{matrix}\right]$步骤2：通过初等变换化为上三角矩阵：1）将$a_{21}$除以$a_{11}$，再用该行将第二行的$a_{21}$消去；2）将$a_{31}$除以$a_{11}$，再用该行将第三行的$a_{31}$消去；3）将$a_{32}$除以$a_{22}$，再用该行将第三行的$a_{32}$消去。
得到的矩阵为：$\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\0 & a_{22}^\prime & a_{23}^\prime & b_2^\prime \\0 & 0 & a_{33}^\prime & b_3^\prime\end{matrix}\right]$其中，$a_{ij}^\prime$表示第$i$行第$j$列的元素，$b_i^\prime$表示第$i$行增广矩阵的元素。
步骤3：使用回代法求解上三角矩阵：1）解出第三个未知数$x_3=\frac{b_3^\prime}{a_{33}^\prime}$；2）带入第二个未知数的方程中，解出$x_2=\frac{b_2^\prime-a_{23}^\prime x_3}{a_{22}^\prime}$；3）带入第一个未知数的方程中，解出$x_1=\frac{b_1-a_{12}x_2-a_{13}x_3}{a_{11}}$。
解三元一次方程组的方法与实例
解三元一次方程组的方法与实例数学是一门重要的学科，也是许多学生所困扰的学科之一。
在初中阶段，学生们开始接触到更加复杂的数学问题，其中包括解三元一次方程组。
本文将介绍解三元一次方程组的方法与实例，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
一、高斯消元法高斯消元法是解三元一次方程组最常用的方法之一。
其基本思想是通过变换方程组，使得方程组的解易于求得。
下面通过一个实例来说明高斯消元法的具体步骤。
假设有以下三元一次方程组：2x + 3y - z = 73x - 2y + 2z = 11x + 2y - 3z = -5首先，将方程组写成增广矩阵的形式：[2 3 -1 | 7][3 -2 2 | 11][1 2 -3 | -5]接下来，通过行变换将矩阵化为上三角矩阵。
具体步骤如下：1. 将第一行乘以3，第二行乘以2，第三行乘以1，得到：[6 9 -3 | 21][6 -4 4 | 22][1 2 -3 | -5]2. 将第二行减去第一行，第三行减去第一行，得到：[6 9 -3 | 21][0 -13 7 | 1][0 -7 0 | -26]3. 将第三行乘以(-13/7)，得到：[6 9 -3 | 21][0 -13 7 | 1][0 13 0 | 26]4. 将第三行加上第二行，得到：[6 9 -3 | 21][0 -13 7 | 1][0 0 7 | 27]此时，方程组化为了上三角矩阵的形式。
接下来，通过回代求解方程组。
具体步骤如下：1. 根据最后一行的方程7z = 27，解得z = 3。
2. 将z = 3代入第二行的方程-13y + 7z = 1中，解得y = -2。
3. 将y = -2和z = 3代入第一行的方程6x + 9y - 3z = 21中，解得x = 1。
因此，方程组的解为x = 1，y = -2，z = 3。
二、克拉默法则克拉默法则是另一种解三元一次方程组的方法。
其基本思想是利用行列式的性质求解。
高斯消元法
a
j 1
n
ij
x j bi
(i = 1,2,· · · ,n)
AX = b
A =(aij)n为非奇异矩阵
高斯消去法
高斯消去法（顺序消去法）是一个古老的求解线 性方程组的直接方法，其计算过程分为消元和回 代二个步骤。 第一步: 将方程组消元化为三角形方程组; 第二步: 解三角形方程组,得原方程组的解。
(1) (1) (1) (1) a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 ( 2) ( 2) ( 2) a x a x b 22 2 2n n 2 ( n) (n) a x b nn n n
(a(1)11 · · · a(n)nn≠0)
则该误差将扩大mik倍到第i行）
例3.1 用高斯消去法解方程组
2 x1 3 x 2 4 x 3 6 3 x1 5 x 2 2 x 3 5 4 x 3 x 30x 32 2 3 1
2 A 3 4 2 3 0 0.5 0 0 6 5 2 5 3 30 32 4 6 4 4 2 4 3 4
( 1) 22
( 2) ( 2) m a a (i 3,, n) 0，记 i 2 i 2 22
b1(1) ( 2) b2 ( 3) b3 ( 3) bn
简记为A(3)X = b(3)，其中
( 3) ( 2) ( 2) ( 3) ( 2) ( 2) aij aij mi 2a2 ， b b m b (i 3,, n) j i i i 2 2
3) 重复上述步骤，经n－1次消元后，则得等价 方程组
(1) a11 0 A (1) (1) a12 a1 n ( 2) ( 2) a 22 a2 n
21高斯消元法
对j= k+1~n+1（列）令 aij aij cakj
回代过程是解同解的上三角形方程组
a11x1 a12x2
a22 x2
a1,n1 xn1 a1n xn
a2,n1xn1 a2 ,n xn
a x n1,n1 n1 an1,n xn ann xn
素，……，第n-1步消去an-1，n-1下方元素。即第k 步将第k行的适当倍数加于其后各行，或可说是 从k+1~n行减去第k行的适当倍数，使它们的第k 列元素变为零，而其余列元素减去第k行对应列 元素的倍数。
因此，如把增广矩阵 A 变换前后都在计算
机上用同一数组A存储， 则消去过程可写为：
对k=1~n-1（步）做 对i= k+1~n（行）做
求出x2代回第一个方程时，因 10-5x1+2x2=1， 10-5x1’+2x2’=1 两式相减得10-5(x1－ x1’)+2(x2－ x2’)=0，可见 | x1－ x1’ |=200 000| x2－ x2’|
~x 表明 x1的误差被放大200 000倍， x1’自然失真。2
列主元消去法
为了避免出现小主元，在每次消元前进行选 主元。即每次消元前先选取所要消元的列中绝对 值最大的元素作为主元，然后再消元。
通常情况下稳定性彼此相差不大，所以一般 情况都只用列主元消去法。
复习题
1、何谓高斯消去法？它与一般消去法有 何不同？怎样计算行列式？
2、计算机上为什么不用克莱姆法与约当 消去法？
3、何谓主元消去法？有何优点？
具体为：
中选~x在主2第元k，步即的在第其k列中的找元出素绝a对kk值, a最k大~x1,1的k ,元素, aankpk，
第四章 高斯消元法与选主元
其中 a ij 和 bi 的上标 k 表示第 k 次消元后的系数， 计算公式为 : 对 k = 1，,3, L , n − 1 2 ⎧ m ik = − a ik ( k −1) / a kk ( k −1) ⎪ (k ) ( k −1) ( k −1) + m ik a kj ⎨ a ij = a ij ⎪b ( k ) = b ( k −1) + m b ( k −1) i ik k ⎩ i i , j = k + 1, k + 2 ,..., n
(1) ( 2)
aij
( 2)
= aij + mi 2a2 j , bi
(1)
= bi + mi 2b2
(1)
(1)
i, j = 3,4,...,n
( k −1 ) ≠ 0 ,取 m ik 第k步: 设 a kk 个方程组的xk,i=k+1,k+2,…,n)
( a ikk − 1 ) = − ( k −1 ) a kk
i, j = k +1, k + 2,...,n
继续下去到第n-1步消元,可将线性方程组化为如下上三角方 程组: ⎫
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ (1) (1) (1) a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 ⎪ ⎬ L ⎪ ( n −1) ( n −1) ⎪ a nn x n = bn ⎭
高斯消元法与选主元
高斯消元法是一种古老的直接 法,由它改进得到的选主元消元法,是 目前计算机上常用于求解低阶稠密 矩阵方程组的有效方法,其特点就是 通过消元将一般线性方程组的求解 问题转化为三角方程组的求解问题
高斯消元法和列主元消元法
用第二列的3、4行除以 k22得
- 25 - 5 = 11 = k 32 90 18 11
k
42
=
3 1 9 1
2 1 = 0 1
16 45
第三行减去第二行乘以 k 3 2 ， 第四行减去第二行乘以k 4 2 。
由以上可得：
骣 1 5 ç11 ç ç 32 ç 0 19 ç ç 11 11 ç ç ç ç 1870 ç0 0 ç ç 198 ç ç ç ç 0 0 - 1727 ç ç 桫 495 - 4 25 11 1133 198 8195 495 13 ÷ ÷ ÷ 147 ÷ ÷ ÷ 11 ÷ ÷ ÷ ÷ 3003 ÷ ÷ ÷ ÷ 198 ÷ ÷ ÷ 6468 ÷ ÷ ÷ ÷ 495 ÷
- 4 25 11 1133 198 3421705518 183278700
÷ ÷ ÷ ÷ 147 ÷ ÷ ÷ 11 ÷ ÷ ÷ ÷ 3003 ÷ ÷ ÷ ÷ 198 ÷ ÷ 3421705518 ÷ ÷ ÷ ÷ 183278700 ÷
13
回代过程可得：
X 4 = 1; X 3 = 1; X 2 = 1; X 1 = 1;
1 k 41 = 11
第二行减去第一行乘以 k 21 ， 第三行减去第一行乘以 第四行减去第一行乘以
k k
31
，
。
41
由此上可得：
骣 1 ç11 ç ç 90 ç0 ç ç 11 ç ç ç ç ç 0 - 25 ç ç 11 ç ç ç 32 ç0 ç ç 桫 11 5 - 4 13 ÷ ÷ ÷ 32 25 147 ÷ ÷ ÷ 11 11 11 ÷ ÷ ÷ ÷ 95 56 126 ÷ ÷ ÷ ÷ 11 11 11 ÷ ÷ ÷ - 27 191 196 ÷ ÷ ÷ ÷ 11 11 11
线性代数中主元和特解的计算方法及其应用
线性代数中主元和特解的计算方法及其应用在线性代数中，我们经常需要解决如下形式的问题：给定一个线性方程组，如何求出它的主元和特解，或者判断它是否有唯一解或无解？本文将介绍一些常用的计算方法及其应用。
一、线性方程组的概念首先，我们来了解一下线性方程组的概念。
一个含有n个未知数的线性方程组可以写成下面的形式：$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1$$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2$$\cdots$$a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m$其中，$a_{ij}$为系数，$x_i$为未知数，$b_j$为常数。
系数和常数都可以是实数或复数。
二、主元和特解的概念接下来，我们来了解一下主元和特解的概念。
对于一个线性方程组，如果可以通过一系列的行变换把系数矩阵变成一个上三角矩阵，并且每一行的主元（也叫基本变量）都是1，且在主元下面的元素都是0，那么这个方程组就是一个阶梯形方程组。
例如下面的矩阵就是一个上三角矩阵，并且每一行的主元都是1。
$\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}$主元和特解的概念与阶梯形方程组密切相关。
具体来说，主元是指阶梯形方程组中每一行的第一个非零元素（即主元所在的列），而特解是指一个方程组的一组解，可以把它看成是由主元和非主元构成的一组解。
因此，一个方程组的特解可以通过主元得到。
例如，对于上面的矩阵，我们可以得到如下的特解：$x_1=3-2x_2-x_3$$x_2=4-x_3$$x_3$为自变量也就是说，当我们知道了主元所在的列，就可以求出特解，从而得到方程组的所有解。
三、线性方程组的解法接下来，我们来讨论一些线性方程组的解法。
4-线性方程组的解法
17
定理 1 矩阵 A 可以三角分解的条件如下：
1. 若矩阵 A 的所有顺序主子式不等于零; 2. 若矩阵 A 对称正定; 3. 若矩阵 A 严格对角占优，即：
akk akj , k 1, 2, n 。
j k
18
2 2 1 A 4 5 4 例 3 已知矩阵 ，检验 A 是否满足三角分解的条件， 2 4 3
n n n n a11 a1 a b k 1n 1 n n n akk akn bk n n ann bn
7
消元公式：
(0) aij aij , bi(0) bi , ( i , j 1, 2, ..., n) For k 1, 2, ..., n 1 (k ) ( k 1) ( k 1) aij aij lik akj b( k ) b( k 1) l b( k 1) i i ik k ( k 1) ( k 1) akk ; i , j k 1, ..., n lik aik
利用增广矩阵的初等行变换法表示为：
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 3 2 1 3 2 A b 4 1 2 1 3 6 7 3 1
k 1
1
ai1 lik uk1 li1u11 ，
k 1
1
即： li1 ai1 u11 i 2, 3,, n .
这是 U 的第一行和 L 的第一列。
22
设： U 的前 m 1 行和 L 前 m 1 列均已算出，那么：
amj lmk ukj lmk ukj lmmumj ,
线性代数 高斯(Gauss)消元法ppt课件
线
2x1 8x2 6x3 6 ③
性
方 程 组
② 2① ③ ①
x1 x2 2 x3 1 3x2 3x3 0 3x2 x3 2
① ② ③
“回代”求解得：
x1 2, x2 1, x3 1.
①② ③ 0.5
③①
2
x1 x1
x2 2x3 1 ① x2 x3 2 ②
线 性
解
(2) 可知方程组有无穷多解， 即对任意的 x2，有
方 程 组
x1 x2
2x2 x2，
7，
x3 2 .
其中 x2 为自由未知量。
即
x1 2 7 x2 k 1 0 ,
( k 任意)
x3 0 2
注意体会求解“结果”的写法及表达方式。
10
§4.2 高斯(Gauss)消元法
x1 4x2 3x3 3 ③
x1 x2 3x2
2x3 3x3
1 0
2x3 2
继续“消元”得：
x1
x2
2 1
x3 1
3
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 启示 四 章
线 性 方 程 组
事实上，从上述对线性方程组的求解过程中可知： 真正参与运算的是线性方程组的系数项和常数项， 而未知量并不需要参与运算。
2
x1 x1
x2 2x3 1 x2 x3 2
x1 4 x2 3 x3 3
① ② ③
② 2① ③ ①
x1 x2 2 x3 1 3x2 3x3 0 3x2 x3 2
① ② ③
2 1 1 2 1 1 2 1 2 8 6 6 1 1 2 1 2 1 1 2 1 4 3 3 1 1 2 1 0 3 3 0 0 3 1 2
21年数学二第20题几种解法
2021年考研数学二的第20题
2021年考研数学二的第20题是一道关于矩阵和向量的问题，题目要求求一个向量α使得Aα=b，其中A是已知矩阵，b是已知向量。
解法一：直接求解法
1.写出方程组：Aα=b。
2.使用高斯消元法或者迭代法求解该方程组，得到向量α的各个分量。
解法二：利用特征值和特征向量
1.计算矩阵A的特征值和特征向量。
2.如果A有唯一的一个特征值λ，并且对应的特征向量是α，那么Aα=b 可以通过λ和α求解。
3.如果A有多个特征值，则需要找到一个特征值λ和对应的特征向量α使得Aα≈b。
解法三：利用QR分解
1.对矩阵A进行QR分解，得到QA=R。
2.令α=Q^Tb，即α是b在A的左特征向量构成的矩阵Q的转置列向量。
3.验证Aα=b是否成立。
解法四：利用奇异值分解（SVD）
1.对矩阵A进行奇异值分解，得到A=UΣV^T。
2.令α=VΣ^Tb，即α是b在A的右特征向量构成的矩阵V的列向量。
3.验证Aα=b是否成立。
高斯选主元消去法.ppt
1 0 r3 2 r20
2/3 0
1 1/2
0 1
1 1/2
2 / 3 3 0 2 r2
0 1 0 0
3/2 1/2
0 3/2 1 1/2
2 1 0
5
r1 3 r2
1 5/ 3 2 0 0 1/ 3
1 0 1/ 2 0 5/ 2 2
1 0 2/ 3 1 0 1 2/ 3 3 0 1 3/ 2 0 3/ 2 1
0 1
r1
r3
2 1
4 2
5 3
0 1
1 1 5/ 3 2 0
1 0 0
0 0
1/3
m31
1 3
1
m32 2
2 r2 3 r1
1 r3 3 r1
0 0
1
2/3 1/3 5/3
101 110
2/3
2 / 3 1 0 1 2/ 3 1/ 3 1 1 0 1/ 3
yn yi
bn (bi
/ ann
n
aij y j ) / aii
j i 1
(i n 1,,2,1)
优点 该方法数值稳定( mi k 1). 缺点 工作量大. 改进方法 列主元消去法，且此时mi k 1.
4.2 列主元素消去法
设已完成第1步~第k-1步计算，得到与原方程组等价的方程组
)第k列与第jk列元素;
1,, n)
bi bi mik bk (i k 1,, n)
二、 回代求解
a11 a12 a1n y1 b1
经过上述过程，方程组约化为
a22
a2n
y2
b2
ann
yn
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b1 b2
bn1 bn
回代过程可写为：
令 xn bn / ann
n
对k = n – 1 ~ 1令 xk (bk akj x j ) / akk jk 1
2.1.2 高斯消去法的运算量
高斯消去法比起克莱姆法则和约当消去法， 主要长处就是运算量较少。
用克莱姆法则求解n阶线性方程组，需计算 n+1个行列式；每个行列式是n!个乘积之和，而 每个乘积是n个元素相乘，因此共需乘法次数
1 2 3 1
1 2 3 1
பைடு நூலகம்
5 1 3 4 r2 5r1
9
18
9
7 1 11 3 r3 7r1 6 10 10
1 1 1
1
3
r2r12(r29) r3 6r2
12
1
rr13r32
2 4 r2 2r3
1
5
1 2
变换结束后时增广矩阵最后一列就是解， 不需回代。这种解法称为约当消去法。它容易 学习掌握，也容易编写计算机程序。其计算过 程可写为：
例 解方程组
x1 2x2 3x3 1
5x1
x2
3x3
4
7x1 8x2 11x3 3
解：步骤如下：① 将第一个方程乘-5，-7，分
别加于第二、第三方程，消去未知量x1，得同解方
程组
x1 2x2 3x3 1 9x2 18x3 9
6x2 10x3 10
② 将所得方程组的第二方程乘 2 ，加到第三方程， 3
高斯消去法约一半的运算量。
因此除非方程组的阶数n较小，计算机上不用 约当消去法。
上面比较了三种解法的乘除次数。一般算法 乘除次数与加减次数相差不多，而且计算机上乘 除运算比加减运算费时间，所以通常只比较乘除 次数。
( n + 1)·n!( n － 1)= ( n + 1) ! ( n － 1)
当n=20时( n + 1) ! ( n － 1)≈9.7×1020。要完成这 么多次乘法，在每秒做一亿次乘法运算的计算 机上，也需30.8万年。因此克莱姆法则在实际 计算中不适用。
高斯消去法消去过程运算量：
对k=1~n-1（步）做 对i= k+1~n（行）做
这里假定系数行列式不为零，方程组的解存 在且唯一。
所谓直接法，就是不计舍入误差时，通过有 限次算术运算能求得准确解的方法。
克莱姆法就是一种直接法。只是方程组阶数 较高时它的运算量太大，实际无法使用。
线性方程级（2-1）常简写成矩阵形式
Ax=b
a11 a12
其中 A= a21 a22
an1 an2
消去过程实际上是对增广矩阵
A Ab 作行初等变换。如上例可表示
为
1 2 3 1
1 2 3 1
5 1 3 4 r3 r275r1r1
7 1 11 3
9
18
9
6 10 10
r3 32r11
2 9
3 18
1 9
2 4
对一般的n阶方程组，消去过程分n-1步：
第一步消去a11下方元素。第二步消去a22下方元
令 c aik / akk （“适当倍数”）
对j= k+1~n+1（列）令 aij aij cakj
消元过程所用乘、除法次数为：
N1
n1 k 1
(n
k)(n 1 k
1)
n3 3
n2 2
5n 6
回代过程运算量：
令 xn bn / ann
n
对k = n – 1 ~ 1令 xk (bk akj x j ) / akk jk 1
对k=1~n做
对j= k+1~n+1令 akj akj / akk
对I=1~n但i≠k做（“适当倍数”）
对j= k+1~n+1令 aij aij aikakj
不过这种解法需要乘除次数：
N3
n
[(n
k 1
1
k)
(n
1)(n
1
k )]
n3 2
n2
n 2
比高斯消去法多
N3
N
1 6
(n3
n),
相当于多
a1n
x1
a2n
，x
=
x2
，
ann
xn
b1
b
=
b2
bn
§ 2.1 高斯消去法
2.1.1 高斯消去法的基本步骤
高斯（Gauss）消去法其实将一般的线 性方程组变换为三角形（上三角）方程组求 解问题（消元法）①，只是步骤规范，便于 编写计算机程序。
①中国东汉初年诞生的《九章算术》，记载了求解 线性代数组的消去法，比国外早1500年。
令 c aik / akk （“适当倍数”）
对j= k+1~n+1（列）令 aij aij cakj
回代过程是解同解的上三角形方程组
a11x1 a12x2
a22 x2
a1,n1 xn1 a1n xn
a2,n1xn1 a2 ,n xn
a x n1,n1 n1 an1,n xn ann xn
回代过程求 xn需1次除法，求xn-1需1次乘法、1 次除法，……，求需n –1次乘法1次除法，因
此共需乘除次数：
N2
1 2
n
n (n 1) 2
两过程共需乘除次数
。
N
N1
N2
n3 3
n2
n 3
当n=20时，N=3 060，显然比克莱姆法则少得 多。
线性代数教材讲授线性方程组解法时， 往往提倡用行初等变换把增广矩阵化为最简 形。如上例方程组，多用如下变换：
素，……，第n-1步消去an-1，n-1下方元素。即第k 步将第k行的适当倍数加于其后各行，或可说是 从k+1~n行减去第k行的适当倍数，使它们的第k 列元素变为零，而其余列元素减去第k行对应列 元素的倍数。
因此，如把增广矩阵 A 变换前后都在计算
机上用同一数组A存储， 则消去过程可写为：
对k=1~n-1（步）做 对i= k+1~n（行）做
第二章 解线性方程组的直接解法
高斯消元法 解三对解方程组的追赶法 方程组的病态问题
三角分解法
本章介绍求解n元线性代数方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
（2—1）
的直接解法，并研究舍入误差对解的影响。
消去未知量x2，得同解方程组
x19x22x218x33x3
1 9
2x3 4
这就是上三角方程组，它很容易求解。
③ 由第三方程得x3=-2，代入第二方程可得x2=5， 再代入第一方程得x1=-3。
一般高斯消去法包括两过程：先把方 程组化为同解的上三角形方程组，再按相 反顺序求解上三角形方程组。前者称消去 或消元过程，后者称回代过程。