第一章 数字逻辑基础_数字逻辑与系统

第一章数字逻辑基础教学基本要求：掌握常用的数制二进制、十进制、十六进制的相互转换；掌握二进制数的原码、反码及补码的表示方法；掌握常用的编码及它们与二进制数间的相互转换；掌握逻辑代数的基本定律与规则；掌握逻辑函数的表示方法及各种表示方法之间的相互转换；掌握代数法和卡诺图法化简逻辑函数。

重点：常用的数制与编码；逻辑代数基础；逻辑命题的描述。

电子电路的信号主要有两类：一类是在时间上和幅值上都连续的信号称为模拟信号，处理模拟信号的电路称为模拟电路。

正弦信号是典型的模拟信号，如图1-1所示。

另一类是时间上和幅值上都离散的信号称为数字信号，处理数字信号的电路称为数字电路。

脉冲信号是典型的数字信号，如图1-22所示。

数字电路的特点：∙工作信号是不连续的数字信号，所以电路中的半导体器件工作在开关状态，即稳定于饱和区或截止区，放大区只是其过度状态；∙数字电路既是开关电路又是逻辑电路，主要研究电路输入和输出间的逻辑关系。

分析工具和方法与模拟电路完全不同，具有独立的基础理论；∙逻辑代数是分析逻辑电路的数学工具。

学习指导：在本知识点学习中由最熟悉的十进制数入手，寻找各种计数体制的规律，特别要注意理解权的概念，熟练掌握任意进制数按权展开式。

在数字系统中采用二进制。

因为二进制数的基数为2，只有0和1两个数码，其不仅运算简单，电路实现也容易，还可以利用逻辑代数；但表示同一数值的数比十进制需更多的位数，因此数字系统中又常用八进制和十六进制数。

十、二、八、十六进制数的后缀分别为D、B、Q、H。

对十进制数常可省略下标或后缀。

十进制数特点：1.有一个确定的基数10，且逢10进一；2.有10个有序的数字符号有0--9和一个小数点，数码Ki从0～9；3.每一个数位均有固定的含意称权10i，不同数位其权10i不同；4.任意一个十进位制数均可写成按权展开式：(N)10 = (Kn-1Kn-2…K1K.K-1…K-m)10= Kn-1 10n-1+Kn-210n-2+…+K1101+K100+K-110-1+…+K-m10-m例：二进制特点:∙二进制是以2为基数的计数体制，它仅采用2个数码0和1，并且“逢二进一”，即1+1=10；∙不同数位上的权值不同，其相应的权为2i；∙任意一个二进位制数均可写成按权展开式。

例：进制特点:∙八进制是以8为基数的计数体制，它仅采用8个数码0--7，并且“逢八进一”，即7+1=10；∙不同数位上的权值不同，其相应的权为8i；∙任意一个八进位制数均可写成按权展开式。

例：十六进制特点:∙十六进制是以16为基数的计数体制，它采用0--9、A、B、C、D、E、F16个数码，并且“逢十六进一”，即F+1=10；∙不同数位上的权值不同，其相应的权为16i；∙任意一个十六进位制数均可写成按权展开式。

例：表1-1 几种常用数制对照表思考与总结：观察常用数制对照表，找出规律由表1-1可看出：一位八进制数可用三位二进制表示，而一位十六进制数可用四位二进制数表示。

各种进位制数的按权展开式：(N)R = (K n-1 K n-2…K 1 K 0 .K -1…K -m )R= K n-1 R n-1+K n-2R n-2+…+K 1R 1+K 0R 0+K -1R -1+…+K -m R -m =R 为相应进制数的基数，用不同基数代入即得相应进制的表达式。

数制间的转换学习指导：在本知识点主要学习各种数制表示形式之间的转换方法，最基本的是十进制与二进制之间的转变，八进制和十六进制可以借助二进制来实现相应的转换；转换时要特别注意要分整数部分和小数部分分别进行转换。

同一个数可采用不同的计数体制来表示，各种数制表示的数一定可以相互转换。

数制转换:一个数从一种进位制表示形式转换成等值的另一种进位制表示形式，其实质为权值转换。

相互转换的原则：转换前后两个有理数的整数部分和小数部分必定分别相等。

一、十进制与非十进制数间的转换对整数和小数转换方法不同，因此必须分别进行转换，然后再将两部分转换结果合并得完整的目标数制形式。

1、十进制至二进制转换整数部分的转换除基取余法： 用目标数制的基数（R=2）去除十进制数，第一次相除所得余数为目标数的最低位K0，将所得商再除以该基数，所得的余数为目标数的次低位K1，反复执行上述过程，直到商为“0”，所得余数为目标数的最高位Kn-1。

小数部分的转换乘基取整法：用该小数乘以目标数制的基数（R=2，第一次相乘结果的整数部分为目标数的最高位K-1，将其小数部分再乘基数所得的结果的整数则为目标数的次高位K-2，反复执行上述过程，直到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。

例1：（81.65）10 = （？）2 要求精度为小数五位。

1.整数部分的转换故有（81）10 =（1010001）22.小数部分的转换故有(0.65)10 = (0.10100)2由此综合两例结果得(81.65)10 = (1010001.10100)2同理: 可采用同样的方法将十进制数转成八进制、十六进制数，但由于八进制和十六进制的基数较大，做乘除法不是很方便，因此需要将十进制转成八进制、十六进制数时，通常是将其先转成二进制，然后在将二进制转成八进制、十六进制数。

2、二、八、十六进制至十进制转换转换方法：将相应进制的数按权展成多项式，按十进制求和。

(N)R = (Kn-1 Kn-2…K1 K0 .K-1…K-m)R= Kn-1 Rn-1+Kn-2Rn-2+…+K1R1+K0R0+K-1R-1+…+K-mR-m=R为相应进制数的基数，用不同基数代入即得相应进制的表达式。

例2:(1101.1)2 = 1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1 =8+4+1+0.5=13.5(F8C.B)16 = F×162+8×161+C×160+B×16-1=3980.6875二、非十进制数间的转换二进制数与八进制数间的转换由于八进制的基数R = 8 = 23，必须用三位二进制数来构成一位八进制数码，因此采用分组对应转换法。

转换方法：将二进制数转换成八进制数时，首先从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每三位分为一组，不足三位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代，即得目标数。

反之，则可将八进制数转换成二进制数。

例3：11010111.0100111 B = ? Q得11010111.0100111 B = 327.234 Q二进制数和十六进制数间的转换转换方法：与上述相仿，由于十六进制基数R = 16 = 24，故必须用四位二进制数构成一位十六进制数码（见表1-1），同样采用分组对应转换法，所不同的是此时每四位为一组，不足四位同样用“0”补足。

例4：111011.10101 B = ? H故有111011.10101 B = 3B.A8 H学习指导：本知识点主要学习数字系统中带符号数的三种表示方法--原码、反码及补码。

正数的原码、反码及补码表示形式相同，负数的原码、反码及补码表示形式不同，注意按规则进行变换。

基本概念：真值（原值）：由数符（+/-）和尾数（数值的绝对值）两部分构成。

表示的是数的真实值的大小。

机器数：机器中数的表示形式，数的符号（+/-）也数码化的数，即用“0”表示“+”，用“1”表示“-”。

机器数有字长限制，符号位通常是数的最高位。

而尾数部分可采用不同的表示方法--原码、反码、补码。

若有两个带符号数，X1 = +1101101（真值），X2= -1101101（真值），它们的字长为一字节（即8位二进制数），则在机器中表示如下：∙原码[X]原原码表示法又称符号－数值表示法，“0”表示正号；用“1”表示负号，而尾数部分与真值相同。

如X 1 = +4 = +0000100 B [X1]原= 0 0000100符号位尾数X 2 = -4 = -0000100 B [X2]原= 1 0000100符号位尾数∙反码[X]反原码的缺点：进行运算时必须根据两数的符号及数值大小来决定运算结果的符号，这就增加了机器的复杂性和运算时间。

简化加减运算引入了反码和补码两种表示方法。

正数的反码与原码相同，[X]反 = [X]原。

负数的反码：符号位不变，尾数部分按位取反。

例如：正数：X1 = +4 [X1]反= [X]原= 00000100负数：X2 = -4 [X2]反= 11111011∙补码[X]补正数的补码与原码相同，[X]补= [X]原=[X]反负数的补码：符号位不变，其尾数为真值数值部分按位取反，且在最低位加1，[X]补=[X]反+1。

如 X1 = +4 [X1]补= [X1]反=[X1]原=00000100X2 = -4 [X2]补= [X2]反+1 =11111011+1=11111100注意：原码、反码、补码具有一定的表示数值范围。

如n=8，原码表示范围01111111～11111111，它表示的数值范围为+127～-127。

反码表示范围01111111～10000000，即表示的数值范围为+127～-127。

补码表示范围01111111～10000000，即表示的数值范围为+127～-128。

学习指导：数字系统中只能识别二进制代码，因此对于十进制数、字母、符号必须用相应的二进制代码表示。

有不同的编码规则，用相应的二进制代码表示十进制数、字母、符号。

掌握常用的二-十进制编码--8421BCD码、余3码。

常用的二进制代码--自然二进制码和格雷码。

∙基本概念：为了表示文字符号信息而采用的一定位数的二进制码称为代码；建立这种代码与十进制数、字母、符号的一一对应关系称为编码；二进制码每位的值称为权或位权；用四位二进制代码对十进制数的各个数码进行编码称为二-十进制BCD编码(Binery Coded Decimal Codes）简称BCD码。

∙自然二进制码自然二进制码是按自然数顺序排列的二进制码，表1-2给出了四位自然二进制码，各位的权值依次为23、22、21、20，其表示的十进制数从0～15。

∙格雷码任意两组相邻码之间只有一位不同的无权码。

注：首尾两个数码即最小数0000和最大数1000之间也符合此特点，故它可称为循环码。

表1-2 自然二进制码和格雷码∙8421BCD码用四位自然二进制码的16个组合中的前10种，表示十进制数0～9，由高到低各位权分别为23、22、21、20即8、4、2、1，故而得名8421码。

是一种有权码。

∙余3码用四位二进制码中的十组代码为0011～1100来表示十进制中0-9十个数。

同一个十进制数所对应的余3码等于所对应的8421码加上3（0011）。