高考数学二轮复习6个解答题综合仿真练(一)
2024年高考第二次模拟考试数学(新高考专用01)含答案
2024年高考第二次模拟考试高三数学（答案在最后）全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．B ． C.1x x ≤-,或3x >D ．【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤-，又{}1B x x =>-R ð则(){}1A B x x ⋃=>-R ð，故选：B.【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，又因为2z 为纯虚数，所以22020a b ab ⎧-=⎨≠⎩，即0a b =≠（舍）或0a b =-≠，所以i z a a =-，所以i z a a =+，所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z ---====-+++-.故选：D3.已知向量()2,4a =- ，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A.jB.j -C.2jD.2j- 【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t --=，求得2t =-，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b jjjj+⋅⋅ ，计算即可得解.【详解】由向量()2,4a =-，()1,b t = ，若a与b共线，则240t --=，所以2t =-，(1,2)a b +=-，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21a b jj j j jj+⋅-⋅⋅=⋅=，故选：C4.“1ab >”是“10b a>>”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>，当a<0时，由1ab >，得10b a<<；所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件.因为01010a b ab a a>⎧⎪>>⇔-⎨>⎪⎩，所以1ab >，所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）A.60B.114C.278D.336【答案】D【解析】命题意图本题考查排列与组合的应用.录用3人，有353360C A =种情况；录用4人，有4232354333162C C A C A -=种情况；录用5人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A -+-=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +---=，点()3,0P -，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（）A.()5,11,3⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭ B.[)5,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦C.(][) ,21,-∞-⋃+∞D.[)()2,11,---+∞ 【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥︒，由此可求解.【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a -+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=︒.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥︒，故1sin sin 302r MPD PD ∠=≥︒=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +-≥，解得[)5,1,3a ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC 所成角的正弦值的最大值为3，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A.4πB.6πC.8πD.9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥-P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【详解】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ的最大值是63，∴sin 3PA PQ PQ θ==≤，解得PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°，所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°，则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径2R OB =====，∴三棱锥-P ABC 的外接球的表面积2264π4π6π2S R ⎛==⨯= ⎝⎭．故选：B ．B．椭圆M的蒙日圆方程为D．长方形G的面积的最大值为【分析】由椭圆标准方程求得,a b后再求得c，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a2b=，则c==e==A正确；当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，=因此蒙2210x y+=，B正确；设矩形的边长分别为,m n，因此22402m n mn+=≥，即20mn≤，当且仅当m n=时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为C正确，D错误．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【分析】A，根据12||=MN x x p++结合基本不等式即可判断；B，由抛物线定义知当,,P M A三点共线时MF MP+；C，D，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x>，因为这些MN倾斜角不为0，则设直线MN的方程为32x ky=+，联立抛物线得2690y ky--=，则12126,9y y k y y+=⋅=-，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=，则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确；对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小，即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确；对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误；对D ，1212123339(()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a -=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（）A.若E的两条渐近线相互垂直，则a =B.若EE 的实轴长为1C.若1290F PF ∠=︒，则124PF PF ⋅=D.当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a =====，解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=︒，则122221224PF PF aPF PF c⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=-==⋅=，故C 正确；D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF aQF QF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +-=+=+，所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥=，当且仅当84a a=，即a =所以1F PQ周长的最小值为D 正确.故选：ACD【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =- ，根据数量积为0得到BC m ⊥，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =-=- ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误；B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z ----=，即224222x xy y z z=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ ，令1a =，则0,1b c ==-，则()1,0,1m =-，因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=-= ，故BC m ⊥，BC //平面1APB ，故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =r，故1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值为1113A F n A F n ⋅==⋅，则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点1B 到平面1A EF的距离为111141717A B n n ⋅=，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240【解析】【详解】因为二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x x ⎛+ ⎝，则二项式展开式的通项3662166C (C 2r r rr r rr T xx x--+==，令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，解得111433r ≤≤，因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x-⨯==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+'.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ''=-⇔++=-()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +-⎛⎫⎛⎫⇔++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos cos 1,0x x a ⇔=-=±=.故答案为014.若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +-=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D A y y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =-时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论．【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =-，圆()22114x y +-=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =-=+=-=+，当l y ⊥轴时，则1A D y y ==，所以113131622AB CD ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭；当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =-，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n -++=，所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。
2024年高考数学仿真模拟(一)含解析(题型同九省联考,共 19 个题)
2024年高考仿真模拟数试题（一） 试卷+答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （ ）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若789101120a a a a a ++++=，则17S =（ ） A ．150B ．120C ．75D ．68A ．672B ．864C ．936D ．1056说法正确的是（ ）（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．10．已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（ ）11．已知函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，()()()()()2f x y f x f y f x f y +++=⋅+；②若x y ≠，则A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2024年高考仿真模拟数试题（一）带答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7A ．150B ．120C ．75D ．68此时α与β可能平行或相交，故C 错误；对D 选项：若//l β，则必存在直线p β⊂，使//l p ， 又l α⊥，则p α⊥，又p β⊂，则αβ⊥，故D 正确.故选D.5．有7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式． A ．672 B ．864 C ．936 D ．1056A ．P 的轨迹为圆B ．P 到原点最短距离为1C ．P 点轨迹是一个菱形D ．点P 的轨迹所围成的图形面积为4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=答案 ABC解析 对于A ，令0x y ==，得()()23002f f =+ ，解得()01f =或()02f =， 若()01f =，令0y =，得()()212f x f x +=+，即()1f x ≡，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．O O 当外接球的球心O在线段12 =OO h四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）。
高考数学二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练(四) Word版含解析
6个解答题综合仿真练(四)1.如图，四棱锥P -ABCD 中， 底面ABCD 为菱形，且PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AC ，E 是PA 的中点，F 是PC 的中点．(1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)求证：AF ⊥平面BDE .证明：(1)连结OE ，因为O 为菱形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点．又因为E 为PA 的中点，所以OE ∥PC .又因为OE ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ，所以PC ∥平面BDE .(2)因为PA ＝AC ，△PAC 是等腰三角形，又F 是PC 的中点，所以AF ⊥PC .又OE ∥PC ，所以AF ⊥OE .又因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ⊥BD .因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，因为AF ⊂平面PAC ，所以AF ⊥BD .因为OE ∩BD ＝O ，所以AF ⊥平面BDE .2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2＋2ac ＝b 2，sin A ＝1010. (1)求sin C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由a 2＋c 2＋2ac ＝b 2，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－22， 又B ∈(0，π)，所以B ＝3π4. 因为sin A ＝1010，且B 为钝角，所以cos A ＝31010， 所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋3π4＝1010×⎝⎛⎭⎫－22＋31010×22＝55. (2)由正弦定理得a sin A ＝c sin C，所以c ＝a sin C sin A ＝2×551010＝22， 所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×22×22＝2. 3．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，一个焦点为F (－1,0)，点F 到相应准线的距离为3.经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)求椭圆M 的方程；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．解：(1)由焦点F (－1,0)知c ＝1，又a 2c －c ＝3，所以a 2＝4，从而b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－1，此时S 1＝S 2，|S 1－S 2|＝0； 若直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，k ≠0，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2. 此时|S 1－S 2|＝12·AB ·||y 1|－|y 2||＝2|y 1＋y 2| ＝2|k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)|＝2|k ||(x 1＋x 2)＋2|＝2|k |⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 23＋4k 2＋2＝2|k |⎪⎪⎪⎪63＋4k 2＝12|k |3＋4k 2. 因为k ≠0，所以|S 1－S 2|＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝1243＝3， 当且仅当3|k |＝4|k |，即k ＝±32时取等号． 所以|S 1－S 2|的最大值为 3.4.如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中M ，N 在线段DE (含端点)上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：AD ＝6米，AE ＝6米，AP ＝2米，∠MPN ＝π4.记∠EPM ＝θ(弧度)，监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．(1)求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；⎝⎛⎭⎫参考数据：tan 54≈3 (2)求S 的最小值．解：(1)法一：在△PME 中，∠EPM ＝θ，PE ＝AE －AP ＝4米，∠PEM ＝π4，∠PME ＝3π4－θ， 由正弦定理得PM sin ∠PEM ＝PE sin ∠PME， 所以PM ＝PE ·sin ∠PEM sin ∠PME ＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝4sin θ＋cos θ， 在△PNE 中，由正弦定理得PN sin ∠PEN ＝PE sin ∠PNE， 所以PN ＝PE ·sin ∠PEN sin ∠PNE ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝22cos θ， 所以△PMN 的面积S ＝12PM ·PN ·sin ∠MPN ＝4cos 2θ＋sin θcos θ＝41＋cos 2θ2＋12sin 2θ ＝8sin 2θ＋cos 2θ＋1＝82sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋1，当M 与E 重合时，θ＝0；当N 与D 重合时，tan ∠APD ＝3， 即∠APD ＝54，θ＝3π4－54，所以0≤θ≤3π4－54. 综上可得，S ＝82sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋1，θ∈⎣⎡⎦⎤0，3π4－54. 法二：在△PME 中，∠EPM ＝θ，PE ＝AE －AP ＝4米，∠PEM ＝π4，∠PME ＝3π4－θ， 由正弦定理得ME sin θ＝PE sin ∠PME， 所以ME ＝PE ·sin θsin ∠PME ＝4sin θsin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝42sin θsin θ＋cos θ，在△PNE 中，由正弦定理得NE sin ∠EPN ＝PE sin ∠PNE ， 所以NE ＝PE ·sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos θ ＝22(sin θ＋cos θ)cos θ， 所以MN ＝NE －ME ＝22cos 2θ＋sin θcos θ， 又点P 到DE 的距离为d ＝4sin π4＝22， 所以△PMN 的面积S ＝12MN ·d ＝4cos 2θ＋sin θcos θ＝41＋cos 2θ2＋12sin 2θ ＝8sin 2θ＋cos 2θ＋1＝82sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋1，当M 与E 重合时，θ＝0；当N 与D 重合时，tan ∠APD ＝3，即∠APD ＝54，θ＝3π4－54， 所以0≤θ≤3π4－54. 综上可得，S ＝82sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋1，θ∈⎣⎡⎦⎤0，3π4－54. (2)当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8∈⎣⎡⎦⎤0，3π4－54时，S 取得最小值为82＋1＝8(2－1). 所以可视区域△PMN 面积的最小值为8(2－1)平方米．5．设a >0且a ≠1，函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a －a .(1)当a ＝e 时，求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )的最小值；(3)指出函数f (x )的零点个数，并说明理由．解：(1)当a ＝e 时，f (x )＝e x ＋x 2－x －e ，f ′(x )＝e x ＋2x －1.设g (x )＝e x ＋2x －1，则g (0)＝0，且g ′(x )＝e x ＋2>0.所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，当x >0时，g (x )>g (0)＝0；当x <0时，g (x )<g (0)＝0.即当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0.综上，函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)．(2)f′(x)＝a x ln a＋2x－ln a＝(a x－1)ln a＋2x，①当a>1时，若x>0，则a x>1，ln a>0，所以f′(x)>0，若x<0，则a x<1，ln a>0，所以f′(x)<0.②当0<a<1时，若x>0，则a x<1，ln a<0，所以f′(x)>0，若x<0，则a x>1，ln a<0，所以f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(0)＝1－a.(3)由(2)得，a>0，a≠1，f(x)min＝1－a.①若1－a>0，即0<a<1时，f(x)min＝1－a>0，函数f(x)不存在零点．②若1－a<0，即a>1时，f(x)min＝1－a<0.f(x)的图象在定义域内是不间断的曲线，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．f(a)＝a a＋a2－a ln a－a>a2－a ln a－a＝a(a－ln a－1)．令t(a)＝a－ln a－1(a>1)，t′(a)＝1－1a>0，所以t(a)在(1，＋∞)上单调递增；所以t(a)>t(1)＝0.所以f(a)>0.故f(x)在(0，a)上有一个零点．又f(－a)＝a－a＋a2＋a ln a－a>a2－a＝a(a－1)>0，故f(x)在(－a,0)上有一个零点．所以f(x)在(－∞，0)上和(0，＋∞)上各有一个零点，即f(x)有2个零点．综上，当0<a<1时，函数f(x)不存在零点；当a>1时，函数f(x)有2个零点．6．已知数列{a n}的通项公式a n＝2n－(－1)n，n∈N*.设an1，an2，…，an i(其中n1<n2<…<n i，i∈N*)成等差数列．(1)若i＝3.①当n1，n2，n3为连续正整数时，求n1的值；②当n1＝1时，求证：n3－n2为定值；(2)求i的最大值．解：(1)①依题意，an1，an1＋1，an1＋2成等差数列，即2an1＋1＝an1＋an1＋2，从而2[2n1＋1－(－1)n1＋1]＝2n1－(－1)n1＋2n1＋2－(－1)n1＋2，当n1为奇数时，解得2n1＝－4，不存在这样的正整数n1；当n1为偶数时，解得2n1＝4，所以n1＝2.②证明：依题意，a1，an2，an3成等差数列，即2an2＝a1＋an3，从而2[2n2－(－1)n2]＝3＋2n3－(－1)n3，当n2，n3均为奇数时，2n2－2n3－1＝1，左边为偶数，故矛盾；当n2，n3均为偶数时，2n2－1－2n3－2＝1，左边为偶数，故矛盾；当n2为偶数，n3奇数时，2n2－2n3－1＝3，左边为偶数，故矛盾；当n2为奇数，n3偶数时，2n2＋1－2n3＝0，即n3－n2＝1.(2)设a s，a r，a t(s<r<t)成等差数列，则2a r＝a s＋a t，即2[2r－(－1)r]＝2s－(－1)s＋2t－(－1)t，整理得，2s＋2t－2r＋1＝(－1)s＋(－1)t－2(－1)r，若t＝r＋1，则2s＝(－1)s－3(－1)r，因为2s≥2，所以(－1)s－3(－1)r只能为2或4，所以s只能为1或2；若t≥r＋2，则2s＋2t－2r＋1≥2s＋2r＋2－2r＋1≥2＋24－23＝10，(－1)s＋(－1)t－2(－1)r≤4，故矛盾，综上，只能a1，a r，a r＋1成等差数列或a2，a r，a r＋1成等差数列，其中r为奇数，从而i的最大值为3.。
2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练【含解析】
2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练一、解答题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()113n n S a =-.（1）求1a ，2a ；（2）证明：数列{}n a 是等比数列.答案：（1）112a =-；214a =（2）数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列解析：（1）当1n =时，()111113a S a ==-，所以112a =-.当2n =时，()22211123S a a =-+=-，所以214a =.（2）由()113n n S a =-，得()1111(2)3n n S a n --=-≥，所以()111(2)3n n n n n a S S a a n --=-=-≥，所以11(2)2n n a a n -=-≥.又112a =-，所以数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列.所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知()32121n a n n =+-=+.3．在数列{}n a 中,14a =,1431n n a a n +=-+,*n ∈N .（1）设n n b a n =-,求证：数列{}n b 是等比数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .答案：（1）见解析（2）()1412n n n ++-解析：（1）证明：1431,n n a a n +=-+11(1)43114()4,n n n n n b a n a n n a n b ++∴=-+=-+--=-=又111413,b a =-=-=∴数列{}n b 是首项为3、公比为4的等比数列;（2）由（1）可知134n n a n --=⨯,即134n n a n -=+⨯,()()()31411412142n n n n n n n S -++∴=+=--.4．在数列{}n a 中,616a =,点()()1,n n a a n *+∈N 在直线30x y -+=上.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若2n n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）32n a n =-（2）见解析解析：（1）依题意,130n n a a +-+=,即13n n a a +-=,因此数列{}n a 是公差为3的等差数列,则63(6)32n a a n n =+-=-,所以数列{}n a 的通项公式是32n a n =-.（2）由（1）得(32)2n n b n =-⋅,则132421242(32)2n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯,于是23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯,两式相减得2123112(12))23(222(32)22(312)232n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+--⋅--⋅-=+⋅-1(532)10n n +⋅=--,所以1(35)210n n T n +=-⋅+.5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且636S =,1a ,3a ,13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若不等式4n kT <对任意的*n ∈N 都成立,求实数k的取值范围.答案：（1）21n a n =-（2）2k ≥.解析：（1）设等差数列{}n a 公差为d ,由题意1211161536(2)(12)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩,0d ≠,解得112a d =⎧⎨=⎩,所以12(1)21n a n n =+-=-;（2）由（1）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+,所以1111111111(1)()((12323522121221n T n n n =-+-++-=--++,易知n T 是递增的且12n T <,不等式4n k T <对任意的*n ∈N 都成立,则142k ≥,所以2k ≥.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足24(1)n S n =+,n +∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若对任意的n +∈N ,不等式25n T a a <-恒成立,求实数a 的取值范围.答案：（1） 1, 1 21, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩（2）3a ≤-或4a ≥解析：（1）24(1)n S n =+当1n =时,214(11)a =+,即11a =当2n ≥时,由1n n n a S S -=-,故224(1)21n a n n n =+-=+,得214n n a +=.易见11a =不符合该式,故 1 121, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+=⎪⎩，（2）由0n a >,易知n T 递增;112145T a a ==当2n ≥时,()()111611821232123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭.从而41111111281285577921235235n T n n n ⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪+++⎝⎭.又由25n T a a <-,故212a a ≤-,解得3a ≤-或4a ≥即实数a 的取值范围为3a ≤-或4a ≥7．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知112a =,n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式;（2）设()1nn n b a =-,求{}n b 的前2n 项和2n T .答案：（1）12n a n =（2）2n解析：（1）由n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列,且111S a =,则()11111222n n S n n a =+-⨯=+,即()21n n S n a =+,当2n ≥时,112n n S na --=,两式相减可得：()121n n n a n a na -=+-,整理可得11n n a na n -=-,故121121121121212n n n n n a a a n n a a n n a a a n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-=-,将1n =代入上式,12n a =,故{}n a 的通项公式为12n a n =.（2）由()1nn n b a =-,则21212342221n n n n a a T b a a a a b b -=-+-+-+-+++=()()()()22121242132122n n n n n a a n a a a a a a a a --++=+++-+++=-()111122*********n nn n ⎡⎤=⨯+⨯-⨯-⨯⎢⎥⎦=-⎣.8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,且11a =,34a =,数列{}n b 中()*221log log n n n b a a n +=+∈N .（1）求数列{}n b 的通项公式;（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ,数列{}n c 满足141n n c S =-,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）21n b n =-（2）21n nT n =+解析：（1）正项等比数列{}n a 的公比为q ,由231a a q =,得24q =,而0q >,解得2q =,于是1112n n n a a q --==,由221log log n n n b a a +=+,得12222log o 21l g n n n n b -=+=-,所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-.（2）由（1）知,21n b n =-,显然数列{}n b 是等差数列,21(21)2n n S n n +-=⋅=,2111111(4141(21)(21)22121n n c S n n n n n ====----+-+,所以11111111[(1)()()](1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++.9．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,满足33a =,410S =.数列{}n b 满足12b =,112n n n nb a b a ++=,*n ∈N .（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;（2）设数列{}n c 满足()1(1)32n n n n n c a b +-+=,*n ∈N ,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ,11234610a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,解得11a =,1d =,n a n ∴=.()121n n n b b n ++=,112n n b n b n++∴=,且121b =,所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,2n nb n∴=,2n n b n ∴=⋅（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭,()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅10．已知各项为正的数列{}n a 的首项为2,26a =,22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ,求数列{}28n n S a +-(其中*n ∈N )前n 项和的最小值.答案：（1）42n a n =-（2）最小值为38-解析：（1）因为22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--,所以有()()12120n n n n n a a a a a +++++-=,而0n a >,10n n a a +∴+≠,所以2120n n n a a a +++-=,则211121n n n n n n a a a a a a a a +++--=-=-=⋅⋅⋅=-,又12a =,26a =,∴214a a -=,由等差数列定义知数列{}n a 是以2为首项,4为公差的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为42n a n =-.（2）由（1）有2(1)=2+4=22n n n S n n -⨯,()()2282430253n n S a n n n n ∴+-=+-=+-,令280n n S a +->,有4,5,6,n =⋅⋅⋅;280n n S a +-<,有1,2n =;280n n S a +-=,有3n =.所以{}28n n S a +-前n 项和的最小值为()()()()215132252338+-++-=-,当且仅当2n =,3时取到.11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知2n S n =,等比数列{}n b 满足11b a =,35b a =.（1）求{}n a 的通项公式;（2）求{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）()*21n a n n =-∈N （2）当3q =时,3122n n T =-;当3q =-时,1(3)44n n T -=-.解析：（1）当1n =时,111a S ==,当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(1)n n =--21n =-,因为11a =适合上式,所以()*21n a n n =-∈N .（2）由（1）得11b =,39b =,设等比数列{}n b 的公比为q ,则2319b b q =⋅=,解得3q =±,当3q =时,()113311322n n nT ⋅-==--,当3q =-时,11(3)1(3)1(3)44nn n T ⎡⎤⋅---⎣⎦==---.12．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+.（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若4a ，7a ，9a 成等比数列，求n S 的最小值.答案：（1）证明见解析（2）12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78解析：（1）由221nn S n a n+=+，得2n n 22S n a n n +=+，①所以2112(1)2(1)(1)n n S n a n n ++++=+++，②②-①，得112212(1)21n n n a n a n a n ++++=+-+，化简得11n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为1的等差数列.（2）由（1）知数列{}n a 的公差为1.由2749a a a =，得()()()2111638a a a +=++，解得112a =-.所以22(1)251256251222228n n n n n S n n --⎛⎫=-+==-- ⎪⎝⎭，所以当12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78.13．已知数列{}n a 满足11a =，11,,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，数列{}n b 满足22n n b a =-.（1）求2a ，3a .（2）求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式.（3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<.答案：（1）232a =，352a =-（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）由数列{}n a 的递推关系，知2113122a a =+=，325222a a =-⨯=-.（2）()12221212211112(21)2(21)4(21)12222n n n n n n b a a n a n a n n a ++++=-=++-=+-=-+-=-()211222n n a b =-=.因为12122b a =-=-，所以数列{}n b 的各项均不为0，所以112n n b b +=，即数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列，所以1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（3）由（2）知11221log log 2nn n c b n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以12231111n nc c c c c c -+++1111223(1)n n =+++⨯⨯-1111112231n n=-+-++--11n=-1<.14．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log nn na b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T ≤<.答案：（1）2n n a =（2）证明见解析解析：（1）因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以32424a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122224a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =，所以1222n n n a -=⨯=.（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n nn n a n b a +++===，所以2323412222n nn T +=++++，①231123122222n n n n n T ++=++++，②①-②得23111111122222n nn n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---11112133122222n n n n n +++++=+--=-.所以3332n nn T +=-<.又因为102n n n b +=>，所以{}n T 是递增数列，所以11n T T ≥=，所以13n T ≤<.15．在①221n n b b =+，②212a b b =+，③1b ，2b ，4b 成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=，公差不等于0的等差数列{}n b 满足__________，__________求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .答案：选①②；选②③解析：因为11a =，13n n a a +=，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=.方案一：选①②.设数列{}n b 的公差为d ，因为23a =，所以123b b +=.因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，解得123b =，273b =，所以53d =，所以533n n b -=，满足221n n b b =+，所以533n n n b n a -=，所以12123122712533333n n nn b b b n S a a a -=+++=++++，所以2341127125853333333n n n n n S +--=+++++，两式相减，得23111122111532515533109533333336233223n n n n n n n n n S ++++--+⎛⎫=++++-=+--=- ⎪⨯⨯⎝⎭，所以9109443n n n S +=-⨯.方案二：选②③.设数列{}n b 的公差为d ，因为2133a a ==，所以123b b +=，即123b d +=.因为1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以11d b ==，所以n b n =，所以13n n n b n a -=，所以120121121233333n n n n b b b n S a a a -=+++=++++，所以123111231333333n n nn n S --=+++++，两式相减，得1231211113132311333333233223n n n n n n n n n S -+⎛⎫=+++++-=--=- ⎪⨯⎝⎭，所以1923443n n n S -+=-⨯.方案三：选①③.设数列{}n b 的公差为d ，因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，所以11d b =+.又1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以1b d =，此式与11d b =+矛盾.所以等差数列{}n b 不存在，故不符合题意.。
高考数学二轮复习专练六仿真模拟题(一)
仿真模拟题(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 为虚数单位，则复数z ＝2i 31＋i在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( ) A ．20辆 B ．40辆 C ．60辆 D ．80辆3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x －sin 2x B ．y ＝lg|x |C ．y ＝e x－e－x 2D ．y ＝x 34．(2013·高考北京卷)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x5．(2013·高考安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A.16 B.2524 C.34 D.11126．给出下列命题：①如果不同直线m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不相交； ②如果不同直线m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定平行；③如果平面α、β互相平行，若直线m ⊂α，直线n ⊂β，则m ∥n ；④如果平面α、β互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β.则真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．07．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．[34，43)C ．[34，＋∞) D ．(1，＋∞)8．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－1，1]C ．[0，1]D ．[－1，0)∪(0，1] 9．(2013·高考山东卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．110．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2，1) D ．(－2，1)二、填空题(本大题5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．) (一)必做题(11～13题)11．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．12．已知a n ＝cos n π6＋161＋2cos 2n π12(n ∈N *)，则数列{a n }的最小值是________．13．已知函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，若向量a ＝(log 12m ，－1)，b ＝(1，－2)，则满足不等式f (a ·b )<f (－1)的实数m 的取值范围是________．(二)选做题(14～15，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22ty ＝6＋22t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，则圆心到直线l 的距离为________．15．(几何证明选讲选做题)如图，PQ 为半圆O 的直径，A 为以OQ 为直径的半圆A 的圆心，⊙O 的弦PN 切⊙A 于点M ，PN ＝8，则⊙A 的半径为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．17．(本小题满分12分)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列表：(1)(2)如果采用分层抽样的方法从爱好该项运动的大学生中选取6人，组成一个兴趣小组，求被选取的男女生的人数各是多少？(3)在上述6人小组中，随机选定2人去做某件事，求这2人中有女生被选中的概率． 数据：公式：K 2＝n ×（ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）18．(本小题满分14分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0(n ≥2，且n ∈N *)．(1)若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，求实数λ； (2)求数列{a n }的通项公式．19．(本小题满分14分)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱CC 1的中点，F 是AB 的中点，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2. (1)求证：CF ∥平面AB 1E ； (2)求三棱锥C -AB 1E 在底面AB 1E 上的高．20．(本小题满分14分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)以抛物线y 2＝8x 的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线x ＝－4相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP →＝OA →＋OB →(其中O 为坐标原点)，试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP →·TQ →为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP →·TQ →的值；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2－e x(a∈R)．(1)当a＝1时，试判断f(x)的单调性并给予证明；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)．①求实数a的取值范围；②证明：－e2<f(x1)<－1.(注：e是自然对数的底数)答案：1．【解析】选C.因为z ＝2i 31＋i ＝－2i1＋i ＝－2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－i(1－i)＝－1－i ，所以复数z ＝2i 31＋i 在复平面内对应的点位于第三象限，故应选C. 2．【解析】选A.由频率分布直方图可得，大于或等于80 km/h 的汽车的频率为0.01×10＝0.1，所以其频数为0.1×200＝20，即被处罚的汽车大约有20辆． 3．【解析】选B.由偶函数排除C 、D ，再由在区间(1，2)内是增函数排除A.故选B.4．【解析】选B.∵e ＝3，∴ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y22a2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x .5．【解析】选D.s ＝0，n ＝2，2<8，s ＝0＋12＝12；n ＝2＋2＝4，4<8，s ＝12＋14＝34；n ＝4＋2＝6，6<8，s ＝34＋16＝1112；n ＝6＋2＝8，8<8不成立，输出s 的值为1112.6．【解析】选C.当不同直线m 、n 都平行于平面α时，m 、n 的位置不能确定，因此命题①不是真命题；根据直线与平面垂直的性质定理可得命题②是真命题；命题③中m 、n 的位置关系不能确定，因此命题③不是真命题；命题④中的直线n 与平面β的位置关系不确定，因此命题④也不是真命题．故选C. 7．【解析】选B.A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤09－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34a <43，即34≤a <43，故选B.8．【解析】选B.作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.9．【解析】选B.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，∴1sin A ＝32sin A cos A. ∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0.∴cos A ＝32.又0<A <π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋（3）2＝2.10．【解析】选C.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以f (x )的图象如图所示，因f (1)＝－2，f (－2)＝－2，若函数f (x )在(a ，6－a 2)上有最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <16－a 2>1，解得－2≤a <1. 11．【解析】在x －y ＋1＝0中，令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1，0)，即圆C 的圆心为(－1，0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.【答案】(x ＋1)2＋y 2＝212．【解析】设t ＝2＋cos n π6，有1≤t ≤3，则a n ＝cos n π6＋162＋cosn π6＝t ＋16t －2.用导数可以证明，函数f (t )＝t ＋16t在1≤t ≤3上是单调递减的，所以当t ＝3，即n ＝12k (k ∈N *)时，a n 取最小值193.【答案】19313．【解析】因为函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数y ＝f (x )为开口向下、以x ＝1为对称轴的二次函数，所以f (－1)＝f (3)．又因为a ·b ＝log 12m ＋2，所以不等式f (a ·b )<f (－1)即为不等式log 12m ＋2<－1或log 12m ＋2>3，解得m >8或0<m <12.【答案】(0，12)∪(8，＋∞)14．【解析】圆C 的直角方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2)；由参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22ty ＝6＋22t 消去t 后，得直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线l 的距离为|0＋2－6|12＋12＝22；【答案】2 215．【解析】设⊙A 的半径为R ，连接NQ 、MA ，∵∠PNQ ＝90°，∠PMA ＝90°，∴PMPN＝P A PQ ＝34， 又PN ＝8，∴PM ＝6，而PM 2＝PO ·PQ ，∴36＝2R ·4R ，∴OA ＝R ＝322.【答案】32216．【解】(1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．17．【解】(1)K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8>6.635，而P (K 2≥6.635)≈0.010＝1%，即，认为“爱好该项运动与性别没有关系”的概率是1%，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．(2)应抽取男生人数为660×40＝4人，应抽取女生人数为660×20＝2人．(3)设6人中2个女生分别为A ，B ，4个男生分别为c ，d ，e ，f ， 则从6人中随机选定2人去做某件事的基本事件为：AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15个基本事件，其中，有女生被选中的事件为AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf ，共9个，∴有女生被选中的概率为P ＝915＝35.18．【解】(1)设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1)(n ≥2)， ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝－103λμ＝－1，∴λ＝－13或λ＝－3.(2)由(1)知当n ≥2时，a n －13a n －1＝3n －1，①a n －3a n －1＝13n －1，②由①②得a n ＝38(3n －13n )．经验证，n ＝1时也成立，∴a n ＝38(3n －13n )．19．【解】(1)证明：取AB 1的中点G ，连接EG ，FG ， ∵F 、G 分别是AB 、AB 1的中点，∴FG ∥BB 1，FG ＝12BB 1.∵E 为侧棱CC 1的中点， ∴FG ∥EC ，FG ＝EC ，∴四边形FGEC 是平形四边形， ∴CF ∥EG ，∵CF ⊄平面AB 1E ，EG ⊂平面AB 1E ， ∴CF ∥平面AB 1E . (2)∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴BB 1⊥平面ABC .又AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BB 1. ∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴AC ⊥平面EB 1C ，∴AC ⊥CB 1，∴VA EB 1C ＝13S △EB 1C ·AC ＝13×(12×1×1)×1＝16.∵AE ＝EB 1＝2，AB 1＝6，∴S △AB 1E ＝32.∵VC AB 1E ＝VA EB 1C ，∴三棱锥C -AB 1E 在底面AB 1E 上的高为3VC －AB 1E S △AB 1E＝33.20．【解】(1)抛物线y 2＝8x 的焦点为椭圆E 的顶点， 即a ＝2. 又c a ＝12，故c ＝1，b ＝ 3. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m 3x 2＋4y 2＝12， 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3.将P (－8km 4k 2＋3，6m4k 2＋3)代入椭圆E 的方程，得64k 2m 24（4k 2＋3）2＋36m 23（4k 2＋3）2＝1. 整理，得4m 2＝4k 2＋3.设T (t ，0)，Q (－4，m －4k )．∴TQ →＝(－4－t ，m －4k )，OP →＝(－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3)．即OP →·TQ →＝32km ＋8kmt 4k 2＋3＋6m （m －4k ）4k 2＋3＝6m 2＋8km ＋8kmt 4k 2＋3.∵4k 2＋3＝4m 2，∴OP →·TQ →＝6m 2＋8km ＋8kmt 4m 2＝32＋2k （1＋t ）m.要使OP →·TQ →为定值，只需[2k （1＋t ）m ]2＝4k 2（1＋t ）2m 2＝（4m 2－3）（1＋t ）2m 2为定值，则1＋t ＝0，∴t ＝－1，∴在x 轴上存在一点T (－1，0)，使得OP →·TQ →为定值32. 21．【解】(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－e x ，f (x )在R 上单调递减．f ′(x )＝2x －e x ，只要证明f ′(x )≤0恒成立即可，设g (x )＝f ′(x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，当x ＝ln 2时，g ′(x )＝0，当x ∈(－∞，ln 2)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )<0.∴f ′(x )max ＝g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2<0，故f ′(x )<0恒成立，∴f (x )在R 上单调递减．(2)①若f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，故方程2ax －e x ＝0有两个根x 1，x 2，又x ＝0显然不是该方程的根，∴方程2a ＝e x x有两个根． 设φ(x )＝e x x ，得φ′(x )＝e x （x －1）x 2， 当x <0时，φ(x )<0且φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x >0时，φ(x )>0，当0<x <1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x >1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， 要使方程2a ＝e x x有两个根，需2a >φ(1)＝e ， 故a >e 2且0<x 1<1<x 2， 故a 的取值范围为(e 2，＋∞)． ②证明：由f ′(x 1)＝0，得2ax 1－e x 1＝0，故a ＝e x 12x 1，x 1 ∈(0，1)， f (x 1)＝ax 21－e x 1＝e x 12x 1·x 21－e x 1＝e x 1(x 12－1)，x 1∈(0，1)， 设φ(t )＝e t (t 2－1)(0<t <1)，则φ′(t )＝e t ·t －12<0， φ(t )在0<t <1上单调递减，故φ(1)<φ(t )<φ(0)，即－e 2<f (x 1)<－1.。
高考数学二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练(二) Word版含解析
6个解答题综合仿真练(二)1．已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若a －b ＝⎝⎛⎭⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 解：(1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )， 且a －b ＝⎝⎛⎭⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α. 由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75. 所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925. (2)因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14. 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815.从而tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237. 2.如图，四棱锥P -ABCD 中，PD ＝PC ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点．求证：(1)AM ∥平面PBC ； (2)CD ⊥PA .证明：(1)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点，故AB ∥CM ，且AB ＝CM ，所以四边形ABCM 是平行四边形，所以AM ∥BC .又BC ⊂平面PBC ，AM ⊄平面PBC ，所以AM ∥平面PBC .(2)连结PM ，因为PD ＝PC ，点M 是CD 的中点， 所以CD ⊥PM ， 又AB ⊥BC ，所以平行四边形ABCM 是矩形，所以CD ⊥AM ， 又PM ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ， PM ∩MA ＝M ，所以CD ⊥平面PAM . 又PA ⊂平面PAM ，所以CD ⊥PA .3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . (1)求椭圆的标准方程；(2)过点D (2，－2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．解：(1)由已知得c ＝1，又e ＝c a ＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设直线PQ 的方程为y ＝k (x －2)－2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)－2，x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得(2k 2＋1)x 2－(42k 2＋42k )x ＋4k 2＋8k ＋2＝0，所以x 1＋x 2＝42k 2＋42k 2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋8k ＋22k 2＋1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－22k －22＝－22－22k2k 2＋1，又A (2，0)，所以k AP ＋k AQ ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2，由y 1x 2＋y 2x 1＝[k (x 1－2)－ 2 ]x 2＋[k (x 2－2)－ 2 ]x 1＝2kx 1x 2－(2k ＋2)(x 1＋x 2)＝－4k2k 2＋1， 故k AP ＋k AQ ＝y 1x 2＋y 2x 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2＝－4k2k 2＋1－2×－22－22k 2k 2＋14k 2＋8k ＋22k 2＋1－2×42k 2＋42k2k 2＋1＋2＝1，所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.4.如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°.当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上(M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间)，且∠MON ＝30°.(1)若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；(2)为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．解：(1)在△OAB 中，因为OA ＝3，OB ＝33，∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°. 在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝7， 所以OM ＝7，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝277，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝277. 在△OMN 中，由MN sin 30°＝OM sin ∠ONA ，得MN ＝7277×12＝74.(2)法一：设AM ＝x,0＜x ＜3.在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9， 所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x 2x 2－3x ＋9，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9.由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA ，得ON ＝36－x 2x 2－3x ＋9·32＝3 3 x 2－3x ＋96－x. 所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON＝12·x 2－3x ＋9·3 3 x 2－3x ＋96－x·12＝33(x 2－3x ＋9)4(6－x )，0＜x ＜3.令6－x ＝t ，则x ＝6－t,3＜t ＜6，则S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334⎝⎛⎭⎫t －9＋27t ≥334·⎝⎛⎭⎫2t ·27t －9＝27(2－3) 4.当且仅当t ＝27t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4.所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3)4km 2. 法二：设∠AOM ＝θ，0＜θ＜π3，在△OAM 中，由OM sin ∠OAB ＝OAsin ∠OMA，得OM ＝332sin ()θ＋60°.在△OAN 中，由ON sin ∠OAB ＝OAsin ∠ONA，得ON ＝332sin ()θ＋90°＝332cos θ.所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON＝12·332sin ()θ＋60°·332cos θ·12 ＝2716sin ()θ＋60°cos θ＝278sin θcos θ＋83cos 2θ＝274sin 2θ＋43cos 2θ＋43＝278sin ()2θ＋60°＋43，0＜θ＜π3.当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，S △OMN 的最小值为27(2－3)4. 所以应设计∠AOM ＝15°，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3)4 km 2.5．已知数列{a i }共有m (m ≥3)项，该数列前i 项和为S i ，记r i ＝2S i －S m (i ≤m ，i ∈N *). (1)当m ＝10时，若数列{a i }的通项公式为a i ＝2i ＋1，求数列{r i }的通项公式； (2)若数列{r i }的通项公式为r i ＝2i (i ≤m ，i ∈N *)， ①求数列{a i }的通项公式；②数列{a i }中是否存在不同的三项按一定次序排列构成等差数列，若存在求出所有的项，若不存在请说明理由．解：(1)因为S i ＝3＋(2i ＋1)2·i ＝i 2＋2i, 所以由题意得r i ＝2S i －S 10＝2i 2＋4i －120(i ≤10，i ∈N *). (2)①因为r i ＝2S i －S m ＝2i ， r i ＋1＝2S i ＋1－S m ＝2i ＋1，两式相减得a i ＋1＝2i －1，所以数列{a i }从第2项开始是以1为首项，2为公比的等比数列， 即a i ＝2i －2(2≤i ≤m ，i ∈N *)．又2a 1＝2＋S m ，即a 1＝2＋(a 2＋a 3＋…＋a m )＝2＋1－2m －11－2＝2m －1＋1.所以数列{a i }的通项公式为a i ＝{ 2m －1＋1，i ＝1，2i －2，2≤i ≤m ，i ∈N *.②数列{a i }中任意三项都不能构成等差数列，理由如下：因为数列{a i }从第2项开始是以2为公比的等比数列，所以若存在三项构成等差数列，不妨设为a p ，a q ，a r (2≤p <q <r ≤m ，p ，q ，r ∈N *)，则有2a q ＝a p ＋a r ，即2·2q －2＝2p －2＋2r－2,2q －p ＋1＝1＋2r －p .因为q －p ＋1∈N *，r －p ∈N *，所以上式左边为偶数，右边为奇数，此时无解． 所以数列{a i }从第2项至第m 项中不可能存在三项构成等差数列，所以若数列{a i }中存在三项构成等差数列，则只能是a 1和第2项至第m 项中的两项，不妨设为a p ，a q (2≤p <q ≤m ，p ∈N *，q ∈N *)．因为0<a p <a q ≤a m <a 1.所以a p ，a q ，a 1若构成等差数列，只能是a q 为等差中项， 故有2·2q －2＝2p －2＋(2m －1＋1)，因为左边＝2q －1≤2m －1，右边>2m －1，所以该情况下也无解． 因此，数列{a i }中任意三项都不能构成等差数列．6．设函数f (x )＝2a ln x ＋(1－a )x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求b 的值；(2)当a ≤12时，求函数f (x )的单调区间；(3)若存在x ≥1使得f (x )<2aa －1成立，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax＋2(1－a )x －b ， 由题设知f ′(1)＝2a ＋2(1－a )－b ＝0，解得b ＝2. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝2a ln x ＋(1－a )x 2－2x ，f ′(x )＝2(1－a )(x －1)⎝⎛⎭⎫x －a1－a x .由f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a1－a .因为a ≤12，所以1－a >0，a 1－a ≤1.①当a1－a≤0，即a ≤0时， x ∈(0,1]时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减； x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ②当0<a 1－a<1，即0<a <12时，x ∈⎝⎛⎦⎤0，a1－a 时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；x ∈⎣⎡⎦⎤a1－a ，1时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减； x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③当a 1－a＝1，即a ＝12时，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0,1]，单调递增区间为[1，＋∞)； 当0<a <12时，f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤a 1－a ，1，单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，a 1－a ，[1，＋∞)； 当a ＝12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.(3)①若a ≤12，由(2)知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以存在x ≥1使得f (x )<2a a －1成立的充要条件为f (1)<2aa －1，即－a －1<2aa －1，解得－2－1＜a ＜2－1.②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，a1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞上单调递增．所以存在x ≥1使得f (x )<2a a －1成立的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1－a <2aa －1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝2a ln a 1－a ＋a 21－a ＋2a a －1>2a a －1，所以不符合题意．③若a ＞1，因为存在x ＝1，即f (1)＝－a －1<2a a －1成立．所以a ＞1适合题意．综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．。
【金版学案】高考数学理科二轮复习习题：专题专题综合检测卷(一)含答案
专题综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)本部分学生用书单独成册一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·湖南卷)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的(C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵ A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，∴ “A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．2．若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为(A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：由题意，得log 12(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，解得－12<x <0.3．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则(C )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b解析：∵－log 30.3＝log 3103>1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∵y ＝5x 为增函数，∴5log 23.4>5log 43.6，即5log 23.4>⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3>5log 43.6，∴a >c >b .4．(2014·新课标Ⅱ卷)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则(C )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：若x ＝x 0是函数f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0；若f ′(x 0)＝0，则x ＝x 0不一定是极值点，例如f (x )＝x 3，当x ＝0时，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件．选C.5．函数y ＝cos 6x2x －2－x的图象大致为(D )解析：函数f(x)＝cos 6x2x－2－x，f(－x)＝cos 6x2－x－2x＝－f(x)，f(x)为奇函数，当x→0且x＞0时f(x)→＋∞；当x→0，且x＜0时f(x)→－∞；当x→＋∞，2x－2－x→＋∞，f(x)→0；当x→－∞，2x－2－x→－∞，f(x)→0.故选D.6．设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD；反之若AC⊥BD，则四边形不一定是平行四边形，故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．故选A.7．(2014·新课标Ⅱ卷)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(D)A．0 B．1 C．2 D．3解析：因为y＝a－1x＋1，所以切线的斜率为a－1＝2，解得a＝3.故选D.8. 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(A)A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x解析：根据函数奇偶性的判断可得选项A、B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，所以排除C，D选项，由二次函数的图象可得选项B在(－∞，0)是单调递减的，根据排除法选A.因为函数y＝x 2在(－∞，0)是单调递减的且y ＝1x在(0，＋∞)是单调递减的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A 在(－∞，0)是单调递增的．9．(2014·辽宁卷)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为(A ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34 解析：先画出当x ≥0时，函数f (x )的图象，又f (x )为偶函数，故将y 轴右侧的函数图象关于y 轴对称，得y 轴左侧的图象，如下图所示，直线y ＝12与函数f (x )的四个交点横坐标从左到右依次为－34，－13，13，34，由图象可知，13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－13，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.故选A.10．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则(A )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是(C )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：由f (x )≥0，可得x ≥0或x ≤－1.当x ≤－1时，f (x )≥1；当x ≥0时，f (x )≥0.又g (x )为二次函数，其值域为(－∞，a ]或[b ，＋∞)，而f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，可知g (x )≥0.12．已知函数f (x )＝33x －1ax 2＋ax －3的定义域是R ，则实数a 的取值范围是(B )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a >13 B ．{a |－12<a ≤0} C ．{a |－12<a <0} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≤13 解析：由a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝a 2－4a ×（－3）<0，可得－12<a ≤0.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x ＞0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围是(－∞，2]．解析：由题意，当x ＞0时，f (x )的极小值为f (1)＝2；当x ≤0时，f (x )极小值为f (0)＝a ，f (0)是f (x )的最小值，则a ≤2.14．(2014·江西卷)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是(e ，e)．解析：因为y ′＝ln x ＋1，设切点(a ，b )，则k ＝ln a ＋1＝2，a ＝e ，又b ＝a ln a ＝e ，所以P (e ，e)．15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x －2y 在D 上的最大值为2．解析：∵f ′(x )＝1x ，∴k ＝f ′(1)＝1，∴切线l ：y ＝x －1.因而切线l 、曲线f (x )、x 轴围成三角形区域，其中最优解是(0，－1)，代入得z max ＝2.16．(2015·山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值． 解析：(1)A ＝{x |x 2＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜4x ＋3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －1x ＋3＜0＝{x |－3＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}． (2)因为2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为 B ＝{x |－3＜x ＜1}．所以－3和1为2x 2＋ax ＋b ＝0的两根． 故⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝－3＋1，b 2＝－3×1.所以a ＝4，b ＝－6.18．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )·x ＋ax ，且g (x )在区间[0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵f (x )的图象与h (x )关于A (0，1)对称，设f (x )图象上任意一点坐标为B (x ，y )，其关于A (0，1)对称点B ′(x ′，y ′)．则⎩⎨⎧x ′＋x2＝0，y ＋y ′2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y ，∵B ′(x ′，y ′)在h (x )上，∴y ′＝x ′＋1x ′＋2.∴2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)g (x )＝x 2＋ax ＋1， ∵g (x )在[0，2]上为减函数， ∴－a2≥2，即a ≤－4，∴a 的取值范围为(－∞，－4]．19．(12分)已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )(a ＞0)，讨论f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ＝a 2－8＜0，即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)上是增函数．②当Δ＝a 2－8＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)上也是增函数．③当Δ＝a 2－8＞0，即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82与⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增， 在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减．20．(12分)如图所示，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R)，E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10，0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围确定移动速度v ，使淋雨量y 最少．解析：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5（3c ＋10）v －15； 当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5（10－3c ）v＋15. 故y ＝⎩⎨⎧5（3c ＋10）v－15，0<v ≤c ，5（10－3c ）v ＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数， 故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c ，10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min ＝50c.21．(12分)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况见下表：∴x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知1＋ax 2－2ax ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.∴a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．22．(12分)(2015·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)．(1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)，求c 的值．解析：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，x ∈(－∞，－2a 3)∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈(－2a 3，0)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，－2a 3)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2a 3，0)上单调递减；当a <0时，x ∈(－∞，0)∪(－2a 3，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈(0，－2a 3)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，0)，(－2a 3，＋∞)上单调递增，在(0，－2a 3)上单调递减．(2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f (－2a 3)＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f (－2a 3)＝b (427a 3＋b )<0，从而 ⎩⎨⎧a >0，－427a 3<b <0或⎩⎨⎧a <0，0<b <－427a 3.又b ＝c －a ，所以当a >0时，427a 3－a ＋c >0或当a <0时，427a 3－a ＋c <0.设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)， 则在(－∞，－3)上g (a )<0，且在(1，32)∪(32，＋∞)上g (a )>0均恒成立，从而g (－3)＝c －1≤0，且g (32)＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a ]，因为函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)． 综上c ＝1.。
江苏专版高考数学二轮复习6个解答题综合仿真练五
6个解答题综合仿真练（五）1.如图，在四面体ABCD中，AD= BD, / ABC= 90°，点E, F分别为棱AB AC上的点，点G 为棱AD的中点，且平面EFG/平面BCD求证:(i) EF=2BC叱事：⑵平面EFDL平面ABC证明：⑴因为平面EFG/平面BCD,平面ABD T平面EFG= EG平面ABD T平面BCD= BD所以EG/ BD又G为AD的中点，故E为AB的中点.同理可得，F为AC的中点，1所以EF= q BC⑵因为AD= BD由⑴知，E为AB的中点，所以ABL DE又/ ABC= 90°,即卩AB L BC由⑴知，EF// BC所以AB丄EF,又DEH EF= E, DR 平面EFD EF?平面EFD所以ABL平面EFD又AB?平面ABC故平面EFD L平面ABC2.在△ ABC中 ,角A, B, C所对的边分别是 a , b , c ,且sin(2 A+ B) = sin C—sin B(1) 求角A的大小；⑵若a= 2,求瓜B • ^AC的最大值.解：⑴因为A+ B+ C=n ,所以A+ B=n —C, B=n —C—A ,所以sin(2 A+ B = sin( n—C+ A) = sin( C—A , sin B= sin( C+ A),由sin(2 A+ B) = sin C—sin B ,得sin( C—A) + sin B= sin C,所以sin( C—A) + sin( C+ A) = sin C,即sin C cos A—cos C sin A+ sin C cos A+ cos C sin A= sin C, 所以2sin C cos A= sin C1在厶ABO中，sin C M0,所以cos A=空一n因为A€ (0 ,n )，所以A=—.⑵在厶ABC中，由余弦定理得a2= b2+ c2- 2bc cos A, n由⑴知A=—，又a= 2,1所以22= b2+ c2-2bc・2，即 4 = b2+ c2—bc>2 bc- bc= bc,当且仅当b= c= 2时，bc有最大值4.-- > ----- >所以AB • AC = bc cos A w2,此时a= b= c = 2,所以AB • AC的最大值是2.3.在平面直角坐标系xOy中，已知圆2y+話=1(0< b<2)的焦点.(1)求椭圆E的标准方程；⑵设直线I : y= kx + m交椭圆E于P,Q两点，T为弦PQ的中点,2 2记直线TM TN的斜率分别为k1, k2，当2m—2k = 1时，求刚• k2的值.解：(1)因为0<b<2，所以椭圆E的焦点在x轴上,又圆O x2+ y2= b2经过椭圆E的焦点, 所以椭圆的半焦距c = b,2 2所以2b = 4,即b = 2,2 2所以椭圆E的标准方程为x4 + 2 = 1.:设P(X1, y" , QX2, y2), T(X O, y o),联立 2 2 2消去y，得(1 + 2k )x + 4kmx+ 2m—4= 0, y = kx + m所以X1 + X2 =4 km 1 +2k2.又2m—2k2= J 所以《+ X2=--,k所以X0=- - y0= m- k 2m M -1,0) , N1,°),2 2又 X 1+ X 2 = 2x o , y 1 + y 2 = 2y o ,X o y o y 1 — y 22 十 X 1 — X 2 ••• X o +2ky o = o ，①又 T (x o , y o )在直线 y = kx + m 上, • y o = kx o + m ②22k 1因为 2m -2k =1，所以 Xo =-m yo = 2m4.某城市有一直角梯形绿地 ABCD 其中/ ABC=Z BAD= 9O °, AD= DC= 2 km, BC = 1 km. E 处铺设一条直的灌溉水管 EF,将绿地分成面积相等的两部分.解：(1)因为 AD= DC = 2, BC= 1,Z ABC=Z BAD= 9O 所以AB= ：3, 取AB 中点G 连结EG 则四边形BCEF 的面积为则k i • 2m k 2 =2m 1 1k —'+1 m------ 14k — 4m —2 2m — 2k1 2.法二：设 P (X 1, y 1), Q X 2, y» , T (x 。
高考数学理二轮专练仿真模拟题1及答案解析
仿真模拟题(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 为虚数单位，则复数z ＝2i 31＋i在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( ) A ．20辆 B ．40辆 C ．60辆 D ．80辆3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x －sin 2x B ．y ＝lg|x |C ．y ＝e x －e －x2D ．y ＝x 34．(2013·高考北京卷)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x5．(2013·高考安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A.16 B.2524 C.34 D.11126．给出下列命题：①如果不同直线m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不相交； ②如果不同直线m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定平行；③如果平面α、β互相平行，若直线m ⊂α，直线n ⊂β，则m ∥n ；④如果平面α、β互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β. 则真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．07．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．[34，43)C ．[34，＋∞) D ．(1，＋∞)8．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－1，1]C ．[0，1]D ．[－1，0)∪(0，1] 9．(2013·高考山东卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．110．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2，1)D ．(－2，1)二、填空题(本大题5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．) (一)必做题(11～13题)11．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．12．已知a n ＝cos n π6＋161＋2cos 2n π12(n ∈N *)，则数列{a n }的最小值是________．13．已知函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，若向量a ＝(log 12m ，－1)，b ＝(1，－2)，则满足不等式f (a ·b )<f (－1)的实数m 的取值范围是________．(二)选做题(14～15，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22ty ＝6＋22t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，则圆心到直线l 的距离为________．15．(几何证明选讲选做题)如图，PQ 为半圆O 的直径，A 为以OQ 为直径的半圆A 的圆心，⊙O 的弦PN 切⊙A 于点M ，PN ＝8，则⊙A 的半径为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．17．(本小题满分12分)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110(1)有多少的把握认为“爱好该项运动与性别有关”？(2)如果采用分层抽样的方法从爱好该项运动的大学生中选取6人，组成一个兴趣小组，求被选取的男女生的人数各是多少？(3)在上述6人小组中，随机选定2人去做某件事，求这2人中有女生被选中的概率． 数据：P (K 2≥k )** ** ** **k** ** ** **公式：K 2＝n ×（ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）18．(本小题满分14分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0(n ≥2，且n ∈N *)．(1)若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，求实数λ； (2)求数列{a n }的通项公式．19．(本小题满分14分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.(1)求证：CF∥平面AB1E；(2)求三棱锥C-AB1E在底面AB1E上的高．20．(本小题满分14分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)以抛物线y 2＝8x 的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线x ＝－4相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP →＝OA →＋OB →(其中O 为坐标原点)，试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP →·TQ →为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP →·TQ →的值；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－e x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，试判断f (x )的单调性并给予证明； (2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． ①求实数a 的取值范围；②证明：－e2<f (x 1)<－1.(注：e 是自然对数的底数)答案：1．【解析】选C.因为z ＝2i 31＋i ＝－2i1＋i ＝－2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－i(1－i)＝－1－i ，所以复数z ＝2i 31＋i 在复平面内对应的点位于第三象限，故应选C. 2．【解析】选A.由频率分布直方图可得，大于或等于80 km/h 的汽车的频率为0.01×10＝0.1，所以其频数为0.1×200＝20，即被处罚的汽车大约有20辆． 3．【解析】选B.由偶函数排除C 、D ，再由在区间(1，2)内是增函数排除A.故选B.4．【解析】选B.∵e ＝3，∴ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y 22a2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x .5．【解析】选D.s ＝0，n ＝2，2<8，s ＝0＋12＝12；n ＝2＋2＝4，4<8，s ＝12＋14＝34；n ＝4＋2＝6，6<8，s ＝34＋16＝1112；n ＝6＋2＝8，8<8不成立，输出s 的值为1112.6．【解析】选C.当不同直线m 、n 都平行于平面α时，m 、n 的位置不能确定，因此命题①不是真命题；根据直线与平面垂直的性质定理可得命题②是真命题；命题③中m 、n 的位置关系不能确定，因此命题③不是真命题；命题④中的直线n 与平面β的位置关系不确定，因此命题④也不是真命题．故选C. 7．【解析】选B.A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤09－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34a <43，即34≤a <43，故选B.8．【解析】选B.作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.9．【解析】选B.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，∴1sin A ＝32sin A cos A. ∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0.∴cos A ＝32.又0<A <π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋（3）2＝2.10．【解析】选C.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以f (x )的图象如图所示，因f (1)＝－2，f (－2)＝－2，若函数f (x )在(a ，6－a 2)上有最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <16－a 2>1，解得－2≤a <1. 11．【解析】在x －y ＋1＝0中，令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1，0)，即圆C 的圆心为(－1，0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.【答案】(x ＋1)2＋y 2＝212．【解析】设t ＝2＋cos n π6，有1≤t ≤3，则a n ＝cos n π6＋162＋cosn π6＝t ＋16t －2.用导数可以证明，函数f (t )＝t ＋16t在1≤t ≤3上是单调递减的，所以当t ＝3，即n ＝12k (k ∈N *)时，a n 取最小值193.【答案】19313．【解析】因为函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数y ＝f (x )为开口向下、以x ＝1为对称轴的二次函数，所以f (－1)＝f (3)．又因为a ·b ＝log 12m ＋2，所以不等式f (a ·b )<f (－1)即为不等式log 12m ＋2<－1或log 12m ＋2>3，解得m >8或0<m <12.【答案】(0，12)∪(8，＋∞)14．【解析】圆C 的直角方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2)；由参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22ty ＝6＋22t 消去t 后，得直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线l 的距离为|0＋2－6|12＋12＝22；【答案】2 215．【解析】设⊙A 的半径为R ，连接NQ 、MA ，∵∠PNQ ＝90°，∠PMA ＝90°，∴PMPN＝P A PQ ＝34， 又PN ＝8，∴PM ＝6，而PM 2＝PO ·PQ ，∴36＝2R ·4R ，∴OA ＝R ＝322.【答案】32216．【解】(1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1. 将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．17．【解】(1)K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8>6.635，而P (K 2≥6.635)≈0.010＝1%，即，认为“爱好该项运动与性别没有关系”的概率是1%，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．(2)应抽取男生人数为660×40＝4人，应抽取女生人数为660×20＝2人．(3)设6人中2个女生分别为A ，B ，4个男生分别为c ，d ，e ，f ， 则从6人中随机选定2人去做某件事的基本事件为：AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15个基本事件，其中，有女生被选中的事件为AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf ，共9个，∴有女生被选中的概率为P ＝915＝35.18．【解】(1)设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1)(n ≥2)， ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝－103λμ＝－1，∴λ＝－13或λ＝－3. (2)由(1)知当n ≥2时，a n －13a n －1＝3n －1，① a n －3a n －1＝13n －1，② 由①②得a n ＝38(3n －13n )． 经验证，n ＝1时也成立，∴a n ＝38(3n －13n )． 19．【解】(1)证明：取AB 1的中点G ，连接EG ，FG ，∵F 、G 分别是AB 、AB 1的中点，∴FG ∥BB 1，FG ＝12BB 1. ∵E 为侧棱CC 1的中点，∴FG ∥EC ，FG ＝EC ，∴四边形FGEC 是平形四边形，∴CF ∥EG ，∵CF ⊄平面AB 1E ，EG ⊂平面AB 1E ，∴CF ∥平面AB 1E .(2)∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴BB 1⊥平面ABC .又AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BB 1.∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴AC ⊥平面EB 1C ，∴AC ⊥CB 1，∴VA EB 1C ＝13S △EB 1C ·AC ＝13×(12×1×1)×1＝16. ∵AE ＝EB 1＝2，AB 1＝6，∴S △AB 1E ＝32. ∵VC AB 1E ＝VA EB 1C ，∴三棱锥C -AB 1E 在底面AB 1E 上的高为3VC －AB 1E S △AB 1E ＝33. 20．【解】(1)抛物线y 2＝8x 的焦点为椭圆E 的顶点，即a ＝2.又c a ＝12，故c ＝1，b ＝ 3. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m 3x 2＋4y 2＝12， 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m 4k 2＋3. 将P (－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3)代入椭圆E 的方程， 得64k 2m 24（4k 2＋3）2＋36m 23（4k 2＋3）2＝1. 整理，得4m 2＝4k 2＋3.设T (t ，0)，Q (－4，m －4k )．∴TQ →＝(－4－t ，m －4k )，OP →＝(－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3)． 即OP →·TQ →＝32km ＋8kmt 4k 2＋3＋6m （m －4k ）4k 2＋3＝6m 2＋8km ＋8kmt 4k 2＋3. ∵4k 2＋3＝4m 2，∴OP →·TQ →＝6m 2＋8km ＋8kmt 4m 2＝32＋2k （1＋t ）m. 要使OP →·TQ →为定值，只需[2k （1＋t ）m ]2＝4k 2（1＋t ）2m 2＝（4m 2－3）（1＋t ）2m 2为定值，则1＋t ＝0，∴t ＝－1，∴在x 轴上存在一点T (－1，0)，使得OP →·TQ →为定值32. 21．【解】(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－e x ，f (x )在R 上单调递减．f ′(x )＝2x －e x ，只要证明f ′(x )≤0恒成立即可，设g (x )＝f ′(x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，当x ＝ln 2时，g ′(x )＝0，当x ∈(－∞，ln 2)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )<0.∴f ′(x )max ＝g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2<0，故f ′(x )<0恒成立，∴f (x )在R 上单调递减．(2)①若f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，故方程2ax －e x ＝0有两个根x 1，x 2，又x ＝0显然不是该方程的根，∴方程2a ＝e x x有两个根． 设φ(x )＝e x x ，得φ′(x )＝e x （x －1）x 2， 当x <0时，φ(x )<0且φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x >0时，φ(x )>0，当0<x <1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x >1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增，要使方程2a ＝e x x有两个根，需2a >φ(1)＝e ，故a >e 2且0<x 1<1<x 2， 故a 的取值范围为(e 2，＋∞)． ②证明：由f ′(x 1)＝0，得2ax 1－e x 1＝0，故a ＝e x 12x 1，x 1 ∈(0，1)， f (x 1)＝ax 21－e x 1＝e x 12x 1·x 21－e x 1＝e x 1(x 12－1)，x 1∈(0，1)， 设φ(t )＝e t (t 2－1)(0<t <1)，则φ′(t )＝e t ·t －12<0， φ(t )在0<t <1上单调递减，故φ(1)<φ(t )<φ(0)，即－e 2<f (x 1)<－1.。
2019-2020年高考数学二轮复习-仿真模拟补偿练习(一)理
2019-2020年高考数学二轮复习仿真模拟补偿练习（一）理一、数形结合思想在解题中的应用数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,有助于把握问题的本质.数形结合与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念;⑤所给等式或代数式的结构含有明显的几何意义.在本卷中第11、12、14、24题均体现了数形结合思想.【跟踪训练】设函数f(x)=则f[f(-1)]= ;若函数g(x)=f(x)-k存在两个零点,则实数k的取值范围是.二、函数与方程思想的应用函数与方程思想的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值,解(证)不等式,解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题研究中,建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易化繁为简的目的.如本卷中第5、10、13、16、20、21题均体现了函数与方程思想的应用.【跟踪训练】函数f(x)=|e x-bx|,其中e为自然对数的底数.若函数y=f(x)有且只有一个零点,则实数b的取值范围是.1.f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)72.已知函数f(x)=g(x)=kx,若函数h(x)=f(x)-g(x)有3个不同的零点,则实数k的取值范围是( )(A)(-∞,0) (B)[2,+∞) (C)(0,+∞) (D)(2,+∞)3.椭圆的左、右焦点分别为F1(-,0)和F2(,0),且椭圆过点（1,-）.(1)求椭圆C的方程;(2)过点（-,0）作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由.4.(xx郑州第二次质量预测)已知函数f(x)=ax+ln(x-1),其中a为常数.(1)试讨论f(x)的单调区间;(2)若a=时,存在x使得不等式|f(x)|-≤成立,求b的取值范围.高考仿真模拟卷(一)试卷评析及补偿练习试卷评析一、【跟踪训练】解析:f[f(-1)]=f(4-1)=f()=log2=-2.令f(x)-k=0,即f(x)=k,设y=f(x),y=k,画出图象,如图所示,函数g(x)=f(x)-k存在两个零点,即y=f(x)与y=k的图象有两个交点,由图象可得实数k的取值范围为(0,1].答案:-2 (0,1]二【跟踪训练】解析:记g(x)=e x-bx.f(x)=0同解于g(x)=0,因此,只需g(x)=0有且只有一个解.即方程e x-bx=0有且只有一个解.因为x=0不满足方程,所以方程同解于b=(x≠0),令h(x)=,由h′(x)==0得x=1.当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,h(x)∈(e,+∞);当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,h(x)∈(e,+∞);所以当x∈(0,+∞)时,方程b=有且只有一解等价于b=e.当x∈(-∞,0)时,h(x)单调递减,且h(x)∈(-∞,0),从而方程b=有且只有一解等价于b∈(-∞,0).综上所述,b的取值范围为(-∞,0)∪{e}.答案:(-∞,0)∪{e}补偿练习1.B 令2sin πx-x+1=0,则2sin πx=x-1,令h(x)=2sin πx,g(x)=x-1,则f(x)=2sin πx-x+1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题. h(x)=2sin πx的最小正周期为T==2,画出两个函数的图象,如图所示,因为h(1)=g(1),h()>g(),g(4)=3>2,g(-1)=-2,所以两个函数图象的交点一共有5个,所以f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为5.故选B.2.D在同一直角坐标系中,画出函数y=f(x)与y=g(x)的图象,如图,注意到当直线y=kx与曲线y=2x2+1(x>0)相切时,设此时直线的斜率为k1,相应的切点坐标是(x0,2+1)(x0>0),则有由此解得x0=,k1=2.结合图形分析可知,要使函数h(x)=f(x)-g(x)有3个不同的零点, 即函数f(x)与g(x)的图象有3个不同的交点,只需k>2即可,因此实数k的取值范围是(2,+∞).故选D.3.解:(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由于焦点为F1(-,0),F2(,0),可知c=,即a2-b2=3,把(1,-)代入椭圆方程得+=1,解得a2=4,b2=1,故椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线MN的方程为x=ky-,联立方程组可得化简得(k2+4)y2-ky-=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2=-,y1+y2=,又A(-2,0),所以·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2,由x=ky-得·=(k2+1)y1y2+k(y1+y2)+=(k2+1)[-]+k+=0,所以⊥,所以∠MAN=90°,所以∠MAN为定值.4.解:(1)由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1},f′(x)=a+=,当a≥0时,f′(x)>0在定义域内恒成立,f(x)的单调增区间为(1,+∞),当a<0时,由f′(x)=0得x=1->1,当x∈(1,1-)时,f′(x)>0;当x∈(1-,+∞)时,f′(x)<0,f(x)的单调增区间为(1,1-),单调减区间为(1-,+∞).(2)由(1)知当a=<0时,f(x)的单调增区间为(1,e),单调减区间为(e,+∞).所以f(x)max=f(e)=+ln(e-1)<0,所以|f(x)|≥-f(e)=-ln(e-1)恒成立,当x=e时取等号.令g(x)=,则g′(x)=,当1<x<e时,g′(x)>0;当x>e时,g′(x)<0,从而g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(e)=+.所以,存在x使得不等式|f(x)|-≤成立,只需-ln(e-1)-≤+,即b≥--2ln(e-1).2019-2020年高考数学二轮复习仿真模拟补偿练习（二）文一、分类与整合思想的应用本卷中第17,21,24题均体现了分类与整合思想的应用,在解决与参数相关或分类解决的问题时,要注意分类标准的选择,要做到不重不漏,最后还要注意整合.如已知S n求a n中,若a1不适合a n,则应整合为分段函数形式.【跟踪训练】“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件二、转化与化归思想的应用本卷中第4,11,12,15,19,21题均体现了转化与化归思想的应用,在将问题进行化归与转化时,一般应遵循以下几种原则:(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为我们熟悉的问题.(2)简单化原则:将复杂的问题通过变换转化为简单的问题.(3)直观化原则:将较抽象的问题转化为较直观的问题.(4)正难则反原则:若问题直接求解困难时,可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.【跟踪训练】,,(其中e为自然对数的底数)的大小关系是( )(A)<< (B)<<(C)<< (D)<<1.函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为( )(A)1 (B)1,- (C)- (D)1,2.在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A,B和M,N,则+的范围是.3.已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.讨论函数f(x)的单调性.4.已知函数f(x)=x3+(-)x2+(-a)x(0<a<1,x∈R).若对于任意的三个实数x1,x2,x3∈[1,2],都有f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立,求实数a的取值范围.。
高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练(一)Word版含解析
高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练(一)Word版含解析6 个解答题综合仿真练 (一 )1.在三角形ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是a， b，c.已知 b＝ 3， c＝2.(1)若 2a·cos C＝ 3，求 a 的值；c cos C(2)若b＝1＋cos B，求 cos C 的值．222解： (1)由余弦定理得，a＋ b － c2a·＝ 3，2ab将 b＝ 3， c＝ 2 代入，解得a＝ 2.(2)由正弦定理，得sin C＝cos C，sin B 1＋ cos B即 sin C＋ sin Ccos B＝ sin Bcos C，则 sin C＝ sin Bcos C－ cos Bsin C＝ sin(B－ C)．因为 0<C<B<π，所以 0<B－ C<π，所以 C＝ B－C，则 B＝ 2C.由正弦定理可得b＝c＝b，sin B sin C2sin Ccos C3将 b＝ 3， c＝ 2 代入，解得cos C＝4.2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形， AC， BD订交于点 O，点 E 为 PC 的中点， OP＝ OC， PA⊥PD .求证： (1)PA∥平面 BDE;(2) 平面 BDE ⊥平面 PCD .证明： (1)连接 OE，因为 O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O为AC的中点．又因为 E 为 PC 的中点，所以 OE ∥PA.又因为 OE?平面 BDE ， PA?平面 BDE ，所以 PA∥平面 BDE .(2)因为 OE∥ PA， PA⊥ PD，所以 OE⊥ PD .因为 OP＝ OC，E 为 PC 的中点，所以OE⊥ PC.又因为 PD ?平面 PCD ，PC?平面 PCD ， PC∩ PD ＝ P，所以 OE ⊥平面 PCD .又因为 OE?平面 BDE ，所以平面BDE ⊥平面 PCD .x2y23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为2， C 为椭圆上位于第一象限内的一点．3(1) 若点 C 的坐标为5，求 a ， b 的值；2，3(2) 设 A 为椭圆的左极点，B 为椭圆上一点，且 ―→ ＝ 1 ―→，求直线 AB 的斜率． AB OC2解： (1)因为椭圆的离心率为2，3a 2 －b 2 2b 2 5所以a＝ 3，即 a 2＝ 9. ①又因为点 C 2，5 在椭圆上，所以4 25②32＋ 2＝ 1.a9b由①②解得 a 2＝ 9， b 2＝ 5. 因为 a>b>0，所以 a ＝ 3， b ＝ 5.b 2 5x 2 9y 22 22(2) 法一： 由 (1)知， a 2＝ 9，所以椭圆方程为 a 2＋ 5a 2＝ 1，即 5x ＋ 9y ＝ 5a .设直线 OC 的方程为 x ＝my(m>0)， B(x 1， y 1)， C(x 2， y 2)．由 {x ＝ my ， x 2＋ 9y 2＝ 5a 2 消去 x ，得 5m 2y 2＋ 9y 2＝ 5a 2，25a 2.因为 y 2>0，所以 y 2＝5a所以 y ＝2.5m ＋ 95m 2＋ 9 ―→ ＝ 1 ―→，所以 AB ∥ OC.可设直线 AB 的方程为 x ＝ my － a. 因为 AB OC 2由 {x ＝ my － a ， x 2＋ 9y 2＝ 5a 2 消去 x ，得 (5m 2＋ 9)y 2－ 10amy ＝ 0，10am10am所以 y ＝ 0 或 y ＝ 5m 2＋ 9，得 y 1＝ 5m 2＋ 9.―→ ―→ ，所以 ( x 1＋ a ， y 1) ＝ 1 1 ，于是 y 2＝ 2y 1， 因为 AB ＝1 OC 2 x 2， y 222 即 5a ＝ 20am 35m2＋ 9 5m 2＋ 9(m>0)，所以 m ＝5.1 53所以直线 AB 的斜率为 m ＝ 3.法二： 由 (1) 可知，椭圆方程为 5x 2＋ 9y 2＝ 5a 2，则 A(－ a ， 0)．设 B(x 1， y 1)， C(x 2， y 2)．―→―→ ，得 (x 1＋ a ， y 1)＝ 1 1，所以 x 1＝ 1x 2－ a ， y 1＝1y 2. 由 AB＝1 OC x 2， y 222 2 2 2 因为点 B ， C 都在椭圆 5x 2＋ 9y 2＝ 5a 2 上，所以 5x 22＋ 9y 22 ＝ 5a 2，1x 2－ a 2＋ 9y 2 2＝ 5a 2.22解得 x 2＝ a， y 2＝ 5a，4 4 3所以直线 AB 的斜率 k＝y2＝53 x2 3.4.如图，半圆 AOB 是某市休闲广场的平面表示图，半径OA 的长为10.管理部门在 A， B 两处各安装一个光源，其相应的光强度分别为 4 和9.依据光学原理，地面上某点处照度y 与光强度 I 成正比，与光源距离xkI的平方成反比，即 y＝x2(k 为比率系数 )．经丈量，在弧 AB 的中点 C 处的照度为130.(C 处的照度为 A， B 两处光源的照度之和)(1) 求比率系数 k 的值；(2) 此刻管理部门计划在半圆弧AB 上，照度最小处增设一个光源P，试问新增光源P 安装在什么地点？解： (1)因为半径OA 的长为 10，点 C 是弧 AB 的中点，所以 OC⊥AB ，AC＝ BC＝ 10 2.4k9k所以 C 处的照度为y＝102 2＋10 2 2＝130，解得比率系数k＝ 2 000.(2)设点 P 在半圆弧 AB 上，且 P 距光源 A 为 x，则 PA⊥ PB，由 AB＝ 20，得 PB＝400－ x2(0＜ x＜ 20)．所以点 P 处的照度为y＝8 00018 000x2＋－2(0＜x＜20)．400x所以 y′＝－16 00036 000x x3＋－ 2 2400 x9x4－ 4 400－ x2 2＝ 4 000×3 2 2x 400－ xx2－ 160x2＋ 800.＝ 20 000×322x 400－ x由 y′＝ 0，解得 x＝ 4 10.当 0＜ x＜ 410时， y′＜ 0，y＝8 00018 000x2＋400－x2为减函数；当 4 10＜ x＜ 20 时， y′＞ 0， y＝8 00018 000x2＋400－x2为增函数．所以 x＝ 4 10时， y 获得极小值，也是最小值 .所以新增光源P 安装在半圆弧AB上且距 A为 410(距B为415)的地点．5．已知函数 f (x)＝ (a－ 3)x－ a－ 2ln x(a∈ R)．(1) 若函数 f(x)在 (1，＋∞ )上为单一增函数，务实数 a 的最小值；(2) 已知不等式f(x)＋ 3x≥ 0 对随意 x∈ (0,1]都建立，务实数 a 的取值范围．2解： (1)法一：因为 f′ (x)＝ a－ 3－x(x>0),当 a≤ 3 时， f′ ( x)＜0， f(x)在 (0，＋∞ )上单一递减；当 a＞ 3 时，由 f′ (x)＜ 0，得 0＜ x＜2， f (x)在 0，2上单一递减，a－ 3a－ 3由 f′ (x)＞ 0，得 x＞2， f(x)在2，＋∞上单一递加 . a－ 3a－ 3因为函数f(x)在 (1，＋∞ )上为单一增函数，2所以 a＞ 3 且≤ 1，所以a≥ 5,所以实数 a 的最小值为 5.法二：因为函数f( x)在 (1，＋∞ )上为单一增函数，所以 f′ (x)＝ a－ 3－2x≥ 0 在 (1，＋∞ )上恒建立，2所以 a≥ 3＋在 (1，＋∞ )上恒建立，又当 x＞ 1 时， 3＋2x＜ 5,所以 a≥ 5，所以实数 a 的最小值为 5.(2) 令 g(x)＝ f (x)＋ 3x＝ a(x－ 1)－ 2ln x， x∈ (0,1]，2所以 g′ (x)＝ a－x.2①当 a≤ 2 时，因为x∈ (0,1] ，所以≥ 2，所以 g′ (x)≤ 0， g(x)在 (0,1]上单一递减，所以 g(x)min＝ g(1) ＝ 0，所以对随意 x∈ (0,1]， g(x)≥ g(1)＝ 0，即对随意 x∈ (0,1]不等式 f(x)＋ 3x≥ 0 都建立，所以 a≤ 2;②当 a＞ 2 时，由 g′ (x)＜ 0，得 0＜ x＜2， g(x)在，2上单一递减；a0a由′(x)＞，得x＞2，g(x)在2， 1 上单一递加．g0a a22所以，存在a∈ (0,1)，使得 g a＜ g(1)＝ 0，不合题意．综上所述，实数 a 的取值范围为(－∞，2]．6．已知数列 {a n}的前 n 项和为S n，且 S n＝ 2a n－ 1.(1)求数列 {a n}的通项公式；(2)记会合 M ＝ {n|n(n＋ 1)≥ λa n，n∈ N* }，若 M 中有 3 个元素，求λ的取值范围；(3) 能否存在等差数列{b n}，使得 a1b n＋a2 b n－1＋ a3b n－2＋＋ a n b1＝ 2n＋1－ n－ 2 对全部 n∈N * 都建立？若存在，求出b n ；若不存在，说明原因．解： (1)当 n ＝ 1 时， S 1＝ 2a 1－ 1，得 a 1＝ 1.当 n ≥ 2 时，由 S n ＝ 2a n － 1，①得 S n － 1＝ 2a n －1－ 1，②①－②，得 a ＝ 2a － ，即a n＝ 2(n ≥ 2)．nn 1a n －1所以 {a n }是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以n －1.a n ＝ 2n n ＋ 1 n n ＋ 1(2) 由已知可得 λ≤ 2n － 1 ，令 f(n)＝ 2n －1 ，则 f(1) ＝ 2， f(2)＝ 3， f (3)＝ 3， f(4) ＝52， f(5)＝ 158，n n ＋1下边研究 f(n)＝ 2n －1的单一性，因为 f(n ＋ 1)－ f(n)＝n ＋ 1 n ＋ 2n n ＋ 1 n ＋ 1 2－n2n－ 2n－1 ＝ 2n ， 所以，当 n ≥ 3 时， f(n ＋ 1)－ f(n)＜ 0， f(n ＋ 1)＜ f(n)，即 f( n)单一递减 .因为 M 中有 3 个元素，所以不等式 λ≤n n ＋ 1解的个数为 3，所以 2＜ λ≤ 5，即 λ的取值范围为－2n 12(3) 设存在等差数列 {b n }使得条件建立，则当 n ＝ 1 时，有 a 1b 1＝ 22－ 1－2＝ 1，所以 b 1＝ 1.当 n ＝ 2 时，有 a 1b 2＋ a 2b 1＝ 23－ 2－ 2＝ 4，所以 b 2＝ 2.所以等差数列 {b n }的公差 d ＝ 1，所以 b n ＝ n.设 S ＝ a 1b n ＋ a 2b n －1 ＋ a 3b n － 2＋ ＋a n b 1，S ＝ 1·n ＋ 2(n － 1)＋ 22(n － 2)＋＋ 2n － 2·2＋ 2n － 1·1，③所以 2S ＝ 2·n ＋ 22(n － 1)＋ 23(n － 2)＋ ＋ 2n－1·2＋ 2n ·1，④④－③，得n S ＝－ n ＋ 2＋ 22＋ 23＋ ＋ 2n － 1＋ 2n ＝－ n ＋2 1－2＝ 2n ＋1－ n － 2，1－ 2所以存在等差数列 {b n }，且 b n ＝ n 知足题意．52，2 .。
高考数学二轮复习仿真模拟训练1理
高考数学二轮复习仿真模拟训练1理一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的．1．假定纯虚数z 满足(1＋i )z ＝1－a i ，那么实数a 等于( )A ．0B ．－1或1C ．1D ．－12．[2021·重庆西南隶属中学月考]设曲线y ＝x 2及直线y ＝1所围成的封锁图形为区域D ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，0≤y≤1所确定的区域为E ，在区域E 内随机取一点，那么该点恰恰在区域D 内的概率为( )A .14B .13C .23D .343．[2021·华中师范大学隶属中学模拟]在高校自主招生中，某中学取得6个引荐名额，其中中南大学2名，湖南大学2名，湖南师范大学2名，并且湖南大学和中南大学都要求必需有男生参与，学校经过选拔定下3男3女共6个引荐对象，那么不同的引荐方法共有( ) A ．54 B ．45 C ．24 D ．724．[2021·安徽省皖江八校联考]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，四点P 1(4,2)，P 2(2,0)，P 3(－4,3)，P 4(4,3)中恰有三点在双曲线上，那么该双曲线的离心率为( )A .52B .52C .72D .725．[2021·陕西吴起初级中学期中考试]某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A .73B .83C .8－π3D .7－π36．[2021·保定联考]设有下面四个命题：P 1：假定x>1，那么0.3x >0.3;P 2：假定x ＝log 23，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝16； P 3：假定sin x>33，那么cos 2x<13； P 4：假定f(x)＝tan πx 3，那么f(x)＝f(x ＋3)． 其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．假定函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π3(0<ω<10)的图象与g(x)＝cos (x ＋φ)(0<φ<3)的图象都关于直线x ＝－π12对称，那么ω与φ的值区分为( ) A ．8，7π12 B ．2，7π12 C ．8，π12 D ．2，π128．[2021·天津一中、益中学校月考]f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(x －1)．那么关于m 的不等式f(1－m)＋f(1－m 2)<0的解集为( )A ．[0,1)B ．(－2,1)C ．(－2，2)D ．[0，2)9．[2021·重庆西南大学附中月考]某顺序框图如下图，该顺序运转后输入的值是4 0352 018，那么( )A ．a ＝2 016B ．a ＝2 017C ．a ＝2 018D ．a ＝2 01910．[2021·山东烟台月考]某传媒大学的甲乙丙丁四位先生区分从影视配音、广播电视、公共演讲、播音掌管四门课程中选修一门，且选修课程互不相反．下面是关于他们选课的一些信息：①甲和丙均不选播音掌管，也不选广播电视；②乙不选广播电视，也不选公共演讲；③假设甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视．假定这些信息都是正确的，依据以上信息推断丙同窗选修的课程是( )A ．影视配音B ．广播电视C ．公共演讲D ．播音掌管11．[2021·安徽宿州模拟]在等差数列{a n }中，a 7a 6<－1，假定它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n >0时，n 的最大值为( )A ．11B ．12C ．13D ．1412．设函数f(x)＝sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g(x)＝x －1a e 2x ，假定∀x 1∈R ，∃x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)<g (x 2)，那么正数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，e －3)D ．(e －3，＋∞)二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2021·云南昆明第八次月考]双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±33x ，假定抛物线y 2＝8x 的焦点与双曲线C 的焦点重合，那么双曲线C 的方程为________． 14．[2021·河北武邑中学第六次模拟]设平面向量m 与向量n 相互垂直，且m －2n ＝(11，－2)，假定|m |＝5，那么|n |＝________.15．[2021·湖南益阳月考]区分在曲线y ＝ln x 与直线y ＝2x ＋6上各取一点M 与N ，那么MN 的最小值为________．16．[2021·河南南阳一中月考]在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边区分为a ，b ，c ，假定12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，那么△ABC 的面积为________________________________________________________________________．三、解答题：共70分．解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．17．(此题总分值12分)[2021·湖南郴州第六次月考]各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，a 3＋a 5＝564. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝12n ＋1－1·S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .18.(此题总分值12分)[2021·贵州凯里一中月考]第三届移动互联创新大赛，于2021年3月～10月时期举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机迷信系选出一种子选手甲．再从全校征集出3位志愿者区分与甲停止一场技术对立赛，依据以往阅历，甲与这三位志愿者停止竞赛一场获胜的概率区分为34，35，23，且各场胜负互不影响． (1)求甲恰恰获胜两场的概率；(2)求甲获胜场数的散布列与数学希冀．19．(此题总分值12分)[2021·河北武邑中学模拟]如图，平面ADC ∥平面A 1B 1C 1，B 为线段AD 的中点，△ABC ≌△A 1B 1C 1，四边形ABB 1A 1为边长为1的正方形，平面AA 1C 1C ⊥平面ADB 1A 1，A 1C 1＝A 1A ，∠C 1A 1A ＝π3，M 为棱A 1C 1的中点． (1)假定N 为线DC 1上的点，且直线MN ∥平面ADB 1A 1，试确定点N 的位置；(2)求平面MAD 与平面CC 1D 所成的锐二面角的余弦值．20．(此题总分值12分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的四个顶点围成的菱形的面积为43，点M 与点F 区分为椭圆C 的上顶点与左焦点，且△MOF 的面积为32(点O 为坐标原点)． (1)求C 的方程；(2)直线l 过F 且与椭圆C 交于P ，Q 两点，且△POQ 的面积为335，求l 的斜率． 21．(此题总分值12分)[2021·益阳调研]函数f (x )＝(2e ＋1)ln x －3a 2x ＋1，a ∈R ，(e 为自然对数的底数)．(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝23时，x e x ＋m ≥f (x )恒成立，务实数m 的最小值． 请考生在22,23两题中任选一题作答．22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(此题总分值10分)[2021·六安一中月考]在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t y ＝k t －1(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴树立极坐标系，曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程；(2)假定P ，Q 区分为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．23．【选修4－5 不等式选讲】(此题总分值10分)函数f (x )＝|3x －2|.(1)假定不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23≥|t －1|的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，务实数t 的值； (2)假定不等式f (x )≤|3x ＋1|＋3y ＋m ·3－y 对恣意x ，y 恒成立，务实数m 的取值范围．。
高考数学二轮复习自主加餐的3大题型6个解答题综合仿真练六含解析
6个解答题综合仿真练(六)1.如图，在四棱锥E ABCD 中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA ⊥EB ，点M ，N 分别是AE ，CD 的中点．求证：(1)MN ∥平面EBC ； (2)EA ⊥平面EBC .证明：(1)取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点， 所以MF 綊12AB .又N 是矩形ABCD 边CD 的中点， 所以NC 綊12AB ，所以MF 綊NC ，所以四边形MNCF 是平行四边形，所以MN ∥CF . 又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ， 所以MN ∥平面EBC . (2)在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EAB ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面EAB .又EA ⊂平面EAB ，所以BC ⊥EA .又EA ⊥EB ，BC ∩EB ＝B ，EB ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，所以EA ⊥平面EBC . 2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q .已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314.(1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值．解：(1)因为点P 的横坐标为277，点P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17.(2)因为点Q 的纵坐标为3314，点Q 在单位圆上，所以sin β＝3314.又β为锐角，所以cos β＝1314.因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<π2， 又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，所以2α－β＝π3.3．某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x －2ln x ＋a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.3)解：(1)y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)在[2,10]上是增函数，满足条件①； 当x ＝10时，y 有最大值7.4，小于8，满足条件③； 但当x ＝3时，y ＝2920<32，即y ≥x2不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(2)对于函数模型y ＝x －2ln x ＋a ，设f (x )＝x －2ln x ＋a ，则f ′(x )＝1－2x ＝x －2x≥0.所以f (x )在[2,10]上是增函数，满足条件①. 由条件②得x －2ln x ＋a ≥x2，即a ≥2ln x －x2在x ∈[2,10]上恒成立．令g (x )＝2ln x －x 2，则g ′(x )＝2x －12＝4－x2x，由g ′(x )>0，得2≤x <4；由g ′(x )<0，得4<x ≤10， 所以g (x )在[2,4)上是增函数，在(4,10]上是减函数． 所以a ≥g (4)＝2ln 4－2＝4ln 2－2. 由条件③得f (10)＝10－2ln 10＋a ≤8， 解得a ≤2ln 10－2.另一方面，由x －2ln x ＋a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2,10]上恒成立，所以a ≤2ln 2， 综上所述，a 的取值范围为[4ln 2－2,2ln 2]， 所以满足条件的整数a 的值为1.4.如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A (－2,0)，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．过点A 作斜率为k (k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C .(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△CF 1F 2为等腰三角形，求点B 的坐标； (3)若F 1C ⊥AB ，求k 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，14＋94b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵△CF 1F 2为等腰三角形，且k >0， ∴点C 在x 轴下方，若F 1C ＝F 2C ，则C (0，－3)；若F 1F 2＝CF 2，则CF 2＝2，∴C (0，－3)； 若F 1C ＝F 1F 2，则CF 1＝2，∴C (0，－3)， ∴C (0，－3)．∴直线BC 的方程y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －，x 24＋y 23＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝335.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335. (3)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，∴x A ·x B ＝－2x B ＝16k 2－123＋4k 2，∴x B ＝－8k 2＋63＋4k 2，∴y B ＝k (x B ＋2)＝12k3＋4k 2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k2，12k 3＋4k 2.若k ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∵F 1(－1,0)，∴kCF 1＝－34，∴F 1C 与AB 不垂直；∴k ≠12，∵F 2(1,0)，kBF 2＝4k 1－4k 2，kCF 1＝－1k ，∴直线BF 2的方程为y ＝4k1－4k 2(x －1)，直线CF 1的方程为y ＝－1k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4k 1－4k 2x －，y ＝－1k x ＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－1，y ＝－8k .∴C (8k 2－1，－8k )． 由点C 在椭圆上，得k 2－24＋－8k 23＝1，即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，即k 2＝124，∵k >0，∴k ＝612. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝4－a n . (1)求证：数列{a n }为等比数列，并求通项公式a n ； (2)是否存在自然数c 和k ，使得a k ＋1S k －c＞1成立？若存在，请求出c 和k 的值； 若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当n ＝1时，S 1＋a 1＝4，得a 1＝2, 由S n ＝4－a n ，① 得S n ＋1＝4－a n ＋1，②②－①得，S n ＋1－S n ＝a n －a n ＋1，即a n ＋1＝12a n,所以a n ＋1a n ＝12，且a 1＝2， 所以数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，且a n ＝12n －2.(2)法一：因为a n ＝12n －2，所以a k ＋1＝12k －1，S k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k ， 要使a k ＋1S k －c＝2k－－c ·2k>1成立，只要使c －k＋6c －k＋4<0(*)成立， 当c ≥4时，不等式(*)不成立；(也可以根据S k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k >c ，且2≤S k ＜4，所以c 的可能取值为0,1,2,3) 当c ＝0时，1<2k <32，不存在自然数k 使(*)成立；当c ＝1时，43<2k<2，不存在自然数k 使(*)成立；当c ＝2时，2<2k<3，不存在自然数k 使(*)成立； 当c ＝3时，4<2k <6，不存在自然数k 使(*)成立． 综上所述，不存在自然数c ，k ，使a k ＋1S k －c>1成立. 法二：要使a k ＋1S k －c ＞1，只要S k ＋1－cS k －c>2，即只要c －⎝ ⎛⎭⎪⎫32S k －2c －S k<0，因为S k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k <4， 所以S k －⎝ ⎛⎭⎪⎫32S k －2＝2－12S k >0， 故只要32S k －2＜c ＜S k .①因为S k ＋1＞S k ， 所以32S k －2≥32S 1－2＝1.又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c ＝2时，因为S 1＝2，所以当k ＝1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立． 当k ≥2时，因为32S 2－2＝52>c ，由S k ＜S k ＋1，得32S k －2＜32S k ＋1－2，故当k ≥2时，32S k －2＞c ，从而①不成立.当c ＝3时，因为S 1＝2，S 2＝3，所以当k ＝1，k ＝2时，c ＜S k 不成立，从而①不成立． 因为32S 3－2＝134>c ，又32S k －2＜32S k ＋1－2，所以当k ≥3时，32S k －2＞c ，从而①不成立.综上所述，不存在自然数c ，k ，使a k ＋1S k －c>1成立． 6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1，g (x )＝a 2x 2＋bx ＋1. (1)若f (x )≥g (x )对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )有两个不同零点x 1，x 2，函数g (x )有两个不同零点x 3，x 4. ①若x 3＜x 1＜x 4，试比较x 2，x 3，x 4的大小关系； ②若x 1＝x 3＜x 2，m ，n ，p ∈(－∞，x 1)，f m g n ＝f n g p ＝f pg m，求证：m ＝n＝p .解：(1)因为f (x )≥g (x )对任意实数x 恒成立， 所以ax 2≥a 2x 2对任意实数x 恒成立， 所以a 2－a ≤0，解得0≤a ≤1.又由题意可得a≠0，所以实数a的取值范围为(0,1]．(2)①因为函数g(x)的图象开口向上，且其零点为x3，x4，故g(x)＜0，得x3<x<x4.因为x1，x2是f(x)的两个不同零点，故f(x1)＝f(x2)＝0.因为x3＜x1＜x4，故g(x1)＜0＝f(x1)，于是(a2－a)x21＜0.注意到x1≠0，故a2－a＜0.因为g(x2)－f(x2)＝(a2－a)x22＜0，故g(x2)＜f(x2)＝0，从而x3<x2<x4，于是x3＜x2＜x4.②证明：记x1＝x3＝t，故f(t)＝at2＋bt＋1＝0，g(t)＝a2t2＋bt＋1＝0，于是(a－a2)t2＝0.因为a≠0，且t≠0，故a＝1.所以f(x)＝g(x)且函数图象开口向上.所以当x∈(－∞，x1)时，f(x)单调递减，f′(x)单调递增且f′(x)＜0，g(x)单调递减且g(x)＞0.若m＞n，则f′(n)<f′(m)＜0，于是1g n ＞1g p＞0，从而g(p)＞g(n)＞0，故n＞p.同上，当n＞p时，可推得p＞m.所以p＞m＞n＞p，矛盾．所以m＞n不成立.同理，n＞m亦不成立．所以m＝n.同理，n＝p.所以m＝n＝p.。
高考数学二轮复习练习：仿真卷1 Word版含答案
浙江高考仿真卷(一) (对应学生用书第163页)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝( ) A. 3 B. 5 C. 6D.7B [由题意得z ＝11－i ＝1＋i 1－i 1＋i ＝12＋12i ，则|2z －3|＝|－2＋i|＝－22＋12＝5，故选B.]2．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 C [⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝1＋4a b ＋b a ＋4≥5＋24ab·ba＝9，当且仅当2a ＝b 时，等号成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为9，故选C.] 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( ) A ．± 3 B ．±1 C ．±34D ．±33A [因为点M 到抛物线的焦点的距离为2p ，所以点M 到抛物线的准线的距离为2p ，则点M 的横坐标为3p 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，±3p ，所以直线MF 的斜率为±3，故选A.]4．函数f (x )＝x ecos x(x ∈[－π，π])的图象大致是( )B [由题意得f (－x )＝－x ecos(－x )＝－x ecos x＝－f (x )(x ∈[－π，π])，所以函数f (x )为奇函数，函数图象关于原点成中心对称，排除A 、C.又因为f ′(x )＝e cos x＋x ecos x·(－sin x )，则f ′(0)＝e ，即函数f (x )在原点处的切线的斜率为e ，排除D ，故选B.]5．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为( )图1A ．14 B.2132 C ．22D.2732A [由三视图得该几何体为一个底面为底为3，高为2的三角形，高为4的直三棱柱和一个底面为底为3，高为2的三角形，高为2的三棱锥的组合体，则其体积为4×12×2×3＋13×2×12×2×3＝14，故选A.]6．在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ＝23，PA ＝2，则三棱锥P ABC 外接球的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28πD ．32πA [因为∠BAC ＝60°，AB ＝AC ＝23，所以△ABC 为边长为23的等边三角形，则其外接圆的半径r ＝232sin 60°＝2，则三棱锥P ABC 的外接球的半径R ＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＝5，则三棱锥P ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝20π，故选A.]7．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( )A．50 B．80C．120 D．140B[当甲组有两人时，有C25C23A22种不同的分配方案；当甲组有三人时，有C35A22种不同的分配方案．综上所述，不同的分配方案共有C25C23A22＋C35A22＝80种不同的分配方案，故选B.]8．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)．若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)－f(1)<x2－1成立的实数x的取值范围为( )A．{x|x≠±1}B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－1,0)∪(0,1)B[设g(x)＝x2[f(x)－1]，则由f(x)为偶函数得g(x)＝x2[f(x)－1]为偶函数．又因为g′(x)＝2x[f(x)－1]＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]，且2f(x)＋xf′(x)<2，即2f(x)＋xf′(x)－2<0，所以当x>0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]<0，函数g(x)＝x2[f(x)－1]单调递减；当x<0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]>0，函数g(x)＝x2[f(x)－1]单调递增，则不等式x2f(x)－f(1)<x2－1⇔x2f(x)－x2<f(1)－1⇔g(x)<g(1)⇔|x|>1，解得x<－1或x>1，故选B.]9．已知f(x)＝x2＋3x，若|x－a|≤1，则下列不等式一定成立的是( )A．|f(x)－f(a)|≤3|a|＋3B．|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4C．|f(x)－f(a)|≤|a|＋5D．|f(x)－f(a)|≤2(|a|＋1)2B[∵f(x)＝x2＋3x，∴f(x)－f(a)＝x2＋3x－(a2＋3a)＝(x－a)(x＋a＋3)，∴|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a＋3)|＝|x－a||x＋a＋3|，∵|x－a|≤1，∴a－1≤x≤a＋1，∴2a＋2≤x＋a＋3≤2a＋4，∴|f(x)－f(a)|＝|x－a||x＋a＋3|≤|2a＋4|≤2|a|＋4，故选B.]10．如图，四边形ABCD是矩形，沿直线BD将△ABD翻折成△A′BD，异面直线CD与A′B所成的角为α，则( )图A ．α<∠A ′CDB ．α>∠A ′CDC ．α<∠A ′CAD ．α>∠A ′CAD [∵AB ∥CD ，∴∠A ′BA 为异面直线CD 与A ′B 所成的角α，假设四边形ABCD 是正方形，AB ＝2，平面A ′BD ⊥平面ABCD ，连接AC 交BD 于点O ，连接A ′A ，A ′C ，则A ′O ⊥平面ABCD ，A ′O ＝AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝12AC ＝2，∴A ′A ＝A ′C ＝A ′B ＝A ′D ＝2，∴△A ′BA ，△A ′CD 是等边三角形，△A ′CA 是等腰直角三角形，∴∠A ′CA ＝45°，∠A ′CD ＝∠A ′BA ＝60°，即α>∠A ′CA ，α＝∠A ′CD ，排除A ，B ，C ，故选D.]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B ＝________，∁R A ＝________.(1,4) (－∞，－1]∪[4，＋∞) [A ＝(－1,4)，B ＝(1,5)，所以A ∩B ＝(1,4)，∁R A ＝(－∞，－1]∪[4，＋∞)．] 12.⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 6的展开式中常数项为________(用数字作答)．135 [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(3x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝36－r C r6x，令6－32r ＝0，得r ＝4，所以⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 6的展开式中常数项为32C 46＝135.] 13．已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则OB →·OC →＝____________，cos A ＝__________.－45 1010 [由4OB →＋5OC →＝－3OA →，|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝1得(4OB →＋5OC →)2＝9OA →2，即16＋25＋40 OB →·OC →＝9，OB →·OC →＝－45，OB →·OC →＝1×1×cos∠BOC ＝－45，解得cos ∠BOC ＝－45，因为∠BOC ＝2∠A ，所以cos A ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝1010.] 14. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，x ＋y －4≤0，x ≥1，点(x ，y )对应的区域的面积________，x 2＋y 2xy的取值范围为________．85 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103 [不等式组对应的平面区域是以点(1,1)，(1,3)和⎝ ⎛⎭⎪⎫135，75为顶点的三角形区域，该区域的面积为12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫135－1＝85.yx 的几何意义是可行域上的点(x ，y )与原点连线的斜率，当(x ，y )为点⎝ ⎛⎭⎪⎫135，75时，⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min ＝713，当(x ，y )为点(1,3)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝3，所以y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤713，3，令y x ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤713，3，则x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x ＝1t ＋t ，当t ＝1时，取得最小值2，当t ＝3时，取得最大值103，故x 2＋y 2xy 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.]15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线的渐近线方程为________．2x ±y ＝0 [由题意不妨设|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|F 1F 2|＝2c >2a ，∴△PF 1F 2最小内角为∠PF 1F 2＝30°，∴在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝4c2＋16a 2－2×2c ×4a ×cos 30°，解得c ＝3a ，∴b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0.]16．甲、乙两人被随机分配到A ，B ，C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位)．记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________，方差D (X )＝________.23 49 [由题意可得X 的可能取值有0,1,2，P (X ＝0)＝2×23×3＝49，P (X ＝1)＝C 12×23×3＝49，P (X ＝2)＝13×3＝19，则数学期望E (X )＝0×49＋1×49＋2×19＝23，方差D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×49＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×49＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×19＝49.] 17．若函数f (x )＝x 2(x －2)2－a |x －1|＋a 有四个零点，则a 的取值范围为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＝－3227或－1<a <0或a >0[显然x ＝0和x ＝2为函数f (x ) 的两个零点．当x ≠0且x ≠2时，令x 2(x －2)2－a |x －1|＋a ＝0得a＝x 2x －22|x －1|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x －2，x ≥1，－x x －22，x <1，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x －2，x ≥1，－x x －22，x <1，则由题意得直线y ＝a 与函数g (x )的图象有两个横坐标不为0,2的相异交点，在平面直角坐标系内画出函数g (x )的图象如图所示，由图易得当a ＝－3227或－1<a <0或a >0时，直线y ＝a 与函数g (x )的图象有两个横坐标不为0,2的相异交点，即a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＝－3227或－1<a <0或a >0.] 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知函数f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )为偶函数，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12.(1)求b ；(2)若a ＝3，求△ABC 的面积S .[解] (1)f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋B ＋π3， 由f (x )为偶函数可知B ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，所以B ＝π6＋k π，k ∈Z .5分又0<B <π，故B ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ， b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝ 3.7分 (2)因为B ＝π6，b ＝3，由正弦定理可得sin A ＝a sin B b ＝32，12分所以A ＝π3或A ＝2π3.当A ＝π3时，△ABC 的面积S ＝332；当A ＝2π3时，△ABC 的面积S ＝334.14分19．(本小题满分15分)如图2，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1.图3(1)求证：AD ⊥平面BFED ；(2)点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值． [解] (1)证明：在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°， ∴AB ＝2.∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos 60°＝3. 2分∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD .∵平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ∩平面ABCD ＝BD ，DE ⊂平面BFED ，DE ⊥DB ， ∴DE ⊥平面ABCD ，5分∴DE ⊥AD ，又DE ∩BD ＝D ， ∴AD ⊥平面BFED .7分(2)由(1)可建立以直线DA ，DB ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令EP ＝λ(0≤λ≤3)，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，P (0，λ，1)， ∴AB →＝(－1，3，0)，BP →＝(0，λ－3，1)，8分 设n 1＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BP →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，λ－3y ＋z ＝0，取y ＝1，则n 1＝(3，1，3－λ).12分 ∵n 2＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量，∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝13＋1＋3－λ2×1＝1λ－32＋4.∵0≤λ≤3，∴当λ＝3时，cos θ有最大值12.∴θ的最小值为π3.15分20．(本小题满分15分)设函数f (x )＝1－x ＋1＋x . (Ⅰ)求函数f (x )的值域；(Ⅱ)当实数x ∈[0,1]，证明：f (x )≤2－14x 2.[解] (Ⅰ)函数f (x )的定义域是[－1,1]， ∵f ′(x )＝1－x －1＋x21－x2， 当f ′(x )>0时，解得－1<x <0， 当f ′(x )<0时，解得0<x <1，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增， 4分 ∴f (x )min ＝f (1)＝f (－1)＝2，f (x )max ＝f (0)＝2， 7分∴函数f (x )的值域为[2，2]．(Ⅱ)证明：设h (x )＝1－x ＋1＋x ＋14x 2－2，x ∈[0,1]，h (0)＝0，∵h ′(x )＝－12(1－x )－12＋12(1＋x )－12＋12x＝12x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－21－x21＋x ＋1－x ，10分∵1－x 2(1＋x ＋1－x )＝1－x 2·2＋21－x 2≤2， ∴h ′(x )≤0.∴h (x )在(0,1)上单调递减， 13分又h (0)＝0，∴h (x )≤h (0)＝0， ∴f (x )≤2－14x 2.15分21．(本小题满分15分)已知椭圆C 1：x 24＋y 23＝1，抛物线C 2：y 2＝4x ，过抛物线C 2上一点P (异于原点O )作切线l 交椭圆C 1于A ，B 两点．图4(1)求切线l 在x 轴上的截距的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值．[解] (1)设P (t 2,2t )(t ≠0)，显然切线l 的斜率存在， 设切线l 的方程为y －2t ＝k (x －t 2)，即y ＝k (x －t 2)＋2t .1分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －t 2＋2t ，y 2＝4x 消去x 得ky 2－4y －4kt 2＋8t ＝0，由Δ＝16－16k (－kt 2＋2t )＝0，得k ＝1t，从而切线l 的方程为x ＝ty －t 2，3分令y ＝0，得切线l 在x 轴上的截距为－t 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －t 2，x 24＋y23＝1，得(3t 2＋4)y 2－6t 3y ＋3t 4－12＝0，令Δ＝36t 6－12(3t 2＋4)(t 4－4)>0，得0<t 2<4， 则－4<－t 2<0，6分 故切线l 在x 轴上的截距的取值范围为(－4,0).7分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知y 1＋y 2＝6t 33t 2＋4，y 1y 2＝3t 4－123t 2＋4，|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝1＋t 2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝1＋t 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫6t 33t 2＋42－43t 4－123t 2＋4 ＝43·1＋t 2·－t 4＋3t 2＋43t 2＋42， 9分原点O 到切线l 的距离为d ＝t 21＋t2，∴S ＝12|AB |×d ＝23·t 4－t 4＋3t 2＋43t 2＋42. 12分令3t 2＋4＝u ，∵0<t 2<4，∴4<u <16，则有S ＝23·u －429⎣⎢⎡⎦⎥⎤－u －429＋u u2＝239·u 2－8u ＋16－u 2＋17u －16u 2，∴S ＝239·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋16u －8·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋16u＝239·－⎝⎛⎭⎪⎫u ＋16u 2＋25⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋16u －136. 令y ＝u ＋16u，∵4<u <16，∴y ＝u ＋16u在(4,16)上为增函数，得8<y <17，∴S ＝239·－y 2＋25y －136，当y ＝252∈(8,17)时，S max ＝239·－6254＋6252－136＝ 3. 14分 由y ＝u ＋16u ＝252得u ＝25＋3414，有t ＝3＋412<2，故当t ＝3＋412时，△OAB 面积S 有最大值 3. 15分22．(本小题满分15分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n a n ＝13n ＋r .(1)若a 1＝2，求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，设b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ≥2n 3n ＋1. [解] (1)令n ＝1，得13＋r ＝1，∴r ＝23，1分则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋23a n ，∴S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋13a n －1(n ≥2)，两式相减得a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)， 3分∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝31·42·53·…·n ＋1n －1， 化简得a n a 1＝n n ＋11×2(n ≥2)，∴a n ＝n 2＋n (n ≥2)，6分第- 11 -页 共11页 又a 1＝2适合a n ＝n 2＋n (n ≥2)，∴a n ＝n 2＋n . 7分(2)证明：由(1)知a 2n －1＝(2n －1)·2n ，∴b n ＝1a 2n －1＝12n －12n ＝12n －1－12n ，∴T 1＝12≥23＋1不等式成立，∴T n ＝11－12＋13－14＋15－16＋…＋12n －1－12n (n ≥2)，∴T n ＝11＋12＋13＋…＋12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n＝11＋12＋13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12＋…＋1n ，∴T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，10分 ∴2T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋12n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋12n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋k ＋12n －k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1n ＋1.∵1n ＋k ＋12n －k ＋1＝3n ＋1n ＋k 2n －k ＋1≥43n ＋1(仅在k ＝n ＋12时取等号)， ∴2T n ≥4n 3n ＋1，即结论T n ≥2n3n ＋1成立. 15分。
(全国统考版)2021届高考数学二轮复习 验收仿真模拟卷(一)(理,含解析)-全国统考版2021
高考仿真模拟卷(一)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，B ＝{－1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0，1} B ．{－1，0，1，2} C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}2．已知i 是虚数单位，则复数i －1i ＋1在复平面上所对应的点的坐标为( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(1，0)D ．(0，－1)3．已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，且P (X ≤4)＝0.84，则P (2<X <4)＝( ) A ．0.84 B ．0.68 C ．0.32D ．0.164．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，点D 在边AC 上，且2AD →＝DC →，则BA →·BD →的值是( )A ．48B ．24C ．12D ．65．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为ln 5，则在判断框内应填( )A ．i ≤5?B ．i ≤4?C ．i <6?D ．i >5?6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 6＝23，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．97．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )8．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为3，则该手工制品的表面积为( )A ．5πB ．10πC ．12＋5πD ．24＋12π9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 10．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则( )A ．P 1·P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1＋P 2＝56D ．P 1＜P 211．设F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，过F 2的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若|MF 2|＝3|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为( )A ．3B ．2 C.52D.7212．设点P 在曲线y ＝2e x 上，点Q 在曲线y ＝ln x －ln 2上，则|PQ |的最小值为( ) A ．1－ln 2 B.2(1－ln 2) C ．2(1＋ln 2) D.2(1＋ln 2)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知100名学生某月零用钱消费支出情况的频率分布直方图如图所示，则在这100名学生中，该月零用钱消费支出超过150元的人数是__________．14．在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≥0，x ＋y －5≤0，x －2y ＋1≤0，向量a ＝(1，－1)，则a·OP→的最大值是________．15．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是A (0，0，5)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (3，1，5)，则该四面体的外接球的体积为__________．16．已知数列{a n }的首项a 1＝1，函数f (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫a n ＋1－a n －cos n π2为奇函数，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 019的值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知3(b 2＋c 2)＝3a 2＋2bc .(1)若sin B ＝2cos C ，求tan C 的大小；(2)若a ＝2，△ABC 的面积S ＝22，且b >c ，求b ，c .18．(本小题满分12分)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．(1)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A ，求事件A 的概率P (A )；(2)设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝π3.(1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；(2)设CE →＝λCC 1→(0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．20．(本小题满分12分)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x －k (x －1)． (1)若函数h (x )＝f （x ）x，求h (x )的极值；(2)若f (x )＝0有一根为x 1(x 1>1)，f ′(x ) ＝0的根为x 0，则是否存在实数k ，使得x 1＝kx 0？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝sin θ1－sin 2θ.(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 距离的最小值，并求出此时P 点的坐标． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|. (1)解不等式f (x )≥2；(2)当x ∈R ，0<y <1时，证明：|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y .高考仿真模拟卷(一)1．解析：选B.由已知得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}， 所以A ∩B ＝{－1，0，1，2}，故选B.2．解析：选A.因为i －1i ＋1＝（i －1）（1－i ）（i ＋1）（1－i ）＝i ，所以该复数在复平面上对应的点的坐标为(0，1)．故选A.3．解析：选B.由于随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，又P (X ≤4)＝0.84，所以P (X ≥4)＝P (X ≤2)＝0.16，P (2<X <4)＝1－0.32＝0.68.4．解析：选B.由题意得，BA →·BC →＝0，BA →·CA →＝|BA →|2＝36，所以BA →·BD →＝BA →·(BC →＋CD →)＝BA →·⎝⎛⎭⎫BC →＋23CA →＝0＋23×36＝24，故选B. 5．解析：选B.程序运行过程如下： 首先初始化数据，S ＝0，i ＝1，第一次循环，执行S ＝S ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1i ＝0＋ln 2＝ln 2，i ＝i ＋1＝2，此时不应跳出循环； 第二次循环，执行S ＝S ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1i ＝ln 2＋ln 32＝ln 3，i ＝i ＋1＝3，此时不应跳出循环； 第三次循环，执行S ＝S ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1i ＝ln 3＋ln 43＝ln 4，i ＝i ＋1＝4，此时不应跳出循环； 第四次循环，执行S ＝S ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1i ＝ln 4＋ln 54＝ln 5，i ＝i ＋1＝5，此时应跳出循环； i ＝4时，程序需要继续执行，i ＝5时，程序结束， 故在判断框内应填i ≤4？.故选B.6．解析：选B.由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝23，5a 1＋5×42d ＝35， 解得d ＝3，故选B.7．解析：选C.依题意，注意到f (－x )＝1－2－x 1＋2－x ·cos(－x )＝2x （1－2－x ）2x （1＋2－x ）cos x ＝2x －12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0<x <1时，1－2x1＋2x<0，cos x >0，f (x )<0，结合选项知，C 正确，选C.8．解析：选D.由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一，且圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5，故每部分的表面积为2×12×4×3＋14×12×6π×5＋14×9π＝12＋6π，故两部分表面积为24＋12π. 9．解析：选D.由题可得sin ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ＝0，又0<φ<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 10．解析：选C.三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321， 方案一坐3号车的可能：132、213、231，所以P 1＝36；方案二坐3号车的可能：312、321，所以P 1＝26；所以P 1＋P 2＝56.故选C.11．解析：选D.设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的对称性可知四边形MF 2PF 1为平行四边形．所以|MF 1|＝|PF 2|，MF 1∥PN . 设|PF 2|＝m ，则|MF 2|＝3m ， 所以2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2m ， 即|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a .因为∠MF 2N ＝60°，所以∠F 1MF 2＝60°， 又|F 1F 2|＝2c ，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2＝a 2＋9a 2－2·a ·3a ·cos 60°， 即4c 2＝7a 2，所以c 2a 2＝74，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝72.故选D. 12．解析：选D.由已知可得y ＝2e x 与y ＝ln x －ln 2＝ln x2互为反函数，即y ＝2e x 与y ＝ln x－ln 2的图象关于直线x －y ＝0对称，|PQ |的最小值为点Q 到直线x －y ＝0的最小距离的2倍，令Q (t ，ln t －ln 2)，过点Q 的切线与直线x －y ＝0平行，函数y ＝ln x －ln 2的导数为y ′＝1x ，其斜率为k ＝1t ＝1，所以t ＝1，故Q (1，－ln 2)，点Q 到直线x －y ＝0的距离为d ＝|1－（－ln 2）|12＋（－1）2＝1＋ln 22，所以|PQ |min ＝2d ＝2(1＋ln 2)． 13．解析：消费支出超过150元的人数为(50×0.004＋50×0.002)×100＝30. 答案：3014．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝a·OP →＝x －y ，则y ＝x －z ，易知当y ＝x －z 经过⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x －2y ＋1＝0的交点(3，2)时，z ＝x－y 取得最大值，且z max ＝1.答案：115．解析：采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为3，1，5，长方体的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长方体的体对角线3＋1＋5＝3，所以球半径为32，体积为43πr 3＝9π2.答案：9π216．解析：因为f (x )是奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以a n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n ＋cos n π2＝0，a n ＋1＝a n ＋cosn π2.a 1＝1，a 2＝a 1＋cos π2＝1，a 3＝a 2＋cos 2π2＝0，a 4＝a 3＋cos 3π2＝0，如此继续，得a n ＋4＝a n .S 2 019＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＋a 3＝504×2＋1＋1＋0＝1 010.答案：1 010 17．解：因为3(b 2＋c 2)＝3a 2＋2bc ，所以b 2＋c 2－a 22bc ＝13，由余弦定理得cos A ＝13，所以sin A ＝223.(1)因为sin B ＝2cos C ，所以sin(A ＋C )＝2cos C ， 所以223cos C ＋13sin C ＝2cos C ，所以23cos C ＝13sin C ，所以tan C ＝ 2. (2)因为S ＝22，所以12bc sin A ＝22，所以bc ＝32.① 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得4＝b 2＋c 2－2bc ×13，所以b 2＋c 2＝5.②因为b >c >0，所以联立①②可得b ＝322，c ＝22.18．解：(1)由已知，得P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635.所以事件A 的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.由已知得P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 4 P1143737114随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.19．解：(1)证明：因为AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC 1⊂侧面BB 1C 1C ，故AB ⊥BC 1，在△BCC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝π3，BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos ∠BCC 1＝12＋22－2×1×2×cos π3＝3，所以BC 1＝3，故BC 2＋BC 21＝CC 21，所以BC ⊥BC 1，而BC ∩AB ＝B ，所以C 1B ⊥平面ABC .(2)由(1)可知，AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则B (0，0，0)，A (0，1，0)，B 1(－1，0，3)，C (1，0，0)，C 1(0，0，3)． 所以CC 1→＝(－1，0，3)，所以CE →＝(－λ，0，3λ)，E (1－λ，0，3λ)， 则AE →＝(1－λ，－1，3λ)，AB 1→＝(－1，－1，3)． 设平面AB 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AE →n ⊥AB 1→，即⎩⎨⎧（1－λ）x －y ＋3λz ＝0－x －y ＋3z ＝0，令z ＝3，则x ＝3－3λ2－λ，y ＝32－λ，故n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ，32－λ，3是平面AB 1E 的一个法向量．因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，BA →＝(0，1，0)是平面BB 1E 的一个法向量， 所以|cos 〈n ，BA →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BA →|n ||BA →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－λ1× ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ2＋⎝⎛⎭⎫32－λ2＋（3）2 ＝32. 两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝32(舍去)．20．解：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为 k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 1＋y 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k （y 1＋y 2）k ＝－8＋8k ＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .21．解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， h (x )＝f （x ）x ＝ln x －k （x －1）x (x >0)，则h ′(x )＝1x －k x 2＝x －kx2，当k ≤0时，h ′(x )>0对任意的x >0恒成立，所以h (x )是(0，＋∞)上的增函数，此时h (x )不存在极值．当k >0时，若0<x <k ，则h ′(x )<0；若x >k ，则h ′(x )>0.所以h (x )是(0，k )上的减函数，是(k ，＋∞)上的增函数，故h (x )的极小值为h (k )＝ln k －k ＋1，不存在极大值． 综上所述，当k ≤0时，h (x )不存在极值； 当k >0时，h (x )极小值＝ln k －k ＋1，不存在极大值．(2)由(1)知当k ≤0或k ＝1时，f (x )＝0，即h (x )＝0仅有唯一解x ＝1，不符合题意． 当0<k <1时，h (x )是(k ，＋∞)上的增函数，当x >1时，有h (x )>h (1)＝0， 所以f (x )＝0没有大于1的根，不符合题意．当k >1时，由f ′(x )＝0，即f ′(x )＝1＋ln x －k ＝0，解得x 0＝e k －1， 若x 1＝kx 0＝k e k －1，又x 1ln x 1＝k (x 1－1)，所以k e k －1ln(k e k －1)＝k (k e k －1－1)，即ln k －1＋e 1－k ＝0.令v (x )＝ln x －1＋e 1－x ，则v ′(x )＝1x －e1－x＝e x －e x x ex ，令s (x )＝e x －e x ，s ′(x )＝e x －e ，当x >1时，总有s ′(x )>0，所以s (x )是(1，＋∞)上的增函数，即s (x )＝e x －e x >s (1)＝0，（全国统考版）2021届高考数学二轮复习 验收仿真模拟卷（一）（理，含解析）-全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷一理含解析- 11 - / 11 故当x >1时，v ′(x )>0，v (x )是(1，＋∞)上的增函数，所以v (x )>v (1)＝0，即ln k －1＋e 1－k ＝0在(1，＋∞)上无解．综上可知，不存在满足条件的实数k . 22．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝1＋2t y ＝2t，得x －y ＝1， 所以直线l 的极坐标方程为ρcos α－ρsin α＝1， 即2ρ(cos αcos π4－sin αsin π4)＝1， 即2ρcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1. 由ρ＝sin θ1－sin 2θ，所以ρ＝sin θcos 2θ，所以ρcos 2θ＝sin θ，所以(ρcos θ)2＝ρsin θ， 即曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20，所以P 到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0－1|2＝|x 0－x 20－1|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎫x 0－122－342，所以当x 0＝12时，d min ＝328，此时P ⎝⎛⎭⎫12，14， 所以当P 点为⎝⎛⎭⎫12，14时，P 到直线l 的距离最小，最小值为328. 23．解：(1)由已知可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≥22x ，－2<x <2，－4，x ≤－2所以，f (x )≥2的解集为{x |x ≥1}． (2)证明：由(1)知，|x ＋2|－|x －2|≤4，1y ＋11－y ＝⎝⎛⎭⎫1y ＋11－y [y ＋(1－y )]＝2＋1－y y ＋y 1－y≥4(当且仅当y ＝12时取等号)，所以|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y.。
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6个解答题综合仿真练(一)1.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b ＝3，c ＝2.(1)若2a ·cos C ＝3，求a 的值； 的值．C cos ，求cos C1＋cos B＝c b 若(2) ，3＝a2＋b2－c22ab·a 2由余弦定理得，(1)解： 将b ＝3，c ＝2代入，解得a ＝2. ，cos C1＋cos B ＝sin C sin B 由正弦定理，得(2) 即sin C ＋sin C cos B ＝sin B cos C ，则sin C ＝sin B cos C －cos B sin C ＝sin(B －C )．因为0<C <B <π，所以0<B －C <π，所以C ＝B －C ，则B ＝2C .，b2sin Ccos C＝c sin C ＝b sin B 由正弦定理可得.34＝C cos 代入，解得2＝c ，3＝b 将 2.如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP ＝OC ，PA ⊥PD .求证：(1)PA ∥平面BDE;(2)平面BDE ⊥平面PCD .证明：(1)连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点．又因为E 为PC 的中点，所以OE ∥PA .又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE .(2)因为OE ∥PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD . 因为OP ＝OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC .又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD ＝P ，所以OE ⊥平面PCD .又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD .>0)b >a 1(＝y2b2＋x2a2中，已知椭圆xOy 如图，在平面直角坐标系3.为椭圆上位于第一象限内的一点．C ，23的离心率为 的值；b ，a ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53的坐标为C 若点(1) ．的斜率AB ，求直线OC ―→12＝AB ―→为椭圆上一点，且B 为椭圆的左顶点，A 设(2) ，23因为椭圆的离心率为(1)解： ① .59＝b2a2，即23＝a2－b2a 所以②1.＝259b2＋4a2在椭圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53C 又因为点 5.＝2b ，9＝2a 解得①②由 .5＝b ，3＝a ，所以>0b >a 因为 .2a 5＝2y 9＋2x 5，即1＝9y25a2＋x2a2，所以椭圆方程为59＝b2a2知，(1)法一：由(2) ．)2y ，2x (C ，)1y ，1x (B ，>0)m (my ＝x 的方程为OC 设直线 ，2a 5＝2y 9＋2y 2m 5得，x 消去{ x ＝my ，5x2＋9y2＝5a2由 .5a 5m2＋9＝2y ，所以>02y 因为.5a25m2＋9＝2y 所以 .a －my ＝x 的方程为AB 可设直线.OC ∥AB ，所以OC ―→12＝AB ―→因为 ，0＝amy 10－2y 9)＋2m (5，得x 消去{ x ＝my －a ，5x2＋9y2＝5a2由 .10am5m2＋9＝1y ，得10am 5m2＋9＝y 或0＝y 所以 ，1y 2＝2y ，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2，12y2＝)1y ，a ＋1x (，所以OC ―→12＝AB ―→因为 .35＝m ，所以>0)m (20am 5m2＋9＝5a5m2＋9即.533＝1m 的斜率为AB 所以直线 ，2a 5＝2y 9＋2x 5可知，椭圆方程为(1)法二：由 则A (－a ，0)．．)2y ，2x (C ，)1y ，1x (B 设 .2y 12＝1y ，a －2x 12＝1x ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2，12y2＝)1y ，a ＋1x (，得OC ―→12＝AB ―→由 上，2a 5＝2y 9＋2x 5都在椭圆C ，B 因为点⎩⎨⎧5x22＋9y22＝5a2，5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－a 2＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫y222＝5a2.所以 ，5a43＝2y ，a 4＝2x 解得 .533＝y2x2＝k 的斜率AB 所以直线 4.如图，半圆AOB 是某市休闲广场的平面示意图，半径OA 的长为10.管理部门在A ，B 两处各安装一个光源，其相应的光强度分别为4和9.根据光学原理，地面上某点处照度y 与光强度I 成正比，与光源距离C130.(处的照度为C 的中点AB ．经测量，在弧)为比例系数k (kI x2＝y 的平方成反比，即x 处的照度为A ，B 两处光源的照度之和)(1)求比例系数k 的值；(2)现在管理部门计划在半圆弧AB 上，照度最小处增设一个光源P ，试问新增光源P安装在什么位置？解：(1)因为半径OA 的长为10，点C 是弧AB 的中点，.210＝BC ＝AC ，AB ⊥OC 所以 ，130＝9k 1022＋4k 1022＝y 处的照度为C 所以 解得比例系数k ＝2 000.(2)设点P 在半圆弧AB 上，且P 距光源A 为x ，．20)＜x ＜(0400－x2＝PB ，得20＝AB ，由PB ⊥PA 则 ．20)＜x ＜(018 000400－x2＋8 000x2＝y 处的照度为P 所以点 36 000x 400－x22＋16 000x3＝－′y 所以 9x4－4400－x22x3400－x224 000×＝ .x2－160x2＋800x3400－x2220 000×＝ .104＝x ，解得0＝′y 由 为减函数；18 000400－x2＋8 000x2＝y ，0＜′y 时，104＜x ＜0当 为增函数．18 000400－x2＋8 000x2＝y ，0＞′y 时，20＜x ＜104当 .取得极小值，也是最小值y 时，104＝x 所以的位置．)154为B 距(104为A 上且距AB 安装在半圆弧P 所以新增光源 5．已知函数f (x )＝(a －3)x －a －2ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，求实数a 的最小值；(2)已知不等式f (x )＋3x ≥0对任意x ∈(0,1]都成立，求实数a 的取值范围．0),>x (2x－3－a ＝)x ′(f 法一：因为(1)解： 当a ≤3时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；上单调递减，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a －3在)x (f ，2a －3＜x ＜0，得0＜)x ′(f 时，由3＞a 当 .上单调递增⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －3，＋∞在)x (f ，2a －3＞x ，得0＞)x ′(f 由 因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，≥5,a ，所以≤12a －3且3＞a 所以 所以实数a 的最小值为5.法二：因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，上恒成立，∞)，＋(1在≥02x－3－a ＝)x ′(f 所以上恒成立，∞)，＋(1在2x＋≥3a 所以 5,＜2x＋3时，1＞x 又当 所以a ≥5，所以实数a 的最小值为5.(2)令g (x )＝f (x )＋3x ＝a (x －1)－2ln x ，x ∈(0,1]，.2x－a ＝)x ′(g 所以 ，≥22x ，所以(0,1]∈x 于时，由≤2a 当① 所以g ′(x )≤0，g (x )在(0,1]上单调递减，，0＝(1)g )≥x (g ，(0,1]∈x ，所以对任意0＝(1)g ＝min )x (g 所以 即对任意x ∈(0,1]不等式f (x )＋3x ≥0都成立，所以a ≤2;上单调递减；⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 在)x (g ，2a ＜x ＜0，得0＜)x ′(g 时，由2＞a 当② 上单调递增．⎝ ⎛⎦⎥⎤2a ，1在)x (g ，2a ＞x ，得0＞)x ′(g 由，不合题意．0＝(1)g ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2a g ，使得(0,1)∈2a 所以，存在 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]． 1.－n a 2＝n S ，且n S 项和为n 的前}n a {．已知数列6 的通项公式；}n a {求数列(1) 的取值范围；λ个元素，求3中有M ，若}*N ∈n ，n λa 1)≥＋n (n |n {＝M 记集合(2) n对一切2－n －1＋n 2＝1b n a ＋…＋2－n b 3a ＋1－n b 2a ＋n b 1a ，使得}n b {等差数列是否存在(3)；若不存在，说明理由．n b 都成立？若存在，求出*N ∈ 1.＝1a ，得1－1a 2＝1S 时，1＝n 当(1)解： ①，1－n a 2＝n S 时，由≥2n 当 ②，1－1－n a 2＝1－n S 得 ．≥2)n 2(＝anan －1，即1－n a 2＝n a ，得②－① .1－n 2＝n a 的等比数列，所以2，公比为1是首项为}n a {因此 ，n n ＋12n －1＝)n (f ，令nn ＋12n －1≤λ由已知可得(2)，158＝(5)f ，52＝(4)f ，3＝(3)f ，3＝(2)f ，2＝(1)f 则 的单调性，nn ＋12n －1＝)n (f 下面研究 ，n ＋12－n2n＝n n ＋12n －1－n ＋1n ＋22n ＝)n (f －1)＋n (f 因为 所以，当n ≥3时，f (n ＋1)－f (n )＜0，f (n ＋1)＜f (n )，即f (n )单调递减. 因为M 中有3个元素，的取值范围为λ，即52≤λ＜2，所以3解的个数为n n ＋12n －1≤λ所以不等式.⎝⎛⎦⎥⎤2，52 使得条件成立，}n b {设存在等差数列(3) 1.＝1b ，所以1＝2－1－22＝1b 1a 时，有1＝n 则当 2.＝2b ，所以4＝2－2－32＝1b 2a ＋2b 1a 时，有2＝n 当 .n ＝n b ，所以1＝d 的公差}n b {所以等差数列 ，1b n a ＋…＋2－n b 3a ＋1－n b 2a ＋n b 1a ＝S 设 ③，·11－n 2＋·22－n 2＋…＋2)－n (22＋1)－n 2(＋n 1·＝S ④，·1n2＋·21－n 2＋…＋2)－n (32＋1)－n (22＋n 2·＝S 2所以④－③，得，2－n －1＋n 2＝21－2n 1－2＋n ＝－ n2＋1－n 2＋…＋32＋22＋2＋n ＝－S 满足题意．n ＝n b ，且}n b {所以存在等差数列。